Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai Binarinio skirstinio dėsnis

Aptarnavimo užduotis. Internetinė skaičiuoklė naudojama atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo lentelei sudaryti - atliktų eksperimentų skaičiui ir apskaičiuoti visas serijos charakteristikas: matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį. Ataskaita su sprendimu surašoma Word formatu. 1 pavyzdys. Mestos trys monetos. Tikimybė, kad herbas iškris viename ritinyje, yra 0,5. Padarykite atsitiktinio dydžio X – nukritusių herbų skaičiaus – pasiskirstymo dėsnį.
Sprendimas.
Tikimybė, kad nė vienas herbas neiškrito: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Tikimybė, kad iškrito trys herbai: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis:

X0 1 2 3
P0,125 0,375 0,375 0,125
Patikrinkite: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

2 pavyzdys. Tikimybė vienam šauliui vienu šūviu pataikyti į taikinį pirmajam šauliui yra 0,8, antrajam šauliui - 0,85. Šauliai paleido vieną šūvį į taikinį. Darant prielaidą, kad pataikymas į taikinį atskiriems šauliams yra nepriklausomi įvykiai, raskite įvykio A tikimybę – lygiai vienas pataikymas į taikinį.
Sprendimas.
Apsvarstykite įvykį A – vienas smūgis į taikinį. Galimi variantaišio įvykio įvykis yra toks:

  1. Pirmas smūgis, antrasis šaulys nepataikė: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
  2. Pirmasis šaulys nepataikė, antrasis šaulys pataikė į taikinį: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
  3. Pirmasis ir antrasis šauliai savarankiškai pataikė į taikinį: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
Tada įvykio A tikimybė – lygiai vienas smūgis į taikinį, bus lygi: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Apibrėžimas.Sklaida (sklaidymas) Diskrečiasis atsitiktinis dydis vadinamas atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematiniu lūkesčiu:

Pavyzdys. Aukščiau pateiktame pavyzdyje randame

Atsitiktinio kintamojo matematinis lūkestis yra toks:

Galimos kvadratinio nuokrypio reikšmės:

; ;

Sklaida yra tokia:

Tačiau praktiškai toks dispersijos apskaičiavimo būdas yra nepatogus, nes dėl to reikia atlikti sudėtingus daugelio atsitiktinio dydžių verčių skaičiavimus. Todėl naudojamas kitas metodas.

Variacijos skaičiavimas

Teorema. Dispersija yra lygi skirtumui tarp atsitiktinio dydžio X kvadrato matematinio lūkesčio ir jo matematinio lūkesčio kvadrato:

Įrodymas. Atsižvelgiant į tai, kad matematinis lūkestis ir matematinio lūkesčio kvadratas yra pastovios reikšmės, galime rašyti:

Taikykime šią formulę aukščiau pateiktam pavyzdžiui:

X
x2
p 0,0778 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,0102

Dispersijos savybės

1) Sklaida pastovią vertę lygus nuliui:

2) Pastovus koeficientas gali būti paimtas iš dispersijos ženklo padalijus jį kvadratu:

.

3) Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi šių kintamųjų dispersijų sumai:

4) Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija yra lygi šių dydžių dispersijų sumai:

Šios lygybės galiojimas išplaukia iš 2 savybės.

Teorema. Įvykio A atvejų skaičiaus dispersija n nepriklausomų bandymų, kurių kiekviename įvykio tikimybė yra pastovi, yra lygi bandymų skaičiaus sandaugai iš įvykio tikimybės ir įvykio tikimybės. neįvyksta kiekviename tyrime:

Pavyzdys. Gamykla pagamina 96% pirmos klasės produktų ir 4% antros rūšies produkcijos. Atsitiktinai parenkama 1000 prekių. Leisti X- pirmos klasės produktų skaičius šiame pavyzdyje. Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, matematinį lūkestį ir dispersiją.

Taigi paskirstymo dėsnį galima laikyti dvinariu.

Pavyzdys. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją X– įvykio atvejų skaičius BET dviejuose nepriklausomuose bandymuose, jei šio įvykio tikimybė kiekviename bandyme yra vienoda ir žinoma, kad

Nes atsitiktinė vertė X paskirstytas pagal dvinario dėsnį, tada

Pavyzdys. Nepriklausomi testai atliekami su ta pačia įvykio tikimybe BET kiekviename teste. Raskite įvykio tikimybę BET jeigu trijuose nepriklausomuose bandymuose įvykio pasikartojimų skaičiaus dispersija yra 0,63.

Pagal dvinario dėsnio dispersijos formulę gauname:

;

Pavyzdys. Bandomas įrenginys, susidedantis iš keturių nepriklausomai veikiančių įrenginių. Kiekvieno įrenginio gedimo tikimybė yra atitinkamai vienoda ; ; . Raskite sugedusių įrenginių skaičiaus matematinį lūkestį ir dispersiją.

Atsižvelgdami į sugedusių įrenginių skaičių kaip atsitiktinį kintamąjį, matome, kad šis atsitiktinis kintamasis gali įgyti reikšmes 0, 1, 2, 3 arba 4.

Norint sudaryti šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, būtina nustatyti atitinkamas tikimybes. Priimkim.

1) Sugedo nė vienas įrenginys:

2) Vienas iš įrenginių sugedo.

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Atsitiktiniai kintamieji“.

Užduotis 1 . Loterijoje išleista 100 bilietų. Buvo žaidžiamas vienas 50 USD laimėjimas. ir dešimt laimėjimų po 10 USD. Raskite reikšmės X pasiskirstymo dėsnį – galimo pelno kainą.

Sprendimas. Galimos X reikšmės: x 1 = 0; x 2 = 10 ir x 3 = 50. Kadangi „tušti“ bilietai yra 89, tai p 1 = 0,89, tikimybė laimėti yra 10 c.u. (10 bilietų) – p 2 = 0,10 ir už laimėjimą 50 c.u. – p 3 = 0,01. Šiuo būdu:

0,89

0,10

0,01

Lengva valdyti: .

Užduotis 2. Tikimybė, kad pirkėjas iš anksto susipažino su prekės reklama, yra 0,6 (p = 0,6). Atrankinė reklamos kokybės kontrolė atliekama apklausiant pirkėjus prieš pirmąjį, iš anksto susipažinusį su reklama. Paskirstykite apklaustų pirkėjų skaičių.

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygą p = 0,6. Nuo: q=1 -p = 0,4. Pakeitę šias reikšmes, gauname: ir sudaryti paskirstymo seriją:

pi

0,24

Užduotis 3. Kompiuteris susideda iš trijų savarankiškai veikiančių elementų: sisteminio bloko, monitoriaus ir klaviatūros. Padidėjus įtampai vieną kartą, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra 0,1. Remdamiesi Bernulio skirstiniu, parenkite sugedusių elementų skaičiaus paskirstymo dėsnį per tinklo galios viršįtampią.

Sprendimas. Apsvarstykite Bernulli paskirstymas(arba binominis): tikimybė, kad į n testus, įvykis A pasirodys tiksliai k kartą: , arba:

q n

p n

AT grįžkime prie užduoties.

Galimos X reikšmės (gedimų skaičius):

x 0 =0 – nė vienas elementas nepavyko;

x 1 =1 - vieno elemento gedimas;

x 2 =2 - dviejų elementų gedimas;

x 3 =3 – visų elementų gedimas.

Kadangi pagal sąlygą p = 0,1, tai q = 1 – p = 0,9. Naudodami Bernulio formulę gauname

, ,

, .

Kontrolė: .

Todėl norimas paskirstymo įstatymas:

0,729

0,243

0,027

0,001

4 užduotis. Pagaminta 5000 šovinių. Tikimybė, kad viena kasetė yra sugedusi . Kokia tikimybė, kad visoje partijoje bus lygiai 3 sugedusios kasetės?

Sprendimas. Taikoma Puasono pasiskirstymas: šis skirstinys naudojamas nustatyti tikimybę, kad, atsižvelgiant į labai didelę

bandymų (masinių bandymų), kurių kiekviename įvykio A tikimybė yra labai maža, įvykis A įvyks k kartų: , kur.

Čia n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Randame , tada norimą tikimybę: .

5 užduotis. Šaudant prieš pirmąjį smūgį su tikimybe pataikyti p = 0,6 šūviui, reikia rasti tikimybę, kad pataikymas įvyks trečiuoju šūviu.

Sprendimas. Taikykime geometrinį skirstinį: padarykime nepriklausomus bandymus, kurių kiekviename įvykis A turi tikimybę, kad įvyks p (o neįvyks q = 1 - p). Bandymai baigiasi, kai tik įvyksta įvykis A.

Esant tokioms sąlygoms, tikimybė, kad įvykis A įvyks atliekant k-tą testą, nustatoma pagal formulę: . Čia p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Todėl .

6 užduotis. Pateikiame atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį:

Raskite matematinį lūkestį.

Sprendimas. .

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė yra atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė.

7 užduotis. Raskite atsitiktinio dydžio X dispersiją pagal šį skirstymo dėsnį:

Sprendimas. Čia .

X kvadrato pasiskirstymo dėsnis 2 :

X 2

Būtinas nuokrypis: .

Dispersija apibūdina atsitiktinio dydžio nukrypimo (sklaidos) laipsnį nuo jo matematinio lūkesčio.

8 užduotis. Tegu atsitiktinį kintamąjį pateikia skirstinys:

10m

Raskite jo skaitines charakteristikas.

Sprendimas: m, m 2 ,

M 2 , m.

Apie atsitiktinį dydį X galima sakyti arba - jo matematinė lūkestis yra 6,4 m, o dispersija 13,04 m 2 , arba - jo matematinė lūkestis yra 6,4 m su nuokrypiu m. Antroji formuluotė akivaizdžiai aiškesnė.

Užduotis 9. Atsitiktinė vertė X pateikta paskirstymo funkcija:
.

Raskite tikimybę, kad atlikus testą reikšmė X įgis intervale esančią reikšmę .

Sprendimas. Tikimybė, kad X paims reikšmę iš tam tikro intervalo, lygi integralinės funkcijos prieaugiui šiame intervale, t.y. . Mūsų atveju ir todėl

.

Užduotis 10. Diskretus atsitiktinis dydis X pagal platinimo įstatymą:

Raskite paskirstymo funkciją F(x ) ir sudaryti jo grafiką.

Sprendimas. Kadangi paskirstymo funkcija

dėl , tada

adresu ;

adresu ;

adresu ;

adresu ;

Atitinkama diagrama:


11 užduotis. Nuolatinis atsitiktinis dydis X pateikiama pagal diferencinio paskirstymo funkciją: .

Raskite smūgio tikimybę X į intervalą

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad tai yra ypatingas eksponentinės paskirstymo įstatymo atvejis.

Naudokime formulę: .

Užduotis 12. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas, nurodytas skirstymo dėsniu:

–5

X 2 :

x2

. , kur yra Laplaso funkcija.

Šios funkcijos reikšmės randamos naudojant lentelę.

Mūsų atveju:.

Pagal lentelę randame:, todėl:

Atsitiktinis kintamasis Vadinamas dydis, kuris dėl bandymų, atliktų tomis pačiomis sąlygomis, įgauna skirtingas, paprastai kalbant, reikšmes, priklausomai nuo atsitiktinių veiksnių, į kuriuos neatsižvelgiama. Atsitiktinių dydžių pavyzdžiai: ant kauliuko numestų taškų skaičius, sugedusių gaminių skaičius partijoje, sviedinio smūgio taško nuokrypis nuo taikinio, prietaiso veikimo laikas ir kt. Atskirkite diskrečiuosius ir nuolatinius atsitiktinius dydžius. . Diskretus Vadinamas atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės sudaro skaičiuojamą aibę, baigtinę arba begalinę (t. y. tokią aibę, kurios elementus galima sunumeruoti).

Nuolatinis Vadinamas atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės nuolat užpildo kokį nors baigtinį arba begalinį skaitinės ašies intervalą. Nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių skaičius visada yra begalinis.

Atsitiktiniai kintamieji bus žymimi lotyniškos abėcėlės pabaigos didžiosiomis raidėmis: X, Y, . ; atsitiktinio dydžio reikšmės - mažosiomis raidėmis: X, y. . Šiuo būdu, XŽymi visą atsitiktinio dydžio galimų reikšmių rinkinį ir X - Kažkokia specifinė prasmė.

paskirstymo įstatymas Diskretusis atsitiktinis dydis yra bet kokia forma pateikta galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų tikimybių atitikimas.

Pateikiame galimas atsitiktinio dydžio reikšmes X Yra . Testo rezultate atsitiktinis dydis įgis vieną iš šių reikšmių, t.y. Įvyks vienas įvykis iš visos poromis nesuderinamų įvykių grupės.

Taip pat žinokite šių įvykių tikimybes:

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X Jis gali būti parašytas lentelės forma, vadinama Netoli platinimo Diskretus atsitiktinis dydis:

atsitiktiniai dydžiai. Diskretus atsitiktinis dydis.
Tikėtina vertė

Antrasis skyrius apie tikimybių teorija skirta atsitiktiniai dydžiai , kuris nepastebimai lydėjo mus pažodžiui kiekviename straipsnyje šia tema. Ir atėjo laikas aiškiai suformuluoti, kas tai yra:

Atsitiktinis paskambino vertė, kurios atlikus testą imsis vienas ir vienintelis skaitinė reikšmė, kuri priklauso nuo atsitiktinių veiksnių ir iš anksto nenuspėjama.

Atsitiktiniai kintamieji paprastai yra paskirti per * , ir jų reikšmės atitinkamomis mažomis raidėmis su apatiniais indeksais, pavyzdžiui, .

* Kartais vartojamos ir graikiškos raidės

Mes susidūrėme su pavyzdžiu pirmoji tikimybių teorijos pamoka, kur iš tikrųjų atsižvelgėme į šį atsitiktinį kintamąjį:

- taškų, kurie iškris išmetus kauliuką, skaičius.

Šio testo rezultatas bus vienas ir vienintelis linija, kuri nenuspėjama (gudrybės neatsižvelgiama); šiuo atveju atsitiktinis kintamasis gali turėti vieną iš šių reikšmių:

- berniukų skaičius tarp 10 naujagimių.

Visiškai aišku, kad šis skaičius iš anksto nėra žinomas, o per ateinančius dešimt vaikų gali gimti:

Arba berniukai - vienas ir vienintelis iš išvardytų variantų.

O norint palaikyti formą, šiek tiek fizinio lavinimo:

- šuolio į tolį nuotolis (kai kuriuose vienetuose).

Net sporto meistras to nesugeba nuspėti 🙂

Tačiau kokios jūsų hipotezės?

Kai tik realiųjų skaičių rinkinys begalinis, tada atsitiktinis dydis gali užimti be galo daug vertės iš tam tikro intervalo. Ir tai yra esminis jos skirtumas nuo ankstesnių pavyzdžių.

Šiuo būdu, atsitiktinius dydžius patartina suskirstyti į 2 dideles grupes:

1) Diskretus (su pertrūkiais) atsitiktinis kintamasis – paima atskirai paimtas, izoliuotas reikšmes. Šių verčių skaičius tikrai arba begalinis, bet suskaičiuojamas.

... buvo sudaryti nesuprantami terminai? Skubiai pakartokite algebros pagrindai!

2) Nepertraukiamas atsitiktinis dydis – ima visi skaitinės reikšmės iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo.

Pastaba : mokomojoje literatūroje populiarios santrumpos DSV ir NSV

Pirma, išanalizuokime diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį, tada - tęstinis.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

- tai yra atitikties tarp galimų šio dydžio verčių ir jų tikimybių. Dažniausiai įstatymas rašomas lentelėje:

Terminas yra gana dažnas eilė paskirstymas, bet kai kuriose situacijose tai skamba dviprasmiškai, todėl aš laikysiuosi „įstatymo“.

Ir dabar labai svarbus punktas : kadangi atsitiktinis dydis būtinai priims viena iš vertybių, tada susiformuoja atitinkami įvykiai pilna grupė o jų atsiradimo tikimybių suma lygi vienetui:

arba, jei parašyta sulankstyta:

Taigi, pavyzdžiui, taškų tikimybių pasiskirstymo ant kauliuko dėsnis turi tokią formą:

Jums gali susidaryti įspūdis, kad atskiras atsitiktinis kintamasis gali įgyti tik „geras“ sveikųjų skaičių reikšmes. Išsklaidykime iliuziją – jos gali būti bet kokios:

Kai kuriuose žaidimuose galioja toks išmokėjimo paskirstymo įstatymas:

…turbūt apie tokias užduotis svajojote jau seniai 🙂 Išduosiu paslaptį - aš taip pat. Ypač baigus darbą lauko teorija.

Sprendimas: kadangi atsitiktinis kintamasis gali turėti tik vieną iš trijų reikšmių, susidaro atitinkami įvykiai pilna grupė, tai reiškia, kad jų tikimybių suma yra lygi vienetui:

Atskleidžiame „partizaną“:

– taigi, tikimybė laimėti sutartinius vienetus yra 0,4.

Kontrolė: ką reikia įsitikinti.

Atsakymas:

Neretai pasitaiko atvejų, kai platinimo įstatymą reikia sudaryti savarankiškai. Šiam naudojimui klasikinis tikimybės apibrėžimas, įvykių tikimybių daugybos / sudėjimo teoremos ir kiti traškučiai tervera:

Dėžutėje yra 50 loterijos bilietų, iš kurių 12 laimi, o 2 iš jų laimi po 1000 rublių, o likusieji – po 100 rublių. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį - laimėjimo dydį, jei iš dėžutės atsitiktinai ištrauktas vienas bilietas.

Sprendimas: kaip pastebėjote, įprasta įterpti atsitiktinio dydžio reikšmes Didėjančia tvarka. Todėl pradedame nuo mažiausių laimėjimų, o būtent nuo rublių.

Iš viso tokių bilietų yra 50 - 12 = 38, o pagal klasikinis apibrėžimas:
yra tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas bilietas nelaimės.

Likę atvejai yra paprasti. Tikimybė laimėti rublių yra:

Ir už :

Tikrinama: - ir tai ypač malonus tokių užduočių momentas!

Atsakymas: reikalingas išmokėjimo paskirstymo įstatymas:

Ši užduotis nepriklausomam sprendimui:

Tikimybė, kad šaulys pataikys į taikinį, yra . Sudarykite atsitiktinio dydžio paskirstymo dėsnį – pataikymų skaičių po 2 šūvių.

... Žinojau, kad tu jo pasiilgai 🙂 Prisimename daugybos ir sudėjimo teoremos. Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Pasiskirstymo dėsnis visiškai aprašo atsitiktinį kintamąjį, tačiau praktiškai naudinga (o kartais ir naudingiau) žinoti tik dalį jo. skaitinės charakteristikos .

Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis

Paprastais žodžiais tariant, tai vidutinė numatoma vertė su pakartotiniu bandymu. Leiskite atsitiktiniam dydžiui atitinkamai gauti reikšmes su tikimybėmis. Tada šio atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis yra lygi produktų suma visos jo reikšmės pagal atitinkamas tikimybes:

arba sulankstyta forma:

Apskaičiuokime, pavyzdžiui, matematinį atsitiktinio dydžio lūkesčius – ant kauliuko numestų taškų skaičių:

Kokia tikimybinė gauto rezultato reikšmė? Jei meti kauliuką pakankamai kartų, tada reiškia nukritę taškai bus artimi 3,5 – ir kuo daugiau testų atliksite, tuo arčiau. Tiesą sakant, aš jau išsamiai kalbėjau apie šį poveikį pamokoje apie statistinė tikimybė.

Dabar prisiminkime savo hipotetinį žaidimą:

Kyla klausimas: ar net apsimoka žaisti šį žaidimą? ... kas turi įspūdžių? Taigi jūs negalite sakyti „neatsargiai“! Tačiau į šį klausimą galima nesunkiai atsakyti apskaičiavus matematinį lūkestį, iš esmės - svertinis vidurkis tikimybė laimėti:

Taigi, matematinis šio žaidimo lūkestis pralaimi.

Netikėk įspūdžiais – pasitikėk skaičiais!

Taip, čia galima laimėti 10 ar net 20-30 kartų iš eilės, bet ilgainiui neišvengiamai būsime sužlugdyti. Ir tokių žaidimų nepatarčiau žaisti 🙂 Na, gal tik pramogai.

Iš viso to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad matematinis lūkestis NĖRA ATSITIKTINIS dydis.

Kūrybinė užduotis savarankiškam tyrimui:

Ponas X žaidžia europietišką ruletę pagal tokią sistemą: nuolat stato 100 rublių ant raudonos spalvos. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį – jo atsipirkimą. Apskaičiuokite matematinį laimėjimo tikėjimą ir suapvalinkite jį iki kapeikų. Kaip vidutinis ar žaidėjas pralaimi už kiekvieną šimtą statymų?

Nuoroda : Europietiškoje ruletėje yra 18 raudonų, 18 juodų ir 1 žalias sektorius („nulis“). Iškritus „raudonai“, žaidėjui mokamas dvigubas statymas, kitu atveju jis patenka į kazino pajamas.

Yra daugybė kitų ruletės sistemų, kurioms galite sukurti savo tikimybių lenteles. Bet tai yra atvejis, kai mums nereikia jokių paskirstymo dėsnių ir lentelių, nes yra tikrai nustatyta, kad žaidėjo matematiniai lūkesčiai bus lygiai tokie patys. Keičiasi tik iš sistemos į sistemą dispersija, apie kurią sužinosime 2 pamokos dalyje.

Tačiau prieš tai bus naudinga ištiesti pirštus ant skaičiuoklės klavišų:

Atsitiktinis dydis pateikiamas pagal savo tikimybių pasiskirstymo dėsnį:

Sužinokite, ar tai žinoma. Paleiskite patikrinimą.

Tada pereiname prie studijų diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija ir jei įmanoma, DABAR!!- kad neprarastų temos gijos.

Sprendimai ir atsakymai:

3 pavyzdys Sprendimas: pagal sąlygą - tikimybė pataikyti į taikinį. Tada:
yra praleidimo tikimybė.

Padarykime – smūgių pasiskirstymo dviem šūviais dėsnį:

– nė vieno smūgio. Autorius nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema:

- vienas smūgis. Autorius nesuderinamų tikimybių sudėjimo ir nepriklausomų įvykių daugybos teoremos:

- du smūgiai. Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

Patikrinkite: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Atsakymas :

Pastaba : buvo galima naudoti pavadinimus - tai nėra svarbu.

4 pavyzdys Sprendimas: žaidėjas laimi 100 rublių 18 atvejų iš 37, todėl jo laimėjimų paskirstymo įstatymas turi tokią formą:

Apskaičiuokime matematinį lūkestį:

Taigi už kiekvieną šimtą lažybų žaidėjas praranda vidutiniškai 2,7 rublio.

5 pavyzdys Sprendimas: pagal matematinio lūkesčio apibrėžimą:

Pakeiskime dalis ir supaprastinkime:

taigi:

Patikrinkime:

, kuris turėjo būti patikrintas.

Atsakymas :

(Eiti į pagrindinį puslapį)

Kokybiškas darbas be plagiato – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai

Atsitiktinis kintamasis vadinamas kintamuoju, kuris dėl kiekvieno testo įgauna vieną anksčiau nežinomą reikšmę, priklausomai nuo atsitiktinių priežasčių. Atsitiktiniai kintamieji žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Atsitiktiniai dydžiai pagal savo tipą gali būti diskretus ir tęstinis.

Diskretus atsitiktinis dydis- tai toks atsitiktinis dydis, kurio reikšmės gali būti ne daugiau kaip skaičiuojamos, tai yra, baigtinės arba skaičiuojamos. Suskaičiuojamumas reiškia, kad atsitiktinio dydžio reikšmes galima suskaičiuoti.

1 pavyzdys . Pateiksime diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžių:

a) smūgių į taikinį skaičius $n$ šūviais, čia galimos reikšmės yra $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) metant monetą iškritusių herbų skaičius, čia galimos vertės yra $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) į laivą atplaukusių laivų skaičius (suskaičiuojamas verčių rinkinys).

d) skambučių, gaunamų į stotelę, skaičius (skaičiuojamas reikšmių rinkinys).

1. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis.

Diskretus atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti reikšmes $x_1,\dots ,\ x_n$ su tikimybėmis $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Šių verčių ir jų tikimybių atitikimas vadinamas diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Paprastai šis atitikimas nurodomas naudojant lentelę, kurios pirmoje eilutėje nurodomos $x_1,\dots ,\ x_n$ reikšmės, o antroje eilutėje šias reikšmes atitinkančios tikimybės yra $ p_1,\taškai ,\ p_n$.

$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \taškai & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \taškai & p_n \\
\hline
\end$

2 pavyzdys . Tegul atsitiktinis dydis $X$ yra metamų taškų skaičius, kai metamas kauliukas. Toks atsitiktinis dydis $X$ gali turėti šias reikšmes $1,\2,\3,\4,\5,\6$. Visų šių verčių tikimybė yra lygi $ 1/6 $. Tada atsitiktinio dydžio $X$ tikimybių pasiskirstymo dėsnis:

$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

komentuoti. Kadangi įvykiai $1,\ 2,\ \taškai ,\ 6$ sudaro visą įvykių grupę diskretinio atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnyje, tikimybių suma turi būti lygi vienetui, t.y $\sum

2. Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis.

Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis nurodo jo „centrinę“ reikšmę. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui matematinė lūkestis apskaičiuojamas kaip reikšmių $x_1,\dots ,\ x_n$ ir šias reikšmes atitinkančių tikimybių $p_1,\taškai ,\ p_n$ sandaugų suma, t.y.: $M\left(X\right)=\sum ^n_ $. Anglų literatūroje naudojamas kitas žymėjimas $E\left(X\right)$.

Laukimo savybės$M\kairė(X\dešinė)$:

  1. $M\left(X\right)$ yra tarp mažiausios ir didžiausios atsitiktinio dydžio $X$ reikšmių.
  2. Matematinis konstantos lūkestis yra lygus pačiai konstantai, t.y. $M\left(C\right)=C$.
  3. Pastovų koeficientą galima išimti iš lūkesčio ženklo: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
  4. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
  5. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3 pavyzdys . Iš pavyzdžio $2$ suraskime atsitiktinio dydžio $X$ matematinį tikėjimą.

Galime pastebėti, kad $M\left(X\right)$ yra tarp mažiausios ($1$) ir didžiausios ($6$) atsitiktinio kintamojo $X$ reikšmių.

4 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ matematinis lūkestis yra lygus $M\left(X\right)=2$. Raskite atsitiktinio dydžio $3X+5$ matematinį lūkestį.

Naudodami aukščiau pateiktas ypatybes gauname $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.

5 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ matematinis lūkestis yra lygus $M\left(X\right)=4$. Raskite atsitiktinio dydžio $2X-9$ matematinį lūkestį.

Naudodami aukščiau pateiktas ypatybes gauname $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio sklaida.

Galimos atsitiktinių dydžių reikšmės su vienodais matematiniais lūkesčiais gali skirtingai išsibarstyti aplink jų vidutines vertes. Pavyzdžiui, dviejose mokinių grupėse tikimybių teorijos egzamino balų vidurkis pasirodė 4, tačiau vienoje grupėje visi pasirodė gerai, o kitoje – tik C mokiniai ir puikūs mokiniai. Todėl reikia tokios atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos, kuri parodytų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo matematinį lūkestį. Ši savybė yra dispersija.

Diskretinio atsitiktinio dydžio sklaida$X$ yra:

Anglų literatūroje naudojamas žymėjimas $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Labai dažnai dispersija $D\left(X\right)$ apskaičiuojama pagal formulę $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Dispersijos savybės$D\kairė(X\dešinė)$:

  1. Sklaida visada yra didesnė arba lygi nuliui, t.y. $D\left(X\right)\ge 0$.
  2. Sklaida nuo konstantos lygi nuliui, t.y. $D\left(C\right)=0$.
  3. Pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, jei jis yra kvadratas, t.y. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
  4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
  5. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

6 pavyzdys . Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio $X$ dispersiją iš pavyzdžio $2$.

7 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ dispersija yra lygi $D\left(X\right)=2$. Raskite atsitiktinio dydžio $4X+1$ dispersiją.

Naudodami aukščiau pateiktas savybes randame $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2 = 32$.

8 pavyzdys . Yra žinoma, kad $X$ dispersija yra lygi $D\left(X\right)=3$. Raskite atsitiktinio dydžio $3-2X$ dispersiją.

Naudodami aukščiau pateiktas savybes randame $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3 = 12$.

4. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija.

Diskretaus atsitiktinio dydžio vaizdavimo skirstinio eilutės forma metodas nėra vienintelis, o svarbiausia, jis nėra universalus, nes nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio negalima nurodyti naudojant skirstinių eilutes. Yra ir kitas atsitiktinio dydžio atvaizdavimo būdas – pasiskirstymo funkcija.

paskirstymo funkcija atsitiktinis kintamasis $X$ yra funkcija $F\left(x\right)$, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis mažesnę reikšmę nei kokia nors fiksuota reikšmė $x$, t.y. $F\left(x\ dešinė)$ )=P\kairė(X 6$, tada $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left( X=3 \dešinė)+P\kairė(X=4\dešinė)+P\kairė (X=5\dešinė)+P\kairė (X=6\dešinė)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Paskirstymo funkcijos $F\left(x\right)$ grafikas:

Pagrindiniai paskirstymo dėsniai

1. Binominio skirstinio dėsnis.

Binominio skirstinio dėsnis apibūdina įvykio A m pasireiškimo tikimybę per n nepriklausomų bandymų, su sąlyga, kad įvykio A pasireiškimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi.

Pavyzdžiui, parduotuvės pardavimo skyrius Buitinė technika sulaukia vidutiniškai vieno televizorių pirkimo užsakymo iš 10 skambučių. Parašykite tikimybių pasiskirstymo dėsnį perkant m televizorių. Sukurkite tikimybių skirstinio daugiakampį.

Lentelėje m – įmonės gautų užsakymų televizoriui įsigyti skaičius. C n m – m televizorių kombinacijų skaičius n, p – įvykio A atsiradimo tikimybė, t.y. užsakant televizorių, q – tikimybė, kad įvykis A neįvyks, t.y. neužsisakius televizoriaus, P m,n – tikimybė užsakyti m televizorių iš n. 1 paveiksle parodytas tikimybių skirstinio daugiakampis.

2.Geometrinis skirstinys.

Atsitiktinių dydžių geometrinis skirstinys turi tokią formą:

P m – įvykio A tikimybė bandymo numeriu m.
p – įvykio A tikimybė viename bandyme.
q = 1 - p

Pavyzdys. Buitinės technikos remonto įmonė gavo 10 pakaitinių vienetų partiją už Skalbimo mašinos. Pasitaiko atvejų, kai partijoje yra 1 sugedęs blokas. Tikrinimas atliekamas tol, kol randamas sugedęs blokas. Būtina parengti patikrintų blokų skaičiaus paskirstymo įstatymą. Tikimybė, kad blokas gali būti sugedęs, yra 0,1. Sukurkite tikimybių skirstinio daugiakampį.

Iš lentelės matyti, kad padidėjus skaičiui m, mažėja tikimybė, kad bus aptiktas sugedęs blokas. Paskutinė eilutė (m=10) sujungia dvi tikimybes: 1 - kad dešimtasis blokas pasirodė sugedęs - 0,038742049, 2 - kad visi patikrinti blokai pasirodė tinkami naudoti - 0,34867844. Kadangi bloko sugedimo tikimybė yra santykinai maža (p=0,1), paskutinio įvykio P m tikimybė (10 patikrintų blokų) yra gana didelė. 2 pav.

3. Hipergeometrinis skirstinys.

Atsitiktinio dydžio hipergeometrinis pasiskirstymas turi tokią formą:

Pavyzdžiui, sudaryti 7 atspėtų skaičių iš 49 pasiskirstymo dėsnį. Šiame pavyzdyje buvo pašalinti bendri skaičiai N=49, n=7 skaičiai, M – bendri skaičiai, turintys tam tikrą savybę, t.y. teisingai atspėti skaičiai, m yra teisingai atspėtų skaičių tarp atimtų skaičių.

Lentelėje matyti, kad tikimybė atspėti vieną skaičių m=1 yra didesnė nei tada, kai m=0. Tačiau tada tikimybė pradeda sparčiai mažėti. Taigi tikimybė atspėti 4 skaičius jau yra mažesnė nei 0,005, o 5 yra nereikšminga.

4. Puasono pasiskirstymo dėsnis.

Atsitiktinis kintamasis X turi Puasono skirstinį, jei jo pasiskirstymo dėsnis yra tokios formos:

Np = konst
n yra bandymų skaičius iki begalybės
p yra įvykio tikimybė, linkusi į nulį
m yra įvykio A atvejų skaičius

Pavyzdžiui, per dieną televizijos kompanija vidutiniškai sulaukia apie 100 skambučių. A prekės ženklo televizoriaus užsakymo tikimybė yra 0,08; B – 0,06 ir C – 0,04. Sudaryti televizorių pirkimo užsakymų paskirstymo įstatymą A, B klasės ir C. Sukurkite tikimybių skirstinio daugiakampį.

Iš sąlygos turime: m=100, ? 1 = 8, ? 2 = 6, ? 3 = 4 (?10)

(lentelė nepilna)

Jei n yra pakankamai didelis, kad eitų į begalybę, o p eina į nulį, kad sandauga np eitų į pastovų skaičių, tai šis dėsnis yra binominio skirstinio dėsnio aproksimacija. Iš grafiko matyti, kad kuo didesnė tikimybė p, tuo kreivė yra arčiau m ašies, t.y. švelnesnis. (4 pav.)

Pažymėtina, kad dvinario, geometrinio, hipergeometrinio ir Puasono skirstinio dėsniai išreiškia diskretinio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymą.

5. Vienodo paskirstymo dėsnis.

Jei tikimybės tankis? (x) yra pastovi tam tikro intervalo reikšmė, tada pasiskirstymo dėsnis vadinamas vienodu. 5 paveiksle pavaizduoti tolygaus skirstinio dėsnio tikimybių pasiskirstymo funkcijos ir tikimybių tankio grafikai.

6. Normalaus skirstinio dėsnis (Gauso dėsnis).

Tarp nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnių labiausiai paplitęs yra normalus įstatymas paskirstymas. Atsitiktinis dydis pasiskirsto pagal normalųjį pasiskirstymo dėsnį, jei jo tikimybės tankis turi tokią formą:

kur
a yra atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis
? — standartinis nuokrypis

Atsitiktinio dydžio tikimybės tankio grafikas su normaliojo skirstinio dėsniu yra simetriškas tiesės x=a atžvilgiu, t.y. x lygus matematiniam lūkesčiui. Taigi, jei x = a, tada kreivės maksimumas yra lygus:

Pasikeitus matematinio lūkesčio vertei, kreivė pasislinks išilgai Ox ašies. Grafike (6 pav.) matyti, kad ties x=3 kreivė turi maksimumą, nes matematinis lūkestis yra 3. Jei matematinis lūkestis turi skirtingą reikšmę, pavyzdžiui, a=6, tai kreivė turės maksimumą ties x=6. Kalbant apie standartinį nuokrypį, kaip matote iš grafiko, kuo didesnis standartinis nuokrypis, tuo mažesnė maksimali atsitiktinio dydžio tikimybės tankio reikšmė.

Funkcija, išreiškianti atsitiktinio dydžio pasiskirstymą intervale (-?, x) ir turinti normalųjį pasiskirstymo dėsnį, išreiškiama Laplaso funkcija pagal šią formulę:

Tie. atsitiktinio dydžio X tikimybė susideda iš dviejų dalių: tikimybės, kai x įgyja reikšmes nuo minus begalybės iki a, lygi 0,5, o antroji dalis yra nuo a iki x. (7 pav.)

Mokymasis kartu

Naudinga medžiaga studentams, diplominiai ir kursiniai darbai pagal užsakymą

Pamoka: diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra galimų verčių ir jų tikimybių atitikimas. Jis gali būti nurodytas lentelėse, grafiškai ir analitiškai.

Šioje pamokoje aptariama, kas yra atsitiktinis dydis.

Taikant lentelių nustatymo būdą, pirmoje lentelės eilutėje pateikiamos galimos reikšmės, o antroje – jų tikimybės, t.

Šis dydis vadinamas paskirstymo eilute. diskrečiųjų atsitiktinių dydžių.

X=x1, X=x2, X=xn sudaro pilną grupę, nes viename bandyme atsitiktinis kintamasis turės vieną ir tik vieną galimą reikšmę. Todėl jų tikimybių suma lygi vienetui, tai yra p1 + p2 + pn = 1 arba

Jei X reikšmių rinkinys yra begalinis, tada 1 pavyzdys. Pinigų loterijoje išleidžiama 100 bilietų. Žaidžiamas vienas 1000 rublių laimėjimas ir 10 iš 100 rublių. Raskite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – vieno loterijos bilieto savininko galimo laimėjimo kainą.

Norimas paskirstymo įstatymas turi tokią formą:

Kontrolė; 0,01+0,1+0,89=1.
Taikant grafinį pasiskirstymo dėsnio nustatymo metodą, taškai statomi koordinačių plokštumoje (Xi: Pi), tada jie sujungiami tiesiomis atkarpomis. Gauta trūkinė linija vadinama paskirstymo daugiakampis. Pavyzdžiui, 1, paskirstymo daugiakampis parodytas 1 paveiksle.

Analitiniame pasiskirstymo dėsnio nustatymo metode nurodoma formulė, susiejanti atsitiktinio dydžio tikimybes su galimomis jo reikšmėmis.

Diskrečiųjų skirstinių pavyzdžiai

Binominis skirstinys

Padaryti n bandymų, kurių kiekviename įvykis A įvyksta su pastovia tikimybe p, todėl nevyksta su pastovia tikimybe q = 1- p. Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X-įvykio A atvejų skaičius šiuose n bandymų. Galimos X reikšmės yra x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Šių galimų tikimybių

Diskrečiųjų atsitiktinių kintamųjų pasiskirstymo dėsnis vadinamas Windows XP Word 2003 Excel 2003 Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis yra bet koks ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinių dydžių dydžių. kintamasis ir […]

  • Organizacija LLC "BUSTO IR STATYBOS EXPERTIZA" Įtraukta į Smulkaus ir vidutinio verslo registrą: nuo 2016-01-08 kaip mikroįmonė Juridinis adresas: 150047, JAROSLAVSKAJOS REGIONAS, YAROSLAVL G, BELINSKOGO 29 UL,, OKFS: 16 – OKOGU privati ​​nuosavybė: 4210014 – įsteigtos organizacijos […]
  • Pensija antros grupės neįgaliesiems 2018 m. Rusijos Federacijoje Bet kokios formos neįgalumo priskyrimas Rusijos Federacija atsiranda tik dėl medicininių ir socialinių rodiklių. Antros kategorijos invalidumas priskiriamas asmenims, kurie laikomi neįgaliais, tačiau jiems nereikia nuolatinės priežiūros. Tokie piliečiai turi teisę gauti […]
  • Monogeninis požymių paveldėjimas. Autosominis ir su lytimi susijęs paveldėjimas Kadangi organizmo kariotipas yra diploidinis chromosomų rinkinys, daugumą somatinių ląstelių genų atstovauja alelinės poros. Aleliniai genai, esantys atitinkamuose homologinių chromosomų regionuose, sąveikaujantys […]
  • Įrodinėjimas Įrodinėjimo rūšys Ginčo algoritmas loginei argumentacijos analizei 1. Išryškinkite tezę tekste 2. Išryškinkite argumentus, nustatykite jų patikimumą 3. Išryškinkite argumentavimo formą, nustatykite argumentų ir tezės loginio ryšio griežtumą 4 . Pateikite išvadą apie argumentacijos pobūdį, […]
  • Rusijos Federacijos transporto ministerijos įsakymas N 124, Rusijos Federacijos teisingumo ministerijos N 315, Rusijos Federacijos vidaus reikalų ministerijos N 817, Rusijos Federacijos sveikatos ir socialinės plėtros ministerijos įsakymas N 714 2006-10-10 „Dėl ekspertų-technikų, atliekančių nepriklausomą transporto priemonių techninę ekspertizę, profesinio atestavimo sąlygų ir tvarkos patvirtinimo, įskaitant reikalavimus ekspertams TECHNIKAMS“ Įregistruota […]
  • Rusijos Federacijos teisinė bazė Nemokama konsultacija Federaliniai teisės aktai …]
  • Organizacija OJSC "NEFTEL" Adresas: G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 Juridinis adresas: 443020, G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 OKFS: 42 - Mišri Rusijos nuosavybė su Rusijos sudėtinių subjektų nuosavybės dalimi Federacija OKOGU: 4210014 - Įsteigtos organizacijos juridiniai asmenys arba piliečiai, arba juridiniai asmenys ir […]

    • Kaip žinoma, atsitiktinis kintamasis vadinamas kintamuoju, kuris, priklausomai nuo atvejo, gali įgyti tam tikras reikšmes. Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis (X, Y, Z), o jų reikšmės - atitinkamomis mažosiomis raidėmis (x, y, z). Atsitiktiniai kintamieji skirstomi į nenutrūkstamus (diskretuosius) ir tęstinius.

    Diskretus atsitiktinis dydis vadinamas atsitiktiniu dydžiu, kuris ima tik baigtinę arba begalinę (skaičiuojamą) reikšmių rinkinį su tam tikromis nulinėmis tikimybėmis.

    Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra funkcija, jungianti atsitiktinio dydžio reikšmes su atitinkamomis tikimybėmis. Paskirstymo dėsnį galima nurodyti vienu iš šių būdų.

    1 . Paskirstymo dėsnį galima pateikti pagal lentelę:

    kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .

    in) naudojant pasiskirstymo funkcija F(x) , kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgaus reikšmę, mažesnę už x, t.y. F(x) = P(X< x).

    Funkcijos F(x) savybės

    3 . Paskirstymo dėsnį galima nustatyti grafiškai – pasiskirstymo daugiakampis (daugiakampis) (žr. 3 uždavinį).

    Atkreipkite dėmesį, kad norint išspręsti kai kurias problemas, nebūtina žinoti paskirstymo dėsnio. Kai kuriais atvejais pakanka žinoti vieną ar kelis skaičius, atspindinčius svarbiausias paskirstymo dėsnio ypatybes. Tai gali būti skaičius, turintis atsitiktinio kintamojo „vidutinę reikšmę“, arba skaičius, rodantis vidutinis dydis atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo vidutinės reikšmės. Tokio tipo skaičiai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis.

    Pagrindinės skaitinės diskretinio atsitiktinio dydžio charakteristikos :

    • Matematinis lūkestis diskretinio atsitiktinio dydžio (vidutinė reikšmė). M(X)=Σ x i p i.
      Dėl binominis skirstinys M(X)=np, Puasono pasiskirstymui M(X)=λ
    • Sklaida diskrečiųjų atsitiktinių dydžių D(X)=M2 arba D(X) = M(X 2) – 2. Skirtumas X–M(X) vadinamas atsitiktinio dydžio nuokrypiu nuo jo matematinio lūkesčio.
      Dvinominiam skirstiniui D(X)=npq, Puasono skirstiniui D(X)=λ
    • Standartinis nuokrypis (standartinis nuokrypis) σ(X)=√D(X).

    Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis“

    1 užduotis.

    Išleista 1000 loterijos bilietų: 5 iš jų laimės 500, 10 – 100, 20 – 50, 50 – 10 rublių. Nustatykite atsitiktinio dydžio X – laimėjimai už bilietą – tikimybių pasiskirstymo dėsnį.

    Sprendimas. Atsižvelgiant į problemos sąlygą, galimos šios atsitiktinio dydžio X reikšmės: 0, 10, 50, 100 ir 500.

    Bilietų skaičius be laimėjimo yra 1000 - (5+10+20+50) = 915, tada P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

    Panašiai randame ir visas kitas tikimybes: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Pateikiame gautą dėsnį lentelės pavidalu:

    Raskite matematinį X lūkestį: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

    3 užduotis.

    Prietaisas susideda iš trijų nepriklausomai veikiančių elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė viename eksperimente yra 0,1. Sudarykite vieno eksperimento nepavykusių elementų skaičiaus paskirstymo dėsnį, sukurkite paskirstymo daugiakampį. Raskite pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

    Sprendimas. 1. Diskretus atsitiktinis kintamasis X= (nepavykusių elementų skaičius viename eksperimente) turi tokias galimas reikšmes: x 1 =0 (nė vienas įrenginio elementas nepavyko), x 2 =1 (vienas elementas nepavyko), x 3 =2 ( du elementai nepavyko ) ir x 4 \u003d 3 (trijų elementų nepavyko).

    Elementų gedimai nepriklauso vienas nuo kito, kiekvieno elemento gedimo tikimybės yra lygios viena kitai, todėl taikytina Bernulio formulė . Atsižvelgiant į tai, kad pagal sąlygą n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, nustatome reikšmių tikimybes:
    P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 = 0,729;
    P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
    P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
    P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 = 0,001;
    Patikrinkite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

    Taigi norimas dvinario skirstinio X dėsnis turi tokią formą:

    Ant abscisių ašies nubraižome galimas reikšmes x i, o ordinačių ašyje – atitinkamas tikimybes р i . Sukonstruokime taškus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Sujungę šiuos taškus linijos atkarpomis, gauname norimą skirstymo daugiakampį.

    3. Raskite skirstymo funkciją F(x) = P(X

    Jei x ≤ 0, turime F(x) = P(X<0) = 0;
    už 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
    už 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
    už 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
    jei x > 3 tai bus F(x) = 1, nes įvykis yra tikras.

    Funkcijos F(x) grafikas

    4. Binominiam skirstiniui X:
    - matematinė lūkestis М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
    - dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
    - standartinis nuokrypis σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.