Sudėtingos funkcijos ir jų išvestinės. Raskite išvestinę: algoritmą ir sprendimų pavyzdžius

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, apibrėžiant išvestinę kaip prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribą, atsirado išvestinių lentelė ir tiksliai apibrėžtos diferenciacijos taisyklės. . Pirmieji vedinių paieškos srityje pradėjo dirbti Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).

Todėl mūsų laikais, norint rasti kokios nors funkcijos išvestinę, nereikia skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio santykio su argumento prieaugio ribos, o tik pasinaudoti lentele. išvestinių ir diferencijavimo taisyklių. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.

Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po brūkšnio ženklu suskaidyti paprastas funkcijas ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susijusios. Toliau elementariųjų funkcijų išvestinius randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formules - diferenciacijos taisyklėse. Išvestinių ir diferenciacijos taisyklių lentelė pateikta po pirmųjų dviejų pavyzdžių.

1 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.

Iš išvestinių lentelės sužinome, kad "X" išvestinė yra lygi vienetui, o sinuso išvestinė yra kosinusas. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių sumoje ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:

2 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Diferencijuokite kaip sumos išvestinę, kurioje antrasis narys su pastoviu koeficientu gali būti išimamas iš išvestinės ženklo:

Jei vis dar kyla klausimų, iš kur kažkas atsiranda, jie, kaip taisyklė, paaiškėja perskaičius išvestinių lentelę ir paprasčiausias diferenciacijos taisykles. Mes einame pas juos dabar.

Paprastų funkcijų išvestinių lentelė

1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200...), esantis funkcijos išraiškoje. Visada nulis. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai
2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai "x". Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti
3. Laipsnio išvestinė. Sprendžiant problemas, reikia konvertuoti ne kvadratines šaknis į laipsnį.
4. Kintamojo išvestinė iki -1 laipsnio
5. Kvadratinės šaknies išvestinė
6. Sinuso darinys
7. Kosinuso išvestinė
8. Tangentinė išvestinė
9. Kotangento išvestinė
10. Arsinuso išvestinė
11. Lanko kosinuso išvestinė
12. Arkos liestinės išvestinė
13. Atvirkštinės liestinės išvestinė
14. Natūralaus logaritmo išvestinė
15. Logaritminės funkcijos išvestinė
16. Rodiklio išvestinė
17. Eksponentinės funkcijos išvestinė

Diferencijavimo taisyklės

1. Sumos arba skirtumo išvestinė
2. Produkto darinys
2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė
3. Dalinio išvestinė
4. Sudėtinės funkcijos išvestinė

1 taisyklėJei funkcijos

yra diferencijuojami tam tikru tašku, tada tame pačiame taške funkcijos

tie. algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.

Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi konstanta, tai jų išvestinės yra, t.y.

2 taisyklėJei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi, tada jų produktas taip pat skiriasi tame pačiame taške

tie. dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų ir kitos išvestinei sumai.

1 pasekmė. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo:

2 pasekmė. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno faktoriaus ir visų kitų išvestinės sandaugų sumai.

Pavyzdžiui, trims daugintuvams:

3 taisyklėJei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi ir , tada šioje vietoje jų koeficientas taip pat yra diferencijuotas.u/v , ir

tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio ir skaitiklio išvestinės ir skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas .

Kur ieškoti kituose puslapiuose

Realiuose uždaviniuose ieškant sandaugos išvestinės ir koeficiento, visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl daugiau pavyzdžių apie šias išvestines yra straipsnyje."produkto ir koeficiento išvestinė".

komentuoti. Neturėtumėte painioti konstantos (ty skaičiaus) kaip sumos termino ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipinė klaida, kuri įvyksta Pradinis etapas mokymosi išvestinių, tačiau sprendžiant kelis vieno-dviejų komponentų pavyzdžius, vidutinis mokinys šios klaidos nebedaro.

Ir jei diferencijuodami produktą ar koeficientą turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (toks atvejis analizuojamas 10 pavyzdyje) .

Kita dažna klaida – sudėtingos funkcijos išvestinės kaip paprastos funkcijos išvestinės mechaninis sprendimas. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirta atskiram straipsniui. Bet pirmiausia išmoksime rasti paprastų funkcijų išvestinius.

Pakeliui neapsieisite be posakių transformacijų. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti naujus „Windows“ vadovus Veiksmai su galiomis ir šaknimis ir Veiksmai su trupmenomis .

Jei ieškote sprendimų dėl išvestinių su galiomis ir šaknimis, tai yra, kai funkcija atrodo kaip , tada sekite pamoką „Trupmenų su laipsniais ir šaknimis išvestinė“.

Jei turite tokią užduotį kaip , tada esate pamokoje „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.

Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę

3 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Nustatome funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reprezentuoja sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus koeficientas. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai, o kitos – išvestinei:

Toliau taikome sumos diferenciacijos taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis terminas su minuso ženklu. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi „x“ virsta vienetu, o minus 5 – nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto kaip ir „x“ išvestinė. Gauname tokias išvestinių priemonių vertes:

Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:

Ir jūs galite patikrinti problemos sprendimą išvestinėje .

4 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio ir skaitiklio išvestinės ir skaitiklio bei vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, ir vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:

Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Taip pat nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:

Jei ieškote sprendimų tokioms problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir laipsnių krūva, pvz., tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų su laipsniais ir šaknimis sumos išvestinė" .

Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kitų trigonometrinių funkcijų išvestis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada jūs turite pamoką "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .

5 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Pagal sandaugų diferenciacijos taisyklę ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę gauname:

Galite patikrinti išvestinės problemos sprendimą išvestinė skaičiuoklė internete .

6 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Pagal dalinio diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę, gauname:

Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš .

Kadangi atvykote čia, tikriausiai jau spėjote pamatyti šią formulę vadovėlyje

ir padaryk tokį veidą:

Drauge, nesijaudink! Tiesą sakant, viską paprasta sugėdinti. Jūs tikrai viską suprasite. Tik vienas prašymas – skaitykite straipsnį lėtai stenkitės suprasti kiekvieną žingsnį. Rašiau kuo paprasčiau ir aiškiau, bet dar reikia įsigilinti į mintį. Ir būtinai išspręskite užduotis iš straipsnio.

Kas yra sudėtinga funkcija?

Įsivaizduokite, kad kraustotės į kitą butą ir dėl to kraunatės daiktus į dideles dėžes. Tegul reikia surinkti keletą smulkmenų, pavyzdžiui, mokyklinių raštinės reikmenų. Jei tiesiog įmesite juos į didžiulę dėžę, jie pasimes, be kitų dalykų. Norėdami to išvengti, pirmiausia įdėkite juos, pavyzdžiui, į maišelį, kurį vėliau įdėkite į didelę dėžutę, o po to užsandarinate. Šis „sunkiausias“ procesas parodytas toliau pateiktoje diagramoje:

Atrodytų, kur gi matematika? O be to, kompleksinė funkcija formuojasi LYGIAI TAIP pat! Tik mes „pakuojame“ ne sąsiuvinius ir rašiklius, o \ (x \), o tarnauja skirtingi „paketai“ ir „dėžės“.

Pavyzdžiui, paimkime x ir „supakuosime“ į funkciją:

Dėl to, žinoma, gauname $\cos⁡x$. Tai mūsų „daiktų krepšys“. O dabar dedame į „dėžutę“ – supakuojame, pavyzdžiui, į kubinę funkciją.

Kas bus galų gale? Taip, taip, bus „paketas su daiktais dėžutėje“, tai yra „x kosinusas kubeliu“.

Gauta konstrukcija yra sudėtinga funkcija. Nuo paprastos jis skiriasi tuo KELI „smūgiai“ (paketai) taikomi vienam X iš eilės ir pasirodo, tarsi „funkcija iš funkcijos“ - „paketas pakuotėje“.

AT mokyklos kursas yra labai nedaug tų pačių „paketų“ tipų, tik keturi:

Dabar pirmiausia „supakuosime“ x eksponentinė funkcija su baze 7, o tada į trigonometrinę funkciją. Mes gauname:

$x → 7^x → tg⁡(7^x)$

O dabar „supakuosime“ x du kartus trigonometrinės funkcijos, pirmiausia į , o paskui į :

$x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)$

Paprasta, tiesa?

Dabar pats parašykite funkcijas, kur x:
- pirmiausia jis „supakuotas“ į kosinusą, o po to į eksponentinę funkciją su baze $3$;
- pirmiausia į penktąją laipsnį, o paskui į liestinę;
- pirmiausia iki bazinio logaritmo $4$ , tada į laipsnį $-2$.

Atsakymus į šį klausimą rasite straipsnio pabaigoje.

Bet ar galime x „supakuoti“ ne du, o tris kartus? Jokiu problemu! Ir keturis, ir penkis, ir dvidešimt penkis kartus. Pavyzdžiui, čia yra funkcija, kurioje x yra „supakuotas“ $4$ kartus:

$y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))$

Bet tokių formulių mokyklos praktikoje nerasi (mokiniams labiau pasisekė – gali būti sunkesnės☺).

Sudėtingos funkcijos „išpakavimas“.

Dar kartą pažiūrėkite į ankstesnę funkciją. Ar galite išsiaiškinti „pakavimo“ seką? Į ką X buvo prikimštas pirmas, į ką tada ir taip iki pat pabaigos. Tai yra, kuri funkcija kurioje yra įdėta? Paimkite popieriaus lapą ir užsirašykite, ką manote. Tai galite padaryti naudodami strėlių grandinę, kaip rašėme aukščiau, arba bet kokiu kitu būdu.

Dabar teisingas atsakymas: pirmiausia x buvo „supakuotas“ į $4$ laipsnį, po to rezultatas supakuotas į sinusą, jis savo ruožtu buvo įdėtas į logaritmo bazę $2$ ir pabaigos visa konstrukcija buvo sugrūsta į galios penketą.

Tai yra, reikia išvynioti seką ATvirkščiai. Ir čia yra užuomina, kaip tai padaryti lengviau: tiesiog pažvelk į X – nuo jo reikia šokti. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Pavyzdžiui, čia yra funkcija: $y=tg⁡(\log_2⁡x)$. Mes žiūrime į X – kas jam nutinka pirmiausia? Paimta iš jo. Ir tada? Imama rezultato tangentė. Ir seka bus tokia pati:

$x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)$

Kitas pavyzdys: $y=\cos⁡((x^3))$. Mes analizuojame - pirmiausia x buvo suskirstytas į kubą, o tada iš rezultato paimtas kosinusas. Taigi seka bus tokia: $x → x^3 → \cos⁡((x^3))$. Atkreipkite dėmesį, funkcija atrodo panaši į pačią pirmąją (kur su nuotraukomis). Bet tai yra visiškai kitokia funkcija: čia kube x (ty $\cos⁡((x x x)))$, o ten kube kosinusas $x$ (ty $\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x$). Šis skirtumas atsiranda dėl skirtingų „pakavimo“ sekų.

Paskutinis pavyzdys (su svarbia informacija): $y=\sin⁡((2x+5))$. Aišku, kad čia pirmiausia atlikome aritmetinius veiksmus su x, tada iš rezultato buvo paimtas sinusas: $x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))$. Ir šis svarbus punktas: nepaisant to, kad aritmetiniai veiksmai savaime nėra funkcijos, čia jie veikia ir kaip „pakavimo“ būdas. Pasigilinkime į šį subtilumą.

Kaip jau sakiau aukščiau, paprastose funkcijose x „supakuotas“ vieną kartą, o sudėtingose – dvi ar daugiau. Be to, bet koks paprastų funkcijų derinys (tai yra jų suma, skirtumas, daugyba ar padalijimas) taip pat yra paprasta funkcija. Pavyzdžiui, $x^7$ yra paprasta funkcija, taip pat ir $ctg x$. Taigi visi jų deriniai yra paprastos funkcijos:

$x^7+ ctg x$ – paprastas,
$x^7 ctg x$ yra paprastas,
$\frac(x^7)(ctg x)$ yra paprastas ir pan.

Tačiau jei tokiam deriniui bus pritaikyta dar viena funkcija, tai jau bus sudėtinga funkcija, nes bus du „paketai“. Žiūrėti diagramą:

Gerai, tęskime tai dabar. Parašykite "vyniojimo" funkcijų seką:
$y=cos(⁡(sin⁡x))$
$y=5^(x^7)$
$y=arctg⁡(11^x)$
$y=log_2⁡(1+x)$
Atsakymai vėl pateikiami straipsnio pabaigoje.

Vidinės ir išorinės funkcijos

Kodėl turime suprasti funkcijų įdėjimą? Ką tai mums duoda? Esmė ta, kad be tokios analizės negalėsime patikimai rasti aukščiau aptartų funkcijų išvestinių.

O norint eiti toliau, mums reikės dar dviejų sąvokų: vidinių ir išorinių funkcijų. Tai labai paprastas dalykas, be to, iš tikrųjų mes juos jau išanalizavome aukščiau: jei prisiminsime savo analogiją pačioje pradžioje, tada vidinė funkcija yra „paketas“, o išorinė - „dėžutė“. Tie. tai, į ką X „įvyniojama“ pirmiausia, yra vidinė funkcija, o į ką „įvyniojama“ vidinė jau yra išorinė. Na, suprantama, kodėl - tai išorėje, tai reiškia išorę.

Šiame pavyzdyje: $y=tg⁡(log_2⁡x)$, funkcija $\log_2⁡x$ yra vidinė ir
- išorinis.

O šiame: $y=\cos⁡((x^3+2x+1))$, $x^3+2x+1$ yra vidinis ir
- išorinis.

Atlikite paskutinę sudėtingų funkcijų analizės praktiką ir galiausiai pereikime prie taško, nuo kurio viskas buvo pradėta – rasime sudėtingų funkcijų išvestinius:

Užpildykite lentelės spragas:

Sudėtinės funkcijos išvestinė

Bravo mums, vis tiek patekome iki šios temos „boso“ – tiesą sakant, darinys sudėtinga funkcija, o konkrečiai, prie tos labai baisios formulės nuo straipsnio pradžios.☺

$(f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)$

Ši formulė skamba taip:

Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi išorinės funkcijos išvestinės pastovios vidinės funkcijos ir vidinės funkcijos išvestinės sandaugai.

Ir nedelsdami pažiūrėkite į analizavimo schemą „žodžiais“, kad suprastumėte, su kuo susieti:

Tikiuosi, kad terminai „darinys“ ir „produktas“ nesukelia sunkumų. „Sudėtinga funkcija“ – jau išmontavome. Sugavimas yra „išorinės funkcijos išvestinėje, atsižvelgiant į pastovią vidinę“. Kas tai yra?

Atsakymas: tai įprastas išorinės funkcijos darinys, kuriame keičiasi tik išorinė funkcija, o vidinė išlieka ta pati. Vis dar neaišku? Gerai, paimkime pavyzdį.

Tarkime, kad turime funkciją $y=\sin⁡(x^3)$. Aišku, kad vidinė funkcija čia yra $x^3$, o išorinė
. Dabar suraskime išorinio išvestinę pastovaus vidinio atžvilgiu.

Jei vadovausimės apibrėžimu, tai funkcijos išvestinė taške yra funkcijos Δ prieaugio santykio riba. y iki argumento Δ prieaugio x:

Viskas lyg ir aišku. Bet pabandykite pagal šią formulę apskaičiuoti, tarkime, funkcijos išvestinę f(x) = x 2 + (2x+3) · e x nuodėmė x. Jei viską darysite pagal apibrėžimą, po poros puslapių skaičiavimų jūs tiesiog užmigsite. Todėl yra paprastesnių ir efektyvesnių būdų.

Pirmiausia pažymime, kad vadinamąsias elementarias funkcijas galima atskirti nuo visos funkcijų įvairovės. Tai gana paprasti posakiai, kurių išvestinės jau seniai buvo skaičiuojamos ir įrašytos į lentelę. Tokias funkcijas kartu su jų išvestimis pakankamai lengva prisiminti.

Elementariųjų funkcijų dariniai

Elementarios funkcijos yra viskas, kas išvardyta žemiau. Šių funkcijų išvestinius reikia žinoti mintinai. Be to, juos nesunku įsiminti – štai kodėl jie elementarūs.

Taigi, elementariųjų funkcijų išvestiniai:

vardas	Funkcija	Darinys
Pastovus	f(x) = C, C ∈ R	0 (taip, taip, nulis!)
Laipsnis su racionaliuoju rodikliu	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinusas	f(x) = nuodėmė x	cos x
Kosinusas	f(x) = cos x	− nuodėmė x(minusas sinusas)
Tangentas	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentas	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
natūralusis logaritmas	f(x) = žurnalas x	1/x
Savavališkas logaritmas	f(x) = žurnalas a x	1/(x ln a)
Eksponentinė funkcija	f(x) = e x	e x(Niekas nepasikeitė)

Jei elementari funkcija padauginama iš savavališkos konstantos, tada naujos funkcijos išvestinė taip pat lengvai apskaičiuojama:

(C · f)’ = C · f ’.

Apskritai konstantas galima išimti iš išvestinės ženklo. Pavyzdžiui:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Akivaizdu, kad elementarias funkcijas galima sudėti viena prie kitos, padauginti, padalyti ir dar daugiau. Taip atsiras naujos funkcijos, nebe itin elementarios, bet ir diferencijuojamos pagal tam tikras taisykles. Šios taisyklės aptariamos toliau.

Sumos ir skirtumo išvestinė

Tegul funkcijos f(x) ir g(x), kurių vediniai mums žinomi. Pavyzdžiui, galite paimti pirmiau aptartas elementarias funkcijas. Tada galite rasti šių funkcijų sumos ir skirtumo išvestinę:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Taigi dviejų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui). Gali būti ir daugiau terminų. Pavyzdžiui, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Griežtai kalbant, algebroje nėra „atimties“ sąvokos. Yra sąvoka „neigiamas elementas“. Todėl skirtumas f − g galima perrašyti į sumą f+ (-1) g, o tada lieka tik viena formulė – sumos išvestinė.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) yra dviejų elementariųjų funkcijų suma, taigi:

f ’(x) = (x 2+ nuodėmė x)’ = (x 2)' + (nuodėmė x)’ = 2x+ cosx;

Panašiai argumentuojame ir dėl funkcijos g(x). Tik jau yra trys terminai (algebros požiūriu):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Atsakymas:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Produkto darinys

Matematika yra loginis mokslas, todėl daugelis žmonių mano, kad jei sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai, tai sandaugos išvestinė streikuoti"\u003e lygi išvestinių sandaugai. Bet jums figos! Produkto išvestinė apskaičiuojama naudojant visiškai kitą formulę. Būtent:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formulė paprasta, bet dažnai pamirštama. Ir ne tik moksleiviai, bet ir studentai. Rezultatas – neteisingai išspręstos problemos.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) yra dviejų elementarių funkcijų sandauga, todėl viskas paprasta:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)“ cos x + x 3 (kai x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (–nuodėm x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x)

Funkcija g(x) pirmasis daugiklis yra šiek tiek sudėtingesnis, tačiau bendra schema nuo to nesikeičia. Akivaizdu, kad pirmasis funkcijos daugiklis g(x) yra daugianario, o jo išvestinė yra sumos išvestinė. Mes turime:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Atsakymas:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame etape išvestinė yra faktorizuojama. Formaliai tai nėra būtina, tačiau dauguma išvestinių priemonių skaičiuojamos ne atskirai, o norint ištirti funkciją. Tai reiškia, kad toliau išvestinė bus prilyginama nuliui, išsiaiškinami jos ženklai ir pan. Tokiu atveju geriau, kad išraiška būtų išskaidyta į veiksnius.

Jei yra dvi funkcijos f(x) ir g(x), ir g(x) ≠ 0 mus dominančioje aibėje, galime apibrėžti naują funkciją h(x) = f(x)/g(x). Tokiai funkcijai taip pat galite rasti išvestinę:

Ne silpna, tiesa? Iš kur atsirado minusas? Kodėl g 2? Bet šitaip! Tai viena iš sudėtingiausių formulių – be butelio to nesuprasi. Todėl geriau jį studijuoti konkrečių pavyzdžių.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius:

Kiekvienos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra elementarios funkcijos, todėl mums tereikia dalinio išvestinės formulės:

Pagal tradiciją skaitiklį skirstome į veiksnius – tai labai supaprastins atsakymą:

Sudėtinga funkcija nebūtinai yra pusės kilometro ilgio formulė. Pavyzdžiui, pakanka paimti funkciją f(x) = nuodėmė x ir pakeiskite kintamąjį x, tarkim, įjungta x 2+ln x. Paaiškėja f(x) = nuodėmė ( x 2+ln x) yra sudėtinga funkcija. Ji taip pat turi išvestinį, bet nepavyks jo rasti pagal aukščiau aptartas taisykles.

Kaip būti? Tokiais atvejais padeda kintamojo pakeitimas ir sudėtingos funkcijos išvestinės formulė:

f ’(x) = f ’(t) · t', jei x pakeičiamas t(x).

Paprastai situacija su šios formulės supratimu yra dar liūdnesnė nei su koeficiento išvestine. Todėl taip pat geriau tai paaiškinti konkrečiais pavyzdžiais, su Išsamus aprašymas kiekvienas žingsnis.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = nuodėmė ( x 2+ln x)

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijoje f(x) vietoj 2 išraiškos x+3 bus lengva x, tada gauname elementariąją funkciją f(x) = e x. Todėl darome pakaitalą: leiskite 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Mes ieškome sudėtingos funkcijos išvestinės pagal formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

O dabar – dėmesio! Atvirkštinio pakeitimo atlikimas: t = 2x+ 3. Gauname:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Dabar pažiūrėkime į funkciją g(x). Akivaizdu, kad reikia pakeisti. x 2+ln x = t. Mes turime:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (nuodėmė t)’ · t' = cos t · t ’

Atvirkštinis pakeitimas: t = x 2+ln x. Tada:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Tai viskas! Kaip matyti iš paskutinės išraiškos, visa problema buvo sumažinta iki sumos išvestinės apskaičiavimo.

Atsakymas:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Labai dažnai pamokose vietoj termino „vedinys“ vartoju žodį „insultas“. Pavyzdžiui, sumos smūgis yra lygus smūgių sumai. Ar taip aiškiau? Na, tai yra gerai.

Taigi, apskaičiuojant išvestinę sumą, reikia atsikratyti šių potėpių pagal aukščiau aptartas taisykles. Kaip paskutinį pavyzdį, grįžkime prie išvestinės galios su racionaliuoju eksponentu:

(x n)’ = n · x n − 1

Tik nedaugelis tai žino vaidmenyje n gali būti trupmeninis skaičius. Pavyzdžiui, šaknis yra x 0,5 . Bet ką daryti, jei po šaknimi yra kažkas sudėtingo? Vėlgi, pasirodys sudėtinga funkcija - jie mėgsta tokias konstrukcijas valdymo darbai o ir egzaminai.

Užduotis. Raskite funkcijos išvestinę:

Pirmiausia perrašykime šaknį kaip laipsnį su racionaliuoju rodikliu:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Dabar atliekame pakeitimą: tegul x 2 + 8x − 7 = t. Išvestinę randame pagal formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ t' = 0,5 t–0,5 t ’.

Atliekame atvirkštinį pakeitimą: t = x 2 + 8x− 7. Mes turime:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Galiausiai grįžkime prie šaknų:

Ir sudėtingos funkcijos išvestinės teorema, kurios formuluotė yra tokia:

Tegul 1) funkcija $u=\varphi (x)$ turi išvestinę $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ tam tikru momentu $x_0$, 2) funkcija $y=f(u)$ turi atitinkamame taške $u_0=\varphi (x_0)$ išvestinę $y_(u)"=f"(u)$. Tada kompleksinė funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ minėtame taške taip pat turės išvestinę, lygią funkcijų $f(u)$ ir $\varphi () išvestinių sandaugai x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

arba trumpesniu užrašu: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Šio skyriaus pavyzdžiuose visos funkcijos turi formą $y=f(x)$ (ty mes nagrinėjame tik vieno kintamojo $x$ funkcijas). Atitinkamai visuose pavyzdžiuose išvestinė $y"$ imama kintamojo $x$ atžvilgiu. Norint pabrėžti, kad išvestinė imama kintamojo $x$ atžvilgiu, dažnai vietoj $$ rašoma $y"_x$ y"$.

1, 2 ir 3 pavyzdžiai pateikia išsamų sudėtingų funkcijų išvestinės paieškos procesą. Pavyzdys Nr. 4 skirtas išsamesniam išvestinių lentelės supratimui ir prasminga su ja susipažinti.

Patartina, išstudijavus medžiagą pavyzdžiuose Nr. 1-3, pereiti prie savarankiškas sprendimas 5, 6 ir 7 pavyzdžiai. 5, 6 ir 7 pavyzdžiuose yra trumpas sprendimas, kad skaitytojas galėtų patikrinti savo rezultato teisingumą.

1 pavyzdys

Raskite funkcijos $y=e^(\cos x)$ išvestinę.

Turime rasti kompleksinės funkcijos $y"$ išvestinę. Kadangi $y=e^(\cos x)$, tada $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. raskite išvestinę $ \left(e^(\cos x)\right)"$ naudokite formulę #6 iš išvestinių lentelės. Norint naudoti formulę Nr. 6, reikia atsižvelgti į tai, kad mūsų atveju $u=\cos x$. Kitas sprendimas yra banalus išraiškos $\cos x$ pakeitimas vietoj $u$ formulėje Nr. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Dabar reikia rasti išraiškos $(\cos x)"$ reikšmę. Vėl kreipiamės į išvestinių lentelę, iš jos pasirinkdami formulę Nr. 10. Pakeitę $u=x$ į formulę Nr. 10, turime : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Dabar tęsiame lygybę (1.1), papildydami ją rastu rezultatu:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Kadangi $x"=1$, tęsiame lygybę (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Taigi iš lygybės (1.3) gauname: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Natūralu, kad paaiškinimai ir tarpinės lygybės dažniausiai praleidžiamos, išvestinę rašant vienoje eilutėje, kaip lygybėje ( 1.3) Taigi, kompleksinės funkcijos išvestinė rasta, belieka tik užrašyti atsakymą.

Atsakymas: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ išvestinę.

Turime apskaičiuoti išvestinę $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pirmiausia pažymime, kad konstantą (ty skaičių 9) galima išimti iš išvestinės ženklo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Dabar pereikime prie išraiškos $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Kad būtų lengviau pasirinkti norimą formulę iš išvestinių lentelės, pateiksiu išraišką klausiama tokia forma: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Dabar aišku, kad reikia naudoti formulę Nr.2, t.y. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Šioje formulėje pakeiskite $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ir $\alpha=12$:

Papildydami lygybę (2.1) gautu rezultatu, gauname:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \žyma (2.2) $$

Šioje situacijoje dažnai daroma klaida, kai sprendėjas pirmame žingsnyje vietoj formulės pasirenka formulę $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\ alfa \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Esmė ta, kad pirmiausia reikia rasti išorinės funkcijos išvestinę. Norėdami suprasti, kuri funkcija bus išorinė išraiškai $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, įsivaizduokite, kad skaičiuojate išraiškos $\arctg^(12)(4\cdot 5^) reikšmę x)$ kai kuriai $x$ vertei. Pirmiausia apskaičiuokite $5^x$ reikšmę, tada rezultatą padauginkite iš 4, kad gautumėte $4\cdot 5^x$. Dabar iš šio rezultato paimame arctangentą ir gauname $\arctg(4\cdot 5^x)$. Tada gautą skaičių padidiname iki dvyliktosios laipsnio, gaudami $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Paskutinis veiksmas, t.y. pakeliant iki 12 galios, – ir bus išorinė funkcija. Ir būtent nuo jos reikėtų pradėti ieškoti išvestinės, kas buvo padaryta lygybėje (2.2).

Dabar turime rasti $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Naudojame išvestinių lentelės formulę Nr. 19, pakeisdami joje $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Šiek tiek supaprastinkime gautą išraišką, atsižvelgdami į $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Lygybė (2.2) dabar taps:

Belieka rasti $(4\cdot \ln x)"$. Iš išvestinės ženklo išimame konstantą (t.y. 4): $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Norėdami rasti $(\ln x)"$, naudojame formulę Nr. 8, pakeičiant $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Kadangi $x"=1$, tada $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Pakeisdami gautą rezultatą į formulę (2.3), gauname:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Priminsiu, kad kompleksinės funkcijos išvestinė dažniausiai yra vienoje eilutėje, kaip parašyta paskutinėje lygybėje. Todėl atliekant standartinius skaičiavimus ar bandymus visai nebūtina nudažyti tirpalo ta pačia detale.

Atsakymas: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

3 pavyzdys

Raskite funkcijos $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ $y"$.

Pirma, šiek tiek pakeiskime funkciją $y$, išreikšdami radikalą (šaknį) kaip laipsnį: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Dabar pradėkime ieškoti išvestinės. Kadangi $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tada:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Naudojame formulę Nr. 2 iš išvestinių lentelės, pakeičiant $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ir $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Tęsiame lygybę (3.1) naudodami gautą rezultatą:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Dabar turime rasti $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Tam naudojame formulę Nr. 9 iš išvestinių lentelės, pakeisdami joje $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Papildydami lygybę (3.2) gautu rezultatu, gauname:

Belieka rasti $(5\cdot 9^x)"$. Pirmiausia iš išvestinės ženklo išimame konstantą (skaičius $5$), t.y $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Norėdami rasti išvestinę $(9^x)"$, taikome išvestinių lentelės formulę Nr. 5, pakeičiant $a=9$ ir $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Kadangi $x"=1$, tada $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Dabar galime tęsti lygybę (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Galite vėl grįžti nuo galių prie radikalų (ty šaknų) parašydami $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ kaip $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Tada išvestinė bus parašyta tokia forma:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Atsakymas: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

4 pavyzdys

Parodykite, kad išvestinių lentelės formulės Nr. 3 ir Nr. 4 yra specialus šios lentelės formulės Nr. 2 atvejis.

Išvestinių lentelės formulėje Nr.2 parašyta funkcijos $u^\alpha$ išvestinė. Pakeitę $\alpha=-1$ į formulę #2, gauname:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Kadangi $u^(-1)=\frac(1)(u)$ ir $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, lygybę (4.1) galima perrašyti taip: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tai išvestinių lentelės formulė numeris 3.

Dar kartą pereikime prie išvestinių lentelės formulės Nr. Pakeiskite $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Kadangi $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ir $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada lygybę (4.2) galima perrašyti taip:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Gauta lygybė $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ yra išvestinių lentelės formulė Nr. 4. Kaip matote, išvestinių lentelės formulės Nr. 3 ir Nr. 4 gaunamos iš formulės Nr. 2, pakeičiant atitinkamą $\alpha$ reikšmę.

Jeigu g(x) ir f(u) yra diferencijuojamos jų argumentų funkcijos, atitinkamai taškuose x ir u= g(x), tada kompleksinė funkcija taip pat yra diferencijuojama taške x ir randama pagal formulę

Tipiška klaida sprendžiant problemas dėl išvestinių priemonių yra automatinis paprastų funkcijų diferencijavimo taisyklių perkėlimas į sudėtingas funkcijas. Išmoksime išvengti šios klaidos.

2 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Neteisingas sprendimas: apskaičiuokite kiekvieno nario natūralųjį logaritmą skliausteliuose ir raskite išvestinių sumą:

Teisingas sprendimas: vėl nustatome, kur yra „obuoliai“, o kur „malta mėsa“. Natūralusis raiškos logaritmas skliausteliuose yra "obuolys", tai yra tarpinio argumento funkcija u, o posakis skliausteliuose yra „malta mėsa“, tai yra tarpinis argumentas u pagal nepriklausomą kintamąjį x.

Tada (naudojant 14 formulę iš išvestinių lentelės)

Daugelyje realių problemų išraiška su logaritmu yra šiek tiek sudėtingesnė, todėl yra pamoka

3 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Neteisingas sprendimas:

Teisingas sprendimas. Dar kartą nustatome, kur „obuolys“, o kur „malta mėsa“. Čia raiškos kosinusas skliausteliuose (išvestinių lentelėje 7 formulė) yra "obuolys", jis paruoštas 1 režimu, kuris veikia tik jį, o išraiška skliausteliuose (laipsnio išvestinė - skaičius 3 in išvestinių lentelę) yra „malta mėsa“, ji kepama 2 režimu, veikiant tik jai. Ir kaip visada du išvestinius sujungiame prekės ženklu. Rezultatas:

Sudėtingos logaritminės funkcijos išvestinė yra dažna testų užduotis, todėl primygtinai rekomenduojame apsilankyti pamokoje „Logaritminės funkcijos išvestinė“.

Pirmieji pavyzdžiai buvo skirti sudėtingoms funkcijoms, kuriose tarpinis argumentas prieš nepriklausomą kintamąjį buvo paprasta funkcija. Tačiau atliekant praktines užduotis dažnai reikia rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, kai tarpinis argumentas pats yra sudėtinga funkcija arba turi tokią funkciją. Ką daryti tokiais atvejais? Raskite tokių funkcijų išvestines lenteles ir diferenciacijos taisykles. Kai randama tarpinio argumento išvestinė, ji tiesiog pakeičiama reikiamoje formulės vietoje. Žemiau pateikiami du pavyzdžiai, kaip tai daroma.

Be to, naudinga žinoti šiuos dalykus. Jei sudėtingą funkciją galima pavaizduoti kaip trijų funkcijų grandinę

tada jo išvestinė turėtų būti rasta kaip kiekvienos iš šių funkcijų išvestinių sandauga:

Daugeliui jūsų namų darbų gali tekti atidaryti mokymo programas naujuose languose. Veiksmai su galiomis ir šaknimis ir Veiksmai su trupmenomis .

4 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Taikome sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę, nepamirštant, kad gautame išvestinių sandaugoje tarpinis argumentas nepriklausomo kintamojo atžvilgiu x nesikeičia:

Paruošiame antrąjį gaminio faktorių ir taikome sumos diferencijavimo taisyklę:

Antrasis terminas yra šaknis, taigi

Taigi buvo gauta, kad tarpiniame argumente, kuris yra suma, kaip vienas iš terminų yra sudėtinga funkcija: eksponencija yra sudėtinga funkcija, o tai, kas pakelta į laipsnį, yra tarpinis argumentas nepriklausomu kintamuoju. x.

Todėl vėl taikome sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:

Pirmojo veiksnio laipsnį paverčiame šaknimi, o diferencijuodami antrąjį, nepamirštame, kad konstantos išvestinė lygi nuliui:

Dabar galime rasti tarpinio argumento išvestinę, reikalingą sudėtingos funkcijos, reikalingos problemos sąlygai, išvestinei apskaičiuoti y:

5 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę

Pirmiausia naudojame sumos diferencijavimo taisyklę:

Gaukite dviejų sudėtingų funkcijų išvestinių sumą. Raskite pirmąjį:

Čia sinuso pakėlimas į laipsnį yra sudėtinga funkcija, o pats sinusas yra tarpinis nepriklausomo kintamojo argumentas x. Todėl mes naudojame sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę išimant daugiklį iš skliaustų :

Dabar randame antrąjį terminą iš tų, kurie sudaro funkcijos išvestinę y:

Čia kosinuso pakėlimas į laipsnį yra sudėtinga funkcija f, o pats kosinusas yra tarpinis argumentas nepriklausomo kintamojo atžvilgiu x. Vėlgi, naudojame sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:

Rezultatas yra reikalinga išvestinė:

Kai kurių sudėtingų funkcijų išvestinių lentelė

Sudėtingų funkcijų atveju, remiantis sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisykle, paprastos funkcijos išvestinės formulė įgauna kitą formą.

1. Sudėtinės galios funkcijos išvestinė, kur u x
2. Posakio šaknies vedinys
3. Eksponentinės funkcijos išvestinė
4. Ypatingas eksponentinės funkcijos atvejis
5. Logaritminės funkcijos su savavališka teigiama baze išvestinė a
6. Sudėtinės logaritminės funkcijos išvestinė, kur u yra diferencijuojama argumento funkcija x
7. Sinuso darinys
8. Kosinuso išvestinė
9. Tangentinė išvestinė
10. Kotangento išvestinė
11. Arsinuso išvestinė
12. Lanko kosinuso išvestinė
13. Arkos liestinės išvestinė
14. Atvirkštinės liestinės išvestinė