2D kubs. Kiberkubs – pirmais solis ceturtajā dimensijā

Cilvēka smadzeņu evolūcija notika trīsdimensiju telpā. Tāpēc mums ir grūti iedomāties telpas, kuru izmēri ir lielāki par trim. Faktiski cilvēka smadzenes nevar iedomāties ģeometriskus objektus, kuriem ir vairāk nekā trīs dimensijas. Un tajā pašā laikā mēs varam viegli iedomāties ģeometriskus objektus, kuru izmēri ir ne tikai trīs, bet arī divi un viens.

Atšķirība un līdzība starp viendimensiju un divdimensiju telpām, kā arī atšķirība un līdzība starp divdimensiju un trīsdimensiju telpām ļauj mums nedaudz atvērt noslēpumu ekrānu, kas mūs norobežo no augstāku dimensiju telpām. Lai saprastu, kā šī līdzība tiek izmantota, apsveriet ļoti vienkāršu četrdimensiju objektu - hiperkubu, tas ir, četrdimensiju kubu. Precizitātes labad pieņemsim, ka mēs vēlamies atrisināt konkrētu uzdevumu, proti, saskaitīt četrdimensiju kuba kvadrātveida skaldnes. Visi turpmāk minētie apsvērumi būs ļoti brīvi, bez jebkādiem pierādījumiem, tikai pēc analoģijas.

Lai saprastu, kā no parasta kuba tiek uzbūvēts hiperkubs, vispirms jāpaskatās, kā no parasta kvadrāta uzbūvēts parasts kubs. Šī materiāla noformējuma oriģinalitātes labad mēs šeit sauksim parastu kvadrātveida SubCube (un mēs to nejauksim ar succubus).

Lai izveidotu kubu no apakškuba, ir nepieciešams paplašināt apakškubu virzienā, kas ir perpendikulārs apakškuba plaknei trešās dimensijas virzienā. Tajā pašā laikā no katras sākotnējā subkuba puses izaugs apakškubs, kas ir kuba divdimensiju sānu mala, kas ierobežos kuba trīsdimensiju tilpumu no četrām pusēm, divas perpendikulāri katram virzienam. subkuba plakne. Un gar jauno trešo asi ir arī divi apakškubi, kas ierobežo kuba trīsdimensiju tilpumu. Šī ir divdimensiju seja, kurā sākotnēji atradās mūsu apakškubs, un kuba divdimensiju virsma, kur apakškubs atradās kuba konstrukcijas beigās.

Tas, ko tikko izlasījāt, ir izklāstīts pārāk detalizēti un ar daudziem precizējumiem. Un ne nejauši. Tagad mēs izdarīsim šādu triku, dažus vārdus iepriekšējā tekstā aizstāsim formāli šādā veidā:
kubs -> hiperkubs
apakškubs -> kubs
plakne -> apjoms
trešais -> ceturtais
2D —> 3D
četri -> seši
trīsdimensiju -> četrdimensiju
divi -> trīs
plakne -> telpa

Rezultātā mēs iegūstam šādu saturīgu tekstu, kas vairs nešķiet pārāk detalizēts.

Lai no kuba izveidotu hiperkubu, kubs ir jāizstiepj virzienā, kas ir perpendikulārs kuba tilpumam ceturtās dimensijas virzienā. Tajā pašā laikā no katras sākotnējā kuba puses izaugs kubs, kas ir hiperkuba sānu trīsdimensiju virsma, kas ierobežos hiperkuba četrdimensiju tilpumu no sešām pusēm, trīs perpendikulāri katram virzienam. kuba telpa. Un gar jauno ceturto asi ir arī divi kubi, kas ierobežo hiperkuba četrdimensiju tilpumu. Šī ir trīsdimensiju seja, kurā sākotnēji atradās mūsu kubs, un hiperkuba trīsdimensiju seja, kur kubs nonāca hiperkuba uzbūves beigās.

Kāpēc mēs esam tik pārliecināti, ka esam saņēmuši pareizu hiperkuba uzbūves aprakstu? Jā, jo ar tieši tādu pašu formālu vārdu aizstāšanu mēs iegūstam kuba uzbūves aprakstu no kvadrāta konstrukcijas apraksta. (Pārbaudiet to pats.)

Tagad ir skaidrs, ka, ja no katras kuba puses jāizaug vēl viens trīsdimensiju kubs, tad no katras sākotnējā kuba malas jāizaug sejiņa. Kopumā kubam ir 12 malas, kas nozīmē, ka tiem 6 kubiem, kas ierobežo četrdimensiju tilpumu pa trim trīsdimensiju telpas asīm, būs papildus 12 jaunas sejas (apakškubi). Un ir vēl divi kubi, kas ierobežo šo četrdimensiju tilpumu no apakšas un no augšas pa ceturto asi. Katram no šiem kubiem ir 6 sejas.

Kopumā iegūstam, ka hiperkubam ir 12+6+6=24 kvadrātveida skaldnes.

Nākamajā attēlā parādīta hiperkuba loģiskā struktūra. Tā ir kā hiperkuba projekcija trīsdimensiju telpā. Šajā gadījumā tiek iegūts trīsdimensiju ribu rāmis. Attēlā, protams, ir redzama šī kadra projekcija arī plaknē.



Uz šī rāmja iekšējais kubs it kā ir sākotnējais kubs, no kura sākās konstrukcija un kas ierobežo hiperkuba četrdimensiju tilpumu pa ceturto asi no apakšas. Mēs izstiepjam šo sākotnējo kubu uz augšu pa ceturtās dimensijas asi, un tas nonāk ārējā kubā. Tātad ārējais un iekšējais kubi no šī attēla ierobežo hiperkubu gar ceturtās dimensijas asi.

Un starp šiem diviem kubiem ir redzami vēl 6 jauni kubi, kas ar pirmajiem diviem saskaras ar kopīgām sejām. Šie seši kubi ierobežo mūsu hiperkubu pa trim trīsdimensiju telpas asīm. Kā redzat, tie ne tikai saskaras ar pirmajiem diviem kubiem, kas ir iekšējie un ārējie uz šī trīsdimensiju rāmja, bet tie joprojām saskaras viens ar otru.

Jūs varat aprēķināt tieši attēlā un pārliecināties, ka hiperkubam patiešām ir 24 sejas. Bet šeit rodas jautājums. Šis 3D hiperkuba rāmis ir piepildīts ar astoņiem 3D kubiem bez atstarpēm. Lai no šīs hiperkuba 3D projekcijas izveidotu īstu hiperkubu, šis kadrs ir jāpagriež otrādi, lai visi 8 kubi ierobežotu 4D skaļumu.

Tas tiek darīts šādi. Aicinām ciemos kādu četrdimensiju telpas iemītnieku un lūdzam viņam palīdzēt. Tas satver šī rāmja iekšējo kubu un novirza to uz ceturto dimensiju, kas ir perpendikulāra mūsu 3D telpai. Mēs savā trīsdimensiju telpā to uztveram tā, it kā viss iekšējais rāmis būtu pazudis un būtu palicis tikai ārējā kuba rāmis.

Tālāk mūsu 4D asistente piedāvā palīdzēt dzemdību slimnīcās nesāpīgām dzemdībām, bet mūsu grūtnieces ir šausmās par iespēju, ka mazulis vienkārši pazūd no vēdera un nonāks paralēlā 3D telpā. Tāpēc četrkāršais pieklājīgi tiek atteikts.

Un mēs domājam, vai daži no mūsu kubiem ir atslāņojušies, kad hiperkuba rāmis tika apgriezts otrādi. Galu galā, ja daži trīsdimensiju kubi, kas ieskauj hiperkubu, pieskaras saviem kaimiņiem uz rāmja, vai tie pieskaras tām pašām sejām, ja četrdimensiju kubi apgriež rāmi otrādi.

Atkal pievērsīsimies analoģijai ar zemākas dimensijas telpām. Salīdziniet hiperkuba stiepļu rāmja attēlu ar 3D kuba projekciju uz plakni, kas parādīta nākamajā attēlā.



Divdimensiju telpas iedzīvotāji uz plaknes uzbūvēja kuba projekcijas karkasu plaknē un aicināja mūs, trīsdimensiju iedzīvotājus, apgriezt šo karkasu no iekšpuses. Mēs ņemam četras iekšējā kvadrāta virsotnes un pārvietojam tās perpendikulāri plaknei. Tajā pašā laikā divdimensiju iedzīvotāji redz pilnīgu visa iekšējā rāmja izzušanu, un viņiem ir tikai ārējā kvadrāta rāmis. Ar šādu darbību visi kvadrāti, kas bija saskarē ar to malām, turpina saskarties kā iepriekš ar tām pašām malām.

Tāpēc mēs ceram, ka, apgriežot hiperkuba rāmi otrādi, netiks pārkāpta arī hiperkuba loģiskā shēma, un hiperkuba kvadrātveida skaldņu skaits nepalielināsies un paliks vienāds ar 24. Tas, protams, ir nekādu pierādījumu, bet tikai minējums pēc analoģijas.

Pēc visa šeit lasītā varat viegli uzzīmēt piecdimensiju kuba loģisko ietvaru un aprēķināt, cik virsotņu, malu, skaldņu, kubu un hiperkubu tam ir. Tas nemaz nav grūti.

Hiperkuba un platoniskās cietās vielas

Simulējiet atdalītu ikosaedru ("futbola bumbu") sistēmā "Vector"
kur katru piecstūri ierobežo sešstūri

Nocirsts ikosaedrs var iegūt, izgriežot 12 virsotnes, veidojot skaldnes regulāru piecstūru formā. Šajā gadījumā jaunā daudzskaldņa virsotņu skaits palielinās 5 reizes (12 × 5 = 60), 20 trīsstūrveida skaldnes pārvēršas par regulāriem sešstūriem (kopā sejas kļūst 20+12=32), a malu skaits palielinās līdz 30+12×5=90.

Nogriezta ikosaedra konstruēšanas soļi Vector sistēmā

Figūras 4-dimensiju telpā.

--à

--à ?

Piemēram, dots kubs un hiperkubs. Hiperkubā ir 24 sejas. Tas nozīmē, ka 4-dimensiju oktaedram būs 24 virsotnes. Lai gan nē, hiperkubam ir 8 kubu skaldnes - katrā centrā ir virsotne. Tas nozīmē, ka 4-dimensiju oktaedram būs vieglāk 8 virsotnes.

4-dimensiju oktaedrs. Tas sastāv no astoņiem vienādmalu un vienādiem tetraedriem,
savienotas četras katrā virsotnē.

Rīsi. Mēģinājums simulēt
hiperbumba-hipersfēra "Vector" sistēmā

Priekšpuse - aizmugure - bumbiņas bez kropļojumiem. Vēl sešas bumbiņas - var norādīt caur elipsoīdiem vai kvadrātveida virsmām (caur 4 kontūrlīnijām kā ģeneratoriem) vai caur virsmām (vispirms definētas caur ģeneratoriem).

Vairāk triku, kā "uzbūvēt" hipersfēru
- tā pati "futbola bumba" 4-dimensiju telpā

2.pielikums

Izliektajam daudzskaldnim ir īpašība, kas attiecas uz tā virsotņu, šķautņu un skaldņu skaitu, ko 1752. gadā pierādīja Leonhards Eilers un nosauca par Eilera teorēmu.

Pirms formulēšanas apsveriet mums zināmos daudzskaldņus un aizpildiet šādu tabulu, kurā B ir dotā daudzskaldņa virsotņu, P - malu un G - skalu skaits:

Daudzskaldņa nosaukums

trīsstūrveida piramīda

četrstūra piramīda

trīsstūrveida prizma

četrstūra prizma

n-ogļu piramīda

n+1

2n

n+1

n-oglekļa prizma

2n

3n

n+2

n-ogleklis saīsināts

piramīda

2n

3n

n+2

No šīs tabulas tieši redzams, ka visiem izvēlētajiem daudzskaldņiem ir spēkā vienādība B - P + T = 2. Izrādās, ka šī vienādība ir patiesa ne tikai šiem daudzskaldņiem, bet arī patvaļīgam izliektam daudzskaldnim.

Eilera teorēma. Jebkuram izliektam daudzskaldnim vienādība

V - R + G \u003d 2,

kur B ir virsotņu skaits, P ir šķautņu skaits un G ir dotā daudzskaldņa skalu skaits.

Pierādījums. Lai pierādītu šo vienlīdzību, iedomājieties konkrēta daudzskaldņa virsmu, kas izgatavota no elastīga materiāla. Izdzēsīsim (izgriezīsim) vienu no tās skaldnēm un atlikušo virsmu izstiepsim plaknē. Mēs iegūstam daudzstūri (ko veido daudzskaldņa noņemtās skaldnes malas), kas sadalīts mazākos daudzstūros (ko veido daudzskaldņa atlikušās skaldnes).

Ņemiet vērā, ka daudzstūru malas var deformēt, palielināt, samazināt vai pat saliekt, ja vien malas neplīst. Virsotņu, malu un skaldņu skaits nemainīsies.

Pierādīsim, ka iegūtais daudzstūra sadalījums mazākos daudzstūros apmierina vienādību

(*) V - R + G "= 1,

kur B ir kopējais virsotņu skaits, P ir kopējais šķautņu skaits un Г "ir nodalījumā iekļauto daudzstūru skaits. Ir skaidrs, ka Г" \u003d Г - 1, kur Г ir šķautņu skaits šis daudzskaldnis.

Pierādīsim, ka vienādība (*) nemainās, ja kādā dotā nodalījuma daudzstūrī ievelkam diagonāli (5. att., a). Patiešām, pēc šādas diagonāles zīmēšanas jaunajā nodalījumā būs B virsotnes, P + 1 malas, un daudzstūru skaits palielināsies par vienu. Tāpēc mums ir

V — (R + 1) + (G "+1) \u003d V - R + G" .


Izmantojot šo īpašību, mēs zīmējam diagonāles, sadalot ienākošos daudzstūrus trīsstūros, un iegūtajam nodalījumam parādām, ka vienādība (*) ir izpildīta (5. att., b). Lai to izdarītu, mēs konsekventi noņemsim ārējās malas, samazinot trīsstūru skaitu. Šajā gadījumā ir iespējami divi gadījumi:

a) lai noņemtu trīsstūri ABC mūsu gadījumā ir jānoņem divas ribas AB un BC;

b) lai noņemtu trīsstūriMKNmūsu gadījumā ir jānoņem viena malaMN.

Abos gadījumos vienādība (*) nemainīsies. Piemēram, pirmajā gadījumā pēc trīsstūra noņemšanas grafiks sastāvēs no B - 1 virsotnēm, R - 2 malām un G "- 1 daudzstūra:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G".

Apsveriet otro gadījumu paši.

Tādējādi, noņemot vienu trīsstūri, vienādība (*) nemainās. Turpinot šo trīsstūru noņemšanas procesu, mēs galu galā nonāksim pie nodalījuma, kas sastāv no viena trīsstūra. Šādam nodalījumam B \u003d 3, P \u003d 3, Г "= 1 un līdz ar to B - Р + Г" = 1. Tādējādi vienādība (*) attiecas arī uz sākotnējo nodalījumu, no kura mēs beidzot iegūstam ka konkrētajam daudzstūru nodalījumam ir spēkā vienādība (*). Tādējādi sākotnējam izliektam daudzskaldnim vienādība B - P + G = 2 ir patiesa.

Daudzskaldņa piemērs, kuram Eilera relācija nav spēkā parādīts 6. attēlā. Šim daudzskaldnim ir 16 virsotnes, 32 malas un 16 skaldnes. Tādējādi šim daudzskaldnim ir izpildīta vienādība B - P + G = 0.

3. pielikums

Movie Cube 2: Hypercube "(eng. Cube 2: Hypercube) - fantāzijas filma, filmas "Kubs" turpinājums.

Astoņi svešinieki pamostas kubveida istabās. Telpas atrodas četrdimensiju hiperkubā. Telpas nepārtraukti pārvietojas ar "kvantu teleportāciju", un, ja jūs uzkāpjat nākamajā telpā, tad diez vai atgriezīsies iepriekšējā. Hiperkubā krustojas paralēlās pasaules, dažās telpās laiks plūst atšķirīgi, un dažas telpas ir nāves lamatas.

Attēla sižets lielā mērā atkārto pirmās daļas stāstu, kas atspoguļojas arī dažu varoņu attēlos. Hiperkuba telpās mirst Nobela prēmijas laureāts Rozencveigs, kurš aprēķināja precīzu hiperkuba iznīcināšanas laiku.

Kritika

Ja pirmajā daļā labirintā ieslodzītie centās viens otram palīdzēt, tad šajā filmā katrs par sevi. Ir daudz papildus specefektu (tie arī ir lamatas), kas loģiski nesaista šo filmas daļu ar iepriekšējo. Respektīvi, izrādās, filma Kubs 2 ir sava veida nākotnes 2020-2030 labirints, bet ne 2000. Pirmajā daļā visu veidu lamatas teorētiski var radīt cilvēks. Otrajā daļā šie slazdi ir sava veida datora programma, tā sauktā "virtuālā realitāte".


Ja tas notika ar jums neparasts gadījums, jūs redzējāt dīvainu radījumu vai nesaprotamu parādību, jums bija neparasts sapnis, jūs redzējāt NLO debesīs vai kļuvāt par citplanētiešu nolaupīšanas upuri, varat atsūtīt mums savu stāstu un tas tiks publicēts mūsu vietnē ===> .

Mācības par daudzdimensionālām telpām sāka parādīties 19. gadsimta vidū. Zinātniskā fantastika ideju par četrdimensiju telpu aizņēmās no zinātniekiem. Savos darbos viņi stāstīja pasaulei par pārsteidzošajiem ceturtās dimensijas brīnumiem.

Savu darbu varoņi, izmantojot četrdimensiju telpas īpašības, varēja apēst olas saturu, nesabojājot čaumalu, iedzert dzērienu, neatverot pudeles korķi. Nolaupītāji ieguva dārgumus no seifa caur ceturto dimensiju. Ķirurgi veica iekšējo orgānu operācijas, negriežot pacienta ķermeņa audus.

tesserakts

Ģeometrijā hiperkubs ir kvadrāta (n = 2) un kuba (n = 3) n-dimensiju līdzība. Mūsu parastā trīsdimensiju kuba četrdimensiju analogs ir pazīstams kā tesserakts. Tesrakts ir pret kubu tāpat kā kubs pret kvadrātu. Formālāk tesseraktu var raksturot kā regulāru izliektu četrdimensiju daudzskaldni, kura robeža sastāv no astoņām kubiskām šūnām.



Katrs neparalēlu 3D seju pāris krustojas, veidojot 2D sejas (kvadrātus) utt. Visbeidzot, tesseraktam ir 8 3D virsmas, 24 2D, 32 malas un 16 virsotnes.
Starp citu, saskaņā ar Oksfordas vārdnīcu vārdu tesserakts izdomāja un 1888. gadā izmantoja Čārlzs Hovards Hintons (1853-1907) savā grāmatā A New Age of Thought. Vēlāk daži cilvēki šo pašu figūru sauca par tetrakubu (grieķu tetra — četri) — četrdimensiju kubu.



Konstrukcija un apraksts

Mēģināsim iedomāties, kā izskatīsies hiperkubs, neizejot no trīsdimensiju telpas.
Viendimensionālā "telpā" - uz taisnes - izvēlamies segmentu AB ar garumu L. Divdimensiju plaknē, kas atrodas L attālumā no AB, novelkam tai paralēlu nogriezni DC un savienojam to galus. Jūs saņemsiet kvadrātveida CDBA. Atkārtojot šo darbību ar plakni, iegūstam trīsdimensiju kubu CDBAGHFE. Un, pārvietojot kubu ceturtajā dimensijā (perpendikulāri pirmajiem trim) par attālumu L, mēs iegūstam CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkubu.

Līdzīgā veidā varam turpināt argumentāciju par lielāka dimensiju skaita hiperkubiem, taču daudz interesantāk ir redzēt, kā mums, trīsdimensiju telpas iemītniekiem, izskatīsies četrdimensiju hiperkubs.

Ņemsim stieples kubu ABCDHEFG un paskatīsimies uz to ar vienu aci no sejas puses. Plaknē redzēsim un varēsim uzzīmēt divus kvadrātus (tās tuvākās un tālākās skaldnes), kas savienoti ar četrām līnijām – sānu malām. Līdzīgi četrdimensiju hiperkubs trīsdimensiju telpā izskatīsies kā divas kubiskas "kastes", kas ievietotas viena otrā un savienotas ar astoņām malām. Šajā gadījumā pašas "kastes" - trīsdimensiju sejas - tiks projicētas "mūsu" telpā, un tās savienojošās līnijas stiepsies ceturtās ass virzienā. Var arī mēģināt iztēloties kubu nevis projekcijā, bet telpiskā attēlā.


Tāpat kā trīsdimensiju kubu veido kvadrāts, kas nobīdīts par sejas garumu, kubs, kas nobīdīts ceturtajā dimensijā, veidos hiperkubu. To ierobežo astoņi kubi, kas nākotnē izskatīsies kā diezgan sarežģīta figūra. Pašu četrdimensiju hiperkubu var sadalīt bezgalīgā skaitā kubu, tāpat kā trīsdimensiju kubu var “sagriezt” bezgalīgi daudzos plakanos kvadrātos.

Izgriežot sešas trīsdimensiju kuba šķautnes, jūs varat to sadalīt līdzenā figūrā - tīklā. Tam būs kvadrāts katrā sākotnējās sejas pusē, kā arī vēl viens - tai pretējā seja. Četrdimensiju hiperkuba trīsdimensiju izstrāde sastāvēs no oriģinālā kuba, sešiem kubiem, kas no tā "izaug", plus vēl viens - galīgā "hiperseja".



Hiperkubs mākslā

Tesseract ir tik interesanta figūra, ka tā vairākkārt ir piesaistījusi rakstnieku un filmu veidotāju uzmanību.
Roberts E. Heinleins vairākas reizes pieminēja hiperkubus. Darbā The House That Teal Built (1940) viņš aprakstīja māju, kas uzcelta kā tesrakta izlocījumu, un pēc tam zemestrīces dēļ "izveidojās" ceturtajā dimensijā un kļuva par "īstu" tesraktu. Heinleina romānā Glory Road ir aprakstīta hiperdimensionāla kaste, kas iekšpusē bija lielāka nekā ārpuse.

Henrija Katnera stāstā "All Borog's Tenals" ir aprakstīta izglītojoša rotaļlieta bērniem no tālas nākotnes, kas pēc uzbūves līdzīga tesraktam.

Cube 2 sižets: Hiperkuba centrā ir astoņi svešinieki, kas iesprostoti "hiperkubā" jeb savienotu kubu tīklā.

Paralēlā pasaule

Matemātiskās abstrakcijas atdzīvināja eksistences jēdzienu paralēlās pasaules. Tās ir realitātes, kas pastāv vienlaikus ar mūsējo, bet neatkarīgi no tās. Paralēlajai pasaulei var būt dažādi izmēri: no neliela ģeogrāfiskā apgabala līdz visam Visumam. Paralēlajā pasaulē notikumi notiek savā veidā, tā var atšķirties no mūsu pasaules gan atsevišķās detaļās, gan gandrīz visā. Kurā fiziskie likumi Paralēlā pasaule ne vienmēr ir līdzīga mūsu Visuma likumiem.

Šī tēma ir auglīga augsne zinātniskās fantastikas rakstniekiem.

Salvadora Dalī filmā “Krustā sišana pie krusta” ir attēlots tesrakts. "Krustā sišana vai hiperkubiskais ķermenis" - spāņu mākslinieka Salvadora Dalī glezna, kas sarakstīta 1954. gadā. Attēlots krustā sisto Jēzu Kristu par tesrakta attīstību. Glezna glabājas Metropolitēna mākslas muzejā Ņujorkā.

Viss sākās 1895. gadā, kad HG Velss atklāja paralēlo pasauļu esamību fantāzijai ar stāstu "Durvis sienā". 1923. gadā Velss atgriezās pie idejas par paralēlajām pasaulēm un vienā no tām ievietoja utopisku valsti, kurp dodas romāna "Cilvēki ir kā dievi" varoņi.

Romāns nepalika nepamanīts. 1926. gadā parādījās G. Denta stāsts "Valsts imperators" Ja ". Denta stāstā pirmo reizi radās doma, ka varētu būt valstis (pasaules), kuru vēsture varētu iet savādāk nekā īstu valstu vēsture. Un šīs pasaules ir ne mazāk reālas kā mūsu.

1944. gadā Horhe Luiss Borhess savā grāmatā Izdomātie stāsti publicēja noveli "Sazarojošo ceļu dārzs". Šeit ideja par laika sazarojumu beidzot tika izteikta ar vislielāko skaidrību.
Neskatoties uz iepriekš uzskaitīto darbu parādīšanos, ideja par daudzām pasaulēm zinātniskajā fantastikā sāka nopietni attīstīties tikai XX gadsimta četrdesmito gadu beigās, aptuveni tajā pašā laikā, kad līdzīga ideja radās fizikā.

Viens no zinātniskās fantastikas jaunā virziena aizsācējiem bija Džons Biksbijs, kurš stāstā "One-Way Street" (1954) ierosināja, ka starp pasaulēm var pārvietoties tikai vienā virzienā – pārejot no savas pasaules uz paralēlo. , tu neatgriezīsies, bet pāriesi no vienas pasaules uz nākamo. Tomēr nav izslēgta arī atgriešanās savā pasaulē – šim nolūkam ir nepieciešams, lai pasauļu sistēma būtu slēgta.

Kliforda Simaka romānā Gredzens ap sauli (1982) ir aprakstītas daudzas Zemes planētas, katra eksistē savā pasaulē, bet atrodas vienā orbītā, un šīs pasaules un šīs planētas atšķiras viena no otras tikai ar nelielu (mikrosekundes) nobīdi. laikā. Daudzas zemes, kuras apmeklēja romāna formas varonis vienota sistēma pasaules.

Ziņkārīgu skatu uz pasauļu sazarošanos izteicis Alfrēds Besters stāstā "Cilvēks, kurš nogalināja Muhamedu" (1958). "Mainot pagātni," apgalvoja stāsta varonis, "jūs to maināt tikai sev." Citiem vārdiem sakot, pēc pagātnes maiņas rodas vēstures atzars, kurā šīs izmaiņas pastāv tikai tam varonim, kurš veica izmaiņas.

Brāļu Strugacku stāstā "Pirmdiena sākas sestdienā" (1962) ir aprakstīti varoņu ceļojumi uz dažādām zinātniskās fantastikas rakstnieku aprakstītajām nākotnes versijām – atšķirībā no ceļojumiem uz dažādām pagātnes versijām, kas jau pastāvēja zinātniskajā fantastikā.

Tomēr pat vienkāršs visu to darbu uzskaitījums, kas skar pasauļu paralēlisma tēmu, aizņemtu pārāk daudz laika. Un, lai gan zinātniskās fantastikas rakstnieki, kā likums, zinātniski nepamato daudzdimensionalitātes postulātu, viņiem ir taisnība vienā lietā - šī ir hipotēze, kurai ir tiesības pastāvēt.
Tesrakta ceturtā dimensija joprojām gaida mūs ciemos.

Viktors Savinovs


Bakaliera Marija

Tiek pētīti četrdimensiju kuba (tesserakta) jēdziena ieviešanas veidi, tā uzbūve un dažas īpašības Jautājums par to, kādus trīsdimensiju objektus iegūst, četrdimensiju kubu krustojot ar hiperplaknēm, kas ir paralēlas tā trīsdimensiju kubam. izmēru skaldnēm, kā arī ar hiperplaknēm, kas ir perpendikulāras tās galvenajai diagonālei. Tiek apskatīts pētījumos izmantotais daudzdimensionālās analītiskās ģeometrijas aparāts.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Ievads…………………………………………………………………………….2

Galvenā daļa…………………………………………………………………..4

Secinājumi……………………………………………………………………..12

Atsauces…………………………………………………………..13

Ievads

Četru dimensiju telpa jau sen ir piesaistījusi gan profesionālu matemātiķu, gan cilvēku, kuri ir tālu no šīs zinātnes praktizēšanas, uzmanību. Interese par ceturto dimensiju var būt saistīta ar pieņēmumu, ka mūsu trīsdimensiju pasaule ir "iegremdēta" četrdimensiju telpā, tāpat kā plakne ir "iegremdēta" trīsdimensiju telpā, taisna līnija ir "iegremdēta" telpā. plakne, un punkts atrodas taisnā līnijā. Turklāt četrdimensiju telpai ir svarīga loma mūsdienu teorija relativitāte (tā sauktā telpa-laiks jeb Minkovska telpa), un to var uzskatīt arī par īpašu gadījumudimensiju Eiklīda telpa (par).

Četrdimensiju kubs (tesserakts) ir četrdimensiju telpas objekts, kuram ir maksimāli iespējamā dimensija (tāpat kā parastais kubs ir trīsdimensiju telpas objekts). Ņemiet vērā, ka tas arī interesē tieši, proti, tas var parādīties lineārās programmēšanas optimizācijas problēmās (kā apgabals, kurā atrodama četru mainīgo lineārās funkcijas minimums vai maksimums), kā arī tiek izmantots digitālajā mikroelektronikā (kad displeja darbības programmēšana elektroniskais pulkstenis). Turklāt pats četrdimensiju kuba izpētes process veicina telpiskās domāšanas un iztēles attīstību.

Tāpēc četrdimensiju kuba struktūras un specifisko īpašību izpēte ir diezgan aktuāla. Jāpiebilst, ka struktūras ziņā četrdimensiju kubs ir izpētīts gana labi. Daudz lielāku interesi rada tās sekciju raksturs ar dažādām hiperplānām. Tādējādi šī darba galvenais mērķis ir izpētīt tesserakta uzbūvi, kā arī noskaidrot jautājumu par to, kādus trīsdimensiju objektus iegūs, ja četrdimensiju kubu sagriež hiperplaknes, kas ir paralēlas vienai no tā trīsdimensiju objektiem. dimensiju skaldnēm vai hiperplaknēm, kas ir perpendikulāras tās galvenajai diagonālei. Hiperplakne četrdimensiju telpā ir trīsdimensiju apakštelpa. Var teikt, ka plaknes taisne ir viendimensijas hiperplakne, plakne trīsdimensiju telpā ir divdimensiju hiperplakne.

Izvirzītais mērķis noteica pētījuma mērķus:

1) Izpētīt daudzdimensionālās analītiskās ģeometrijas pamatfaktus;

2) Izpētīt kubu konstruēšanas īpatnības ar izmēriem no 0 līdz 3;

3) Pētīt četrdimensiju kuba uzbūvi;

4) analītiski un ģeometriski apraksta četrdimensiju kubu;

5) Izveidojiet trīsdimensiju un četru dimensiju kubu skrāpējumu un centrālo projekciju modeļus.

6) Izmantojot daudzdimensiju analītiskās ģeometrijas aparātu, aprakstiet trīsdimensiju objektus, kas iegūti, šķērsojot četrdimensiju kubu ar hiperplaknēm, kas ir paralēlas vienai no tā trīsdimensiju skaldnēm, vai ar hiperplaknēm, kas ir perpendikulāras tā galvenajai diagonālei.

Šādā veidā iegūtā informācija ļaus labāk izprast tesserakta uzbūvi, kā arī atklāt dziļu analoģiju dažādu izmēru kubu struktūrā un īpašībās.

Galvenā daļa

Pirmkārt, mēs aprakstām matemātisko aparātu, ko izmantosim šī pētījuma gaitā.

1) Vektoru koordinātas: ja, tad

2) Hiperplaknes vienādojums ar normālu vektoru izskatās šeit

3) Lidmašīnas un ir paralēli tad un tikai tad

4) Attālumu starp diviem punktiem nosaka šādi: ja, tad

5) vektoru ortogonalitātes nosacījums:

Vispirms noskaidrosim, kā var raksturot četrdimensiju kubu. To var izdarīt divos veidos - ģeometriski un analītiski.

Ja runājam par iestatīšanas ģeometrisko metodi, tad vēlams sekot līdzi kubu konstruēšanas procesam, sākot no nulles dimensijas. Nulles dimensijas kubs ir punkts (starp citu, ņemiet vērā, ka punkts var spēlēt arī nulles dimensijas bumbiņas lomu). Tālāk mēs ieviešam pirmo dimensiju (abscisu asi) un uz atbilstošās ass atzīmējam divus punktus (divi nulles dimensijas kubi), kas atrodas 1 attālumā viens no otra. Rezultāts ir segments - viendimensijas kubs. Tūlīt mēs atzīmējam raksturīgu iezīmi: viendimensijas kuba (segmenta) robeža (gali) ir divi nulles dimensijas kubi (divi punkti). Tālāk mēs ieviešam otro dimensiju (y-ass) un plaknēKonstruēsim divus viendimensijas kubus (divus segmentus), kuru gali atrodas viens no otra 1 attālumā (faktiski viens no segmentiem ir otra ortogonāla projekcija). Savienojot atbilstošos segmentu galus, iegūstam kvadrātu - divdimensiju kubu. Atkal mēs atzīmējam, ka divdimensiju kuba (kvadrāta) robeža ir četri viendimensijas kubi (četri segmenti). Visbeidzot, mēs ieviešam trešo dimensiju (aplikācijas asi) un konstruējam telpādivus kvadrātus tā, lai viens no tiem būtu otra ortogonāla projekcija (šajā gadījumā atbilstošās kvadrātu virsotnes atrodas viena no otras 1 attālumā). Savienojiet atbilstošās virsotnes ar segmentiem - mēs iegūstam trīsdimensiju kubu. Mēs redzam, ka trīsdimensiju kuba robeža ir seši divdimensiju kubi (seši kvadrāti). Aprakstītās konstrukcijas ļauj atklāt šādu likumsakarību: katrā solīdimensiju kubs "pārvietojas, atstājot pēdas".Tas ir mērījums attālumā no 1, kamēr kustības virziens ir perpendikulārs kubam. Tieši šī procesa formālais turpinājums ļauj nonākt pie četrdimensiju kuba jēdziena. Proti, piespiedīsim trīsdimensiju kubu kustēties ceturtās dimensijas virzienā (perpendikulāri kubam) attālumā 1. Rīkojoties līdzīgi kā iepriekšējam, tas ir, savienojot atbilstošās kubu virsotnes, mēs iegūstiet četrdimensiju kubu. Jāpiebilst, ka šāda konstrukcija mūsu telpā ir ģeometriski neiespējama (jo tā ir trīsdimensionāla), taču šeit mēs nesastopamies ar pretrunām no loģikas viedokļa. Tagad pāriesim pie četrdimensiju kuba analītisko aprakstu. To iegūst arī formāli, ar analoģijas palīdzību. Tātad nulles dimensijas vienības kuba analītiskajam uzdevumam ir šāda forma:

Viendimensijas vienības kuba analītiskajam uzdevumam ir šāda forma:

Divdimensiju vienības kuba analītiskais uzdevums ir šāds:

Trīsdimensiju vienības kuba analītiskajam uzdevumam ir šāda forma:

Tagad ir ļoti viegli sniegt četrdimensiju kuba analītisko attēlojumu, proti:

Kā redzat, gan ģeometriskā, gan analītiskā četrdimensiju kuba noteikšanas metode izmantoja analoģijas metodi.

Tagad, izmantojot analītiskās ģeometrijas aparātu, mēs noskaidrosim, kāda ir četrdimensiju kuba struktūra. Vispirms noskaidrosim, kādi elementi tajā ir iekļauti. Šeit atkal varat izmantot analoģiju (lai izvirzītu hipotēzi). Viendimensijas kuba robežas ir punkti (nulles kubi), divdimensiju kubam - segmenti (viendimensijas kubi), trīsdimensiju kubam - kvadrāti (divdimensiju skaldnes). Var pieņemt, ka tesserakta robežas ir trīsdimensiju kubi. Lai to pierādītu, noskaidrosim, ko nozīmē virsotnes, malas un skaldnes. Kuba virsotnes ir tā stūra punkti. Tas ir, virsotņu koordinātas var būt nulles vai vieninieki. Tādējādi tiek atrasta sakarība starp kuba izmēru un tā virsotņu skaitu. Mēs piemērojam kombinatorisko reizinājuma noteikumu - kopš virsotneskubā ir tiešikoordinātas, no kurām katra ir vienāda ar nulli vai vienu (neatkarīgi no visām pārējām), tad irvirsotnes. Tādējādi jebkurā virsotnē visas koordinātas ir fiksētas un var būt vienādas ar vai . Ja mēs salabojam visas koordinātas (iestatot katru no tām vienādas ar vai , neatkarīgi no pārējiem), izņemot vienu, tad iegūstam taisnas līnijas, kas satur kuba malas. Līdzīgi kā iepriekšējā, varam saskaitīt, ka tādas ir tiešilietas. Un, ja mēs tagad salabojam visas koordinātas (iestatot katru no tām vienādas ar vai , neatkarīgi no pārējiem), izņemot dažus divus, mēs iegūstam plaknes, kas satur kuba divdimensiju virsmas. Izmantojot kombinatorikas likumu, mēs atklājam, ka ir tieši tādilietas. Turklāt līdzīgi - visu koordinātu fiksēšana (katru no tām iestatot vienāda ar vai , neatkarīgi no pārējiem), izņemot dažus trīs, mēs iegūstam hiperplaknes, kas satur kuba trīsdimensiju skaldnes. Izmantojot to pašu noteikumu, mēs aprēķinām to skaitu - precīziutt. Ar to pietiks mūsu pētījumam. Iegūtos rezultātus piemērosim četrdimensiju kuba struktūrai, proti, visās mūsu iestatītajās atvasinātajās formulās. Tāpēc četrdimensiju kubam ir: 16 virsotnes, 32 malas, 24 divdimensiju skaldnes un 8 trīsdimensiju skaldnes. Skaidrības labad mēs analītiski definējam visus tā elementus.

Četrdimensiju kuba virsotnes:

Četrdimensiju kuba malas ():

Četrdimensiju kuba divdimensiju skaldnes (līdzīgi ierobežojumi):

Četrdimensiju kuba trīsdimensiju skaldnes (līdzīgi ierobežojumi):

Tagad, kad četrdimensiju kuba struktūra un tā definēšanas metodes ir aprakstītas pietiekami pilnībā, pāriesim pie galvenā mērķa realizācijas - noskaidrot dažādu kuba sekciju būtību. Sāksim ar elementāru gadījumu, kad kuba sekcijas ir paralēlas vienai no tā trīsdimensiju skaldnēm. Piemēram, apsveriet tās sadaļas ar hiperplaknēm, kas ir paralēlas sejaiNo analītiskās ģeometrijas ir zināms, ka jebkura šāda sadaļa tiks dota ar vienādojumuIestatīsim atbilstošās sadaļas analītiski:

Kā redzat, mēs esam ieguvuši analītisko uzdevumu trīsdimensiju vienības kubam, kas atrodas hiperplānā

Lai izveidotu analoģiju, mēs rakstām trīsdimensiju kuba daļu ar plakni Mēs iegūstam:

Šis ir kvadrāts, kas atrodas plaknē. Analoģija ir acīmredzama.

Četrdimensiju kuba griezumi pa hiperplaknēmsniedz tieši tādus pašus rezultātus. Tie būs arī atsevišķi trīsdimensiju kubi, kas atrodas hiperplānā attiecīgi.

Tagad aplūkosim četrdimensiju kuba sekcijas ar hiperplaknēm, kas ir perpendikulāras tā galvenajai diagonālei. Vispirms atrisināsim šo uzdevumu trīsdimensiju kubam. Izmantojot iepriekš aprakstīto vienību trīsdimensiju kuba noteikšanas metodi, viņš secina, ka, piemēram, segmentu ar galiem var ņemt par galveno diagonāli. un . Tas nozīmē, ka galvenās diagonāles vektoram būs koordinātas. Tāpēc jebkuras plaknes, kas ir perpendikulāra galvenajai diagonālei, vienādojums būs:

Definēsim parametru izmaiņu robežas. Jo , tad, saskaitot šīs nevienādības pa vienam, mēs iegūstam:

Vai .

Ja tad (ierobežojumu dēļ). Līdzīgi, ja, tad. Tātad, plkst un plkst griešanas plaknei un kubam ir tieši viens kopīgs punkts ( un attiecīgi). Tagad ievērosim sekojošo. Ja(atkal mainīgo ierobežojumu dēļ). Atbilstošās plaknes krusto trīs skaldnes uzreiz, jo pretējā gadījumā griešanas plakne būtu paralēla vienai no tām, kas neatbilst nosacījumam. Ja, tad plakne šķērso visas kuba skaldnes. Ja, tad plakne krusto sejas. Iesniegsim atbilstošos aprēķinus.

Ļaujiet Tad lidmašīnašķērso līniju turklāt taisnā līnijā. Robeža, turklāt. mala plakne krustojas taisnā līnijā, Turklāt

Ļaujiet Tad lidmašīnašķērso malu:

mala taisnā līnijā, turklāt.

mala taisnā līnijā, turklāt.

mala taisnā līnijā, turklāt.

mala taisnā līnijā, turklāt.

mala taisnā līnijā, turklāt.

mala taisnā līnijā, turklāt.

Šoreiz tiek iegūti seši segmenti ar secīgiem kopīgiem galiem:

Ļaujiet Tad lidmašīnašķērso līniju turklāt taisnā līnijā. mala plakne krustojas taisnā līnijā, un . mala plakne krustojas taisnā līnijā, Turklāt . Tas ir, tiek iegūti trīs segmenti, kuriem ir kopīgi pāri:Tādējādi norādītajām parametra vērtībāmplakne krustos kubu regulārā trijstūrī ar virsotnēm

Tātad, šeit ir izsmeļošs apraksts plaknes figūrām, kas iegūtas, šķērsojot kubu ar plakni, kas ir perpendikulāra tā galvenajai diagonālei. Galvenā doma bija šāda. Ir jāsaprot, kuras sejas plakne krustojas, kādās kopās tā tās krusto, kā šīs kopas ir savstarpēji saistītas. Piemēram, ja izrādījās, ka plakne krusto tieši trīs skaldnes pa segmentiem, kuriem ir pāru kopīgi gali, tad griezums bija vienādmalu trīsstūris (ko pierāda, tieši saskaitot nogriežņu garumus), kura virsotnes ir šie gali. no segmentiem.

Izmantojot to pašu aparātu un to pašu ideju par šķērsgriezumu izmeklēšanu, tieši tādā pašā veidā var secināt šādus faktus:

1) Vienai no četrdimensiju vienības kuba galvenajām diagonālēm vektoram ir koordinātes

2) Jebkuru hiperplakni, kas ir perpendikulāra četrdimensiju kuba galvenajai diagonālei, var uzrakstīt kā.

3) Sekantes hiperplaknes vienādojumā parametrsvar mainīties no 0 līdz 4;

4) plkst. un sekantajai hiperplaknei un četrdimensiju kubam ir viens kopīgs punkts ( un attiecīgi);

5) Kad iecirknī tiks iegūts regulārs tetraedrs;

6) Kad iecirknī tiks iegūts oktaedrs;

7) Kad sadaļā tiks iegūts regulārs tetraedrs.

Attiecīgi šeit hiperplakne šķērso tesseraktu gar plakni, uz kuras mainīgo ierobežojumu dēļ tiek piešķirts trīsstūra apgabals (analogs - plakne krustoja kubu pa taisnu līniju, uz kuras ierobežojumu dēļ mainīgajiem, tika piešķirts segments). 5. gadījumā hiperplakne krusto tieši četras trīsdimensiju tesseraktu skaldnes, tas ir, tiek iegūti četri trijstūri, kuriem ir pa pāriem kopīgas malas, citiem vārdiem sakot, veidojot tetraedru (kā to var aprēķināt - pareizi). 6. gadījumā) hiperplakne krusto tieši astoņas trīsdimensiju tesseraktu skaldnes, tas ir, tiek iegūti astoņi trijstūri, kuriem ir secīgas kopīgas malas, citiem vārdiem sakot, tie veido oktaedru. 7) gadījums ir pilnīgi līdzīgs 5. gadījumam).

Ilustrēsim teikto konkrēts piemērs. Proti, mēs pētām četrdimensiju kuba griezumu pa hiperplakniMainīgo ierobežojumu dēļ šī hiperplakne krusto šādas 3D sejas: mala krustojas plaknēMainīgo ierobežojumu dēļ mums ir:Iegūstiet trīsstūrveida laukumu ar virsotnēmTālāk,mēs iegūstam trīsstūriHiperplaknes krustpunktā ar sejumēs iegūstam trīsstūriHiperplaknes krustpunktā ar sejumēs iegūstam trīsstūriTādējādi tetraedra virsotnēm ir šādas koordinātas. Kā viegli aprēķināt, šis tetraedrs patiešām ir pareizs.

secinājumus

Tātad šī pētījuma gaitā tika pētīti daudzdimensiju analītiskās ģeometrijas galvenie fakti, pētītas kubu konstruēšanas īpatnības ar izmēriem no 0 līdz 3, pētīta četrdimensiju kuba uzbūve, četrdimensiju kubs. analītiski un ģeometriski aprakstīti, izveidoti trīsdimensiju un četrdimensiju kubu attīstības modeļi un centrālās projekcijas, analītiski aprakstīti trīsdimensiju kubi.objekti, kas rodas, četrdimensiju kubam krustojoties ar hiperplaknēm, kas ir paralēlas vienai no tā trim -dimensiju skaldnes vai hiperplaknes, kas ir perpendikulāras tās galvenajai diagonālei.

Pētījums ļāva atklāt dziļu analoģiju dažādu izmēru kubu struktūrā un īpašībās. Izmantoto analoģijas paņēmienu var izmantot pētījumā, piemēram,dimensiju sfēra vaidimensiju simplekss. Proti,dimensiju sfēru var definēt kā punktu kopudimensiju telpa vienādā attālumā no dots punkts, ko sauc par sfēras centru. Tālāk,dimensiju simpleksu var definēt kā daļuizmēru telpa, ko ierobežo minimālais skaitsdimensiju hiperplaknes. Piemēram, viendimensijas simplekss ir segments (viendimensijas telpas daļa, ko ierobežo divi punkti), divdimensiju simplekss ir trīsstūris (divdimensiju telpas daļa, ko ierobežo trīs līnijas), trīsdimensiju simplekss ir tetraedrs (trīsdimensiju telpas daļa, ko ierobežo četras plaknes). Visbeidzot,dimensiju simplekss ir definēts kā daļaizmēru telpa, ierobežotadimensijas hiperplakne.

Ņemiet vērā, ka, neskatoties uz daudzajiem tesserakta pielietojumiem dažās zinātnes jomās, šis pētījums joprojām lielākoties ir matemātisks pētījums.

Bibliogrāfija

1) Bugrovs Ya.S., Nikolsky S.M. augstākā matemātika, 1. sēj. - M .: Bustard, 2005 - 284 lpp.

2) Kvanti. Četrdimensiju kubs / Dužins S., Rubcovs V., 1986. gada 6. nr.

3) Kvanti. Kā zīmēt dimensiju kubs / Demidovičs N.B., Nr.8, 1974.g.

Punkti (±1, ±1, ±1, ±1). Citiem vārdiem sakot, to var attēlot kā šādu kopu:

Tesraktu ierobežo astoņas hiperplaknes, kuru krustpunkts ar pašu tesraktu nosaka tās trīsdimensiju skaldnes (kas ir parastie kubi). Katrs neparalēlu 3D seju pāris krustojas, veidojot 2D sejas (kvadrātus) utt. Visbeidzot, tesseraktam ir 8 3D virsmas, 24 2D, 32 malas un 16 virsotnes.

Populārs apraksts

Mēģināsim iedomāties, kā izskatīsies hiperkubs, neizejot no trīsdimensiju telpas.

Viendimensionālā "telpā" - uz taisnes - izvēlamies segmentu AB ar garumu L. Divdimensiju plaknē, kas atrodas L attālumā no AB, novelkam tai paralēlu nogriezni DC un savienojam to galus. Jūs saņemsiet kvadrātveida CDBA. Atkārtojot šo darbību ar plakni, iegūstam trīsdimensiju kubu CDBAGHFE. Un, pārvietojot kubu ceturtajā dimensijā (perpendikulāri pirmajiem trim) par attālumu L, mēs iegūstam CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkubu.

Tesrakta celtniecība lidmašīnā

Viendimensijas segments AB kalpo kā divdimensiju kvadrāta CDBA mala, kvadrāts ir kuba CDBAGHFE mala, kas, savukārt, būs četrdimensiju hiperkuba mala. Taisnas līnijas segmentam ir divi robežpunkti, kvadrātam ir četras virsotnes, bet kubam ir astoņas virsotnes. Tādējādi četrdimensiju hiperkubā būs 16 virsotnes: 8 sākotnējā kuba virsotnes un 8 virsotnes, kas nobīdītas ceturtajā dimensijā. Tam ir 32 malas - 12 katra norāda sākotnējā kuba sākotnējo un beigu pozīciju, un vēl 8 malas "uzzīmē" astoņas tā virsotnes, kas ir pārcēlušās uz ceturto dimensiju. To pašu var pamatot ar hiperkuba sejām. Divdimensiju telpā tas ir viens (pats kvadrāts), kubā ir 6 no tiem (divas skaliņas no pārvietotā kvadrāta un vēl četras aprakstīs tā malas). Četrdimensiju hiperkubam ir 24 kvadrātveida skaldnes - 12 kvadrāti no sākotnējā kuba divās pozīcijās un 12 kvadrāti no divpadsmit tā malām.

Tā kā kvadrāta malas ir 4 viendimensijas segmenti, bet kuba malas (šķejas) ir 6 divdimensiju kvadrāti, tā “četrdimensiju kubam” (tesseraktam) malas ir 8 trīsdimensiju kubi. Pretējo tesraktu kubu pāru telpas (tas ir, trīsdimensiju telpas, kurām pieder šie kubi) ir paralēlas. Attēlā tie ir kubi: CDBAGHFE un KLJIOPNM, CDBAKLJI un GHFEOPNM, EFBAMNJI un GHDCOPLK, CKIAGOME un DLJBHPNF.

Līdzīgā veidā varam turpināt argumentāciju par lielāka dimensiju skaita hiperkubiem, taču daudz interesantāk ir redzēt, kā mums, trīsdimensiju telpas iemītniekiem, izskatīsies četrdimensiju hiperkubs. Šim nolūkam izmantosim jau pazīstamo analoģiju metodi.

Ņemsim stieples kubu ABCDHEFG un paskatīsimies uz to ar vienu aci no sejas puses. Plaknē redzēsim un varēsim uzzīmēt divus kvadrātus (tās tuvākās un tālākās skaldnes), kas savienoti ar četrām līnijām – sānu malām. Līdzīgi četrdimensiju hiperkubs trīsdimensiju telpā izskatīsies kā divas kubiskas "kastes", kas ievietotas viena otrā un savienotas ar astoņām malām. Šajā gadījumā pašas "kastes" - trīsdimensiju sejas - tiks projicētas "mūsu" telpā, un tās savienojošās līnijas stiepsies ceturtās ass virzienā. Var arī mēģināt iztēloties kubu nevis projekcijā, bet telpiskā attēlā.

Tāpat kā trīsdimensiju kubu veido kvadrāts, kas nobīdīts par sejas garumu, kubs, kas nobīdīts ceturtajā dimensijā, veidos hiperkubu. To ierobežo astoņi kubi, kas nākotnē izskatīsies kā diezgan sarežģīta figūra. Pats četrdimensiju hiperkubs sastāv no bezgalīga skaita kubu, tāpat kā trīsdimensiju kubu var “sagriezt” bezgalīgi daudzos plakanos kvadrātos.

Izgriežot sešas trīsdimensiju kuba šķautnes, jūs varat to sadalīt līdzenā figūrā - attīstībā. Tam būs kvadrāts katrā sākotnējās sejas pusē, kā arī vēl viens - tai pretējā seja. Četrdimensiju hiperkuba trīsdimensiju izstrāde sastāvēs no oriģinālā kuba, sešiem kubiem, kas no tā "izaug", plus vēl viens - galīgā "hiperseja".

Tesrakta īpašības ir īpašību paplašinājums ģeometriskās formas apakšējo dimensiju četrdimensiju telpā.

prognozes

uz divdimensiju telpu

Šo struktūru ir grūti iedomāties, taču ir iespējams projicēt tesseraktu 2D vai 3D telpās. Turklāt projicēšana plaknē ļauj viegli saprast hiperkuba virsotņu atrašanās vietu. Tādā veidā var iegūt attēlus, kas vairs neatspoguļo telpiskās attiecības tesseraktā, bet ilustrē virsotņu saites struktūru, kā parādīts šādos piemēros:

Trešajā attēlā redzams tesrakts izometrijā attiecībā pret konstrukcijas punktu. Šis skats ir interesants, izmantojot tesseraktu kā topoloģiskā tīkla pamatu, lai paralēlā skaitļošanā saistītu vairākus procesorus.

uz trīsdimensiju telpu

Viena no tesserakta projekcijām uz trīsdimensiju telpu ir divi ligzdoti trīsdimensiju kubi, kuru atbilstošās virsotnes ir savienotas ar segmentiem. Iekšējiem un ārējiem kubiem ir dažādi izmēri 3D telpā, bet tie ir vienādi kubi 4D telpā. Lai saprastu visu tesrakta kubu vienlīdzību, tika izveidots rotējošs tesrakta modelis.

  • Sešas nošķeltas piramīdas gar tesserakta malām ir vienādu sešu kubu attēli. Tomēr šie kubi ir tesraktam tāpat kā kvadrāti (sejas) ir kubam. Bet patiesībā tesseraktu var sadalīt bezgalīgā skaitā kubu, tāpat kā kubu var sadalīt bezgalīgā skaitā kvadrātu vai kvadrātu var sadalīt bezgalīgā skaitā segmentu.

Vēl viena interesanta tesserakta projekcija trīsdimensiju telpā ir rombveida dodekaedrs ar novilktām četrām diagonālēm, kas savieno pretējo virsotņu pārus lielos rombu leņķos. Šajā gadījumā 14 no 16 tesserakta virsotnēm tiek projicētas 14 rombiskā dodekaedra virsotnēs, un atlikušo 2 projekcijas sakrīt tā centrā. Šādā projekcijā uz trīsdimensiju telpu tiek saglabāta visu viendimensionālo, divdimensiju un trīsdimensiju malu vienādība un paralēlisms.

stereo pāris

Tesrakta stereopāris ir attēlots kā divas projekcijas trīsdimensiju telpā. Šis tesserakta attēlojums tika izstrādāts, lai attēlotu dziļumu kā ceturto dimensiju. Stereo pāris tiek skatīts tā, ka katra acs redz tikai vienu no šiem attēliem, rodas stereoskopisks attēls, kas atveido tesserakta dziļumu.

Tesserakta izvēršana

Tesrakta virsmu var izlocīt astoņos kubos (līdzīgi tam, kā kuba virsmu var izlocīt sešos kvadrātos). Ir 261 dažāds tesserakta izlocījums. Tesrakta izvērsumus var aprēķināt, grafikā attēlojot savienotos stūrus.

Teserakts mākslā

  • Edvīna A. Abota grāmatā “Jaunais līdzenums” hiperkubs ir stāstītājs.
  • Vienā no Džimija Neitrona piedzīvojumu sērijām "zēnu ģēnijs" Džimijs izgudro četrdimensiju hiperkubu, kas ir identisks saliekamajai kastei no Roberta Heinleina romāna Glory Road (1963).
  • Roberts E. Heinleins hiperkubus pieminējis vismaz trīs zinātniskās fantastikas stāstos. Darbā The House of Four Dimensions (The House That Teel Built) viņš aprakstīja māju, kas uzcelta kā tesrakta izlocīšanās, un pēc tam zemestrīces dēļ "izveidojās" ceturtajā dimensijā un kļuva par "īstu" tesraktu.
  • Heinleina romānā Glory Road ir aprakstīta hiperdimensionāla kaste, kas iekšpusē bija lielāka nekā ārpuse.
  • Henrija Katnera stāstā "All Borog's Tenals" ir aprakstīta izglītojoša rotaļlieta bērniem no tālas nākotnes, kas pēc uzbūves līdzīga tesraktam.
  • Aleksa Gārlenda romānā ( ) termins "tesserakts" tiek lietots, lai apzīmētu četrdimensiju hiperkuba trīsdimensiju izvēršanu, nevis pašu hiperkubu. Šī ir metafora, kas paredzēta, lai parādītu, ka izziņas sistēmai jābūt plašākai par izzināmo.
  • The Cube 2: Hypercube sižeta centrā ir astoņi svešinieki, kas iesprostoti "hiperkubā" jeb saistīto kubu tīklā.
  • Seriāls Andromeda izmanto tesseraktu ģeneratorus kā sazvērestības ierīci. Tie galvenokārt ir paredzēti, lai kontrolētu telpu un laiku.
  • Salvadora Dalī () glezna "Krustā sišana" (Corpus Hypercubus).
  • Nextwave komiksu grāmatā ir attēlots transportlīdzeklis, kas ietver 5 tesseraktu zonas.
  • Albumā Voivod Nothingface viena no dziesmām saucas "In my hypercube".
  • Entonija Pīrsa romānā Route Cube viens no IDA orbitālajiem pavadoņiem tiek saukts par tesseraktu, kas ir saspiests 3 dimensijās.
  • Seriālā "Skola" Melnais caurums "" trešajā sezonā ir epizode "Tesseract". Lūkass nospiež slepeno pogu, un skola sāk "izveidoties kā matemātisks teserakts".
  • Termins "tesserakts" un no tā atvasinātais termins "tesse" ir atrodams Madlēnas L'Engles stāstā "Laika grumba".
  • TesseracT ir britu djent grupas nosaukums.
  • Marvel Cinematic Universe filmu sērijā Tesseract ir galvenais sižeta elements, hiperkuba formas kosmisks artefakts.
  • Roberta Šeklija stāstā "Peles jaunkundze un ceturtā dimensija" ezotērikas rakstnieks, autora paziņa, mēģina ieraudzīt tesraktu, stundām ilgi meklējot viņa izstrādāto ierīci: bumbiņu uz kājas ar tajā iesprūdušiem stieņiem, uz kuri kubi ir stādīti, pārlīmēti ar visādiem ezotēriskiem simboliem. Stāstā pieminēts Hintona darbs.
  • Filmās Pirmais atriebējs, Atriebēji. Tesseract ir visa Visuma enerģija

Citi vārdi

  • Hexadecachoron (angļu valodā) Heksadekahorons)
  • Octochoron (angļu valodā) Oktahorons)
  • tetrakubs
  • 4-kubs
  • Hiperkubs (ja nav norādīts izmēru skaits)

Piezīmes

Literatūra

  • Čārlzs Hintons. Ceturtā dimensija, 1904. ISBN 0-405-07953-2
  • Martins Gārdners, Matemātiskais karnevāls, 1977. ISBN 0-394-72349-X
  • Ians Stjuarts, Mūsdienu matemātikas jēdzieni, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Saites

Krieviski
  • Transformator4D programma. Četrdimensiju objektu (tai skaitā Hiperkuba) trīsdimensiju projekciju modeļu veidošana.
  • Programma, kas ievieš tesserakta uzbūvi un visas tā radniecīgās transformācijas ar C++ avotiem.

Angliski

  • Mushware Limited ir tesserakta izvades programma ( Tesseract treneris, licencēta saskaņā ar GPLv2) un 4D pirmās personas šāvēja ( Adanaxis; grafika, galvenokārt trīsdimensiju; OS krātuvēs ir GPL versija).