Gia kvadratinės lygtys. Edukacinis projektas „Lygtys užduotyse oge“

Toylonovas Argymai ir Toylonovas Erkey

Bendrojo lavinimo mokykloje įgytas matematinis išsilavinimas yra esminė bendrojo lavinimo ir bendrosios šiuolaikinio žmogaus kultūros sudedamoji dalis. Beveik viskas, kas supa šiuolaikinį žmogų, vienaip ar kitaip susiję su matematika. Ir naujausi fizikos, technologijų ir Informacinės technologijos nepaliks abejonių, kad viskas išliks taip pat ir ateityje. Todėl daugelio praktinių uždavinių sprendimas sumažinamas iki įvairių lygčių, kurias reikia išmokti išspręsti, sprendimas.

O nuo 2013 m. matematikos atestavimas baigiant pagrindinę mokyklą vykdomas OGE forma. Kaip ir vieningas valstybinis egzaminas, OGE skirtas sertifikuoti ne tik algebrą, bet ir visą matematikos kursą pagrindinėje mokykloje.

Liūto dalis užduočių, vienaip ar kitaip, yra lygčių ir jų sprendimų sudarymas. Norėdami tęsti šios temos tyrimą, turėjome atsakyti į klausimus: „Kokio tipo lygtys randamos OGE užduotyse? “ ir „Kokie yra šių lygčių sprendimo būdai?

Taigi, reikia ištirti visų tipų lygtis, kurios yra OGE užduotyse. Visa tai, kas išdėstyta aukščiau, apibrėžia

tikslas darbas yra užpildyti visų tipų lygtis, randamas OGE užduotyse pagal tipus, ir išanalizuoti pagrindinius šių lygčių sprendimo būdus.

Norėdami pasiekti šį tikslą, nustatėme šiuos dalykus užduotys:

1) Išmokti pagrindinius išteklius ruošiantis pagrindiniams valstybiniams egzaminams.

2) Užpildykite visas lygtis pagal tipą.

3) Išanalizuoti šių lygčių sprendimo būdus.

4) Sudarykite rinkinį su visų tipų lygtimis ir jų sprendimo būdais.

Studijų objektas: lygtys.

Studijų dalykas: lygtis OGE uždaviniuose.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Savivaldybės biudžetinė švietimo įstaiga

"Chibit vidurinė mokykla"

ŠVIETIMO PROJEKTAS:

„LYGTYBĖS OGE UŽDUOTĖSE“

Toilonovas Erkey

8 klasės mokiniai

Vadovė: Toylonova Nadežda Vladimirovna, matematikos mokytoja.

Projekto įgyvendinimo laikas:

nuo 2017-12-13 iki 02-13 d. 2018 m

Įvadas ……………………………………………………………….
Istorijos nuoroda ………………………………………………………
1 skyrius Lygčių sprendimas ……………………………………………
1.1 Tiesinių lygčių sprendimas ………………………………………
1.2 Kvadratinės lygtys ……………………………………………
1.2.1 Neužbaigtos kvadratinės lygtys …………………………………	9-11
1.2.2 Užbaigtos kvadratinės lygtys ……………………………………	11-14
1.2.3 Konkretūs kvadratinių lygčių sprendimo metodai …………….	14-15
1.3 Racionalios lygtys ………………………………………….	15-17
2 skyrius Sudėtingos lygtys …………………………………………….	18-24
Išvados ……………………………………………………………………
Naudotos literatūros sąrašas …………………………………
1 priedas „Tiesinės lygtys“ ………………………………….	26-27
2 priedėlis „Neužbaigtos kvadratinės lygtys“ ……………………	28-30
3 priedas „Visos kvadratinės lygtys“ ………………………	31-33
4 priedas „Racionalios lygtys“ ………………………….	34-35
5 priedas „Sudėtingos lygtys“ …………………………………..	36-40

ĮVADAS

Bendrojo lavinimo mokykloje įgytas matematinis išsilavinimas yra esminė bendrojo lavinimo ir bendrosios šiuolaikinio žmogaus kultūros sudedamoji dalis. Beveik viskas, kas supa šiuolaikinį žmogų, vienaip ar kitaip susiję su matematika. O naujausi fizikos, inžinerijos ir informacinių technologijų pasiekimai nekelia abejonių, kad ateityje padėtis išliks tokia pati. Todėl daugelio praktinių uždavinių sprendimas sumažinamas iki įvairių lygčių, kurias reikia išmokti išspręsti, sprendimas.

Taigi, reikia ištirti visų tipų lygtis, kurios yra OGE užduotyse. Visa tai, kas išdėstyta aukščiau, apibrėžiaatliekamo darbo problemos aktualumas.

tikslas darbas yra užpildyti visų tipų lygtis, randamas OGE užduotyse pagal tipus, ir išanalizuoti pagrindinius šių lygčių sprendimo būdus.

Norėdami pasiekti šį tikslą, nustatėme šiuos dalykus užduotys:

1) Išmokti pagrindinius išteklius ruošiantis pagrindiniams valstybiniams egzaminams.

2) Užpildykite visas lygtis pagal tipą.

3) Išanalizuoti šių lygčių sprendimo būdus.

4) Sudarykite rinkinį su visų tipų lygtimis ir jų sprendimo būdais.

Studijų objektas: lygtys.

Studijų dalykas:lygtis OGE uždaviniuose.

Projekto darbo planas:

Projekto temos formulavimas.
Medžiagos iš oficialių šaltinių pasirinkimas tam tikra tema.
Informacijos apdorojimas ir sisteminimas.
Projekto įgyvendinimas.
Projekto projektavimas.
Projekto apsauga.

Problema : pagilinkite savo lygčių supratimą. Parodykite pagrindinius lygčių sprendimo būdus, pateiktus OGE užduotyse pirmoje ir antroje dalyse.

Šis darbas yra bandymas apibendrinti ir susisteminti studijuojamą medžiagą bei studijuoti naują. Projektas apima: tiesines lygtis su terminų perkėlimu iš vienos lygties dalies į kitą ir naudojant lygčių savybes, taip pat lygtimi sprendžiamos problemos, visų tipų kvadratinės lygtys ir racionaliųjų lygčių sprendimo metodai.

Matematika... atskleidžia tvarką, simetriją ir tikrumą,

ir tai yra svarbiausios grožio rūšys.

Aristotelis.

Istorijos nuoroda

Tais tolimais laikais, kai išminčiai pirmą kartą ėmė galvoti apie lygybes su nežinomais kiekiais, tikriausiai dar nebuvo monetų ar piniginių. Tačiau, kita vertus, buvo krūvos, taip pat puodų, krepšelių, kurie puikiai tiko talpykloms-parduotuvėms, kuriose yra nežinomas prekių skaičius. „Ieškome krūvos, kuri kartu su dviem trečdaliais jos, puse ir vienu septintuoju, yra 37...“, – mokė Egipto raštininkas Ahmesas II tūkstantmetyje prieš Kristų. Senovės Mesopotamijos, Indijos, Kinijos, Graikijos matematinėse problemose nežinomi kiekiai išreiškė povų skaičių sode, bulių skaičių bandoje, dalykų, į kuriuos buvo atsižvelgta dalijant turtą, visumą. Su tokiomis užduotimis gana sėkmingai susidorojo raštininkai, valdininkai ir kunigai, inicijuoti į slaptas žinias, gerai išmokę skaičiavimo mokslą.

Iki mūsų atkeliavę šaltiniai rodo, kad senovės mokslininkai turėjo bendrų metodų nežinomų kiekių problemoms spręsti. Tačiau ne vienas papirusas, nei viena molio lenta nepateikia šių technikų aprašymo. Autoriai tik retkarčiais pateikdavo savo skaitinius skaičiavimus su niekšiškais komentarais, tokiais kaip: „Žiūrėk!“, „Padaryk!“, „Jūs radote teisingai“. Šia prasme išimtis yra graikų matematiko Diofanto Aleksandriečio (III a.) „Aritmetika“ – lygčių sudarymo uždavinių rinkinys su sistemingu jų sprendimų pateikimu.

Tačiau IX amžiaus Bagdado mokslininko darbai tapo pirmuoju problemų sprendimo vadovu, kuris tapo plačiai žinomas. Muhamedas bin Musa al Khwarizmi. Žodis „al-jabr“ iš arabiško šio traktato pavadinimo – „Kitab al-jaber wal-muqabala“ („Atkūrimo ir kontrastavimo knyga“) – laikui bėgant virto visiems gerai žinomu žodžiu „algebra“, pats al-Khwarizmi darbas buvo atskaitos taškas plėtojant lygčių sprendimo mokslą.

Taigi, kas yra lygtis?

Yra teisių lygtis, laiko lygtis (tikrą saulės laiką paverčianti vidurkiu saulės laikas priimtas nakvynės namuose ir moksle; asteris) ir kt.

Matematikoje yra matematinė lygtis, kurioje yra vienas ar daugiau nežinomų dydžių ir kuri galioja tik tam tikroms šių nežinomų dydžių reikšmėms.

Lygtyse su vienu kintamuoju nežinomasis paprastai žymimas raide " X". „x“ vertė , kuris tenkina šias sąlygas, vadinamas lygties šaknimi.

Lygtys yra skirtingos. rūšis:

ax + b = 0. - Tiesinė lygtis.
ax 2 + bx + c = 0. - Kvadratinė lygtis.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Bikvadratinė lygtis.

– Racionalioji lygtis.

– Iracionali lygtis.
Yra tokiųlygčių sprendimo būdai kaip: algebrinė, aritmetinė ir geometrinė. Apsvarstykite algebrinį būdą.

išspręsti lygtįyra rasti tokias x reikšmes, kurios pakeistos į pradinę išraišką duos mums teisingą lygybę arba įrodys, kad sprendimų nėra. Spręsti lygtis, kad ir kaip sunku, įdomu. Juk tikrai stebina, kai nuo vieno nežinomo skaičiaus priklauso visas srautas skaičių.

Lygtyse, norint rasti nežinomąjį, būtina transformuoti ir supaprastinti pradinę išraišką. Ir taip, kad keičiant išvaizdą nepasikeistų išraiškos esmė. Tokios transformacijos vadinamos identiškomis arba lygiavertėmis.

1 skyrius Lygčių sprendimas

1.1 Tiesinių lygčių sprendimas.

Dabar apsvarstysime tiesinių lygčių sprendinius. Prisiminkite, kad formos lygtisvadinama tiesine lygtimi arba pirmojo laipsnio lygtimi, nes su kintamuoju " X » aukščiausias laipsnis yra pirmame laipsnyje.

Tiesinės lygties sprendimas yra labai paprastas:

1 pavyzdys: išspręskite 3 lygtį x+3=5x

Tiesinė lygtis išspręsta naudojant terminus, kuriuose yra nežinomųjų, perkeliant į kairę lygybės ženklo pusę, laisvuosius koeficientus į dešinę lygybės ženklo pusę:

3 x – 5 x = – 3

2x=-3

x=1,5

Vadinama kintamojo reikšmė, paverčianti lygtį tikrąja lygybe lygties šaknis.

Po patikrinimo gauname:

Taigi 1,5 yra lygties šaknis.

Atsakymas: 1.5.

Lygčių sprendimas perkeliant terminus iš vienos lygties dalies į kitą, o terminų ženklas pasikeičia į priešingą ir taikomas savybių lygtys – abi lygties dalys gali būti padaugintos (padalintos) iš to paties ne nulinio skaičiaus ar išraiškos, gali būti svarstomos sprendžiant šias lygtis.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8 + 7 x \u003d 9 x +4; c) 4(x − 8) = − 5.

Sprendimas.

a) Perkėlimo būdu išsprendžiame

6x + 4x = -1;

10x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Egzaminas:

Atsakymas: -0,1

b) Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, sprendžiame perdavimo metodu:

Atsakymas: 2.

c) Šioje lygtyje būtina atidaryti skliaustus, pritaikant daugybos skirstomąją savybę sudėjimo operacijos atžvilgiu.

Atsakymas: 6.75.

1.2 Kvadratinės lygtys

Tipo lygtis vadinama kvadratine lygtimi, kur a - senjoro koeficientas, b yra vidutinis koeficientas, c yra laisvasis narys.

Priklausomai nuo koeficientų a, b ir c - lygtis gali būti pilna arba neišsami, sumažinta arba nesumažinta.

1.2.1 Nebaigtos kvadratinės lygtys

Apsvarstykite būdus, kaip išspręsti nepilnas kvadratines lygtis:

1) Pradėkime nagrinėti pirmojo tipo nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą c=0 . Nebaigtos formos kvadratinės lygtys a x 2 +b x=0 leidžia išspręstifaktorizavimo metodas. Visų pirma, skliaustų metodas.

Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka iš skliaustų išimti bendrą koeficientą x . Tai leidžia pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės formos lygties: x·(a·x+b)=0 .

Ir ši lygtis yra lygiavertė dviejų lygčių deriniui x=0 arba a x+b=0 , iš kurių paskutinis yra linijinis ir turi šaknį x=− .

a x 2 +b x=0 turi dvi šaknis

x=0 ir x=− .

2) Dabar apsvarstykite, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b yra nulis ir c≠0 , tai yra formos lygtys a x 2 +c=0 . Žinome, kad termino perkėlimas iš vienos lygties pusės į kitą su priešingu ženklu, taip pat abiejų lygties pusių padalijimas ne nuliu skaičiumi, duoda lygiavertę lygtį. Todėl galime atlikti tokias lygiavertes nepilnos kvadratinės lygties transformacijas a x 2 + c=0 :

judėti c į dešinę pusę, kuri suteikia lygtį a x 2 =-c ,
ir padalinkite abi dalis į a , mes gauname.

Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis.

Jei skaičius yra neigiamas, tada lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius.

Jeigu yra teigiamas skaičius, tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju reikia atsiminti, kad yra lygties šaknis, tai yra skaičius. Lygties šaknis apskaičiuojama pagal schemą:

Yra žinoma, kad pakeitimas į lygtį vietoj x jos šaknys lygtį paverčia tikra lygybe.

Apibendrinkime šioje pastraipoje pateiktą informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 yra lygiavertis lygčiai, kuris

3) Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendiniai, kuriuose koeficientai b ir c yra lygūs nuliui, tai yra iš formos lygčių a x 2 \u003d 0. Lygtis a x 2 =0 seka x 2 =0 , kuris gaunamas iš originalo, padalijus abi jo dalis iš ne nulio skaičiaus a . Akivaizdu, kad lygties šaknis x2=0 yra nulis, nes 0 2 =0 . Ši lygtis neturi kitų šaknų.

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 \u003d 0 turi vieną šaknį x=0 .

3 pavyzdys Išspręskite lygtis: a) x 2 \u003d 5x, jei lygtis turi kelias šaknis, tada atsakyme nurodykite mažesnę iš jų;

b) , jei lygtis turi kelias šaknis, tada atsakyme nurodykite didžiausią iš jų;

c) x 2 −9=0, jei lygtis turi kelias šaknis, atsakyme nurodykite mažesnę.

Sprendimas.

Gavome nepilną kvadratinę lygtį, kuriai nėra laisvo termino. Sprendžiame išėmimo iš skliausteliuose metodu.

At Lygtis gali turėti dvi šaknis, iš kurių mažesnė yra 0.

Atsakymas: 0.

b) . Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, taikome skliaustų sudarymo metodą

Atsakyme turite nurodyti didžiausią iš šaknų. Tai yra skaičius 2.

Atsakymas: 2.

in) . Ši lygtis yra neišsami kvadratinė lygtis, kuri neturi vidutinio koeficiento.

Mažiausia iš šių šaknų yra skaičius – 3.

Atsakymas: -3.

1.2.2 Užbaigtos kvadratinės lygtys.

1. Diskriminantas, pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė

Yra šaknies formulė.

Užsirašykime kvadratinės lygties šaknų formulė žingsnis po žingsnio:

1) D=b 2 −4 a c - vadinamasis.

a) jei D

b) jei D>0, tai lygtisneturi vienos šaknies:

c) jei D neturi dviejų šaknų:

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Praktiškai spręsdami kvadratinę lygtį galite iš karto naudoti šaknies formulę, pagal kurią apskaičiuoti jų reikšmes. Bet tai daugiau apie sudėtingų šaknų paiešką.

Tačiau į mokyklos kursas algebra paprastai yra ne apie sudėtingą, o apie tikrąsias kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia surasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o po to apskaičiuokite šaknų reikšmes.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašytikvadratinės lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 +b x+c=0, jums reikia:

pagal diskriminanto formulę D=b 2 −4 a c apskaičiuoti jo vertę;
padaryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį pagal formulę if D = 0;
Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

2. Diskriminantas, antroji kvadratinės lygties šaknų formulė (lyginiam antrajam koeficientui).

Išspręsti formos kvadratines lygtis, su lyginiu koeficientu b=2k yra kita formulė.

Parašykime naują kvadratinės lygties šaknų formulė:

1) D’=k 2 −a c - vadinamasiskvadratinės lygties diskriminantas.

a) jei D' neturi tikrų šaknų;

b) jei D'>0, tai lygtisneturi vienos šaknies:

c) jei D' neturi dviejų šaknų:

4 pavyzdys Išspręskite lygtį 2x 2 −3x+1=0.. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

Sprendimas. Pirmuoju atveju turime šiuos kvadratinės lygties koeficientus: a=2 , b=-3 ir c=1 D=b 2 −4 a c=(-3) 2 −4 2 1=9-8=1 . Nuo 1>0

Mes turime turi dvi šaknis, iš kurių didžiausia yra skaičius 1.

Atsakymas: 1.

5 pavyzdys Išspręskite x lygtį 2 −21 = 4x.

Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

Sprendimas. Analogiškai su ankstesniu pavyzdžiu perkeliame 4h į kairę nuo lygybės ženklo ir gauname:

Šiuo atveju turime šiuos kvadratinės lygties koeficientus: a=1 , k=-2 ir c=-21 . Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą D'=k 2 −a c=(-2) 2 −1 (−21)=4+21=25 . Skaičius 25>0 , tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, tada kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos pagal šaknies formulę

Atsakymas: 7.

1.2.3 Konkretūs kvadratinių lygčių sprendimo metodai.

1) Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys. Vietos teorema.

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis jos koeficientais. Remdamiesi šaknų formule, galite gauti kitus ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausia ir taikoma formulė vadinama Vietos teorema.

Teorema: Tegu - redukuotos kvadratinės lygties šaknys. Tada šaknų sandauga lygi laisvajam nariui, o šaknų suma lygi priešingai antrojo koeficiento reikšmei:

Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais.

6 pavyzdys a) Išspręskite lygtį x 2

b) Išspręskite lygtį x 2

c) Išspręskite lygtį x 2

Sprendimas.

a) Išspręskite lygtį x 2 −6x+5=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

Pasirinkite mažiausią iš šaknų

Atsakymas: 1

b) Išspręskite lygtį x 2 +7x+10=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

Taikydami Vietos teoremą, rašome šaknų formules

Logiškai tai darome. Pasirinkite didžiausią iš šaknų

Atsakymas: ─2.

c) Išspręskite lygtį x 2 ─5x─14 = 0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

Taikydami Vietos teoremą, rašome šaknų formules

Logiškai tai darome. Pasirinkite mažiausią iš šaknų

Atsakymas: ─2.

1.3 Racionaliosios lygtys

Jei jums duota lygtis su formos trupmenomissu kintamuoju skaitiklyje arba vardiklyje, tada tokia išraiška vadinama racionalia lygtimi. Racionalioji lygtis yra bet kuri lygtis, apimanti bent vieną racionalią išraišką. Racionaliosios lygtys sprendžiamos taip pat, kaip ir bet kurios lygtys: tos pačios operacijos atliekamos abiejose lygties pusėse, kol kintamasis išskiriamas vienoje lygties pusėje. Tačiau yra 2 racionalių lygčių sprendimo būdai.

1) Daugyba skersai.Jei reikia, perrašykite jums pateiktą lygtį taip, kad kiekvienoje pusėje būtų viena trupmena (viena racionali išraiška); tik tada galite naudoti kryžminio daugybos metodą.

Padauginkite kairiosios trupmenos skaitiklį iš dešinės vardiklio. Pakartokite tai su dešiniosios trupmenos skaitikliu ir kairiosios dalies vardikliu.

Kryžminis daugybos pagrindas yra pagrindiniai algebriniai principai. Racionaliose išraiškose ir kitose trupmenose skaitiklio galite atsikratyti atitinkamai padauginę dviejų trupmenų skaitiklius ir vardiklius.
Sulyginkite gautas išraiškas ir supaprastinkite jas.
Išspręskite gautą lygtį, ty raskite „x“. Jei „x“ yra abiejose lygties pusėse, išskirkite ją vienoje lygties pusėje.

2) Šiai lygčiai supaprastinti naudojamas mažiausias bendras vardiklis (LCD).Šis metodas naudojamas, kai negalite parašyti pateiktos lygties su viena racionalia išraiška kiekvienoje lygties pusėje (ir naudoti kryžminio daugybos metodą). Šis metodas naudojamas, kai pateikiama racionali lygtis su 3 ar daugiau trupmenų (jei yra dvi trupmenos, kryžminė daugyba yra geriau).

Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį (arba mažiausią bendrąjį kartotinį).NOZ yra mažiausias skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš kiekvieno vardiklio.
Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš skaičiaus, lygaus NOZ padalijus iš atitinkamo kiekvienos trupmenos vardiklio.
Rasti x. Dabar, kai sumažinote trupmenas iki bendro vardiklio, galite atsikratyti vardiklio. Norėdami tai padaryti, padauginkite kiekvieną lygties pusę iš bendro vardiklio. Tada išspręskite gautą lygtį, ty raskite „x“. Norėdami tai padaryti, išskirkite kintamąjį vienoje lygties pusėje.

7 pavyzdys Išspręskite lygtis: a); b) c).

Sprendimas.

a) . Mes naudojame kryžminio daugybos metodą.

Atidarykite skliaustus ir pridėkite panašių terminų.

gavo tiesinė lygtis su vienu nepažįstamu

Atsakymas: ─10.

b) , panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, taikome daugybos kryželiu metodą.

Atsakymas: ─1.9.

in) , naudojame mažiausio bendro vardiklio (LCD) metodą.

Šiame pavyzdyje bendras vardiklis būtų 12.

Atsakymas: 5.

2 skyrius Sudėtingos lygtys

Sudėtingų lygčių kategorijai priklausančios lygtys gali derinti įvairius sprendimo būdus ir būdus. Tačiau vienaip ar kitaip visos lygtys loginio samprotavimo metodu ir lygiaverčiais veiksmais veda į lygtis, kurios buvo ištirtos anksčiau.

7 pavyzdys Išspręskite lygtį ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Sprendimas. Pagal sutrumpinto daugybos formules atidarysime skliaustus:

Mes perkeliame visus terminus už lygybės ženklo ribų ir suteikiame panašius,

Atsakymas: 5.5.

8 pavyzdys Išspręskite lygtis: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Sprendimas.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; atidarykite skliaustus ir pateikite panašius terminus

gavome pilną kvadratinę lygtį, kurią išspręsime per pirmąją diskriminanto formulę

lygtis turi dvi šaknis

Atsakymas: 0,6 ir 6.

b) (x +2) (− x +6)=0, šiai lygčiai darysime loginį samprotavimą (produktas lygus nuliui, kai vienas iš veiksnių lygus nuliui). Reiškia

Atsakymas: ─2 ir 6.

9 pavyzdys Išspręskite lygtis:, b).

Sprendimas. Mažiausio bendro vardiklio radimas

Rašome kintamojo laipsnių mažėjimo tvarka

; gavo pilną kvadratinę lygtį su lyginiu antruoju koeficientu

Lygtis turi dvi realias šaknis

Atsakymas:.

b) . Motyvavimas panašus a). Ieškoti NOZ

Atidarykite skliaustus ir pateikite panašius terminus

pilną kvadratinę lygtį išsprendžiame per bendrąją formulę

Atsakymas:.

10 pavyzdys Išspręskite lygtis:

Sprendimas.

a) , Pastebime, kad kairėje pusėje skliaustuose esanti išraiška yra sutrumpinto daugybos formulė, tiksliau dviejų išraiškų sumos kvadratas. Paverskime jį

; perkelkite šios lygties narius viena kryptimi

išimkite jį iš skliaustų

Produktas yra lygus nuliui, kai vienas iš veiksnių yra nulis. Reiškia,

Atsakymas: ─2, ─1 ir 1.

b) Mes ginčijamės taip pat, kaip, pavyzdžiui, a)

, pagal Vietos teoremą

Atsakymas:

11 pavyzdys. Išspręskite lygtis a)

Sprendimas.

a) ; [kairėje ir dešinėje lygties pusėse galime pritaikyti skliaustų metodą, o kairėje pusėje išimsime, o dešinėje pusėje išimame skaičių 16.]

[Perkelkime viską į vieną pusę ir dar kartą pritaikykime braketavimo metodą. Išimsime bendrą veiksnį]

[produktas lygus nuliui, kai vienas iš veiksnių yra nulis.]

Atsakymas:

b) . [Ši lygtis panaši į a) lygtį). Todėl šiuo atveju taikytinas grupavimo metodas]

Atsakymas:

12 pavyzdys. Išspręskite lygtį=0.

Sprendimas.

0 [bikvadratinė lygtis. Išspręsta keičiant kintamąjį metodą].

0; [Taikydami Vieta teoremą gauname šaknis]

. [grįžti į ankstesnius kintamuosius]

Atsakymas:

13 pavyzdys Išspręskite lygtį

Sprendimas. [bikvadratinė lygtis, atsikratykite lyginio laipsnio, taikydami modulio ženklus.]

[gavome dvi kvadratines lygtis, kurias išsprendžiame per pagrindinę kvadratinės lygties šaknų formulę]

nėra tikrų šaknų, lygtis turi dvi šaknis

Atsakymas:

14 pavyzdys Išspręskite lygtį

Sprendimas.

ODZ:

[visas lygties sąlygas perkeliame į kairę pusę ir pateikiame panašius terminus]

[gavome sumažintą kvadratinę lygtį, kurią lengvai išsprendžia Vieta teorema]

Skaičius - 1 netenkina pateiktos lygties ODZ, todėl jis negali būti šios lygties šaknis. Taigi šaknis yra tik skaičius 7.

Atsakymas: 7.

15 pavyzdys Išspręskite lygtį

Sprendimas.

Dviejų išraiškų kvadratų suma gali būti lygi nuliui tik tuo atveju, jei išraiškos tuo pačiu metu yra lygios nuliui. Būtent

[Kiekvieną lygtį išspręskite atskirai]

Pagal Vietos teoremą

Šaknų sutapimas, lygus -5, bus lygties šaknis.

Atsakymas: - 5.

IŠVADA

Apibendrinant atlikto darbo rezultatus, galime daryti išvadą, kad lygtys vaidina didžiulį vaidmenį matematikos raidoje. Susisteminome įgytas žinias, apibendrinome išnagrinėtą medžiagą. Šios žinios gali paruošti mus būsimiems egzaminams.

Mūsų darbas leidžia kitaip pažvelgti į matematikos mums keliamas problemas.

projekto pabaigoje susisteminome ir apibendrinome anksčiau tyrinėtus lygčių sprendimo būdus;
susipažino su naujais lygčių sprendimo būdais ir lygčių savybėmis;

nagrinėjo visų tipų lygtis, kurios yra OGE užduotyse tiek pirmoje, tiek antroje dalyje.
Sukūrė metodinį rinkinį „Lygtys OGE uždaviniuose“.

Manome, kad mums keliamas tikslas yra atsižvelgti į visų tipų lygtis pagrindinio uždaviniuose valstybinis egzaminas matematikoje mes pasiekėme.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. B.V. Gnedenko „Matematika in modernus pasaulis“. Maskvos „Švietimas“ 1980 m

2. Taip. Perelman „Pramoginė algebra“. Maskvos „Mokslas“ 1978 m

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

1 priedas

Tiesinės lygtys

1. Raskite lygties šaknį

2. Raskite lygties šaknį

3. Raskite lygties šaknį

2 priedas

Nebaigtos kvadratinės lygtys

1. Išspręskite lygtį x 2 = 5x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

2. Išspręskite lygtį 2x 2 = 8x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

3. Išspręskite lygtį 3x 2 = 9x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

4. Išspręskite lygtį 4x 2 = 20 kartų. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

5. Išspręskite lygtį 5x 2 = 35x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

6. Išspręskite lygtį 6x 2 = 36x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

7. Išspręskite lygtį 7x 2 = 42x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

8. Išspręskite lygtį 8x 2 = 72x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

9. Išspręskite lygtį 9x 2 = 54x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

10. Išspręskite lygtį 10x2 =80x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

11. Išspręskite lygtį 5x2 −10x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

12. Išspręskite lygtį 3x2 −9x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

13. Išspręskite lygtį 4x2 −16x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

14. Išspręskite lygtį 5x2 +15x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

15. Išspręskite lygtį 3x2 +18x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

16. Išspręskite lygtį 6x2 +24x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

17. Išspręskite lygtį 4x2 −20x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

18. Išspręskite lygtį 5x2 +20x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

19. Išspręskite lygtį 7x2 −14x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

20. Išspręskite lygtį 3x2 +12x=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

21. Išspręskite lygtį x2 −9=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

22. Išspręskite lygtį x2 −121=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

23. Išspręskite lygtį x2 −16=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

24. Išspręskite lygtį x2 −25=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

25. Išspręskite x lygtį2 −49=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

26. Išspręskite lygtį x2 −81=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

27. Išspręskite lygtį x2 −4=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

28. Išspręskite x lygtį2 −64=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

29. Išspręskite lygtį x2 −36=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

30. Išspręskite x lygtį2 −144=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

31. Išspręskite lygtį x2 −9=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

32. Išspręskite lygtį x2 −121=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

33. Išspręskite lygtį x2 −16=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

34. Išspręskite lygtį x2 −25=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

35. Išspręskite x lygtį2 −49=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

36. Išspręskite x lygtį2 −81=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

37. Išspręskite lygtį x2 −4=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

38. Išspręskite lygtį x2 −64=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

39. Išspręskite lygtį x2 −36=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

40. Išspręskite x lygtį2 −144=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

3 priedas

Užbaigtos kvadratinės lygtys

1. Išspręskite lygtį x2 +3x=10. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

2. Išspręskite x lygtį2 +7x=18. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

3. Išspręskite x lygtį2 +2x=15. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

4. Išspręskite x lygtį2 −6x=16. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

5. Išspręskite x lygtį2 −3x=18. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

6. Išspręskite x lygtį2 −18 = 7x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

7. Išspręskite x lygtį2 +4x=21. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

8. Išspręskite x lygtį2 −21 = 4x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

9. Išspręskite x lygtį2 −15 = 2x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

10. Išspręskite x lygtį2 −5x=14. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

11. Išspręskite x lygtį2 +6 = 5x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

12. Išspręskite x lygtį2 +4 = 5x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

13. Išspręskite x lygtį2 −x=12. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

14. Išspręskite x lygtį2 +4x=5. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

15. Išspręskite x lygtį2 −7x=8. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

16. Išspręskite x lygtį2 +7 = 8x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

17. Išspręskite x lygtį2 +18 = 9x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

18. Išspręskite x lygtį2 +10 = 7x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

19. Išspręskite lygtį x2 −20=x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

20. Išspręskite lygtį x2 −35 = 2x. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

21. Išspręskite lygtį 2x2 −3x+1=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

22. Išspręskite lygtį 5x2 +4x−1=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

23. Išspręskite lygtį 2x2 +5x−7=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

24. Išspręskite lygtį 5x2 −12x+7=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

25. Išspręskite lygtį 5x2 −9x+4=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

26. Išspręskite lygtį 8x2 −12x+4=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

27. Išspręskite lygtį 8x2 −10x+2=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

28. Išspręskite lygtį 6x2 −9x+3=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

29. Išspręskite lygtį 5x2 +9x+4=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

30. Išspręskite lygtį 5x2 +8x+3=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

31. Išspręskite lygtį x2 −6x+5=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

32. Išspręskite lygtį x2 −7x+10=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

33. Išspręskite lygtį x2 −9x+18=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

34. Išspręskite lygtį x2 −10x+24=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

35. Išspręskite x lygtį2 −11x+30=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

36. Išspręskite x lygtį2 −8x+12=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

37. Išspręskite lygtį x2 −10x+21=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

38. Išspręskite lygtį x2 −9x+8=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

39. Išspręskite lygtį x2 −11x+18=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

40. Išspręskite x lygtį2 −12x+20=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

4 priedas

Racionalios lygtys.

1. Raskite lygties šaknį

2. Raskite lygties šaknį

3. Raskite lygties šaknį

4. Raskite lygties šaknį

5. Raskite lygties šaknį

6. Raskite lygties šaknį.

7. Raskite lygties šaknį

8. Raskite lygties šaknį

9. Raskite lygties šaknį.

10. Raskite lygties šaknį

11. Raskite lygties šaknį.

12. Raskite lygties šaknį

13. Raskite lygties šaknį

14. Raskite lygties šaknį

15. Raskite lygties šaknį

16. Raskite lygties šaknį

17. Raskite lygties šaknį

18. Raskite lygties šaknį

19. Raskite lygties šaknį

20. Raskite lygties šaknį

21. Raskite lygties šaknį

22. Raskite lygties šaknį

23. Raskite lygties šaknį

5 priedas

Sudėtingos lygtys.

1. Raskite lygties šaknį (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Raskite lygties šaknį (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Raskite lygties šaknį (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Raskite lygties šaknį (x+10)2 = (x–9)2 .

5. Raskite lygties šaknį (x−5)2 = (x–8)2 .

6. Raskite lygties šaknį.

7. Raskite lygties šaknį.

8. Raskite lygties šaknį.

9. Raskite lygties šaknį.

10. Raskite lygties šaknį.

11. Išspręskite lygtį (x+2)(− x+6)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

12. Išspręskite lygtį (x+3)(− x−2)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

13. Išspręskite lygtį (x−11)(− x+9)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

14. Išspręskite lygtį (x−1)(− x−4)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

15. Išspręskite lygtį (x−2)(− x−1)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

16. Išspręskite lygtį (x+20)(− x+10)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

17. Išspręskite lygtį (x−2)(− x−3)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

18. Išspręskite lygtį (x−7)(− x+2)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

19. Išspręskite lygtį (x−5)(− x−10)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

20. Išspręskite lygtį (x+10)(− x−8)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

21. Išspręskite lygtį (− 5x+3)(− x+6)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

22. Išspręskite lygtį (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

23. Išspręskite lygtį (− x−4)(3x+3)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

24. Išspręskite lygtį (x−6)(4x−6)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

25. Išspręskite lygtį (− 5x−3)(2x−1)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

26. Išspręskite lygtį (x−2)(− 2x−3)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

27. Išspręskite lygtį (5x+2)(− x−4)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

28. Išspręskite lygtį (x−6)(− 5x−9)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

29. Išspręskite lygtį (6x−3)(− x+3)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę iš šaknų.

30. Išspręskite lygtį (5x−2)(− x+3)=0. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite mažesnę iš šaknų.

31. Išspręskite lygtį

32. Išspręskite lygtį

33. Išspręskite lygtį

34. Išspręskite lygtį

35. Išspręskite lygtį

36. Išspręskite lygtį

37. Išspręskite lygtį

38. Išspręskite lygtį

39. Išspręskite lygtį

40 Išspręskite lygtį

41. Išspręskite lygtį x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Išspręskite lygtį (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Išspręskite lygtį x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Išspręskite lygtį (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Išspręskite lygtį x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. Išspręskite lygtį (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Išspręskite lygtį (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Išspręskite lygtį x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Išspręskite lygtį (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Išspręskite lygtį (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Išspręskite lygtį (x+2)4 −4 (x+2)2 −5=0.

52. Išspręskite lygtį (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Išspręskite lygtį (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Išspręskite lygtį (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Išspręskite lygtį (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Išspręskite lygtį (x−3)4 –3 (x–3)2 −10=0.

57. Išspręskite lygtį (x+4)4 –6 (x+4)2 −7=0.
58. Išspręskite lygtį (x−4)4 –4 (x–4)2 −21=0.

59. Išspręskite lygtį (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Išspręskite lygtį (x−2)4 +3 (x–2)2 −10=0.

61. Išspręskite x lygtį3 +3x2 =16x+48.

62. Išspręskite x lygtį3 +4x2 =4x+16.

63. Išspręskite x lygtį3 +6x2 =4x+24.

64. Išspręskite x lygtį3 +6x2 =9x+54.

65. Išspręskite x lygtį3 +3x2 =4x+12.

66. Išspręskite x lygtį3 +2x2 =9x+18.

67. Išspręskite x lygtį3 +7x2 =4x+28.

68. Išspręskite x lygtį3 +4x2 =9x+36.

69. Išspręskite x lygtį3 +5x2 =4x+20.

70. Išspręskite x lygtį3 +5x2 =9x+45.

71. Išspręskite x lygtį3 +3x2 −x−3=0.

72. Išspręskite x lygtį3 +4x2 −4x−16=0.

73. Išspręskite x lygtį3 +5x2 −x−5=0.

74. Išspręskite x lygtį3 +2x2 −x−2=0.

75. Išspręskite x lygtį3 +3x2 −4x−12=0.

76. Išspręskite x lygtį3 +2x2 −9x−18=0.

77. Išspręskite x lygtį3 +4x2 −x−4=0.

78. Išspręskite x lygtį3 +4x2 −9x−36=0.

79. Išspręskite x lygtį3 +5x2 −4x−20=0.
80. Išspręskite x lygtį3 +5x2 −9x−45=0.

81. Išspręskite x lygtį4 =(x–20)2 .

82. Išspręskite x lygtį4 =(2x−15)2 .

83. Išspręskite x lygtį4 =(3x−10)2 .

84. Išspręskite x lygtį4 =(4x−5)2 .

85. Išspręskite x lygtį4 =(x–12)2 .

86. Išspręskite x lygtį4 =(2x−8)2 .

87. Išspręskite x lygtį4 =(3x−4)2 .

88. Išspręskite x lygtį4 = (x–6)2 .

89. Išspręskite x lygtį4 =(2x−3)2 .

90. Išspręskite x lygtį4 =(x−2)2 .

91. Išspręskite lygtį

92. Išspręskite lygtį

93. Išspręskite lygtį

94. Išspręskite lygtį

95. Išspręskite lygtį

96. Išspręskite lygtį

97. Išspręskite lygtį

98. Išspręskite lygtį

99. Išspręskite lygtį

100. Išspręskite lygtį

101. Išspręskite lygtį.

102. Išspręskite lygtį

103. Išspręskite lygtį

104. Išspręskite lygtį

105. Išspręskite lygtį

106. Išspręskite lygtį

107. Išspręskite lygtį

108. Išspręskite lygtį

109. Išspręskite lygtį

110. Išspręskite lygtį

Mokytojas : Yurgenson Veronika Aleksandrovna

Klasė: 9

Tema: Algebra

Pamokos tema: Pamoka-pasiruošimas OGE 9 klasėje „Kvadratinės lygtys“.

Mokymosi ta tema etapas : pasiruošimas OGE.

Pamokos tipas: Žinių apibendrinimo ir sisteminimo pamoka

Tikslas:

Veikla: Studentų gebėjimų diegti reguliacinius veiklos metodus formavimas.

Informacinis: - kvadratinių lygčių sprendimo metodų kūrimas;

Ugdyti gebėjimą pasirinkti racionaliausią sprendimo būdą;

Kuriama: formuoti pagrindines mokinių kompetencijas: informacines (gebėjimas analizuoti informaciją, lyginti, daryti išvadas), problemines (gebėjimas kelti problemas ir panaudoti turimas žinias ieškant išeities iš situacijos); komunikabilumas (gebėjimas dirbti grupėse, gebėjimas išklausyti ir išgirsti kitus, priimti kitų nuomonę)

Užduotys mokytojui:

Prisidėti prie mokinių žinių apie kvadratinių lygčių sprendimą aktualizavimo;

Organizuoti edukacinę veiklą, siekiant išsiaiškinti kvadratinių lygčių sprendimo būdus;

Sudaryti sąlygas formuotis įgūdžiams ugdyti gebėjimą pasirinkti racionaliausią sprendimo būdą;

Sudaryti sąlygas formuotis reglamentuojančiam UUD: tikslų kėlimui, įsivertinimui ir savikontrolei, planavimui.

Technologija: Daugiapakopis išsilavinimas

Mokymo metodai: Vizualinis, žodinis, abipusio patikrinimo metodas, bendro optimalaus sprendimo paieškos metodas, laikinas darbas grupėse, probleminės situacijos kūrimas, reprodukcinis (instruktavimas, iliustravimas, aiškinimas, praktinis mokymas). Savikontrolės metodai.

Naudojamos organizavimo formos pažintinė veikla mokiniai:

Kolektyvinė darbo forma (frontalinė apklausa, darbas žodžiu), grupinis, individualus (savarankiškas darbas) Darbas poromis (abipusis tyrimas).

Įranga ir pagrindiniai informacijos šaltiniai:

Kompiuteris, projektorius, ekranas, pristatymas pamokai, tema "Kvadratinių lygčių sprendimo metodai".

Veiklos lapas, skirtas kontrolei ir savikontrolei.

Užduočių kortelės kelių lygių savarankiškam darbui

Pamokos technologinis žemėlapis:

Veikla

studentas

Organizacinis

Sveikiname studentus

Mokytojo sveikinimas

Pamokos tikslų ir uždavinių nustatymas. Motyvacija mokymosi veikla studentai

Baigiamajame atestavime dažnai būna užduočių, kai reikia mokėti išspręsti kvadratines lygtis.

Pamokos tikslo žinutė :

Šiandien pamokoje kartosime, apibendrinsime, pateiksime į sistemą tiriamus kvadratinių lygčių sprendimo tipus, metodus ir būdus.

Pagal savo darbo rezultatus, tai yra, pagal surinktų taškų skaičių, visi gaus balus.

Pamokos šūkis: „Galvojame, galvojame, dirbame ir padedame vieni kitiems“

(2 skaidrė ).

Klausyk mokytojų.

Žinių atnaujinimas.

Vaikinai, mes paprastai pradedame pamoką nuo namų darbų patikrinimo.

Kas pasakys, ką reikėjo pakartoti apie kvadratines lygtis?

Kas yra kvadratinės lygtys?

Kas jie tokie?

Kokius kvadratinių lygčių sprendimo būdus žinote?

Mokytojai atsako į klausimus ir atlieka savo žinių įsivertinimą.

Žinių apibendrinimas ir sisteminimas

1. Abipusė kontrolė.

Čia yra lygtys (3 skaidrė)

x 2 + 7 x – 18 = 0;

2 x 2 + 1 = 0;

x 2 –2 x + 9 = 0;

2 y 2 – 3m + 1 = 0;

2 y 2 = 1;

–2 x 2 – x + 1 = 0;

x 2 + 6 x = 0;

4x 2 =0;

– x 2 – 6 x=1

2 x+x 2 – 1=0

Ant stalo turite kortelę su klausimais, į kuriuos turite atsakyti (1 priedas).

(4 skaidrė ) Tikriname rezultatus, keičiamės kortelėmis su kaimynu.

Atsakyk klausimą

2. Frontalinis darbas su klase.

Ant(5 skaidrė) rašomos formulės su trūkstamais elementais. Klasės užduotis – išsiaiškinti, kokia tai formulė ir ko trūksta šios formulės įraše.

D = b ² – * a * .

D > 0 , reiškia * šaknį.

D * 0 , taigi 1 šaknis.

D * 0 , reiškia * šaknys.

Atsakymas į klausimus

teisingos žinios.

Išspręskite lygtis iš kortelės. Vienas iš grupės narių parodys sprendimą lentoje.

Palyginkite savo atsakymus su teisingais, už kiekvieną teisingą atsakymą – 1 balas

išspręsti lygtis,

Paaiškinkite sprendimą.

Frontalinis darbas su klase

Pasakykite man, ar galėtumėte iš karto, neatlikę skaičiavimų, atsakyti į mano klausimą: „Kokia yra kvadratinės lygties šaknų suma ir sandauga? (Vienas žmogus prie lentos užrašo Vietos teoremos formules).

(6 skaidrė)

Kitas uždavinys: žodžiu suraskite lygties šaknų sumą ir skirtumą pagal teoremą:

(atsakymai: 5 ir 6; 9 ir 20; -3 ir 2) Susipažinimas su kai kurių kvadratinių lygčių žodinio sprendimo recepcija.

Vietos teoremos radiniai platus pritaikymas ir formos lygtyseaX 2 + bx + c = 0.

Kai kurių savybių panaudojimas suteikia didelių pranašumų greitam atsakymo gavimui sprendžiant kvadratines lygtis.

Apsvarstykite šias savybes(7 skaidrė)

1) a + b+ c \u003d 0 x 1 = 1, x 2 = s/a.

5x 2 + 4x - 9 = 0; X 1 =1, x 2 = - 9/2.

2) a -b+ c = 0 x 1 = - 1, x 2 = - s/a.

Pavyzdžiui: 4x 2 + 11x + 7 = 0; X 1 = - 1, x 2 = - 7/4.

(8 skaidrė)

3) a į + nuo 0

Žodžiu išspręskite lygtį: x 2 + bx + ac = 0

Padalinkite jo šaknis iš a.

a) 2x 2 – 11x + 5 = 0.

Lygtį išsprendžiame žodžiu: x 2 – 11x + 10 = 0. Jo šaknys yra 1 ir 10. Padalinkite iš 2.

Tada x 1 = , x 2 = 5.

Atsakymas: ; 5.

(9 skaidrė)

c) 6x 2 –7x – 3 = 0

Lygtį išsprendžiame žodžiu: x 2 –7x – 18 = 0. Jo šaknys yra -2 ir 9. Padalinkite iš 6.

Tada x 1 = - , x 2 = .

Atsakymas: -; .

Jie atsako į klausimus. Užpildykite žinių spragas

Darbas kelių lygių grupėse

Priėmimas „Atitikimas“

Priėmimas „Pagauk klaidą“

Išspręskite lygtis naudodami šias savybes(10 skaidrė)

ašGrupė.

1) raskite lygties šaknų sumą

2x 2 – 3x + 1 = 0

2) Raskite lygties šaknų sandaugą

X 2 +9x +20 = 0

3) išspręskite lygtį

10x 2 – 8x – 2 = 0

IIGrupė.

1) raskite lygties šaknų sumą ir sandaugą

3x 2 – 8x + 5 = 0

Išspręskite lygtis

2)x 2 + 2x -24 = 0

3) 2 kartus 2 -7x +5 = 0

IIIGrupė

Išspręskite lygtis:

1)x 2 +5x-6=0

2) 5x 2 -7x+2=0

3) 100 kartų 2 -99x-199=0

išspręsti lygtis

Patikrinkite tirpalą.

Žinių koregavimas.

2. Koreliuokite kvadratines lygtis ir kaip jas išspręsti:

(11 skaidrė)

2x 2 – 3x + 11 = 0

7 x 2 = 8x

X 2 – 10x + 100 = 0

X 2 -5x -6 = 0

– 2x 2 + x +14 = 0

- faktorizavimas

- bendra šaknų formulė

- Vietos teorema

3. Raskite klaidų sprendžiant lygtis =

Greitai darbą atlikę vaikinai gali išspręsti papildomą užduotį(14 skaidrė), parašyta lentoje.

Užbaigus, atliekamas greitas patikrinimas.(15 skaidrė)

Dabar apskaičiuokite bendrą taškų skaičių ir įvertinkite save.(16 skaidrė)

30-24 taškai - rezultatas 5;

23-18 taškų - rezultatas 4;

12-17 taškų -. balas4

O visus mokytojos įvertina už aktyvumą, drąsą, užsispyrimą. Na, o jei kas nors šiandien nesugebėjo surinkti taškų už teigiamą įvertinimą, tada sėkmė jūsų vis dar laukia, ir kitą kartą ji tikrai bus su jumis.

išspręsti lygtis,

atlikti savęs vertinimą.

Atspindys.

Kas pasakys, ką šiandien kartojome pamokoje?

Ar jums patiko, kaip mes tai padarėme?

Tęskite frazes:

Dabar tikrai žinau...

Aš suprantu …

Aš išmokau …

Mano nuomonė …

Kiekvienas ant stalo turi spalvotas korteles.

Jei esate patenkintas ir patenkintas pamoka, pakelkite žalią kortelę.

Jei pamoka įdomi ir aktyviai dirbote, pakelkite – geltoną kortelę.

atlikti savęs vertinimą.

Namų darbai

(17 skaidrė) Išspręskite lygtis iš darbaknygės

Valstybinis galutinis sertifikatas

9 klasės absolventai.

A.V. Semenovas, A. S. Trepalinas, I. V. Jaščenka

pagal lygius

Pasirinkite užduotis pagal savo lygį

4 užduoties tema: „Įvairių tipų lygčių sprendimas“ analizė

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 9 klasei
Interaktyvus vadovas „Taisyklės ir pratimai algebroje“ 9 klasei
Multimedijos vadovėlis 9 klasei „Algebra per 10 minučių“

4 užduotis reikalauja gebėjimo išspręsti įvairių tipų lygtis. Vaikinai, turėtumėte gerai išmokti teisingo kvadratinių lygčių sprendimo metodus, trupmenines racionaliąsias lygtis, įprastas tiesines lygtis. Taip pat turėtumėte gerai atlikti operacijas su daugianariais: daugianario dauginimą ir padalijimą iš daugianario. Ar jums reikia galimybės pasirinkti lygties šaknis, esančias sprendimo srityje, ir nustatyti, kurias šaknis reikia atmesti ir ignoruoti?

Pamokos, padėsiančios pasiruošti šiai užduočiai:

1.Pagrindiniai tiesinių funkcijų apibrėžimai ir sprendimų pavyzdžiai.
2. Monomo samprata ir standartinė forma.
3. Polinomas, standartinė forma, redukcija, transformacija.
4. Skaitinių išraiškų pavyzdžiai. Algebrinės išraiškos su kintamaisiais ir veiksmai su jais.
5. Lygtys, lygčių sprendimo pavyzdžiai.
6. Kvadratinės lygtys. Vystymosi pamoka.
7. Trupmeninės-racionalinės lygtys. Vystymosi pamoka.
8. Kvadratinė šaknis. Vystymosi pamoka.

Pereikime prie sprendimų pavyzdžių analizės.

1 pavyzdys
Raskite lygties šaknis: $16x^2-1=0$.

Sprendimas.
Atkreipkite dėmesį, kad mums duota kvadratinė lygtis, bet ne visa. Koeficientas ties x yra lygus nuliui. Tada vadovausimės taisykle: „paliekame tas išraiškas, kuriose x yra kvadratas kairėje, ir visus skaičius perkeliame į dešinę“.
Paverskime savo išraišką: $16x^2=1$.

Padalinkite abi lygties puses iš x koeficiento kvadratu: $x^2=\frac(1)(16)$.

Norėdami išspręsti šią lygtį, turime žinoti kvadratinę šaknį. Išskirkime šaknį, nepamiršdami, kad turime atsižvelgti ir į neigiamą skaičių: $x=±\sqrt(\frac(1)(16))=±\frac(1)(4)=±0,25$.
Atsakymas: $x=±0,25 $.

2 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $x^2=18-7x$.

Sprendimas.
Visas išraiškas perkelkime į kairę lygties pusę: $x^2+7x-18=0$.

Įprastą kvadratinę lygtį galime išspręsti dviem būdais:
1. „ant kaktos“, skaičiuojant diskriminantą;
2. naudojant Viette teoremą.

1 būdas.
Kvadratinėje lygtyje surašykime visus koeficientus: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.

Raskite diskriminantą: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Mes nustatėme, kad lygtis turi 2 šaknis.
Mums belieka surasti šias šaknis:
$x_1=\frac(-b+\sqrt(D))(2a)=\frac(-7+11)(2)=2$.
$x_2=\frac(-b-\sqrt(D))(2a)=\frac(-7-11)(2)=-9$.

2 būdas.
Pasinaudokime Viette teorema. Viette teorema dažnai daug kartų supaprastina kvadratinių lygčių sprendimą, ypač kai koeficientas $a=1$. Šiuo atveju lygties šaknų sandauga yra lygi koeficientui $c$, o lygties šaknų suma atėmus koeficientą $b$:
$x_1+x_2=-\frac(b)(a)$.
$x_1*x_2=\frac(c)(a)$.

Mūsų pavyzdyje $c=-18$ ir $b=7$. Pradedame rūšiuoti skaičių poras, kurių sandauga lygi minus aštuoniolika. Pirmieji skaičiai, kurie ateina į galvą, yra devyni ir du. Atlikę keletą paprastų daugybos ir pridėjimo būdų, galime įsitikinti, kad šaknys $x=-9$ ir $x=2$ mums tinka.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac(c)(a)$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac(b)(a)$.
Atsakymas: $x=-9$, $x=2$.

3 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $x-\frac(x)(7)=\frac(15)(7)$.

Sprendimas.
Pateikiame paprastą tiesinę lygtį su trupmeniniais koeficientais. Norėdami išspręsti šią lygtį, turite teisingai elgtis su paprastosiomis trupmenomis.
Pirmiausia reikia paversti kairę lygties pusę, ją supaprastinant: $x-\frac(x)(7)=\frac(7x)(7)-\frac(x)(7)=\frac(6x) )(7)$.
Gavome lygtį: $\frac(6x)(7)=\frac(15)(7)$.
Padalinkite dešinę lygties pusę iš x koeficiento: $x=\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))$.

Apsvarstykite padalijimą atskirai: $\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))=\frac(15)(7)*\frac(7)(6)=\frac(15) )(6)=2\frak(3)(6)=2\frak(1)(2)=2,5$.

Gauta: $x=2,5 $.
Atsakymas: $x = 2,5 $.

4 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Sprendimas.
1 būdas.
Naudokime sumos kvadrato formulę: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Gauta: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Supaprastinkime savo lygtį:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
12 USD x = 12 USD.
$x = 1 $.

2 būdas.
Sprendžiant šią lygtį galime naudoti kvadratų skirtumo formulę. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x = 1 $.
Atsakymas: $x=1$.

5 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $\frac(9)(x-14)=\frac(14)(x-9)$.

Sprendimas.
Mums pateikiama trupmeninė racionali lygtis. Sprendžiant šias lygtis verta atsiminti, kad negalima dalyti iš nulio. Todėl lygties šaknis visada reikia patikrinti pakeičiant jas pradinės lygties vardikliu.
Naudokime kryžminio daugybos taisyklę: $9(x-9)=14(x-14)$.
Gavome tiesinę lygtį:
$ 9x-81 = 14x-196 $.
$9x-14x = -196+81$.
$-5x = -115 $.
$x = 23 $.
Patikrinę savo šaknį, įsitikiname, kad pradinės lygties trupmenų vardikliai neišnyksta.
Atsakymas: $x=23$.

6 pavyzdys
Raskite sistemą tenkinančius sprendimus: $\begin (atvejai) x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end (atvejai)$.

Sprendimas.
Pirma, kvadratinę lygtį išsprendžiame naudodami Viette teoremą. Mūsų šaknų produktas yra 22 USD, o suma - 9 USD.
Paimkime šaknis:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Gavome dvi šaknis: $x_1=-11$ ir $x_2=2$. Iš šių šaknų pirmoji šaknis tenkina nelygybę $x≤1$, ir tai bus atsakymas.
Atsakymas: $x = -11 $.

7 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $23x-60-x^2=0$.
Atsakyme nurodykite šaknų skirtumo modulį.

Sprendimas.
Padauginkite pradinę lygtį iš $-1$: $x^2-23x+60=0$.
Šioje formoje lygtis atrodo daug labiau pažįstama.
Pasinaudokime Viette teorema ir savo lygtį pateiksime kaip dviejų terminų sandaugą:
$(x-20)(x-3) = 0 $.
Gavome dvi šaknis $x_1=20$ ir $x_2=3$.
Raskime skirtumo modulį: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Atsakymas: 17.

8 pavyzdys
Kiek šaknų turi lygtis $x^6-x^2=0?$

Sprendimas.
Išimkime mažiausią laipsnį: $x^2(x^4-1)=0$.
Dabar naudojame kvadratų skirtumo formulę:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
Dar kartą panaudokime tą pačią formulę:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Ši lygtis yra lygiavertė lygčių rinkiniui: Mes nustatėme, kad ši lygtis turi tris šaknis.
Atsakymas: 3.

9 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $\frac((x-2)(2x+1))(2-x)=0$.
Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakydami užrašykite didesnę.

Sprendimas.
Pradinė lygtis yra lygi tokiam rinkiniui: Išspręskime kiekvieną lygtį: Kadangi trupmenos vardiklis negali būti lygus nuliui, mes neturime vieno sprendimo. Gavome vieną šaknį iš lygties $x=-0,5$.
Atsakymas: -0,5.

Aleksandras Šabalinas

Kvadratinės lygtys tiriamos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sudėtingo. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.

Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a , b ir c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.

Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, pažymime, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:

Neturi šaknų;
Jie turi tiksliai vieną šaknį;
Jie turi dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas tarp kvadratinių ir tiesinių lygčių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.

Diskriminuojantis

Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0. Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac .

Šią formulę reikia žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Kitas dalykas yra svarbus: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:

Jeigu D< 0, корней нет;
Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
Jei D > 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų ženklus, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis galvoja. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:

Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Rašome pirmosios lygties koeficientus ir randame diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Taigi, diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame taip pat:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė lygtis išlieka:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantas lygus nuliui – šaknis bus viena.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienai lygčiai buvo parašyti koeficientai. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus – bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.

Beje, jei „užpildysi ranką“, po kurio laiko nebereikės išrašyti visų koeficientų. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50-70 išspręstų lygčių – apskritai nelabai.

Kvadratinės lygties šaknys

Dabar pereikime prie sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:

Pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė

Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:

Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda, kai į formulę pakeičiami neigiami koeficientai. Čia vėlgi padės aukščiau aprašyta technika: pažvelkite į formulę pažodžiui, nudažykite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratykite klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:

x2 + 9x = 0;
x2 – 16 = 0.

Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi pristatykime naują koncepciją:

Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.

Žinoma, įmanomas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai yra lygūs nuliui: b \u003d c \u003d 0. Šiuo atveju lygtis yra ax 2 \u003d 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknis: x \u003d 0.

Panagrinėkime kitus atvejus. Tegu b \u003d 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 + c \u003d 0. Šiek tiek transformuokime ją:

Kadangi aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus, paskutinė lygybė turi prasmę tik tada, kai (-c / a ) ≥ 0. Išvada:

Jei nepilna kvadratinė lygtis formos ax 2 + c = 0 tenkina nelygybę (−c / a ) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
Jei (-c / a )< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminanto neprireikė - neišsamiose kvadratinėse lygtyse nėra sudėtingų skaičiavimų. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c / a ) ≥ 0. Pakanka išreikšti x 2 reikšmę ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius, bus dvi šaknys. Jei neigiamas, šaknų iš viso nebus.

Dabar panagrinėkime ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka daugianarį koeficientuoti:

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, mes išanalizuosime kelias iš šių lygčių:

Užduotis. Išspręskite kvadratines lygtis:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nėra šaknų, nes kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.