Atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.
Vienkāršāko (un ne pārāk vienkāršo) funkciju atvasinājumu atrašanas problēmu risināšanas rezultātā, definējot atvasinājumu kā pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, parādījās atvasinājumu tabula un precīzi definēti diferenciācijas noteikumi. . Īzaks Ņūtons (1643-1727) un Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716) bija pirmie, kas strādāja atvasinājumu atrašanas jomā.
Tāpēc mūsdienās, lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, nav jāaprēķina iepriekš minētā funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža, bet tikai jāizmanto tabula. atvasinājumi un diferenciācijas noteikumi. Atvasinājuma atrašanai ir piemērots šāds algoritms.
Lai atrastu atvasinājumu, jums ir nepieciešama izteiksme zem insulta zīmes sadalīt vienkāršas funkcijas un noteikt, kādas darbības (produkts, summa, koeficients)šīs funkcijas ir saistītas. Tālāk elementāro funkciju atvasinājumus atrodam atvasinājumu tabulā, bet reizinājuma, summas un koeficienta atvasinājumu formulas - diferenciācijas noteikumos. Atvasinājumu un diferenciācijas noteikumu tabula ir dota pēc pirmajiem diviem piemēriem.
1. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. No diferenciācijas likumiem noskaidrojam, ka funkciju summas atvasinājums ir funkciju atvasinājumu summa, t.i.
No atvasinājumu tabulas mēs uzzinām, ka "X" atvasinājums ir vienāds ar vienu, un sinusa atvasinājums ir kosinuss. Mēs aizvietojam šīs vērtības atvasinājumu summā un atrodam atvasinājumu, kas nepieciešams problēmas nosacījumam:
2. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Diferencēt kā summas atvasinājumu, kurā otro vārdu ar nemainīgu koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:
Ja joprojām ir jautājumi par to, no kurienes kaut kas nāk, tie, kā likums, kļūst skaidri, izlasot atvasinājumu tabulu un vienkāršākos diferenciācijas noteikumus. Mēs tūlīt ejam pie viņiem.
Vienkāršu funkciju atvasinājumu tabula
| 1. Konstantes (skaitļa) atvasinājums. Jebkurš skaitlis (1, 2, 5, 200...), kas ir funkcijas izteiksmē. Vienmēr nulle. Tas ir ļoti svarīgi atcerēties, jo tas tiek prasīts ļoti bieži | |
| 2. Neatkarīgā mainīgā atvasinājums. Visbiežāk "x". Vienmēr vienāds ar vienu. Tas ir arī svarīgi atcerēties | |
| 3. Grāda atvasinājums. Risinot problēmas, jums ir jāpārvērš ne-kvadrātsaknes par jaudu. | |
| 4. Mainīgā atvasinājums pakāpē -1 | |
| 5. Kvadrātsaknes atvasinājums | |
| 6. Sinusa atvasinājums | |
| 7.Kosinusa atvasinājums |  |
| 8. Pieskares atvasinājums |  |
| 9. Kotangensa atvasinājums |  |
| 10.Arksīna atvasinājums |  |
| 11. Loka kosinusa atvasinājums |  |
| 12. Loka tangensa atvasinājums |  |
| 13. Apgrieztās tangensas atvasinājums |  |
| 14.Naturālā logaritma atvasinājums | |
| 15. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums |  |
| 16. Eksponenta atvasinājums | |
| 17. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums |
Diferencēšanas noteikumi
| 1. Summas vai starpības atvasinājums |  |
| 2. Produkta atvasinājums |  |
| 2a. Izteiksmes atvasinājums, kas reizināts ar konstantu koeficientu | |
| 3. Koeficienta atvasinājums |  |
| 4. Sarežģītas funkcijas atvasinājums |  |
1. noteikumsJa funkcijas
ir diferencējami kādā brīdī , tad tajā pašā punktā funkcijas
un
tie. funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu.
Sekas. Ja divas diferencējamas funkcijas atšķiras ar konstanti, tad to atvasinājumi ir, t.i.
2. noteikumsJa funkcijas
ir diferencējami kādā brīdī, tad arī to produkts ir diferencējams tajā pašā punktā
un
tie. divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas reizinājumu summu un otras funkcijas atvasinājumu.
Sekas 1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:
Sekas 2. Vairāku diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katra faktora un visu pārējo atvasinājuma produktu summu.
Piemēram, trim reizinātājiem:
3. noteikumsJa funkcijas
kādā brīdī atšķirties Un , tad šajā brīdī arī to koeficients ir diferencējams.u/v , un
tie. divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļu, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja un skaitītāja atvasinājuma un skaitītāja un saucēja atvasinājuma reizinājumu, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts .
Kur meklēt citās lapās
Meklējot reizinājuma atvasinājumu un koeficientu reālajās problēmās, vienmēr ir jāpiemēro vairāki diferenciācijas noteikumi vienlaikus, tāpēc vairāk piemēru par šiem atvasinājumiem ir atrodams rakstā."Produkta un koeficienta atvasinājums".
komentēt. Nevajadzētu jaukt konstanti (tas ir, skaitli) kā terminu summā un kā nemainīgu faktoru! Termina gadījumā tā atvasinājums ir vienāds ar nulli, un nemainīga faktora gadījumā tas tiek izņemts no atvasinājumu zīmes. Šī ir tipiska kļūda, kas rodas sākuma stadija mācīšanās atvasinājumi, bet, tā kā tie atrisina vairākus vien-divkomponentu piemērus, vidusmēra skolēns vairs nepieļauj šo kļūdu.
Un, ja, diferencējot produktu vai koeficientu, jums ir termins u"v, kurā u- skaitlis, piemēram, 2 vai 5, tas ir, konstante, tad šī skaitļa atvasinājums būs vienāds ar nulli un līdz ar to viss termins būs vienāds ar nulli (šāds gadījums ir analizēts 10. piemērā) .
Vēl viena izplatīta kļūda ir sarežģītas funkcijas atvasinājuma mehāniskais risinājums kā vienkāršas funkcijas atvasinājumam. Tāpēc kompleksas funkcijas atvasinājums veltīts atsevišķam rakstam. Bet vispirms mēs iemācīsimies atrast vienkāršu funkciju atvasinājumus.
Pa ceļam neiztikt bez izteicienu transformācijām. Lai to izdarītu, iespējams, būs jāatver jaunās Windows rokasgrāmatas Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .
Ja jūs meklējat risinājumus atvasinājumiem ar pilnvarām un saknēm, tas ir, kad funkcija izskatās kā 
, pēc tam sekojiet nodarbībai "Daļskaitļu summas atvasinājums ar pakāpēm un saknēm".
Ja jums ir tāds uzdevums kā 
, tad jūs atrodaties nodarbībā "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi".
Soli pa solim piemēri - kā atrast atvasinājumu
3. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mēs nosakām funkcijas izteiksmes daļas: visa izteiksme attēlo reizinājumu, un tās faktori ir summas, no kurām otrajā viens no terminiem satur nemainīgu faktoru. Mēs piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu: divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas produktu summu un otras funkcijas atvasinājumu:
Tālāk piemērojam summas diferenciācijas likumu: funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu. Mūsu gadījumā katrā summā otrais termins ar mīnusa zīmi. Katrā summā redzam gan neatkarīgu mainīgo, kura atvasinājums ir vienāds ar vienu, gan konstanti (skaitli), kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad "x" pārvēršas par vienu, bet mīnus 5 - par nulli. Otrajā izteiksmē "x" tiek reizināts ar 2, tāpēc mēs reizinām divus ar tādu pašu vienību kā "x" atvasinājums. Mēs iegūstam šādas atvasinājumu vērtības:
Atrastos atvasinājumus aizstājam produktu summā un iegūstam visas uzdevuma nosacījumam nepieciešamās funkcijas atvasinājumu:
Un jūs varat pārbaudīt problēmas risinājumu atvasinājumā vietnē .
4. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mums ir jāatrod koeficienta atvasinājums. Mēs izmantojam koeficienta diferenciācijas formulu: divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja un skaitītāja atvasinājuma un skaitītāja un saucēja atvasinājuma reizinājumu, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts. Mēs iegūstam:
Mēs jau esam atraduši faktoru atvasinājumu skaitītājā 2. piemērā. Neaizmirsīsim arī to, ka reizinājums, kas pašreizējā piemērā ir otrais skaitītāja faktors, tiek ņemts ar mīnusa zīmi:
Ja meklējat risinājumus tādām problēmām, kurās jāatrod funkcijas atvasinājums, kur ir nepārtraukta sakņu un pakāpju kaudze, piemēram, piemēram, 
tad laipni lūdzam klasē "Daļskaitļu summas atvasinājums ar pakāpēm un saknēm" .
Ja jums ir nepieciešams uzzināt vairāk par sinusu, kosinusu, tangenšu un citu trigonometrisko funkciju atvasinājumiem, tas ir, kad funkcija izskatās šādi , tad jums ir mācība "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi" .
5. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam reizinājumu, kura viens no faktoriem ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne, ar kura atvasinājumu mēs iepazināmies atvasinājumu tabulā. Saskaņā ar produktu diferenciācijas noteikumu un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību mēs iegūstam:
Jūs varat pārbaudīt atvasinātās problēmas risinājumu atvasinājumu kalkulators tiešsaistē .
6. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam koeficientu, kura dividende ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne. Saskaņā ar koeficienta diferenciācijas likumu, ko atkārtojām un piemērojām 4. piemērā, un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību, mēs iegūstam:
Lai atbrīvotos no skaitītāja daļas, reiziniet skaitītāju un saucēju ar .
Kopš ieradāties šeit, jūs, iespējams, jau paspējāt redzēt šo formulu mācību grāmatā
un izveidojiet šādu seju:
Draugs, neuztraucies! Patiesībā viss ir vienkārši apkaunojams. Jūs noteikti visu sapratīsit. Tikai viens lūgums - izlasi rakstu lēnām mēģiniet saprast katru soli. Es uzrakstīju pēc iespējas vienkāršāk un skaidrāk, bet idejā vēl jāiedziļinās. Un noteikti atrisiniet uzdevumus no raksta.
Kas ir sarežģīta funkcija?
Iedomājieties, ka pārvācaties uz citu dzīvokli un tāpēc sakravājat lietas lielās kastēs. Lai ir jāsavāc daži sīkumi, piemēram, skolas rakstāmpiederumi. Ja jūs vienkārši iemetīsit tos milzīgā kastē, tie cita starpā pazudīs. Lai no tā izvairītos, vispirms ielieciet tos, piemēram, maisiņā, ko pēc tam ievietojiet lielā kastē, pēc tam to aizzīmogojiet. Šis "grūtākais" process ir parādīts zemāk esošajā diagrammā:
Šķiet, kur paliek matemātika? Un turklāt TIEŠI TĀDIĀDI veidojas sarežģīta funkcija! Tikai mēs “iesaiņojam” nevis piezīmju grāmatiņas un pildspalvas, bet \ (x \), savukārt kalpo dažādas “pakas” un “kastes”.
Piemēram, ņemsim x un "iesaiņosim" to funkcijā:
Rezultātā mēs, protams, iegūstam \(\cosx\). Tas ir mūsu "lietu maiss". Un tagad mēs to ievietojam "kastē" - iesaiņojam to, piemēram, kubiskā funkcijā.
Kas notiks beigās? Jā, tieši tā, būs "paka ar lietām kastē", tas ir, "kosinuss no x kuba".
Iegūtā konstrukcija ir sarežģīta funkcija. Tas atšķiras no vienkāršās ar to Vienam X pēc kārtas tiek piemēroti VAIRĀKI “ietekme” (pakas). un izrādās, it kā “funkcija no funkcijas” - “pakete iepakojumā”.
IN skolas kurss ir ļoti maz šo “pakešu” veidu, tikai četri:
Tagad "iepakosim" x vispirms eksponenciālā funkcija ar 7. bāzi un pēc tam trigonometriskā funkcijā. Mēs iegūstam:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
Un tagad "iepakosim" x divreiz trigonometriskās funkcijas, vispirms iekšā , un pēc tam :
\(x → sinx → ctg (sinx)\)
Vienkārši, vai ne?
Tagad uzrakstiet funkcijas pats, kur x:
- vispirms tas tiek “iesaiņots” kosinusā un pēc tam eksponenciālā funkcijā ar bāzi \(3\);
- vispirms uz piekto pakāpi un pēc tam uz tangensu;
- vispirms uz bāzes logaritmu \(4\)
, pēc tam uz jaudu \(-2\).
Atbildes uz šo jautājumu skatiet raksta beigās.
Bet vai mēs varam x "iesaiņot" nevis divas, bet trīs reizes? Nekādu problēmu! Un četras, un piecas, un divdesmit piecas reizes. Šeit, piemēram, ir funkcija, kurā x ir "iesaiņots" \(4\) reizes:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
Bet skolas praksē šādas formulas neatradīs (skolēniem ir paveicies vairāk - var būt grūtāk☺).
Sarežģītas funkcijas "izpakošana".
Vēlreiz apskatiet iepriekšējo funkciju. Vai varat izdomāt "iepakošanas" secību? Kas X tika iebāzts vispirms, ko tad, un tā līdz pašām beigām. Tas ir, kura funkcija kurā ir ligzdota? Paņemiet papīra lapu un pierakstiet, ko domājat. To var izdarīt ar bultu ķēdi, kā mēs rakstījām iepriekš, vai jebkurā citā veidā.
Tagad pareizā atbilde ir: vispirms x tika “iesaiņots” \(4\) pakāpē, pēc tam rezultāts tika iesaiņots sinusā, tas savukārt tika ievietots logaritma bāzē \(2\), un beigas visa konstrukcija tika iegrūsta spēka pieciniekos.
Tas ir, ir nepieciešams atritināt secību APMĒRĒJĀ KĀRTĪBĀ. Un šeit ir padoms, kā to izdarīt vienkāršāk: paskatieties uz X — no tā ir jādejo. Apskatīsim dažus piemērus.
Piemēram, šeit ir funkcija: \(y=tg(\log_2x)\). Mēs skatāmies uz X – kas ar viņu notiek vispirms? Paņemts no viņa. Un tad? Tiek ņemta rezultāta tangensa. Un secība būs tāda pati:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Cits piemērs: \(y=\cos((x^3))\). Mēs analizējam - vispirms x tika sadalīts kubā, un pēc tam no rezultāta tika ņemts kosinuss. Tātad secība būs šāda: \(x → x^3 → \cos((x^3))\). Pievērsiet uzmanību, funkcija šķiet līdzīga pašai pirmajai (kur ar attēliem). Bet šī ir pavisam cita funkcija: šeit kubā x (tas ir, \(\cos((x x x)))\) un tur kubā kosinuss \(x\) (tas ir, \(\ cos x·\cosx·\cosx\)). Šī atšķirība rodas no dažādām "iepakošanas" secībām.
Pēdējais piemērs (ar svarīgu informāciju tajā): \(y=\sin((2x+5))\). Skaidrs, ka šeit vispirms veicām aritmētiskās darbības ar x, tad no rezultāta tika ņemts sinuss: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\). Un šī svarīgs punkts: neskatoties uz to, ka aritmētiskās darbības pašas par sevi nav funkcijas, šeit tās darbojas arī kā "iepakošanas" veids. Iedziļināsimies šajā smalkumā nedaudz dziļāk.
Kā jau teicu iepriekš, vienkāršās funkcijās x tiek "iesaiņots" vienu reizi, bet sarežģītās funkcijās - divas vai vairākas. Turklāt jebkura vienkāršu funkciju kombinācija (tas ir, to summa, starpība, reizināšana vai dalīšana) arī ir vienkārša funkcija. Piemēram, \(x^7\) ir vienkārša funkcija, tāpat arī \(ctg x\). Tādējādi visas to kombinācijas ir vienkāršas funkcijas:
\(x^7+ ctg x\) — vienkāršs,
\(x^7 ctg x\) ir vienkāršs,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) ir vienkārša un tā tālāk.
Tomēr, ja šādai kombinācijai tiek piemērota vēl viena funkcija, tā jau būs sarežģīta funkcija, jo būs divas “pakas”. Skatīt diagrammu:
Labi, turpināsim ar to tagad. Uzrakstiet "iesaiņošanas" funkciju secību:
\(y=cos((sinx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
Atbildes atkal ir raksta beigās.
Iekšējās un ārējās funkcijas
Kāpēc mums ir jāsaprot funkciju ligzdošana? Ko tas mums dod? Lieta ir tāda, ka bez šādas analīzes mēs nevarēsim droši atrast iepriekš apspriesto funkciju atvasinājumus.
Un, lai turpinātu, mums būs nepieciešami vēl divi jēdzieni: iekšējās un ārējās funkcijas. Tā ir ļoti vienkārša lieta, turklāt patiesībā mēs tos jau esam analizējuši iepriekš: ja mēs atceramies mūsu analoģiju pašā sākumā, tad iekšējā funkcija ir “pakete”, bet ārējā ir “kaste”. Tie. tas, ar ko X ir “iesaiņots” vispirms, ir iekšēja funkcija, un tas, ar ko “ietīts” iekšējais, jau ir ārējs. Nu, tas ir saprotams, kāpēc - tas ir ārpusē, tas nozīmē ārēju.
Šajā piemērā: \(y=tg(log_2x)\), funkcija \(\log_2x\) ir iekšēja, un 
- ārējais.
Un šajā: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ir iekšējs, un 
- ārējais.
Veiciet pēdējo sarežģītu funkciju analīzes praksi un, visbeidzot, pāriesim uz punktu, kuram viss tika sākts - mēs atradīsim sarežģītu funkciju atvasinājumus:
Aizpildiet tukšumus tabulā:
Sarežģītas funkcijas atvasinājums
Bravo mums, mēs tomēr tikām līdz šīs tēmas "bosam" - faktiski atvasinājums sarežģīta funkcija, un konkrēti uz to ļoti briesmīgo formulu no raksta sākuma.☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
Šī formula skan šādi:
Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar ārējās funkcijas atvasinājuma reizinājumu attiecībā pret pastāvīgo iekšējo funkciju un iekšējās funkcijas atvasinājumu.
Un nekavējoties apskatiet parsēšanas shēmu "pēc vārdiem", lai saprastu, ar ko saistīt:
Ceru, ka termini "atvasinājums" un "produkts" nesagādā grūtības. "Kompleksā funkcija" - mēs jau esam demontējuši. Nozveja ir "ārējās funkcijas atvasinājumā attiecībā pret pastāvīgo iekšējo". Kas tas ir?
Atbilde: tas ir parastais ārējās funkcijas atvasinājums, kurā mainās tikai ārējā funkcija, bet iekšējā paliek nemainīga. Joprojām nav skaidrs? Labi, ņemsim piemēru.
Pieņemsim, ka mums ir funkcija \(y=\sin(x^3)\). Ir skaidrs, ka iekšējā funkcija šeit ir \(x^3\), bet ārējā 
. Tagad atradīsim ārējā atvasinājumu attiecībā pret nemainīgo iekšējo.
Ja sekojam definīcijai, tad funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas Δ pieauguma koeficienta robeža. y līdz argumenta Δ pieaugumam x:
Šķiet, ka viss ir skaidrs. Bet mēģiniet aprēķināt pēc šīs formulas, teiksim, funkcijas atvasinājumu f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grēks x. Ja visu darīsi pēc definīcijas, tad pēc pāris lappušu aprēķiniem vienkārši aizmigsi. Tāpēc ir vienkāršāki un efektīvāki veidi.
Sākumā mēs atzīmējam, ka tā sauktās elementārās funkcijas var atšķirt no visas funkciju daudzveidības. Tās ir samērā vienkāršas izteiksmes, kuru atvasinājumi jau sen ir aprēķināti un ievadīti tabulā. Šādas funkcijas kopā ar to atvasinājumiem ir pietiekami viegli atcerēties.
Elementāro funkciju atvasinājumi
Elementārās funkcijas ir visas zemāk uzskaitītās. Šo funkciju atvasinājumi ir jāzina no galvas. Turklāt tos nav grūti iegaumēt – tāpēc tie ir elementāri.
Tātad elementāro funkciju atvasinājumi:
| Vārds | Funkcija | Atvasinājums |
| Pastāvīgi | f(x) = C, C ∈ R | 0 (jā, jā, nulle!) |
| Pakāpe ar racionālo eksponentu | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = grēks x | cos x |
| Kosinuss | f(x) = cos x | − grēks x(mīnus sinuss) |
| Pieskares | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Kotangenss | f(x) = ctg x | − 1/sin2 x |
| naturālais logaritms | f(x) = žurnāls x | 1/x |
| Patvaļīgs logaritms | f(x) = žurnāls a x | 1/(x ln a) |
| Eksponenciālā funkcija | f(x) = e x | e x(nekas nemainījās) |
Ja elementāru funkciju reizina ar patvaļīgu konstanti, tad arī jaunās funkcijas atvasinājumu var viegli aprēķināt:
(C · f)’ = C · f ’.
Kopumā konstantes var izņemt no atvasinājuma zīmes. Piemēram:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Acīmredzot elementāras funkcijas var pievienot viena otrai, reizināt, dalīt un daudz ko citu. Tā parādīsies jaunas funkcijas, kas vairs nav ļoti elementāras, bet arī pēc noteiktiem noteikumiem diferencējamas. Šie noteikumi ir apspriesti tālāk.
Summas un starpības atvasinājums
Ļaujiet funkcijām f(x) Un g(x), kuru atvasinājumi mums ir zināmi. Piemēram, varat izmantot iepriekš aprakstītās elementārās funkcijas. Tad jūs varat atrast šo funkciju summas un starpības atvasinājumu:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Tātad divu funkciju summas (starpības) atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu (starpību). Var būt vairāk terminu. Piemēram, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Stingri sakot, algebrā nav jēdziena "atņemšana". Ir jēdziens "negatīvs elements". Tāpēc atšķirība f − g var pārrakstīt kā summu f+ (-1) g, un tad paliek tikai viena formula - summas atvasinājums.
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Funkcija f(x) ir divu elementāru funkciju summa, tātad:
f ’(x) = (x 2+ grēks x)’ = (x 2)' + (grēks x)’ = 2x+ cosx;
Mēs līdzīgi strīdamies par funkciju g(x). Tikai jau ir trīs termini (no algebras viedokļa):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Atbilde:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Produkta atvasinājums
Matemātika ir loģiska zinātne, tāpēc daudzi cilvēki uzskata, ka, ja summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu, tad produkta atvasinājums streikot"\u003e vienāds ar atvasinājumu reizinājumu. Bet vīģes jums! Produkta atvasinājumu aprēķina pēc pavisam citas formulas. Proti:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formula ir vienkārša, bet bieži tiek aizmirsta. Un ne tikai skolēni, bet arī studenti. Rezultāts ir nepareizi atrisinātas problēmas.
Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .
Funkcija f(x) ir divu elementāru funkciju reizinājums, tāpēc viss ir vienkārši:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x grēks x)
Funkcija g(x) pirmais reizinātājs ir nedaudz sarežģītāks, taču vispārējā shēma no tā nemainās. Acīmredzot pirmais funkcijas reizinātājs g(x) ir polinoms, un tā atvasinājums ir summas atvasinājums. Mums ir:
g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Atbilde:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x grēks x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Ņemiet vērā, ka pēdējā darbībā atvasinājums tiek faktorizēts. Formāli tas nav nepieciešams, taču lielākā daļa atvasinājumu netiek aprēķināti atsevišķi, bet gan, lai izpētītu funkciju. Tas nozīmē, ka tālāk atvasinājums tiks pielīdzināts nullei, tiks noskaidrotas tā zīmes utt. Šādā gadījumā labāk ir, ja izteiksme ir sadalīta faktoros.
Ja ir divas funkcijas f(x) Un g(x), un g(x) ≠ 0 uz mums interesējošās kopas, mēs varam definēt jaunu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Šādai funkcijai varat atrast arī atvasinājumu:
Nav vājš, vai ne? No kurienes radās mīnuss? Kāpēc g 2? Un kā šis! Šī ir viena no vissarežģītākajām formulām - bez pudeles to nevar izdomāt. Tāpēc labāk to pētīt konkrēti piemēri.
Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus:
Katras daļas skaitītājā un saucējā ir elementāras funkcijas, tāpēc mums ir nepieciešama tikai koeficienta atvasinājuma formula:
Pēc tradīcijas mēs skaitītāju iedalām faktoros - tas ievērojami vienkāršos atbildi:
Sarežģīta funkcija ne vienmēr ir puskilometra gara formula. Piemēram, pietiek ar funkciju f(x) = grēks x un aizstājiet mainīgo x, teiksim, uz x 2+ln x. Izrādās f(x) = grēks ( x 2+ln x) ir sarežģīta funkcija. Viņai ir arī atvasinājums, taču tas nedarbosies, lai to atrastu saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem.
Kā būt? Šādos gadījumos palīdz mainīgā aizstāšana un sarežģītas funkcijas atvasinājuma formula:
f ’(x) = f ’(t) · t', Ja x tiek aizstāts ar t(x).
Parasti situācija ar šīs formulas izpratni ir vēl bēdīgāka nekā ar koeficienta atvasinājumu. Tāpēc arī labāk to skaidrot ar konkrētiem piemēriem, ar Detalizēts apraksts katru soli.
Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grēks ( x 2+ln x)
Ņemiet vērā, ka, ja funkcijā f(x) 2. izteiksmes vietā x+3 būs viegli x, tad iegūstam elementāru funkciju f(x) = e x. Tāpēc mēs veicam aizstāšanu: pieņemsim 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Mēs meklējam sarežģītas funkcijas atvasinājumu pēc formulas:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Un tagad - uzmanību! Apgrieztās aizstāšanas veikšana: t = 2x+ 3. Mēs iegūstam:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Tagad apskatīsim funkciju g(x). Acīmredzot ir jānomaina. x 2+ln x = t. Mums ir:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (grēks t)’ · t' = cos t · t ’
Apgrieztā nomaiņa: t = x 2+ln x. Pēc tam:
g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
Tas ir viss! Kā redzams no pēdējās izteiksmes, visa problēma ir samazināta līdz summas atvasinājuma aprēķināšanai.
Atbilde:
f ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).
Ļoti bieži savās nodarbībās termina “atvasinājums” vietā lietoju vārdu “insults”. Piemēram, summas gājiens ir vienāds ar sitienu summu. Vai tas ir skaidrāk? Nu tas ir labi.
Tādējādi atvasinājuma aprēķins ir saistīts ar atbrīvošanos no šiem tiešiem sitieniem saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem. Kā pēdējo piemēru atgriezīsimies pie atvasinātā jaudas ar racionālu eksponentu:
(x n)’ = n · x n − 1
Tikai daži to zina lomā n var būt daļskaitlis. Piemēram, sakne ir x 0,5 . Bet ko darīt, ja zem saknes ir kaut kas viltīgs? Atkal izrādīsies sarežģīta funkcija - viņiem patīk uzdot šādas konstrukcijas kontroles darbi ak un eksāmeni.
Uzdevums. Atrodiet funkcijas atvasinājumu:
Vispirms pārrakstīsim sakni kā pakāpju ar racionālu eksponentu:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Tagad mēs veicam aizstāšanu: ļaujiet x 2 + 8x − 7 = t. Mēs atrodam atvasinājumu pēc formulas:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)” t' = 0,5 t−0,5 t ’.
Mēs veicam apgrieztu aizstāšanu: t = x 2 + 8x− 7. Mums ir:
f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Visbeidzot, atpakaļ pie saknēm:
Un teorēma par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, kuras formulējums ir šāds:
Pieņemsim, ka 1) funkcijai $u=\varphi (x)$ ir atvasinājums $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ kādā brīdī $x_0$, 2) funkcijai $y=f(u)$. attiecīgajā punktā $u_0=\varphi (x_0)$ ir atvasinājums $y_(u)"=f"(u)$. Tad kompleksajai funkcijai $y=f\left(\varphi (x) \right)$ minētajā punktā būs arī atvasinājums, kas vienāds ar funkciju $f(u)$ un $\varphi () atvasinājumu reizinājumu x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
vai īsākā apzīmējumā: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Šīs sadaļas piemēros visām funkcijām ir forma $y=f(x)$ (ti, mēs uzskatām tikai viena mainīgā $x$ funkcijas). Attiecīgi visos piemēros atvasinājums $y"$ tiek ņemts attiecībā pret mainīgo $x$. Lai uzsvērtu, ka atvasinājums ņemts attiecībā pret mainīgo $x$, bieži vien $y"_x$ vietā raksta $y"_x$. y"$.
1., 2. un 3. piemēri sniedz detalizētu procesu sarežģītu funkciju atvasinājuma atrašanai. Piemērs Nr. 4 ir paredzēts atvasinājumu tabulas pilnīgākai izpratnei, un ir jēga ar to iepazīties.
Pēc piemērā Nr.1-3 esošā materiāla izpētīšanas vēlams doties uz neatkarīgs lēmums 5., 6. un 7. piemēri. 5., 6. un 7. piemēri satur īsu risinājumu, lai lasītājs varētu pārbaudīt sava rezultāta pareizību.
1. piemērs
Atrodiet funkcijas $y=e^(\cos x)$ atvasinājumu.
Mums jāatrod kompleksās funkcijas $y"$ atvasinājums. Tā kā $y=e^(\cos x)$, tad $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. atrodiet atvasinājumu $ \left(e^(\cos x)\right)"$ izmantojiet formulu #6 no atvasinājumu tabulas. Lai izmantotu formulu Nr.6, jāņem vērā, ka mūsu gadījumā $u=\cos x$. Tālākais risinājums ir banāla izteiksmes $\cos x$, nevis $u$ aizstāšana formulā Nr. 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Tagad jāatrod izteiksmes $(\cos x)"$ vērtība. Atkal pievēršamies atvasinājumu tabulai, no tās izvēloties formulu Nr. 10. Aizvietojot $u=x$ formulā Nr. 10, mēs iegūstam : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Tagad turpinām vienādību (1.1), papildinot to ar atrasto rezultātu:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
Tā kā $x"=1$, mēs turpinām vienlīdzību (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Tātad no vienādības (1.3) mums ir: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Protams, skaidrojumus un starpvienādības parasti izlaiž, atvasinājumu rakstot vienā rindā, kā vienādībā ( 1.3) Tātad ir atrasts kompleksās funkcijas atvasinājums, atliek tikai pierakstīt atbildi.
Atbilde: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
2. piemērs
Atrodiet funkcijas $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ atvasinājumu.
Mums jāaprēķina atvasinājums $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Sākumā mēs atzīmējam, ka konstanti (t.i., skaitli 9) var izņemt no atvasinājuma zīmes:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Tagad pievērsīsimies izteiksmei $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Lai atvieglotu vēlamās formulas atlasi no atvasinājumu tabulas, prezentēšu izteiksmi jautājumu šādā formā: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Tagad ir skaidrs, ka ir jāizmanto formula Nr.2, t.i. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Šajā formulā aizstājiet $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ un $\alpha=12$:
Papildinot vienādību (2.1) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
Šādā situācijā bieži tiek pieļauta kļūda, kad risinātājs pirmajā solī formulas vietā izvēlas formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Lieta ir tāda, ka vispirms ir jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums. Lai saprastu, kura funkcija būs ārpus izteiksmes $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, iedomājieties, ka jūs uzskaitāt izteiksmes $\arctg^(12)(4\cdot 5^) vērtību. x)$ kādai vērtībai $x$. Vispirms aprēķiniet vērtību $5^x$, pēc tam reiziniet rezultātu ar 4, lai iegūtu $4\cdot 5^x$. Tagad no šī rezultāta ņemam arktangensu, iegūstot $\arctg(4\cdot 5^x)$. Tad mēs paaugstinām iegūto skaitli līdz divpadsmitajai pakāpei, iegūstot $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Pēdējā darbība, t.i. paaugstinot līdz 12 spēkam, - un būs ārējā funkcija. Un tieši no tā jāsāk atrast atvasinājumu, kas tika izdarīts vienādībā (2.2).
Tagad mums jāatrod $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Mēs izmantojam atvasinājumu tabulas formulu Nr. 19, aizstājot tajā $u=4\cdot \ln x$:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Nedaudz vienkāršosim iegūto izteiksmi, ņemot vērā $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Vienlīdzība (2.2) tagad kļūs par:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
Atliek atrast $(4\cdot \ln x)"$. No atvasinājuma zīmes izņemam konstanti (t.i. 4): $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Lai atrastu $(\ln x)"$, mēs izmantojam formulu Nr. 8, aizstājot to ar $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Tā kā $x"=1$, tad $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Iegūto rezultātu aizstājot formulā (2.3), iegūstam:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $
Atgādināšu, ka kompleksās funkcijas atvasinājums visbiežāk ir vienā rindā, kā rakstīts pēdējā vienādībā. Tāpēc, veicot standarta aprēķinus vai testus, nemaz nav nepieciešams krāsot risinājumu tādā pašā detaļā.
Atbilde: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
3. piemērs
Atrodiet $y"$ no funkcijas $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Vispirms nedaudz pārveidosim funkciju $y$, izsakot radikāli (sakni) kā pakāpju: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \labais)^(\frac(3)(7))$. Tagad sāksim atrast atvasinājumu. Tā kā $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tad:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Mēs izmantojam formulu Nr. 2 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā $u=\sin(5\cdot 9^x)$ un $\alpha=\frac(3)(7)$:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Turpinām vienādību (3.1), izmantojot iegūto rezultātu:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Tagad mums jāatrod $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Šim nolūkam mēs izmantojam formulu Nr. 9 no atvasinājumu tabulas, aizstājot tajā $u=5\cdot 9^x$:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Papildinot vienādību (3.2) ar iegūto rezultātu, mēs iegūstam:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
Atliek atrast $(5\cdot 9^x)"$. Vispirms no atvasinājuma zīmes izņemam konstanti (skaitli $5$), t.i., $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Lai atrastu atvasinājumu $(9^x)"$, mēs izmantojam atvasinājumu tabulas formulu Nr. 5, aizstājot tajā $a=9$ un $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Tā kā $x"=1$, tad $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Tagad varam turpināt vienlīdzību (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Varat atgriezties no pakāpēm pie radikāļiem (t.i., saknēm), ierakstot $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ kā $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Tad atvasinājums tiks uzrakstīts šādā formā:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$
Atbilde: $y"=\frac(15\cdot \ln 9) (7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.
4. piemērs
Parādiet, ka atvasinājumu tabulas formulas Nr. 3 un Nr. 4 ir šīs tabulas formulas Nr. 2 īpašs gadījums.
Atvasinājumu tabulas formulā Nr.2 ir ierakstīts funkcijas $u^\alpha$ atvasinājums. Formulā #2 aizstājot $\alpha=-1$, mēs iegūstam:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
Tā kā $u^(-1)=\frac(1)(u)$ un $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, vienādību (4.1) var pārrakstīt šādi: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Šī ir atvasinājumu tabulas formulas numurs 3.
Atkal pievērsīsimies atvasinājumu tabulas formulai Nr.2. Aizstājiet tajā $\alpha=\frac(1)(2)$:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
Tā kā $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ un $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tad vienādību (4.2) var pārrakstīt šādi:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Rezultātā iegūtā vienādība $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ir atvasinājumu tabulas formula Nr. 4. Kā redzat, atvasinājumu tabulas formulas Nr. 3 un Nr. 4 tiek iegūtas no formulas Nr. 2, aizstājot atbilstošo vērtību $\alpha$.
Ja g(x) Un f(u) ir to argumentu diferencējamas funkcijas, attiecīgi, punktos x Un u= g(x), tad arī kompleksā funkcija ir diferencējama punktā x un tiek atrasts pēc formulas
Tipiska kļūda, risinot problēmas ar atvasinājumiem, ir automātiska vienkāršu funkciju diferencēšanas noteikumu pārnešana uz sarežģītām funkcijām. Mēs iemācīsimies izvairīties no šīs kļūdas.
2. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Nepareizs risinājums: aprēķiniet katra vārda naturālo logaritmu iekavās un atrodiet atvasinājumu summu:
Pareizs risinājums: atkal nosakām, kur ir "ābols" un kur "maltā gaļa". Šeit izteiksmes dabiskais logaritms iekavās ir "ābols", tas ir, funkcija starpposma argumentā u, un izteiciens iekavās ir "malta gaļa", tas ir, starpposma arguments u pēc neatkarīga mainīgā x.
Pēc tam (izmantojot formulu 14 no atvasinājumu tabulas)
Daudzās reālajās problēmās izteiksme ar logaritmu ir nedaudz sarežģītāka, tāpēc ir mācība
3. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Nepareizs risinājums:
Pareizs risinājums. Vēlreiz nosakām, kur "ābols" un kur "maltā gaļa". Šeit izteiksmes kosinuss iekavās (atvasinājumu tabulā 7. formula) ir "ābols", tas ir sagatavots 1. režīmā, kas ietekmē tikai to, un izteiksme iekavās (pakāpes atvasinājums - skaitlis 3 in atvasinājumu tabula) ir "malta gaļa", tā tiek pagatavota 2. režīmā, ietekmējot tikai to. Un kā vienmēr, mēs savienojam divus atvasinājumus ar produkta zīmi. Rezultāts:
Sarežģītas logaritmiskās funkcijas atvasinājums ir bieži sastopams uzdevums testos, tāpēc mēs ļoti iesakām apmeklēt nodarbību "Logaritmiskās funkcijas atvasinājums".
Pirmie piemēri bija par sarežģītām funkcijām, kurās starparguments pār neatkarīgo mainīgo bija vienkārša funkcija. Taču praktiskajos uzdevumos bieži ir jāatrod kompleksas funkcijas atvasinājums, kur starparguments vai nu pati par sevi ir sarežģīta funkcija, vai satur šādu funkciju. Ko darīt šādos gadījumos? Atrodiet šādu funkciju atvasinājumus, izmantojot tabulas un diferenciācijas noteikumus. Kad tiek atrasts starpposma argumenta atvasinājums, tas vienkārši tiek aizstāts pareizajā formulas vietā. Zemāk ir divi piemēri, kā tas tiek darīts.
Turklāt ir noderīgi zināt sekojošo. Ja sarežģītu funkciju var attēlot kā trīs funkciju ķēdi
tad tā atvasinājums ir jāatrod kā katras šīs funkcijas atvasinājumu reizinājums:
Daudziem mājasdarbu uzdevumiem var būt nepieciešams atvērt apmācības jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .
4. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu, neaizmirstot, ka iegūtajā atvasinājumu produktā starparguments attiecībā uz neatkarīgo mainīgo x nemainās:
Mēs sagatavojam produkta otro koeficientu un piemērojam summas diferencēšanas noteikumu:
Otrais termins ir sakne, tātad
Tādējādi tika iegūts, ka starparguments, kas ir summa, kā vienu no terminiem satur kompleksu funkciju: kāpināšana ir sarežģīta funkcija, un tas, kas tiek izvirzīts pakāpē, ir starparguments ar neatkarīgu mainīgo. x.
Tāpēc mēs atkal piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
Pirmā faktora pakāpi mēs pārveidojam par sakni, un, diferencējot otro faktoru, neaizmirstam, ka konstantes atvasinājums ir vienāds ar nulli:
Tagad mēs varam atrast atvasinājumu starpposma argumentam, kas nepieciešams, lai aprēķinātu sarežģītās funkcijas atvasinājumu, kas nepieciešams uzdevuma nosacījumā y:
5. piemērs Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Pirmkārt, mēs izmantojam summas diferencēšanas noteikumu:
Iegūstiet divu sarežģītu funkciju atvasinājumu summu. Atrodi pirmo:
Šeit sinusa paaugstināšana līdz pakāpei ir sarežģīta funkcija, un pats sinuss ir starpposma arguments neatkarīgajā mainīgajā. x. Tāpēc mēs izmantojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu izņemot reizinātāju no iekavām :
Tagad mēs atrodam otro terminu no tiem, kas veido funkcijas atvasinājumu y:
Šeit kosinusa paaugstināšana līdz pakāpei ir sarežģīta funkcija f, un pats kosinuss ir starparguments attiecībā uz neatkarīgo mainīgo x. Atkal mēs izmantojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
Rezultāts ir nepieciešamais atvasinājums:
Dažu sarežģītu funkciju atvasinājumu tabula
Sarežģītām funkcijām, pamatojoties uz sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu, vienkāršas funkcijas atvasinājuma formula iegūst citu formu.
| 1. Sarežģītas jaudas funkcijas atvasinājums, kur u x |  |
| 2. Izteiksmes saknes atvasinājums | |
| 3. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums |  |
| 4. Eksponenciālās funkcijas īpašs gadījums | |
| 5. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums ar patvaļīgu pozitīvu bāzi A |  |
| 6. Sarežģītas logaritmiskās funkcijas atvasinājums, kur u ir argumenta diferencējama funkcija x | |
| 7. Sinusa atvasinājums |  |
| 8.Kosinusa atvasinājums |  |
| 9. Pieskares atvasinājums |  |
| 10.Kotangensa atvasinājums |  |
| 11.Arksīna atvasinājums |  |
| 12.Arka kosinusa atvasinājums |  |
| 13. Loka tangensa atvasinājums |  |
| 14. Apgrieztās tangensas atvasinājums |  |