Відеоурок «Ознаки паралельності двох прямих» містить доказ теорем, що описують ознаки, що означають паралельність прямих. При цьому у відео описується 1) теорема про паралельність прямих, при яких січній створені рівні кути, 2) ознака, що означає паралельність двох прямих - за рівними утвореними відповідними кутами; односторонні кути в сумі становлять 180 °. Завдання даного відеоуроку - ознайомити учнів з ознаками, що означають паралельність двох прямих, знання яких необхідне вирішення багатьох практичних завдань, наочно подати доказ даних теорем, формувати навички у доказі геометричних тверджень.
Переваги відеоуроку пов'язані з тим, що за допомогою анімації, голосового супроводу, можливості виділення кольором він забезпечує високий ступінь наочності, може послужити заміною подачі стандартного блоку нового навчального матеріалувчителем.
Починається відеоурок із виведення на екран назви. Перед описом ознак паралельності прямих учні знайомляться з поняттям січучої. Дається визначення січної як прямої, яка перетинає інші прямі. На екрані зображені дві прямі a та b, які перетинаються прямий с. Побудована пряма з виділена синім кольором, акцентуючи увагу на тому, що вони є січною прямих даних а і b. Щоб розглядати ознаки паралельності прямих необхідно більш детально ознайомитися з областю перетину прямих. Секуча у точках перетину з прямими утворює 8 кутів ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, аналізуючи співвідношення яких можна вивести ознаки паралельності даних прямих. Зазначається, що кути ∠3 і ∠5, а також ∠2 і ∠4 називаються навхрест лежачими. Дається докладне пояснення за допомогою анімації розташування навхрест кутів, що лежать як кутів, які лежать між паралельними прямими, і примикають до прямих, розташовуючись навхрест. Потім дається поняття односторонніх кутів, до яких входять пари ∠4 і ∠5, а також ∠3 і ∠6. Також вказуються пари відповідних кутів, яких на побудованому зображенні 4 пари - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.
У наступній частині відеоуроку розглядаються три ознаки паралельності двох прямих. На екран виводиться перший опис. Теорема стверджує, що при рівності навхрест лежачих кутів, що утворюються січною, дані прямі будуть паралельні. Твердження супроводжується малюнком, на якому зображені дві прямі а і b і січна АВ. Зазначається, що кути, що утворюються навхрест ∠1 і ∠2, рівні між собою. Це твердження вимагає докази.
Найбільш просто доводиться окремий випадок - коли дані утворені навхрест лежачі кути є прямими. Це означає, що січна є перпендикуляром до прямих, а вже доведеної теоремі в цьому випадку прямі а і b не будуть перетинатися, тобто є паралельними. Доказ для даного окремого випадку описується з прикладу зображення, побудованого поруч із першим малюнком, виділяючи важливі деталі докази з допомогою анімації.
Для доказу у випадку необхідно проведення додаткового перпендикуляра з середини відрізка АВ на пряму а. Далі на прямий b відкладається відрізок ВН 1 дорівнює відрізку АН. З отриманої при цьому точки Н 1 проводиться відрізок, що з'єднує точки і Н 1 . Далі розглядаються два трикутники ΔОНА і ΔОВН 1 , рівність яких доводиться за першою ознакою рівності двох трикутників. Сторони ОА і ОВ рівні по побудові, оскільки точка відзначалася як середина відрізка АВ. Сторони НА і Н 1 також рівні по побудові, так як ми відкладали відрізок Н 1 В, рівний НА. А кути ∠1=∠2 за умовою задачі. Так як утворені трикутники рівні між собою, то і відповідні пари кутів і сторін, що залишилися, також рівні між собою. З цього випливає, що і відрізок 1 є продовженням відрізка ОН, складаючи один відрізок ПН 1 . При цьому наголошується, що оскільки побудований відрізок ВІН - перпендикуляр до прямої а, то відповідно і відрізок ПН 1 перпендикулярним до прямим а і b. Цей факт означає, використовуючи теорему про паралельність прямих, яких побудований один перпендикуляр, що дані прямі а і b є паралельними.
Наступна теорема, що вимагає доказу - ознака рівності паралельних прямих за рівністю відповідних кутів, утворених при перетині січної. Затвердження цієї теореми виведено на екран і може бути запропоновано під запис учнями. Доказ починається з побудови на екрані двох паралельних прямих а та b, до яких побудована січна с. Виділена на малюнку синім кольором. Січній утворені відповідні кути ∠1 та ∠2, які за умовою рівні між собою. Також відзначаються суміжні кути ∠3 та ∠4. ∠2 по відношенню до кута ∠3 є вертикальним кутом. А вертикальні кути завжди рівні. До того ж кути ∠1 і ∠3 є навхрест лежачими між собою - їхня рівність (за вже доведеним твердженням) означає, що прямі а і b паралельні. Теорему доведено.
Остання частина відеоуроку присвячена доказу твердження про те, що якщо сума односторонніх кутів, які утворені при перетині двох деяких прямих січної прямої, дорівнюватиме 180°, у цьому випадку дані прямі будуть паралельні між собою. Доказ демонструється, використовуючи малюнок, на якому зображені прямі а і b, що перетинаються із січною с. Утворені перетином кути відзначені аналогічно до попереднього доказу. За умовою сума кутів ∠1 і ∠4 дорівнює 180°. При цьому відомо, що сума кутів ∠3 та ∠4 дорівнює 180°, оскільки вони є суміжними. Це означає, що кути ∠1 та ∠3 рівні між собою. Цей висновок дає право стверджувати, що прямі а та b паралельні. Теорему доведено.
Відеоурок «Ознаки паралельності двох прямих» може бути використаний вчителем як самостійний блок, що демонструє докази названих теорем, що замінює пояснення вчителя або супроводжує його. А докладне пояснення дає можливість використовувати матеріал для самостійного вивченняучнями та допоможе у поясненні матеріалу при дистанційному навчанні.
Паралельність – дуже корисна властивістьу геометрії. У реального життя паралельні сторонидозволяють створювати красиві, симетричні речі, приємні будь-якому оку, тому геометрія завжди потребувала способів цю паралельність перевірити. Про ознаки паралельних прямих ми й поговоримо у цій статті.
Визначення для паралельності
Виділимо визначення, які потрібно знати на підтвердження ознак паралельності двох прямих.
Прямі називають паралельними, якщо вони не мають точок перетину. Крім того, в рішеннях зазвичай паралельні прямі йдуть у зв'язці з лінією.
Сікучою прямою називається пряма, яка перетинає обидві паралельні прямі. У цьому випадку утворюються навхрест лежачі, відповідні та односторонні кути. Нахрест лежать пари кутів 1 і 4; 2 та 3; 8 та 6; 7 та 5. Відповідними будуть 7 та 2; 1 та 6; 8 та 4; 3 та 5.
Односторонніми 1 та 2; 7 та 6; 8 та 5; 3 та 4.
При правильному оформленні пишеться: «Нахрест кути, що лежать, при двох паралельних прямих а і b і січній с», тому що для двох паралельних прямих може існувати нескінченна безліч сіючих, тому необхідно вказувати, яку саме січну, ви маєте на увазі.
Також для доказу знадобиться теорема про зовнішній вугіллі трикутника, яка свідчить, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника несуміжних з ним.
Ознаки
Усі ознаки паралельних прямих пов'язані знання властивостей кутів і теорему про зовнішньому куті трикутника.
Ознака 1
Дві прямі паралельні, якщо навхрест кути, що лежать, рівні.
Розглянемо дві прямі а і b із січною с. Нахрест кути, що лежать, 1 і 4 рівні. Припустимо, що прямі не паралельні. Значить прямі перетинаються і має бути точка перетину М. Тоді утворюється трикутник АВМ із зовнішнім кутом 1. Зовнішній кут повинен дорівнювати сумі кутів 4 і АВМ як несумежних з ним за теоремою про зовнішній кут у трикутнику. Але тоді вийде, що кут 1 більший за кут 4, а це суперечить умові завдання, значить, точки М не існує, прямі не перетинаються, тобто паралельні.
Рис. 1. Малюнок доказу.
Ознака 2
Дві прямі паралельні, якщо відповідні кути при січній рівні.
Розглянемо дві прямі а і b із січною с. Відповідні кути 7 та 2 рівні. Звернімо увагу на кут 3. Він є вертикальним для кута 7. Отже, кути 7 та 3 рівні. Значить, кути 3 і 2 також рівні, оскільки<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.
Рис. 2. Малюнок доказу.
Ознака 3
Дві прямі паралельні, якщо сума односторонніх кутів дорівнює 180 градусів.
Рис. 3. Малюнок доказу.
Розглянемо дві прямі а і b із січною с. Сума односторонніх кутів 1 та 2 дорівнює 180 градусів. Звернімо увагу на кути 1 та 7. Вони є суміжними. Тобто:
$$<1+<7=180$$
$$<1+<2=180$$
Віднімемо з першого виразу друге:
$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$
$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$
$$<1+<7-<1-<2=0$$
$$<7-<2=0$$
$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.
Що ми дізналися?
Ми в подробицях розібрали, які кути виходять при розсіченні паралельних прямих третьою лінією, виділили та докладно розписали доказ трьох ознак паралельності прямих.
Тест на тему
Оцінка статті
Середня оцінка: 4.1. Усього отримано оцінок: 220.
Паралельність двох прямих можна довести на основі теореми, згідно з якою, два проведені перпендикуляри по відношенню до однієї прямої, будуть паралельні. Існують певні ознаки паралельності прямих - всього їх три, і всі ми розглянемо більш конкретно.
Перша ознака паралельності
Прямі паралельні, якщо при перетині їх третьої прямої, утворені внутрішні кути, що лежать навхрест, будуть рівні.
Припустимо, при перетині прямих АВ та СD прямою лінією ЕF, були утворені кути /1 та /2. Вони рівні, тому що пряма лінія ЕF проходить під одним ухилом по відношенню до двох інших прямих. У місцях перетину ліній, ставимо точки Кі L – у нас вийшов відрізок секучої ЕF. Знаходимо його середину та ставимо точку О (чорт. 189).
На пряму АВ опускаємо перпендикуляр із точки О. Назвемо його ОМ. Продовжуємо перпендикуляр доти, доки він не перетнеться з прямої СD. В результаті, первісна пряма АВ строго перпендикулярна МN, а це означає, що і СD_|_МN, але це твердження вимагає доказу. В результаті проведення перпендикуляра та лінії перетину, у нас утворилося два трикутники. Один із них – МОЄ, другий – NОК. Розглянемо їх докладніше. ознаки паралельності прямих 7 клас
Дані трикутники рівні, оскільки, відповідно до умов теореми, /1 =/2, а відповідно до побудови трикутників, сторона ОК = стороні ОL. Кут МОL =/NОК, оскільки це вертикальні кути. З цього випливає, що сторона і два кути, що прилягають до неї одного з трикутників відповідно, рівні стороні і двом кутам, що прилягають до неї, іншого з трикутників. Отже, трикутник МОL =трикутникуNОК, отже, і кут LМО = куті КNО, але відомо, що/LМО прямий, отже, і відповідний йому, кут КNО теж прямий. Тобто нам вдалося довести, що до прямої МN, як пряма АВ, так і пряма СD перпендикулярні. Тобто, АВ та СD по відношенню один до одного є паралельними. Це нам і потрібно було довести. Розглянемо інші ознаки паралельності прямих (7 клас), які від першого ознаки за способом доказу.
Друга ознака паралельності
Згідно з другою ознакою паралельності прямих, нам необхідно довести, що кути, отримані в процесі перетину паралельних прямих АВ і СD прямий ЕF, будуть рівними. Таким чином, ознаки паралельності двох прямих, як перший, так і другий, ґрунтується на рівні кутів, одержуваних при перетині їх третьою лінією. Припускаємо, що /3 = /2, а кут 1 = /3, оскільки він вертикальний. Таким чином, і /2 дорівнюватиме куту1, проте слід враховувати, що як кут 1, так і кут 2 є внутрішніми, навхрест лежачими кутами. Отже, нам залишається застосувати свої знання, а саме те, що два відрізки будуть паралельними, якщо при їх перетині третьої прямої утворені, навхрест кути, що лежать, будуть рівними. Отже, ми з'ясували, що АВ || СD.
Нам вдалося довести, що за умови паралельності двох перпендикулярів до однієї прямої, відповідно до відповідної теореми, ознака паралельності прямих очевидна.
Третя ознака паралельності
Існує ще й третя ознака паралельності, яка доводиться за допомогою суми односторонніх внутрішніх кутів. Такий доказ ознаки паралельності прямих дозволяє зробити висновок, що дві прямі будуть паралельні, якщо при перетині їх третя пряма, сума отриманих односторонніх внутрішніх кутів, дорівнюватиме 2d. рисунок 192. Див.
Вони не перетинаються, хоч би скільки їх продовжували. Паралельність прямих на листі позначають так: AB|| ЗE
Можливість існування таких прямих доводиться теоремою.
Теорема.
Через будь-яку точку, взяту поза цією прямою, можна провести паралельну цій прямій.
Нехай ABдана пряма і Зякась точка, взята поза нею. Потрібно довести, що через Зможна провести пряму, паралельнуAB. Опустимо на ABз точки З перпендикулярЗDі потім проведемо ЗE^ ЗD, що можливо. Пряма CEпаралельна AB.
Для доказу припустимо неприємне, тобто, що CEперетинається з ABв деякій точці M. Тоді з точки Mдо прямої ЗDми мали б два різні перпендикуляри MDі MС, що неможливо. Значить, CEне може перетнутися з AB, тобто. ЗEпаралельна AB.
Слідство.
Два перпендикуляри (СEіDB) до однієї прямої (СD) паралельні.
Аксіома паралельних ліній.
Через ту саму точку не можна провести двох різних прямих, паралельних однієї й тієї ж прямий.
Так, якщо пряма ЗD, проведена через точку Зпаралельна прямий AB, то будь-яка інша пряма ЗE, проведена через ту саму точку З, не може бути паралельна AB, тобто. вона при продовженні перетнетьсяз AB.
Доказ цієї цілком очевидної істини виявляється неможливим. Її приймають без доказу як необхідне припущення (postulatum).
Наслідки.
1. Якщо пряма(ЗE) перетинається з однією з паралельних(СВ), то вона перетинається і з іншого ( AB), тому що в іншому випадку через одну і ту ж точку Зпроходили б дві різні прямі, паралельні AB, що неможливо.
2. Якщо кожна з двох прямих (AіB) паралельні одній і тій же третій прямій ( З) , то вони паралельніміж собою.
Справді, якщо припустити, що Aі Bперетинаються в деякій точці M, то тоді через цю точку проходили б дві різні прямі, паралельні З, що неможливо.
Теорема.
Якщо пряма перпендикулярнадо однієї з паралельних прямих, вона перпендикулярна і до іншої паралельною.
Нехай AB || ЗDі EF ^ AB. Потрібно довести, що EF ^ ЗD.
ПерпендикулярEF, перетинаючи з AB, неодмінно перетне і ЗD. Нехай точка перетину буде H.
Припустимо тепер, що ЗDне перпендикулярна до EH. Тоді якась інша пряма, наприклад HK, буде перпендикулярна до EHі, отже через одну й ту саму точку Hпроходитимуть дві прямі паралельні AB: одна ЗD, за умовою, а інша HKза доведеним раніше. Так як це неможливо, то не можна припустити, що СВбула не перпендикулярна до EH.
Ознаки паралельності двох прямих
Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січні:
навхрест лежачі кути рівні, або
відповідні кути рівні, або
сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то
прямі паралельні(Рис.1).
Доведення. Обмежимося підтвердженням випадку 1.
Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні. Наприклад, ∠4 = ∠6. Доведемо, що а || b.
Припустимо, що прямі а та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один із кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠4 – зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠6 – внутрішній. З теореми про зовнішній вугіллі трикутника випливає, що ∠4 більше ∠6, а це суперечить умові, отже, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.
Наслідок 1 . Дві різні прямі на площині, перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, паралельні(Рис.2).
Зауваження. Спосіб, яким ми щойно довели випадок 1 теореми 1, називається методом доказу від неприємності або приведенням до безглуздості. Першу назву цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, неприємне (протилежне) тому, що потрібно довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку припущення і прийняти те, що потрібно було довести.
Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точку М і паралельну даній прямій а, що не проходить через точку М.
Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно до прямої а (рис. 3).
Потім проводимо через точку М пряму b перпендикулярно до прямої р. Пряма b паралельна прямий а відповідно до слідства теореми 1.
З розглянутого завдання випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.
Основна властивість паралельних прямих полягає у наступному.
Аксіома паралельних прямих. Через цю точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.
Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають із цієї аксіоми.
1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу (рис.4).
2) Якщо дві різні прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні (рис.5).
Справедлива та наступна теорема.
Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то:
навхрест лежачі кути рівні;
відповідні кути рівні;
сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.
Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої(Див. рис.2).
Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теореми 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є укладанням теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, то зворотна теорема може бути невірна.
Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальні кути. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотна їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звісно, не так. Два рівних кута не повинні бути вертикальними.
приклад 1.Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Відомо, що різницю двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.
Рішення. Нехай умові відповідає рисунок 6.