2D kubas. Kiberkubas – pirmas žingsnis į ketvirtąją dimensiją

Žmogaus smegenų evoliucija vyko trimatėje erdvėje. Todėl mums sunku įsivaizduoti erdves, kurių matmenys yra didesni nei trys. Tiesą sakant, žmogaus smegenys negali įsivaizduoti daugiau nei trijų matmenų geometrinių objektų. Ir tuo pačiu galime nesunkiai įsivaizduoti geometrinius objektus, kurių matmenys ne tik trys, bet ir du bei vienas.

Skirtumas ir analogija tarp vienmačių ir dvimačių erdvių bei skirtumas ir analogija tarp dvimačių ir trimačių erdvių leidžia šiek tiek atverti paslapties ekraną, kuris atitveria mus nuo aukštesnių dimensijų erdvių. Norėdami suprasti, kaip naudojama ši analogija, apsvarstykite labai paprastą keturmatį objektą - hiperkubą, tai yra keturmatį kubą. Tikslumui tarkime, kad norime išspręsti konkrečią problemą, būtent, suskaičiuoti keturmačio kubo kvadratinių paviršių skaičių. Visi svarstymai toliau bus labai laisvi, be jokių įrodymų, tik pagal analogiją.

Norint suprasti, kaip iš paprasto kubo statomas hiperkubas, pirmiausia reikia pažvelgti į tai, kaip iš paprasto kvadrato statomas paprastas kubas. Dėl šios medžiagos pateikimo originalumo čia pavadinsime įprastą kvadratinį SubCube (ir nepainiosime jo su succubus).

Norint sukonstruoti kubą iš subkubo, reikia jį pratęsti kryptimi, statmena subkubo plokštumai trečiojo matmens kryptimi. Tuo pačiu metu iš kiekvienos pradinio subkubo pusės išaugs po kubas, kuris yra dvimatis kubo šoninis paviršius, kuris apribos trimatį kubo tūrį iš keturių pusių, dvi statmenos kiekvienai krypčiai. subkubo plokštuma. O išilgai naujos trečiosios ašies taip pat yra du subkubai, ribojantys trimatį kubo tūrį. Tai yra dvimatis paviršius, kuriame iš pradžių buvo mūsų subkubas, ir dvimatis kubo paviršius, kur subkubas buvo kubo konstrukcijos pabaigoje.

Tai, ką ką tik perskaitėte, išdėstyta pernelyg išsamiai ir su daugybe paaiškinimų. Ir ne atsitiktinai. Dabar padarysime tokį triuką, kai kuriuos žodžius ankstesniame tekste pakeisime formaliai tokiu būdu:
kubas -> hiperkubas
subkubas -> kubas
plokštuma -> tūris
trečias -> ketvirtas
2D -> 3D
keturi -> šeši
trimatis -> keturmatis
du -> trys
plokštuma -> erdvė

Dėl to gauname tokį prasmingą tekstą, kuris nebeatrodo pernelyg detalus.

Norint sukurti hiperkubą iš kubo, reikia ištempti kubą statmena kubo tūriui kryptimi ketvirtos dimensijos kryptimi. Tuo pačiu metu iš kiekvienos pradinio kubo pusės išaugs kubas, kuris yra šoninis trimatis hiperkubo paviršius, kuris apribos keturmatį hiperkubo tūrį iš šešių pusių, po tris statmenas kiekvienai krypčiai. kubo erdvė. O išilgai naujos ketvirtosios ašies taip pat yra du kubai, kurie riboja keturių dimensijų hiperkubo tūrį. Tai yra trimatis paviršius, kuriame iš pradžių buvo mūsų kubas, ir trimatis hiperkubo paviršius, kur kubas atsirado hiperkubo konstravimo pabaigoje.

Kodėl esame tokie tikri, kad gavome teisingą hiperkubo konstrukcijos aprašymą? Taip, nes lygiai tuo pačiu formaliu žodžių pakeitimu gauname kubo konstrukcijos aprašymą iš kvadrato konstrukcijos aprašymo. (Pasitikrinkite patys.)

Dabar aišku, kad jei iš kiekvienos kubo pusės turėtų augti kitas trimatis kubas, tada iš kiekvieno pradinio kubo krašto turi augti veidas. Iš viso kubas turi 12 briaunų, o tai reiškia, kad tiems 6 kubams, kurie riboja keturių matmenų tūrį išilgai trijų trimatės erdvės ašių, atsiras dar 12 naujų veidų (subkubų). Ir yra dar du kubai, kurie riboja šį keturių matmenų tūrį iš apačios ir iš viršaus išilgai ketvirtos ašies. Kiekvienas iš šių kubelių turi 6 veidus.

Iš viso gauname, kad hiperkubas turi 12+6+6=24 kvadratinius veidus.

Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta loginė hiperkubo struktūra. Tai tarsi hiperkubo projekcija į trimatę erdvę. Tokiu atveju gaunamas trimatis šonkaulių rėmas. Paveiksle, žinoma, matote šio kadro projekciją ir į plokštumą.



Ant šio rėmo vidinis kubas yra tarsi pradinis kubas, nuo kurio buvo pradėta statyti ir kuris riboja keturių dimensijų hiperkubo tūrį išilgai ketvirtos ašies nuo apačios. Šį pradinį kubą ištempiame aukštyn išilgai ketvirtosios matmens ašies ir jis patenka į išorinį kubą. Taigi šios figūros išoriniai ir vidiniai kubai riboja hiperkubą išilgai ketvirtosios matmenų ašies.

O tarp šių dviejų kubelių matyti dar 6 nauji kubeliai, kurie bendrais veidais liečiasi su pirmaisiais dviem. Šie šeši kubai riboja mūsų hiperkubą išilgai trijų trimatės erdvės ašių. Kaip matote, jie ne tik liečiasi su pirmaisiais dviem kubeliais, kurie yra vidiniai ir išoriniai šiame trimačiame rėmelyje, bet vis tiek liečiasi vienas su kitu.

Galite apskaičiuoti tiesiai paveikslėlyje ir įsitikinti, kad hiperkubas tikrai turi 24 veidus. Bet čia kyla klausimas. Šis 3D hiperkubo rėmelis užpildytas aštuoniais 3D kubeliais be jokių tarpų. Norint iš šios 3D hiperkubo projekcijos padaryti tikrą hiperkubą, šį kadrą reikia apversti iš vidaus, kad visi 8 kubai apribotų 4D tūrį.

Tai daroma taip. Kviečiame apsilankyti keturmatės erdvės gyventoją ir prašome padėti. Jis sugriebia vidinį šio karkaso kubą ir perkelia jį į ketvirtą dimensiją, kuri yra statmena mūsų 3D erdvei. Mes savo trimatėje erdvėje suvokiame taip, tarsi visas vidinis rėmas būtų dingęs ir liko tik išorinio kubo rėmas.

Toliau mūsų 4D asistentė siūlo padėti gimdymo namuose, kad gimdymas būtų neskausmingas, tačiau mūsų nėščios moterys išsigando, kad kūdikis tiesiog išnyks iš pilvo ir atsidurs lygiagrečioje 3D erdvėje. Todėl ketverto mandagiai atsisakoma.

Ir mums įdomu, ar kai kurie mūsų kubeliai neįstrigo, kai hiperkubo rėmas buvo apverstas iš vidaus. Galų gale, jei kai kurie trimačiai kubai, supantys hiperkubą, liečia savo kaimynus ant rėmo, ar jie taip pat palies tuos pačius veidus, jei keturmatis apvers rėmą iš vidaus.

Vėl pereikime prie analogijos su žemesnio matmens erdvėmis. Palyginkite hiperkubo vielinio rėmo vaizdą su 3D kubo projekcija į plokštumą, parodytą kitame paveikslėlyje.



Dvimatės erdvės gyventojai pastatė plokštumoje kubo projekcijos karkasą į plokštumą ir kvietė mus, trimačius gyventojus, apversti šį karkasą iš vidaus. Paimame keturias vidinio kvadrato viršūnes ir perkeliame jas statmenai plokštumai. Tuo pačiu metu dvimačiai gyventojai mato, kad visiškai išnyksta visas vidinis rėmas, o jie turi tik išorinės aikštės rėmą. Atliekant tokią operaciją, visi kvadratai, kurie liejosi su savo kraštais, ir toliau liečiasi su tais pačiais kraštais.

Todėl tikimės, kad hiperkubo rėmą apvertus aukštyn kojomis, loginė hiperkubo schema taip pat nebus pažeista, o hiperkubo kvadratinių paviršių skaičius nepadidės ir išliks lygus 24. Tai, žinoma, yra jokio įrodymo, o tik spėjimas pagal analogiją.

Po visko, kas čia perskaityta, galite nesunkiai nubrėžti penkiamačio kubo loginį karkasą ir apskaičiuoti, kiek jis turi viršūnių, briaunų, veidų, kubelių ir hiperkubų. Tai visai nesunku.

Hiperkubas ir platoniškos kietosios medžiagos

Imituokite nupjautą ikosaedrą („futbolo kamuolį“) „Vector“ sistemoje
kur kiekvieną penkiakampį riboja šešiakampiai

Nupjautas ikosaedras galima gauti išpjaunant 12 viršūnių, kad susidarytų taisyklingų penkiakampių formos veidai. Tokiu atveju naujojo daugiakampio viršūnių skaičius padidėja 5 kartus (12 × 5 = 60), 20 trikampių paviršių virsta taisyklingais šešiakampiais (iš viso veidai tampa 20+12=32), a briaunų skaičius padidėja iki 30+12×5=90.

Sutrumpinto ikosaedro konstravimo žingsniai Vector sistemoje

Figūros 4-matėje erdvėje.

--à

--à ?

Pavyzdžiui, duotas kubas ir hiperkubas. Hiperkube yra 24 veidai. Tai reiškia, kad 4 dimensijų oktaedras turės 24 viršūnes. Nors ne, hiperkubas turi 8 kubelių puses – kiekviename centre yra viršūnė. Tai reiškia, kad 4 matmenų oktaedras turės 8 tos viršūnes lengviau.

4 matmenų oktaedras. Jį sudaro aštuoni lygiakraščiai ir vienodi tetraedrai,
sujungtos keturios kiekvienoje viršūnėje.

Ryžiai. Bandymas imituoti
hiperbolas-hipersfera „Vektoriaus“ sistemoje

Priekiniai - galiniai veidai - rutuliai be iškraipymų. Dar šeši rutuliai – gali būti nurodyti per elipsoidus arba kvadratinius paviršius (per 4 kontūro linijas kaip generatorius) arba per paviršius (pirmiausia apibrėžti per generatorius).

Daugiau gudrybių „sustatyti“ hipersferą
- tas pats „futbolo kamuolys“ 4 matmenų erdvėje

2 priedas

Išgaubtam daugiakampiui yra savybė, susijusi su jos viršūnių, briaunų ir paviršių skaičiumi, kurią 1752 m. įrodė Leonhardas Euleris ir pavadino Eilerio teorema.

Prieš formuluodami, apsvarstykite mums žinomus daugiakampius ir užpildykite šią lentelę, kurioje B yra nurodyto daugiakampio viršūnių, P - briaunų ir G - paviršių skaičius:

Daugiakampio pavadinimas

trikampė piramidė

keturkampė piramidė

trikampė prizmė

keturkampė prizmė

n-anglies piramidė

n+1

2n

n+1

n-anglies prizmė

2n

3n

n+2

n-anglies sutrumpintas

piramidė

2n

3n

n+2

Iš šios lentelės tiesiogiai matyti, kad visiems pasirinktiems daugiakampiams galioja lygybė B - P + T = 2. Pasirodo, ši lygybė galioja ne tik šiems daugiakampiams, bet ir savavališkam išgaubtam daugiakampiui.

Eulerio teorema. Bet kuriam išgaubtam daugiakampiui lygybė

V - R + G \u003d 2,

kur B yra viršūnių skaičius, P yra briaunų skaičius, o G yra nurodyto daugiakampio paviršių skaičius.

Įrodymas. Norėdami įrodyti šią lygybę, įsivaizduokite tam tikro daugiakampio paviršių, pagamintą iš elastingos medžiagos. Ištrinkime (iškirpkime) vieną jo paviršių, o likusį paviršių ištempkime plokštumoje. Gauname daugiakampį (sudarytą iš pašalinto daugiakampio paviršiaus kraštų), padalintą į mažesnius daugiakampius (sudaro likusius daugiakampio paviršius).

Atkreipkite dėmesį, kad daugiakampiai gali būti deformuoti, padidinti, sumažinti ar net sulenkti savo šonus, jei tik kraštinės nelūžta. Viršūnių, briaunų ir veidų skaičius nesikeis.

Įrodykime, kad gautas daugiakampio padalijimas į mažesnius daugiakampius tenkina lygybę

(*) V - R + G "= 1,

kur B yra bendras viršūnių skaičius, P yra bendras briaunų skaičius, o Г "yra daugiakampių, įtrauktų į skaidinį, skaičius. Akivaizdu, kad Г" \u003d Г - 1, kur Г yra kampo paviršių skaičius. šis daugiakampis.

Įrodykime, kad lygybė (*) nekinta, jei duotosios pertvaros kuriame nors daugiakampyje nubrėžiame įstrižainę (5 pav., a). Išties, nubrėžus tokią įstrižainę, naujoji pertvara turės B viršūnes, P + 1 briaunas, o daugiakampių skaičius padidės vienu. Todėl mes turime

V – (R + 1) + (G "+1) \u003d V - R + G" .


Naudodamiesi šia savybe, nubrėžiame įstrižaines, dalijančias įeinančius daugiakampius į trikampius, o gautoje skaidinyje parodome, kad lygybė (*) yra įvykdyta (5 pav., b). Norėdami tai padaryti, mes nuosekliai pašalinsime išorinius kraštus, sumažindami trikampių skaičių. Šiuo atveju galimi du atvejai:

a) pašalinti trikampį ABC mūsų atveju reikia pašalinti du šonkaulius AB ir pr. Kr;

b) pašalinti trikampįMKNmūsų atveju reikia pašalinti vieną kraštąMN.

Abiem atvejais lygybė (*) nepasikeis. Pavyzdžiui, pirmuoju atveju, pašalinus trikampį, grafiką sudarys B - 1 viršūnės, R - 2 briaunos ir G "- 1 daugiakampis:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G".

Antrą atvejį apsvarstykite patys.

Taigi, pašalinus vieną trikampį, lygybė (*) nekeičiama. Tęsdami šį trikampių pašalinimo procesą, galiausiai pasieksime skaidinį, sudarytą iš vieno trikampio. Tokiam skaidiniui B \u003d 3, P \u003d 3, Г "= 1, taigi B - Р + Г" = 1. Taigi lygybė (*) galioja ir pradiniam skaidiniui, iš kurio galiausiai gauname kad tam tikro daugiakampio skaidinio lygybė (*) galioja. Taigi pradiniam išgaubtam daugiakampiui lygybė B - P + G = 2 yra teisinga.

Daugiakampio, kuriam Eulerio santykis negalioja, pavyzdys yra parodyta 6 paveiksle. Šis daugiakampis turi 16 viršūnių, 32 briaunas ir 16 paviršių. Taigi, šiam daugiakampiui lygybė B - P + G = 0 tenkinama.

3 priedas

Movie Cube 2: Hypercube "(angl. Cube 2: Hypercube) - fantastinis filmas, filmo "Kubas" tęsinys.

Aštuoni nepažįstami žmonės pabunda kubo formos kambariuose. Kambariai yra keturių dimensijų hiperkubo viduje. Kambariai nuolat juda „kvantinės teleportacijos“ būdu, o jei įlipsite į kitą kambarį, vargu ar grįšite į ankstesnįjį. Hiperkube susikerta lygiagretūs pasauliai, kai kuriuose kambariuose laikas teka skirtingai, o kai kurie kambariai yra mirties spąstai.

Paveikslo siužetas iš esmės pakartoja pirmosios dalies istoriją, kuri atsispindi ir kai kurių veikėjų atvaizduose. Hiperkubo kambariuose miršta Nobelio premijos laureatas Rosenzweigas, kuris apskaičiavo tikslų hiperkubo sunaikinimo laiką.

Kritika

Jei pirmoje dalyje labirinte įkalinti žmonės bandė padėti vieni kitiems, tai šiame filme – kiekvienas už save. Yra daug papildomų specialiųjų efektų (jie irgi yra spąstai), kurie šios filmo dalies logiškai nesusieja su ankstesne. Tai yra, pasirodo, filmas „Kubas 2“ yra savotiškas ateities 2020-2030 labirintas, bet ne 2000. Pirmoje dalyje visų tipų spąstus teoriškai gali sukurti žmogus. Antroje dalyje šie spąstai yra kažkokio kompiuterio, vadinamosios „Virtualios realybės“, programa.


Jei taip nutiko tau neįprastas atvejis, pamatėte keistą būtybę ar nesuprantamą reiškinį, sapnavote neįprastą sapną, pamatėte danguje NSO arba tapote ateivių pagrobimo auka, galite atsiųsti mums savo istoriją ir ji bus paskelbta mūsų svetainėje ===> .

Mokymai apie daugiamates erdves pradėjo pasirodyti XIX amžiaus viduryje. Mokslinė fantastika keturmatės erdvės idėją pasiskolino iš mokslininkų. Savo darbuose jie pasauliui papasakojo apie nuostabius ketvirtosios dimensijos stebuklus.

Savo kūrinių herojai, pasinaudodami keturmatės erdvės savybėmis, galėjo suvalgyti kiaušinio turinį nepažeisdami lukšto, atsigerti gėrimo neatplėšę butelio kamščio. Pagrobėjai atgavo lobį iš seifo per ketvirtą dimensiją. Chirurgai vidaus organų operacijas atlikdavo nepjaudami paciento kūno audinių.

tesseraktas

Geometrijoje hiperkubas yra kvadrato (n = 2) ir kubo (n = 3) n matmenų analogija. Keturių matmenų mūsų įprasto 3 dimensijos kubo analogas yra žinomas kaip tesseraktas. Tesraktas yra prie kubo, kaip kubas yra prie kvadrato. Formaliau tesseraktą galima apibūdinti kaip taisyklingą išgaubtą keturių dimensijų daugiakampį, kurio ribą sudaro aštuonios kubinės ląstelės.



Kiekviena nelygiagrečių 3D veidų pora susikerta ir sudaro 2D veidus (kvadratus) ir pan. Galiausiai, tesseraktas turi 8 3D paviršius, 24 2D, 32 kraštus ir 16 viršūnių.
Beje, pagal Oksfordo žodyną žodį tesseraktas sugalvojo ir 1888 metais pavartojo Charlesas Howardas Hintonas (1853–1907) knygoje „A New Age of Thought“. Vėliau kai kurie žmonės tą pačią figūrą pavadino tetrakubu (gr. tetra – keturi) – keturmačiu kubu.



Konstrukcija ir aprašymas

Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, neišeinant iš trimatės erdvės.
Vienmatėje „erdvėje“ – tiesėje – pasirenkame atkarpą AB, kurios ilgis L. Dvimatėje plokštumoje L atstumu nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Gausite kvadratinį CDBA. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą CDBAGHFE. Ir perkeldami kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims) atstumu L, gauname CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkubą.

Panašiai galime tęsti samprotavimus dėl didesnio matmenų skaičiaus hiperkubų, tačiau daug įdomiau pažiūrėti, kaip mums, trimatės erdvės gyventojams, atrodys keturmatis hiperkubas.

Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš veido pusės. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubrėžti du kvadratus (jos artimuosius ir tolimuosius veidus), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai ir keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniomis briaunomis. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus projektuojamos pačios „dėžės“ – trimačiai veidai, o jas jungiančios linijos nusidrieks ketvirtos ašies kryptimi. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.


Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie ateityje atrodys kaip gana sudėtinga figūra. Pats keturmatis hiperkubas gali būti suskirstytas į begalinį skaičių kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.

Iškirpę šešis trimačio kubo veidus, galite jį suskaidyti į plokščią figūrą – tinklą. Jis turės kvadratą kiekvienoje originalaus veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. Trimatis keturmačio hiperkubo vystymas susideda iš originalaus kubo, šešių iš jo „išaugančių“ kubelių ir dar vieno – galutinio „hiperveido“.



Hiperkubas mene

Tesseract yra tokia įdomi figūra, kad ji ne kartą patraukė rašytojų ir filmų kūrėjų dėmesį.
Robertas E. Heinleinas kelis kartus minėjo hiperkubus. Knygoje The House That Teal Built (1940) jis apibūdino namą, pastatytą kaip tesserakto išsiskleidimą, o vėliau dėl žemės drebėjimo „susiformavo“ ketvirtoje dimensijoje ir tapo „tikra“ tesraktu. Heinleino romane „Šlovės kelias“ aprašoma hiperdimensinė dėžutė, kurios vidus buvo didesnis nei išorė.

Henrio Kuttnerio apsakyme „Visi Borogo tenals“ aprašomas lavinantis žaislas vaikams iš tolimos ateities, savo struktūra panašus į tesraktą.

„Cube 2“ siužetas: „Hypercube“ centre yra aštuoni nepažįstami žmonės, įstrigę „hiperkube“ arba sujungtų kubų tinkle.

Paralelinis pasaulis

Matematinės abstrakcijos atgaivino egzistencijos sampratą paraleliniai pasauliai. Tai realybės, kurios egzistuoja kartu su mūsų, bet nepriklausomai nuo jos. Lygiagretusis pasaulis gali būti įvairaus dydžio: nuo nedidelės geografinės zonos iki visos visatos. Paraleliniame pasaulyje įvykiai vyksta savaip, jis gali skirtis nuo mūsų pasaulio tiek atskiromis detalėmis, tiek beveik viskuo. Kuriame fiziniai dėsniai paralelinis pasaulis nebūtinai yra panašūs į mūsų visatos dėsnius.

Ši tema yra palanki dirva mokslinės fantastikos rašytojams.

Salvadoro Dali „Nukryžiavimas ant kryžiaus“ vaizduoja tesseraktą. „Nukryžiavimas arba hiperkubinis kūnas“ – ispanų menininko Salvadoro Dali paveikslas, parašytas 1954 m. Vaizduojamas nukryžiuotas Jėzus Kristus, besivystantis tesseraktas. Paveikslas saugomas Metropoliteno meno muziejuje Niujorke.

Viskas prasidėjo 1895 m., kai HG Wellsas atrado paralelinių pasaulių egzistavimą fantazijai su istorija „Durys sienoje“. 1923 metais Wellsas grįžo prie lygiagrečių pasaulių idėjos ir viename iš jų pastatė utopinę šalį, į kurią keliauja romano „Žmonės kaip dievai“ veikėjai.

Romanas neliko nepastebėtas. 1926 metais pasirodė G. Dento pasakojimas „Šalio imperatorius“ Jei „. Dento pasakojime pirmą kartą kilo mintis, kad gali būti šalių (pasaulių), kurių istorija gali eiti kitaip nei realių šalių istorija. Ir pasauliai yra ne mažiau tikri nei mūsų.

1944 metais Jorge Luisas Borgesas savo knygoje Išgalvotos istorijos paskelbė apysaką „Išsišakojančių takų sodas“. Čia laiko šakojimosi idėja pagaliau buvo išreikšta kuo aiškiausiai.
Nepaisant aukščiau išvardytų kūrinių pasirodymo, daugelio pasaulių idėja mokslinėje fantastikoje pradėjo rimtai vystytis tik XX amžiaus keturiasdešimtojo dešimtmečio pabaigoje, maždaug tuo pačiu metu, kai panaši idėja kilo fizikoje.

Vienas iš naujos mokslinės fantastikos krypties pradininkų buvo Johnas Bixby, kuris apsakyme „Vienpusė gatvė“ (1954 m.) pasiūlė, kad tarp pasaulių galima judėti tik viena kryptimi – iš savo pasaulio į paralelinį. , jūs negrįšite atgal, bet pereisite iš vieno pasaulio į kitą. Tačiau grįžimas į savo pasaulį taip pat nėra atmestas – tam būtina, kad pasaulių sistema būtų uždara.

Cliffordo Simako romane „Žiedas aplink saulę“ (1982) aprašoma daugybė Žemės planetų, kurių kiekviena egzistuoja savo pasaulyje, bet toje pačioje orbitoje, o šie pasauliai ir šios planetos skiriasi vienas nuo kito tik nedideliu (mikrosekundės) poslinkiu. laiku. Daugybė kraštų, kuriuos aplankė romano formos herojus viena sistema pasauliai.

Smalsų žvilgsnį į pasaulių išsišakojimą išreiškė Alfredas Besteris apsakyme „Žmogus, kuris nužudė Mahometą“ (1958). „Keisdamas praeitį“, – tvirtino istorijos herojus, „keisi ją tik dėl savęs“. Kitaip tariant, pakeitus praeitį, atsiranda istorijos atšaka, kurioje šis pokytis egzistuoja tik veikėjui, kuris padarė pasikeitimą.

Brolių Strugackių apsakyme „Pirmadienis prasideda šeštadienį“ (1962) aprašomos veikėjų kelionės į skirtingas mokslinės fantastikos rašytojų aprašytas ateities versijas – priešingai nei kelionės į įvairias mokslinėje fantastikoje jau egzistavusias praeities versijas.

Tačiau net paprastas visų kūrinių, kuriuose nagrinėjama pasaulių paralelizmo tema, išvardijimas užtruktų per daug laiko. Ir nors mokslinės fantastikos rašytojai, kaip taisyklė, moksliškai nepagrindžia daugiamatiškumo postulato, jie yra teisūs viename dalyke – tai hipotezė, kuri turi teisę egzistuoti.
Ketvirtoji tesserakto dimensija vis dar laukia mūsų apsilankymo.

Viktoras Savinovas


Bakalier Marija

Tiriami keturmačio kubo (tesserakto) sampratos supažindinimo būdai, jo sandara ir kai kurios savybės Klausimas, kokie trimačiai objektai gaunami, kai keturmatį kubą susikerta hiperplokštumos, lygiagrečios jo trimačio- matmenų paviršius, taip pat hiperplokštumas, statmenas jos pagrindinei įstrižai. Nagrinėjamas tyrimams naudojamas daugiamatės analitinės geometrijos aparatas.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Įvadas…………………………………………………………………………….2

Pagrindinė dalis……………………………………………………………………..4

Išvados……………………………………………………………………..12

Literatūros sąrašas……………………………………………………………..13

Įvadas

Keturmatė erdvė jau seniai patraukė tiek profesionalių matematikų, tiek žmonių, kurie toli gražu nepraktikuoja šio mokslo, dėmesį. Susidomėjimą ketvirtąja dimensija gali lemti prielaida, kad mūsų trimatis pasaulis yra „panardintas“ į keturmatę erdvę, lygiai kaip plokštuma yra „panardinta“ į trimatę erdvę, tiesi linija yra „panardinta“ į keturmatę erdvę. plokštuma, o taškas yra tiesioje linijoje. Be to, keturmatė erdvė vaidina svarbų vaidmenį šiuolaikinė teorija reliatyvumo teorija (vadinamoji erdvė-laikas arba Minkovskio erdvė), taip pat gali būti laikomas ypatingu atvejumatmenų Euklido erdvė (skirta).

Keturmatis kubas (tesseraktas) – tai keturmatės erdvės objektas, turintis didžiausią įmanomą matmenį (kaip įprastas kubas yra trimatės erdvės objektas). Atkreipkite dėmesį, kad jis taip pat yra tiesioginis susidomėjimas, ty gali atsirasti tiesinio programavimo optimizavimo uždaviniuose (kaip sritis, kurioje randama keturių kintamųjų tiesinės funkcijos minimumas arba maksimumas), taip pat naudojamas skaitmeninėje mikroelektronikoje (kai ekrano veikimo programavimas elektroninis laikrodis). Be to, pats keturmačio kubo tyrimo procesas prisideda prie erdvinio mąstymo ir vaizduotės ugdymo.

Todėl keturmačio kubo struktūros ir specifinių savybių tyrimas yra gana aktualus. Pažymėtina, kad struktūros požiūriu keturmatis kubas buvo gana gerai ištirtas. Daug didesnį susidomėjimą kelia jo sekcijų pobūdis įvairiais hiperplokštumais. Taigi pagrindinis šio darbo tikslas yra ištirti tesserakto struktūrą, taip pat išsiaiškinti klausimą, kokie trimačiai objektai bus gauti, jei keturmatis kubas bus perpjautas hiperplokštumomis, lygiagrečiomis vienai iš jo trijų. matmenų paviršius arba hiperplokštumas, statmenas jos pagrindinei įstrižai. Hiperplokštuma keturmatėje erdvėje yra trimatė poerdvė. Galima sakyti, kad tiesė plokštumoje yra vienmatė hiperplokštuma, plokštuma trimatėje erdvėje – dvimatė hiperplokštuma.

Iškeltas tikslas nulėmė tyrimo tikslus:

1) Išstudijuoti pagrindinius daugiamatės analitinės geometrijos faktus;

2) Ištirti nuo 0 iki 3 matmenų kubelių konstravimo ypatumus;

3) Ištirti keturmačio kubo sandarą;

4) Analitiškai ir geometriškai apibūdinti keturmatį kubą;

5) Padaryti trimačių ir keturmačių kubų braukimų ir centrinių projekcijų modelius.

6) Naudodami daugiamatės analitinės geometrijos aparatą, apibūdinkite trimačius objektus, gautus kertant keturmatį kubą hiperplokštumomis, lygiagrečiomis vienam iš jo trimačių paviršių, arba hiperplokštumomis, statmenomis jo pagrindinei įstrižai.

Tokiu būdu gauta informacija leis geriau suprasti tesserakto struktūrą, taip pat atskleisti gilią analogiją įvairių matmenų kubų sandaroje ir savybėmis.

Pagrindinė dalis

Pirmiausia aprašome matematinį aparatą, kurį naudosime šio tyrimo metu.

1) Vektorių koordinatės: jei, tada

2) Hiperplokštumos su normaliuoju vektoriumi lygtis atrodo kaip čia

3) Lėktuvai ir yra lygiagrečios tada ir tik tada

4) Atstumas tarp dviejų taškų nustatomas taip: jeigu, tada

5) Vektorių ortogonalumo sąlyga:

Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip galima apibūdinti keturmatį kubą. Tai galima padaryti dviem būdais – geometriniu ir analitiniu.

Jei kalbame apie geometrinį nustatymo metodą, patartina sekti kubelių konstravimo procesą, pradedant nuo nulinio matmens. Nulinio matmens kubas yra taškas (beje, atkreipkite dėmesį, kad taškas gali atlikti ir nulinio matmens rutulio vaidmenį). Toliau pristatome pirmąjį matmenį (abscisių ašį) ir atitinkamoje ašyje pažymime du taškus (du nulinio matmens kubus), esančius 1 atstumu vienas nuo kito. Rezultatas yra segmentas – vienmatis kubas. Iš karto pastebime būdingą bruožą: Vienmačio kubo (segmento) riba (galai) yra du nuliniai kubai (du taškai). Toliau pristatome antrąjį matmenį (y ašį) ir plokštumojeSukonstruokime du vienmačius kubus (du atkarpas), kurių galai vienas nuo kito nutolę 1 atstumu (iš tikrųjų viena iš atkarpų yra stačiakampė kito projekcija). Sujungę atitinkamus segmentų galus, gauname kvadratą – dvimatį kubą. Vėlgi, pažymime, kad dvimačio kubo (kvadrato) riba yra keturi vienmačiai kubai (keturi segmentai). Galiausiai pristatome trečiąjį matmenį (taikymo ašį) ir statome erdvėjedu kvadratus taip, kad vienas iš jų būtų stačiakampė kito projekcija (šiuo atveju atitinkamos kvadratų viršūnės yra viena nuo kitos 1 atstumu). Atitinkamas viršūnes sujunkite segmentais – gauname trimatį kubą. Matome, kad trimačio kubo riba yra šeši dvimačiai kubai (šeši kvadratai). Aprašytos konstrukcijos leidžia atskleisti tokį dėsningumą: kiekviename žingsnyjematmenų kubas „juda, palikdamas pėdsaką“.Tai matavimas 1 atstumu, o judėjimo kryptis yra statmena kubui. Būtent formalus šio proceso tęsinys leidžia mums pasiekti keturmačio kubo sampratą. Būtent, priverskime trimatį kubą judėti ketvirtojo matmens kryptimi (statmenai kubui) atstumu 1. Veikdami panašiai kaip ir ankstesniame, tai yra sujungę atitinkamas kubų viršūnes, mes gauti keturmatį kubą. Pažymėtina, kad tokia konstrukcija mūsų erdvėje geometriškai neįmanoma (nes yra trimatė), tačiau čia mes nesusiduriame su prieštaravimais loginiu požiūriu. Dabar pereikime prie keturmačio kubo analitinio aprašymo. Jis taip pat gaunamas formaliai, pasitelkus analogiją. Taigi, nulinio matmens vieneto kubo analitinė užduotis turi tokią formą:

Vienmačio vienetinio kubo analitinė užduotis yra tokia:

Dvimačio vieneto kubo analitinė užduotis yra tokia:

Analitinė trimačio vienetinio kubo užduotis yra tokia:

Dabar labai lengva pateikti analitinį keturmačio kubo vaizdą, būtent:

Kaip matote, tiek geometriniame, tiek analitiniame keturmačio kubo nustatymo metodais buvo naudojamas analogijos metodas.

Dabar, naudodamiesi analitinės geometrijos aparatu, išsiaiškinsime, kokią struktūrą turi keturmatis kubas. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokius elementus jis apima. Čia vėlgi galite pasinaudoti analogija (iškelti hipotezę). Vienmačio kubo ribos yra taškai (nuliniai kubai), dvimačio kubo - atkarpos (vienmačio kubo), trimačio kubo - kvadratai (dvimačiai veidai). Galima daryti prielaidą, kad tesserakto ribos yra trimačiai kubai. Norėdami tai įrodyti, išsiaiškinkime, ką reiškia viršūnės, briaunos ir veidai. Kubo viršūnės yra jo kampiniai taškai. Tai yra, viršūnių koordinatės gali būti nuliai arba vienetai. Taigi randamas ryšys tarp kubo matmens ir jo viršūnių skaičiaus. Taikome kombinatorinės sandaugos taisyklę – nuo ​​viršūnėskubas turi tiksliaikoordinates, kurių kiekviena yra lygi nuliui arba vienai (neatsižvelgiant į visas kitas), tada yraviršūnės. Taigi bet kurioje viršūnėje visos koordinatės yra fiksuotos ir gali būti lygios arba . Jei nustatysime visas koordinates (nustatydami kiekvieną iš jų lygiomis arba , nepriklausomai nuo kitų), išskyrus vieną, tada gauname tiesias linijas, kuriose yra kubo briaunos. Panašiai kaip ir ankstesniame, galime suskaičiuoti, kad jų yra tiksliaidalykų. Ir jei dabar pataisysime visas koordinates (nustatydami kiekvieną iš jų lygios arba , nepriklausomai nuo kitų), išskyrus kai kurias dvi, gauname plokštumas, kuriose yra dvimačiai kubo paviršiai. Naudodami kombinatorikos taisyklę, nustatome, kad jų yra tiksliaidalykų. Be to, panašiai - visų koordinačių nustatymas (nustatant kiekvieną iš jų lygus arba , nepriklausomai nuo kitų), išskyrus kai kurias tris, gauname hiperplokštumas, kuriose yra trimačių kubo paviršių. Pagal tą pačią taisyklę apskaičiuojame jų skaičių – tiksliaiir tt Mūsų tyrimui to pakaks. Taikykime gautus rezultatus keturmačio kubo struktūrai, būtent visose mūsų nustatytose išvestinėse formulėse. Todėl keturmatis kubas turi: 16 viršūnių, 32 briaunas, 24 dvimačius paviršius ir 8 trimačius paviršius. Siekiant aiškumo, analitiškai apibrėžiame visus jo elementus.

Keturmačio kubo viršūnės:

Keturmačio kubo kraštai ():

Dvimačiai keturmačio kubo paviršiai (panašūs apribojimai):

Keturmačio kubo trimačiai paviršiai (panašūs apribojimai):

Dabar, kai pakankamai išsamiai aprašyta keturmačio kubo struktūra ir jo apibrėžimo metodai, pereikime prie pagrindinio tikslo įgyvendinimo – išsiaiškinti įvairių kubo dalių prigimtį. Pradėkime nuo elementaraus atvejo, kai kubo sekcijos yra lygiagrečios vienam iš jo trimačių paviršių. Pavyzdžiui, apsvarstykite jo atkarpas hiperplokštumomis, lygiagrečiomis veiduiIš analitinės geometrijos žinoma, kad bet kuri tokia atkarpa bus pateikta lygtimiAnalitiškai nustatykime atitinkamas dalis:

Kaip matote, mes gavome analitinę užduotį trimačiam vienetiniam kubui, gulinčiam hiperplokštumoje

Norėdami nustatyti analogiją, trimačio kubo atkarpą užrašome plokštuma Mes gauname:

Tai kvadratas, esantis plokštumoje. Analogija akivaizdi.

Keturmačio kubo pjūviai pagal hiperplokštumusduoti lygiai tokius pačius rezultatus. Tai taip pat bus pavieniai trimačiai kubai, gulintys hiperplokštumose atitinkamai.

Dabar panagrinėkime keturmačio kubo pjūvius hiperplokštumomis, statmenomis jo pagrindinei įstrižai. Pirmiausia išspręskime šią trimačio kubo problemą. Naudodamas aukščiau aprašytą vienetinio trimačio kubo nustatymo metodą, jis daro išvadą, kad, pavyzdžiui, atkarpa su galais gali būti paimta kaip pagrindinė įstrižainė. ir . Tai reiškia, kad pagrindinės įstrižainės vektorius turės koordinates. Todėl bet kurios plokštumos, statmenos pagrindinei įstrižai, lygtis bus tokia:

Apibrėžkime parametrų kitimo ribas. Nes , tada, sudėjus šias nelygybes po termino, gauname:

Arba .

Jei tada (dėl apribojimų). Panašiai, jei, tada. Taigi, ir at pjovimo plokštuma ir kubas turi tiksliai vieną bendrą tašką ( ir atitinkamai). Dabar atkreipkime dėmesį į šiuos dalykus. Jeigu(vėlgi dėl kintamųjų apribojimų). Atitinkamos plokštumos kerta tris paviršius vienu metu, nes priešingu atveju pjovimo plokštuma būtų lygiagreti vienai iš jų, o tai nėra tokia sąlyga. Jeigu, tada plokštuma kerta visus kubo paviršius. Jeigu, tada plokštuma kerta veidus. Pateiksime atitinkamus skaičiavimus.

Leisti Tada lėktuvaskerta liniją be to, tiesia linija. Be to, pasienis. kraštas plokštuma susikerta tiesia linija, be to

Leisti Tada lėktuvaskerta kraštą:

kraštas tiesia linija, be to.

kraštas tiesia linija, be to.

kraštas tiesia linija, be to.

kraštas tiesia linija, be to.

kraštas tiesia linija, be to.

kraštas tiesia linija, be to.

Šį kartą gaunami šeši segmentai, turintys iš eilės bendrus galus:

Leisti Tada lėktuvaskerta liniją be to, tiesia linija. kraštas plokštuma susikerta tiesia linija ir . kraštas plokštuma susikerta tiesia linija, be to . Tai reiškia, kad gaunami trys segmentai, turintys porų bendrus galus:Taigi nurodytoms parametro vertėmsplokštuma kirs kubą taisyklingu trikampiu su viršūnėmis

Taigi, čia yra išsamus plokštumos figūrų, gautų sukryžiavus kubą su plokštuma, statmena jo pagrindinei įstrižai, aprašymas. Pagrindinė mintis buvo tokia. Reikia suprasti, kuriuos veidus plokštuma susikerta, kokiose aibėse jas kerta, kaip šios aibės yra tarpusavyje susijusios. Pavyzdžiui, jei paaiškėjo, kad plokštuma kerta tiksliai tris veidus išilgai segmentų, turinčių porų bendrus galus, tada atkarpa buvo lygiakraštis trikampis (tai įrodoma tiesiogiai skaičiuojant atkarpų ilgius), kurių viršūnės yra šie galai. segmentų.

Naudojant tą patį aparatą ir tą pačią skerspjūvių tyrimo idėją, lygiai taip pat galima nustatyti šiuos faktus:

1) Vienos iš pagrindinių keturmačio vienetinio kubo įstrižainių vektorius turi koordinates

2) Bet kuri hiperplokštuma, statmena keturmačio kubo pagrindinei įstrižai, gali būti parašyta kaip.

3) Sekantinės hiperplokštumos lygtyje parametrasgali svyruoti nuo 0 iki 4;

4) ir sekanti hiperplokštuma ir keturmatis kubas turi vieną bendrą tašką ( ir atitinkamai);

5) Kada atkarpoje bus gautas taisyklingas tetraedras;

6) Kada atkarpoje bus gautas oktaedras;

7) Kada atkarpoje bus gautas taisyklingas tetraedras.

Atitinkamai, čia hiperplokštuma kerta tesraktą išilgai plokštumos, kurioje dėl kintamųjų apribojimų skiriama trikampė sritis (analogija - plokštuma kirto kubą išilgai tiesės, ant kurios dėl apribojimų kintamiesiems buvo priskirtas segmentas). 5 atveju hiperplokštuma kerta lygiai keturis trimačius tesserakto paviršius, tai yra, gaunami keturi trikampiai, kurie turi poromis bendras kraštines, kitaip tariant, sudaro tetraedrą (kaip galima apskaičiuoti - teisinga). 6 atveju hiperplokštuma kerta tiksliai aštuonis trimačius tesserakto paviršius, tai yra, gaunami aštuoni trikampiai, kurie iš eilės turi bendras kraštines, kitaip tariant, sudaro oktaedrą. 7 atvejis) yra visiškai panašus į 5 atvejį).

Iliustruojame tai, kas buvo pasakyta konkretus pavyzdys. Būtent, mes tiriame keturmačio kubo pjūvį pagal hiperplokštumąDėl kintamųjų apribojimų ši hiperplokštuma kerta šiuos 3D veidus: kraštas susikerta plokštumojeDėl kintamųjų apribojimų turime:Gaukite trikampę sritį su viršūnėmisToliau,gauname trikampįHiperplokštumos sankirtoje su veidugauname trikampįHiperplokštumos sankirtoje su veidugauname trikampįTaigi tetraedro viršūnės turi šias koordinates. Kaip lengva apskaičiuoti, šis tetraedras iš tikrųjų yra teisingas.

išvadas

Taigi šio tyrimo metu buvo ištirti pagrindiniai daugiamatės analitinės geometrijos faktai, išnagrinėti 0–3 matmenų kubo konstravimo ypatumai, ištirta keturmačio kubo sandara, keturmačio kubo struktūra. analitiškai ir geometriškai aprašyti, sukurti trimačių ir keturmačių kubų raidų modeliai ir centrinės projekcijos, analitiškai aprašyti trimačiai kubai objektai, atsirandantys susikirtus keturmačiui kubui hiperplokštumomis, lygiagrečiomis vienai iš trijų -dimensiniai paviršiai arba hiperplokštumos, statmenos pagrindinei įstrižai.

Tyrimas leido atskleisti gilią analogiją įvairių matmenų kubų struktūroje ir savybėmis. Naudojama analogijos technika gali būti taikoma tyrime, pvz.matmenų sfera arbamatmenų simpleksas. Būtent,matmenų sfera gali būti apibrėžta kaip taškų rinkinysmatmenų erdvė vienodu atstumu nuo duotas taškas, kuris vadinamas sferos centru. Toliau,matmenų simpleksas gali būti apibrėžtas kaip dalismatmenų erdvė, apribota minimaliu skaičiumimatmenų hiperplokštumos. Pavyzdžiui, vienmatis simpleksas yra atkarpa (vienmatės erdvės dalis, apribota dviem taškais), dvimatė simpleksas yra trikampis (dvimatės erdvės dalis, apribota trimis tiesėmis), trimatis simpleksas. yra tetraedras (trimatės erdvės, apribotos keturiomis plokštumomis, dalis). Pagaliau,matmenų simpleksas apibrėžiamas kaip dalismatmenų erdvė, ribotamatmenų hiperplokštuma.

Atkreipkite dėmesį, kad nepaisant daugybės tesserakto pritaikymų kai kuriose mokslo srityse, šis tyrimas vis dar yra matematinis tyrimas.

Bibliografija

1) Bugrovas Ya.S., Nikolsky S.M. aukštoji matematika, t. 1 - M .: Bustard, 2005 - 284 p.

2) Kvantinė. Keturmatis kubas / Dužinas S., Rubcovas V., Nr.6, 1986 m.

3) Kvantinė. Kaip piešti matmenų kubas / Demidovičius N.B., Nr. 8, 1974 m.

Taškai (±1, ±1, ±1, ±1). Kitaip tariant, jis gali būti pavaizduotas kaip toks rinkinys:

Tesraktą riboja aštuonios hiperplokštumos, kurių susikirtimas su pačia tesrakta apibrėžia jos trimačius paviršius (kurie yra įprasti kubai). Kiekviena nelygiagrečių 3D veidų pora susikerta ir sudaro 2D veidus (kvadratus) ir pan. Galiausiai, tesseraktas turi 8 3D paviršius, 24 2D, 32 kraštus ir 16 viršūnių.

Populiarus aprašymas

Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, neišeinant iš trimatės erdvės.

Vienmatėje „erdvėje“ – tiesėje – pasirenkame atkarpą AB, kurios ilgis L. Dvimatėje plokštumoje L atstumu nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Gausite kvadratinį CDBA. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą CDBAGHFE. Ir perkeldami kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims) atstumu L, gauname CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkubą.

Teserakto statyba lėktuve

Vienmatis segmentas AB tarnauja kaip dvimačio kvadrato CDBA kraštinė, kvadratas yra kubo CDBAGHFE kraštinė, kuri, savo ruožtu, bus keturmačio hiperkubo pusė. Tiesios linijos atkarpa turi du ribinius taškus, kvadratas – keturias viršūnes, o kubas – aštuonias. Taigi, keturių dimensijų hiperkube bus 16 viršūnių: 8 pradinio kubo viršūnės ir 8 viršūnės, pasislinkusios ketvirtoje dimensijoje. Jis turi 32 briaunas – po 12 nurodo pradinę ir galutinę pradinio kubo padėtis, o dar 8 briaunos „nubrėžia“ aštuonias jo viršūnes, kurios perėjo į ketvirtą dimensiją. Tą patį galima pasakyti ir apie hiperkubo veidus. Dvimatėje erdvėje jis yra vienas (pats kvadratas), kube jų yra 6 (du veidai iš perkelto kvadrato ir dar keturi apibūdins jo puses). Keturmatis hiperkubas turi 24 kvadratinius paviršius – 12 pradinio kubo kvadratų dviejose padėtyse ir 12 kvadratų iš dvylikos jo kraštų.

Kaip kvadrato kraštinės yra 4 vienmačiai atkarpos, o kubo kraštinės (pusės) yra 6 dvimačiai kvadratai, taip ir „keturmačio kubo“ (tesserakto) kraštinės yra 8 trimačiai kubai. Priešingų tesseraktų kubelių porų erdvės (tai yra trimatės erdvės, kurioms priklauso šie kubai) yra lygiagrečios. Paveiksle tai yra kubeliai: CDBAGHFE ir KLJIOPNM, CDBAKLJI ir GHFEOPNM, EFBAMNJI ir GHDCOPLK, CKIAGOME ir DLJBHPNF.

Panašiai galime tęsti samprotavimus dėl didesnio matmenų skaičiaus hiperkubų, tačiau daug įdomiau pažiūrėti, kaip mums, trimatės erdvės gyventojams, atrodys keturmatis hiperkubas. Tam panaudokime jau žinomą analogijų metodą.

Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš veido pusės. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubrėžti du kvadratus (jos artimuosius ir tolimuosius veidus), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai ir keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniomis briaunomis. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus projektuojamos pačios „dėžės“ – trimačiai veidai, o jas jungiančios linijos nusidrieks ketvirtos ašies kryptimi. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.

Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie ateityje atrodys kaip gana sudėtinga figūra. Pats keturmatis hiperkubas susideda iš begalinio skaičiaus kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.

Iškirpę šešis trimačio kubo veidus, galite jį suskaidyti į plokščią figūrą - vystymąsi. Jis turės kvadratą kiekvienoje originalaus veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. Trimatis keturmačio hiperkubo vystymas susideda iš originalaus kubo, šešių iš jo „išaugančių“ kubelių ir dar vieno – galutinio „hiperveido“.

Tesrakto savybės yra savybių išplėtimas geometrines figūras apatinę dimensiją į keturmatę erdvę.

projekcijos

į dvimatę erdvę

Šią struktūrą sunku įsivaizduoti, tačiau galima suprojektuoti tesseraktą į 2D arba 3D erdves. Be to, projekcija į plokštumą leidžia lengvai suprasti hiperkubo viršūnių vietą. Tokiu būdu galima gauti vaizdų, kurie nebeatspindi erdvinių santykių tesserakte, bet iliustruoja viršūnių nuorodos struktūrą, kaip nurodyta šiuose pavyzdžiuose:

Trečiame paveikslėlyje pavaizduotas tesraktas izometriškai, palyginti su konstrukcijos tašku. Šis vaizdas yra įdomus, kai naudojamas tesseraktas kaip topologinio tinklo pagrindas, norint susieti kelis procesorius lygiagrečiame skaičiavime.

į trimatę erdvę

Viena iš tesserakto projekcijų į trimatę erdvę yra du įterpti trimačiai kubai, kurių atitinkamos viršūnės sujungtos atkarpomis. Vidiniai ir išoriniai kubai yra skirtingo dydžio 3D erdvėje, tačiau jie yra vienodi kubai 4D erdvėje. Norint suprasti visų tesrakto kubelių lygybę, buvo sukurtas besisukantis teserakto modelis.

  • Šešios nupjautos piramidės išilgai tesserakto kraštų yra lygių šešių kubelių vaizdai. Tačiau šie kubeliai yra tesrakte kaip kvadratai (veideliai) yra kubui. Tačiau iš tikrųjų tesseraktą galima padalyti į begalinį skaičių kubelių, kaip kubą galima padalyti į begalinį skaičių kvadratų arba kvadratą į begalinį skaičių segmentų.

Kita įdomi tesserakto projekcija į trimatę erdvę yra rombinis dodekaedras, kurio keturios įstrižainės yra jungiančios priešingų viršūnių poras dideliais rombų kampais. Šiuo atveju 14 iš 16 teserakto viršūnių projektuojamos į 14 rombinio dodekaedro viršūnių, o likusių 2 projekcijos sutampa jo centre. Tokioje projekcijoje į trimatę erdvę išsaugoma visų vienmačių, dvimačių ir trimačių kraštinių lygybė ir lygiagretumas.

stereo pora

Tesrakto stereopora vaizduojama kaip dvi projekcijos į trimatę erdvę. Šis tesserakto vaizdas buvo sukurtas taip, kad atspindėtų gylį kaip ketvirtą dimensiją. Stereopora žiūrima taip, kad kiekviena akis matytų tik vieną iš šių vaizdų, susidaro stereoskopinis vaizdas, atkuriantis tesserakto gylį.

Tesseraktas išsiskleidžiantis

Tesrakto paviršius gali būti išlankstytas į aštuonis kubus (panašiai kaip kubo paviršius gali būti išlankstytas į šešis kvadratus). Yra 261 skirtingas tesserakto atskleidimas. Teserakto išsiskleidimus galima apskaičiuoti grafike nubraižant sujungtus kampus.

Teseraktas mene

  • Edwine'o A. Abbotto „Naujojoje lygumoje“ hiperkubas yra pasakotojas.
  • Vienoje „Džimio Neutrono nuotykių“ serijoje „berniukas genijus“ Jimmy išranda keturių dimensijų hiperkubą, identišką sulenkiamai dėžutei iš Roberto Heinleino romano „Šlovės kelias“ (1963).
  • Robertas E. Heinleinas hiperkubus paminėjo mažiausiai trijose mokslinės fantastikos istorijose. Knygoje „Keturių dimensijų namas“ („The House That Teel Built“) jis aprašė namą, pastatytą kaip tesserakto išsiskleidimą, o vėliau dėl žemės drebėjimo „susiformavo“ ketvirtoje dimensijoje ir tapo „tikra“ tesaraktu.
  • Heinleino romane „Šlovės kelias“ aprašoma hiperdimensinė dėžutė, kurios vidus buvo didesnis nei išorė.
  • Henrio Kuttnerio apsakyme „Visi Borogo tenals“ aprašomas lavinantis žaislas vaikams iš tolimos ateities, savo struktūra panašus į tesraktą.
  • Alexo Garlando romane ( ) terminas „tesseraktas“ vartojamas trimačiam keturmačio hiperkubo, o ne paties hiperkubo išskleidimui. Tai metafora, skirta parodyti, kad pažinimo sistema turėtų būti platesnė nei atpažįstama.
  • „The Cube 2: Hypercube“ siužeto centre – aštuoni nepažįstamieji, įstrigę „hiperkube“ arba susietų kubų tinkle.
  • Serialas „Andromeda“ naudoja tesseraktų generatorius kaip sąmokslo įrenginį. Jie pirmiausia skirti valdyti erdvę ir laiką.
  • Salvadoro Dali () paveikslas „Nukryžiavimas“ („Corpus Hypercubus“).
  • „Nextwave“ komiksų knygoje pavaizduota transporto priemonė, kurią sudaro 5 tesraktų zonos.
  • Albume Voivod Nothingface viena iš dainų vadinasi „In my hypercube“.
  • Anthony Pierce'o romane „Maršruto kubas“ vienas iš IDA orbitinių palydovų vadinamas tesseraktu, kuris buvo suspaustas į 3 matmenis.
  • Seriale „Mokykla“ Juodoji skylė „“ trečiajame sezone yra epizodas „Tesseract“. Lucas paspaudžia slaptą mygtuką ir mokykla pradeda „formuotis kaip matematinė teseraktas“.
  • Terminas „tesseraktas“ ir iš jo kilęs terminas „tesse“ randamas Madeleine L'Engle apsakyme „Laiko raukšlė“.
  • TesseracT yra britų djent grupės pavadinimas.
  • „Marvel Cinematic Universe“ filmų serijoje „Tesseract“ yra pagrindinis siužeto elementas, hiperkubo formos kosminis artefaktas.
  • Roberto Sheckley apsakyme „Mis Pelytė ir ketvirta dimensija“ autoriaus pažįstama ezoterinė rašytoja bando įžvelgti tesseraktą, valandų valandas dairydamasi prie savo sukurto prietaiso: kamuoliuko ant kojos su įsmeigtais strypais, ant kurie kubeliai pasodinti, priklijuoti visokiais ezoteriniais simboliais. Istorijoje minimas Hintono darbas.
  • Filmuose „Pirmasis keršytojas“, „Keršytojai“. Tesseraktas yra visos visatos energija

Kiti vardai

  • Hexadecachoron (anglų k.) Heksadekachoronas)
  • Octochoron (anglų k.) Oktachoronas)
  • tetrakubas
  • 4-kubas
  • Hiperkubas (jei matmenų skaičius nenurodytas)

Pastabos

Literatūra

  • Charlesas H Hintonas. Ketvirtasis matmuo, 1904 m. ISBN 0-405-07953-2
  • Martin Gardner, Mathmatical Carnaval, 1977. ISBN 0-394-72349-X
  • Ian Stewart, Šiuolaikinės matematikos koncepcijos, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Nuorodos

Rusiškai
  • Transformator4D programa. Keturmačių objektų (įskaitant ir Hiperkubą) trimačių projekcijų modelių formavimas.
  • Programa, kuri įgyvendina tesserakto konstravimą ir visas jo afinines transformacijas su C++ šaltiniais.

Angliškai

  • Mushware Limited yra tesseract išvesties programa ( Tesseract treneris, licencijuota pagal GPLv2) ir 4D pirmojo asmens šaudyklė ( Adanaxis; grafika, dažniausiai trimatė; OS saugyklose yra GPL versija).