Matematinė diskretiškojo atsitiktinio dydžio viltis yra visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma:
Pavyzdys.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Sprendimas: matematinis lūkestis yra lygus visų galimų X reikšmių ir jų tikimybių sandaugų sumai:
M (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Norint apskaičiuoti matematinius lūkesčius, patogu atlikti skaičiavimus „Excel“ (ypač kai yra daug duomenų), siūlome naudoti paruoštą šabloną ().
Pavyzdys skirtas nepriklausomas sprendimas(galite naudoti skaičiuotuvą).
Raskite diskretiškojo atsitiktinio dydžio X matematinį tikėjimą, pateiktą skirstymo dėsnio:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Matematinis lūkestis turi šias savybes.
Savybė 1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai: М(С)=С.
Savybė 2. Iš lūkesčio ženklo galima išimti pastovų koeficientą: М(СХ)=СМ(Х).
Savybė 3. Matematinė viena kitai nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandauga yra lygi faktorių matematinių lūkesčių sandaugai: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
Savybė 4. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).
189 uždavinys. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi matematiniai lūkesčiai X ir Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Sprendimas: Naudodami matematinio lūkesčio savybes (matematinė sumos lūkesčiai lygi dėmenų matematinių lūkesčių sumai; pastovųjį veiksnį galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo), gauname M(Z)= M(X + 2Y) = M(X) + M(2Y) = M (X) + 2M(Y) = 5 + 2*3 = 11.
190. Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis, įrodykite, kad: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) nuokrypio X-M(X) matematinė lūkestis lygi nuliui.
191. Diskretusis atsitiktinis dydis X įgyja tris galimas reikšmes: x1= 4 Su tikimybe p1 = 0,5; x3 = 6 Su tikimybe P2 = 0,3 ir x3 su tikimybe p3. Raskite: x3 ir p3, žinant, kad M(X)=8.
192. Pateikiamas galimų diskretinio atsitiktinio dydžio X reikšmių sąrašas: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, taip pat žinomi šio dydžio ir jo kvadrato matematiniai lūkesčiai: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. Raskite tikimybes p1, p2, p3, atitinkančias galimas reikšmes xi
194. 10 dalių partijoje yra trys nestandartinės dalys. Atsitiktinai buvo atrinkti du elementai. Raskite matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio X lūkestį – nestandartinių dalių skaičių tarp dviejų pasirinktų.
196. Raskite tokių penkių kauliukų metimų, kurių kiekviename ant dviejų kauliukų atsiras po vieną tašką, diskretinio atsitiktinio dydžio X skaičiaus matematinį tikėjimą, jei bendras metimų skaičius yra dvidešimt.
Tikėtina vertė binominis skirstinys yra lygus bandymų skaičiaus ir įvykio, kuris įvyks viename bandyme, sandaugai:
2. Tikimybių teorijos pagrindai
Tikėtina vertė
Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį su skaitinėmis reikšmėmis. Su šia funkcija dažnai pravartu susieti skaičių – jo „vidutinę reikšmę“ arba, kaip sakoma, „vidutinę reikšmę“, „centrinės tendencijos rodiklį“. Dėl daugelio priežasčių, kai kurios iš jų paaiškės toliau, įprasta naudoti vidurkį kaip vidurkį.
3 apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis X paskambino numeriu
tie. matematinė atsitiktinio dydžio lūkestis yra svertinė atsitiktinio dydžio reikšmių suma, kurios svoriai yra lygūs atitinkamų elementarių įvykių tikimybei.
6 pavyzdys Apskaičiuokime matematinį skaičių, kuris nukrito ant kauliuko viršutinės pusės. Iš 3 apibrėžimo tiesiogiai išplaukia, kad
2 teiginys. Tegul atsitiktinis dydis X paima vertybes x 1, x 2, ..., xm. Tada lygybė
(5)
tie. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra svertinė atsitiktinio dydžio reikšmių suma, kurios svoriai yra lygūs tikimybei, kad atsitiktinis dydis įgis tam tikras reikšmes.
Priešingai nei (4), kai sumavimas atliekamas tiesiogiai per elementarius įvykius, atsitiktinis įvykis gali būti sudarytas iš kelių elementarių įvykių.
Kartais santykis (5) laikomas matematinio lūkesčio apibrėžimu. Tačiau naudojant 3 apibrėžimą, kaip parodyta toliau, lengviau nustatyti matematinių lūkesčių savybes, reikalingas realių reiškinių tikimybiniams modeliams sukurti, nei naudojant ryšį (5).
Norėdami įrodyti ryšį (5), sugrupuojame į (4) terminus su tos pačios vertės atsitiktinis kintamasis:
Kadangi pastovųjį koeficientą galima išimti iš sumos ženklo, tada
Pagal įvykio tikimybės apibrėžimą
Paskutinių dviejų ryšių pagalba gauname norimą:
Matematinio lūkesčio samprata tikimybinėje-statistinėje teorijoje atitinka svorio centro sampratą mechanikoje. Sudėkime į taškus x 1, x 2, ..., xm masės skaitinėje ašyje P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) atitinkamai. Tada lygybė (5) parodo, kad šios sistemos svorio centras materialūs taškai sutampa su matematiniu lūkesčiu, kuris parodo 3 apibrėžimo natūralumą.
3 teiginys. Leisti X- atsitiktinė vertė, M(X) yra jo matematinis lūkestis, a- kažkoks skaičius. Tada
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3 mln [(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Norėdami tai įrodyti, pirmiausia nagrinėjame atsitiktinį dydį, kuris yra pastovus, t.y. funkcija susieja elementariųjų įvykių erdvę į vieną tašką a. Kadangi pastovųjį koeficientą galima išimti iš sumos ženklo, tada
Jei kiekvienas sumos narys yra padalintas į du narius, tada visa suma taip pat padalijama į dvi sumas, iš kurių pirmoji susideda iš pirmųjų, o antroji iš antrojo. Todėl matematinis dviejų atsitiktinių dydžių sumos lūkestis X+Y, apibrėžtas toje pačioje elementariųjų įvykių erdvėje, yra lygus matematinių lūkesčių sumai M(X) ir M(U)šie atsitiktiniai kintamieji:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Ir todėl M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Kaip parodyta aukščiau, M(M(X)) = M(X). Vadinasi, M(X-M(X)) = M(X) – M(X) = 0.
Nes (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , tada M[(X - a) 2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Supaprastinkime paskutinę lygybę. Kaip parodyta 3 teiginio įrodymo pradžioje, konstantos lūkestis yra pati konstanta, todėl M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Kadangi pastovųjį koeficientą galima išimti iš sumos ženklo, tada M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Paskutinės lygybės dešinė pusė yra 0, nes, kaip parodyta aukščiau, M(X-M(X))=0. Vadinasi, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , kas turėjo būti įrodyta.
Iš to, kas pasakyta, išplaukia M[(X- a) 2 ] pasiekia minimumą a lygus M[(X- M(X)) 2 ], adresu a = M(X), kadangi 3) lygybės antrasis narys visada yra neneigiamas ir lygus 0 tik nurodytai reikšmei a.
4 teiginys. Tegul atsitiktinis kintamasis X paima vertybes x 1, x 2, ..., xm, o f yra tam tikra skaitmeninio argumento funkcija. Tada
Norėdami tai įrodyti, dešinėje lygybės (4) pusėje, kuri lemia matematinį lūkestį, sugrupuokime terminus su tomis pačiomis reikšmėmis:
Naudodamiesi tuo, kad pastovųjį koeficientą galima išimti iš sumos ženklo, ir nustatę atsitiktinio įvykio tikimybę (2), gauname
Q.E.D.
5 teiginys. Leisti X ir At yra atsitiktiniai dydžiai, apibrėžti toje pačioje elementariųjų įvykių erdvėje, a ir b- kai kurie skaičiai. Tada M(aX+ pateikė Y)= esu(X)+ bM(Y).
Naudodamiesi matematinio lūkesčio apibrėžimu ir sumavimo simbolio savybėmis, gauname lygybių grandinę:
Reikalingas yra įrodytas.
Aukščiau parodyta, kaip matematinis lūkestis priklauso nuo perėjimo į kitą kilmę ir kitą matavimo vienetą (perėjimą Y=aX+b), taip pat atsitiktinių dydžių funkcijoms. Gauti rezultatai nuolat naudojami atliekant techninę ir ekonominę analizę, vertinant įmonės finansinę ir ūkinę veiklą, pereinant nuo vienos valiutos prie kitos užsienio ekonominiuose atsiskaitymuose, norminėje ir techninėje dokumentacijoje ir kt. galima taikyti tas pačias skaičiavimo formules įvairių parametrų skalei ir poslinkiui.
| Ankstesnis |
Išsamiausia atsitiktinio dydžio charakteristika yra jo pasiskirstymo dėsnis. Tačiau tai ne visada žinoma ir tokiais atvejais tenka pasitenkinti mažesniu informacijos kiekiu. Tokia informacija gali būti: atsitiktinio dydžio kitimo diapazonas, didžiausia (mažiausia) jo reikšmė, kai kurios kitos charakteristikos, kurios tam tikru apibendrinimu apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Visi šie kiekiai vadinami skaitinės charakteristikos atsitiktinis kintamasis. Paprastai tai yra keletas neatsitiktinis skaičiai, kažkaip apibūdinantys atsitiktinį kintamąjį. Pagrindinis skaitinių charakteristikų tikslas – glausta forma išreikšti reikšmingiausius tam tikro skirstinio požymius.
Paprasčiausia atsitiktinio dydžio skaitinė charakteristika X jai paskambino tikėtina vertė:
M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)
Čia x 1, x 2, …, x n yra galimos atsitiktinio dydžio reikšmės X, a 1 p, 2 p, …, p n yra jų tikimybė.
1 pavyzdys Raskite atsitiktinio kintamojo matematinį tikėjimą, jei žinomas jo pasiskirstymo dėsnis:
Sprendimas. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.
2 pavyzdys. Raskite matematinį įvykio įvykių skaičių BET per vieną bandymą, jei šio įvykio tikimybė yra R.
Sprendimas. Jeigu X– įvykio atvejų skaičius BET viename procese, tada akivaizdžiai platinimo įstatymas X atrodo kaip:
Tada М(Х)=0×(1–р)+1×р=р.
Taigi: matematinis įvykio įvykių skaičiaus lūkestis viename bandyme yra lygus jo tikimybei.
Tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė
Leiskite pagaminti n testai, kuriuose atsitiktinis dydis X priimtas m 1 kartų vertės x 1, m2 kartų vertės x 2, …, m k kartų vertės x k. Tada visų verčių suma n testai yra lygūs:
x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Raskime visų atsitiktinio dydžio reikšmių aritmetinį vidurkį:
Vertybės - santykinis reikšmių atsiradimo dažnis x i (i = 1, …, k). Jeigu n pakankamai didelis (n®¥), tada šie dažniai yra maždaug lygūs tikimybėms: . Bet tada
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).
Taigi matematinis lūkestis yra maždaug lygus (kuo tikslesnis, tuo didesnis bandymų skaičius) stebimų atsitiktinio dydžio verčių aritmetiniam vidurkiui. Tai yra tikimybinė matematinio lūkesčio prasmė.
Laukimo savybės
1. Matematinis konstantos lūkestis yra lygus pačiai konstantai.
M(S) = S × 1 = S.
2. Iš lūkesčio ženklo galima išimti pastovų veiksnį
M(CX) = S × M (X).
Įrodymas. Tegul paskirstymo įstatymas X pateikta pagal lentelę:
Tada atsitiktinis dydis SH paima vertybes Dx 1, CX 2, …, Сх n su tomis pačiomis tikimybėmis, t.y. paskirstymo įstatymas SH atrodo kaip:
М(СХ)=Сх 1 × р 1 +Сх 2 × р 2 +…+Сх n × p n =
\u003d C (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) \u003d CM (X).
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:
M(XY) = M(X) × M(Y).
Šis tvirtinimas pateikiamas be įrodymų (įrodymas grindžiamas lūkesčių apibrėžimu).
Pasekmė. Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Visų pirma, trims nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
Pavyzdys. Raskite matematinį lūkesčius, gautą iš taškų skaičiaus, kuris gali kristi metant du kauliukus, sandaugos.
Sprendimas. Leisti Х i- taškų skaičius i kaulai. Tai gali būti skaičiai 1 , 2 , …, 6 su tikimybėmis. Tada
М(Х i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
Leisti X \u003d X 1 × X 2. Tada
M (X) \u003d M (X 1) × M (X 2) \u003d = 12,25.
4. Dviejų atsitiktinių dydžių (nepriklausomų arba priklausomų) sumos matematinė lūkestis yra lygi terminų matematinių lūkesčių sumai:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Ši savybė apibendrinta atsitiktinio terminų skaičiaus atveju.
Pavyzdys. Paleidžiami 3 šūviai, kurių tikimybė pataikyti į taikinį yra lygi p 1 \u003d 0,4, p 2 \u003d 0,3 ir p 3 \u003d 0,6. Raskite matematinį viso paspaudimų skaičiaus lūkestį.
Sprendimas. Leisti Х i- paspaudimų skaičius i-tas šūvis. Tada
М(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
Šiuo būdu,
M (X 1 + X 2 + X 3) \u003d \u003d 0,4 + 0,3 + 0,6 \u003d 1,3.
Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys
Matematinis lūkestis, apibrėžimas, matematinis diskrečiųjų ir tolydinių atsitiktinių dydžių lūkestis, atrankinis, sąlyginis lūkestis, skaičiavimas, savybės, užduotys, lūkesčių įvertinimas, dispersija, pasiskirstymo funkcija, formulės, skaičiavimo pavyzdžiai
Išplėsti turinį
Sutraukti turinį
Matematinis lūkestis yra apibrėžimas
Viena iš svarbiausių matematinės statistikos ir tikimybių teorijos sąvokų, apibūdinančių atsitiktinio dydžio reikšmių arba tikimybių pasiskirstymą. Paprastai išreiškiamas visų galimų atsitiktinio dydžio parametrų svertiniu vidurkiu. Jis plačiai naudojamas atliekant techninę analizę, tiriant skaičių eilutes, tiriant tęstinius ir ilgalaikius procesus. Jis svarbus vertinant rizikas, prognozuojant kainų rodiklius prekiaujant finansų rinkose, naudojamas kuriant žaidimo taktikos strategijas ir metodus azartinių lošimų teorijoje.
Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė, tikimybių teorijoje nagrinėjamas atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys.
Matematinis lūkestis yra tikimybių teorijos atsitiktinio dydžio vidutinės vertės matas. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis xžymimas M(x).
Matematinis lūkestis yra
Matematinis lūkestis yra tikimybių teorijoje – visų įmanomų verčių, kurias gali gauti šis atsitiktinis kintamasis, svertinis vidurkis.
Matematinis lūkestis yra visų galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sandaugų suma pagal šių reikšmių tikimybes.
Matematinis lūkestis yra vidutinė nauda iš konkretaus sprendimo, su sąlyga, kad toks sprendimas gali būti svarstomas didelių skaičių ir tolimojo atstumo teorijos rėmuose.
Matematinis lūkestis yra lošimų teorijoje – laimėjimų suma, kurią žaidėjas gali uždirbti arba prarasti vidutiniškai už kiekvieną statymą. Lošėjų kalboje tai kartais vadinama „žaidėjo pranašumu“ (jei žaidėjui teigiamas) arba „namo pranašumas“ (jei žaidėjo atžvilgiu neigiamas).
Matematinis lūkestis yra Pelno, tenkančio vienam laimėjimui, procentas, padaugintas iš vidutinio pelno atėmus nuostolio tikimybę, padaugintą iš vidutinio nuostolio.
Matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis matematinėje teorijoje
Viena iš svarbių atsitiktinio dydžio skaitmeninių charakteristikų yra matematinis lūkestis. Supažindinkime su atsitiktinių dydžių sistemos samprata. Apsvarstykite atsitiktinių dydžių rinkinį, kuris yra to paties atsitiktinio eksperimento rezultatai. Jei yra viena iš galimų sistemos reikšmių, tai įvykis atitinka tam tikrą tikimybę, atitinkančią Kolmogorovo aksiomas. Funkcija, apibrėžta bet kokioms galimoms atsitiktinių dydžių reikšmėms, vadinama jungtiniu paskirstymo dėsniu. Ši funkcija leidžia apskaičiuoti bet kokių įvykių tikimybę iš. Visų pirma, jungtinis atsitiktinių dydžių ir, kurie paima reikšmes iš aibės ir, pasiskirstymo dėsnį, suteikia tikimybės.
Terminą „laukimas“ įvedė Pierre'as Simonas Marquisas de Laplasas (1795 m.) ir jis kilo iš sąvokos „tikėtina atsipirkimo vertė“, kuri pirmą kartą atsirado XVII amžiuje azartinių lošimų teorijoje Blaise'o Pascalio ir Christiano Huygenso darbuose. . Tačiau pirmąjį išsamų teorinį šios koncepcijos supratimą ir įvertinimą pateikė Pafnuty Lvovich Chebyshev (XIX a. vidurys).
Atsitiktinių skaitinių dydžių pasiskirstymo dėsnis (paskirstymo funkcija ir pasiskirstymo eilutė arba tikimybių tankis) visiškai apibūdina atsitiktinio dydžio elgesį. Tačiau daugelyje problemų pakanka žinoti kai kurias tiriamo dydžio skaitines charakteristikas (pavyzdžiui, jo vidutinę vertę ir galimas nukrypimas iš jo) atsakyti į klausimą. Pagrindinės atsitiktinių dydžių skaitmeninės charakteristikos yra matematinės lūkesčiai, dispersija, režimas ir mediana.
Matematinis diskretiškojo atsitiktinio kintamojo lūkestis yra jo galimų reikšmių sandaugų ir atitinkamų tikimybių suma. Kartais matematinis lūkestis vadinamas svertiniu vidurkiu, nes jis yra maždaug lygus daugelio eksperimentų metu stebimų atsitiktinio kintamojo verčių aritmetiniam vidurkiui. Iš matematinio lūkesčio apibrėžimo išplaukia, kad jo reikšmė yra ne mažesnė už mažiausią įmanomą atsitiktinio dydžio reikšmę ir ne didesnė už didžiausią. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra neatsitiktinis (pastovus) kintamasis.
Matematinis lūkestis turi paprastą fizinę prasmę: jei masės vienetas dedamas ant tiesios linijos, tam tikruose taškuose (pvz. diskretiškas paskirstymas), arba „užtepus“ jį tam tikru tankiu (absoliučiai nenutrūkstamam pasiskirstymui), tada matematinį lūkestį atitinkantis taškas bus tiesės „svorio centro“ koordinatė.
Vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė yra tam tikras skaičius, kuris tarsi yra jo „atstovas“ ir pakeičia jį apytiksliais skaičiavimais. Kai sakome: „vidutinis lempos veikimo laikas yra 100 valandų“ arba „vidutinis smūgio taškas taikinio atžvilgiu pasislenka 2 m į dešinę“, tuo nurodome tam tikrą atsitiktinio dydžio skaitinę charakteristiką, apibūdinančią jo dydį. vieta skaitinėje ašyje, t.y. pozicijos aprašymas.
Iš padėties charakteristikų tikimybių teorijoje svarbiausią vaidmenį atlieka matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis, kuris kartais vadinamas tiesiog vidutine atsitiktinio dydžio reikšme.
Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X, kuris turi galimas vertes x1, x2, …, xn su tikimybėmis p1, p2, …, pn. Turime tam tikru skaičiumi apibūdinti atsitiktinio dydžio reikšmių padėtį x ašyje, atsižvelgiant į tai, kad šios reikšmės turi skirtingas tikimybes. Šiuo tikslu natūralu naudoti vadinamąjį „svertinį vidurkį“. xi, o į kiekvieną reikšmę xi vidurkinimo metu reikia atsižvelgti su „svoriu“, proporcingu šios vertės tikimybei. Taigi apskaičiuosime atsitiktinio dydžio vidurkį X, kurį pažymėsime M|X|:
Šis svertinis vidurkis vadinamas atsitiktinio dydžio matematiniu lūkesčiu. Taigi, mes pristatėme vieną iš svarbiausių tikimybių teorijos sąvokų – matematinio lūkesčio sąvoką. Matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų galimų atsitiktinio dydžio dydžių sandaugų ir šių dydžių tikimybių suma.
X dėl savotiškos priklausomybės nuo stebimų atsitiktinio dydžio verčių aritmetinio vidurkio atliekant daugybę eksperimentų. Ši priklausomybė yra to paties tipo, kaip ir dažnio ir tikimybės priklausomybė, būtent: atliekant daugybę eksperimentų, atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetinis vidurkis artėja (tikimybe konverguoja) prie matematinio lūkesčio. Iš dažnio ir tikimybės ryšio buvimo galima daryti išvadą, kad egzistuoja panašus ryšys tarp aritmetinio vidurkio ir matematinio lūkesčio. Iš tiesų, apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X, kuriai būdinga daugybė paskirstymų:
Tegul jis gaminamas N nepriklausomi eksperimentai, kurių kiekvieno vertė Xįgauna tam tikrą vertę. Tarkime, vertė x1 pasirodė m1 kartus, vertė x2 pasirodė m2 laikai, bendra reikšmė xi pasirodė mi kartų. Apskaičiuokime stebimų X reikšmių aritmetinį vidurkį, kuris, priešingai nei matematinis M|X| pažymėsime M*|X|:
Didėjant eksperimentų skaičiui N dažnius pi priartės (tikimybe suartės) prie atitinkamų tikimybių. Todėl stebimų atsitiktinio dydžio verčių aritmetinis vidurkis M|X| didėjant eksperimentų skaičiui, jis priartės (tikimybe suartės) prie savo matematinio lūkesčio. Ryšys tarp aritmetinio vidurkio ir aukščiau suformuluoto matematinio lūkesčio sudaro vienos iš didelių skaičių dėsnio formų turinį.
Jau žinome, kad visos didelių skaičių dėsnio formos teigia, kad tam tikri vidurkiai yra stabilūs atliekant daugybę eksperimentų. Čia kalbame apie aritmetinio vidurkio stabilumą iš tos pačios vertės stebėjimų serijos. Atliekant nedidelį skaičių eksperimentų, jų rezultatų aritmetinis vidurkis yra atsitiktinis; pakankamai padidėjus eksperimentų skaičiui, jis tampa „beveik neatsitiktinis“ ir stabilizuodamasis artėja prie pastovios reikšmės – matematinio lūkesčio.
Daugelio eksperimentų vidurkių stabilumo savybę lengva patikrinti eksperimentiškai. Pavyzdžiui, sveriant kūną laboratorijoje pagal tikslios svarstyklės, dėl svėrimo kaskart gauname naują reikšmę; kad sumažintume stebėjimo paklaidą, kelis kartus pasveriame kūną ir naudojame gautų reikšmių aritmetinį vidurkį. Nesunku pastebėti, kad toliau didėjant eksperimentų (svėrimų) skaičiui, aritmetinis vidurkis į šį padidėjimą reaguoja vis rečiau, o atlikus pakankamai daug eksperimentų praktiškai nustoja keistis.
Pažymėtina, kad svarbiausia atsitiktinio dydžio padėties charakteristika – matematinis lūkestis – egzistuoja ne visiems atsitiktiniams dydžiams. Galima pateikti pavyzdžius tokių atsitiktinių dydžių, kuriems matematinis lūkestis neegzistuoja, nes atitinkama suma arba integralas skiriasi. Tačiau praktikai tokie atvejai nėra labai svarbūs. Paprastai atsitiktiniai dydžiai, su kuriais susiduriame, turi ribotą galimų verčių diapazoną ir, žinoma, turi lūkesčius.
Be svarbiausių atsitiktinio dydžio padėties charakteristikų – matematinio lūkesčio, praktikoje kartais naudojamos ir kitos padėties charakteristikos, ypač atsitiktinio dydžio režimas ir mediana.
Atsitiktinio dydžio režimas yra labiausiai tikėtina jo reikšmė. Sąvoka „labiausiai tikėtina vertė“, griežtai kalbant, taikoma tik nepertraukiamiems kiekiams; ištisiniam kiekiui režimas yra reikšmė, kuriai esant tikimybės tankis yra didžiausias. Paveiksluose parodytas atitinkamai nenutrūkstamų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių režimas.
Jei pasiskirstymo daugiakampis (paskirstymo kreivė) turi daugiau nei vieną maksimumą, pasiskirstymas vadinamas „polimodaliniu“.
Kartais yra paskirstymų, kurių viduryje yra ne maksimumas, o minimumas. Tokie pasiskirstymai vadinami „antimodaliniais“.
Bendru atveju atsitiktinio dydžio režimas ir matematinis lūkestis nesutampa. Konkrečiu atveju, kai skirstinys yra simetriškas ir modalus (t.y. turi modą) ir yra matematinis lūkestis, tada jis sutampa su skirstinio moda ir simetrijos centru.
Dažnai naudojama ir kita padėties charakteristika – vadinamoji atsitiktinio dydžio mediana. Ši charakteristika paprastai naudojama tik nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams, nors ji gali būti oficialiai apibrėžta ir nenutrūkstamam kintamajam. Geometriškai mediana yra taško, kuriame plotas, kurį riboja pasiskirstymo kreivė, padalinta į pusę, abscisė.
Simetriško modalinio pasiskirstymo atveju mediana sutampa su vidurkiu ir režimu.
Matematinis lūkestis yra vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė – atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio skaitinė charakteristika. Paprasčiausiu būdu, matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis X(w) apibrėžiamas kaip Lebesgue integralas tikimybės mato atžvilgiu R pradinėje tikimybių erdvėje:
Matematinis lūkestis taip pat gali būti apskaičiuojamas kaip Lebesgue integralas X pagal tikimybių pasiskirstymą px kiekiai X:
Natūraliu būdu galima apibrėžti atsitiktinio dydžio sąvoką su begaliniais matematiniais lūkesčiais. Tipiškas pavyzdys yra grąžinimo laikas kai kuriose šalyse atsitiktiniai pasivaikščiojimai.
Matematinio lūkesčio pagalba nustatomos daugelis skaitinių ir funkcinių skirstinio charakteristikų (kaip matematinės atsitiktinio dydžio atitinkamų funkcijų lūkesčiai), pavyzdžiui, generavimo funkcija, charakteristika, bet kokios eilės momentai, ypač dispersija. , kovariacija.
Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio reikšmių vietos charakteristika (vidutinė jo pasiskirstymo vertė). Šiuo atžvilgiu matematinis lūkestis yra tam tikras „tipinis“ pasiskirstymo parametras ir jo vaidmuo yra panašus į statinio momento – masės pasiskirstymo svorio centro koordinatės – vaidmenį mechanikoje. Nuo kitų vietos charakteristikų, kurių pagalba skirstinys aprašomas bendrais bruožais – medianų, modų, matematinis lūkestis skiriasi didesne reikšme, kurią ji ir atitinkama sklaidos charakteristika – dispersija – turi tikimybių teorijos ribinėse teoremose. . Su didžiausiu išsamumu matematinio lūkesčio prasmę atskleidžia didelių skaičių dėsnis (Čebyševo nelygybė) ir sustiprintas didelių skaičių dėsnis.
Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis
Tegul yra koks nors atsitiktinis kintamasis, kuris gali turėti vieną iš kelių skaitinių reikšmių (pavyzdžiui, taškų skaičius metant kauliuką gali būti 1, 2, 3, 4, 5 arba 6). Dažnai praktikoje tokiai vertei kyla klausimas: kokią vertę ji turi „vidutiniškai“ atliekant daugybę testų? Kokia bus mūsų vidutinė grąža (arba nuostolis) iš kiekvienos rizikingos operacijos?
Tarkime, yra kažkokia loterija. Norime suprasti, ar apsimoka, ar ne, joje dalyvauti (ar net dalyvauti pakartotinai, reguliariai). Tarkime, laimi kas ketvirtas bilietas, prizas bus 300 rublių, o bet kurio bilieto kaina bus 100 rublių. Su begaliniu dalyvavimų skaičiumi taip ir atsitinka. Tris ketvirtadalius atvejų mes pralaimėsime, kas trys nuostoliai kainuos 300 rublių. Kas ketvirtu atveju laimėsime 200 rublių. (prizas atėmus išlaidas), tai yra, už keturis dalyvavimus prarandame vidutiniškai 100 rublių, už vieną - vidutiniškai 25 rublius. Iš viso mūsų griuvėsių vidutinė kaina bus 25 rubliai už bilietą.
Metame kauliuką. Jei tai ne apgaulė (neperkeliant svorio centro ir pan.), tai kiek taškų vidutiniškai turėsime vienu metu? Kadangi kiekvienas variantas yra vienodai tikėtinas, imame kvailą aritmetinį vidurkį ir gauname 3,5. Kadangi tai VIDUTINIS, nereikia piktintis, kad joks konkretus metimas neduos 3,5 taško – na, šis kubas neturi veido su tokiu skaičiumi!
Dabar apibendrinkime savo pavyzdžius:
Pažvelkime į paveikslėlį aukščiau. Kairėje yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo lentelė. X reikšmė gali būti viena iš n galimų verčių (nurodyta viršutinėje eilutėje). Kitų vertybių negali būti. Prie kiekvienos galimos reikšmės žemiau pažymėta jos tikimybė. Dešinėje yra formulė, kur M(X) vadinamas matematiniu lūkesčiu. Šios vertės reikšmė ta, kad atliekant daug bandymų (su didele imtimi), vidutinė vertė bus linkusi į šį labai matematinį lūkesčius.
Grįžkime prie to paties žaidimo kubo. Matematinis taškų skaičiaus metimas yra 3,5 (jei netikite, apskaičiuokite pagal formulę). Tarkime, išmetėte porą kartų. Iškrito 4 ir 6. Vidutiniškai išėjo 5, tai toli gražu ne 3,5. Jie vėl išmetė, iškrito 3, tai yra vidutiniškai (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Kažkaip toli nuo matematinio lūkesčio. Dabar atlikite beprotišką eksperimentą – sukite kubą 1000 kartų! Ir jei vidurkis nėra tiksliai 3,5, tada jis bus arti to.
Apskaičiuokime matematinį lūkestį aukščiau aprašytai loterijai. Lentelė atrodys taip:
Tada matematinė viltis bus tokia, kaip nustatėme aukščiau:
Kitas dalykas – irgi „ant pirštų“, be formulės būtų sunku, jei būtų daugiau variantų. Na, tarkime, kad buvo 75% pralaimėjusių bilietų, 20% laimėjusių bilietų ir 5% laimėtų bilietų.
Dabar kai kurios matematinių lūkesčių savybės.
Tai lengva įrodyti:
Iš lūkesčio ženklo galima paimti pastovų daugiklį, tai yra:
Tai ypatingas matematinio lūkesčio tiesiškumo savybės atvejis.
Kita matematinio lūkesčio tiesiškumo pasekmė:
tai yra atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių sumai.
Tegul X, Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, tada:
Tai taip pat lengva įrodyti) XY pats savaime yra atsitiktinis kintamasis, o jei pradinės reikšmės gali užtrukti n ir m vertės, tada XY gali gauti nm vertes. Kiekvienos reikšmės tikimybė apskaičiuojama remiantis tuo, kad nepriklausomų įvykių tikimybės padauginamos. Kaip rezultatas, mes gauname tai:
Tolydinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis
Ištisiniai atsitiktiniai dydžiai turi tokią charakteristiką kaip pasiskirstymo tankis (tikimybių tankis). Tiesą sakant, tai apibūdina situaciją, kad atsitiktinis kintamasis kai kurias reikšmes iš realiųjų skaičių rinkinio paima dažniau, kai kurias - rečiau. Pavyzdžiui, apsvarstykite šią diagramą:
Čia X- iš tikrųjų atsitiktinis kintamasis, f(x)- pasiskirstymo tankis. Sprendžiant iš šio grafiko, eksperimentų metu vertė X dažnai bus skaičius, artimas nuliui. šansų viršyti 3 arba būti mažiau -3 veikiau grynai teorinis.
Pavyzdžiui, yra vienodas paskirstymas:
Tai visiškai atitinka intuityvų supratimą. Tarkime, jei gausime daug atsitiktinių realiųjų skaičių su vienodu pasiskirstymu, kiekvienas segmentas |0; 1| , tada aritmetinis vidurkis turėtų būti apie 0,5.
Čia taip pat galioja diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams taikomos matematinio lūkesčio savybės – tiesiškumas ir kt.
Matematinio lūkesčio ryšys su kitais statistiniais rodikliais
Statistinėje analizėje kartu su matematiniais lūkesčiais egzistuoja tarpusavyje susijusių rodiklių sistema, atspindinti reiškinių homogeniškumą ir procesų stabilumą. Dažnai variacijos rodikliai neturi savarankiškos reikšmės ir yra naudojami tolesnei duomenų analizei. Išimtis yra variacijos koeficientas, apibūdinantis duomenų homogeniškumą, kuris yra vertinga statistinė charakteristika.
Statistikos mokslo procesų kintamumo ar stabilumo laipsnį galima išmatuoti naudojant kelis rodiklius.
Svarbiausias atsitiktinio dydžio kintamumą apibūdinantis rodiklis yra Sklaida, kuris glaudžiausiai ir tiesiogiai susijęs su matematiniu lūkesčiu. Šis parametras aktyviai naudojamas kitų tipų statistinėje analizėje (hipotezių tikrinimas, priežasties ir pasekmės ryšių analizė ir kt.). Kaip ir vidutinis tiesinis nuokrypis, dispersija taip pat parodo, kokiu mastu duomenys pasiskirsto aplink vidurkį.
Naudinga ženklų kalbą išversti į žodžių kalbą. Pasirodo, dispersija yra vidutinis nuokrypių kvadratas. Tai yra, pirmiausia apskaičiuojama vidutinė vertė, tada imamas skirtumas tarp kiekvienos pradinės ir vidutinės vertės, padalinamas kvadratu, sumuojamas ir padalinamas iš šios populiacijos verčių skaičiaus. Skirtumas tarp individualios reikšmės ir vidurkio atspindi nuokrypio matą. Jis padalytas į kvadratą siekiant užtikrinti, kad visi nuokrypiai taptų išskirtinai teigiamais skaičiais ir kad būtų išvengta abipusio teigiamų ir neigiamų nukrypimų panaikinimo, kai jie sumuojami. Tada, atsižvelgiant į kvadratinius nuokrypius, tiesiog apskaičiuojame aritmetinį vidurkį. Vidutiniai – kvadratiniai – nuokrypiai. Nuokrypiai skaičiuojami kvadratu ir atsižvelgiama į vidurkį. Atsakymas į stebuklingą žodį „dispersija“ yra tik trys žodžiai.
Tačiau gryna forma, pavyzdžiui, aritmetinis vidurkis arba indeksas, dispersija nenaudojama. Tai veikiau pagalbinis ir tarpinis rodiklis, naudojamas kitų tipų statistinei analizei. Ji net neturi įprasto matavimo vieneto. Sprendžiant iš formulės, tai yra pradinio duomenų vieneto kvadratas.
Išmatuokime atsitiktinį kintamąjį N kartų, pavyzdžiui, dešimt kartų matuojame vėjo greitį ir norime rasti vidutinę reikšmę. Kaip vidutinė vertė yra susijusi su pasiskirstymo funkcija?
Arba messime kauliuką daug kartų. Taškų, kurie iškris ant kauliuko kiekvieno metimo metu, skaičius yra atsitiktinis dydis ir gali būti bet kokios natūralios reikšmės nuo 1 iki 6. N jis linkęs į labai konkretų skaičių – matematinį lūkestį Mx. Šiuo atveju Mx = 3,5.
Kaip atsirado ši vertybė? Įleisti N išbandymai n1 numetus 1 tašką, n2 kartų – 2 taškai ir pan. Tada rezultatų, kai sumažėjo vienas taškas, skaičius:
Panašiai ir rezultatams, kai iškrito 2, 3, 4, 5 ir 6 balai.
Tarkime, kad žinome atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo dėsnį, tai yra, žinome, kad atsitiktinis dydis x gali gauti reikšmes x1, x2, ..., xk su tikimybėmis p1, p2, ... , pk.
Atsitiktinio dydžio x matematinė lūkestis Mx yra:
Matematinis lūkestis ne visada yra pagrįstas kokio nors atsitiktinio kintamojo įvertinimas. Taigi, norint įvertinti vidurkį darbo užmokesčio tikslingiau vartoti medianos sąvoką, ty tokią reikšmę, kad žmonių, gaunančių mažesnį už vidutinį atlyginimą ir daugiau, skaičius būtų vienodas.
Tikimybė p1, kad atsitiktinis dydis x yra mažesnis už x1/2, ir tikimybė p2, kad atsitiktinis dydis x yra didesnis už x1/2, yra vienoda ir lygi 1/2. Mediana nėra vienareikšmiškai nustatyta visiems skirstiniams.
Standartinis arba standartinis nuokrypis statistikoje vadinamas stebėjimo duomenų ar aibių nuokrypio nuo VIDUTINĖS reikšmės laipsnis. Žymima s arba s raidėmis. Mažas standartinis nuokrypis rodo, kad duomenys sugrupuoti pagal vidurkį, o didelis standartinis nuokrypis rodo, kad pradiniai duomenys toli nuo jo. Standartinis nuokrypis yra lygus dydžio, vadinamo dispersija, kvadratinei šaknei. Tai yra pradinių duomenų, nukrypusių nuo vidurkio, skirtumų kvadrato sumos vidurkis. Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis yra dispersijos kvadratinė šaknis:
Pavyzdys. Bandymo sąlygomis šaudydami į taikinį apskaičiuokite atsitiktinio dydžio dispersiją ir standartinį nuokrypį:
Variacija- požymio reikšmės svyravimas, kintamumas populiacijos vienetais. Atskirai skaitinės reikšmės ypatumai, atsirandantys tiriamoje populiacijoje, vadinami vertės pasirinkimais. Vidutinės vertės nepakankamumas pilnam populiacijos apibūdinimui verčia vidutines reikšmes papildyti rodikliais, leidžiančiais įvertinti šių vidurkių tipiškumą, matuojant tiriamo požymio svyravimą (variaciją). Variacijos koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę:
Tarpo variacija(R) yra skirtumas tarp didžiausių ir mažiausių požymio verčių tirtoje populiacijoje. Šis rodiklis suteikia bendriausią idėją apie tiriamo požymio svyravimą, nes parodo skirtumą tik tarp kraštutinių variantų verčių. Priklausomybė nuo kraštutinių atributo verčių suteikia variacijų diapazonui nestabilų, atsitiktinį pobūdį.
Vidutinis tiesinis nuokrypis yra visų analizuojamos populiacijos verčių absoliučių (modulinių) nuokrypių nuo jų vidutinės vertės aritmetinis vidurkis:
Matematiniai lūkesčiai azartinių lošimų teorijoje
Matematinis lūkestis yra vidutinė žaidėjo pinigų suma azartinių lošimų gali laimėti arba pralaimėti atlikus tam tikrą statymą. Tai labai reikšminga sąvoka žaidėjui, nes ji yra esminė daugelio žaidimo situacijų įvertinimui. Matematiniai lūkesčiai taip pat yra geriausias įrankis analizuojant pagrindinius kortelių išdėstymus ir žaidimo situacijas.
Tarkime, kad žaidžiate monetą su draugu ir kiekvieną kartą statote vienodą 1 USD statymą, nesvarbu, kas nutiktų. Uodegos - laimite, galvos - pralaimite. Tikimybė, kad jis atsiras, yra vienas prieš vieną, ir jūs statote nuo 1 USD iki 1 USD. Taigi jūsų matematiniai lūkesčiai yra lygūs nuliui, nes matematiškai kalbant, negali žinoti, ar pirmauja, ar pralaimėsi po dviejų metimų, ar po 200.
Jūsų valandinis pelnas yra lygus nuliui. Valandinis išmokėjimas yra pinigų suma, kurią tikitės laimėti per valandą. Per valandą galite išversti monetą 500 kartų, bet nelaimėsite ir nepralaimėsite jūsų šansai nėra nei teigiami, nei neigiami. Jei pasižiūrėtum, rimto žaidėjo požiūriu, tokia lažybų sistema nėra bloga. Bet tai tik laiko švaistymas.
Tačiau tarkime, kad kažkas nori statyti 2 USD prieš jūsų 1 USD tame pačiame žaidime. Tada iš karto tikisi 50 centų iš kiekvieno statymo. Kodėl 50 centų? Vidutiniškai laimi vieną statymą, o pralaimi antrą. Statykite už pirmąjį dolerį ir pralaimėsite 1 dolerį, statykite antrąjį ir laimėkite 2 dolerius. Jūs statėte 1 USD du kartus ir esate priekyje 1 USD. Taigi kiekvienas jūsų vieno dolerio statymas davė 50 centų.
Jei moneta per vieną valandą nukris 500 kartų, jūsų valandinis pelnas bus jau 250 USD, nes. vidutiniškai praradote 1 250 USD ir laimėjote 2 250 kartų. 500 USD minus 250 USD yra lygus 250 USD, tai yra bendras laimėjimas. Atkreipkite dėmesį, kad numatoma vertė, ty suma, kurią vidutiniškai laimite atlikdami vieną statymą, yra 50 centų. Jūs laimėjote 250 USD statydami vieną dolerį 500 kartų, tai yra 50 centų jūsų statymo.
Matematiniai lūkesčiai neturi nieko bendra su trumpalaikiais rezultatais. Jūsų oponentas, nusprendęs prieš jus pastatyti 2 USD, galėjo jus nugalėti per pirmuosius dešimt metimų iš eilės, bet jūs, turėdami statymo pranašumą 2 prieš 1, kai visa kita yra lygi, uždirbate 50 centų už kiekvieną 1 USD statymą pagal bet kurį aplinkybės. Nesvarbu, laimėsite ar pralaimite vieną statymą ar kelis statymus, bet tik su sąlyga, kad turėsite pakankamai grynųjų, kad galėtumėte lengvai kompensuoti išlaidas. Jei ir toliau statysite taip pat, tada per ilgą laiką jūsų laimėjimai pasieks tikėtinų verčių sumą atskirais metimais.
Kiekvieną kartą, kai atliekate geriausią statymą (statymą, kuris gali būti pelningas ilguoju laikotarpiu), kai šansai yra jūsų naudai, jūs privalote ką nors laimėti, nesvarbu, ar pralaimėsite, ar ne tam tikroje partijoje. Ir atvirkščiai, jei atlikote blogesnį statymą (ilguoju laikotarpiu nepelningas statymas), kai šansai jums nepalankūs, jūs ką nors prarandate, nesvarbu, ar laimėsite, ar pralaimėsite kortą.
Lažinkitės su geriausiu rezultatu, jei jūsų lūkesčiai yra teigiami, ir teigiami, jei šansai yra jūsų naudai. Lažindami su blogiausia baigtimi, jūs turite neigiamų lūkesčių, o tai atsitinka, kai šansai yra prieš jus. Rimti žaidėjai stato tik su geriausiu rezultatu, o su blogiausiu – nusimeta. Ką reiškia šansai jūsų naudai? Galų gale galite laimėti daugiau, nei duoda realūs šansai. Tikrasis šansai pataikyti į uodegą yra 1:1, bet jūs gaunate 2:1 dėl statymų santykio. Šiuo atveju šansai yra jūsų naudai. Jūs tikrai gausite geriausią rezultatą, tikėdamiesi 50 centų už statymą.
Štai daugiau sudėtingas pavyzdys matematinis lūkestis. Draugas užrašo skaičius nuo vieno iki penkių ir stato 5 USD prieš jūsų 1 USD, kad jūs numerio nepasirinksite. Ar sutinkate su tokiu lažybomis? Ko čia tikėtis?
Vidutiniškai klysite keturis kartus. Remiantis tuo, tikimybė, kad jūs atspėsite skaičių, bus 4:1. Tikimybė, kad vienu bandymu prarasite dolerį. Tačiau jūs laimite 5:1, su galimybe pralaimėti 4:1. Todėl šansai yra jūsų naudai, galite atlikti statymą ir tikėtis geriausio rezultato. Jei atliksite šį statymą penkis kartus, vidutiniškai prarasite keturis kartus 1 USD ir vieną kartą laimėsite 5 USD. Remiantis tuo, už visus penkis bandymus uždirbsite 1 USD, o matematiškai tikimasi 20 centų už statymą.
Žaidėjas, kuris ketina laimėti daugiau nei stato, kaip nurodyta aukščiau pateiktame pavyzdyje, gaudo šansus. Ir atvirkščiai, jis sugadina šansus, kai tikisi laimėti mažiau, nei stato. Lažėjas gali turėti teigiamų arba neigiamų lūkesčių, priklausomai nuo to, ar jis gaudo ar sugriauna šansus.
Jei statysite 50 USD, kad laimėtum 10 USD su 4:1 tikimybe laimėti, gausite neigiamą 2 USD lūkesčius, nes vidutiniškai keturis kartus laimėsite 10 USD ir vieną kartą pralaimėsite 50 USD, o tai rodo, kad nuostolis už statymą bus 10 USD. Bet jei statote 30 USD, kad laimėtumėte 10 USD, o tikimybė laimėti 4:1, tada šiuo atveju tikisi 2 USD, nes jūs vėl laimite keturis kartus 10 USD ir vieną kartą pralaimite 30 USD, gaudami 10 USD pelną. Šie pavyzdžiai rodo, kad pirmasis statymas yra blogas, o antrasis yra geras.
Matematinis lūkestis yra bet kurios žaidimo situacijos centras. Kai lažybų tarpininkas skatina futbolo gerbėjus statyti 11 USD, kad laimėtų 10 USD, jie tikisi 50 centų už kiekvieną 10 USD. Jei kazino išmoka net pinigus iš Craps pass linijos, tada teigiamas namo lūkestis yra maždaug 1,40 USD už kiekvieną 100 USD; šis žaidimas yra sukonstruotas taip, kad kiekvienas, kuris stato šioje eilutėje, vidutiniškai pralaimi 50,7% ir laimi 49,3% laiko. Be jokios abejonės, būtent šis, atrodytų, minimalus teigiamas lūkestis atneša didžiulį pelną kazino savininkams visame pasaulyje. Kaip pažymėjo „Vegas World“ kazino savininkas Bobas Stupakas: „Tūkstantoji procento dalis neigiamos tikimybės per pakankamai ilgą atstumą sugadins turtingiausias žmogus pasaulyje".
Matematiniai lūkesčiai žaidžiant pokerį
Pokerio žaidimas yra iliustratyviausias ir iliustratyviausias matematinių lūkesčių teorijos ir savybių panaudojimo pavyzdys.
Tikėtina vertė pokeryje yra vidutinė nauda iš konkretaus sprendimo, su sąlyga, kad toks sprendimas gali būti svarstomas didelių skaičių ir didelio atstumo teorijos rėmuose. Sėkmingas pokeris – tai visada priimti žingsnius su teigiamu matematiniu lūkesčiu.
Matematinė matematinio lūkesčio prasmė žaidžiant pokerį yra ta, kad dažnai priimdami sprendimą susiduriame su atsitiktiniais dydžiais (nežinome, kokios kortos yra oponento rankoje, kokios kortos ateis kituose statymų raunduose). Turime apsvarstyti kiekvieną iš sprendinių didelių skaičių teorijos požiūriu, kuri teigia, kad esant pakankamai didelei imčiai, vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė atitiks jo matematinius lūkesčius.
Tarp konkrečių matematinių lūkesčių skaičiavimo formulių pokeryje labiausiai tinka šios:
Žaidžiant pokerį matematinius lūkesčius galima skaičiuoti tiek statymams, tiek skambučiams. Pirmuoju atveju reikia atsižvelgti į fold equity, antruoju – į paties banko šansus. Vertinant matematinį konkretaus žingsnio lūkestį, reikia atsiminti, kad lenkimas visada turi nulinį matematinį lūkestį. Taigi kortų išmetimas visada bus pelningesnis sprendimas nei bet koks neigiamas žingsnis.
Lūkesčiai nurodo, ko galite tikėtis (pelno ar nuostolių) už kiekvieną rizikuojamą dolerį. Kazino uždirba pinigus, nes visų juose praktikuojamų žaidimų matematiniai lūkesčiai yra palankūs kazino. Turint pakankamai ilgą žaidimų seriją, galima tikėtis, kad klientas praras savo pinigus, nes „tikimybė“ yra kazino naudai. Tačiau profesionalūs kazino žaidėjai riboja savo žaidimus trumpais laikotarpiais, taip padidindami šansus savo naudai. Tas pats pasakytina ir apie investavimą. Jei jūsų lūkesčiai yra teigiami, galite uždirbti daugiau pinigų atlikdami daug sandorių per trumpą laiką. Tikėtina, kad pelno už laimėjimą procentas padaugintas iš vidutinio pelno atėmus nuostolių tikimybę, padaugintą iš vidutinių nuostolių.
Pokeris taip pat gali būti vertinamas atsižvelgiant į matematinius lūkesčius. Galite manyti, kad tam tikras žingsnis yra pelningas, tačiau kai kuriais atvejais jis gali būti ne pats geriausias, nes kitas žingsnis yra pelningesnis. Tarkime, kad penkių kortų pokeryje pasiekėte pilną namą. Jūsų priešininkas stato. Jūs žinote, kad jei pakelsite ante, jis paskambins. Taigi kėlimas atrodo geriausia taktika. Bet jei padidinsite, likę du žaidėjai tikrai nusimes. Bet jei atliksite statymą, būsite visiškai tikri, kad kiti du žaidėjai po jūsų padarys tą patį. Kai padidinate statymą, gaunate vieną vienetą, o tiesiog paskambinę - du. Taigi skambinimas suteikia didesnę teigiamą tikėtiną vertę ir yra geriausia taktika.
Matematinis lūkestis taip pat gali padėti suprasti, kuri pokerio taktika yra mažiau pelninga, o kuri – pelningesnė. Pavyzdžiui, jei žaidžiate tam tikrą kombinaciją ir manote, kad jūsų vidutinis nuostolis yra 75 centai, įskaitant antes, tuomet turėtumėte žaisti tą ranką, nes tai geriau nei sulankstyti, kai ante yra 1 USD.
Kita svarbi priežastis suprasti tikėtiną vertę yra ta, kad tai suteikia ramybės jausmą, nesvarbu, ar laimėsite statymą, ar ne: jei padarėte gerą statymą arba nusimetėte laiku, žinosite, kad uždirbote arba sutaupėte tam tikrą sumą. pinigų, kurių silpnesnis žaidėjas negalėjo sutaupyti. Daug sunkiau nusimesti, jei esate nusivylęs, kad jūsų oponentas turi geresnę kombinaciją. Be to, pinigai, kuriuos sutaupėte nežaisdami, o ne lažindamiesi, pridedami prie jūsų vienos nakties ar mėnesio laimėjimo.
Tiesiog atminkite, kad jei pakeistumėte rankas, jūsų oponentas jums paskambins ir, kaip pamatysite straipsnyje „Pagrindinė pokerio teorema“, tai tik vienas iš jūsų pranašumų. Turėtumėte džiaugtis, kai tai atsitiks. Jūs netgi galite išmokti džiaugtis pralaimėjus ranką, nes žinote, kad kiti jūsų žaidėjai praras daug daugiau.
Kaip buvo aptarta monetų žaidimo pavyzdyje pradžioje, valandinė grąžos norma yra susijusi su matematiniais lūkesčiais, o ši sąvoka ypač svarbi profesionaliems žaidėjams. Kai ketinate žaisti pokerį, turite mintyse įvertinti, kiek galite laimėti per žaidimo valandą. Daugeliu atvejų turėsite pasikliauti savo intuicija ir patirtimi, tačiau galite naudoti ir kai kuriuos matematinius skaičiavimus. Pavyzdžiui, jei žaidžiate loteriją ir matote, kad trys žaidėjai stato 10 USD, o tada ištraukia dvi kortas, o tai yra labai bloga taktika, galite patys apskaičiuoti, kad kiekvieną kartą statydami 10 USD jie praranda apie 2 USD. Kiekvienas iš jų tai daro aštuonis kartus per valandą, o tai reiškia, kad visi trys per valandą praranda apie 48 USD. Jūs esate vienas iš likusių keturių žaidėjų, kurie yra maždaug lygūs, todėl šie keturi žaidėjai (ir jūs tarp jų) turi pasidalinti 48 USD ir kiekvienas uždirbs 12 USD per valandą. Jūsų valandinis įkainis šiuo atveju yra tiesiog jūsų dalis pinigų sumos, kurią praranda trys blogi žaidėjai per valandą.
Per ilgą laiką bendras žaidėjo laimėjimas yra jo matematinių lūkesčių suma atskirais paskirstymais. Kuo daugiau žaidžiate su teigiamais lūkesčiais, tuo daugiau laimite, ir atvirkščiai, kuo daugiau rankų žaidžiate su neigiamais lūkesčiais, tuo daugiau pralaimite. Dėl to pirmenybę turėtumėte teikti žaidimui, kuris gali maksimaliai padidinti jūsų teigiamus lūkesčius arba paneigti neigiamus, kad galėtumėte maksimaliai padidinti valandinį pelną.
Teigiami matematiniai lūkesčiai žaidimo strategijoje
Jei mokate skaičiuoti kortas, galite turėti pranašumą prieš kazino, jei jie jūsų nepastebės ir neišmes. Kazino mėgsta girtus lošėjus ir negali pakęsti kortų skaičiavimo. Privalumas leis jums laimėti daugiau kartų nei pralaimėti laikui bėgant. geras valdymas kapitalas naudojant lūkesčių skaičiavimus gali padėti išnaudoti savo pranašumą ir sumažinti nuostolius. Neturėdami pranašumo geriau skirsite pinigus labdarai. Žaidime biržoje pranašumą suteikia žaidimo sistema, kuri sukuria daugiau pelno nei nuostoliai, kainų skirtumai ir komisiniai. Joks pinigų valdymas neišgelbės blogos žaidimų sistemos.
Teigiamas lūkestis apibrėžiamas didesne nei nulis reikšme. Kuo didesnis šis skaičius, tuo stipresni statistiniai lūkesčiai. Jei reikšmė mažesnė už nulį, matematinis lūkestis taip pat bus neigiamas. Kuo didesnis neigiamos reikšmės modulis, tuo prastesnė situacija. Jei rezultatas lygus nuliui, tada lūkesčiai yra nuostolingi. Jūs galite laimėti tik tada, kai turite teigiamų matematinių lūkesčių, pagrįstą žaidimo sistemą. Žaidimas intuicija veda į nelaimę.
Matematiniai lūkesčiai ir prekyba akcijomis
Matematinis lūkestis yra gana plačiai paplitęs ir populiarus statistinis rodiklis prekiaujant biržoje finansų rinkose. Visų pirma, šis parametras naudojamas prekybos sėkmės analizei. Nesunku atspėti, kad kuo didesnė ši vertė, tuo daugiau priežasčių laikyti tiriamą prekybą sėkminga. Žinoma, prekybininko darbo analizė negali būti atlikta tik šio parametro pagalba. Tačiau apskaičiuota vertė, kartu su kitais darbo kokybės vertinimo metodais, gali žymiai padidinti analizės tikslumą.
Prekybos sąskaitų stebėjimo paslaugose dažnai skaičiuojamas matematinis lūkestis, leidžiantis greitai įvertinti su indėliu atliktus darbus. Kaip išimtį galime paminėti strategijas, kuriose naudojamas pralaimėtų sandorių „viršijimas“. Prekybininkui kurį laiką gali pasisekti, todėl jo darbe gali nebūti jokių nuostolių. Tokiu atveju nebus galima orientuotis vien tik pagal lūkesčius, nes nebus atsižvelgta į darbe naudojamą riziką.
Prekiaujant rinkoje matematinis lūkestis dažniausiai naudojamas prognozuojant prekybos strategijos pelningumą arba prognozuojant prekiautojo pajamas pagal jo ankstesnių sandorių statistiką.
Kalbant apie pinigų valdymą, labai svarbu suprasti, kad atliekant sandorius su neigiamais lūkesčiais, nėra pinigų valdymo schemos, kuri neabejotinai galėtų atnešti didelį pelną. Jei ir toliau žaisite biržoje tokiomis sąlygomis, nepriklausomai nuo to, kaip valdote savo pinigus, prarasite visą savo sąskaitą, nesvarbu, kokia ji buvo pradžioje.
Ši aksioma galioja ne tik neigiamų lūkesčių žaidimams ar sandoriams, bet ir lygių šansų žaidimams. Todėl vienintelis atvejis, kai turite galimybę gauti naudos ilgalaikėje perspektyvoje, yra sudaryti sandorius su teigiamais matematiniais lūkesčiais.
Skirtumas tarp neigiamų lūkesčių ir teigiamų lūkesčių yra skirtumas tarp gyvenimo ir mirties. Nesvarbu, koks teigiamas ar neigiamas yra lūkestis; svarbu, ar jis teigiamas, ar neigiamas. Todėl prieš pradėdami tvarkyti pinigus, turite rasti žaidimą su teigiamu lūkesčiu.
Jei neturite to žaidimo, joks pinigų valdymas pasaulyje jūsų neišgelbės. Kita vertus, jei turite teigiamų lūkesčių, tinkamai valdydami pinigus, galite tai paversti eksponentinės augimo funkcija. Nesvarbu, kokie maži yra teigiami lūkesčiai! Kitaip tariant, nesvarbu, kiek pelninga yra viena sutartimi pagrįsta prekybos sistema. Jei turite sistemą, kuri laimi 10 USD už vieną kontraktą už vieną sandorį (po mokesčių ir praslydimo), galite naudoti pinigų valdymo metodus, kad ji būtų pelningesnė nei sistema, kurios vidutinis pelnas yra 1000 USD už sandorį (atskaičius komisinius ir paslydimas).
Svarbu ne tai, kiek sistema buvo pelninga, o tai, kiek tikrai galima teigti, kad sistema ateityje rodys bent minimalų pelną. Todėl svarbiausias prekiautojo pasiruošimas yra įsitikinti, kad ateityje sistema parodys teigiamą tikėtiną vertę.
Norint turėti teigiamą numatomą vertę ateityje, labai svarbu neapriboti savo sistemos laisvės laipsnių. Tai pasiekiama ne tik pašalinus arba sumažinus optimizuojamų parametrų skaičių, bet ir sumažinus kuo daugiau sistemos taisyklių. Kiekvienas jūsų pridėtas parametras, kiekviena jūsų nustatyta taisyklė, kiekvienas mažas sistemos pakeitimas sumažina laisvės laipsnių skaičių. Idealiu atveju norite sukurti gana primityvią ir paprastą sistemą, kuri nuolat neš nedidelį pelną beveik bet kurioje rinkoje. Vėlgi, svarbu suprasti, kad nesvarbu, kiek pelninga yra sistema, kol ji yra pelninga. Pinigai, kuriuos uždirbate prekyboje, bus uždirbti per efektyvus valdymas pinigų.
Prekybos sistema yra tiesiog įrankis, suteikiantis teigiamų matematinių lūkesčių, kad būtų galima naudoti pinigų valdymą. Sistemos, kurios veikia (rodo bent minimalų pelną) tik vienoje ar keliose rinkose arba turi skirtingas taisykles ar parametrus skirtingoms rinkoms, realiu laiku veikiausiai veiks neilgai. Daugumos techninių prekiautojų problema yra ta, kad jie praleidžia per daug laiko ir pastangų optimizuodami įvairias prekybos sistemos taisykles ir parametrus. Tai duoda visiškai priešingus rezultatus. Užuot eikvoję energiją ir kompiuterio laiką prekybos sistemos pelno didinimui, nukreipkite savo energiją į minimalaus pelno gavimo patikimumo lygį.
Žinodamas, kad pinigų valdymas yra tik skaičių žaidimas, reikalaujantis pozityvių lūkesčių, prekiautojas gali nustoti ieškoti „šventojo gralio“ akcijų prekybos. Vietoj to jis gali pradėti testuoti savo prekybos metodą, išsiaiškinti, kaip šis metodas logiškai pagrįstas, ar suteikia teigiamų lūkesčių. Tinkami pinigų valdymo metodai, taikomi bet kokiems, net ir labai vidutiniams prekybos metodams, atliks likusį darbą.
Bet kuris prekybininkas, siekdamas sėkmės savo darbe, turi išspręsti tris svarbiausias užduotis: . Užtikrinti, kad sėkmingų operacijų skaičius viršytų neišvengiamų klaidų ir klaidingų skaičiavimų skaičių; Susikurkite savo prekybos sistemą taip, kad galimybė užsidirbti būtų kuo dažniau; Pasiekite stabilų teigiamą savo operacijų rezultatą.
O štai mums, dirbantiems prekybininkams, matematinis lūkestis gali labai pagelbėti. Šis terminas tikimybių teorijoje yra vienas iš pagrindinių. Su juo galite pateikti vidutinį tam tikros atsitiktinės vertės įvertinimą. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra tarsi svorio centras, jei visas įmanomas tikimybes įsivaizduosime kaip skirtingų masių taškus.
Kalbant apie prekybos strategiją, jos efektyvumui įvertinti dažniausiai naudojamas matematinis pelno (ar nuostolio) lūkestis. Šis parametras apibrėžiamas kaip nurodytų pelno ir nuostolių lygių produktų ir jų atsiradimo tikimybės suma. Pavyzdžiui, parengtoje prekybos strategijoje daroma prielaida, kad 37% visų operacijų atneš pelną, o likusi dalis – 63% – bus nuostolinga. Tuo pačiu metu vidutinės pajamos iš sėkmingo sandorio bus 7 USD, o vidutinis nuostolis – 1,4 USD. Apskaičiuokime matematinius prekybos lūkesčius naudodami šią sistemą:
Ką reiškia šis skaičius? Jame rašoma, kad, vadovaujantis šios sistemos taisyklėmis, vidutiniškai iš kiekvienos uždarytos operacijos gausime 1,708 dolerio. Kadangi gautas efektyvumo balas yra didesnis už nulį, tokia sistema gali būti naudojama realiam darbui. Jei dėl skaičiavimo matematinis lūkestis pasirodo neigiamas, tai jau rodo vidutinį nuostolį ir tokia prekyba sukels žlugimą.
Vieno sandorio pelno suma taip pat gali būti išreikšta santykine verte % forma. Pavyzdžiui:
– pajamų procentas už 1 sandorį - 5%;
– sėkmingų prekybos operacijų procentas - 62%;
– nuostolio procentas 1 sandoriui - 3%;
- nesėkmingų sandorių procentas - 38%;
Tai yra, vidutinis sandoris atneš 1,96%.
Galima sukurti sistemą, kuri, nepaisant vyraujančių nuostolingų sandorių, duos teigiamą rezultatą, nes jos MO>0.
Tačiau vien laukti neužtenka. Sunku užsidirbti pinigų, jei sistema duoda labai mažai prekybos signalų. Tokiu atveju jos pelningumas bus panašus į banko palūkanas. Tegul kiekviena operacija atneša vidutiniškai tik 0,5 dolerio, bet kas, jei sistema per metus prisiima 1000 operacijų? Tai bus labai rimta suma per palyginti trumpą laiką. Iš to logiškai išplaukia, kad dar vienu geros prekybos sistemos požymiu galima laikyti trumpą laikymo laikotarpį.
Šaltiniai ir nuorodos
dic.academic.ru - akademinis internetinis žodynas
mathematics.ru - mokomoji matematikos svetainė
nsu.ru yra Novosibirsko švietimo svetainė Valstijos universitetas
webmath.ru edukacinis portalas studentams, pretendentams ir moksleiviams.
exponenta.ru mokomoji matematinė svetainė
ru.tradimo.com – nemokama internetinės prekybos mokykla
crypto.hut2.ru – daugiadisciplininis informacijos šaltinis
poker-wiki.ru – nemokama pokerio enciklopedija
sernam.ru - Mokslinė rinktinių gamtos mokslų leidinių biblioteka
reshim.su – svetainė SOLVE užduočių valdymo kursiniai darbai
unfx.ru – Forex UNFX: mokymai, prekybos signalai, pasitikėjimo valdymas
slovopedia.com – didelis enciklopedinis žodynas Slovakija
pokermansion.3dn.ru – Jūsų pokerio pasaulio vadovas
statanaliz.info - informacinis tinklaraštis "Statistinių duomenų analizė"
forex-trader.rf – portalas Forex-Trader
megafx.ru – naujausia Forex analitika
fx-by.com – viskas prekybininkui
Atsitiktinis kintamasis vadinamas kintamuoju, kuris dėl kiekvieno testo įgauna vieną anksčiau nežinomą reikšmę, priklausomai nuo atsitiktinių priežasčių. Atsitiktiniai kintamieji žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Atsitiktiniai dydžiai pagal savo tipą gali būti diskretus ir tęstinis.
Diskretus atsitiktinis dydis- tai toks atsitiktinis dydis, kurio reikšmės gali būti ne daugiau kaip skaičiuojamos, tai yra, baigtinės arba skaičiuojamos. Suskaičiuojamumas reiškia, kad atsitiktinio dydžio reikšmes galima suskaičiuoti.
1 pavyzdys . Pateiksime diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžių:
a) smūgių į taikinį skaičius $n$ šūviais, čia galimos reikšmės yra $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) metant monetą iškritusių herbų skaičius, čia galimos vertės yra $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) į laivą atplaukusių laivų skaičius (suskaičiuojamas verčių rinkinys).
d) skambučių, gaunamų į stotelę, skaičius (skaičiuojamas reikšmių rinkinys).
1. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis.
Diskretus atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti reikšmes $x_1,\dots ,\ x_n$ su tikimybėmis $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Šių verčių ir jų tikimybių atitikimas vadinamas diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Paprastai šis atitikimas nurodomas naudojant lentelę, kurios pirmoje eilutėje nurodomos $x_1,\dots ,\ x_n$ reikšmės, o antroje eilutėje šias reikšmes atitinkančios tikimybės yra $ p_1,\taškai ,\ p_n$.
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \taškai & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \taškai & p_n \\
\hline
\end(masyvas)$
2 pavyzdys . Tegul atsitiktinis dydis $X$ yra metamų taškų skaičius, kai metamas kauliukas. Toks atsitiktinis dydis $X$ gali turėti šias reikšmes $1,\2,\3,\4,\5,\6$. Visų šių verčių tikimybė yra lygi $ 1/6 $. Tada atsitiktinio dydžio $X$ tikimybių pasiskirstymo dėsnis:
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(masyvas)$
komentuoti. Kadangi įvykiai $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ sudaro visą įvykių grupę diskretiškojo atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnyje, tikimybių suma turi būti lygi vienetui, t.y $\sum( p_i)=1$.
2. Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis.
Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis nurodo jo „centrinę“ reikšmę. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui matematinė lūkestis apskaičiuojamas kaip reikšmių $x_1,\dots ,\ x_n$ ir šias reikšmes atitinkančių tikimybių $p_1,\taškai ,\ p_n$ sandaugų suma, t.y.: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Anglų literatūroje naudojamas kitas žymėjimas $E\left(X\right)$.
Laukimo savybės$M\kairė(X\dešinė)$:
- $M\left(X\right)$ yra tarp mažiausios ir didžiausios atsitiktinio dydžio $X$ reikšmių.
- Matematinis konstantos lūkestis yra lygus pačiai konstantai, t.y. $M\left(C\right)=C$.
- Pastovų koeficientą galima išimti iš lūkesčio ženklo: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
3 pavyzdys . Iš pavyzdžio $2$ suraskime atsitiktinio dydžio $X$ matematinį tikėjimą.
$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\ctaškas ((1)\virš (6))+4\ctaškas ((1)\virš (6))+5\ctaškas ((1)\virš (6))+6\ctaškas ((1) )\virš (6))=3,5.$$
Galime pastebėti, kad $M\left(X\right)$ yra tarp mažiausios ($1$) ir didžiausios ($6$) atsitiktinio kintamojo $X$ reikšmių.
4 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ matematinis lūkestis yra lygus $M\left(X\right)=2$. Raskite atsitiktinio dydžio $3X+5$ matematinį lūkestį.
Naudodami aukščiau pateiktas ypatybes gauname $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.
5 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ matematinis lūkestis yra lygus $M\left(X\right)=4$. Raskite atsitiktinio dydžio $2X-9$ matematinį lūkestį.
Naudodami aukščiau pateiktas ypatybes gauname $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio sklaida.
Galimos atsitiktinių dydžių reikšmės su vienodais matematiniais lūkesčiais gali skirtingai išsibarstyti aplink jų vidutines vertes. Pavyzdžiui, dviejose mokinių grupėse tikimybių teorijos egzamino balų vidurkis pasirodė 4, tačiau vienoje grupėje visi pasirodė gerai, o kitoje – tik C mokiniai ir puikūs mokiniai. Todėl reikia tokios atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos, kuri parodytų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo matematinį lūkestį. Ši savybė yra dispersija.
Diskretinio atsitiktinio dydžio sklaida$X$ yra:
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$
Anglų literatūroje naudojamas žymėjimas $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Labai dažnai dispersija $D\left(X\right)$ apskaičiuojama pagal formulę $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) kairėje(X \dešinėje)\dešinėje))^2$.
Dispersijos savybės$D\kairė(X\dešinė)$:
- Sklaida visada yra didesnė arba lygi nuliui, t.y. $D\left(X\right)\ge 0$.
- Sklaida nuo konstantos lygi nuliui, t.y. $D\left(C\right)=0$.
- Pastovųjį koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, jei jis yra kvadratas, t.y. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- Nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
6 pavyzdys . Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio $X$ dispersiją iš pavyzdžio $2$.
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\virš (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \taškai +((1)\virš (6))\ctaškas (\left(6-3,5\right))^2=((35)\virš (12))\apytiksliai 2,92.$$
7 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ dispersija yra lygi $D\left(X\right)=2$. Raskite atsitiktinio dydžio $4X+1$ dispersiją.
Naudodami aukščiau pateiktas savybes randame $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2 = 32$.
8 pavyzdys . Yra žinoma, kad $X$ dispersija yra lygi $D\left(X\right)=3$. Raskite atsitiktinio dydžio $3-2X$ dispersiją.
Naudodami aukščiau pateiktas savybes randame $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3 = 12$.
4. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija.
Diskretaus atsitiktinio dydžio vaizdavimo skirstinio eilutės forma metodas nėra vienintelis, o svarbiausia, jis nėra universalus, nes nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio negalima nurodyti naudojant skirstinių eilutes. Yra ir kitas atsitiktinio dydžio atvaizdavimo būdas – pasiskirstymo funkcija.
paskirstymo funkcija atsitiktinis kintamasis $X$ yra funkcija $F\left(x\right)$, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis mažesnę reikšmę nei kokia nors fiksuota reikšmė $x$, t.y. $F\left(x\ dešinėn)$ )=P\kairė(X< x\right)$
Paskirstymo funkcijos savybės:
- $0\le F\left(x\right)\le 1$.
- Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis $X$ paims reikšmes iš intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ yra lygi skirtumui tarp pasiskirstymo funkcijos reikšmių šio intervalo galuose : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ – nemažėjantis.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.
9 pavyzdys . Raskime paskirstymo funkciją $F\left(x\right)$ diskrečiojo atsitiktinio dydžio $X$ paskirstymo dėsniui iš pavyzdžio $2$.
$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(masyvas)$
Jei $x\le 1$, tai akivaizdžiai $F\left(x\right)=0$ (įskaitant $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).
Jei 1 USD< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Jei 2 USD< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Jei 3 USD< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Jei 4 USD< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Jei 5 USD< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Jei $x > 6 $, tada $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\kairė(X=4\dešinė)+P\kairė(X=5\dešinė)+P\kairė(X=6\dešinė)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.
Taigi $F(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at \ 4< x\le 5,\\
1,\ už \ x > 6.
\end(matrica)\right.$