รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่? รูปสี่เหลี่ยมสามารถเป็น

ทฤษฎีบท: รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้า:

1. มุมตรงข้ามของมันมีค่าเท่ากัน
2. ด้านตรงข้ามของมันมีค่าเท่ากัน
3. เส้นทแยงมุมของมันถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด
4. สองด้านตรงข้ามขนานกันและเท่ากัน

การพิสูจน์:

A. ให้มุม K และ M เท่ากันและเท่ากับ a ในรูปสี่เหลี่ยม KLMN ให้มุม L และ N เท่ากันและเท่ากับ p (รูป) เนื่องจากผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ 360° เราจะได้ 2α + 2β = 360° หรือ α + β = 180° เมื่อพิจารณาว่ามุม K และ L เท่ากับอากาศตามลำดับ เป็นมุมด้านเดียวภายในที่เส้น KN และ LM ตัดกันโดยเส้น KL เราสรุปได้ว่าด้าน KN และ LM ขนานกัน เรายังสรุปจากมุม K และ N ที่ด้าน KL และ NM ขนานกัน จากนิยามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรายืนยันว่า KLMN รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

B. ให้ด้าน CD และ FE รวมทั้ง CF และ DE มีค่าเท่ากันใน CDEF รูปสี่เหลี่ยม (รูป) ลองวาดเส้นทแยงมุมหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยม เช่น CE สามเหลี่ยม CDE และ EFC มีสามด้านเท่ากัน ดังนั้นมุม DEC และ FCE จึงเท่ากัน เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นกากบาทภายในที่วางอยู่บนเส้น DE และ CF ที่ตัดกันโดยเส้น CE ด้าน DE และ CF จึงขนานกัน นอกจากนี้ จากความเท่าเทียมกันของมุม DCE และ FEC เราพบว่าด้าน CD และ FE ขนานกัน ทีนี้ โดยนิยามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรายืนยันว่า CDEF รูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

C. ให้จุดตัด B ของเส้นทแยงมุม IL และ KM ของ IKLM รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบ่งเส้นทแยงมุมเหล่านี้ออกเป็นครึ่งหนึ่ง: IB = BL และ KB = VM (รูป) จากนั้นสามเหลี่ยม KBL และ MBI จะเท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างกัน ซึ่งช่วยให้เราระบุว่ามุม 1MB และ LKB เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าด้าน IM และ KL ขนานกัน ในทำนองเดียวกัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม KBI และ MBL เราสรุปได้ว่าด้าน IK และ LM ขนานกัน จากนิยามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราสามารถยืนยันได้ว่า IKLM ของรูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน บ่อยครั้งที่คุณจำเป็นต้องรู้สิ่งนี้เมื่อแก้ปัญหาโอลิมปิกที่โรงเรียนโอลิมปิก

ง. ให้ด้านตรงข้าม OP และ RQ ขนานกันและเท่ากันในรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส OPQR (รูป) ลองวาด OQ ในแนวทแยงกัน มุมที่ได้คือ POQ และ RQO เท่ากัน เนื่องจากพวกมันอยู่ภายในแนวขวางที่วางอยู่บนเส้นคู่ขนาน OP และ RQ ที่ตัดกันโดยเส้น OQ ดังนั้น สามเหลี่ยม OPQ และ RQO จึงมีค่าเท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างกัน ดังนั้นมุมตามลำดับของ PQO และ ROQ จึงเท่ากัน

และเนื่องจากเป็นมุมตัดขวางภายในที่เส้น PQ และ OR ตัดกันโดยเส้น OQ ดังนั้นด้านข้างของ PQ และ OR จึงขนานกัน เมื่อพิจารณาถึงความขนานของด้าน OP และ RQ โดยนิยามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรายืนยันว่า OPQR รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำนิยาม.สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่

คุณสมบัติ.ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านตรงข้ามเท่ากันและมุมตรงข้ามเท่ากัน

คุณสมบัติ.เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด

1 สัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

2 เครื่องหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนานหากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมมีคู่เท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3 เครื่องหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้าในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เส้นทแยงมุมตัดกันและจุดตัดมีการแบ่งครึ่ง แล้วสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำนิยาม.สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่ขนานกัน ด้านขนานเรียกว่า บริเวณ

สี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่า หน้าจั่ว (หน้าจั่ว)ถ้าด้านเท่ากัน ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว มุมที่ฐานจะเท่ากัน

สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมฉากหนึ่งเรียกว่า สี่เหลี่ยม.

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านเรียกว่า เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู. เส้นกลางขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง

คำนิยาม.สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมฉากทั้งหมด

คุณสมบัติ.เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีค่าเท่ากัน

ป้ายสี่เหลี่ยม.ถ้าเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จะเป็นสี่เหลี่ยม

คำนิยาม.รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกด้านเท่ากัน

คุณสมบัติ.เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะตั้งฉากกันและแบ่งครึ่งมุมของมัน

คำนิยาม.สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ด้านทุกด้านเท่ากัน

สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าชนิดหนึ่งและเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนชนิดหนึ่ง ดังนั้นจึงมีคุณสมบัติทั้งหมด

คุณสมบัติ:
1. ทุกมุมของจตุรัสถูกต้อง

2. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน ตั้งฉากกัน จุดตัดแบ่งครึ่ง และมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบ่งครึ่ง

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาลในกระบวนการทางกฎหมายและ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เพื่อเปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณด้วยหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยจุดสี่จุด (จุดยอด) และสี่ส่วน (ด้าน) ที่เชื่อมจุดเหล่านี้เป็นคู่

วันนี้เราจะมาพิจารณา รูปทรงเรขาคณิต- รูปสี่เหลี่ยม จากชื่อรูปนี้ เป็นที่แน่ชัดแล้วว่ารูปนี้มีสี่มุม แต่คุณสมบัติและคุณสมบัติที่เหลือของรูปนี้เราจะพิจารณาด้านล่าง

รูปสี่เหลี่ยมคืออะไร

รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยจุดสี่จุด (จุดยอด) และสี่ส่วน (ด้าน) ที่เชื่อมจุดเหล่านี้เป็นคู่ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างพวกมัน

รูปสี่เหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดสี่จุด โดยสามจุดไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน

ประเภทของรูปสี่เหลี่ยม

• รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู
• รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• รูปสี่เหลี่ยมที่มีทุกด้านเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
• รูปสี่เหลี่ยมที่ทุกด้านเท่ากันและทุกมุมฉากเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปสี่เหลี่ยมสามารถ:

ตัดกันเอง

ไม่นูน

นูน

รูปสี่เหลี่ยมตัดกันตัวเองคือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านใดด้านหนึ่งมีจุดตัดกัน (ในรูปสีน้ำเงิน)

รูปสี่เหลี่ยมไม่นูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมภายในมากกว่า 180 องศา (ในรูปสีส้ม)

ผลรวมของมุมรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่ไม่ตัดกันจะเท่ากับ 360 องศาเสมอ

รูปสี่เหลี่ยมชนิดพิเศษ

รูปสี่เหลี่ยมสามารถมีคุณสมบัติเพิ่มเติม ก่อตัวขึ้น ชนิดพิเศษรูปทรงเรขาคณิต:

• สี่เหลี่ยมด้านขนาน
• สี่เหลี่ยมผืนผ้า
• สี่เหลี่ยม
• ราวสำหรับออกกำลังกาย
• เดลทอยด์
• สี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมและวงกลม

รูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้รอบวงกลม (วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยม)

คุณสมบัติหลักของรูปสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบ:

รูปสี่เหลี่ยมสามารถล้อมรอบวงกลมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของความยาวของด้านตรงข้ามเท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมที่จารึกเป็นวงกลม (วงกลมที่จารึกไว้รอบ ๆ รูปสี่เหลี่ยม)

คุณสมบัติหลักของรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้:

รูปสี่เหลี่ยมสามารถเขียนเป็นวงกลมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมตรงข้ามเท่ากับ 180 องศา

คุณสมบัติความยาวด้านสี่เหลี่ยม

โมดูลัสผลต่างของสองด้านใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมไม่เกินผลรวมของอีกสองด้านที่เหลือ

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

สำคัญ. ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับการรวมกันของด้านใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยม ตัวเลขนี้จัดทำขึ้นเพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจเท่านั้น

ในรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ผลรวมของความยาวของด้านทั้งสามนั้นไม่น้อยกว่าความยาวของด้านที่สี่.

สำคัญ. ในการแก้ปัญหาภายในหลักสูตรของโรงเรียน คุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งานการควบคุม ActiveX เพื่อทำการคำนวณ!

ในบทความนี้เราจะครอบคลุมเนื้อหาหลักทั้งหมด คุณสมบัติและเครื่องหมายของรูปสี่เหลี่ยม.

เริ่มต้นด้วย ฉันจะจัดเรียงรูปสี่เหลี่ยมทุกประเภทในรูปแบบของแผนภาพสรุปดังกล่าว:

โครงร่างมีความโดดเด่นตรงที่รูปสี่เหลี่ยมในแต่ละแถวมีคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมที่อยู่ด้านบน จึงจำไม่ค่อยได้

ราวสำหรับออกกำลังกายเป็นรูปสี่เหลี่ยม ด้านสองด้านขนานกัน ส่วนอีกสองด้านไม่ขนานกัน ด้านขนานเรียกว่า ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู,ไม่ขนาน ข้าง.

1 . ในราวสำหรับออกกำลังกาย ผลรวมของมุมประชิดด้านเท่ากับ 180°: A+B=180°, C+D=180°

2 . แบ่งครึ่งของมุมใดๆ ของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดส่วนที่ฐานเท่ากับด้านข้าง:

3. แบ่งครึ่งของมุมประชิดของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่มุมฉาก

4 .trapezium เรียกว่า หน้าจั่วถ้าด้านเท่ากัน:

ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

5. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง:

สี่เหลี่ยมด้านขนาน เป็นสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่: ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

• ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน
• เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด:

ดังนั้น ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมีคุณสมบัติเหล่านี้ แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของฐานและความสูง:

หรือผลคูณของด้านโดยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีทุกด้านเท่ากัน:

• มุมตรงข้ามเท่ากัน
• เส้นทแยงมุมของจุดตัดแบ่งครึ่ง
  
• เส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน
  
• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นตัวแบ่งครึ่งของมุม

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุม:

หรือผลคูณของกำลังสองของด้านกับไซน์ของมุมระหว่างด้าน: