สมการกำลังสอง Gia โครงการการศึกษา "สมการในงาน oge"

Toylonov Argymai และ Toylonov Erkey

วิชาคณิตศาสตร์ที่ได้รับใน โรงเรียนการศึกษาทั่วไปเป็นองค์ประกอบสำคัญของการศึกษาทั่วไปและวัฒนธรรมทั่วไปของคนสมัยใหม่ เกือบทุกอย่างที่อยู่รอบตัวคนสมัยใหม่ล้วนเชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง และความก้าวหน้าล่าสุดในด้านฟิสิกส์ วิศวกรรม และเทคโนโลยีสารสนเทศทำให้ไม่ต้องสงสัยเลยว่าในอนาคตสถานการณ์จะยังคงเหมือนเดิม ดังนั้น การแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายๆ ปัญหาจึงลดลงเหลือการแก้สมการประเภทต่างๆ ที่ต้องเรียนรู้เพื่อแก้

และตั้งแต่ปี พ.ศ. 2556 การรับรองวิชาคณิตศาสตร์เมื่อสิ้นสุดโรงเรียนขั้นพื้นฐานได้ดำเนินการในรูปแบบของ OGE เช่นเดียวกับการสอบ Unified State OGE ได้รับการออกแบบมาเพื่อดำเนินการรับรองไม่เฉพาะในพีชคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในหลักสูตรคณิตศาสตร์ทั้งหมดในโรงเรียนหลักด้วย

ส่วนแบ่งของงานสิงโตไม่ทางใดก็ทางหนึ่งลงมาเพื่อวาดสมการและวิธีแก้ปัญหา เพื่อดำเนินการศึกษาหัวข้อนี้ เราจำเป็นต้องตอบคำถาม: “พบสมการประเภทใดบ้างในงานของ OGE? ” และ “วิธีแก้สมการเหล่านี้มีอะไรบ้าง”

ดังนั้นจึงมีความจำเป็นต้องศึกษาสมการทุกประเภทที่พบในงานของ อปท. ทั้งหมดข้างต้นกำหนด

จุดมุ่งหมายงานคือการทำสมการทุกประเภทที่พบในงานของ อปท. ตามประเภทและวิเคราะห์วิธีหลักในการแก้สมการเหล่านี้

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ เราได้กำหนดไว้ดังนี้ งาน:

1) เรียนรู้แหล่งข้อมูลพื้นฐานสำหรับการเตรียมตัวสำหรับการสอบของรัฐหลัก

2) กรอกสมการทั้งหมดตามประเภท

3) วิเคราะห์วิธีการแก้สมการเหล่านี้

4) รวบรวมคอลเลกชันที่มีสมการทุกประเภทและวิธีแก้ปัญหา

วัตถุประสงค์ของการศึกษา:สมการ

หัวข้อการศึกษา:สมการในงานของ อปท.

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล

"โรงเรียนมัธยมชิบิต"

โครงการการศึกษา:

"สมการในงาน OGE"

ทอยโลนอฟ เออร์คีย์

นักเรียนชั้น ป.8

หัวหน้างาน: Toylonova Nadezhda Vladimirovna ครูสอนคณิตศาสตร์

ไทม์ไลน์การดำเนินโครงการ:

ตั้งแต่ 13.12.2017 ถึง 13.02. 2018

บทนำ ………………………………………………………………..
ประวัติอ้างอิง……………………………………………………
บทที่ 1 การแก้สมการ …………………………………………………………
1.1 การแก้สมการเชิงเส้น ……………………………………
1.2 สมการกำลังสอง ………………………………………………………
1.2.1 สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์ ………………………………	9-11
1.2.2 สมการกำลังสองสมบูรณ์ …………………………………	11-14
1.2.3 วิธีการเฉพาะในการแก้สมการกำลังสอง …………….	14-15
1.3 สมการตรรกยะ ………………………………………….	15-17
บทที่ 2 สมการเชิงซ้อน …………………………………………………….	18-24
ข้อสรุป …………………………………………………………………
รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว ………………………………
ภาคผนวก 1 "สมการเชิงเส้น" ……………………………….	26-27
ภาคผนวก 2 "สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์" …………………	28-30
ภาคผนวก 3 "สมการกำลังสองสมบูรณ์" ……………………	31-33
ภาคผนวก 4 "สมการตรรกยะ" ………………………….	34-35
ภาคผนวก 5 "สมการเชิงซ้อน" ………………………………..	36-40

การแนะนำ

การศึกษาคณิตศาสตร์ที่ได้รับในโรงเรียนการศึกษาทั่วไปเป็นองค์ประกอบสำคัญของการศึกษาทั่วไปและวัฒนธรรมทั่วไปของบุคคลสมัยใหม่ เกือบทุกอย่างที่อยู่รอบตัวคนสมัยใหม่ล้วนเชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง และความสำเร็จล่าสุดในด้านฟิสิกส์ วิศวกรรม และเทคโนโลยีสารสนเทศทำให้ไม่ต้องสงสัยเลยว่าในอนาคตสถานการณ์จะยังคงเหมือนเดิม ดังนั้น การแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายๆ ปัญหาจึงลดลงเหลือการแก้สมการประเภทต่างๆ ที่ต้องเรียนรู้เพื่อแก้

ดังนั้นจึงมีความจำเป็นต้องศึกษาสมการทุกประเภทที่พบในงานของ อปท. ทั้งหมดข้างต้นกำหนดความเกี่ยวข้องของปัญหาของงานที่ทำ

จุดมุ่งหมาย งานคือการทำสมการทุกประเภทที่พบในงานของ อปท. ตามประเภทและวิเคราะห์วิธีหลักในการแก้สมการเหล่านี้

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ เราได้กำหนดไว้ดังนี้งาน:

2) กรอกสมการทั้งหมดตามประเภท

3) วิเคราะห์วิธีการแก้สมการเหล่านี้

4) รวบรวมคอลเลกชันที่มีสมการทุกประเภทและวิธีแก้ปัญหา

วัตถุประสงค์ของการศึกษา:สมการ

หัวข้อการศึกษา:สมการในงานของ อปท.

แผนงานโครงการ:

การกำหนดธีมของโครงการ
การเลือกวัสดุจากแหล่งข้อมูลอย่างเป็นทางการในหัวข้อที่กำหนด
การประมวลผลและการจัดระบบข้อมูล
การดำเนินโครงการ
การออกแบบโครงการ
การคุ้มครองโครงการ

ปัญหา : ทำความเข้าใจสมการให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น แสดงวิธีการหลักในการแก้สมการที่นำเสนอในงานของ OGE ในส่วนแรกและส่วนที่สอง

งานนี้เป็นความพยายามในการสรุปและจัดระบบเนื้อหาที่ศึกษาและศึกษาเนื้อหาใหม่ โครงงานประกอบด้วย: สมการเชิงเส้นพร้อมการถ่ายโอนเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งและใช้คุณสมบัติของสมการตลอดจนปัญหาที่แก้ด้วยสมการ สมการกำลังสองทุกประเภท และวิธีการแก้สมการตรรกยะ

คณิตศาสตร์...เผยระเบียบ สมมาตร และแน่นอน

และสิ่งเหล่านี้เป็นความงามที่สำคัญที่สุด

อริสโตเติล.

ประวัติอ้างอิง

ในช่วงเวลาอันห่างไกลเหล่านั้น เมื่อนักปราชญ์เริ่มคิดถึงความเท่าเทียมกันซึ่งมีปริมาณที่ไม่รู้จักในตอนแรก อาจยังไม่มีเหรียญหรือกระเป๋าเงิน แต่ในทางกลับกัน มีกองเช่นเดียวกับหม้อ ตะกร้า ซึ่งเหมาะสำหรับบทบาทของร้านแคชที่มีรายการจำนวนไม่ทราบ "เรากำลังมองหากองซึ่งรวมกับสองในสามครึ่งและหนึ่งในเจ็ดคือ 37 ... " Ahmes อาลักษณ์ชาวอียิปต์สอนในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช ในปัญหาทางคณิตศาสตร์โบราณของเมโสโปเตเมีย อินเดีย จีน กรีซ ปริมาณที่ไม่ทราบจำนวนแสดงจำนวนนกยูงในสวน จำนวนโคในฝูง จำนวนรวมของสิ่งที่นำมาพิจารณาเมื่อแบ่งทรัพย์สิน นักบวช เจ้าหน้าที่ และนักบวชที่ริเริ่มความรู้ลับ ฝึกฝนมาอย่างดีในศาสตร์แห่งการนับ รับมือกับงานดังกล่าวได้ค่อนข้างประสบความสำเร็จ

แหล่งข้อมูลที่ลงมาหาเราระบุว่านักวิทยาศาสตร์โบราณมีวิธีทั่วไปในการแก้ปัญหาโดยไม่ทราบปริมาณ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่แผ่นกระดาษปาปิรัสแผ่นเดียว ไม่มีแผ่นดินเหนียวแผ่นเดียวให้คำอธิบายเกี่ยวกับเทคนิคเหล่านี้ ผู้เขียนให้การคำนวณเชิงตัวเลขเป็นครั้งคราวด้วยความคิดเห็นที่มีความหมายเช่น: "ดูสิ!", "ทำมัน!", "คุณพบว่าถูกต้อง" ในแง่นี้ ข้อยกเว้นคือ "เลขคณิต" ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Diophantus of Alexandria (ศตวรรษที่ 3) ซึ่งเป็นชุดของปัญหาสำหรับการรวบรวมสมการด้วยการนำเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบ

อย่างไรก็ตาม ผลงานของนักวิชาการแบกแดดแห่งศตวรรษที่ 9 ได้กลายเป็นคู่มือฉบับแรกในการแก้ปัญหาที่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง มูฮัมหมัด บิน มูซา อัลคอวาริซมี. คำว่า "al-jabr" จากชื่อภาษาอาหรับของบทความนี้ - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("The Book of Restoration and Contrasting") - เมื่อเวลาผ่านไปกลายเป็นคำว่า "พีชคณิต" ที่ทุกคนรู้จัก และงานของอัลคอวาริซมีเองก็เป็นจุดเริ่มต้นในการพัฒนาศาสตร์แห่งการแก้สมการ

แล้วสมการคืออะไร?

มีสมการสิทธิ สมการของเวลา (แปลเวลาสุริยะจริงเป็นค่าเฉลี่ย เวลาสุริยะเป็นที่ยอมรับในหอพักและในด้านวิทยาศาสตร์ ดอกแอสเตอร์) เป็นต้น..

ในวิชาคณิตศาสตร์ - นี่คือความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์ที่มีปริมาณที่ไม่รู้จักตั้งแต่หนึ่งปริมาณขึ้นไปและคงความถูกต้องไว้สำหรับค่าบางอย่างของปริมาณที่ไม่รู้จักเหล่านี้เท่านั้น

ในสมการที่มีตัวแปรเดียว ค่าที่ไม่รู้จักมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์ " ค่าของ "x ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้เรียกว่ารากของสมการ

สมการจะต่างกันสายพันธุ์ :

ขวาน + ข = 0. - สมการเชิงเส้น
ขวาน 2 + bx + c = 0. - สมการกำลังสอง.
ขวาน 4 + bx 2 + c = 0. - สมการกำลังสอง

– สมการตรรกยะ

– สมการอตรรกยะ
มีดังกล่าววิธีแก้สมการอย่างไร: พีชคณิตเลขคณิตและเรขาคณิต พิจารณาวิธีพีชคณิต

แก้สมการคือการหาค่าของ x ดังกล่าว ซึ่งเมื่อแทนที่ด้วยนิพจน์ดั้งเดิม จะให้ค่าความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องแก่เรา หรือพิสูจน์ว่าไม่มีคำตอบ การแก้สมการจะยากแค่ไหนก็น่าตื่นเต้น ท้ายที่สุด เป็นเรื่องน่าประหลาดใจจริงๆ เมื่อจำนวนทั้งกระแสขึ้นอยู่กับจำนวนที่ไม่รู้จักเพียงจำนวนเดียว

ในสมการ เพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก จำเป็นต้องแปลงและทำให้นิพจน์ดั้งเดิมง่ายขึ้น และเพื่อที่ว่าเมื่อเปลี่ยนรูปลักษณ์ สาระสำคัญของการแสดงออกจะไม่เปลี่ยนแปลง การแปลงดังกล่าวเรียกว่าเหมือนกันหรือเทียบเท่า

บทที่ 1 การแก้สมการ

1.1 การแก้สมการเชิงเส้น.

ตอนนี้เราจะพิจารณาคำตอบของสมการเชิงเส้น จำได้ว่าสมการของรูปเรียกว่า สมการเชิงเส้น หรือ สมการดีกรีแรก เพราะมีตัวแปร " X » ระดับสูงสุดคือระดับแรก

คำตอบของสมการเชิงเส้นนั้นง่ายมาก:

ตัวอย่างที่ 1: แก้สมการ 3 x+3=5x

สมการเชิงเส้นได้รับการแก้ไขโดยวิธีการถ่ายโอนเทอมที่มีค่านิรนามไปทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ สัมประสิทธิ์อิสระไปทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ:

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x=1.5

ค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันจริงเรียกว่ารากของสมการ

หลังจากตรวจสอบเราได้รับ:

ดังนั้น 1.5 จึงเป็นรากของสมการ

คำตอบ: 1.5.

การแก้สมการโดยการถ่ายโอนพจน์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งในขณะที่เครื่องหมายของเงื่อนไขเปลี่ยนเป็นด้านตรงข้ามและนำไปใช้คุณสมบัติ สมการ - ทั้งสองส่วนของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยจำนวนหรือนิพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกันได้ เมื่อแก้สมการต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ:

ก) 6 x +1=− 4 x ; ข) 8 + 7 x \u003d 9 x +4; ค) 4(x − 8)=− 5.

วิธีการแก้.

ก) โดยวิธีการโอนเราแก้

6x + 4x = -1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0.1.

การตรวจสอบ:

คำตอบ: -0.1

b) ในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราแก้ไขโดยวิธีการถ่ายโอน:

คำตอบ: 2.

c) ในสมการนี้ จำเป็นต้องเปิดวงเล็บโดยใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณในส่วนที่เกี่ยวกับการดำเนินการบวก

คำตอบ: 6.75.

1.2 สมการกำลังสอง

พิมพ์สมการ เรียกว่าสมการกำลังสอง โดยที่เอ - ค่าสัมประสิทธิ์อาวุโสข คือสัมประสิทธิ์เฉลี่ย c คือเทอมอิสระ

ขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ a, b และ c - สมการจะสมบูรณ์หรือไม่สมบูรณ์ ลดลงหรือไม่ลดก็ได้

1.2.1 สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

พิจารณาวิธีแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

1) มาเริ่มจัดการกับคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทแรกสำหรับ c=0 . สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์ของแบบฟอร์มก x 2 +ข x=0 ให้คุณแก้ได้วิธีการแยกตัวประกอบ. โดยเฉพาะวิธีวงเล็บ

เห็นได้ชัดว่าเราสามารถอยู่ทางด้านซ้ายของสมการซึ่งเพียงพอที่จะเอาปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ x . วิธีนี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เดิมไปเป็นสมการเทียบเท่าของรูปแบบได้: x·(a·x+b)=0 .

และสมการนี้เทียบเท่ากับการรวมกันของสองสมการ x=0 หรือ x+b=0 อันสุดท้ายเป็นแบบเส้นตรงและมีรูท x=− .

a x 2 +b x=0 มีสองราก

x=0 และ x=− .

2) ตอนนี้ให้พิจารณาว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้รับการแก้ไขอย่างไรโดยสัมประสิทธิ์ b เป็นศูนย์และ c≠0 นั่นคือสมการของรูปแบบก x 2 +c=0 . เรารู้ว่าการถ่ายโอนเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่งด้วยเครื่องหมายตรงข้าม เช่นเดียวกับการหารสมการทั้งสองข้างด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้สมการที่เท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถแปลงสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้ดังต่อไปนี้ก x 2 +c=0 :

ย้าย c ทางด้านขวาซึ่งให้สมการก x 2 =−c ,
และแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น a เราได้รับ

สมการที่ได้ทำให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากเหง้าของมันได้

ถ้าตัวเลข เป็นลบ แล้วสมการก็ไม่มีราก ข้อความนี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของจำนวนใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่ติดลบ

ถ้า เป็นจำนวนบวก ดังนั้นสถานการณ์ที่มีรากของสมการจะต่างกัน ในกรณีนี้ คุณต้องจำไว้ว่ามีรากของสมการ มันคือตัวเลข รากของสมการคำนวณตามรูปแบบ:

เป็นที่ทราบกันว่าการแทนที่ลงในสมการแทน x รากของมันเปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

มาสรุปข้อมูลในย่อหน้านี้กัน สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์ก x 2 +c=0 เท่ากับสมการ, ที่

3) คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งสัมประสิทธิ์ขและค เท่ากับศูนย์ นั่นคือ จากสมการของรูปแบบก x 2 \u003d 0 สมการ a x 2 =0 ตาม x 2 =0 ซึ่งได้มาจากต้นฉบับโดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เอ . เห็นได้ชัดว่ารากของสมการ x2=0 เป็นศูนย์เพราะ 0 2 =0 . สมการนี้ไม่มีรากอื่น

ดังนั้นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ก x 2 \u003d 0 มีรากเดียว x=0 .

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ: ก) x 2 \u003d 5x, ถ้าสมการมีหลายราก แสดงว่าในคำตอบนั้นมีค่าน้อยกว่า;

ข) , ถ้าสมการมีหลายราก ดังนั้นในคำตอบจะระบุจำนวนที่ใหญ่ที่สุด;

ค) x 2 −9=0 หากสมการมีหลายราก ให้ระบุรากที่เล็กกว่าในคำตอบของคุณ

วิธีการแก้.

เราได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งไม่มีเทอมอิสระ เราแก้โดยวิธีถอดวงเล็บ

ที่ สมการสามารถมีรากได้ 2 ราก รากที่เล็กกว่าคือ 0

คำตอบ: 0.

ข) . เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราใช้วิธีการถ่ายคร่อม

ในคำตอบ คุณต้องระบุรากที่ใหญ่ที่สุด นั่นคือหมายเลข 2

คำตอบ: 2.

ใน) . สมการนี้เป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งไม่มีสัมประสิทธิ์เฉลี่ย

รากที่เล็กที่สุดคือจำนวน - 3

คำตอบ: -3.

1.2.2 สมบูรณ์สมการกำลังสอง

1. Discriminant สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

มีสูตรราก.

มาเขียนกันเถอะ สูตรรากของสมการกำลังสองทีละขั้นตอน:

1) D=b 2 −4 a c - ที่เรียกว่า.

ก) ถ้า D

b) ถ้า D>0 แล้วสมการไม่มีรากเดียว:

ค) ถ้า D ไม่มีสองราก:

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก

ในทางปฏิบัติ เมื่อแก้สมการกำลังสอง คุณสามารถใช้สูตรรากได้ทันที เพื่อคำนวณค่าของพวกมัน แต่นี่เป็นเรื่องเกี่ยวกับการค้นหารากที่ซับซ้อนมากกว่า

อย่างไรก็ตาม ใน หลักสูตรโรงเรียนพีชคณิตมักจะไม่ซับซ้อน แต่เกี่ยวกับรากที่แท้จริงของสมการกำลังสอง ในกรณีนี้ แนะนำให้หา discriminant ก่อนใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่เป็นลบ (ไม่เช่นนั้น เราจะสรุปได้ว่าสมการไม่มีรากจริง) และหลังจากนั้น คำนวณค่าของราก

เหตุผลข้างต้นทำให้เราเขียนได้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง. ในการแก้สมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 คุณต้องการ:

โดยสูตรแยกแยะ D=b 2 −4 a c คำนวณมูลค่าของมัน
สรุปได้ว่าสมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงหากการจำแนกเป็นลบ
คำนวณรากเดียวของสมการโดยสูตร ifง=0 ;
หารากจริงสองรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก ถ้า discriminant เป็นค่าบวก

2. Discriminant สูตรที่สองของรากของสมการกำลังสอง (สำหรับค่าสัมประสิทธิ์คู่ที่สอง)

เพื่อแก้สมการกำลังสองของแบบฟอร์มโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน b=2k มีอีกสูตรหนึ่ง

มาเขียนใหม่ สูตรหารากของสมการกำลังสองสำหรับ:

1) D’=k 2 −a c - ที่เรียกว่าจำแนกสมการกำลังสอง.

ก) ถ้า D' ไม่มีรากที่แท้จริง

b) ถ้า D'>0 แล้วสมการไม่มีรากเดียว:

ค) ถ้า D' ไม่มีสองราก:

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการ 2x 2 −3x+1=0.. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนรูทที่ใหญ่กว่าในคำตอบ

วิธีการแก้. ในกรณีแรก เรามีสัมประสิทธิ์สมการกำลังสองดังต่อไปนี้: a=2 , b=-3 และ c=1 D=b 2 −4 a c=(-3) 2 −4 2 1=9-8=1 . ตั้งแต่ 1>0

เรามี ได้รากสองอัน ใหญ่สุดคือเลข 1

คำตอบ: 1.

ตัวอย่างที่ 5 แก้สมการ x 2 -21=4x.

ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

วิธีการแก้. โดยการเปรียบเทียบกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราเลื่อน 4h ไปทางซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับและรับ:

ในกรณีนี้ เรามีสัมประสิทธิ์สมการกำลังสองดังต่อไปนี้: a=1 , k=-2 และ c=-21 . ตามอัลกอริธึม คุณต้องคำนวณ discriminant ก่อน D'=k 2 −a c=(-2) 2 −1 (-21)=4+21=25 . หมายเลข 25>0 นั่นคือ ดิสคริมิแนนต์มีค่ามากกว่าศูนย์ จากนั้นสมการกำลังสองจะมีรากจริงสองราก หาได้จากสูตรราก

คำตอบ: 7.

1.2.3 วิธีการเฉพาะในการแก้สมการกำลังสอง

1) ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ทฤษฎีบทของเวียตา

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองแสดงรากของสมการในแง่ของสัมประสิทธิ์ ตามสูตรของราก คุณสามารถรับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์ได้

สูตรที่มีชื่อเสียงและใช้งานได้จริงเรียกว่าทฤษฎีบทของเวียตา

ทฤษฎีบท: Let - รากของสมการกำลังสองลดลง. จากนั้นผลคูณของรูตจะเท่ากับเทอมอิสระ และผลรวมของรูตจะเท่ากับค่าตรงข้ามของสัมประสิทธิ์ที่สอง:

การใช้สูตรที่เขียนไว้แล้ว คุณจะได้รับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแสดงผลรวมของกำลังสองของรากของสมการกำลังสองในรูปของสัมประสิทธิ์

ตัวอย่างที่ 6 ก) แก้สมการ x 2

b) แก้สมการ x 2

c) แก้สมการ x 2

วิธีการแก้.

ก) แก้สมการ x 2 −6x+5=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

เลือกรากที่เล็กที่สุด

คำตอบ: 1

b) แก้สมการ x 2 +7x+10=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

การใช้ทฤษฎีบทเวียตาเราเขียนสูตรสำหรับรูต

ตามตรรกะแล้วสรุปได้ว่า. เลือกรากที่ใหญ่ที่สุด

คำตอบ: ─2.

c) แก้สมการ x 2 ─5x─14=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

การใช้ทฤษฎีบทเวียตาเราเขียนสูตรสำหรับรูต

ตามตรรกะแล้วสรุปได้ว่า. เลือกรากที่เล็กที่สุด

คำตอบ: ─2.

1.3 สมการตรรกยะ

หากคุณได้รับสมการที่มีเศษส่วนของรูปแบบด้วยตัวแปรในตัวเศษหรือตัวส่วน นิพจน์ดังกล่าวจึงเรียกว่าสมการตรรกยะ สมการตรรกยะคือสมการใดๆ ที่มีนิพจน์ตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งพจน์ สมการตรรกยะถูกแก้ด้วยวิธีเดียวกับสมการใดๆ: ดำเนินการแบบเดียวกันทั้งสองด้านของสมการจนกว่าตัวแปรจะถูกแยกออกที่ด้านหนึ่งของสมการ อย่างไรก็ตาม มี 2 วิธีในการแก้สมการตรรกยะ

1) การคูณตามขวางหากจำเป็น ให้เขียนสมการที่มอบให้คุณใหม่เพื่อให้แต่ละด้านมีเศษส่วน (นิพจน์ตรรกยะ 1 พจน์) จากนั้นคุณสามารถใช้วิธีการคูณข้ามได้

คูณตัวเศษของเศษส่วนด้านซ้ายด้วยตัวส่วนของด้านขวา ทำซ้ำกับตัวเศษของเศษส่วนทางขวาและตัวส่วนทางซ้าย

การคูณตามขวางขึ้นอยู่กับหลักการพีชคณิตพื้นฐาน ในนิพจน์ตรรกยะและเศษส่วนอื่นๆ คุณสามารถกำจัดตัวเศษได้โดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองตามลำดับ
เทียบนิพจน์ผลลัพธ์และทำให้ง่ายขึ้น
แก้สมการผลลัพธ์ นั่นคือ หา "x" ถ้า "x" อยู่บนทั้งสองข้างของสมการ ให้แยกมันที่ด้านหนึ่งของสมการ

2) ตัวส่วนร่วมน้อย (LCD) ใช้เพื่อทำให้สมการนี้ง่ายขึ้นวิธีนี้ใช้เมื่อคุณไม่สามารถเขียนสมการที่กำหนดด้วยนิพจน์ตรรกยะหนึ่งอันในแต่ละด้านของสมการได้ (และใช้วิธีคูณไขว้) วิธีนี้ใช้เมื่อคุณได้รับสมการตรรกยะที่มีเศษส่วนตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป (ในกรณีของเศษส่วนสองเศษส่วน การคูณไขว้จะดีกว่า)

หาตัวส่วนร่วมน้อยของเศษส่วน (หรือตัวคูณร่วมน้อย)NOZ คือจำนวนที่น้อยที่สุดที่ตัวหารแต่ละตัวหารลงตัว
คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยจำนวนเท่ากับผลลัพธ์ของการหาร NOZ ด้วยตัวส่วนที่สอดคล้องกันของเศษส่วนแต่ละส่วน
หา x ตอนนี้คุณลดเศษส่วนเป็นตัวส่วนร่วมแล้ว คุณสามารถกำจัดตัวส่วนได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณแต่ละด้านของสมการด้วยตัวส่วนร่วม จากนั้นแก้สมการผลลัพธ์ นั่นคือ หา "x" เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แยกตัวแปรที่ด้านหนึ่งของสมการ

ตัวอย่าง 7 แก้สมการ: ก); ข) ค)

วิธีการแก้.

ก) . เราใช้วิธีคูณไขว้

เปิดวงเล็บและเพิ่มคำที่ชอบ

ได้ สมการเชิงเส้นกับหนึ่งที่ไม่รู้จัก

คำตอบ: ─10.

ข) ในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราใช้วิธีการคูณไขว้กัน

คำตอบ: ─1.9.

ใน) เราใช้วิธีตัวหารร่วมน้อย (LCD)

ในตัวอย่างนี้ ตัวส่วนร่วมจะเป็น 12

คำตอบ: 5.

บทที่ 2 สมการเชิงซ้อน

สมการที่อยู่ในหมวดหมู่ของสมการที่ซับซ้อนสามารถรวมวิธีการและเทคนิคต่างๆ ในการแก้สมการได้ แต่ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง สมการทั้งหมดโดยวิธีการให้เหตุผลเชิงตรรกะและการกระทำที่เทียบเท่านำไปสู่สมการที่ศึกษาก่อนหน้านี้

ตัวอย่าง 7 แก้สมการ ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

วิธีการแก้. ตามสูตรการคูณแบบย่อ เราจะเปิดวงเล็บ:

เราโอนเงื่อนไขทั้งหมดเกินกว่าเครื่องหมายเท่ากับและให้คำที่คล้ายกัน

คำตอบ: 5.5.

ตัวอย่างที่ 8 แก้สมการ: ก)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

วิธีการแก้.

ก)(− 5 x +3)(− x +6)=0; เปิดวงเล็บและให้เงื่อนไขเช่น

ได้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ ซึ่งเราจะแก้ด้วยสูตรแรกของ discriminant

สมการมีสองราก

คำตอบ: 0.6 และ 6

ข) (x +2)(− x +6)=0 สำหรับสมการนี้ เราจะใช้เหตุผลเชิงตรรกะ (ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับศูนย์) วิธี

คำตอบ: ─2 และ 6

ตัวอย่างที่ 9 แก้สมการ:ข)

วิธีการแก้. การหาตัวส่วนร่วมต่ำสุด

เราเขียนจากมากไปหาน้อยของกำลังของตัวแปร

; ได้สมการกำลังสองสมบูรณ์พร้อมสัมประสิทธิ์วินาทีคู่

สมการมีสองรากจริง

ตอบ: .

ข) . การให้เหตุผลนั้นคล้ายคลึงกัน ก) หา NOZ

เปิดวงเล็บและให้คำที่ชอบ

เราแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้สูตรทั่วไป

ตอบ: .

ตัวอย่าง 10 แก้สมการ:

วิธีการแก้.

ก) , เราสังเกตว่าทางด้านซ้ายนิพจน์ภายในวงเล็บเป็นสูตรสำหรับการคูณแบบย่อ, แม่นยำยิ่งขึ้นคือกำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์ มาแปลงร่างกันเถอะ

; ย้ายเงื่อนไขของสมการนี้ไปในทิศทางเดียว

เอาออกจากวงเล็บ

ผลิตภัณฑ์เป็นศูนย์เมื่อปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งเป็นศูนย์ วิธี,

คำตอบ: ─2, ─1 และ 1

ข) เราโต้แย้งในลักษณะเดียวกับตัวอย่าง ก)

, โดยทฤษฎีบทของเวียตา

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 11 แก้สมการก)

วิธีการแก้.

ก) ; [ ทางซ้ายและขวาของสมการ เราใช้วิธีถ่ายคร่อมก็ได้ และทางซ้ายเราจะเอาออกและทางด้านขวาเราเอาหมายเลข 16.]

[ย้ายทุกอย่างไปด้านเดียวแล้วใช้วิธีถ่ายคร่อมอีกครั้ง เราจะเอาปัจจัยร่วมออก]

[ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งเป็นศูนย์]

ตอบ:

ข) . [สมการนี้คล้ายกับสมการ a) ดังนั้น ในกรณีนี้ วิธีการจัดกลุ่มจะมีผลบังคับใช้]

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 12 แก้สมการ=0.

วิธีการแก้.

0 [สมการกำลังสอง แก้ไขโดยการเปลี่ยนวิธีตัวแปร].

0; [การใช้ทฤษฎีบทเวียตาเราจะได้ราก]

. [กลับไปที่ตัวแปรก่อนหน้า]

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 13 แก้สมการ

วิธีการแก้. [สมการกำลังสอง กำจัดดีกรีคู่โดยใช้เครื่องหมายโมดูโล]

[เราได้สมการกำลังสองสองสมการ ซึ่งเราแก้ด้วยสูตรพื้นฐานของรากของสมการกำลังสอง]

ไม่มีรากจริง สมการมีสองราก

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 14 แก้สมการ

วิธีการแก้.

โอดีซี:

[เราย้ายพจน์ทั้งหมดของสมการไปทางด้านซ้ายและนำพจน์ที่เหมือนกันมา]

[เราได้สมการกำลังสองลดรูป ซึ่งแก้ได้ง่ายๆ ด้วยทฤษฎีบทเวียตา]

ตัวเลข - 1 ไม่เป็นไปตาม ODZ ของสมการที่กำหนด ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นรากของสมการนี้ได้ ดังนั้นรูทจึงเป็นเลข 7 เท่านั้น

คำตอบ: 7.

ตัวอย่างที่ 15 แก้สมการ

วิธีการแก้.

ผลรวมของกำลังสองของนิพจน์สองนิพจน์สามารถเท่ากับศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อนิพจน์มีค่าเท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน กล่าวคือ

[แก้สมการแต่ละข้อแยกกัน]

ตามทฤษฎีบทของเวียตา

ความบังเอิญของรากเท่ากับ -5 จะเป็นรากของสมการ

คำตอบ: - 5.

บทสรุป

เมื่อสรุปผลงานแล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าสมการมีบทบาทอย่างมากในการพัฒนาคณิตศาสตร์ เราจัดระบบความรู้ที่ได้รับ สรุปเนื้อหาที่ครอบคลุม ความรู้นี้สามารถเตรียมเราให้พร้อมสำหรับการสอบที่จะเกิดขึ้น

งานของเราทำให้เราสามารถมองปัญหาที่คณิตศาสตร์กำหนดไว้ข้างหน้าเราแตกต่างออกไป

ในตอนท้ายของโครงการ เราได้จัดระบบและสรุปวิธีการที่ศึกษาก่อนหน้านี้สำหรับการแก้สมการ
ทำความคุ้นเคยกับวิธีการใหม่ในการแก้สมการและคุณสมบัติของสมการ

พิจารณาสมการทุกประเภทที่อยู่ในงานของ อปท. ทั้งในภาคแรกและภาคสอง
สร้างชุดระเบียบ "สมการในงานของ OGE"

เราเชื่อว่าเป้าหมายที่ตั้งไว้ข้างหน้าเราคือการพิจารณาสมการทุกประเภทในงานหลัก การสอบของรัฐในวิชาคณิตศาสตร์ที่เราประสบความสำเร็จ

รายการวรรณกรรมที่ใช้:

1. บี.วี. Gnedenko "คณิตศาสตร์ใน โลกสมัยใหม่". มอสโก "การตรัสรู้" 1980

2. Ya.I. Perelman "พีชคณิตแห่งความบันเทิง" มอสโก "วิทยาศาสตร์" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

เอกสารแนบ 1

สมการเชิงเส้น

1. หารากของสมการ

2. หารากของสมการ

3. หารากของสมการ

ภาคผนวก 2

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

1. แก้สมการ x 2 =5x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

2. แก้สมการ 2x 2 =8x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

3. แก้สมการ 3x 2 =9x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

4. แก้สมการ 4x 2 =20x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

5. แก้สมการ 5x 2 =35x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

6. แก้สมการ 6x 2 =36x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

7. แก้สมการ 7x 2 =42x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

8. แก้สมการ 8x 2 =72x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

9. แก้สมการ 9x 2 =54x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

10. แก้สมการ 10x2 =80x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

11. แก้สมการ 5x2 −10x=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

12. แก้สมการ 3x2 −9x=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

13. แก้สมการ 4x2 -16x=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

14. แก้สมการ 5x2 +15x=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

15. แก้สมการ 3x2 +18x=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

16. แก้สมการ 6x2 +24x=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

17. แก้สมการ 4x2 −20x=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

18. แก้สมการ 5x2 +20x=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

19. แก้สมการ 7x2 −14x=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

20. แก้สมการ 3x2 +12x=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

21. แก้สมการ x2 −9=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

22. แก้สมการ x2 −121=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

23. แก้สมการ x2 -16=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

24. แก้สมการ x2 −25=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

25. แก้สมการ x2 −49=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

26. แก้สมการ x2 −81=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

27. แก้สมการ x2 −4=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

28. แก้สมการ x2 −64=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

29. แก้สมการ x2 −36=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

30. แก้สมการ x2 −144=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

31. แก้สมการ x2 −9=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

32. แก้สมการ x2 −121=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

33. แก้สมการ x2 -16=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

34. แก้สมการ x2 −25=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

35. แก้สมการ x2 −49=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

36. แก้สมการ x2 −81=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

37. แก้สมการ x2 −4=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

38. แก้สมการ x2 −64=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

39. แก้สมการ x2 −36=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

40. แก้สมการ x2 −144=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

ภาคผนวก 3

สมการกำลังสองสมบูรณ์

1. แก้สมการ x2 +3x=10. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

2. แก้สมการ x2 +7x=18. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

3. แก้สมการ x2 +2x=15. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

4. แก้สมการ x2 −6x=16. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

5. แก้สมการ x2 −3x=18. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

6. แก้สมการ x2 −18=7x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

7. แก้สมการ x2 +4x=21. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

8. แก้สมการ x2 -21=4x ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

9. แก้สมการ x2 -15=2x ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

10. แก้สมการ x2 −5x=14. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

11. แก้สมการ x2 +6=5x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

12. แก้สมการ x2 +4=5 เท่า ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

13. แก้สมการ x2 −x=12. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

14. แก้สมการ x2 +4x=5. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

15. แก้สมการ x2 −7x=8. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

16. แก้สมการ x2 +7=8x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

17. แก้สมการ x2 +18=9x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

18. แก้สมการ x2 +10=7x. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

19. แก้สมการ x2 −20=x ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

20. แก้สมการ x2 −35=2x ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

21. แก้สมการ 2x2 −3x+1=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

22. แก้สมการ 5x2 +4x-1=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

23. แก้สมการ 2x2 +5x−7=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

24. แก้สมการ 5x2 -12x+7=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

25. แก้สมการ 5x2 −9x+4=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

26. แก้สมการ 8x2 -12x+4=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

27. แก้สมการ 8x2 −10x+2=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

28. แก้สมการ 6x2 −9x+3=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

29. แก้สมการ 5x2 +9x+4=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

30. แก้สมการ 5x2 +8x+3=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

31. แก้สมการ x2 −6x+5=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

32. แก้สมการ x2 −7x+10=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

33. แก้สมการ x2 −9x+18=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

34. แก้สมการ x2 −10x+24=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

35. แก้สมการ x2 -11x+30=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

36. แก้สมการ x2 −8x+12=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

37. แก้สมการ x2 −10x+21=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

38. แก้สมการ x2 −9x+8=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

39. แก้สมการ x2 −11x+18=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

40. แก้สมการ x2 -12x+20=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

ภาคผนวก 4

สมการตรรกยะ

1. หารากของสมการ

2. หารากของสมการ

3. หารากของสมการ

4. หารากของสมการ

5. หารากของสมการ

6. หารากของสมการ.

7. หารากของสมการ

8. หารากของสมการ

9. หารากของสมการ.

10. หารากของสมการ

11. หารากของสมการ.

12. หารากของสมการ

13. หารากของสมการ

14. หารากของสมการ

15. หารากของสมการ

16. หารากของสมการ

17. หารากของสมการ

18. หารากของสมการ

19. หารากของสมการ

20. หารากของสมการ

21. หารากของสมการ

22. หารากของสมการ

23. หารากของสมการ

ภาคผนวก 5

สมการที่ซับซ้อน

1. หารากของสมการ (x+3)2 =(x+8)2 .

2. หารากของสมการ (x-5)2 =(x+10)2 .

3. หารากของสมการ (x+9)2 =(x+6)2 .

4. หารากของสมการ (x+10)2 =(x−9)2 .

5. หารากของสมการ (x-5)2 =(x−8)2 .

6. หารากของสมการ.

7. หารากของสมการ.

8. หารากของสมการ.

9. หารากของสมการ.

10. หารากของสมการ.

11. แก้สมการ (x+2)(− x+6)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

12. แก้สมการ (x+3)(− x−2)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

13. แก้สมการ (x-11)(− x+9)=0 ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

14. แก้สมการ (x-1)(− x−4)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

15. แก้สมการ (x−2)(− x−1)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

16. แก้สมการ (x+20)(− x+10)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

17. แก้สมการ (x−2)(− x−3)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

18. แก้สมการ (x−7)(− x+2)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

19. แก้สมการ (x−5)(− x-10)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

20. แก้สมการ (x+10)(− x−8)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

21. แก้สมการ (− 5x+3)(− x+6)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

22. แก้สมการ (− 2x+1)(− 2x−7)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

23. แก้สมการ (− x−4)(3x+3)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

24. แก้สมการ (x−6)(4x−6)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

25. แก้สมการ (− 5x−3)(2x-1)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

26. แก้สมการ (x−2)(− 2x−3)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

27. แก้สมการ (5x+2)(− x−4)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

28. แก้สมการ (x−6)(− 5x−9)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

29. แก้สมการ (6x−3)(− x+3)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูทที่ใหญ่กว่า

30. แก้สมการ (5x−2)(− x+3)=0. ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูต ให้เขียนคำตอบที่มีรูตที่เล็กกว่า

31. แก้สมการ

32. แก้สมการ

33. แก้สมการ

34. แก้สมการ

35. แก้สมการ

36. แก้สมการ

37. แก้สมการ

38. แก้สมการ

39. แก้สมการ

40 แก้สมการ

41. แก้สมการ x(x2 +2x+1)=2(x+1)

42. แก้สมการ (x-1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. แก้สมการ x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. แก้สมการ (x-1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. แก้สมการ x(x2 +2x+1)=6(x+1)

46. แก้สมการ (x-1)(x2 +6x+9)=5(x+3)

47. แก้สมการ (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. แก้สมการ x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. แก้สมการ (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1)

50. แก้สมการ (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. แก้สมการ (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. แก้สมการ (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. แก้สมการ (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. แก้สมการ (x-1)4 −2(x-1)2 −3=0.

55. แก้สมการ (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. แก้สมการ (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. แก้สมการ (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. แก้สมการ (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. แก้สมการ (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. แก้สมการ (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. แก้สมการ x3 +3x2 =16x+48.

62. แก้สมการ x3 +4x2 =4x+16.

63. แก้สมการ x3 +6x2 =4x+24.

64. แก้สมการ x3 +6x2 =9x+54.

65. แก้สมการ x3 +3x2 =4x+12.

66. แก้สมการ x3 +2x2 =9x+18.

67. แก้สมการ x3 +7x2 =4x+28.

68. แก้สมการ x3 +4x2 =9x+36.

69. แก้สมการ x3 +5x2 =4x+20.

70. แก้สมการ x3 +5x2 =9x+45.

71. แก้สมการ x3 +3x2 −x−3=0.

72. แก้สมการ x3 +4x2 −4x−16=0.

73. แก้สมการ x3 +5x2 −x−5=0.

74. แก้สมการ x3 +2x2 −x−2=0.

75. แก้สมการ x3 +3x2 −4x−12=0.

76. แก้สมการ x3 +2x2 −9x−18=0.

77. แก้สมการ x3 +4x2 −x−4=0.

78. แก้สมการ x3 +4x2 −9x−36=0.

79. แก้สมการ x3 +5x2 −4x−20=0.
80. แก้สมการ x3 +5x2 −9x−45=0.

81. แก้สมการ x4 =(x−20)2 .

82. แก้สมการ x4 =(2x−15)2 .

83. แก้สมการ x4 =(3x-10)2 .

84. แก้สมการ x4 =(4x−5)2 .

85. แก้สมการ x4 =(x-12)2 .

86. แก้สมการ x4 =(2x−8)2 .

87. แก้สมการ x4 =(3x−4)2 .

88. แก้สมการ x4 =(x−6)2 .

89. แก้สมการ x4 =(2x−3)2 .

90. แก้สมการ x4 =(x−2)2 .

91. แก้สมการ

92. แก้สมการ

93. แก้สมการ

94. แก้สมการ

95. แก้สมการ

96. แก้สมการ

97. แก้สมการ

98. แก้สมการ

99. แก้สมการ

100. แก้สมการ

101. แก้สมการ.

102. แก้สมการ

103. แก้สมการ

104. แก้สมการ

105. แก้สมการ

106. แก้สมการ

107. แก้สมการ

108. แก้สมการ

109. แก้สมการ

110. แก้สมการ

ครู : Yurgenson Veronika Aleksandrovna

ระดับ: 9

เรื่อง: พีชคณิต

หัวข้อบทเรียน: การเตรียมบทเรียนสำหรับ OGE ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 "สมการกำลังสอง"

ขั้นตอนการเรียนรู้ในหัวข้อ : การเตรียมตัวสำหรับ อปท.

ประเภทบทเรียน: บทเรียนทั่วไปและการจัดระบบความรู้

เป้า:

กิจกรรม: การพัฒนาทักษะของนักเรียนในการดำเนินการตามระเบียบปฏิบัติ

ข้อมูล: - การพัฒนาวิธีการแก้สมการกำลังสอง

พัฒนาความสามารถในการเลือกวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลที่สุด

กำลังพัฒนา: เพื่อสร้างความสามารถหลักของนักเรียน: ข้อมูล (ความสามารถในการวิเคราะห์ข้อมูล เปรียบเทียบ สรุป), ปัญหา (ความสามารถในการก่อให้เกิดปัญหาและใช้ความรู้ที่มีอยู่เพื่อหาทางออกจากสถานการณ์); การสื่อสาร (ความสามารถในการทำงานเป็นกลุ่ม, ความสามารถในการฟังและได้ยินผู้อื่น, ยอมรับความคิดเห็นของผู้อื่น)

งานสำหรับครู:

มีส่วนทำให้ความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองเป็นจริง

จัดกิจกรรมการศึกษาเพื่อหาแนวทางแก้สมการกำลังสอง

สร้างเงื่อนไขสำหรับการก่อตัวของทักษะเพื่อพัฒนาความสามารถในการเลือกวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลมากที่สุด

สร้างเงื่อนไขสำหรับการก่อตัวของ UUD ด้านกฎระเบียบ: การกำหนดเป้าหมาย การประเมินตนเอง และการควบคุมตนเอง การวางแผน

เทคโนโลยี: การศึกษาหลายระดับ

วิธีการสอน: ภาพ, วาจา, วิธีการตรวจสอบร่วมกัน, วิธีการร่วมกันค้นหาทางออกที่ดีที่สุด, งานชั่วคราวในกลุ่ม, การสร้างสถานการณ์ปัญหา, การสืบพันธุ์ (การสอน, ภาพประกอบ, การอธิบาย, การฝึกปฏิบัติ) วิธีการควบคุมตนเอง

รูปแบบที่ใช้ของการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน:

แบบงานรวม (แบบสำรวจส่วนหน้า, งานปากเปล่า), งานกลุ่ม, งานเดี่ยว (งานอิสระ) ทำงานเป็นคู่ (สำรวจร่วมกัน)

อุปกรณ์และแหล่งข้อมูลหลัก:

คอมพิวเตอร์ โปรเจ็กเตอร์ หน้าจอ การนำเสนอบทเรียน ในหัวข้อ "วิธีการแก้สมการกำลังสอง"

แผ่นงานสำหรับการควบคุมและการควบคุมตนเอง

การ์ดงานสำหรับงานอิสระหลายระดับ

แผนที่เทคโนโลยีของบทเรียน:

กิจกรรม

นักเรียน

องค์กร

ทักทายนักเรียน

ทักทายคุณครู

การกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน แรงจูงใจ กิจกรรมการเรียนรู้นักเรียน

ในการรับรองขั้นสุดท้าย มักจะมีงานที่จำเป็นเพื่อให้สามารถแก้สมการกำลังสองได้

ข้อความเป้าหมายของบทเรียน :

วันนี้ในบทเรียนเราจะทำซ้ำ สรุป นำประเภทที่ศึกษา วิธีการและเทคนิคในการแก้สมการกำลังสองเข้าสู่ระบบ

จากผลงานของตน กล่าวคือ ตามจำนวนคะแนนที่ทำได้ทุกคนจะได้รับคะแนน

คำขวัญของบทเรียน: "เราคิด คิด ทำงาน และช่วยเหลือซึ่งกันและกัน"

(สไลด์2 ).

ฟังอาจารย์.

อัพเดทความรู้.

พวกเรามักจะเริ่มบทเรียนโดยการตรวจการบ้านของเรา

ใครจะพูดในสิ่งที่จำเป็นต้องทำซ้ำเกี่ยวกับสมการกำลังสอง?

สมการกำลังสองคืออะไร?

พวกเขาคืออะไร?

คุณรู้วิธีการแก้สมการกำลังสองอย่างไร?

ครูตอบคำถามและดำเนินการประเมินความรู้ด้วยตนเอง

ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบของความรู้

1. การควบคุมซึ่งกันและกัน

นี่คือสมการ (สไลด์ 3)

x 2 + 7 x – 18 = 0;

2 x 2 + 1 = 0;

x 2 –2 x + 9 = 0;

2 y 2 – 3ปี + 1 = 0;

2 y 2 = 1;

–2 x 2 – x + 1 = 0;

x 2 + 6 x = 0;

4x 2 =0;

– x 2 – 6 x=1

2 x+x 2 – 1=0

คุณมีการ์ดบนโต๊ะพร้อมคำถามที่คุณต้องตอบ (ภาคผนวก 1)

(สไลด์ 4 ) เราตรวจสอบผลลัพธ์ แลกเปลี่ยนการ์ดกับเพื่อนบ้าน

ตอบคำถาม

2. งานหน้าผากกับชั้นเรียน

บน(สไลด์ 5) มีการเขียนสูตรที่มีองค์ประกอบที่ขาดหายไป ภารกิจของชั้นเรียนคือค้นหาว่าสูตรนั้นเป็นสูตรใดและสิ่งใดที่ขาดหายไปในบันทึกของสูตรนี้

ดี = ข ² – * เอ * .

ดี > 0 , หมายถึง * รูท

ดี * 0 , ดังนั้น 1 รูท

ดี * 0 , วิธี * ราก.

ตอบคำถาม

ความรู้ที่ถูกต้อง

แก้สมการจากไพ่ สมาชิกคนหนึ่งในกลุ่มจะแสดงวิธีแก้ปัญหาบนกระดาน

เปรียบเทียบคำตอบของคุณกับคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับแต่ละคำตอบที่ถูกต้อง - 1 คะแนน

แก้สมการ

อธิบายการตัดสินใจ

งานหน้าผากกับชั้น

บอกฉันหน่อยได้ไหม คุณช่วยตอบคำถามของฉันทันทีโดยไม่ต้องคำนวณได้ไหม: "ผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสองคืออะไร" (คนหนึ่งที่กระดานดำเขียนสูตรของทฤษฎีบทของเวียตา)

(สไลด์6)

งานต่อไป: หาผลรวมและความแตกต่างของรากของสมการด้วยวาจาตามทฤษฎีบท:

(คำตอบ: 5 และ 6; 9 และ 20; -3 และ 2) ทำความคุ้นเคยกับการรับคำตอบของสมการกำลังสองในช่องปาก

พบทฤษฎีบทของเวียตา ประยุกต์กว้างและในสมการของรูปเอX 2 + ขx + ค = 0

การใช้คุณสมบัติบางอย่างทำให้เกิดข้อได้เปรียบที่สำคัญสำหรับการได้คำตอบอย่างรวดเร็วเมื่อแก้สมการกำลังสอง

พิจารณาคุณสมบัติเหล่านี้(สไลด์ 7)

1) เอ + ข+ c \u003d 0 x 1 = 1, x 2 = ส/ก.

5x 2 + 4x - 9 = 0; X 1 =1, x 2 = - 9/2.

2) ก -ข+ c = 0 x 1 = - 1, x 2 = - ส/ก.

ตัวอย่างเช่น: 4x 2 + 11x + 7 = 0; X 1 = - 1, x 2 = - 7/4.

(สไลด์8)

3) ก ถึง + จาก 0

ปากเปล่าแก้สมการ: x 2 + ขx + ไฟฟ้ากระแสสลับ = 0

หารรากด้วยก.

ก) 2x 2 – 11x + 5 = 0

เราแก้สมการด้วยวาจา: x 2 – 11x + 10 = 0 รากของมันคือ 1 และ 10 หารด้วย 2

แล้ว x 1 = , x 2 = 5.

ตอบ: ; 5.

(สไลด์ 9)

ค) 6x 2 –7x – 3 = 0

เราแก้สมการด้วยวาจา: x 2 –7x – 18 = 0 รากของมันคือ -2 และ 9 หารด้วย 6

แล้ว x 1 = - , x 2 = .

ตอบ: -; .

พวกเขาตอบคำถาม เติมช่องว่างความรู้

ทำงานเป็นกลุ่มหลายระดับ

แผนกต้อนรับ "ความสอดคล้อง"

แผนกต้อนรับ "จับผิด"

แก้สมการโดยใช้คุณสมบัติเหล่านี้(สไลด์ 10)

ฉันกลุ่ม.

1) หาผลรวมของรากของสมการ

2x 2 – 3x + 1 = 0

2) หาผลคูณของรากของสมการ

X 2 +9x +20 = 0

3) แก้สมการ

10x 2 – 8x - 2= 0

IIกลุ่ม.

1) หาผลรวมและผลคูณของรากของสมการ

3x 2 – 8x + 5 = 0

แก้สมการ

2)x 2 + 2x -24 = 0

3)2 x 2 -7x +5 = 0

สามกลุ่ม

แก้สมการ:

1)x 2 +5x-6=0

2)5x 2 -7x+2=0

3) 100x 2 -99x-199=0

แก้สมการ

ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา

การแก้ไขความรู้

2. เชื่อมโยงสมการกำลังสองและวิธีแก้ปัญหา:

(สไลด์ 11)

2x 2 – 3x + 11 = 0

7 x 2 = 8x

X 2 – 10x + 100 = 0

X 2 -5x -6 = 0

– 2x 2 + x +14= 0

-การแยกตัวประกอบ

- สูตรรากทั่วไป

- ทฤษฎีบทของเวียตา

3. ค้นหาข้อผิดพลาดในการแก้สมการ =

พวกที่เสร็จงานเร็วสามารถแก้งานเพิ่มเติมได้(สไลด์ 14) ที่เขียนไว้บนกระดาน

เมื่อเสร็จแล้วจะมีการตรวจสอบอย่างรวดเร็ว(สไลด์ 15)

ตอนนี้คำนวณจำนวนคะแนนทั้งหมดและให้คะแนนตัวเอง(สไลด์ 16)

30-24 คะแนน - คะแนน 5;

23-18 คะแนน - คะแนน 4;

12-17 คะแนน -. คะแนน4

และทุกคนได้รับการประเมินจากครูสำหรับกิจกรรมความกล้าหาญความอุตสาหะ ถ้าวันนี้มีใครทำคะแนนไม่ได้สำหรับการประเมินในเชิงบวก ความสำเร็จก็ยังอยู่ข้างหน้าคุณ และมันจะอยู่กับคุณในครั้งต่อไปอย่างแน่นอน

แก้สมการ

ดำเนินการประเมินตนเอง

การสะท้อน.

ใครจะพูดสิ่งที่เราทำซ้ำในบทเรียนวันนี้

คุณชอบที่เราทำหรือไม่?

ต่อประโยค:

ตอนนี้ฉันรู้แน่...

ฉันเข้าใจ …

ฉันได้เรียนรู้ …

ความคิดเห็นของฉัน …

ทุกคนมีการ์ดสีอยู่บนโต๊ะ

หากคุณพอใจและพอใจกับบทเรียน ให้ยกกรีนการ์ด

หากบทเรียนน่าสนใจและคุณตั้งใจทำงาน ให้เพิ่ม - ใบเหลือง

ดำเนินการประเมินตนเอง

การบ้าน

(สไลด์ 17) แก้สมการจากสมุดงาน

การรับรองขั้นสุดท้ายของรัฐ

จบการศึกษาชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

เอ.วี. Semenov, A.S. Trepalin, I.V. Yashchenko

ตามระดับ

เลือกงานตามระดับของคุณ

วิเคราะห์งานครั้งที่ 4 ในหัวข้อ "การแก้สมการประเภทต่างๆ"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 9
คู่มือเชิงโต้ตอบ "กฎและแบบฝึกหัดในพีชคณิต" สำหรับเกรด 9
ตำรามัลติมีเดียสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 "พีชคณิตใน 10 นาที"

งานหมายเลข 4 ต้องการความสามารถในการแก้สมการประเภทต่างๆ พวกคุณควรเรียนรู้วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ถูกต้อง, สมการตรรกยะเศษส่วน, สมการเชิงเส้นธรรมดา คุณควรจะเก่งในการดำเนินการกับพหุนาม: การคูณและการหารของพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องการความสามารถในการเลือกรากของสมการที่อยู่ในพื้นที่คำตอบและกำหนดว่ารากใดควรละเว้นและละเว้นหรือไม่

บทเรียนที่จะช่วยให้คุณเตรียมตัวสำหรับงานนี้:

1. คำจำกัดความพื้นฐานและตัวอย่างคำตอบของฟังก์ชันเชิงเส้น
2. แนวคิดและรูปแบบมาตรฐานของโมโนเมียล
3. พหุนาม รูปแบบมาตรฐาน การลด การแปลง
4. ตัวอย่างนิพจน์ตัวเลข นิพจน์พีชคณิตกับตัวแปรและการกระทำกับพวกเขา
5. สมการ ตัวอย่างการแก้สมการ
6. สมการกำลังสอง บทเรียนในการพัฒนา
7. สมการเศษส่วน-ตรรกยะ บทเรียนในการพัฒนา
8. รากที่สอง บทเรียนในการพัฒนา

มาดูการวิเคราะห์ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหากัน

ตัวอย่าง 1
หารากของสมการ: $16x^2-1=0$

วิธีการแก้.
โปรดทราบว่าเราได้รับสมการกำลังสอง แต่ไม่ใช่สมการที่สมบูรณ์ สัมประสิทธิ์ที่ x เป็นศูนย์ จากนั้นเราจะได้รับคำแนะนำจากกฎ: "เราปล่อยให้นิพจน์ที่มี x กำลังสองทางด้านซ้าย และโอนตัวเลขทั้งหมดไปทางขวา"
ลองแปลงนิพจน์ของเรา: $16x^2=1$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ของ x กำลังสอง: $x^2=\frac(1)(16)$

ในการแก้สมการนี้ เราต้องการความรู้เกี่ยวกับรากที่สอง มาแยกรูทกัน อย่าลืมว่าเราจะต้องคำนึงถึงจำนวนลบด้วย: $x=±\sqrt(\frac(1)(16))=±\frac(1)(4)=±0.25$
คำตอบ: $x=±0.25$

ตัวอย่าง 2
แก้สมการ: $x^2=18-7x$.

วิธีการแก้.
ลองย้ายนิพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้ายของสมการกัน: $x^2+7x-18=0$

เราสามารถแก้สมการกำลังสองปกติได้สองวิธี:
1. "บนหน้าผาก" คำนวณการเลือกปฏิบัติ
2. ใช้ทฤษฎีบทของเวียต

1 ทาง.
ลองเขียนสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการกำลังสอง: $a=1$, $b=7$, $c=-18$

ค้นหาการเลือกปฏิบัติ: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$
เราพบว่าสมการมี 2 ราก
เรายังคงค้นหารากเหล่านี้:
$x_1=\frac(-b+\sqrt(D))(2a)=\frac(-7+11)(2)=2$.
$x_2=\frac(-b-\sqrt(D))(2a)=\frac(-7-11)(2)=-9$.

2 ทาง.
ลองใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้ากัน ทฤษฎีบทของ Viette มักจะทำให้การแก้สมการกำลังสองง่ายขึ้นหลายครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสัมประสิทธิ์ $a=1$ ในกรณีนี้ ผลคูณของรากของสมการจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ $c$ และผลรวมของรากของสมการคือลบค่าสัมประสิทธิ์ของ $b$:
$x_1+x_2=-\frac(b)(a)$.
$x_1*x_2=\frac(c)(a)$.

ในตัวอย่างของเรา $c=-18$ และ $b=7$ เราเริ่มจัดเรียงคู่ของตัวเลขที่มีผลลัพธ์เท่ากับลบสิบแปด ตัวเลขแรกที่นึกถึงคือเก้าและสอง จากการคูณและการบวกแบบง่ายๆ เราสามารถมั่นใจได้ว่าราก $x=-9$ และ $x=2$ จะเหมาะกับเรา
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac(c)(a)$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac(b)(a)$.
คำตอบ: $x=-9$, $x=2$.

ตัวอย่างที่ 3
แก้สมการ: $x-\frac(x)(7)=\frac(15)(7)$.

วิธีการแก้.
เราได้สมการเชิงเส้นธรรมดาพร้อมสัมประสิทธิ์เศษส่วน ในการแก้สมการนี้ คุณต้องใช้เศษส่วนธรรมดาให้ถูกต้อง
ขั้นตอนแรกคือการแปลงด้านซ้ายของสมการโดยทำให้ง่ายขึ้น: $x-\frac(x)(7)=\frac(7x)(7)-\frac(x)(7)=\frac(6x )(7)$.
เราได้สมการ: $\frac(6x)(7)=\frac(15)(7)$.
หารด้านขวาของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ของ x: $x=\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))$.

พิจารณาการแบ่งแยกกัน: $\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))=\frac(15)(7)*\frac(7)(6)=\frac(15 )(6)=2\frac(3)(6)=2\frac(1)(2)=2.5$

ได้รับ: $x=2.5$
คำตอบ: $x=2.5$

ตัวอย่างที่ 4
แก้สมการ: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

วิธีการแก้.
วิธีที่ 1
ลองใช้สูตรผลรวมกำลังสอง: $(x+2)^2=x^2+4x+4$
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
ได้: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
มาทำให้สมการของเราง่ายขึ้น:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=12$.
$x=1$

วิธีที่ 2
เมื่อแก้สมการนี้ เราสามารถใช้ผลต่างของสูตรกำลังสองได้ $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$
$2x=2$
$x=1$
คำตอบ: $x=1$

ตัวอย่างที่ 5
แก้สมการ: $\frac(9)(x-14)=\frac(14)(x-9)$.

วิธีการแก้.
เราจะนำเสนอด้วยสมการตรรกยะเศษส่วน เมื่อแก้สมการเหล่านี้ โปรดจำไว้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ดังนั้นควรตรวจสอบรากของสมการเสมอโดยแทนที่พวกมันเป็นตัวส่วนของสมการดั้งเดิม
ลองใช้กฎการคูณไขว้กัน: $9(x-9)=14(x-14)$
เราได้สมการเชิงเส้น:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$x=23$
หลังจากตรวจสอบรากของเราแล้ว เราต้องแน่ใจว่าตัวส่วนของเศษส่วนของสมการดั้งเดิมไม่หายไป
คำตอบ: $x=23$.

ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาโซลูชันที่ตรงกับระบบ: $\begin (กรณี) x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end (กรณี)$

วิธีการแก้.
อันดับแรก เราแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียต ผลคูณของรากของเราคือ $22$ และผลรวมคือ $-9$
มาเริ่มกันเลย:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
เรามีรากที่สอง: $x_1=-11$ และ $x_2=2$ จากรากเหล่านี้ รากแรกตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน $x≤1$ และมันจะเป็นคำตอบ
คำตอบ: $x=-11$.

ตัวอย่าง 7
แก้สมการ: $23x-60-x^2=0$.
ในคำตอบของคุณ ให้ระบุโมดูลัสของความแตกต่างของราก

วิธีการแก้.
คูณสมการเดิมด้วย $-1$: $x^2-23x+60=0$
ในรูปแบบนี้ สมการจะดูคุ้นเคยกว่ามาก
ลองใช้ทฤษฎีบทของ Viette และแทนสมการของเราเป็นผลคูณของสองเทอม:
$(x-20)(x-3)=0$.
เราได้รากที่สอง $x_1=20$ และ $x_2=3$
มาหาโมดูลัสของความแตกต่างกัน: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$
คำตอบ: 17.

ตัวอย่างที่ 8
สมการ $x^6-x^2=0 มีกี่ราก?$

วิธีการแก้.
ลองเอาดีกรีที่เล็กที่สุดออกมา: $x^2(x^4-1)=0$
ตอนนี้เราใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
ลองใช้สูตรเดิมอีกครั้ง:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$
สมการนี้เทียบเท่ากับชุดสมการ เราพบว่าสมการนี้มีรากสามราก
คำตอบ: 3.

ตัวอย่างที่ 9
แก้สมการ: $\frac((x-2)(2x+1))(2-x)=0$.
ถ้าสมการมีมากกว่าหนึ่งรูท ให้เขียนคำตอบที่ใหญ่กว่า

วิธีการแก้.
สมการเดิมจะเท่ากับเซตต่อไปนี้: มาแก้สมการแต่ละสมการกัน: เนื่องจากตัวส่วนของเศษส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ เราจึงไม่มีคำตอบเดียว เราได้หนึ่งรูทของสมการ $x=-0.5$
คำตอบ: -0.5.

Alexander Shabalin

สมการกำลังสองมีการศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a , b และ c เป็นตัวเลขทั่วไป และ a ≠ 0

ก่อนศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ เราสังเกตว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามคลาส:

ไม่มีราก
พวกมันมีรากเดียว
พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รูทจะมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะกำหนดจำนวนรากของสมการได้อย่างไร? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้น discriminant ก็แค่ตัวเลข D = b 2 − 4ac

สูตรนี้ต้องรู้ใจ มันมาจากไหนไม่สำคัญในตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: จากเครื่องหมายของ discriminant คุณสามารถกำหนดจำนวนรากของสมการกำลังสองได้ กล่าวคือ:

ถ้าD< 0, корней нет;
ถ้า D = 0 จะมีหนึ่งรูทพอดี
ถ้า D > 0 จะมีสองราก

โปรดทราบ: การเลือกปฏิบัติระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณทั้งหมด ด้วยเหตุผลบางอย่างที่หลายคนคิด ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีรากกี่ราก:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0

เราเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกและหาตัวจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นสมการจึงมีรากต่างกันสองราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายยังคงอยู่:
ก = 1; ข = -6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การเลือกปฏิบัติเท่ากับศูนย์ - รูตจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่ามีการเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละสมการ ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ - แต่คุณจะไม่สับสนและไม่ทำผิดพลาดโง่ ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณ "เติมมือ" อีกครู่หนึ่ง คุณจะไม่ต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดอีกต่อไป คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้ที่ไหนสักแห่งหลังจากแก้สมการได้ 50-70 ครั้ง - โดยทั่วไปไม่มากนัก

รากของสมการกำลังสอง

ทีนี้มาดูวิธีแก้ปัญหากัน หาก discriminant D > 0 สามารถหารากได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 (-1) 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหากัน

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ในที่สุด สมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท ใช้สูตรไหนก็ได้ ตัวอย่างเช่น อันแรก:

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง ทุกอย่างง่ายมาก ถ้ารู้สูตรแล้วนับได้ก็ไม่มีปัญหา ข้อผิดพลาดส่วนใหญ่มักเกิดขึ้นเมื่อแทนค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบในสูตร อีกครั้งที่เทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรอย่างแท้จริง ระบายสีแต่ละขั้นตอน - และกำจัดข้อผิดพลาดในไม่ช้า

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองค่อนข้างแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความ ตัวอย่างเช่น:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0

มันง่ายที่จะเห็นว่าไม่มีคำศัพท์หนึ่งในสมการเหล่านี้ สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน: ไม่จำเป็นต้องคำนวณการเลือกปฏิบัติด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 เช่น สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่ากรณีที่ยากมากเป็นไปได้เมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองนี้มีค่าเท่ากับศูนย์: b \u003d c \u003d 0 ในกรณีนี้ สมการจะใช้รูปแบบ ax 2 \u003d 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีสมการเดียว รูท: x \u003d 0

ลองพิจารณากรณีอื่นๆ ให้ b \u003d 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c \u003d 0 ลองแปลงเล็กน้อย:

เนื่องจากสแควร์รูทเลขคณิตมีอยู่เฉพาะจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลเมื่อ (−c / a ) ≥ 0 เท่านั้น

หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน (−c / a ) ≥ 0 จะมีรากสองราก สูตรได้รับข้างต้น
ถ้า (−c / a )< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องใช้การเลือกปฏิบัติ - ไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ อันที่จริง ไม่จำเป็นต้องจำอสมการ (−c / a ) ≥ 0 ด้วยซ้ำ แค่แสดงค่าของ x 2 และดูว่าอะไรอยู่อีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับ หากมีจำนวนบวก จะมีรากสองราก ถ้าลบก็จะไม่มีรากเลย

ทีนี้มาจัดการกับสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระจะเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป เราจะวิเคราะห์สมการเหล่านี้หลายประการ:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6 ไม่มีรากเพราะ กำลังสองต้องไม่เท่ากับจำนวนลบ

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.