Гіа квадратні рівняння. Навчальний проект "Рівняння в завданнях оге"

Тойлонов Аргімай та Тойлонов Еркей

Математичне освіту, отримуване в загальноосвітній школі, є найважливішим компонентом загальної освіти та загальної культури сучасної людини. Практично все, що оточує сучасну людину – це все так чи інакше пов'язане з математикою. А останні досягнення у фізиці, техніці та інформаційних технологіях не залишають жодного сумніву, що й у майбутньому стан речей залишиться тим самим. Тому вирішення багатьох практичних завдань зводиться до розв'язання різних видів рівнянь, які необхідно навчитися розв'язувати.

А з 2013 року атестація з математики після закінчення основної школи проводиться у формі ОДЕ. Як і ЄДІ, ОДЕ покликана проводити атестацію не лише з алгебри, а й по всьому курсу математики основної школи.

Левова частка завдань, однак зводяться до складання рівнянь та його рішень. Щоб перейти до дослідження цієї теми, нам необхідно було відповісти на запитання: «Які види рівнянь зустрічаються у завданнях ОДЕ? » та «Які існують способи розв'язання даних рівнянь?»

Таким чином виникає необхідність вивчення всіх видів рівнянь, які зустрічаються в завданнях ОДЕ. Все сказане вище визначає

Метоюроботи є комплектувати всі види рівнянь, що зустрічаються в завданнях ОДЕ за видами та розібрати основні способи розв'язання даних рівнянь.

Для реалізації мети нами поставлені такі завдання:

1) Вивчити основні ресурси для підготовки до основних державних іспитів.

2) Комплектувати усі рівняння за видами.

3) Провести аналіз способів розв'язання даних рівнянь.

4) Скласти збірку з усіма видами рівнянь та їх рішеннями.

Об'єкт дослідження:рівняння.

Предмет дослідження:рівняння у завданнях ОДЕ.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Муніципальна бюджетна освітня установа

«Чибітська середня загальноосвітня школа»

НАВЧАЛЬНИЙ ПРОЕКТ:

«РІВНЯННЯ У ЗАВДАННЯХ ОДЕ»

Тойлонов Еркей

Учні 8 класу

Керівник: Тойлонова Надія Володимирівна, вчитель математики.

Строки реалізації проекту:

з 13.12.2017 до 13.02. 2018 р.

Вступ ………………………………………………………………..
Історична довідка …………………………………………………
Глава 1 Рішення рівнянь …………………………………………...
1.1 Рішення лінійних рівнянь ……………………………………
1.2 Квадратні рівняння ……………………………………………
1.2.1 Неповні квадратні рівняння ………………………………	9-11
1.2.2 Повні квадратні рівняння …………………………………	11-14
1.2.3 Приватні методи розв'язання квадратних рівнянь …………….	14-15
1.3 Раціональні рівняння ………………………………………….	15-17
Глава 2 Складні рівняння ………………………………………….	18-24
Висновки …………………………………………………………………
Список використаної літератури …………………………………
Додаток 1 «Лінійні рівняння» ……………………………….	26-27
Додаток 2 «Неповні квадратні рівняння» …………………	28-30
Додаток 3 «Повні квадратні рівняння» ……………………	31-33
Додаток 4 «Раціональні рівняння» ………………………….	34-35
Додаток 5 «Складні рівняння» ………………………………..	36-40

ВСТУП

Математичне освіту, здобуте у загальноосвітній школі, є найважливішим компонентом загальної освіти та загальної культури сучасної людини. Практично все, що оточує сучасну людину – це все так чи інакше пов'язане з математикою. А останні досягнення у фізиці, техніці та інформаційних технологіях не залишають жодного сумніву, що й у майбутньому стан речей залишиться тим самим. Тому вирішення багатьох практичних завдань зводиться до розв'язання різних видів рівнянь, які необхідно навчитися розв'язувати.

Таким чином виникає необхідність вивчення всіх видів рівнянь, які зустрічаються в завданнях ОДЕ. Все сказане вище визначаєактуальність проблеми виконаної роботи

Метою роботи є комплектувати всі види рівнянь, що зустрічаються в завданнях ОДЕ за видами та розібрати основні способи розв'язання даних рівнянь.

Для реалізації мети нами поставлені такізавдання:

1) Вивчити основні ресурси для підготовки до основних державних іспитів.

2) Комплектувати усі рівняння за видами.

3) Провести аналіз способів розв'язання даних рівнянь.

4) Скласти збірку з усіма видами рівнянь та їх рішеннями.

Об'єкт дослідження:рівняння.

Предмет дослідження:рівняння у завданнях ОДЕ.

План роботи над проектом:

Формулювання теми проекту.
Підбір матеріалу з офіційних джерел на задану тему.
Обробка та систематизація інформації.
Реалізація проекту.
Оформлення проекту.
Захист проекту.

Проблема : поглибити уявлення про рівняння Показати основні методи розв'язання рівнянь, поданих у завданнях ОДЕ у першій та другій частині.

Ця робота є спробою узагальнити та систематизувати вивчений матеріал та вивчити новий. У проект включені: лінійні рівняння з перенесенням складових з однієї частини рівняння до іншої і із застосуванням властивості рівнянь, як і завдання, розв'язувані рівнянням, всі види квадратних рівнянь і методи розв'язання раціональних рівнянь.

Математика... виявляє порядок, симетрію та визначеність,

а це найважливіші види прекрасного.

Арістотель.

Історична довідка

У ті далекі часи, коли мудреці вперше почали замислюватися про рівність, що містять невідомі величини, напевно, ще не було ні монет, ні гаманців. Зате були купи, а також горщики, кошики, які чудово підходили на роль схованок-сховищ, що вміщають невідому кількість предметів. "Шукається купа, яка разом із двома третинами її, половиною та однією сьомою становить 37...", - повчав у II тисячолітті до нової ери єгипетський переписувач Ахмес. У стародавніх математичних завданнях Межиріччя, Індії, Китаю, Греції невідомі величини виражали кількість павичів у саду, кількість бугаїв у стаді, сукупність речей, що враховуються при розподілі майна. Добре навчені науці рахунки переписувачі, чиновники та посвячені в таємні знання жерці досить успішно справлялися з такими завданнями.

Джерела, що дійшли до нас, свідчать, що древні вчені володіли якимись загальними прийомами вирішення завдань з невідомими величинами. Однак в жодному папірусі, в жодній глиняній табличці не дано опису цих прийомів. Автори лише зрідка постачали свої числові викладки скупими коментарями типу: "Дивись!", "Роби так!", "Ти правильно знайшов". У цьому сенсі винятком є "Арифметика" грецького математика Діофанта Олександрійського (III ст.) - Збір завдань на складання рівнянь із систематичним викладом їх рішень.

Однак першим керівництвом з вирішення завдань, що набуло широкої популярності, стала праця багдадського вченого IX ст. Мухаммеда бен Муси аль-Хорезмі. Слово "аль-джебр" з арабської назви цього трактату - "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга про відновлення і протиставлення") - згодом перетворилося на добре знайоме всім слово "алгебра", а сам твір аль-Хорезмі послужив відправною точкою у становленні науки про розв'язання рівнянь.

Отже, що таке рівняння?

Існують рівняння у правах, рівняння часу (переведення справжнього сонячного часу в середнє сонячний час, прийняте у гуртожитку та у науці; астр.) і т.д.

У математиці – це математична рівність, що містить одну або кілька невідомих величин і зберігає свою силу лише за певних значень цих невідомих величин.

У рівняннях з однією змінною невідоме зазвичай позначають буквою «х». Значення «х », Що задовольняє цим умовам, називають коренем рівняння.

Рівняння бувають різнихвидів:

ax + b = 0. - Лінійне рівняння.
ax 2 + bx + c = 0. - Квадратне рівняння.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Біквадратичне рівняння.

– Раціональне рівняння.

– Ірраціональне рівняння.
Існують такіспособи розв'язання рівняньяк: алгебраїчний, арифметичний та геометричний. Розглянемо метод алгебри.

Вирішити рівняння- це знайти такі значення ікса, які при підстановці у вихідний вираз дадуть нам правильну рівність або довести, що рішень немає. Рішення рівнянь, нехай це складно, захоплює нас. Адже це дійсно дивно, коли від одного невідомого числа залежить цілий потік чисел.

У рівняннях знаходження невідомого треба перетворити і спростити вихідний вираз. Причому так, щоб зміни зовнішнього вигляду суть висловлювання не змінювалася. Такі перетворення називаються тотожними чи рівносильними.

Глава 1 Розв'язання рівнянь

1.1 Розв'язання лінійних рівнянь.

Зараз ми з вами розглянемо розв'язки лінійних рівнянь. Згадаймо, що рівняння видуназивається лінійним рівнянням або рівнянням першого ступеня так як при зміннійх »Старший ступінь знаходиться в першому ступені.

Рішення лінійного рівняння дуже просте:

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 3 x +3=5 x

Лінійне рівняння вирішується методом перенесення членів, що містять невідомі в ліву частину від знака рівності, вільні коефіцієнти в праву частину від знака рівності:

3 x - 5 x = - 3

2 x=-3

x = 1,5

Значення змінної, що обертає рівняння у правильну рівність, називаєтьсякоренем рівняння.

Виконавши перевірку отримаємо:

Значить 1,5 – корінь рівняння.

Відповідь: 1,5.

Розв'язання рівнянь методом перенесення доданків з однієї частини рівняння до іншої, при цьому знак доданків змінюється на протилежний і застосовуютьвластивості рівнянь - обидві частини рівняння можна помножити (розділити) на те саме відмінне від нуля число або вираз, можна розглянути при вирішенні наступних рівнянь.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння:

а) 6 x +1=− 4 x; б) 8+7 x =9 x +4; в) 4(x −8)=− 5.

Рішення.

а) Методом перенесення вирішуємо

6 x + 4 x = ─1;

10 x = - 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Перевірка:

Відповідь: -0,1

б) Аналогічно попередньому прикладу вирішуємо шляхом перенесення:

Відповідь: 2.

в) У цьому рівнянні необхідно розкрити дужки, застосовуючи розподільну властивість множення щодо операції додавання.

Відповідь: 6,75.

1.2 Квадратні рівняння

Рівняння виду називають квадратним рівнянням, де a - Старший коефіцієнт, b - Середній коефіцієнт, с - вільний член.

Залежно від коефіцієнтіва, b і с – рівняння може бути повним чи не повним, наведеним чи не наведеним.

1.2.1 Неповні квадратні рівняння

Розглянемо способи розв'язання неповних квадратних рівнянь:

1) Почнемо розібратися з рішенням першого виду неповних квадратних рівнянь при c=0 . Неповні квадратні рівняння виду a x 2 + b x = 0 дозволяє вирішитиметод розкладання на множники. Зокрема, метод винесення за дужки.

Очевидно, ми можемо, що знаходиться в лівій частині рівняння, для чого достатньо винести за дужки загальний множник x . Це дозволяє перейти від вихідного неповного квадратного рівняння до рівносильного рівняння виду: x · (a x + b) = 0 .

А це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь x=0 або a x+b=0 , останнє з яких є лінійним і має корінь x=−.

a x 2 + b x = 0 має два корені

x=0 та x=− .

2) Тепер розглянемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння, у яких коефіцієнт b дорівнює нулю, а c≠0 , тобто, рівняння виду a x 2 +c=0 . Ми знаємо, що перенесення доданку з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також поділ обох частин рівняння на відмінне від нуля число дають рівносильне рівняння. Тому можна провести наступні рівносильні перетворення неповного квадратного рівняння a x 2 + c = 0 :

перенести c у праву частину, що дає рівняння a x 2 = -c ,
і розділити обидві його частини на a отримуємо.

Отримане рівняння дозволяє зробити висновки про його коріння.

Якщо число – негативне, то рівняння немає коренів. Це твердження випливає з того, що квадрат будь-якого числа є невід'ємним числом.

Якщо ж - Позитивне число, то справа з корінням рівняння йде інакше. У цьому випадку слід згадати, що корінь рівняння є, ним є число. Корінь рівняння обчислюється за схемою:

Відомо, що підстановка рівняння замість x його коріння звертає рівняння у правильну рівність.

Узагальним інформацію цього пункту. Неповне квадратне рівняння a x 2 +c=0 рівносильно рівнянню, яке

3) Розв'язання неповних квадратних рівнянь, у яких коефіцієнти b та c рівні нулю, тобто, з рівнянь виду a x 2 = 0 . Рівнянню a x 2 = 0 слід x 2 = 0 , що виходить з вихідного поділом його обох частин на відмінне від нуля число a . Очевидно, коренем рівняння x 2 =0 є нуль, так як 0 2 =0 . Іншого коріння це рівняння не має.

Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 = 0 має єдиний корінь x=0.

приклад 3. Розв'яжіть рівняння: а) x 2 = 5x, якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді вкажіть менший з них;

б) , якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді вкажіть більший з них;

в) х 2 −9=0, якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді вкажіть менший із них.

Рішення.

Здобули неповне квадратне рівняння до якого відсутня вільний член. Вирішуємо методом винесення за дужки.

У рівняння вміє два корені, найменше з яких є 0.

Відповідь: 0.

б) . Аналогічно попередньому прикладу застосовуємо метод винесення за дужки

У відповіді необхідно вказати більший із коренів. Таким є число 2.

Відповідь: 2.

в) . Це рівняння є неповним квадратним рівнянням, у якого відсутній середній коефіцієнт.

Найменшим із цих коренів є число – 3.

Відповідь: -3.

1.2.2 Повні квадратні рівняння.

1. Дискримінант, основна формула коренів квадратного рівняння

Існує формула коренів.

Запишемо формулу коренів квадратного рівняння покроково:

1) D=b 2 −4·a·c - так званий.

а) якщо D

б) якщо D>0, то рівнянняне має одного коріння:

в) якщо D не має два корені:

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

Насправді при розв'язанні квадратних рівняння можна одночасно використовувати формулу коренів, з допомогою якої обчислити їх значення. Але це більше ставиться до знаходження комплексного коріння.

Однак у шкільному курсіалгебри зазвичай йдеться не про комплексні, а про дійсне коріння квадратного рівняння. У цьому випадку доцільно перед використанням формул коренів квадратного рівняння попередньо знайти дискримінант, переконатися, що він невід'ємний (інакше можна робити висновок, що рівняння не має дійсних коренів), і вже після цього обчислювати значення коренів.

Наведені міркування дозволяють записатиалгоритм розв'язання квадратного рівняння. Щоб розв'язати квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 , треба:

за формулою дискримінанта D=b 2 −4·a·c обчислити його значення;
зробити висновок, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант негативний;
обчислити єдиний корінь рівняння за формулою, якщо D=0;
знайти два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою коренів, якщо дискримінант є позитивним.

2. Дискримінант, друга формула коренів квадратного рівняння (при парному другому коефіцієнті).

Для розв'язання квадратних рівнянь виду, при парному коефіцієнті b=2k Існують інша формула.

Запишемо нову формулу коренів квадратного рівняння при:

1) D'=k 2 −a·c - так званийдискримінант квадратного рівняння.

а) якщо D’ не має дійсних коренів;

б) якщо D'>0, то рівнянняне має одного коріння:

в) якщо D' не має два корені:

приклад 4. Розв'яжіть рівняння 2x 2 −3x+1=0.. Якщо рівняння має більше одного кореня, у відповідь запишіть більший із коренів.

Рішення. У першому випадку маємо такі коефіцієнти квадратного рівняння: a=2 , b=-3 та c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Оскільки 1>0

У нас вийшло два корені найбільший з яких є число 1.

Відповідь: 1.

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння x 2 −21=4x.

Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

Рішення. За аналогією з попереднім прикладом перенесемо 4ч у ліву сторону від знака рівності та отримаємо:

В даному випадку маємо такі коефіцієнти квадратного рівняння: a=1 , k=-2 та c=−21 . Згідно з алгоритмом, спочатку треба обчислити дискримінант D'=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Число 25>0 тобто дискримінант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсних кореня. Знайдемо їх за формулою коріння

Відповідь: 7.

1.2.3 Приватні методи розв'язання квадратних рівнянь.

1) Зв'язок між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Теорема Вієта.

Формула коріння квадратного рівняння виражає коріння рівняння через його коефіцієнти. Відштовхуючись від формули коренів, можна отримати інші залежності між корінням та коефіцієнтами.

Найбільш відомою та застосовною формулою званої Теоремою Вієта.

Теорема: Нехай - коріння наведеного квадратного рівняння. Тоді добуток коренів дорівнює вільному члену, а сума коренів протилежному значенню другого коефіцієнта:

Використовуючи вже записані формули можна отримати і ряд інших зв'язків між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, можна виразити суму квадратів коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти.

Приклад 6. а) Розв'яжіть рівняння x 2

б) Розв'яжіть рівняння x 2

в) Розв'яжіть рівняння x 2

Рішення.

а) Розв'яжіть рівняння x 2 −6x+5=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

Вибираємо менший із коренів

Відповідь: 1

б) Розв'яжіть рівняння x 2 +7x+10=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

Застосовуючи теорему Вієта, записуємо формули для коріння

Розмірковуючи логічно робимо висновок, що. Вибираємо найбільше з коріння

Відповідь: ─2.

в) Розв'яжіть рівняння x 2 ─5x─14=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

Застосовуючи теорему Вієта, записуємо формули для коріння

Розмірковуючи логічно робимо висновок, що. Вибираємо менший із коренів

Відповідь: ─2.

1.3 Раціональні рівняння

Якщо вам дано рівняння з дробами видузі змінною в чисельнику або в знаменнику, такий вираз називається раціональним рівнянням. Раціональне рівняння – це будь-яке рівняння, яке включає у собі щонайменше одного раціонального висловлювання. Вирішуються раціональні рівняння так само, як будь-які рівняння: виконуються самі операції з обох сторін рівняння, поки змінна не відокремлюється з одного боку рівняння. Тим не менш, є 2 методи розв'язання раціональних рівнянь.

1) Множення хрест-навхрест.При необхідності перепишіть дане вам рівняння так, щоб на кожній його стороні знаходився один дріб (одне раціональне вираження); тільки в цьому випадку ви зможете скористатися методом множення навхрест.

Помножте чисельник лівого дробу на знаменник правого. Повторіть це з чисельником правого дробу та знаменником лівого.

Множення хрест-навхрест засноване на основних принципах алгебри. У раціональних виразах та інших дробах можна позбутися чисельника, відповідно перемноживши чисельники і знаменники двох дробів.
Прирівняйте отримані вирази та спростіть їх.
Розв'яжіть отримане рівняння, тобто знайдіть «х». Якщо "х" знаходиться з обох сторін рівняння, відокремте його на одній стороні рівняння.

2) Найменший загальний знаменник (НОЗ) використовується для спрощення рівняння.Цей метод застосовується в тому випадку, коли ви не можете записати дане рівняння з одним раціональним виразом на кожній стороні рівняння (і скористатися методом множення навхрест). Цей метод використовується, коли вам дано раціональне рівняння з 3 або більше дробами (у разі двох дробів краще застосувати множення навхрест).

Знайдіть найменший загальний знаменник дробів (або найменший загальний кратний).НОЗ - це найменше число, яке ділиться націло на кожен знаменник.
Помножте і чисельник, і знаменник кожного дробу на число, що дорівнює результату поділу НОЗ на відповідний знаменник кожного дробу.
Знайдіть х. Тепер, коли ви привели дроби до спільного знаменника, ви можете позбавитися знаменника. Для цього помножте кожну сторону рівняння на спільний знаменник. Потім розв'яжіть отримане рівняння, тобто знайдіть «х». Для цього відокремте змінну на одній із сторін рівняння.

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння: а); б) в).

Рішення.

а) . Застосовуємо метод множення хрест навхрест.

Розкриваємо дужки та наводимо подібні доданки.

отримали лінійне рівнянняз однією невідомою

Відповідь: ─10.

б) , аналогічно до попереднього прикладу застосовуємо метод множення хрест на хрест.

Відповідь: ─1,9.

в) , застосовуємо метод найменшого спільного знаменника (НОЗ).

У цьому прикладі загальний знаменник буде 12.

Відповідь: 5.

Розділ 2 Складні рівняння

Рівняння, що належать до категорії складних рівнянь, можуть поєднувати різні методи і прийоми рішення. Але, так чи інакше, усі рівняння методом логічних міркувань та рівносильних дій призводять до рівнянь, які раніше були вивчені.

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння ( x +3)2 = (x +8) 2 .

Рішення. За формулами скороченого множення розкриємо дужки:

Переносимо всі члени за знак рівняння і наводимо подібні,

Відповідь: 5,5.

Приклад 8. Розв'яжіть рівняння: а)(− 5 x +3)(− x +6)=0, б) (x +2)(− x +6)=0.

Рішення.

а)(− 5 x +3)(− x +6) = 0; розкриємо дужки і наведемо подібні доданки

отримали повне квадратне рівняння, яке вирішуватимемо через першу формулу дискримінанта

рівняння має два корені

Відповідь: 0,6 та 6.

б) (x +2)(− x +6)=0, для даного рівняння зробимо логічні міркування (твір дорівнює нулю, коли один із множників дорівнює нулю). Значить

Відповідь: ─2 та 6.

Приклад 9. Розв'яжіть рівняння:б) .

Рішення. Знайдемо найменший спільний знаменник

Запишемо в порядку зменшення ступенів змінної

; отримали повне квадратне рівняння з парним другим коефіцієнтом

Рівняння має два дійсні корені

Відповідь: .

б) . Міркування аналогічні а). Знаходимо НОЗ

Розкриваємо дужки наводимо подібні доданки

розв'язуємо повне квадратне рівняння через загальну формулу

Відповідь: .

приклад 10. Розв'яжіть рівняння:

Рішення.

а) , Зауважуємо, що в лівій частині вираз усередині дужок є формулою скороченого множення, точніше квадрат суми двох виразів. Перетворимо його

; перенесемо члени даного рівняння в один бік

винесемо за дужки

Добуток дорівнює нулю коли один із множників дорівнює нулю. Значить,

Відповідь: ─2, ─1 та 1.

б) Міркуємо так само як і для прикладу а)

, за теоремою Вієта

Відповідь:

Приклад 11. Розв'яжіть рівняння а)

Рішення.

а) ; [у лівій та правій частині рівняння можна застосувати метод винесення за дужки, причому у лівій частині винесемо, а правій частині винесемо число 16.]

[перенесемо все в один бік і ще раз застосуємо метод винесення за дужки. Виноситимемо спільний множник]

[твір дорівнює нулю, коли один із множників дорівнює нулю.]

Відповідь:

б) . [Це рівняння подібне до рівняння а). Тому в даному випадку застосуємо метод угруповання]

Відповідь:

приклад 12. Розв'яжіть рівняння=0.

Рішення.

0 [біквадратне рівняння. Вирішується методом заміни змінної].

0; [Застосовуючи теорему Вієта одержуємо коріння]

. [повертаємось до попередніх змінних]

Відповідь:

приклад 13. Розв'яжіть рівняння

Рішення. [біквадратне рівняння, позбавляємося парного ступеня, застосовуючи знаки модуля.]

[отримали два квадратні рівняння, які вирішуємо через основну формулу коренів квадратного рівняння]

дійсних коренів немає рівняння має два корені

Відповідь:

приклад 14. Розв'яжіть рівняння

Рішення.

ОДЗ:

[переносимо всі члени рівняння ліву сторону і наведемо подібні доданки]

[отримали наведене квадратне рівняння, яке легко вирішується за теоремою Вієта]

Число – 1 не задовольняє ОДЗ заданого рівняння, тому він може бути коренем даного рівняння. Отже, коренем є число 7.

Відповідь: 7.

приклад 15. Розв'яжіть рівняння

Рішення.

Сума квадратів двох виразів може дорівнювати нулю тільки в тому випадку, коли вирази дорівнюють нулю одночасно. А саме

[Вирішуємо кожне рівняння окремо]

За теоремою Вієта

Збіг коренів рівних -5 і буде коренем рівняння.

Відповідь: - 5.

ВИСНОВОК

Підбиваючи підсумки виконаної роботи можна дійти невтішного висновку: рівняння грають величезну роль розвитку математики. Ми систематизували отримані знання, узагальнили пройдений матеріал. Ці знання можуть підготуватися до майбутніх іспитів.

Наша робота дозволяє по-іншому подивитися на ті завдання, які ставить перед нами математика.

по закінченні проекту ми систематизували та узагальнили вивчені раніше способи розв'язання рівнянь;
познайомилися з новими способами розв'язання рівнянь та властивостями рівнянь;

розглянули всі види рівнянь, які є у завданнях ОДЕ як у першій частині, так і у другій частині.
Створили методичний збірник «Рівняння у завданнях ОДЕ».

Вважаємо, що мета поставлену перед нами – розглянути всі види рівнянь у завданнях основного державного іспитуз математики ми досягли.

Список використаної литературы:

1. Б.В. Гніденко «Математика в сучасному світі». Москва "Освіта" 1980 р.

2. Я.І. Перельман "Цікава алгебра". Москва "Наука" 1978 р.

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Додаток 1

Лінійні рівняння

1. Знайдіть корінь рівняння

2. Знайдіть корінь рівняння

3. Знайдіть корінь рівняння

Додаток 2

Неповні квадратні рівняння

1. Розв'яжіть рівняння x 2 = 5x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

2. Розв'яжіть рівняння 2x 2 = 8x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

3. Розв'яжіть рівняння 3x 2 = 9x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

4. Розв'яжіть рівняння 4x 2 =20x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

5. Розв'яжіть рівняння 5x 2 =35x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

6. Розв'яжіть рівняння 6x 2 =36x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

7. Розв'яжіть рівняння 7x 2 = 42x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

8. Розв'яжіть рівняння 8x 2 =72x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

9. Розв'яжіть рівняння 9x 2 =54x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

10. Розв'яжіть рівняння 10x2 = 80x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

11. Розв'яжіть рівняння 5x2 −10x=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

12. Розв'яжіть рівняння 3x2 −9x=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

13. Розв'яжіть рівняння 4x2 −16x=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

14. Розв'яжіть рівняння 5x2 +15x = 0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

15. Розв'яжіть рівняння 3x2 +18x = 0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

16. Розв'яжіть рівняння 6x2 +24x = 0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

17. Розв'яжіть рівняння 4x2 −20x=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

18. Розв'яжіть рівняння 5x2 +20x = 0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

19. Розв'яжіть рівняння 7x2 −14x=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

20. Розв'яжіть рівняння 3x2 +12x = 0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

21. Розв'яжіть рівняння x2 −9=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

22. Розв'яжіть рівняння x2 −121=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

23. Розв'яжіть рівняння x2 −16=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

24. Розв'яжіть рівняння x2 −25=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

25. Розв'яжіть рівняння x2 −49=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

26. Розв'яжіть рівняння x2 −81=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

27. Розв'яжіть рівняння x2 −4=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

28. Розв'яжіть рівняння x2 −64=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

29. Розв'яжіть рівняння x2 −36=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

30. Розв'яжіть рівняння x2 −144=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

31. Розв'яжіть рівняння x2 −9=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

32. Розв'яжіть рівняння x2 −121=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

33. Розв'яжіть рівняння x2 −16=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

34. Розв'яжіть рівняння x2 −25=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

35. Розв'яжіть рівняння x2 −49=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

36. Розв'яжіть рівняння x2 −81=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

37. Розв'яжіть рівняння x2 −4=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

38. Розв'яжіть рівняння x2 −64=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

39. Розв'яжіть рівняння x2 −36=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

40. Розв'яжіть рівняння x2 −144=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

Додаток 3

Повні квадратні рівняння

1. Розв'яжіть рівняння x2 +3x=10. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

2. Розв'яжіть рівняння x2 +7x = 18. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

3. Розв'яжіть рівняння x2 +2x = 15. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

4. Розв'яжіть рівняння x2 −6x=16. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

5. Розв'яжіть рівняння x2 −3x=18. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

6. Розв'яжіть рівняння x2 −18=7x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

7. Розв'яжіть рівняння x2 +4x = 21. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

8. Розв'яжіть рівняння x2 −21=4x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

9. Розв'яжіть рівняння x2 −15=2x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

10. Розв'яжіть рівняння x2 −5x=14. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

11. Розв'яжіть рівняння x2 +6 = 5x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

12. Розв'яжіть рівняння x2 +4 = 5x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

13. Розв'яжіть рівняння x2 −x=12. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

14. Розв'яжіть рівняння x2 +4x = 5. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

15. Розв'яжіть рівняння x2 −7x=8. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

16. Розв'яжіть рівняння x2 +7 = 8x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

17. Розв'яжіть рівняння x2 +18 = 9x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

18. Розв'яжіть рівняння x2 +10 = 7x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

19. Розв'яжіть рівняння x2 −20=x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

20. Розв'яжіть рівняння x2 −35=2x. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

21. Розв'яжіть рівняння 2x2 −3x+1=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

22. Розв'яжіть рівняння 5x2 +4x−1=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

23. Розв'яжіть рівняння 2x2 +5x−7=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

24. Розв'яжіть рівняння 5x2 −12x+7=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

25. Розв'яжіть рівняння 5x2 −9x+4=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

26. Розв'яжіть рівняння 8x2 −12x+4=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

27. Розв'яжіть рівняння 8x2 −10x+2=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

28. Розв'яжіть рівняння 6x2 −9x+3=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

29. Розв'яжіть рівняння 5x2 +9x+4=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

30. Розв'яжіть рівняння 5x2 +8x+3=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

31. Розв'яжіть рівняння x2 −6x+5=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

32. Розв'яжіть рівняння x2 −7x+10=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

33. Розв'яжіть рівняння x2 −9x+18=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

34. Розв'яжіть рівняння x2 −10x+24=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

35. Розв'яжіть рівняння x2 −11x+30=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

36. Розв'яжіть рівняння x2 −8x+12=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

37. Розв'яжіть рівняння x2 −10x+21=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

38. Розв'яжіть рівняння x2 −9x+8=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

39. Розв'яжіть рівняння x2 −11x+18=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

40. Розв'яжіть рівняння x2 −12x+20=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

Додаток 4.

Раціональні рівняння.

1. Знайдіть корінь рівняння

2. Знайдіть корінь рівняння

3. Знайдіть корінь рівняння

4. Знайдіть корінь рівняння

5. Знайдіть корінь рівняння

6. Знайдіть корінь рівняння.

7. Знайдіть корінь рівняння

8. Знайдіть корінь рівняння

9. Знайдіть корінь рівняння.

10. Знайдіть корінь рівняння

11. Знайдіть корінь рівняння.

12. Знайдіть корінь рівняння

13. Знайдіть корінь рівняння

14. Знайдіть корінь рівняння

15. Знайдіть корінь рівняння

16. Знайдіть корінь рівняння

17. Знайдіть корінь рівняння

18. Знайдіть корінь рівняння

19. Знайдіть корінь рівняння

20. Знайдіть корінь рівняння

21. Знайдіть корінь рівняння

22. Знайдіть корінь рівняння

23. Знайдіть корінь рівняння

Додаток 5

Складні рівняння.

1. Знайдіть корінь рівняння (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Знайдіть корінь рівняння (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Знайдіть корінь рівняння (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Знайдіть корінь рівняння (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Знайдіть корінь рівняння (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Знайдіть корінь рівняння.

7. Знайдіть корінь рівняння.

8. Знайдіть корінь рівняння.

9. Знайдіть корінь рівняння.

10. Знайдіть корінь рівняння.

11. Розв'яжіть рівняння (x+2)(− x+6)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

12. Розв'яжіть рівняння (x+3)(− x−2)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

13. Розв'яжіть рівняння (x−11)(− x+9)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

14. Розв'яжіть рівняння (x−1)(− x−4)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

15. Розв'яжіть рівняння (x−2)(− x−1)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

16. Розв'яжіть рівняння (x+20)(− x+10)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

17. Розв'яжіть рівняння (x−2)(− x−3)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

18. Розв'яжіть рівняння (x−7)(− x+2)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

19. Розв'яжіть рівняння (x−5)(− x−10)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

20. Розв'яжіть рівняння (x+10)(− x−8)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

21. Розв'яжіть рівняння (− 5x+3)(− x+6)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

22. Розв'яжіть рівняння (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

23. Розв'яжіть рівняння (−x−4)(3x+3)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

24. Розв'яжіть рівняння (x−6)(4x−6)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

25. Розв'яжіть рівняння (− 5x−3)(2x−1)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

26. Розв'яжіть рівняння (x−2)(− 2x−3)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

27. Розв'яжіть рівняння (5x+2)(− x−4)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

28. Розв'яжіть рівняння (x−6)(− 5x−9)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

29. Розв'яжіть рівняння (6x−3)(− x+3)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь більший з коренів.

30. Розв'яжіть рівняння (5x−2)(− x+3)=0. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь менший з коренів.

31. Розв'яжіть рівняння

32. Розв'яжіть рівняння

33. Розв'яжіть рівняння

34. Розв'яжіть рівняння

35. Розв'яжіть рівняння

36. Розв'яжіть рівняння

37. Розв'яжіть рівняння

38. Розв'яжіть рівняння

39. Розв'яжіть рівняння

40 Розв'яжіть рівняння

41. Розв'яжіть рівняння x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Розв'яжіть рівняння (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Розв'яжіть рівняння x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Розв'яжіть рівняння (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Розв'яжіть рівняння x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. Розв'яжіть рівняння (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Розв'яжіть рівняння (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Розв'яжіть рівняння x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Розв'яжіть рівняння (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Розв'яжіть рівняння (x−2)(x2 +6x+9) = 6(x+3).

51. Розв'яжіть рівняння (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Розв'яжіть рівняння (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Розв'яжіть рівняння (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Розв'яжіть рівняння (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Розв'яжіть рівняння (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Розв'яжіть рівняння (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Розв'яжіть рівняння (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Розв'яжіть рівняння (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Розв'яжіть рівняння (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Розв'яжіть рівняння (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Розв'яжіть рівняння x3 +3x2 = 16x +48.

62. Розв'яжіть рівняння x3 +4x2 =4x+16.

63. Розв'яжіть рівняння x3 +6x2 =4x+24.

64. Розв'яжіть рівняння x3 +6x2 = 9x +54.

65. Розв'яжіть рівняння x3 +3x2 =4x+12.

66. Розв'яжіть рівняння x3 +2x2 = 9x +18.

67. Розв'яжіть рівняння x3 +7x2 =4x+28.

68. Розв'яжіть рівняння x3 +4x2 = 9x +36.

69. Розв'яжіть рівняння x3 +5x2 = 4x +20.

70. Розв'яжіть рівняння x3 +5x2 = 9x +45.

71. Розв'яжіть рівняння x3 +3x2 −x−3=0.

72. Розв'яжіть рівняння x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Розв'яжіть рівняння x3 +5x2 −x−5=0.

74. Розв'яжіть рівняння x3 +2x2 −x−2=0.

75. Розв'яжіть рівняння x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Розв'яжіть рівняння x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Розв'яжіть рівняння x3 +4x2 −x−4=0.

78. Розв'яжіть рівняння x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Розв'яжіть рівняння x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Розв'яжіть рівняння x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Розв'яжіть рівняння x4 =(x−20)2 .

82. Розв'яжіть рівняння x4 =(2x−15)2 .

83. Розв'яжіть рівняння x4 =(3x−10)2 .

84. Розв'яжіть рівняння x4 =(4x−5)2 .

85. Розв'яжіть рівняння x4 =(x−12)2 .

86. Розв'яжіть рівняння x4 =(2x−8)2 .

87. Розв'яжіть рівняння x4 =(3x−4)2 .

88. Розв'яжіть рівняння x4 =(x−6)2 .

89. Розв'яжіть рівняння x4 =(2x−3)2 .

90. Розв'яжіть рівняння x4 =(x−2)2 .

91. Розв'яжіть рівняння

92. Розв'яжіть рівняння

93. Розв'яжіть рівняння

94. Розв'яжіть рівняння

95. Розв'яжіть рівняння

96. Розв'яжіть рівняння

97. Розв'яжіть рівняння

98. Розв'яжіть рівняння

99. Розв'яжіть рівняння

100. Розв'яжіть рівняння

101. Розв'яжіть рівняння.

102. Розв'яжіть рівняння

103. Розв'яжіть рівняння

104. Розв'яжіть рівняння

105. Розв'яжіть рівняння

106. Розв'яжіть рівняння

107. Розв'яжіть рівняння

108. Розв'яжіть рівняння

109. Розв'яжіть рівняння

110. Розв'яжіть рівняння

Вчитель : Юргенсон Вероніка Олександрівна

Клас: 9

Предмет: Алгебра

Тема урока: Урок-підготовка до ОДЕ у 9 класі «Квадратні рівняння».

Етап навчання з цієї теми : підготовка до ОДЕ.

Тип уроку: Урок узагальнення та систематизації знань

Ціль:

Діяльність: Формування в учнів умінь реалізовувати регулятивні методи действия.

Змістовна: - відпрацювання способів розв'язання квадратних рівнянь;

Вироблення вміння обирати найбільш раціональний спосіб розв'язання;

Розвиваюча: формувати ключові компетенції учнів: інформаційну (уміння аналізувати інформацію, порівнювати, робити висновки), проблемну (уміння ставити проблеми та за допомогою наявних знань знаходити вихід із ситуації); комунікативну (уміння працювати в групах, уміння слухати та чути інших, приймати думку інших)

Завдання для вчителя:

Сприяти актуалізації знань учнів про розв'язання квадратних рівнянь;

Організувати навчальну діяльність для відпрацювання способів розв'язання квадратних рівнянь;

Створити умови для формування навичок для вироблення вміння обирати найбільш раціональний спосіб розв'язання;

Створити умови для формування регулятивних УУД: цілепокладання, самооцінки та самоконтролю, планування.

Технологія: Різнорівневого навчання

Методи навчання: Наочний, словесний, метод взаємної перевірки, метод спільного знаходження оптимального рішення, тимчасова робота у групах, створення проблемної ситуації, репродуктивні (інструктаж, ілюстрування, пояснення, практичне тренування). Методи самоконтролю.

Використовувані форми організації пізнавальної діяльності учнів:

Колективна форма роботи (фронтальне опитування, усна робота), групова, індивідуальна робота (самостійна робота). робота в парах (взаємоопитування).

Обладнання та основні джерела інформації:

Комп'ютер, проектор, екран, презентація до уроку на тему «Способи розв'язання квадратних рівнянь».

Аркуш результативності для контролю та самоконтролю.

Картки-завдання для різнорівневих самостійних робіт

Технологічна карта уроку:

Діяльність

учня

Організаційний

Вітання учнів

Вітання вчителя

Постановка мети та завдань уроку. Мотивація навчальної діяльностіучнів

На підсумковій атестації часто зустрічаються завдання, де необхідно вміти розв'язувати квадратні рівняння.

Повідомлення мети уроку :

Сьогодні на уроці ми повторимо, узагальним, наведемо до системи вивчені види, методи та прийоми розв'язання квадратних рівнянь.

За підсумками своєї роботи, тобто за кількістю набраних балів, кожен отримає оцінки.

Девіз уроку: «Думаємо, мислимо, працюємо та допомагаємо один одному»

(Слайд 2 ).

Слухають вчителі.

Актуалізація знань.

Хлопці зазвичай ми починаємо урок з перевірки домашнього завдання.

Хто скаже, що треба було повторити квадратні рівняння?

Що таке квадратні рівняння?

Які вони бувають?

Які методи розв'язання квадратних рівнянь ви знаєте?

Відповідають питання вчителі проводять самооцінку своїх знань.

Узагальнення та систематизація знань

1.Взаємоконт-роль.

Ось рівняння (Слайд 3)

x 2 + 7 x – 18 = 0;

2 x 2 + 1 = 0;

x 2 –2 x + 9 = 0;

2 y 2 – 3y + 1 = 0;

2 y 2 = 1;

–2 x 2 – x + 1 = 0;

x 2 + 6 x = 0;

4x 2 =0;

– x 2 – 6 x=1

2 x + x 2 – 1=0

У вас на столі картка з питаннями, на які вам потрібно відповісти (додаток 1).

(слайд 4 ) Перевіряємо результати, поміняйтеся картками із сусідом.

Відповідають на запитання

2. Фронтальна робота із класом.

на(Слайді 5) записані формули із пропущеними елементами. Завдання класу дізнатися, що це за формула і чого не вистачає у записі цієї формули.

D = b ² – * a * .

D > 0 , означає * кореня.

D * 0 , отже 1 корінь.

D * 0 , означає * коріння.

Відповідають на запитання,

коригують знання.

Розв'яжіть рівняння з картки. Один із членів групи покаже рішення на дошці.

Порівняйте ваші відповіді з правильними, за кожну правильну відповідь – 1 бал

Вирішують рівняння,

Пояснюють рішення.

Фронтальна робота із класом

Скажіть, а могли б ви відразу, не проводячи обчислень, відповісти на моє запитання: «Чому дорівнює сума та добуток коренів квадратного рівняння?» (Одна людина біля дошки записує формули теореми Вієта).

(слайд6)

Наступне завдання: усно знайти суму та різницю коренів рівняння за теоремою:

(відповіді: 5 та 6; 9 та 20; -3 та 2) Знайомство з прийомом усного розв'язання деяких квадратних рівнянь.

Теорема Вієта знаходить широке застосуванняі в рівняннях видуaх 2 + bх + с = 0.

Використання деяких властивостей дає значні переваги для швидкого отримання відповіді під час вирішення квадратних рівнянь.

Розглянемо ці властивості(Слайд7)

1) a + b+с = 0 х 1 = 1, х 2 = с/а.

5х 2 + 4х - 9 = 0; х 1 =1, х 2 = - 9/2.

2) а -b+ с = 0 х 1 = - 1, х 2 = - з/а.

Наприклад: 4х 2 + 11х + 7 = 0; х 1 = - 1, х 2 = - 7/4.

(Слайд8)

3) а в + с 0

Усно вирішити рівняння: х 2 + bх + ас = 0

Його коріння поділити на а.

а) 2х 2 - 11х + 5 = 0.

Вирішуємо усно рівняння: х 2 - 11х + 10 = 0. Його коріння 1 і 10. Ділимо на 2.

Тоді х 1 = , х 2 = 5.

Відповідь: ; 5.

(слайд9)

в) 6х 2 -7х - 3 = 0

Вирішуємо усно рівняння: х 2 -7х - 18 = 0. Його коріння -2 і 9. Ділимо на 6.

Тоді х 1 = - , х 2 = .

Відповідь: -; .

Відповідають на запитання. Заповнюють прогалини у знаннях

Робота в різнорівневих групах

Прийом «Відповідність»

Прийом «Лови помилку»

Розв'яжіть рівняння, використовуючи ці властивості(слайд 10)

IГрупа.

1) знайдіть суму коренів рівняння

2х 2 - 3х + 1 = 0

2) Знайдіть добуток коренів рівняння

х 2 +9х +20 = 0

3) вирішіть рівняння

10х 2 - 8х - 2 = 0

IIГрупа.

1) знайдіть суму та добуток коренів рівняння

3х 2 - 8х + 5 = 0

Розв'яжіть рівняння

2)х 2 + 2х -24 = 0

3) 2 х 2 -7х +5 = 0

IIIгрупа

Вирішіть уранення:

1)х 2 +5х-6=0

2) 5х 2 -7х +2 = 0

3) 100х 2 -99х-199 = 0

Вирішують рівняння

Перевіряють рішення.

Проводять корекцію знань.

2.Співвіднесіть квадратні рівняння та способи їх вирішення:

(слайд 11)

2х 2 - 3х + 11 = 0

7 х 2 = 8х

х 2 - 10х + 100 = 0

х 2 -5х -6 = 0

– 2х 2 + х +14 = 0

-Розкладання на множники

- загальна формула коренів

-теорема Вієта

3. Знайдіть помилки у розв'язанні рівнянь =

Хлопці, які швидко виконали роботу, можуть вирішити додатково завдання(слайд 14), написана на дошці.

Після виконання проводиться швидка перевірка.(Слайд15)

А тепер порахуйте підсумкову кількість балів та виставте собі оцінку.(слайд16)

30 - 24балів - оцінка 5;

23-18 бала - оцінка4;

12-17 бали –. оцінка4

А ще кожному виставляється оцінка вчителем за активність, сміливість, завзятість. Ну, а якщо комусь, то сьогодні не вдалося набрати бали на позитивну оцінку, то успіх у вас ще попереду, і він обов'язково буде з вами наступного разу.

Вирішують рівняння,

проводять самооцінку.

Рефлексія.

Хто скаже, що ми сьогодні повторили на уроці?

Вам сподобалося, як ми це робили?

Продовж фрази:

Тепер я точно знаю.

Я зрозумів …

Я навчився …

Моя думка …

Кожен на столі має кольорові картки.

Якщо ти задоволений і задоволений уроком, піднімаєш зелену картку.

Якщо урок цікавий, і ти активно працював, підіймаєш – жовту картку.

проводять самооцінку.

Домашнє завдання

(Слайд 17) Розв'язати рівняння зі збірки завдань

Державна підсумкова атестація

випускників 9 класу.

А.В. Семенов, О.С.Трепалін, І.В.Ященко

за рівнями

Вибирають завдання за своїм рівнем

Розбір завдання №4 на тему: "Рішення рівнянь різного типу"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Інтерактивний посібник "Правила та вправи з алгебри" для 9 класу
Мультимедійний навчальний посібник для 9 класу "Алгебра за 10 хвилин"

Завдання №4 вимагає вміння розв'язувати рівняння різного типу. Діти, ви повинні добре засвоїти методи правильного розв'язання квадратних рівнянь, дрібно-раціональних рівнянь, звичайних лінійних рівнянь. Також ви повинні добре вміти робити дії з багаточленами: множення та розподіл багаточлена на багаточлен. Вам знадобиться вміння вибирати коріння рівняння, яке входить у область рішення та визначати, яке коріння треба викинути і не враховувати?

Уроки, які допоможуть вам під час підготовки даного завдання:

1.Основні визначення та приклади рішень лінійних функцій.
2. Поняття та стандартний вид одночлена.
3. Багаточлен, стандартний вигляд, приведення, перетворення.
4. Приклади на числові вирази. Алгебраїчні вирази зі змінними та дії з ними.
5. Рівняння, приклади розв'язування рівнянь.
6. Квадратні рівняння. Урок у розробці.
7. Дробно-раціональні рівняння. Урок у розробці.
8. Корінь квадратний. Урок у розробці.

Перейдемо до аналізу прикладів рішення.

приклад 1.
Знайдіть коріння рівняння: $16x^2-1=0$.

Рішення.
Зауважимо, що нам дано квадратне рівняння, але не повне. Коефіцієнт при х дорівнює нулю. Тоді керуватимемося правилом: "ті вирази, в яких є х у квадраті, залишимо зліва, а всі числа перенесемо на право".
Перетворимо наш вираз: $16x^2=1$.

Розділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при x квадрат: $x^2=\frac(1)(16)$.

Для вирішення цього рівняння нам знадобляться знання кореня квадратного. Витягнемо корінь, не забуваючи про те, що негативне число ми повинні також враховувати: $ x = ± sqrt ( frac (1) (16)) = ± frac (1) (4) = ± 0,25 $.
Відповідь: $ x = ± 0,25 $.

приклад 2.
Розв'яжіть рівняння: $x^2=18-7x$.

Рішення.
Перенесемо всі вирази у ліву частину рівняння: $x^2+7x-18=0$.

Звичайне квадратне рівняння ми можемо вирішити двома способами:
1. "в лоб", обчислюючи дискримінант;
2. використовуючи теорему Вієтта.

1 спосіб.
Випишемо всі коефіцієнти при квадратному рівнянні: $ a = 1 $, $ b = 7 $, $ c = -18 $.

Знайдемо дискримінант: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Отримали, що рівняння має 2 корені.
Нам залишилося знайти це коріння:
$x_1=\frac(-b+\sqrt(D))(2a)=\frac(-7+11)(2)=2$.
$x_2=\frac(-b-\sqrt(D))(2a)=\frac(-7-11)(2)=-9$.

2 спосіб.
Скористаємося теоремою Вієтта. Теорема Вієтта часто полегшує розв'язання квадратних рівнянь у багато разів, особливо коли коефіцієнт $а=1$. І тут добуток коренів рівняння дорівнює коефіцієнту $с$, і сума коренів рівняння дорівнює мінус коефіцієнту при $b$:
$x_1+x_2=-\frac(b)(a)$.
$x_1*x_2=\frac(c)(a)$.

У прикладі $с=-18$ і $b=7$. Починаємо перебирати пари чисел, добуток яких дорівнює мінус вісімнадцять. Перші числа приходять на думку - дев'ятка і двійка. Виробивши кілька простих перемножень і додавань можна переконатися, що нам підходять коріння $х=-9$ і $х=2$.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac(c)(a)$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac(b)(a)$.
Відповідь: $ x = -9 $, $ x = 2 $.

приклад 3.
Розв'язати рівняння: $x-\frac(x)(7)=\frac(15)(7)$.

Рішення.
Нам дано нормальне лінійне рівняння з дробовими коефіцієнтами. Для вирішення цього рівняння потрібно правильно діяти із звичайними дробами.
Першим дією перетворимо ліву частину рівняння, спростивши її: $ x - frac (x) (7) = frac (7x) (7) - frac (x) (7) = frac (6x) (7) $.
Отримали рівняння: $ frac (6x) (7) = frac (15) (7) $.
Розділимо праву частину рівняння на коефіцієнт при х: $x=\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))$.

Розглянемо окремо розподіл: $\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))=\frac(15)(7)*\frac(7)(6)=\frac(15) ) (6) = 2 frac (3) (6) = 2 frac (1) (2) = 2,5 $.

Отримали: $ x = 2,5 $.
Відповідь: $ x = 2,5 $.

приклад 4.
Розв'яжіть рівняння: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Рішення.
Спосіб 1.
Скористаємося формулою квадрата суми: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Отримали $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Спростимо наше рівняння:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$ 12x = 12 $.
$ x = 1 $.

Спосіб 2.
При вирішенні цього рівняння ми можемо скористатися формулою різниці квадратів. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$ (2x-2) * (6) = 0 $.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$ x = 1 $.
Відповідь: $ х = 1 $.

Приклад 5.
Розв'язати рівняння: $\frac(9)(x-14)=\frac(14)(x-9)$.

Рішення.
Нам представлено дрібно-раціональне рівняння. При розв'язанні даних рівнянь варто пам'ятати, що ділити на нуль не можна. Тому коріння рівняння варто перевіряти завжди, підстановкою їх у знаменник вихідного рівняння.
Скористаємося правилом множення хрест на хрест: $9(x-9)=14(x-14)$.
Отримали лінійне рівняння:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x = -115 $.
$ x = 23 $.
Перевіривши наш корінь, переконуємося, що знаменники дробів вихідного рівняння не перетворюються на нуль.
Відповідь: $ x = 23 $.

Приклад 6.
Знайдіть рішення, які задовольняють системі: $\begin (cases) x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end (cases)$.

Рішення.
Спочатку вирішимо квадратне рівняння, скориставшись теоремою Вієтта. Твір наших коренів дорівнює $22$, а сума дорівнює $-9$.
Підберемо коріння:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Отримали два корені: $x_1=-11$ і $x_2=2$. З цього коріння нерівності $x≤1$ задовольняє перший корінь, він і буде відповіддю.
Відповідь: $ х = -11 $.

Приклад 7.
Розв'яжіть рівняння: $23x-60-x^2=0$.
У відповіді вкажіть модуль різниці коренів.

Рішення.
Помножимо вихідне рівняння на $-1$: $x^2-23x+60=0$.
У такій формі рівняння виглядає набагато звичніше.
Скористаємося теоремою Вієтта і представимо наше рівняння, як добуток двочленів:
$ (x-20) (x-3) = 0 $.
Отримали два корені $x_1=20$ і $x_2=3$.
Знайдемо модуль різниці: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Відповідь: 17.

Приклад 8.
Скільки коренів має рівняння $x^6-x^2=0?$

Рішення.
Винесемо за дужку найменший рівень: $x^2(x^4-1)=0$.
Тепер скористаємося формулою різниці квадратів:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
І ще раз скористаємося тією самою формулою:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь: Отримали, що у цього рівняння три корені.
Відповідь: 3.

Приклад 9.
Розв'яжіть рівняння: $\frac((x-2)(2x+1))(2-x)=0$.
Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть більший із них.

Рішення.
Вихідне рівняння рівносильне наступній сукупності: Розв'яжемо кожне рівняння: Так як знаменник дробу не може дорівнювати нулю, одне рішення у нас відпадає. Отримали один корінь рівняння $ х = -0,5 $.
Відповідь: -0,5.

Олександр Шабалін

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠0.

Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

Не мають коріння;
Мають рівно один корінь;
Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і є єдиним. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

Якщо D< 0, корней нет;
Якщо D = 0, є рівно один корінь;
Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x2+3x+7=0;

x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

x 2 + 9x = 0;
x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно при (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Винесення загального множника за дужку

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.