Nagrinėjamas aukštesnio laipsnio tiesinių nevienalyčių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo Lagranžo konstantų variacijos metodu metodas. Lagranžo metodas taip pat taikomas sprendžiant bet kokias tiesines nehomogenines lygtis, jei yra žinoma pagrindinė homogeninės lygties sprendinių sistema.
TurinysTaip pat žiūrėkite:
Lagranžo metodas (konstantų kitimas)
Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį su pastoviais savavališkos n-osios eilės koeficientais:
(1)
.
Pastovios variacijos metodas, kurį laikėme pirmosios eilės lygtims, taip pat taikomas aukštesnės eilės lygtims.
Tirpalas atliekamas dviem etapais. Pirmajame etape mes atmetame dešinę pusę ir išsprendžiame homogeninę lygtį. Dėl to gauname sprendimą, kuriame yra n savavališkų konstantų. Antrame etape keičiame konstantas. Tai yra, mes manome, kad šios konstantos yra nepriklausomo kintamojo x funkcijos ir randame šių funkcijų formą.
Nors čia svarstome lygtis su pastoviais koeficientais, bet Lagranžo metodas taip pat taikomas sprendžiant bet kokias tiesines nehomogenines lygtis. Tačiau tam reikia žinoti pagrindinę homogeninės lygties sprendinių sistemą.
1 žingsnis. Homogeninės lygties sprendimas
Kaip ir pirmosios eilės lygčių atveju, pirmiausia ieškome bendras sprendimas vienalytė lygtis, dešiniąją nehomogeninę dalį prilyginanti nuliui:
(2)
.
Bendras tokios lygties sprendimas turi tokią formą:
(3)
.
Čia yra savavališkos konstantos; - n tiesiškai nepriklausomų homogeninės lygties (2) sprendinių, kurie sudaro pagrindinę šios lygties sprendinių sistemą.
2 veiksmas. Konstantų keitimas – konstantų pakeitimas funkcijomis
Antrame žingsnyje nagrinėsime konstantų kitimą. Kitaip tariant, konstantas pakeisime nepriklausomo kintamojo x funkcijomis:
.
Tai yra, mes ieškome pradinės (1) lygties sprendimo tokia forma:
(4)
.
Jei (4) pakeisime į (1), gausime vieną diferencialinę lygtį n funkcijų. Šiuo atveju šias funkcijas galime susieti papildomomis lygtimis. Tada gausite n lygčių, iš kurių galite nustatyti n funkcijų. Papildomas lygtis galima parašyti įvairiais būdais. Bet mes tai padarysime taip, kad sprendimas būtų paprasčiausios formos. Norėdami tai padaryti, diferencijuodami turite prilyginti nuliui terminus, kuriuose yra funkcijų išvestinės. Parodykime tai.
Norėdami pakeisti siūlomą sprendinį (4) į pradinę lygtį (1), turime rasti (4) forma užrašytos funkcijos pirmųjų n eilių išvestines. Atskirkite (4) taikydami sumos ir sandaugos diferencijavimo taisykles:
.
Sugrupuokime narius. Pirmiausia išrašome terminus su išvestiniais iš , o tada terminus su išvestiniais iš :
.
Pirmąją sąlygą keliame funkcijoms:
(5.1)
.
Tada pirmosios išvestinės išraiška bus paprastesnė:
(6.1)
.
Tuo pačiu būdu randame antrąją išvestinę:
.
Funkcijoms keliame antrąją sąlygą:
(5.2)
.
Tada
(6.2)
.
Ir taip toliau. Esant papildomoms sąlygoms, terminus, kuriuose yra funkcijų išvestinės, prilyginame nuliui.
Taigi, jei funkcijoms pasirinksime šias papildomas lygtis:
(5.k) ,
tada pirmieji išvestiniai bus paprasčiausios formos:
(6.k) .
čia .
Randame n-tąją išvestinę:
(6.n)
.
Į pradinę (1) lygtį pakeičiame:
(1)
;
.
Atsižvelgiame į tai, kad visos funkcijos atitinka (2) lygtį:
.
Tada terminų suma, kurią sudaro nulis. Dėl to gauname:
(7)
.
Dėl to gavome išvestinių tiesinių lygčių sistemą:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .
Išspręsdami šią sistemą, randame išvestinių išraiškas kaip x funkcijas. Integruodami gauname:
.
Čia yra konstantos, kurios nebepriklauso nuo x. Pakeitę į (4), gauname bendrąjį pradinės lygties sprendinį.
Atkreipkite dėmesį, kad išvestinių verčių nustatymui niekada nenaudojome fakto, kad koeficientai a i yra pastovūs. Štai kodėl Lagranžo metodas tinka bet kurioms tiesinėms nehomogeninėms lygtims išspręsti, jei žinoma homogeninės (2) lygties sprendinių pagrindinė sistema.
Pavyzdžiai
Išspręskite lygtis konstantų kitimo metodu (Lagrange).
Pavyzdžių sprendimas >>>
Aukštesnės eilės lygčių sprendimas Bernulio metodu
Tiesinių nevienalyčių aukštesnės eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimas tiesiniu pakeitimu
44 paskaita. Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės lygtys. Savavališkų konstantų kitimo metodas. Antros eilės tiesinės nehomogeninės lygtys su pastoviais koeficientais. (speciali dešinė pusė).
Socialinės transformacijos. Valstybė ir Bažnyčia.
Bolševikų socialinę politiką daugiausia lėmė jų klasinis požiūris. 1917 m. lapkričio 10 d. dekretu buvo panaikinta dvarų sistema, panaikinti ikirevoliuciniai laipsniai, titulai ir apdovanojimai. Nustatyti teisėjų rinkimai; buvo vykdoma civilinių valstybių sekuliarizacija. Įsteigtas nemokamas švietimas ir medicininė priežiūra (1918 m. spalio 31 d. dekretas). Moterų teisės buvo sulygintos su vyrais (1917 m. gruodžio 16 ir 18 d. dekretai). Dekretas dėl santuokos įvedė civilinės santuokos institutą.
1918 m. sausio 20 d. Liaudies komisarų tarybos dekretu bažnyčia buvo atskirta nuo valstybės ir nuo švietimo sistemos. Dauguma Bažnyčios turtas buvo konfiskuotas. Maskvos ir visos Rusijos patriarchas Tichonas (išrinktas 1917 m. lapkričio 5 d.) 1918 m. sausio 19 d. sugriovė sovietų valdžią ir paragino kovoti su bolševikais.
Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę antros eilės lygtį
Tokios lygties bendrojo sprendimo struktūra nustatoma pagal šią teoremą:
1 teorema. Bendras nehomogeninės lygties (1) sprendinys pavaizduotas kaip tam tikro šios lygties sprendinio ir atitinkamos homogeninės lygties bendrojo sprendinio suma
Įrodymas. Turime įrodyti, kad suma
yra (1) lygties bendrasis sprendinys. Pirmiausia įrodykime, kad funkcija (3) yra (1) lygties sprendimas.
Sumos pakeitimas į (1) lygtį, o ne adresu, turėsiu
Kadangi yra (2) lygties sprendimas, pirmuosiuose skliaustuose esanti išraiška yra lygi nuliui. Kadangi yra (1) lygties sprendimas, antruose skliaustuose esanti išraiška yra lygi f(x). Todėl lygybė (4) yra tapatybė. Taigi įrodyta pirmoji teoremos dalis.
Įrodykime antrąjį teiginį: (3) išraiška yra bendras(1) lygties sprendimas. Turime įrodyti, kad į šią išraišką įtrauktos savavališkos konstantos gali būti parinktos taip, kad būtų įvykdytos pradinės sąlygos:
kad ir kokie būtų skaičiai x 0, y 0 ir (jei tik x 0 buvo paimtas iš srities, kurioje vykdo funkcijas a 1, a 2 ir f(x) tęstinis).
Pastebėjus, kad galima atvaizduoti formoje . Tada, remiantis sąlygomis (5), turime
Išspręskime šią sistemą ir suraskime Nuo 1 ir Nuo 2. Perrašykime sistemą taip:
Atkreipkite dėmesį, kad šios sistemos determinantas yra funkcijų Wronsky determinantas 1 ir 2 val taške x=x 0. Kadangi šios funkcijos pagal prielaidą yra tiesiškai nepriklausomos, Wronsky determinantas nėra lygus nuliui; vadinasi, sistema (6) turi konkretų sprendimą Nuo 1 ir Nuo 2, t.y. yra tokių vertybių Nuo 1 ir Nuo 2, kuriai formulė (3) nustato (1) lygties sprendimą, tenkinantį pateiktas pradines sąlygas. Q.E.D.
Pereikime prie bendras metodas rasti konkrečius nehomogeninės lygties sprendimus.
Parašykime homogeninės lygties (2) bendrąjį sprendinį.
Mes ieškosime konkretaus nehomogeninės lygties (1) sprendinio formoje (7), atsižvelgdami į Nuo 1 ir Nuo 2 kaip kai kurios dar nežinomos funkcijos iš X.
Išskirkime lygybę (7):
Pasirenkame norimas funkcijas Nuo 1 ir Nuo 2 kad lygybė
Jei atsižvelgiama į šią papildomą sąlygą, pirmoji išvestinė įgauna formą
Dabar, atskirdami šią išraišką, randame:
Pakeitę į (1) lygtį, gauname
Pirmuose dviejuose skliausteliuose esantys posakiai išnyksta, nes y 1 ir y2 yra vienalytės lygties sprendiniai. Todėl paskutinė lygybė įgauna formą
Taigi funkcija (7) bus nehomogeninės lygties (1) sprendimas, jei funkcijos Nuo 1 ir Nuo 2 tenkina (8) ir (9) lygtis. Iš (8) ir (9) lygčių sudarykime lygčių sistemą.
Kadangi šios sistemos determinantas yra tiesiškai nepriklausomų sprendimų Vronskio determinantas y 1 ir y2 lygtis (2), tada ji nėra lygi nuliui. Todėl, išspręsdami sistemą, rasime abi tam tikras funkcijas X:
Išspręsdami šią sistemą randame , iš kur integracijos rezultatu gauname . Toliau rastąsias funkcijas pakeičiame į formulę , gauname bendrą nehomogeninės lygties sprendinį , kur yra savavališkos konstantos.
Teorinis minimumasDiferencialinių lygčių teorijoje yra metodas, kuris teigia turintis pakankamai aukštą šios teorijos universalumo laipsnį.
Kalbame apie savavališkos konstantos kitimo metodą, taikomą sprendžiant įvairių klasių diferencialinių lygčių ir jų
sistemos. Tai yra būtent tas atvejis, kai teorija - jei teiginių įrodymą išimsite iš skliaustų - yra minimali, bet leidžia pasiekti
reikšmingų rezultatų, todėl pagrindinis dėmesys bus skiriamas pavyzdžiams.Bendra metodo idėja yra gana paprasta suformuluoti. Tegul duotoji lygtis (lygčių sistema) būna sunkiai išsprendžiama ar net nesuprantama,
kaip ją išspręsti. Tačiau matyti, kad kai kurie terminai neįtraukiami į lygtį, ji išsprendžiama. Tada jie išsprendžia tik tokį supaprastintą
lygtį (sistemą), gaukite sprendimą, turintį tam tikrą skaičių savavališkų konstantų - priklausomai nuo lygties eilės (skaičiaus
lygtys sistemoje). Tada daroma prielaida, kad konstantos rastame sprendinyje tikrai nėra konstantos, rastasis sprendinys
pakeičiama į pradinę lygtį (sistemą), gaunama diferencialinė lygtis (arba lygčių sistema), kuri nustato „konstantas“.
Taikant savavališkos konstantos kitimo metodą yra tam tikras specifiškumas skirtingos užduotys, bet tai jau detalės, kurios bus
parodyta su pavyzdžiais.Atskirai panagrinėkime aukštesnio laipsnio tiesinių nehomogeninių lygčių sprendimą, t.y. formos lygtys
.
Bendrasis tiesinės nehomogeninės lygties sprendinys yra atitinkamos vienalytės lygties bendrojo sprendinio ir konkretaus sprendinio suma
duota lygtis. Tarkime, kad bendras homogeninės lygties sprendinys jau rastas, o būtent, sukonstruota fundamentalioji sprendinių sistema (FSR).
. Tada bendras homogeninės lygties sprendinys yra .
Būtina rasti bet kurį konkretų nehomogeninės lygties sprendimą. Tam konstantos laikomos priklausomomis nuo kintamojo.
Toliau reikia išspręsti lygčių sistemą.
Teorija garantuoja, kad ši algebrinių lygčių sistema funkcijų išvestinių atžvilgiu turi unikalų sprendimą.
Surandant pačias funkcijas, integravimo konstantos neatsiranda: juk ieškoma bet kokio sprendimo.Sprendžiant pirmosios formos eilės tiesinių nehomogeninių lygčių sistemas
algoritmas išlieka beveik nepakitęs. Pirmiausia reikia rasti atitinkamos homogeninės lygčių sistemos FSR, sudaryti pagrindinę matricą
sistema , kurios stulpeliai yra FSR elementai. Toliau lygtis.
Spręsdami sistemą, nustatome funkcijas, taip randame tam tikrą sprendimą pradinei sistemai
(pagrindinė matrica padauginama iš rastos funkcijos stulpelio).
Pridedame jį prie bendro atitinkamos vienarūšių lygčių sistemos sprendinio, kuris yra sudarytas remiantis jau rastu FSR.
Gaunamas bendras pradinės sistemos sprendimas.Pavyzdžiai.
1 pavyzdys Pirmosios eilės tiesinės nehomogeninės lygtys.
Panagrinėkime atitinkamą vienalytę lygtį (reikiamą funkciją žymime ):
.
Ši lygtis lengvai išsprendžiama atskiriant kintamuosius:
.
Dabar pavaizduojame pradinės lygties sprendimą formoje, kur funkcija dar nerasta.
Pradinę lygtį pakeičiame tokio tipo sprendimus:
.
Kaip matote, antrasis ir trečiasis terminai kairėje pusėje panaikina vienas kitą – tai yra funkcija savavališkos konstantos kitimo metodas.
Čia jau - iš tikrųjų savavališka konstanta. Šiuo būdu,
.2 pavyzdys Bernulio lygtis.
Elgiamės panašiai kaip pirmame pavyzdyje – išsprendžiame lygtį
kintamųjų atskyrimo būdas. Pasirodys , todėl mes ieškome pradinės lygties sprendinio formoje
.
Pakeiskite šią funkciją į pradinę lygtį:
.
Ir vėl yra pjūviai:
.
Čia reikia nepamiršti, kad dalijant iš sprendimas neprarastų. O atvejis atitinka originalo sprendimą
lygtys. Prisiminkime jį. Taigi,.
Parašykime .
Tai yra sprendimas. Rašydami atsakymą taip pat turėtumėte nurodyti anksčiau rastą sprendimą, nes jis neatitinka jokios galutinės reikšmės
konstantos .3 pavyzdys Aukštesnių laipsnių tiesinės nehomogeninės lygtys.
Iš karto pastebime, kad šią lygtį galima išspręsti paprasčiau, tačiau patogu joje parodyti metodą. Nors kai kurie privalumai
savavališkos konstantos kitimo metodas taip pat turi jį šiame pavyzdyje.
Taigi, jums reikia pradėti nuo atitinkamos homogeninės lygties FSR. Prisiminkite, kad norėdami rasti FSR, charakteristikas
lygtis
.
Taigi bendras homogeninės lygties sprendinys
.
Čia įtrauktos konstantos turi būti įvairios. Sistemos sudarymas
