Data: 2014-11-20
Kas yra darinys?
Išvestinė lentelė.
Darinys yra viena iš pagrindinių sąvokų aukštoji matematika. Šioje pamokoje supažindinsime su šia sąvoka. Susipažinkime, be griežtų matematinių formuluočių ir įrodymų.
Ši įžanga leis jums:
Suprasti paprastų užduočių su išvestiniu esmę;
Sėkmingai išspręskite šias labai paprastas užduotis;
Pasiruoškite rimtesnėms išvestinėms pamokoms.
Pirma, maloni staigmena.
Griežtas išvestinės apibrėžimas pagrįstas ribų teorija, o dalykas yra gana sudėtingas. Tai erzina. Tačiau praktinis darinio pritaikymas, kaip taisyklė, nereikalauja tokių plačių ir gilių žinių!
Norint sėkmingai atlikti daugumą užduočių mokykloje ir universitete, pakanka žinoti tik keli terminai- suprasti užduotį ir tik kelios taisyklės- ją išspręsti. Štai ir viskas. Tai mane džiugina.
Ar mes susipažinsime?)
Terminai ir pavadinimai.
Elementariojoje matematikoje yra daug matematinių operacijų. Sudėjimas, atimtis, daugyba, eksponencija, logaritmas ir kt. Jei prie šių veiksmų pridedama dar viena operacija, elementarioji matematika tampa aukštesnė. Ši nauja operacija vadinama diferenciacija.Šios operacijos apibrėžimas ir prasmė bus aptariama atskirose pamokose.
Čia svarbu suprasti, kad diferenciacija yra tik matematinė funkcijos operacija. Mes paimame bet kokią funkciją ir pagal tam tikras taisykles ją transformuojame. Rezultatas – nauja funkcija. Ši nauja funkcija vadinama: išvestinė.
Diferencijavimas- veiksmas pagal funkciją.
Darinys yra šio veiksmo rezultatas.
Visai kaip pvz. suma yra papildymo rezultatas. Arba privatus yra padalijimo rezultatas.
Žinodami terminus, bent jau galite suprasti užduotis.) Formuluotė yra tokia: rasti funkcijos išvestinę; paimti darinį; atskirti funkciją; apskaičiuoti išvestinę ir tt Tai viskas tas pats.Žinoma, yra ir sudėtingesnių užduočių, kur išvestinės (diferencijavimo) radimas bus tik vienas iš uždavinio sprendimo žingsnių.
Išvestinė žymima brūkšniu viršuje, dešinėje virš funkcijos. Kaip šitas: y" arba f"(x) arba S"(t) ir taip toliau.
skaityti y smūgis, ef smūgis iš x, es smūgis iš te, nu supranti...)
Pirminis dydis taip pat gali reikšti tam tikros funkcijos išvestinę, pavyzdžiui: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" ir tt Dažnai išvestinė žymima diferencialais, tačiau tokio žymėjimo šioje pamokoje nenagrinėsime.
Tarkime, kad išmokome suprasti užduotis. Nelieka nieko – išmokti juos išspręsti.) Dar kartą priminsiu: išvestinės radimas yra funkcijos transformacija pagal tam tikras taisykles.Šių taisyklių stebėtinai mažai.
Norėdami rasti funkcijos išvestinę, turite žinoti tik tris dalykus. Trys ramsčiai, ant kurių remiasi visa diferenciacija. Štai trys banginiai:
1. Išvestinių (diferencijavimo formulių) lentelė.
3. Išvestinė sudėtinga funkcija.
Pradėkime eilės tvarka. Šioje pamokoje mes apsvarstysime išvestinių lentelę.
Išvestinė lentelė.
Pasaulis turi begalę funkcijų. Tarp šio rinkinio yra funkcijų, kurios yra svarbiausios praktinis pritaikymas. Šios funkcijos atitinka visus gamtos dėsnius. Iš šių funkcijų, kaip ir iš plytų, galite sukonstruoti visas kitas. Ši funkcijų klasė vadinama elementarios funkcijos. Būtent šios funkcijos yra mokomos mokykloje - tiesinė, kvadratinė, hiperbolė ir kt.
Funkcijų diferencijavimas „nuo nulio“, t.y. remiantis išvestinės apibrėžimu ir ribų teorija – gana daug laiko atimantis dalykas. O matematikai taip pat yra žmonės, taip, taip!) Taigi jie supaprastino savo (ir mūsų) gyvenimą. Prieš mus jie apskaičiavo elementariųjų funkcijų išvestinius. Rezultatas yra išvestinių priemonių lentelė, kurioje viskas yra paruošta.)
Štai ši plokštė skirta populiariausioms funkcijoms. Kairė – elementarioji funkcija, dešinė – jos išvestinė.
| Funkcija y |
Funkcijos y išvestinė y" |
|
| 1 | C( pastovus) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n yra bet koks skaičius) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | nuodėmė x | (sinx)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | žurnalas a x |  |
| ln x ( a = e) |
Rekomenduoju atkreipti dėmesį į trečią funkcijų grupę šioje išvestinių lentelėje. Galios funkcijos išvestinė yra viena iš labiausiai paplitusių formulių, jei ne pati labiausiai paplitusi! Ar užuomina aiški?) Taip, išvestinių lentelę pageidautina žinoti mintinai. Beje, tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti. Pabandykite išspręsti daugiau pavyzdžių, pati lentelė bus prisiminta!)
Kaip suprantate, rasti išvestinės vertės lentelę nėra pati sunkiausia užduotis. Todėl labai dažnai tokiose užduotyse yra papildomų lustų. Arba formuluojant užduotį, arba pradinėje funkcijoje, kurios, atrodo, nėra lentelėje ...
Pažvelkime į kelis pavyzdžius:
1. Raskite funkcijos y = x išvestinę 3
Lentelėje tokios funkcijos nėra. Tačiau yra bendra galios funkcijos išvestinė (trečioji grupė). Mūsų atveju n=3. Taigi vietoj n pakeičiame trigubą ir atidžiai užrašome rezultatą:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
Tai viskas.
Atsakymas: y" = 3x 2
2. Raskite funkcijos y = sinx išvestinės reikšmę taške x = 0.
Ši užduotis reiškia, kad pirmiausia turite rasti sinuso išvestinę, o tada pakeisti reikšmę x = 0 prie to paties darinio. Tai tokia tvarka! Kitu atveju atsitinka taip, kad jie iš karto pakeičia nulį į pradinę funkciją... Mūsų prašoma rasti ne pradinės funkcijos reikšmę, o reikšmę jo vedinys. Išvestinė, priminsiu, jau yra nauja funkcija.
Plokštelėje randame sinusą ir atitinkamą išvestinę:
y" = (sinx)" = cosx
Išvestinėje pakeiskite nulį:
y"(0) = cos 0 = 1
Tai bus atsakymas.
3. Atskirkite funkciją:
Kas įkvepia?) Išvestinių lentelėje tokios funkcijos net nėra.
Leiskite jums priminti, kad norint atskirti funkciją, tiesiog reikia rasti šios funkcijos išvestinę. Jei pamiršite elementariąją trigonometriją, rasti mūsų funkcijos išvestinę yra gana sudėtinga. Lentelė nepadeda...
Bet jei matome, kad mūsų funkcija yra dvigubo kampo kosinusas, tada viskas iškart pagerėja!
Taip taip! Atminkite, kad pradinės funkcijos transformacija prieš diferenciaciją visai priimtina! Ir tai labai palengvina gyvenimą. Pagal dvigubo kampo kosinuso formulę:
Tie. mūsų sudėtinga funkcija yra ne kas kita y = cox. Ir tai yra lentelės funkcija. Iš karto gauname:
Atsakymas: y" = - sin x.
Pavyzdys pažengusiems absolventams ir studentams:
4. Raskite funkcijos išvestinę:
Išvestinių lentelėje tokios funkcijos, žinoma, nėra. Bet jei atsimeni elementarią matematiką, veiksmus su galiomis... Tada visai įmanoma šią funkciją supaprastinti. Kaip šitas:
O x iki dešimtosios laipsnio jau yra lentelės funkcija! Trečioji grupė, n=1/10. Tiesiogiai pagal formulę ir parašykite:
Tai viskas. Tai bus atsakymas.
Tikiuosi, kad su pirmuoju diferenciacijos banginiu – išvestinių lentele – viskas aišku. Belieka susidoroti su dviem likusiais banginiais. Kitoje pamokoje išmoksime diferencijavimo taisykles.
Pateikiamas kosinuso išvestinės - cos(x) formulės įrodymas ir išvedimas. Cos 2x, cos 3x, cos nx, kosinuso kvadratu, kubu ir n laipsniu išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. N-osios eilės kosinuso išvestinės formulė.
TurinysTaip pat žiūrėkite: Sinusas ir kosinusas – savybės, grafikai, formulės
Išvestinė x kosinuso kintamojo x atžvilgiu yra lygi minus x sinusui:
(cos x)′ = - sin x.
Įrodymas
Norėdami gauti kosinuso išvestinės formulę, naudojame išvestinės apibrėžimą:
.
Transformuokime šią išraišką, kad sumažintume ją iki žinomų matematinių dėsnių ir taisyklių. Norėdami tai padaryti, turime žinoti keturias savybes.
1)
Trigonometrinės formulės. Mums reikia šios formulės:
(1)
;
2)
Sinuso funkcijos tęstinumo savybė:
(2)
;
3)
Pirmosios ypatingos ribos reikšmė:
(3)
;
4)
Dviejų funkcijų sandaugos ribinė savybė:
Jei ir tada
(4)
.
Šiuos įstatymus taikome iki galo. Pirmiausia transformuojame algebrinę išraišką
.
Tam taikome formulę
(1)
;
Mūsų atveju
; . Tada
;
;
;
.
Padarykime pakaitalą. adresu , . Mes naudojame tęstinumo savybę (2):
.
Atliekame tą patį pakeitimą ir pritaikome pirmą reikšmingą ribą (3):
.
Kadangi egzistuoja aukščiau apskaičiuotos ribos, taikome savybę (4):
.
Taigi mes gavome kosinuso išvestinės formulę.
Pavyzdžiai
Apsvarstykite paprastus pavyzdžius, kaip rasti funkcijų, turinčių kosinusą, išvestinių. Raskime šių funkcijų išvestinius:
y = cos2x; y = cos 3x; y = cos nx; y= cos 2x; y= cos 3x ir y= cos n x.
1 pavyzdys
Rasti išvestinius iš cos 2x, nes 3x ir cos nx.
Originalios funkcijos turi panašią formą. Todėl rasime funkcijos išvestinę y = cos nx. Tada kaip darinys iš cos nx, pakaitalas n = 2 ir n = 3 . Ir taip gauname išvestinių formules nes 2x ir nes 3x .
Taigi, randame funkcijos išvestinę
y = cos nx
.
Pavaizduokime šią kintamojo x funkciją kaip sudėtingą funkciją, susidedančią iš dviejų funkcijų:
1)
2)
Tada pradinė funkcija yra sudėtinga (sudėtinė) funkcija, sudaryta iš funkcijų ir :
.
Raskime funkcijos išvestinę kintamojo x atžvilgiu:
.
Raskime funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:
.
Mes taikome.
.
Pakaitalas:
(P1) .
Dabar formulėje (P1) pakeičiame ir:
;
.
;
;
.
2 pavyzdys
Raskite kosinuso kvadrato, kosinuso kubo ir kosinuso, pakelto iki n laipsnio, išvestines:
y= cos 2x; y= cos 3x; y= cos n x.
Šiame pavyzdyje funkcijos taip pat atrodo panašiai. Todėl rasime bendriausios funkcijos išvestinę – kosinusą laipsniui n:
y= cos n x.
Tada pakeičiame n = 2 ir n = 3 . Taigi gauname kosinuso kvadrato ir kosinuso kubo išvestinių formules.
Taigi, turime rasti funkcijos išvestinę
.
Perrašykime jį suprantamesne forma:
.
Pavaizduokime šią funkciją kaip sudėtingą funkciją, susidedančią iš dviejų funkcijų:
1)
Nuo kintamųjų priklausomos funkcijos: ;
2)
Nuo kintamųjų priklausomos funkcijos: .
Tada pradinė funkcija yra sudėtinga funkcija, sudaryta iš dviejų funkcijų ir:
.
Randame funkcijos išvestinę kintamojo x atžvilgiu:
.
Randame funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:
.
Taikome kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę.
.
Pakaitalas:
(P2) .
Dabar pakeiskime ir:
;
.
;
;
.
Aukštesnių užsakymų išvestinės priemonės
Atkreipkite dėmesį, kad vedinys iš cos x pirmos eilės gali būti išreikštas kosinusu taip:
.
Raskime antros eilės išvestinę, naudodami kompleksinės funkcijos išvestinės formulę:
.
čia .
Atkreipkite dėmesį į skirtumą cos x sukelia jo argumento padidėjimą . Tada n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:
(5)
.
Šią formulę galima griežčiau įrodyti naudojant matematinės indukcijos metodą. Sinuso n-osios išvestinės įrodymas pateiktas puslapyje „Sinuso išvestinė“. N-osios kosinuso išvestinės įrodymas yra lygiai toks pat. Tik visose formulėse nuodėmę reikia pakeisti cos.
Taip pat žiūrėkite:Pateikiamas arkosino (arcsin x)′ ir arckosino (arccos x)′ pirmosios eilės išvestinių išvedimas. Kiekvienai funkcijai išvestis pateikiama dviem būdais.
TurinysTaip pat žiūrėkite: Arkosinas, arkosinas – savybės, grafikai, formulės
Čia darome prielaidą, kad žinome sinuso ir kosinuso išvestinius. Toliau gauname arcsinuso ir arkosino išvestines, atsižvelgiant į tai, kad jie yra atitinkamai sinuso ir kosinuso atvirkštiniai.
Arsinuso išvestinės darinys
Apsvarstykite kintamojo x arcsininę funkciją:
y= arcsin x.
- 1
prieš + 1
:
.
- π/2 prieš + π/2:
.
Arsinusinė funkcija yra atvirkštinė sinuso funkcijai:
x= nuodėmingas.
Norėdami nustatyti arcsinuso išvestinę, taikome atvirkštinės funkcijos išvestinės formulę:
(1)
.
Mes žinome sinuso išvestinę. Paprastai jis rašomas tokia forma:
.
čia .
,
kur .
Pakeiskite formulę (1):
(2)
.
Čia
y= arcsin x;
x= nuodėmingas.
Dabar išreikškime dešinę formulės (2) pusę per kintamąjį x . Dėl to pažymime, kad nuo tada . Tada
.
Pakeiskite formulę (2):
.
Taigi, mes išvedėme arcsinuso išvestinės formulę:
.
Antras būdas
Kadangi arcsinusas ir sinusas yra atvirkštinės funkcijos vienas kito atžvilgiu, tada
(3)
.
čia .
Išskirkime šią lygtį kintamojo x atžvilgiu. Tai yra, mes randame kairiosios ir dešiniosios pusių išvestis ir jas prilyginame viena kitai:
(4)
.
Dešinės pusės išvestinę randame iš išvestinių lentelės:
.
Kairiosios pusės išvestinę randame pagal sudėtingos funkcijos išvestinės formulę:
.
čia .
Nes tada. Štai kodėl
.
Tada
.
Pakeisti į (4):
.
Iš čia
.
Arkosino darinio darinys
Naudojant ryšį tarp arcsino ir arkosino
Lanko kosinuso išvestinę nesunku gauti iš lanko sinuso išvestinės, jei naudojate ryšį tarp lanko sinuso ir lanko kosinuso:
.
Iš čia
.
Pagal atvirkštinės funkcijos išvestinės formulę
Taip pat lankinio kosinuso išvestinę galima rasti pagal atvirkštinės funkcijos išvestinės formulę.
Apsvarstykite arckozino funkciją:
y= arccos x.
Čia nepriklausomas kintamasis x gali gauti reikšmes iš - 1
prieš + 1
:
.
Priklausomas kintamasis y gali gauti reikšmes iš 0
prieš π
:
.
Arkosino funkcija yra atvirkštinė kosinuso funkcijai:
x= cos y.
Taikome atvirkštinės funkcijos išvestinės formulę:
(1)
.
Mes žinome kosinuso išvestinę:
.
čia .
Sukeiskime kintamųjų x ir y žymėjimą. Tada
,
kur .
Pakeiskite formulę (1):
(5)
.
Čia
y= arccos x;
x= cos y.
Dabar išreikškime dešinę formulės (5) pusę per kintamąjį x . Nes tada. Tada
.
Pakeiskite formulę (5):
.
Taigi, mes išvedėme lanko kosinuso išvestinės formulę:
.
f'(x)
PASKAITA 8. ATVIRKŠTINĖS FUNKCIJOS IŠVEDA. SUDĖTINĖS KIEKIO FUNKCIJOS IŠVEDA.
PARAMETRIŠKAI NUSTATYTŲ FUNKCIJŲ DIFERENCIJOS. IMPLICITŲJŲ IŠVEDINĖS MEDŽIAGOS
1. Atvirkštinės funkcijos išvestinė
Teiginys 1. Tegul funkcija y = f (x), kuriai egzistuoja atvirkštinė funkcija x = f −1 (y), ir tegul funkcija y = f (x) turi nulinę išvestinę f ′ (x) taške x. Tada atvirkštinė funkcija f −1 (y) taip pat turi išvestinę atitinkamame taške y = f (x), ir ši išvestinė yra lygi.
Taigi, formulė
(f −1 (y))′ |
|||||||||
f'(x) |
|||||||||
Įrodymas. Leisti |
y prieaugis |
kintamasis |
y, tai atitinka |
||||||
atvirkštinės funkcijos prieaugis x = f −1 (y + y) − f −1 (y). Jis gali būti parodytas peržiūroje |
|||||||||
pačios funkcijos unikalumas y = f (x), kad jei |
x 6 = 0, o x ir y |
||||||||
tuo pačiu metu linkę į nulį. Todėl mes turime |
|||||||||
Jei x → 0, tai šios lygybės dešinės pusės vardiklis linkęs į ribą f ′ (x) =6 0, o tai reiškia, kad dešinėje šios lygybės pusėje yra riba.
f'(x) |
|||||||
Todėl yra riba ir iš kairės pusės; jis atstovauja
išvestinė (f −1 (y))′ . |
|||||||||||||||||||||||||
Taigi turime formulę xy |
|||||||||||||||||||||||||
yx′ |
|||||||||||||||||||||||||
Pastaba 1. Paprastai |
argumentas |
funkcija žymima |
x , dėl |
||||||||||||||||||||||
atsižvelgiant į funkciją f −1 |
kaip kintamojo x funkciją, formulę (1) perrašome kaip |
||||||||||||||||||||||||
(f–1 |
(x))“ |
||||||||||||||||||||||||
f'(y) |
|||||||||||||||||||||||||
Išveskime atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestines. |
|||||||||||||||||||||||||
1–x2 |
|||||||||||||||||||||||||
funkcija y |
yra atvirkštinis funkcijos x atžvilgiu |
||||||||||||||||||||||||
Todėl pagal atvirkštinės funkcijos diferenciacijos taisyklę gauname |
|||||||||||||||||||||||||
(sin y)y |
|||||||||||||||||||||||||
1 − sin2y |
1–x2 |
||||||||||||||||||||||||
kur −π 2< y < π 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1–x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Lygiai taip pat gauname |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(cos y)y′ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − cos2 y |
1–x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+x2 |
π < |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
funkcija y |
x yra atvirkštinė x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y< π ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xy′ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Vadinasi, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yx′ = |
cos2y, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 y = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + tg2 m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
kadangi tg y = x, galiausiai gauname: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tu |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Panašiai ir išvestis |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Apsvarstykite pavyzdžius. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Raskite išvestinę y = arccos tg x. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − tg2 x |
1 − tg2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Raskite išvestinę y = arctg4 x. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ = (arctg4 x)′ = 4 arctg3 x(arctg x)′ |
4 arctg3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Eksponentinės funkcijos išvestinė
Peržiūros funkcija
y = u(x)v(x) (u(x) > 0),
kur ir bazė, ir rodiklis priklauso nuo x, vadinama sudėtiniu eksponentu. Funkciją uv galima pavaizduoti kaip uv = ev ln u , tada
y′ = (uv )′ = ev ln u (v ln u)′ = uv u v u′ − v′ ln u .
Galite padaryti kitaip, pirmiausia paimdami funkcijos y logaritmą:
ln y = ln uv = v ln u. |
|||||||||||||
Atskiriant šią tapatybę x atžvilgiu |
ir prisiminus, kad ln y yra sudėtinga x funkcija, |
||||||||||||
tu |
|||||||||||||
v ln u + v · u · u′ . |
|||||||||||||
y' = y |
|||||||||||||
Operacija, kurią sudaro nuoseklus logaritmo taikymas funkcijai f (x), o paskui diferenciacija, vadinama logaritmine diferenciacija ir jos rezultatas.
′ = f ′ (x) f (x)
vadinama funkcijos f(x) logaritmine išvestine.
Logaritminė diferenciacija gali būti naudojama ne tik sudėtingų eksponentinių funkcijų išvestinėms rasti. Taigi, pavyzdžiui, norint rasti produkto išvestinę
y = 2x √ x2 + 4 sin2 x
patogu taikyti logaritminę diferenciaciją, kuri leidžia greitai surasti rezultatas. Tada ln y = ln(2 x √ x 2 + 4 sin 2 x).
Pagal logaritminės funkcijos savybę turime
ln y = ln 2x + ln x2 + 4 + ln sin2 x
ln y = x ln 2 + 1 2 ln(x2 + 4) + 2 ln sin x.
Atskiriant šią tapatybę x atžvilgiu ir prisiminus, kad kairioji lygybės pusė yra kompleksas
x funkcija, |
||||||||||||||||||
tu |
||||||||||||||||||
x2+4 |
||||||||||||||||||
x2+4 |
||||||||||||||||||
x2+4 |
||||||||||||||||||
Surask tave, |
jei y = (ctg x)x 2 . |
|||||||||||||||||
Sprendimas. Funkcija sudėtinga. Logaritminame abi lygties puses:
ln y = ln(ctg x)x 2 = x2 ln ctg x.
y′ = 2x ln ctg x −
(ctgx)x
ctg x sin2 x
3. Funkcijų, pateiktų parametriškai, diferenciacija
Tegul y priklausomybė nuo x išreiškiama parametru t, t.y.
Tai turi būti suprantama taip. Funkcijai x = ϕ(t) yra atvirkštinė funkcija t = ϕ−1 (x) , todėl galime parašyti aiškią priklausomybę
y = ψ(ϕ−1 (x)).
Raskime yx ′ per ψt ′ , ϕ′ t . Atskiriame y kaip kompleksinę x funkciją. Gauk
ψ′ |
|||||||||||||||||||||
yx = ψt |
tx |
= ψt |
(x))x = |
||||||||||||||||||
ϕt′ |
|||||||||||||||||||||
Trumpai tariant, tai galima parašyti taip: |
|||||||||||||||||||||
4 pavyzdys Rasti |
dx dy , |
jei x = ln3 t , y = cos2 3t . |
dy : |
||||||||||||||||||
Sprendimas. Funkcija nustatoma parametriškai. Raskime |
|||||||||||||||||||||
3 ln2 t |
|||||||||||||||||||||
dy dt = 2 cos 3t(− sin 3t)3 = −3 sin 6t,
dx dy = dx dt = −t sin 6t .
5 pavyzdys. Raskite išvestinę yx ′, jei x = a cos t, y = a sin t. Mes turime
yt' |
(a nuodėmė t)t′ |
||||||
x′ |
(a cos t)′ |
||||||
4. Netiesioginių funkcijų dariniai
Tegul y = y(x) yra netiesioginė x funkcija, t. funkcijos y = y(x) išvestinę, turime diferencijuoti abi lygties puses F (x, y(x)) = 0 x atžvilgiu, atsižvelgiant į tai, kad y yra x funkcija.
6 pavyzdys. Raskite išvestinę y ′, jei funkcija y pateikta lygtimi
y2 + x sin y = 0.
Sprendimas. Atskirkite lygtį x atžvilgiu:
2yy′ + siny + x cos y y′ = 0.
Iš čia mes išreiškiame y′ . Gauk
y ′ = − 2y + x cos y .
7 pavyzdys. Apskaičiuokite numanomos funkcijos xy2 = 4 išvestinės reikšmę taške
Sprendimas. Raskime išvestinę: |
|||||
x′ y2 + x2yy′ |
0, y′ = − |
||||
Jei x = 1, y = 2, gauname |
|||||
Ir sudėtingos funkcijos išvestinės teorema, kurios formuluotė yra tokia:
Tegul 1) funkcija $u=\varphi (x)$ turi išvestinę $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ tam tikru momentu $x_0$, 2) funkcija $y=f(u)$ turi atitinkamame taške $u_0=\varphi (x_0)$ išvestinę $y_(u)"=f"(u)$. Tada kompleksinė funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ minėtame taške taip pat turės išvestinę, lygią funkcijų $f(u)$ ir $\varphi () išvestinių sandaugai x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
arba trumpesniu užrašu: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Šio skyriaus pavyzdžiuose visos funkcijos turi formą $y=f(x)$ (ty mes nagrinėjame tik vieno kintamojo $x$ funkcijas). Atitinkamai visuose pavyzdžiuose išvestinė $y"$ imama kintamojo $x$ atžvilgiu. Norint pabrėžti, kad išvestinė imama kintamojo $x$ atžvilgiu, dažnai vietoj $$ rašoma $y"_x$ y"$.
1, 2 ir 3 pavyzdžiai pateikia išsamų sudėtingų funkcijų išvestinės paieškos procesą. Pavyzdys Nr. 4 skirtas išsamesniam išvestinių lentelės supratimui ir prasminga su ja susipažinti.
Patartina, išstudijavus medžiagą pavyzdžiuose Nr. 1-3, pereiti prie savarankiškas sprendimas 5, 6 ir 7 pavyzdžiai. 5, 6 ir 7 pavyzdžiuose yra trumpas sprendimas, kad skaitytojas galėtų patikrinti savo rezultato teisingumą.
1 pavyzdys
Raskite funkcijos $y=e^(\cos x)$ išvestinę.
Turime rasti kompleksinės funkcijos $y"$ išvestinę. Kadangi $y=e^(\cos x)$, tada $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. raskite išvestinę $ \left(e^(\cos x)\right)"$ naudokite formulę #6 iš išvestinių lentelės. Norint naudoti formulę Nr. 6, reikia atsižvelgti į tai, kad mūsų atveju $u=\cos x$. Kitas sprendimas yra banalus išraiškos $\cos x$ pakeitimas vietoj $u$ formulėje Nr. 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Dabar reikia rasti išraiškos $(\cos x)"$ reikšmę. Vėl kreipiamės į išvestinių lentelę, iš jos pasirinkdami formulę Nr. 10. Pakeitę $u=x$ į formulę Nr. 10, turime : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Dabar tęsiame lygybę (1.1), papildydami ją rastu rezultatu:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Kadangi $x"=1$, tęsiame lygybę (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Taigi iš lygybės (1.3) gauname: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Natūralu, kad paaiškinimai ir tarpinės lygybės dažniausiai praleidžiamos, išvestinę rašant vienoje eilutėje, kaip lygybėje ( 1.3) Taigi, kompleksinės funkcijos išvestinė rasta, belieka tik užrašyti atsakymą.
Atsakymas: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
2 pavyzdys
Raskite funkcijos $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ išvestinę.
Turime apskaičiuoti išvestinę $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pirmiausia pažymime, kad konstantą (ty skaičių 9) galima išimti iš išvestinės ženklo:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Dabar pereikime prie išraiškos $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Kad būtų lengviau pasirinkti norimą formulę iš išvestinių lentelės, pateiksiu išraišką klausiama tokia forma: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Dabar aišku, kad reikia naudoti formulę Nr.2, t.y. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Šioje formulėje pakeiskite $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ir $\alpha=12$:
Papildydami lygybę (2.1) gautu rezultatu, gauname:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \žyma (2.2) $$
Šioje situacijoje dažnai daroma klaida, kai sprendėjas pirmame žingsnyje vietoj formulės pasirenka formulę $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\ alfa \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Esmė ta, kad pirmiausia reikia rasti išorinės funkcijos išvestinę. Norėdami suprasti, kuri funkcija bus išorinė išraiškai $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, įsivaizduokite, kad skaičiuojate išraiškos $\arctg^(12)(4\cdot 5^) reikšmę x)$ kai kuriai $x$ vertei. Pirmiausia apskaičiuokite $5^x$ reikšmę, tada rezultatą padauginkite iš 4, kad gautumėte $4\cdot 5^x$. Dabar iš šio rezultato paimame arctangentą ir gauname $\arctg(4\cdot 5^x)$. Tada gautą skaičių padidiname iki dvyliktosios laipsnio, gaudami $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Paskutinis veiksmas, t.y. pakeliant iki 12 galios, – ir bus išorinė funkcija. Ir būtent nuo jos reikėtų pradėti ieškoti išvestinės, kas buvo padaryta lygybėje (2.2).
Dabar turime rasti $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Naudojame išvestinių lentelės formulę Nr. 19, pakeisdami joje $u=4\cdot \ln x$:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Šiek tiek supaprastinkime gautą išraišką, atsižvelgdami į $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Lygybė (2.2) dabar taps:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Belieka rasti $(4\cdot \ln x)"$. Iš išvestinės ženklo išimame konstantą (t.y. 4): $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Norėdami rasti $(\ln x)"$, naudojame formulę Nr. 8, pakeičiant $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Kadangi $x"=1$, tada $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Pakeisdami gautą rezultatą į formulę (2.3), gauname:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $
Priminsiu, kad kompleksinės funkcijos išvestinė dažniausiai yra vienoje eilutėje, kaip parašyta paskutinėje lygybėje. Todėl atliekant standartinius skaičiavimus arba valdymo darbai sprendimo taip smulkiai aprašyti nebūtina.
Atsakymas: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
3 pavyzdys
Raskite funkcijos $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ $y"$.
Pirma, šiek tiek pakeiskime funkciją $y$, išreikšdami radikalą (šaknį) kaip laipsnį: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Dabar pradėkime ieškoti išvestinės. Kadangi $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tada:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Naudojame formulę Nr. 2 iš išvestinių lentelės, pakeičiant $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ir $\alpha=\frac(3)(7)$:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Tęsiame lygybę (3.1) naudodami gautą rezultatą:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Dabar turime rasti $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Tam naudojame formulę Nr. 9 iš išvestinių lentelės, pakeisdami joje $u=5\cdot 9^x$:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Papildydami lygybę (3.2) gautu rezultatu, gauname:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Belieka rasti $(5\cdot 9^x)"$. Pirmiausia iš išvestinės ženklo išimame konstantą (skaičius $5$), t.y $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Norėdami rasti išvestinę $(9^x)"$, taikome išvestinių lentelės formulę Nr. 5, pakeičiant $a=9$ ir $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Kadangi $x"=1$, tada $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Dabar galime tęsti lygybę (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Galite vėl grįžti nuo galių prie radikalų (ty šaknų) parašydami $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ kaip $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Tada išvestinė bus parašyta tokia forma:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$
Atsakymas: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.
4 pavyzdys
Parodykite, kad išvestinių lentelės formulės Nr. 3 ir Nr. 4 yra specialus šios lentelės formulės Nr. 2 atvejis.
Išvestinių lentelės formulėje Nr.2 parašyta funkcijos $u^\alpha$ išvestinė. Pakeitę $\alpha=-1$ į formulę #2, gauname:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Kadangi $u^(-1)=\frac(1)(u)$ ir $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, lygybę (4.1) galima perrašyti taip: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tai išvestinių lentelės formulė numeris 3.
Dar kartą pereikime prie išvestinių lentelės formulės Nr. Pakeiskite $\alpha=\frac(1)(2)$:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Kadangi $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ir $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada lygybę (4.2) galima perrašyti taip:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Gauta lygybė $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ yra išvestinių lentelės formulė Nr. 4. Kaip matote, išvestinių lentelės formulės Nr. 3 ir Nr. 4 gaunamos iš formulės Nr. 2, pakeičiant atitinkamą $\alpha$ reikšmę.