LV 01 MATEMĀTIKA
Uzdevumu krājums ārpusstundu patstāvīgajam darbam par tēmu: "Noteikta integrāļa pielietošana fizisko problēmu risināšanā."
par specialitāti:
100126 Sadzīves un komunālie pakalpojumi
Vologda 2013
Matemātika: Uzdevumu krājums ārpusstundu patstāvīgajam darbam par tēmu: "Noteiktā integrāļa izmantošana fizisko problēmu risināšanā" specialitātei: 100126 Sadzīves un komunālie pakalpojumi
Šis uzdevumu krājums ārpusstundu patstāvīgajam darbam par tēmu: "Noteikta integrāļa pielietošana fizisko problēmu risināšanā" ir mācību līdzeklis studentu patstāvīgā ārpusstundu darba organizēšanai.
Satur uzdevumus patstāvīgam ārpusstundu darbam sešām iespējām un patstāvīgā darba izpildes vērtēšanas kritērijiem.
Komplekts veidots, lai palīdzētu skolēniem sistematizēt un nostiprināt mācību stundās saņemto teorētisko materiālu matemātikā, veidot praktiskās iemaņas.
Sastādīja: E. A. Sevaļeva - augstākās kategorijas matemātikas skolotāja, BEI SPO VO "Vologdas Celtniecības koledža"
2. Patstāvīgais darbs.
3. Vērtēšanas kritēriji.
4. Literatūra.
Paskaidrojuma piezīme
Šis darbs ir mācību līdzeklis studentu patstāvīgā ārpusstundu darba organizēšanai disciplīnā EN 01 "Matemātika" specialitātē 100126 Sadzīves un komunālie pakalpojumi.
Mērķis vadlīnijas sastāv no patstāvīgā darba efektivitātes nodrošināšanas, tā satura noteikšanas, prasību noteikšanas patstāvīgā darba noformējumam un rezultātiem.
Studentu patstāvīgā darba mērķi disciplīnā EN 01 "Matemātika" ir:
saņemto teorētisko zināšanu un praktisko iemaņu sistematizēšana un nostiprināšana;
teorētisko zināšanu padziļināšana un paplašināšana;
uzziņu un papildliteratūras lietošanas prasmju veidošana;
· attīstība kognitīvās spējas un studentu aktivitāte, radošā iniciatīva, patstāvība un pašorganizācija;
· topošo speciālistu izglītojošās un izziņas darbības aktivizēšana.
Patstāvīgais darbs tiek veikts individuāli brīvajā laikā.
Studentam ir:
- pirms patstāvīgā darba veikšanas atkārto klasē apgūto teorētisko materiālu;
- veikt darbu atbilstoši uzdevumam;
- katram patstāvīgs darbs iesniedz skolotājam atskaiti rakstveida darba veidā.
Patstāvīgs darbs par tēmu:
"Noteikta integrāļa pielietošana fizisko problēmu risināšanai"
Mērķis: iemācīties pieteikties noteiktais integrālis fizisko problēmu risināšanai.
Teorija.
Punkta noietā ceļa aprēķināšana.
Ceļu, ko punkts nogājis nevienmērīgas kustības laikā taisnā līnijā ar mainīgu ātrumu un laika intervālu no līdz, aprēķina pēc formulas
…… (1)
1. piemērs 
jaunkundze. Atrodiet ceļu, ko nogājis punkts 10 Ar no kustības sākuma.
Risinājums: Saskaņā ar nosacījumu 
, , .
Saskaņā ar formulu (1) mēs atrodam:
Atbilde: .
2. piemērs Punkta ātrums mainās atbilstoši likumam 
jaunkundze. Atrodiet ceļu, ko punkts nogājis 4. sekundē.
Risinājums: Saskaņā ar nosacījumu 
, ,
Sekojoši:
Atbilde: .
3. piemērs Punkta ātrums mainās atbilstoši likumam 
jaunkundze. Atrodiet punkta noieto ceļu no kustības sākuma līdz tā apstāšanās brīdim.
Risinājums:
· Punkta ātrums ir 0 kustības sākuma brīdī un apstāšanās brīdī.
Nosakiet, kurā brīdī punkts apstāsies, šim nolūkam mēs atrisināsim vienādojumu: 
Tas ir , .
Pēc formulas (1) mēs atrodam:
Atbilde: .
Spēka darba aprēķins.
Darbs, ko veic ar mainīgu spēku, pārvietojoties pa asi Ak materiālais punkts no x = a pirms tam x =, tiek atrasts pēc formulas:
…… (2)
Risinot uzdevumus spēka darba aprēķināšanai, to bieži izmanto Huka likums: ……(3), kur
Spēks ( H);
X ir atsperes absolūtais pagarinājums (saspiešana), ko izraisa spēks ( m);
Proporcionalitātes koeficients ( N/m).
4. piemērs Aprēķiniet paveikto darbu, kad atspere ir saspiesta par 0,04 m, ja to saspiest par 0.01 m vajag spēku 10 H.
Risinājums:
· Tā kā x = 0,01 m ar spēku =10 H
, atrodam , t.i. 
.
Atbilde:Dž.
5. piemērs Atsperes miera stāvoklī garums ir 0,2 m. Spēks pie 50 H izstiepj atsperi par 0,01 m. Kādi darbi jāveic, lai izstieptu atsperi no 0,22 m līdz 0,32 m?
Risinājums:
· Tā kā x = 0,01 pie spēka =50 H, tad, aizstājot šīs vērtības vienādībā (3): , mēs iegūstam:
Tagad tajā pašā vienādībā aizstājot atrasto vērtību 
, atrodam , t.i. 
.
Mēs atrodam integrācijas robežas: m, m.
Atrodiet vēlamo darbu pēc formulas (2):
Problēma 1.6. Grafiskā veidā atrodiet pārvietojumu un noieto ceļu t 1 = 5 s materiālais punkts, kura kustība pa asi Ak! ir aprakstīts ar vienādojumu X = 6 – 4t + t 2 , kur visi daudzumi ir izteikti SI vienībās.
Risinājums. 1.5. uzdevumā mēs atradām (4) ātruma projekciju uz asi Ak!:
Šai izteiksmei atbilstošais ātruma grafiks ir parādīts 1.6. attēlā. Nobīdes projekcija uz asi Ak! ir vienāds ar trīsstūru laukumu algebrisko summu AOB un BCD. Tā kā ātruma projekcija pirmajā sadaļā ir negatīva, trijstūra laukums AOBņemt ar mīnusa zīmi; un ātruma projekcija otrajā sadaļā ir pozitīva, tad trijstūra laukums BCDņem ar plus zīmi:
Tā kā ceļš ir trajektorijas garums un nevar samazināties, lai to atrastu, mēs pievienojam šo trīsstūru laukumus, ņemot vērā, ka ne tikai trīsstūra laukums ir pozitīvs BCD, bet arī trijstūri AOB:
Agrāk (skat. 1.5. uzdevumu) mēs šo ceļu atradām citādā veidā – analītiski.
Problēma 1.7. Uz att. 1,7, a parādīts grafiks par kāda ķermeņa koordinātu atkarību, kas virzās taisni pa asi Ak!, no laika. Diagrammas līknes daļas ir parabolu daļas. Uzzīmējiet ātruma un paātrinājuma grafikus atkarībā no laika.
Risinājums. Lai izveidotu ātruma un paātrinājuma grafikus, mēs iestatām saskaņā ar šo grafiku (1.7. att., a) ķermeņa kustības raksturs dažādos laika intervālos.
Starp 0 - t 1, koordinātu grafiks ir daļa no parabolas, kuras zari ir vērsti uz augšu. Tāpēc vienādojumā
vispārīgi izsakot koordinātas atkarību X no laika t, koeficients pirms t 2 ir pozitīvs, t.i. a x > 0. Un tā kā parabola ir nobīdīta pa labi, tas nozīmē, ka v 0x < 0, т.е. тело имело начальную скорость, направленную противоположно направлению оси ОХ. В течение промежутка 0 – t 1 ķermeņa ātruma modulis vispirms samazinās līdz nullei, un pēc tam ātrums maina virzienu uz pretējo un tā modulis palielinās līdz noteiktai vērtībai v viens . Ātruma grafiks šajā sadaļā ir taisnas līnijas segments, kas iet kādā leņķī pret asi t(1.7. att. b), un paātrinājuma grafiks ir horizontālas taisnes segments, kas atrodas virs laika ass (1.7. att., iekšā). Parabolas augšdaļa attēlā. 1,7, a atbilst vērtībai v 0x= 0 attēlā. 1,7, b.
Laika sprīdī t 1 – t 2 ķermenis pārvietojas vienmērīgi ar ātrumu v 1 .
Pagaidām t 2 – t 3 koordinātu grafiks - parabolas daļa, kuras zari ir vērsti uz leju. Tātad šeit a x < 0, скорость тела убывает до нуля к моменту времени t 3 , un laika intervālā t 3 – t 4 ķermenis atrodas miera stāvoklī. Pēc tam uz noteiktu laiku t 4 – t 5 ķermenis pārvietojas ar vienmērīgu ātrumu v 2 otrādi. Laika brīdī t 5 tas sasniedz koordinātu sākuma punktu un apstājas.
Ņemot vērā ķermeņa kustības raksturu, konstruēsim atbilstošos ātruma un paātrinājuma projekciju grafikus (1.7. att. b, c).
Problēma 1.8.Ļaujiet ātruma grafikam parādīties attēlā. 1.8. Pamatojoties uz šo grafiku, uzzīmējiet ceļa un laika grafiku.
Risinājums. Sadalīsim visu aplūkoto laika intervālu trīs daļās: 1, 2, 3. 1. sadaļā ķermenis pārvietojas vienmērīgi paātrināti bez sākotnējais ātrums. Šī segmenta ceļa formula ir
kur a ir ķermeņa paātrinājums.
Paātrinājums ir ātruma izmaiņu attiecība pret laiku, kas nepieciešams šo izmaiņu veikšanai. Tas ir vienāds ar segmentu attiecību.
2. sadaļā ķermenis pārvietojas vienmērīgi ar ātrumu v, kas iegūta līdz 1. sadaļas beigām. Vienota kustība sākās nevis sākotnējā laika momentā, bet gan momentā t viens . Šajā brīdī ķermenis jau ir pagājis ceļu. Ceļa atkarība no laika 2. sadaļai ir šāda:
3. sadaļā kustība ir tikpat lēna. Šīs sadaļas ceļa formula ir šāda:
kur a 1 - paātrinājums 3. sadaļā. Tas ir puse no paātrinājuma a 1. sadaļā, jo 3. sadaļa ir divreiz garāka nekā 1. sadaļa.
Izdarīsim secinājumus. 1. sadaļā ceļa grafiks izskatās kā parabola, 2. griezumā - taisne, 3. sadaļā - arī parabola, bet apgriezta (ar izliekumu uz augšu) (skat. 1.9. att.).
Ceļa grafikā nedrīkst būt izliekuma, tas ir attēlots kā gluda līnija, t.i., parabolas sakrīt ar taisnu līniju. Tas izskaidrojams ar to, ka pieskares slīpuma leņķa tangensa pret laika asi nosaka ātruma vērtību laika momentā t, t.i. pēc trajektorijas diagrammas pieskares slīpuma jūs varat atrast ķermeņa ātrumu vienā vai otrā brīdī. Un tā kā ātruma grafiks ir nepārtraukts, no tā izriet, ka ceļa grafikā nav pārtraukumu.
Turklāt apgrieztās parabolas virsotnei jāatbilst laikam t 3 . Parabolu virsotnēm jāatbilst momentiem 0 un t 3 , jo šajos momentos ķermeņa ātrums ir nulle un ceļiem, kas pieskaras grafikam, šiem punktiem jābūt horizontāliem.
Ceļš, ko ķermenis nostaigājis laikā t 2, skaitliski vienāds ar attēla laukumu OABG, ko veido ātruma grafiks uz intervāla No 2 .
Problēma 1.9. Uz att. 1.10 parādīts grafiks, kurā attēlots ķermeņa ātruma projekcijas, kas kustas taisni pa asi Ak!, no laika. Uzzīmējiet paātrinājuma, koordinātu un ceļa un laika grafikus. Sākotnējā brīdī ķermenis atradās punktā X 0 = –3 m. Visas vērtības ir norādītas SI vienībās.
Risinājums. Lai uzzīmētu paātrinājuma līkni a x(t), noteiksim saskaņā ar grafiku v x(t) ķermeņa kustības raksturs dažādos laika intervālos. Atgādiniet to pēc definīcijas
kur ir ātruma projekcija , .
Laika intervālā c:
Šajā sadaļā un (zīmes ir vienādas), t.i. ķermenis pārvietojas ar vienmērīgu paātrinājumu.
Laika intervālā c:
tie. un (projekcijas zīmes ir pretējas) – kustība tiek vienmērīgi palēnināta.
C sadaļā ātruma projekcija, t.i. kustība notiek ass pozitīvā virzienā Ak!.
C sadaļā ātruma projekcija ir tāda, ka ķermenis atrodas miera stāvoklī (un ).
Sadaļā c:
Un (zīmes ir vienādas) - kustība ir vienmērīgi paātrināta, bet kopš tā laika , tad ķermenis virzās pret asi Ak!.
Pēc sestās sekundes ķermenis vienmērīgi () pārvietojas pret asi Ak!. izskatās kā parādīts attēlā. 1.11 G.
Apsveriet tālāk norādīto problēmu risinājumu.
1. Caur dzīvnieka ķermeņa daļu iet strāvas impulss, kas laika gaitā mainās saskaņā ar mA likumu. Impulsa ilgums ir 0,1 s. Nosakiet strāvas veikto darbu šajā laikā, ja sekcijas pretestība ir 20 kOhm.
Nelielam laika intervālam d t, kad strāva praktiski nemainās, uz pretestību R darbs tiek darīts. Visa impulsa laikā tiks paveikts darbs
.
Aizvietojot strāvas vērtību iegūtajā izteiksmē, mēs iegūstam.
2. Punkta ātrums ir 
(jaunkundze). Atrast ceļu S, pagājis ar laiku t\u003d 4s, pagājis no kustības sākuma.
Atradīsim punkta noieto ceļu bezgalīgi mazā laika intervālā. Tā kā šajā laikā ātrumu var uzskatīt par nemainīgu, tad . Integrējot, mums ir
3. Atrodiet šķidruma spiediena spēku uz vertikālas trīsstūrveida plāksnes ar pamatni a un augstums h iegremdēts šķidrumā tā, lai tā virsotne atrodas uz virsmas.
Novietosim koordinātu sistēmu, kā parādīts attēlā. 5.
Apsveriet horizontālu bezgalīgi mazu sloksni ar biezumu d x atrodas patvaļīgā dziļumā x. Ņemot šo sloksni kā taisnstūri, atrodiet tā pamatni EF. No trīsstūru līdzības ABC un AEF mēs saņemam
Tad sloksnes laukums ir
Kopš spēka Pšķidruma spiediens uz paliktņa S, kura iegremdēšanas dziļums r, saskaņā ar Paskāla likumu ir vienāds ar
kur r ir šķidruma blīvums, g ir gravitācijas paātrinājums, tad vēlamais spiediena spēks uz apskatāmo laukumu d S aprēķina pēc formulas
.
Tāpēc spiediena spēks Pšķidrumi uz paliktņa ABC
.
atrisināt problēmas.
5.41 Punkta ātrumu nosaka vienādojums 
cm/s. Atrodiet ceļu, ko nobraucis laika punkts t\u003d 5 s, kas ir pagājis kopš kustības sākuma.
5.42 Ķermeņa ātrumu izsaka ar formulu m/s. Atrodiet ķermeņa noieto ceļu pirmajās trīs sekundēs pēc kustības sākuma.
5.43. Ķermeņa ātrumu nosaka vienādojums 
cm/s. Kāds ir attālums, ko ķermenis veic kustības trešajā sekundē?
5.44 Divi ķermeņi sāk kustēties vienlaicīgi no viena punkta: viens ar ātrumu (m/min) un otrs ar ātrumu (m/min). Cik tālu viens no otra tie būs pēc 10 minūtēm, ja tie virzīsies vienā līnijā vienā virzienā?
5.45 Spēks (dyn) iedarbojas uz ķermeni ar masu 5 g, kas kustas pa taisnu līniju. Atrodiet ķermeņa nobraukto attālumu kustības trešajā sekundē.
5.46 Svārstību punkta ātrums mainās atkarībā no likuma 
(cm/s). Nosakiet punkta nobīdi 0,1 s pēc kustības sākuma.
5.47 Kāds darbs jāveic, lai atsperu izstieptu par 0,06 m, ja 1N spēks to izstiepj 0,01 m?
5.48 Svārstību punkta ātrums mainās atkarībā no likuma 
(jaunkundze). Nosakiet ceļu, ko nobraucis punkts s no kustības sākuma.
5.49 Slāpeklis, kura masa ir 7 g, pastāvīgā 300°K temperatūrā izplešas tā, ka tā tilpums dubultojas. Nosakiet gāzes veikto darbu. Universāla gāzes konstante 
j/kmol.
5.50 Kāds darbs jāveic, lai 25 cm garu atsperi izstieptu līdz 35 cm garumā, ja zināms, ka atsperes konstante ir 400 N/m?
5.51. Caur dzīvnieka ķermeni iet strāvas impulss, kas laika gaitā mainās atbilstoši likumam (mA). Impulsa ilgums ir 0,1 s. Nosakiet lādiņu, kas plūst caur dzīvnieka ķermeni.
5.52 Kāds darbs tiek veikts, kad muskuļi ir izstiepti l mm, ja zināms, ka zem slodzes P 0 muskulis ir izstiepts l 0 mm? Pieņemsim, ka spēks, kas nepieciešams, lai izstieptu muskuļu, ir proporcionāls tā pagarinājumam.
5.53. Ķermenis pārvietojas noteiktā vidē taisnā līnijā saskaņā ar likumu. Vides pretestība ir proporcionāla ātruma kvadrātam. Atrodiet darbu, ko veic vides pretestības spēks, pārvietojot ķermeni no S=0 līdz S=a metri.
1. piemērs Saskaņā ar doto kustības likumu S= 10 + 20t - 5t 2 ([S]= m; [t]= ar ) noteikt kustības veidu, sākuma ātrumu un punkta tangenciālo paātrinājumu, apstāšanās laiku.
Risinājums
1. Kustības veids: vienādi mainīgs
2. Salīdzinot vienādojumus, ir skaidrs, ka
- sākotnējais ceļš pirms atskaites punkta ir 10 m;
- sākuma ātrums 20 m/s;
- pastāvīgs tangenciālais paātrinājums a t/2 = 5 m/s; a t= - 10 m/s.
- paātrinājums ir negatīvs, tāpēc kustība ir lēna (vienlīdz lēna), paātrinājums ir vērsts virzienā, kas ir pretējs kustības ātruma virzienam.
3. Varat noteikt laiku, kurā punkta ātrums būs vienāds ar nulli:
v=S"= 20 - 25t; v= 20 – 10t = 0;t= 20/10 = 2 s.
Piezīme. Ja ātrums palielinās vienmērīgi mainīgas kustības laikā, tad paātrinājums ir pozitīva vērtība, ceļa grafiks ir ieliekta parabola. Bremzējot ātrums samazinās, paātrinājums (palēninājums) ir negatīva vērtība, ceļa grafiks ir izliekta parabola (10.4. att.).
2. piemērs Punkts pārvietojas pa tekni no punkta BET tieši tā D(10.5. att.).
Kā mainīsies pieskares un normālais paātrinājums, kad punkts iet cauri AT un NO?
Risinājums
1. Apsveriet sižetu AB. Pieskares paātrinājums ir nulle (v= const).
Normāls paātrinājums (a p = v2/r) ejot cauri punktam AT palielinās 2 reizes, tas maina virzienu, jo loka centrs AB nesakrīt ar loka centru pirms mūsu ēras.
2. Uz vietas Saule:
Tangenciālais paātrinājums ir nulle: a t = 0;
Normāls paātrinājums, šķērsojot punktu NO izmaiņas: līdz punktam NO kustība ir rotējoša, pēc C punkta kustība kļūst taisna, normālais spriegums taisnvirziena posmā ir nulle.
3. Uz vietas CD kopējais paātrinājums ir nulle.
3. piemērs Pēc dotā ātruma grafika atrodiet kustības laikā nobraukto ceļu (10.6. att.).
Risinājums
1. Saskaņā ar grafiku jāizskata trīs satiksmes posmi. Pirmā sadaļa ir paātrinājums no miera stāvokļa (vienmērīgi paātrināta kustība).
Otrā zona - vienmērīga kustība:v= 8 m/s; a 2 = 0.
Trešā sadaļa ir bremzēšana līdz apstāšanās brīdim (tikpat lēna kustība).
2. Kustības laikā noietais ceļš būs vienāds ar:
4. piemērsĶermenis ar sākotnējo ātrumu 36 km/h pirms apstāšanās nobrauc 50 m. Pieņemot, ka kustība ir vienmērīgi palēnināta, nosakiet palēninājuma laiku.
Risinājums
1. Mēs rakstām ātruma vienādojumu vienmērīgi lēnai kustībai:
v \u003d v o + pie \u003d 0.
Nosakiet sākotnējo ātrumu m/s: v par\u003d 36 * 1000/3600 \u003d 10 m/s.
Paātrinājumu (palēninājumu) izsakām no ātruma vienādojuma: a = - v 0 /t
2. Pierakstiet ceļa vienādojumu: S \u003d v o t / 2 + pie 2/2. Pēc aizstāšanas mēs iegūstam: S = v o t/2
3. Nosakiet laiku līdz pilnīgai apstāšanās brīdim (bremzēšanas laiks):
5. piemērs Punkts pārvietojas taisnā līnijā saskaņā ar vienādojumu s = 20t – 5t2 (s- m, t- Ar). Uzzīmējiet attālumu, ātrumu un paātrinājumu grafikus pirmajās 4 kustības sekundēs. Nosakiet punkta noieto ceļu 4 sekundēs un aprakstiet punkta kustību.
Risinājums
1. Punkts pārvietojas pa taisnu līniju atbilstoši vienādojumam s = 20t – 5t2 līdz ar to arī punkta ātrums u = ds/d/t = 20–10 t un paātrinājums a = a t = dv/dt =-10 m/s 2 . Tas nozīmē, ka punkta kustība ir vienmērīga (a = a t = - 10 m/s 2 = const) ar sākotnējo ātrumu v0= 20 m/s.
2. Sastādiet skaitlisko vērtību atkarību s un v pirmajām 4 kustības sekundēm
3. Saskaņā ar skaitliskās vērtības Izveidosim attālumu grafikus (Zīm. a), ātrums (att. b) un paātrinājumu (att. iekšā), izvēloties attēla mērogus pa attālumu ordinātām s,ātrumu v un paātrinājums a, kā arī vienāda laika skala visiem grafikiem gar x asi. Piemēram, ja attālums s \u003d 5 m ir attēlots grafikā ar segmenta garumu l s \u003d 10 mm, tad 5m \u003d μ s * 10 mm, kur proporcionalitātes koeficients μ s ir skala gar asi Os: μ s \u003d 5/10 \u003d 0,5 m / mm (0,5 m 1 mm); ja ātruma modulis v= 10 m/s, kas attēlots grafikā ar garumu lv\u003d 10 mm, tad 10 m/s \u003d μ v * 10 mm un mērogs pa asi Ovμ v = 1 m/(s-mm) (1 m/s 1 mm); ja paātrinājuma modulis a\u003d 10 m / s 2 ir segments l a \u003d 10 mm, tad, līdzīgi kā iepriekšējā, skala gar asi Oaμ a \u003d 1 m / (s 2 -mm) (1 m / s 2 in 1 mm); un visbeidzot, attēlojot laika intervālu Δt= 1 ar segmentu μ t = 10 mm, visos grafikos iegūstam skalu gar asīm Ot μ t= 0,1 s/mm (0,1 s 1 mm).
4. No grafiku izskatīšanas izriet, ka laikā no 0 līdz 2 s punkts pārvietojas vienmērīgi lēni (ātrums v un paātrinājums šajā laika periodā ir dažādas zīmes, kas nozīmē, ka to vektori ir vērsti uz pretējās puses); laika posmā no 2 līdz 4 s punkts pārvietojas vienmērīgi paātrināti (ātrums v un paātrinājumam ir vienādas zīmes, t.i., to vektori ir vērsti vienā virzienā).
4 s punkts nogāja ceļu s o _ 4 = 40 m. Sāk kustēties ar ātrumu v 0 \u003d 20 m / s, punkts nobrauca 20 m taisnā līnijā un pēc tam atgriezās sākotnējā stāvoklī ar tādu pašu ātrumu, bet vērsts pretējā virzienā.
Ja nosacīti pieņemam brīvā kritiena paātrinājumu g = 10 ms 2 un neņemam vērā gaisa pretestību, tad var teikt, ka grafiki apraksta vertikāli uz augšu izmesta punkta kustību ar ātrumu a 0 = 20 m/s.
6. piemērs Punkts pārvietojas pa trajektoriju, kas parādīta attēlā. 1,44, bet, saskaņā ar vienādojumu s = 0,2t4 (s- metros, t- sekundēs). Nosakiet punkta ātrumu un paātrinājumu 1. un 2. pozīcijā.
Risinājums
Laiks, kas nepieciešams, lai pārvietotu punktu no pozīcijas 0 (sākotnējā) uz pozīciju 1, nosaka no kustības vienādojuma, aizstājot attāluma un laika daļējās vērtības:
Ātruma maiņas vienādojums
Punkta ātrums 1. pozīcijā
Punkta tangenciālais paātrinājums 1. pozīcijā
Punkta parastais paātrinājums taisnā trajektorijas posmā ir nulle. Punkta ātrums un paātrinājums šī trajektorijas posma beigās parādīts 1.44. att., b.
Noteiksim punkta ātrumu un paātrinājumu trajektorijas izliektā posma sākumā. Ir skaidrs, ka v1\u003d 11,5 m/s un t1 \u003d 14,2 m/s 2.
Normāls punkta paātrinājums izliekta posma sākumā
Ātrums un paātrinājums izliektā posma sākumā parādīts att. 1.44 iekšā(vektori a t 1 un a a 1 parādīts nevis mērogā).
Pozīcija 2 kustīgo punktu nosaka nobrauktais ceļš, kas sastāv no taisna posma 0 - 1 un apļveida loki 1 - 2, kas atbilst 90° centrālajam leņķim:
Laiks, kas nepieciešams, lai pārvietotu punktu no pozīcijas 0 uz pozīciju 2,
Punkta ātrums pozīcijā 2
Punkta tangenciālais paātrinājums noteiktā pozīcijā 2
Normāls punkta paātrinājums noteiktā pozīcijā 2
Punkta paātrinājums pozīcijā 2
Punkta ātrums un paātrinājums pozīcijā 2 attēlā parādīts. 1.44 iekšā(vektori plkst" un a lpp parādīts nevis mērogā).
7. piemērs Punkts pārvietojas pa doto trajektoriju (1.45. att., a) saskaņā ar vienādojumu s = 5t3(s - metros, t - sekundēs). Nosakiet punkta paātrinājumu un leņķi α starp paātrinājumu un ātrumu šobrīd t1 kad punkta ātrums v 1 \u003d 135 m / s.
Risinājums
Ātruma maiņas vienādojums
Laiks t1 no ātruma maiņas vienādojuma nosakām, aizstājot ātruma un laika daļējās vērtības:
Noteiksim punkta atrašanās vietu trajektorijā momentā 3 s:
Centrālajam leņķim atbilst apļa loks, kura garums ir 135 m
Tangenciālā paātrinājuma maiņas vienādojums
Punkta tangenciālais paātrinājums momentā t t
Normāls punkta paātrinājums momentā t t
Punkta paātrinājums momentā t x
Punkta ātrums un paātrinājums laika momentā t1 attēlā parādīts. 1,45, dzim.
Kā redzams no att. 1,45, dzim
8. piemērs Priekšmets tiek iemests raktuvēs ar dziļumu H = 3000 m no zemes virsmas bez sākuma ātruma. Nosakiet, pēc cik sekundēm skaņa, kas rodas, objektam atsitoties pret raktuves dibenu, sasniedz zemes virsmu. Skaņas ātrums ir 333 m/s.
Risinājums
Brīvi krītoša ķermeņa kustības vienādojums
Laiku, kas nepieciešams objekta pārvietošanai no zemes virsmas uz raktuves dibenu, mēs nosakām no kustības vienādojuma.