Брадобрей, отримавши наказ, спочатку зрадів, бо багато солдатів вміли голитися самі, поголив тих, хто голитися сам не вмів, а потім сів на пеньок і задумався: а що йому з собою робити? Адже якщо він голитиме себе, то порушить наказ командира не голити тих, хто голиться сам. Брадобрей уже вирішив було, що голити себе не буде. Але тут його осяяла думка, що якщо він сам себе голити не буде, то виявиться, що він сам не голиться, і за наказом командира він все-таки повинен себе поголити...
Що з ним сталося, історія замовчує.
Причому тут теорія множин? А ось причому: командир намагався визначити безліч людей, яких добривою треба голити, таким чином:
ті й лише ті, хто не голиться сам.
Здавалося б, звичайна множина, описується декількома російськими словами, чим вона гірша, наприклад, множини
усі учні школи?
Але з цією множиною відразу виникає проблема: незрозуміло, чи належить цій множині цирульників.
Ось інша версія цього феномена.
Прикметник російської назвемо рефлексивним, якщо воно має властивість, що визначає. Наприклад, прикметник "російський" - рефлексивний, а прикметник "англійський" - нерефлексивний, прикметник "трискладний" - рефлексивний (це слово складається з трьох складів), а прикметник "чотирискладний" - нерефлексивний (складається з п'яти складів). Начебто б ніщо не заважає нам визначити безліч
всі рефлексивні прикметники.
Але давайте розглянемо прикметник "нерефлексивний". Воно рефлексивне чи ні?
Можна заявити, що прикметник "нерефлексивний" не є ні рефлексивним, ні нерефлексивним. Але як тоді бути з таким заклинанням:
правильно чи твердження, чи його заперечення?
(Це заклинання називається законом виключеного третього; на ньому, власне, і заснований метод від протилежного.)
Зрештою, третя версія парадоксу. Розглянемо безліч
Безліч , такі що
Ми включаємо в безліч тільки ті множини, які належать самі собі. Бувають множини, які містять інші множини. Наприклад, нехай
множині належать числа , а множині - два елементи: множина і число . Повертаючись до коробок, це можна сказати так: одні коробки можна класти в інші коробки. (Виявляється, що в кожній такій послідовності вкладених коробок завжди кінцева кількість елементів - тому є глибокі причини.)
Розглянута безліч - це свого роду "брадобрей". Якщо припустити, що , відразу приходимо до висновку, що . Якщо ж припустити, що - отримуємо, що .
Зіткнувшись із цими парадоксами, творці теорії множин усвідомили, що не можна задавати безлічі довільними словосполученнями. Після цього вони почали боротися із парадоксами двома способами.
Перший спосіб - спосіб Кантора, який вигадав "наївну теорію множин", в якій забороняються всі дії та операції, що ведуть до парадоксів. Ідея в наступному: дозволяється працювати з множинами, які "зустрічаються в природі", також дозволяється працювати з множинами, які виходять з них розумними теоретико-множинними операціями. Нехай, наприклад,
Безліч учнів школи,
= безліч безперервних функцій
(Ці множини "зустрічаються в природі"), з них можна отримати об'єднання, перетин. Можна навіть помножити безліч на безліч: за визначенням
Безліч пар, в яких перший елемент з першої множини, а другий - з другої. У нашому випадку – це безліч пар, у яких перший елемент – учень школи, а другий – якась безперервна функція.
Інший спосіб – аксіоматичний. Цей спосіб подолання парадоксів розвивали Цермело та Френкель (система аксіом Цермело-Френкеля), Гедель та Бернайс (система аксіома Геделя-Бернайса). Згідно з цією теорією, безліч - це щось, що задовольняє аксіомам, наприклад, наступним.
Записи аксіом дублюються "мовою кванторов". Ось значення використовуваних кванторів:
- Для будь-якого;
- Існує ;
- Існує єдиний;
- є безліччю;
- безліч тих і лише тих, які задовольняють умові;
- Логічне "або";
- Логічне "і".
1. Аксіома об'ємності. Безліч визначається своїми елементами: множини, що складаються з тих самих елементів, рівні.
2. Аксіома об'єднання. Об'єднання всіх елементів множини є безліч.
3. Аксіома виділення. Для кожної множини і кожної умови існує безліч
Підмножина елементів множини, що задовольняють умові.
Іншими словами, ми не можемо взяти безліч всіх літаючих крокодилів з усього світу або безліч тих множин, які не містять самі себе, а можемо, взявши деяке безліч, виділити в ньому "шматочок" - безліч його елементів, що задовольняють певну умову.
4. Аксіома ступеня. Безліч всіх підмножин даної множини є безліч.
5. Аксіома підстановки. Нехай – безліч, а – довільна формула. Тоді якщо для кожного існує і єдиний, такий що істинно, то існує безліч всіх, для яких знайдеться, такий, що істинно.
6. Аксіома фундування. Не існує нескінченної послідовності вкладених множин: кожен ланцюжок множин
7. Аксіома нескінченності. Існують нескінченні множини, тобто такі множини, що рівносильно.
8. Аксіома вибору. Ще одна дуже складна, але й дуже очевидна аксіома – про неї пізніше.
Докладніше про аксіоматику теорії множин див. книгу.
Найзнаменитішим із відкритих вже у нашому столітті парадоксів є антиномія, виявлена Б. Расселом. Ідея носилася в повітрі, і її опублікування справило враження бомби, що розірвалася. Цей феномен викликав у математиці, на думку Д. Гільберта, «ефект повної катастрофи». Нависла загроза над найпростішими та важливішими логічними методами, звичайнісінькими та корисними поняттями. Відразу стало очевидним, що ні в логіці, ні в математиці за всю довгу історію їх існування не було вироблено зовсім нічого, що могло б послужити основою для усунення антиномії. Очевидно виявився необхідним відхід від звичних способів мислення.
Парадокс Рассела у його початковій формі пов'язані з поняттям безлічі, чи класу. Можна говорити про безліч різних об'єктів, наприклад про безліч всіх людей або про безліч натуральних чисел. Елементом першої множини буде кожна окрема людина, елементом другої - кожне натуральне число. Допустимо також самі множини розглядати як деякі об'єкти і говорити про множини множин. Можна ввести навіть такі поняття, як безліч усіх множин або безліч понять. Щодо будь-якої довільно взятої множини видається осмисленим запитати, є вона своїм власним елементом чи ні. Безліч, що не містять себе як елемент, назвемо звичайними. Наприклад, безліч людей не є людиною, як і безліч атомів - це атом. Незвичайними будуть множини, що є власними елементами. Наприклад, безліч, що об'єднує всі множини, є безліч і, отже, містить саме себе як елемент. Очевидно, що кожна множина є або звичайним, або незвичайним.
Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки воно безліч, про нього теж можна запитувати, чи звичайне воно, чи незвичайне. Відповідь, проте, виявляється бентежною. Якщо воно звичайне, то відповідно до свого визначення повинно містити саме себе як елемент, оскільки містить усі звичайні множини. Але це означає, що воно є незвичайним безліччю. Припущення, що наша множина є звичайною множиною, призводить, таким чином, до протиріччя. Отже, воно може бути звичайним. З іншого боку, воно не може бути також незвичайним: незвичайна множина містить сама себе в якості елемента, а елементами нашої множини є лише звичайні множини. У результаті приходимо до висновку, що безліч усіх звичайних множин не може бути ні звичайним, ні незвичним множиною.
Отже, безліч усіх множин, що не є власними елементами, є свій елемент у тому і лише тому випадку, коли воно не є таким елементом. Це явна суперечність.
Протиріччя говорить про те, що такої множини просто не існує. Але чому вона не може існувати? Адже воно складається з об'єктів, що задовольняють чітко визначеній умові, причому сама умова не видається якоюсь винятковою чи неясною. Якщо така просто і ясно задана множина не може існувати, то в чому, власне, полягає відмінність між можливими і неможливими множинами? Висновок про неіснування розглянутої множини звучить несподівано і вселяє занепокоєння. Він робить наше загальне поняттябезлічі аморфним і хаотичним, і немає гарантії, що вона не здатна породити якісь нові парадокси.
Парадокс Рассела чудовий своєю спільністю. Для його побудови не потрібні якісь складні технічні поняття, як у деяких інших парадоксів, достатньо понять «множини» і «елемента множини». Але ця простота якраз і говорить про його фундаментальність: він зачіпає найглибші підстави наших міркувань про безліч, оскільки говорить не про якісь спеціальні випадки, а про безліч взагалі.
Парадокс Рассела немає специфічно математичного характеру. У ньому використовується поняття множини, але не зачіпаються якісь особливі, пов'язані саме з математикою його властивості. Це стає очевидним, якщо переформулювати парадокс у суто логічних термінах.
Про кожну властивість можна, ймовірно, питати, докладно воно до самого себе чи ні. Властивість бути гарячою, наприклад, непридатна до самого себе, оскільки сама не є гарячою; властивість бути конкретним теж належить до себе, бо це абстрактне свойство. Але ось властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, прикладається до самого себе. Назвемо ці непридатні до себе властивості непридатними. Чи застосовна властивість бути непридатною до самого себе? Виявляється, що непридатність є непридатною лише в тому випадку, якщо вона не є такою. Це, звісно, парадоксально, Логічна, що стосується властивостей, різновид антиномії Рассела настільки ж парадоксальна, як і математична, що відноситься до множин, її різновид.
Б. Рассел запропонував також наступний популярний варіант відкритого їм феномена. «Бобрий голить усіх тих і тільки тих жителів міста, які не голяться самі. Хто голить цирульник?» Парадокс цирульника полягає в тому, що, нібито, не можна відповісти на це питання.
Щоб зрозуміти ситуацію, розіб'ємо мешканців міста на три групи. Це розбиття показано на лівому малюнку: ті, хто голиться самостійно - зверху; ті, кого голять, – знизу; хто взагалі не голиться (ченці, діти, жінки…) – поза еліпсом.
Розглянемо спочатку дію умови (1). Нехай цирульник голить всіх тих, які не самі голяться, тобто всю нижню половину еліпса (штрихування відзначає клієнтів цирульника). Але умова (1) дозволяє йому голити і того, хто сам голиться, тобто самого себе. Умова (1) дозволяє йому розташуватися у верхній половині еліпса, де мешканці самі голяться, і голити себе там. Це показано на середньому малюнку.
Якщо ж діє умова (2), і цирульник голить тільки тих, які не голяться, це означає, що він голить частину нижньої половини еліпса і не голить себе, тобто не знаходиться у верхній половині еліпса. Але жителі з нижньої половини можуть бути поголені не цирульником, а кимось ще. І цирульник може бути серед цих людей (правий малюнок). Так що цирульник може голити його приятель, а цирульник буде голити заштриховану частину нижньої половини еліпса.
Але якщо діють обидві умови, (1) і (2), то цирульнику немає місця в еліпсі. Він, отже, не голиться взагалі. І тут немає жодного феномена. Він, сталь бути, або чернець, або робот, або дитина, або жінка, або не мешканець міста ... А якщо в місті немає нікого, крім чоловіків, що голяться, і, отже, зовнішність еліпса порожня, то цирульник, що задовольняє умовам (1) та (2), просто не існує. Безглуздо питати в цьому випадку, хто його голить. Безліч таких брадобреїв – пуста.
І тут ми зауважимо, що задане питання, «Хто голить цирульника?», було некоректним від самого початку так само, як класичне питання: «Навіщо ти б'єш свого батька?» Перш, ніж запитувати, хто голить цирульника, треба отримати згоду, що його хтось голить.
Міркування про перукаря може бути назване псевдопарадоксом. По своєму ходу воно суворо аналогічне до парадоксу Рассела і цим цікаво. Але воно таки не є справжнім парадоксом.
Інший приклад такого ж псевдопарадоксу є відомим міркуванням про каталог.
Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, до якого входили всі ті й лише ті бібліографічні каталоги, які містять посилання самих себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе? Неважко показати, що ідея створення такого каталогу неможлива; він просто не може існувати, оскільки повинен одночасно і включати посилання на себе і не включати. Цікаво відзначити, що складання каталогу всіх каталогів, що не містять посилання на самих себе, можна представити як нескінченний процес, що ніколи не завершується.
Припустимо, що у якийсь момент було складено каталог, скажімо К1 включає всі відмінні від нього каталоги, які містять посилання він. Зі створенням K1 з'явився ще один каталог, що не містить посилання на себе. Так як завдання полягає в тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, які не згадують себе, очевидно, що K1 не є її рішенням. Він не згадує один із таких каталогів – самого себе. Включивши в K1 це згадка про нього самому, отримаємо каталог К2. У ньому згадується К1, але не сам К2. Додавши до К2 таку згадку, отримаємо К3, який знову ж таки неповний через те, що не згадує про себе. І так далі без кінця.
У найбільш загальноїформі парадокс Бертрана Расселавиглядає так:
Нехай М - безліч всіх множин, які не містять себе як свій елемент. Питання: чи містить М саме себе як елемент?
Якщо відповідь «так», то, за визначенням М, вона має бути елементом М і ми отримали протиріччя.
Якщо відповідь «ні» - то, за визначенням М, вона має бути елементом М - знову протиріччя…
«У чому суть протиріччя? Клас іноді є, а іноді не є членом себе. « Класчайних ложок, наприклад, не є іншою чайною ложкою, але класи речей, які не є чайними ложками, є одними з речей, які не є чайними ложками».
Парадокс Рассела пов'язані з використанням поняття класу всіх своїх класів. «Власним» називається клас, що не містить себе самого як свій елемент. «Невласним» - клас, який, за припущенням, містить себе як свій елемент. Вважають, що такий клас усіх класів. Щодо класу всіх своїх класів («расселовского класу») і порушується питання: який він - власний чи невласний? Якщо припустити, що він власний, він повинен бути віднесений до невласним класам, і навпаки.
У напівжартівливій формі Рассел представляє цей феномен через однотипний, так званий феномен «Брадобрея» у «Введення у філософію математики» (1919). Сільський цирульник повинен голити всіх тих і тільки тих жителів свого села, які не голяться самі. Чи повинен він голити себе? Якщо він голитиме себе, значить, він голиться сам і не має права голити себе. Але якщо він не голить себе, він має право себе голити. Таким чином можна продемонструвати і парадоксальність «множини всіх множин, які не є власними елементами». Слід зазначити, що «Брадобрей» - не «чистий парадокс», бо з нього випливає тільки, що такого перукаря взагалі не може існувати, тобто «принципово не може бути знайдена жодна однозначна і несуперечлива визначеність для цієї сукупності, яка містить елементи, визначальні тільки в термінах цієї сукупності, а також елементи, що включають або передбачають цю сукупність». Усувається парадокс висновком, що й деякі причини народжують протиріччя, отже вони неправильні.
Антиномія Рассела відіграла важливу роль у розвитку основ математики. Вона підірвала основи теорії множин, найновішу логіку, стала справжнім лихом і катастрофою надій тих, хто займався проблемами обґрунтування математики та логіки на рубежі XIX-XX століть.
Рассел 1903 р. не визнавав відкрито, що виявив рішення феномена. У «Передмові» до «Принципів математики» він зазначав, що єдиним виправданням для публікації роботи, що має низку невирішених питань, було те, що це дослідження давало можливість глибше проникнути в природу класів. Як можливе рішення у «Додатку В» до цієї роботи Рассел пропонував просту теорію типів. Надалі він переконається, що саме ця теорія, розвинена в систему, дає можливість усунути парадокс».
Колесников А. С., Філософія Бертрана Рассела, Л., Видавництво Ленінградського університету, 1991 р., с. 84-85.
Усіх множин, які не містять себе як свій елемент. Чи містить саме себе як елемент? Якщо так, то, за визначенням, воно не повинно бути елементом – протиріччя. Якщо ні - то, за визначенням, воно має бути елементом - знову протиріччя.
Суперечність у парадоксі Рассела виникає через використання у міркуванні внутрішньо суперечливого поняття множини всіх множинта уявлення про можливість необмеженого застосування законів класичної логіки під час роботи з безліччю. Для подолання цього феномена було запропоновано кілька шляхів. Найбільш відомий полягає у пред'явленні для теорії множин несуперечливої формалізації, по відношенню до якої були б допустимими всі «дійсно потрібні» (у певному сенсі) способи оперування з множинами. У рамках такої формалізації твердження про існування множини всіх множинбуло б невиводним.
Справді, припустимо, що безліч усіх множин існує. Тоді, згідно з аксіомою виділення, має існувати і безліч, елементами якого є ті й тільки ті множини, які не містять себе як елемент. Проте припущення існування безлічі призводить до феномену Рассела. Отже, зважаючи на несуперечність теорії, твердження про існування безлічі невиводимо в цій теорії, що й вимагалося довести.
У ході реалізації описаної програми «порятунку» теорії множин було запропоновано кілька можливих її аксіоматизації (теорія Цермело - Френкеля ZF, теорія Неймана - Бернайса - Геделя NBG і т. д.), однак для жодної з цих теорій до цього моменту не знайдено докази несуперечності. Більше того, як показав Гедель, розробивши ряд теорем про неповноту, такого доказу не може існувати (у певному сенсі).
Іншою реакцією на відкриття парадоксу Расселаз'явився інтуїціонізм Л. Е. Я. Брауера.
Варіанти формулювань
Існує багато популярних формулювань цього феномена. Одна з них традиційно називається парадоксом цирульника і звучить так:
Одному сільському цирульнику наказали «голити всякого, хто сам не голиться, і не голити того, хто сам голиться». Як він має вчинити із самим собою?
Ще один варіант:
В одній країні вийшов указ: «Мери всіх міст повинні жити не у своєму місті, а у спеціальному Місті мерів». Де має жити мер Міста мерів?
І ще один:
Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, до якого входили всі ті й лише ті бібліографічні каталоги, які містять посилань на себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе?
Див. також
Література
- Курант Р., Роббінс Г.Що таке математика? - гл. II, § 4.5
- Мірошниченко П.М.Що ж руйнував феномен Рассела у системі Фреге? // Сучасна логіка: проблеми теорії, історії та застосування в науці. – СПб., 2000. – С. 512-514.
- Катречко С. Л.Расселовський феномен цирульника і діалектика Платона - Аристотеля // Сучасна логіка: проблеми теорії, історії та застосування в науці. – СПб., 2002. – С. 239-242.
- Мартін ГарднерАну, здогадайся! = Aha! Gotcha. Paradoxes до puzzle and delight. – М.: Світ, 1984. – С. 22-23. – 213 с.
Примітки
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитись що таке "Парадокс Рассела" в інших словниках:
- (грец. paradoxos несподіваний, дивний) у широкому сенсі: твердження, що різко розходиться із загальноприйнятою, усталеною думкою, заперечення того, що видається «безумовно правильним»; у вужчому сенсі два протилежні твердження, для… Філософська енциклопедія
Парадокс Рассела відкрита в 1903 Бертраном Расселом і пізніше незалежно перевідкрита Е. Цермело теоретико множинна антиномія, що демонструє недосконалість мови наївної теорії множин Г. Кантора, а не її суперечливість. Антиномія… … Вікіпедія
парадокс- ПАРАДОКС (від грецьк. para поза та doxa думка). 1) У широкому (нелогічному) сенсі все те, що так чи інакше вступає в конфлікт (розходиться) із загальноприйнятою думкою, підтвердженим традицією, законом, правилом, нормою чи здоровим глуздом. Енциклопедія епістемології та філософії науки
Положення, яке спочатку ще не є очевидним, проте, попри очікування, виражає істину. В античній логіці парадоксом називали твердження, багатозначність якого належить насамперед до його правильності чи неправильності. У… … Філософська енциклопедія
- (парадокс класу всіх фундованих класів) парадокс у теорії множин, що є узагальненням феномена Буралі Форті. Названо ім'ям російського математика Д. Міріманова. 1 Формулювання … Вікіпедія
Демонструє, що припущення про існування множини всіх порядкових чисел веде до суперечностей і, отже, суперечливою є теорія множин, в якій побудова такої множини можлива. Зміст 1 Формулювання 2 Історія … Вікіпедія
- (Від грец. parádoxes несподіваний, дивний) несподіване, незвичне (хоча б за формою) судження (висловлювання, пропозиція), що різко розходиться із загальноприйнятою, традиційною думкою з цього питання. У цьому сенсі епітет «парадоксальний»... Велика Радянська Енциклопедія
Парадокс Кантора парадокс теорії множин, який демонструє, що припущення про існування множини всіх множин веде до суперечностей і, отже, суперечливою є теорія, в якій побудова такої множини ... Вікіпедія
Цей термін має й інші значення, див. Парадокс (значення). Роберт Бойль. Схема доказу того, що вічного двигуна не існує Парадокс … Вікіпедія
Книги
- Крах метафізичної концепції універсальності предметної області в логіці. Контроверза Фреге-Шредер, Б. В. Бірюков. У цій книзі розглядається драматична історія математичної логіки, пов'язана з поняттям "універсуму міркування" - предметної галузі логіки. Висвітлюється колізія поглядів двох…
Зрозуміти, неспроможність, даного "парадоксу" цирульника, можна на прикладі, взятого для цього, живого, людського тіла. Уявіть, що кожен з будь-яких органів людського тіла, і кожна з його при цьому кінцівок, є при цьому загальною кількістю всіх множин, а окремо, кожен з органів цього людського тіла, і кожна з частин його кінцівок є при цьому підмножинами. один одного. У цьому випадку, якщо таке, вищеописане, при цьому уявити, стає зрозумілим той факт, виходячи з якого, той самий цирульник, з "парадоксу" цирульника, пов'язаний з усім світовим, присутнім світом, в якому він при цьому мешкає, з ним разом воєдино, і він не може при цьому, бути повністю відокремлений від нього, таким же в точності чином, яким не можуть бути відокремлюються при цьому один від одного, всі органи живого людського тіла, і його якісь кінцівки, для того, що би цей живий людський організм, міг залишатися у своїй таким живим, і повноцінно функционирующим організмом, з існуючих законів науки, і за його проживання у цьому світовому світі, цей цирульник тісно пов'язані з цим вселіським світом, до однієї з ним існуючу загальну конструкцію. І він цей цирульник при цьому, утворює підмножину, з безліччю множин, присутніх у всьому світі всесвіту. Виходячи з чого, у цього цирульника, завжди існує, можливий бути дієвим шанс, виходячи з якого він і не може не піти, в якийсь момент, з того населеного пункту , в якому він при цьому проживає, в інший якийсь населений пункт, і встигнути бути в цьому населеному пункті, куди він при цьому і пішов, поголеним у тому населеному пункті, точно схожому на нього, не може голити при цьому самого себе, цирульником. І причому, його цей відхід у цей населений пункт, опосередковано, є при цьому його дією, і що привів його до того, що він і був, сам при цьому поголений, подібний до нього цирульник, і що знаходиться при цьому в цьому населеному пункті, в який він і прийшов при цьому, якого, цього іншого цирульника, цей цирульник, що прийшов туди, звичайно ж і сам, так само може при цьому поголити. Але оскільки, зброя, з якого потрібно бути поголеним цьому цирульнику, було від його власних у своїй рук, воно від цього, однаково, не перестане бути таким його знаряддям, і що призвела до того, що він у своїй, і став бути таким поголеним цирульником. А тому це означає, що цей цирульник, якщо не буде сам себе голити при цьому своїми руками, то він може при цьому зробити це, за допомогою будь-якого іншого, існуючого, наявного в нього самого способу, знаряддя, а значить він цим і поголиться самого себе. Тому що він з іншим, що прийшов до нього, з іншого населеного пункту цирульником, пов'язаний воєдино, тим світовим світом, в якому вони разом з ним при цьому і проживають! Подібним же чином, розгадується і "парадокс" теореми Геделя, про неповноту множини всіх множин!!! А тому, даний "парадокс" цирульника, схожий по його суті на ситуацію, виходячи з якої, необхідно, зустрілися двом разом людям, зварити при цьому суп, якого вони обидва разом при цьому потребують, але при цьому в однієї людини для цього, є майже всі необхідні варіння продукти, крім при цьому води, але в нього при цьому немає ємності потрібної для цього варіння супу, і вогнища, на якому можна було б, виробляти при цьому варіння супу, а в іншого, одного з двох цих людей, людини, причому, навпаки є і вода, і вогнище, і ємність, необхідних варіння цього супу, але заодно в нього, немає інших продуктів, необхідні у своїй, для варіння цього супу. І тоді друга ця людина, дала першій цій людині наявні у неї при цьому, воду, вогнище, і ємність, потрібні для варіння при цьому цього супу, а перша ж ця людина, дала другій цій людині при цьому, інші, потрібні для варіння цього. супу продукти, і тим самим вони і змогли зварити разом, потрібний їм обом суп, який вони разом, і вжили при цьому їхню їжу. .. Так само, існує ще й другий варіант правильного рішення, розгадки, цього "парадоксу цирульника", виходячи з якого, сам цей цирульник так само зможе власноруч себе поголити, не порушивши цим відданих йому мером міста наказів! Ось цей другий варіант розгадки "парадоксу цирульника": цирульник - або голить себе сам, тоді коли він сам себе голить, або ж він не голить себе сам, тоді коли він сам себе не голить, тому що він не може відразу ж і голити і не голити себе сам. Тому, для того щоб змогти почати голити себе самому, потрібно не на словах а на ділі, почати реальним, фізичним чином це робити, а не почавши ж себе самому голити в реальності - це і означає те, що не голити себе самому в цей момент, а значить тим самим і могти спробувати почати себе самому голити, не порушивши цим першого наказу відданого йому мером міста (голити всіх тих, і тільки тих, які не голяться самі). Тим самим доводиться можливість початку в реальності гоління себе самим, цього цирульника, раз почати він може в реальності голитися, і сам початок в реальності його цього гоління, почне відбуватися лише в той самий момент, коли він зможе голити на своїй бороді, хоча б мікроскопічну частина від одного з безлічі волосків на ній, для початку гоління якої, він в реальності не порушить першого наказу відданого йому мером міста (голити всіх тих, і тільки тих, які не голяться самі), раз ставати тим цирульником який голить себе сам, він може не відразу, а лише в момент збривання хоча б малої частини від одного з волосків на його бороді, і порушувати другий наказ відданий йому мером міста (не голити всіх тих, що голяться самі), тому він і не може цією його спробою початку гоління себе самого, тому що логічно вірним: вважається всякий новий раз не знання цирульником для себе самого, може, зможе, він у кожен, новий майбутній раз, могти, і змогти, сам себе голити, і почати сам себе голити, або ж він не може і не зможе цього зробити, а той, хто не знає повністю про себе самого цирульників, наперед, власних його можливостей як в умінні голити себе самого, так і навпаки не в умінні голити себе самого, не може вважатися за цій причині відразу ж заздалегідь, тим цирульником, про якого відомо те, що він сам голить, і може, зможе, сам себе поголити! Коли ж цей "незнаючий сам себе" цирульник, збреє вже, хоча б одну малу частину, від одного з волосків, на своїй бороді, він тільки в цей момент, зуміє зрозуміти про себе те, що він зміг сам себе все-таки голити, але він не порушить цим у цей момент, другий наказ відданий йому мером міста (не голити всіх тих, що голяться самі), раз він про себе, не знав, і ніколи не знає наперед, зможе він сам себе голити завжди в майбутньому, або ж не зможе він цього робити, а це незнання їм своїх власних майбутніх можливостей, і робить собою його цирульником, який не порушив цей другий наказ мера, виходячи з якого, він не повинен голити всіх тих, що голяться самі, і тому зрозумівши про себе самому те, що він почав голити себе сам, він у цей момент, просто дотримуючись цього другого правила, що забороняє йому голити всіх тих, що голяться самі, зупиниться на мить у своєму голінні самого себе, і перестане голити себе сам цим, і відразу зрозумівши те, що він зобов'язаний знову почати виконувати перше віддане йому меро м наказ, а тобто, наказ про його обов'язок гоління всіх тих, і тільки тих, які не голяться самі, спробує почати, щоб його не порушувати, знову голити себе сам, і далі ці цикли його то зупинки у власному голінні, то знову початок цього гоління, продовжуватимуться доти, поки він повністю не збреє всю свою бороду, тим самим він і зуміє сам власноруч, зголити повністю всю свою бороду, не порушивши накази дані йому мером міста! !! У цьому полягає інший варіант розгадки цього "парадоксу брадобрея"!!!