Чотирьохкутник у якого протилежні сторони паралельні. Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні? Чотирьохкутник може бути

Теорема: Чотирьохкутник є паралелограмом, якщо:

протилежні його кути рівні;
протилежні його сторони попарно рівні;
його діагоналі точкою перетину діляться навпіл;
дві його протилежні сторони паралельні та рівні.

Доведення:

A. Нехай у чотирикутнику KLMN кути К і М рівні один одному та рівні а, нехай також рівні один одному і рівні р кути L та N (рисунок). Враховуючи, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, одержуємо, що 2α + 2β = 360°, або α + β = 180°. Враховуючи, що кути К і L, рівні відповідно аїр, є внутрішніми односторонніми кутами при прямих KN і LM, перетнутих прямий KL, укладаємо, що сторони KN і LM паралельні. Також по кутах К і N укладаємо, що сторони KL та NM паралельні. Тепер за визначенням паралелограма стверджуємо, що чотирикутник KLMN – паралелограм.

B. Нехай у чотирикутнику CDEF сторони CD та FE, а також CF та DE попарно рівні (рисунок). Проведемо одну з діагоналей чотирикутника, наприклад РЄ. Трикутники CDE та EFC дорівнюють по трьох сторонах. Тому кути DEC та FCE рівні. Оскільки ці кути є внутрішніми навхрест лежать при прямих DE і CF, перетнутих прямий РЄ, то сторони DE і CF паралельні. Також з рівності кутів DCE та FEC отримуємо, що сторони CD та FE паралельні. Тепер за визначенням паралелограма стверджуємо, що чотирикутник CDEF – паралелограм.

C. Нехай точка перетину діагоналей IL і КМ чотирикутника IKLM ділить ці діагоналі навпіл: IB = BL і KB = ВМ (рисунок). Тоді трикутники KBL і MBI рівні по обидва боки і кут між ними. Це дозволяє стверджувати, що кути 1MB і LKB рівні, отже, сторони IM і KL паралельні. Аналогічно з рівності трикутників KBI та MBL робимо висновок про паралельність сторін IK та LM. Тепер за визначенням паралелограма можемо стверджувати, що чотирикутник IKLM – паралелограм. Дуже часто це треба знати під час вирішення олімпіадних завдань на шкільних олімпіадах.

D. Нехай у чотирикутнику OPQR протилежні сторони ОР та RQ паралельні та рівні (рисунок). Проведемо діагональ OQ. Отримані кути POQ і RQO рівні, оскільки вони є внутрішніми навхрест лежать при паралельних прямих ОР і RQ, перетнутих прямий OQ. Тому трикутники OPQ і RQO рівні по обидва боки і кут між ними. Отже, їх відповідні кути PQO та ROQ рівні.

А оскільки вони є внутрішніми навхрест лежачими кутами при прямих PQ і OR, перетнутих прямий OQ, то сторони PQ і OR паралельні. Враховуючи паралельність сторін ОР та RQ, за визначенням паралелограма стверджуємо, що чотирикутник OPQR - паралелограм.

Визначення.Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Властивість.У паралелограмі протилежні сторони рівні та протилежні кути рівні.

Властивість.Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

1 ознака паралелограма.Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.

2 ознака паралелограма.Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник - паралелограмм.

3 ознака паралелограма.Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм.

Визначення.Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні. Паралельні сторони називаються основами.

Трапеція називається рівнобедреної (рівнобічної)якщо її бічні сторони рівні. У рівнобедреній трапеції кути при основах рівні.

Трапеція, один із кутів якої прямий, називається прямокутної.

Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Визначення.Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі.

Властивість.Діагоналі прямокутника рівні.

Ознака прямокутника.Якщо паралелограмі діагоналі рівні, цей паралелограм - прямокутник.

Визначення.Ромб називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивість.Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і поділяють його кути навпіл.

Визначення.Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Квадрат є приватним видом прямокутника, а також приватний вид ромба. Тому він має усі їхні властивості.

Властивості:
1. Усі кути квадрата прямі

2. Діагоналі квадрата рівні, взаємно перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і ділять кути квадрата навпіл.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Чотирьохкутник - багатокутник, що складається з чотирьох точок (вершин) і чотирьох відрізків (сторон), що попарно з'єднують ці точки.

Сьогодні розглянемо геометричну фігуру- Чотирикутник. З назви цієї фігури вже стає зрозуміло, що ця фігура має чотири кути. А ось інші властивості та характеристики цієї фігури ми розглянемо нижче.

Що таке чотирикутник

Чотирьохкутник - багатокутник, що складається з чотирьох точок (вершин) і чотирьох відрізків (сторон), що попарно з'єднують ці точки. Площа чотирикутника дорівнює напівтвору його діагоналей та кута між ними.

Чотирьохкутник - це багатокутник із чотирма вершинами, три з яких не лежать на одній прямій.

Види чотирикутників

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.
Чотирьохкутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші – ні, називається трапецією.
Чотирьохкутник, у якого всі кути прямі, є прямокутником.
Чотирьохкутник, у якого всі сторони рівні, є ромбом.
Чотирьохкутник, у якого всі сторони рівні та всі кути прямі, називається квадратом.

Чотирьохкутник може бути:

Самоперетинається

Невипуклим

Випуклим

Чотирикутник, що самоперетинається- це чотирикутник, у якого будь-які його сторони мають точку перетину (на малюнку синім кольором).

Неопуклий чотирикутник- це чотирикутник, у якому один із внутрішніх кутів більше 180 градусів (на малюнку позначений оранжевим кольором).

Сума кутівбудь-якого чотирикутника, який не є самопересічний завжди дорівнює 360 градусів.

Особливі види чотирикутників

Чотирикутники можуть мати додаткові властивості, утворюючи особливі видигеометричних фігур:

Паралелограм
Прямокутник
Квадрат
Трапеція
Дельтоїд
Контрпаралелограм

Чотирикутник та коло

Чотирьохкутник, описаний навколо кола (коло, вписане в чотирикутник).

Головна властивість описаного чотирикутника:

Чотирьохкутник можна описати навколо кола тоді і лише тоді, коли суми довжин протилежних сторін дорівнюють.

Чотирьохкутник, вписаний у коло (коло, описане навколо чотирикутника)

Головна властивість вписаного чотирикутника:

Чотирьохкутник можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли суми протилежних кутів дорівнюють 180 градусів.

Властивості довжин сторін чотирикутника

Модуль різниці двох сторін чотирикутникане перевищує суми двох інших сторін.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

| b - c | ≤ a + d

| b - d | ≤ a + b

| c - d | ≤ a + b

Важливо. Нерівність правильна для будь-якої комбінації сторін чотирикутника. Малюнок наведено виключно полегшення сприйняття.

У будь-якому чотирикутнику сума довжин трьох його сторін не менша за довжину четвертої сторони.

Важливо. При вирішенні завдань у межах шкільної програми можна використовувати сувору нерівність (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

У цій статті ми розглянемо всі основні властивості та ознаки чотирикутників.

Для початку я розташую всі види чотирикутників у вигляді такої зведеної схеми:

Схема чудова тим, що чотирикутники, що стоять у кожному рядку мають ВСІМИ ВЛАСТИВОСТЯМИ ЧОТИРИКУТНИКІВ, РОЗМІЩЕНИХ НАД НИМИ. Тому запам'ятовувати треба зовсім небагато.

Трапеція- це чотирикутник, дві сторони якого паралельні, а дві інші не паралельні. Паралельні сторони називаються основами трапеції, а не паралельні - бічними сторонами.

1 . У трапеції сума кутів, що належать до бічної сторонидорівнює 180 °: А + В = 180 °, C + D = 180 °