สมการเชิงอนุพันธ์ วิธีการแปรผันของค่าคงที่ วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

พิจารณาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันเชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่าด้วยสัมประสิทธิ์คงที่โดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่ลากรองจ์ วิธีการลากรองจ์ยังใช้ได้กับการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นใดๆ หากทราบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของสมการเอกพันธ์

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย:

วิธีลากรองจ์ (การเปลี่ยนแปลงของค่าคงที่)

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ของลำดับที่ n โดยพลการ:
(1) .
วิธีการแปรผันคงที่ซึ่งเราพิจารณาสำหรับสมการลำดับที่หนึ่งนั้นใช้ได้กับสมการของลำดับที่สูงกว่าเช่นกัน

การแก้ปัญหาจะดำเนินการในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เราทิ้งด้านขวาและแก้สมการเอกพันธ์ เป็นผลให้เราได้รับโซลูชันที่มีค่าคงที่โดยพลการ n ในขั้นตอนที่สอง เราเปลี่ยนค่าคงที่ นั่นคือ เราถือว่าค่าคงที่เหล่านี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x และหารูปแบบของฟังก์ชันเหล่านี้

แม้ว่าเรากำลังพิจารณาสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่อยู่ที่นี่ แต่ วิธีการลากรองจ์ยังใช้ได้กับการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นใดๆ อีกด้วย. อย่างไรก็ตาม สำหรับสิ่งนี้ ต้องรู้ระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเอกพันธ์

ขั้นตอนที่ 1 การแก้สมการเอกพันธ์

ในกรณีของสมการลำดับที่หนึ่ง เราจะมองหา การตัดสินใจร่วมกันสมการเอกพันธ์ เท่ากับส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็นศูนย์:
(2) .
คำตอบทั่วไปของสมการดังกล่าวมีรูปแบบดังนี้
(3) .
นี่คือค่าคงที่โดยพลการ - n คำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเอกพันธ์ (2) ซึ่งเป็นระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการนี้

ขั้นตอนที่ 2 การเปลี่ยนแปลงของค่าคงที่ - การแทนที่ค่าคงที่ด้วยฟังก์ชัน

ในขั้นตอนที่สอง เราจะจัดการกับความแปรผันของค่าคงที่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะแทนที่ค่าคงที่ด้วยฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x :
.
นั่นคือ เรากำลังหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (1) ในรูปแบบต่อไปนี้:
(4) .

ถ้าเราแทน (4) เป็น (1) เราจะได้สมการอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชัน n ฟังก์ชัน ในกรณีนี้ เราสามารถเชื่อมฟังก์ชันเหล่านี้กับสมการเพิ่มเติมได้ จากนั้นคุณจะได้สมการ n สมการ ซึ่งคุณสามารถกำหนดฟังก์ชัน n ได้ สามารถเขียนสมการเพิ่มเติมได้หลายวิธี แต่เราจะทำในลักษณะที่วิธีแก้ปัญหามีรูปแบบที่ง่ายที่สุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เมื่อสร้างความแตกต่าง คุณต้องถือพจน์ศูนย์ที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เรามาสาธิตเรื่องนี้กัน

เพื่อแทนที่คำตอบที่เสนอ (4) ลงในสมการดั้งเดิม (1) เราจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของคำสั่ง n ตัวแรกของฟังก์ชันที่เขียนในรูปแบบ (4) สร้างความแตกต่าง (4) โดยใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลรวมและผลิตภัณฑ์:
.
มาจัดกลุ่มสมาชิกกันเถอะ อันดับแรก เราเขียนเงื่อนไขที่มีอนุพันธ์ของ และจากนั้นเงื่อนไขที่มีอนุพันธ์ของ :

.
เรากำหนดเงื่อนไขแรกในฟังก์ชัน:
(5.1) .
จากนั้นนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับ 1 จะมีรูปแบบที่ง่ายกว่า:
(6.1) .

ในทำนองเดียวกัน เราพบอนุพันธ์อันดับสอง:

.
เรากำหนดเงื่อนไขที่สองในฟังก์ชัน:
(5.2) .
แล้ว
(6.2) .
และอื่นๆ. ภายใต้เงื่อนไขเพิ่มเติม เราจัดเงื่อนไขที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันให้เป็นศูนย์

ดังนั้น หากเราเลือกสมการเพิ่มเติมต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชัน :
(5.k) ,
จากนั้นอนุพันธ์อันดับ 1 จะมีรูปแบบที่ง่ายที่สุด:
(6.k) .
ที่นี่ .

เราพบอนุพันธ์อันดับที่ n:
(6.n)
.

เราแทนที่ด้วยสมการดั้งเดิม (1):
(1) ;






.
เราคำนึงว่าฟังก์ชันทั้งหมดเป็นไปตามสมการ (2):
.
จากนั้นผลรวมของเงื่อนไขที่มีให้ศูนย์ เป็นผลให้เราได้รับ:
(7) .

เป็นผลให้เราได้ระบบสมการเชิงเส้นสำหรับอนุพันธ์:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

การแก้ระบบนี้ เราพบนิพจน์สำหรับอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันของ x การบูรณาการ เราได้รับ:
.
นี่คือค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นกับ x อีกต่อไป แทนที่ด้วย (4) เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม

โปรดทราบว่าเราไม่เคยใช้ความจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ a i เป็นค่าคงที่เพื่อกำหนดค่าของอนุพันธ์ นั่นเป็นเหตุผลที่ วิธี Lagrange ใช้ได้กับการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นใดๆถ้ารู้ระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเอกพันธ์ (2)

ตัวอย่าง

แก้สมการโดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่ (Lagrange)


เฉลยตัวอย่าง >> >

ดูสิ่งนี้ด้วย: คำตอบของสมการอันดับที่หนึ่งโดยวิธีการแปรผันคงที่ (ลากรองจ์)
การแก้สมการระดับสูงโดยวิธีเบอร์นูลลี
การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูงกว่าเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันด้วยสัมประสิทธิ์คงที่โดยการแทนที่เชิงเส้น

การบรรยายครั้งที่ 44. สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ สมการเอกพันธ์เชิงเส้นตรงของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ (พิเศษด้านขวา).

การเปลี่ยนแปลงทางสังคม รัฐและคริสตจักร

นโยบายทางสังคมของพวกบอลเชวิคส่วนใหญ่ถูกกำหนดโดยวิธีการทางชนชั้นของพวกเขาตามพระราชกฤษฎีกาเมื่อวันที่ 10 พฤศจิกายน พ.ศ. 2460 ระบบอสังหาริมทรัพย์ถูกยกเลิก ตำแหน่งก่อนการปฏิวัติ ตำแหน่งและรางวัลถูกยกเลิก การเลือกตั้งผู้พิพากษาได้รับการจัดตั้งขึ้น ฆราวาสของรัฐพลเรือนได้ดำเนินการ ก่อตั้งการศึกษาและการรักษาพยาบาลฟรี (พระราชกฤษฎีกา 31 ตุลาคม 2461) ผู้หญิงได้รับสิทธิเท่าเทียมกับผู้ชาย (พระราชกฤษฎีกาเมื่อวันที่ 16 และ 18 ธันวาคม พ.ศ. 2460) พระราชกฤษฎีกาการแต่งงานได้แนะนำสถาบันการแต่งงานทางแพ่ง

โดยคำสั่งของสภาผู้แทนราษฎรเมื่อวันที่ 20 มกราคม พ.ศ. 2461 คริสตจักรถูกแยกออกจากรัฐและจากระบบการศึกษา ส่วนใหญ่ของทรัพย์สินของคริสตจักรถูกยึด สังฆราช Tikhon แห่งมอสโกและรัสเซียทั้งหมด (เลือก 5 พฤศจิกายน 2460) เมื่อวันที่ 19 มกราคม 2461 ทำลายอำนาจของสหภาพโซเวียตและเรียกร้องให้ต่อสู้กับพวกบอลเชวิค

พิจารณาสมการลำดับที่สองที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น

โครงสร้างของการแก้ปัญหาทั่วไปของสมการดังกล่าวถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทที่ 1คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ (1) แสดงเป็นผลรวมของคำตอบเฉพาะของสมการนี้และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

การพิสูจน์. เราต้องพิสูจน์ว่าผลรวม

เป็นคำตอบทั่วไปของสมการ (1) ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน (3) เป็นคำตอบของสมการ (1)

แทนผลรวมเป็นสมการ (1) แทน ที่, จะมี

เนื่องจากมีคำตอบของสมการ (2) นิพจน์ในวงเล็บแรกจึงเท่ากับศูนย์เหมือนกัน เนื่องจากมีคำตอบของสมการ (1) นิพจน์ในวงเล็บที่สองจึงเท่ากับ เอฟ(x). ดังนั้น ความเสมอภาค (4) จึงเป็นอัตลักษณ์ ดังนั้นส่วนแรกของทฤษฎีบทจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ให้เราพิสูจน์การยืนยันที่สอง: นิพจน์ (3) is ทั่วไปแก้สมการ (1). เราต้องพิสูจน์ว่าสามารถเลือกค่าคงที่ตามอำเภอใจที่รวมอยู่ในนิพจน์นี้ได้ เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น:

เลขอะไรก็ได้ x 0, y 0และ (ถ้าเพียง x 0ถูกพรากไปจากบริเวณที่ทำหน้าที่ 1 , 2และ เอฟ(x)อย่างต่อเนื่อง)

โดยสังเกตว่าสามารถแสดงในรูปแบบ จากนั้นตามเงื่อนไข (5) เรามี

มาแก้ระบบนี้และหา ตั้งแต่ 1และ ตั้งแต่ 2. มาเขียนระบบใหม่เป็น:

โปรดทราบว่าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronsky สำหรับฟังก์ชัน 1และ ที่2ณ จุดนั้น x=x 0. เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้นตามสมมติฐาน ดีเทอร์มีแนนต์ Wronsky จึงไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นระบบ (6) จึงมีทางออกที่ชัดเจน ตั้งแต่ 1และ ตั้งแต่ 2, เช่น. มีค่าดังกล่าว ตั้งแต่ 1และ ตั้งแต่ 2ซึ่งสูตร (3) กำหนดคำตอบของสมการ (1) ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด คิวอีดี

มาต่อกันที่ วิธีการทั่วไปการหาคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์

ให้เราเขียนคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ (2)

เราจะมองหาคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ (1) ในรูปแบบ (7) โดยพิจารณาจาก ตั้งแต่ 1และ ตั้งแต่ 2เป็นคุณสมบัติบางอย่างที่ยังไม่เป็นที่รู้จักจาก เอ็กซ์

ให้เราแยกแยะความเท่าเทียมกัน (7):

เราเลือกฟังก์ชั่นที่ต้องการ ตั้งแต่ 1และ ตั้งแต่ 2เพื่อความเท่าเทียมกัน

หากพิจารณาเงื่อนไขเพิ่มเติมนี้ อนุพันธ์อันดับแรกจะใช้รูปแบบ

เมื่อแยกความแตกต่างของนิพจน์นี้ เราพบว่า:

แทนสมการ (1) เราจะได้

นิพจน์ในสองวงเล็บแรกหายไปเพราะ ปี1และ y2เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ ดังนั้นความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงอยู่ในรูป

ดังนั้น ฟังก์ชัน (7) จะเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ (1) ถ้าฟังก์ชัน ตั้งแต่ 1และ ตั้งแต่ 2เป็นไปตามสมการ (8) และ (9) ให้เราเขียนระบบสมการจากสมการ (8) และ (9)

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ Vronsky สำหรับโซลูชันอิสระเชิงเส้น ปี1และ y2สมการ (2) แล้วมันไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมื่อแก้ระบบเราจะพบทั้งฟังก์ชั่นบางอย่างของ X:

การแก้ปัญหาระบบนี้ เราพบว่า เป็นผลมาจากการรวมเข้าด้วยกัน เราได้รับ . ต่อไป เราแทนที่ฟังก์ชันที่พบลงในสูตร เราได้รับคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ โดยที่ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ขั้นต่ำตามทฤษฎี

ในทฤษฎีสมการอนุพันธ์ มีวิธีการที่อ้างว่ามีความเป็นสากลในระดับสูงเพียงพอสำหรับทฤษฎีนี้
เรากำลังพูดถึงวิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการ ใช้ได้กับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ระดับต่างๆ และ
ระบบต่างๆ นี่เป็นกรณีที่ทฤษฎี - หากคุณนำการพิสูจน์ข้อความจากวงเล็บ - น้อยที่สุด แต่ช่วยให้คุณบรรลุ
ผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญ ดังนั้นจุดเน้นหลักจะอยู่ที่ตัวอย่าง

แนวคิดทั่วไปของวิธีการนี้ค่อนข้างง่ายในการกำหนด ให้สมการที่ให้มา (ระบบสมการ) แก้ยากหรือเข้าใจยาก
วิธีแก้ปัญหา อย่างไรก็ตาม จะเห็นได้ว่าเมื่อคำศัพท์บางคำไม่รวมอยู่ในสมการก็จะได้รับการแก้ไข จากนั้นพวกเขาก็แก้ตัวให้ง่ายขึ้น
สมการ (ระบบ) รับคำตอบที่มีค่าคงที่ตามอำเภอใจจำนวนหนึ่ง - ขึ้นอยู่กับลำดับของสมการ (จำนวน
สมการในระบบ) จากนั้นจะสันนิษฐานว่าค่าคงที่ในคำตอบที่หาได้นั้นไม่ใช่ค่าคงที่จริง ๆ ค่าคงที่ที่หาได้
ถูกแทนที่ในสมการเดิม (ระบบ) สมการอนุพันธ์ (หรือระบบสมการ) ได้มาเพื่อกำหนด "ค่าคงที่"
มีความจำเพาะในการใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจกับ งานต่างๆแต่สิ่งเหล่านี้เป็นรายละเอียดที่จะ .แล้ว
แสดงด้วยตัวอย่าง

ให้เราพิจารณาคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นตรงของลำดับที่สูงกว่ากัน กล่าวคือ สมการของรูปแบบ
.
คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นคือผลรวมของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันและคำตอบเฉพาะ
สมการที่กำหนด สมมุติว่าพบคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์แล้ว กล่าวคือ มีการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา (FSR)
. แล้วคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์คือ
จำเป็นต้องหาคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ สำหรับสิ่งนี้ ค่าคงที่จะถือว่าขึ้นอยู่กับตัวแปร
ต่อไปคุณต้องแก้ระบบสมการ
.
ทฤษฎีนี้รับประกันว่าระบบสมการพีชคณิตเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้มีคำตอบเฉพาะ
เมื่อค้นหาฟังก์ชันด้วยตนเอง ค่าคงที่การรวมจะไม่ปรากฏ ท้ายที่สุดแล้ว ต้องหาวิธีแก้ปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่ง

ในกรณีของการแก้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่งของรูปแบบ

อัลกอริทึมยังคงแทบไม่เปลี่ยนแปลง ขั้นแรกคุณต้องหา FSR ของระบบสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เกี่ยวข้องกัน ให้เขียนเมทริกซ์พื้นฐาน
ระบบ คอลัมน์ที่เป็นองค์ประกอบของ FSR ต่อไปสมการ
.
การแก้ระบบ เรากำหนดฟังก์ชัน ดังนั้นจึงค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับระบบเดิม
(เมทริกซ์พื้นฐานคูณด้วยคอลัมน์คุณลักษณะที่พบ)
เราเพิ่มลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันซึ่งสร้างขึ้นบนพื้นฐานของ FSR ที่พบแล้ว
ได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง 1 สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง.

ให้เราพิจารณาสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน (เราแสดงถึงฟังก์ชันที่ต้องการโดย ):
.
สมการนี้แก้ได้ง่ายโดยการแยกตัวแปร:

.
ตอนนี้เราแสดงคำตอบของสมการดั้งเดิมในรูปแบบ ที่ยังหาฟังก์ชันไม่พบ
เราแทนที่คำตอบประเภทนี้ลงในสมการดั้งเดิม:
.
อย่างที่คุณเห็น เทอมที่สองและสามทางด้านซ้ายจะตัดกัน - นี่คือ ลักษณะเฉพาะวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ที่นี่แล้ว - แน่นอน ค่าคงที่ตามอำเภอใจ ทางนี้,
.

ตัวอย่าง 2 สมการเบอร์นูลลี.

เราทำหน้าที่คล้ายกับตัวอย่างแรก - เราแก้สมการ

วิธีการแยกตัวแปร มันจะกลายเป็น ดังนั้นเราจึงมองหาคำตอบของสมการดั้งเดิมในรูปแบบ
.
แทนที่ฟังก์ชันนี้ลงในสมการเดิม:
.
และมีการตัดอีกครั้ง:
.
ที่นี่คุณต้องจำไว้เพื่อให้แน่ใจว่าเมื่อหารด้วยสารละลายจะไม่สูญหาย และกรณีที่สอดคล้องกับการแก้ปัญหาของต้นฉบับ
สมการ มาจำเขากันเถอะ ดังนั้น,
.
มาเขียนกันเถอะ
นี่คือทางออก เมื่อเขียนคำตอบ คุณควรระบุคำตอบที่พบก่อนหน้านี้ด้วย เนื่องจากคำตอบนั้นไม่ตรงกับค่าสุดท้ายใดๆ
ค่าคงที่

ตัวอย่างที่ 3 สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่า.

เราทราบทันทีว่าสมการนี้แก้ได้ง่ายกว่า แต่จะแสดงวิธีการนั้นสะดวก แม้ว่าข้อดีบางอย่าง
วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจก็มีในตัวอย่างนี้เช่นกัน
ดังนั้น คุณต้องเริ่มต้นด้วย FSR ของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน จำได้ว่าในการหา FSR ลักษณะเฉพาะ
สมการ
.
ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์
.
ค่าคงที่ที่รวมอยู่ในที่นี้จะแปรผัน กำลังรวบรวมระบบ