Metode lineāra nehomogēna risināšanai diferenciālvienādojumi augstākas kārtas ar nemainīgiem koeficientiem pēc Lagranža konstantu variācijas metodes. Lagranža metode ir piemērojama arī jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai, ja ir zināma homogēnā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēma.
SatursSkatīt arī:
Lagranža metode (konstantes izmaiņas)
Apsveriet lineāru nehomogēnu diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem patvaļīgas n-tās kārtas koeficientiem:
(1)
.
Pastāvīgās variācijas metode, ko mēs aplūkojām pirmās kārtas vienādojumam, ir piemērojama arī augstākas kārtas vienādojumiem.
Risinājums tiek veikts divos posmos. Pirmajā posmā mēs atmetam labo pusi un atrisinām viendabīgo vienādojumu. Rezultātā mēs iegūstam risinājumu, kas satur n patvaļīgas konstantes. Otrajā solī mēs mainām konstantes. Tas ir, mēs uzskatām, ka šīs konstantes ir neatkarīgā mainīgā x funkcijas, un atrodam šo funkciju formu.
Lai gan mēs šeit apsveram vienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem, bet Lagranža metode ir piemērojama arī jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu risināšanai. Tomēr šim nolūkam ir jāzina viendabīgā vienādojuma atrisinājumu pamatsistēma.
1. solis. Homogēnā vienādojuma atrisinājums
Tāpat kā pirmās kārtas vienādojumu gadījumā, mēs vispirms meklējam kopīgs lēmums viendabīgs vienādojums, pielīdzinot labo nehomogēnu daļu ar nulli:
(2)
.
Šāda vienādojuma vispārīgajam risinājumam ir šāda forma:
(3)
.
Šeit ir patvaļīgas konstantes; - n viendabīgā vienādojuma (2) lineāri neatkarīgi atrisinājumi, kas veido šī vienādojuma atrisinājumu pamatsistēmu.
2. solis. Konstantu variēšana – konstantu aizstāšana ar funkcijām
Otrajā solī mēs aplūkosim konstantu variācijas. Citiem vārdiem sakot, mēs aizstāsim konstantes ar neatkarīgā mainīgā x funkcijām:
.
Tas ir, mēs meklējam sākotnējā vienādojuma (1) risinājumu šādā formā:
(4)
.
Ja (4) aizstājam ar (1), mēs iegūstam vienu diferenciālvienādojumu n funkcijām. Šajā gadījumā mēs varam savienot šīs funkcijas ar papildu vienādojumiem. Tad jūs iegūstat n vienādojumus, no kuriem jūs varat noteikt n funkcijas. Papildu vienādojumus var uzrakstīt dažādos veidos. Bet mēs to darīsim tā, lai risinājumam būtu visvienkāršākā forma. Lai to izdarītu, diferencējot, jums ir jāpielīdzina nullei termini, kas satur funkciju atvasinājumus. Demonstrēsim to.
Lai piedāvāto risinājumu (4) aizstātu ar sākotnējo vienādojumu (1), jāatrod formā (4) ierakstītās funkcijas pirmo n kārtu atvasinājumi. Diferencēt (4), piemērojot summas un produkta diferencēšanas noteikumus:
.
Sagrupēsim dalībniekus. Vispirms mēs uzrakstām terminus ar atvasinājumiem un pēc tam terminus ar atvasinājumiem no :
.
Mēs izvirzām pirmo nosacījumu funkcijām:
(5.1)
.
Tad izteiksmei pirmajam atvasinājumam attiecībā pret būs vienkāršāka forma:
(6.1)
.
Tādā pašā veidā mēs atrodam otro atvasinājumu:
.
Otro nosacījumu mēs izvirzām funkcijām:
(5.2)
.
Tad
(6.2)
.
Un tā tālāk. Papildu nosacījumos vārdus, kas satur funkciju atvasinājumus, pielīdzinām nullei.
Tādējādi, ja funkcijām izvēlamies šādus papildu vienādojumus:
(5.k) ,
tad pirmajiem atvasinājumiem attiecībā uz būs visvienkāršākā forma:
(6.k) .
Šeit .
Mēs atrodam n-to atvasinājumu:
(6.n)
.
Mēs aizstājam ar sākotnējo vienādojumu (1):
(1)
;
.
Mēs ņemam vērā, ka visas funkcijas atbilst (2) vienādojumam:
.
Tad terminu summa, kas satur, dod nulli. Rezultātā mēs iegūstam:
(7)
.
Rezultātā mēs saņēmām lineāru vienādojumu sistēmu atvasinājumiem:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .
Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam izteiksmes atvasinājumiem kā x funkcijas. Integrējot, mēs iegūstam:
.
Šeit ir konstantes, kas vairs nav atkarīgas no x. Aizstājot ar (4), iegūstam sākotnējā vienādojuma vispārējo risinājumu.
Ņemiet vērā, ka mēs nekad neizmantojām faktu, ka koeficienti a i ir nemainīgi, lai noteiktu atvasinājumu vērtības. Tāpēc Lagranža metode ir piemērojama, lai atrisinātu jebkuru lineāru nehomogēnu vienādojumu, ja ir zināma homogēnā vienādojuma (2) atrisinājumu fundamentālā sistēma.
Piemēri
Atrisiniet vienādojumus ar konstantu variācijas metodi (Lagrange).
Piemēru risinājums >>>
Augstākas kārtas vienādojumu atrisināšana pēc Bernulli metodes
Lineāru nehomogēnu augstākās kārtas diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem risināšana ar lineāru aizstāšanu
Apsveriet tagad lineāro nehomogēnu vienādojumu
. (2)
Lai y 1 ,y 2 ,.., y n ir atrisinājumu pamatsistēma un atbilstošā homogēnā vienādojuma L(y)=0 vispārīgais risinājums. Līdzīgi kā pirmās kārtas vienādojumu gadījumā, mēs meklēsim vienādojuma (2) risinājumu formā
. (3)
Pārbaudīsim, vai pastāv risinājums šādā formā. Lai to izdarītu, funkciju aizstājam vienādojumā. Lai aizstātu šo funkciju vienādojumā, mēs atrodam tās atvasinājumus. Pirmais atvasinājums ir 
. (4)
Aprēķinot otro atvasinājumu, (4) labajā pusē parādās četri termini, aprēķinot trešo atvasinājumu, parādās astoņi termini utt. Tāpēc turpmāko aprēķinu ērtībai tiek pieņemts, ka (4) pirmais termins ir vienāds ar nulli. Paturot to prātā, otrais atvasinājums ir vienāds ar 
. (5)
Tādu pašu iemeslu dēļ kā iepriekš, (5) mēs arī iestatījām pirmo terminu vienādu ar nulli. Visbeidzot, n-tais atvasinājums ir 
. (6)
Aizvietojot iegūtās atvasinājumu vērtības sākotnējā vienādojumā, mums ir 
. (7)
Otrais termins (7) ir vienāds ar nulli, jo funkcijas y j , j=1,2,..,n ir atbilstošā viendabīgā vienādojuma L(y)=0 atrisinājumi. Apvienojot ar iepriekšējo, iegūstam algebrisko vienādojumu sistēmu funkciju C" j (x) atrašanai. 
(8)
Šīs sistēmas determinants ir atbilstošā homogēnā vienādojuma L(y)=0 atrisinājumu fundamentālās sistēmas Vronska determinants, un tāpēc tas nav vienāds ar nulli. Tāpēc sistēmai (8) ir unikāls risinājums. To atraduši, iegūstam funkcijas C "j (x), j=1,2,…,n, un līdz ar to C j (x), j=1,2,…,n aizvietojot šīs vērtības (3), iegūstam lineārā nehomogēnā vienādojuma atrisinājumu.
Aprakstīto metodi sauc par patvaļīgas konstantes variācijas metodi vai Lagranža metodi.
1. piemērs. Atradīsim vienādojuma y "" + 4y" + 3y \u003d 9e -3 x vispārīgo atrisinājumu. Apskatīsim atbilstošo viendabīgo vienādojumu y "" + 4y" + 3y \u003d 0. Tā raksturīgā vienādojuma saknes r 2 + 4r + 3 \u003d 0 ir vienādi ar -1 un - 3. Tāpēc viendabīga vienādojuma atrisinājumu fundamentālā sistēma sastāv no funkcijām y 1 = e - x un y 2 = e -3 x. Mēs meklējam risinājumu nehomogēnam vienādojumam formā y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Lai atrastu atvasinājumus C " 1 , C" 2, mēs veidojam vienādojumu sistēmu (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′1e -x -3C′2e -3x =9e -3x
kuras risināšana, mēs atrodam , Integrējot iegūtās funkcijas, mums ir 
Beidzot saņemam
2. piemērs. Atrisiniet otrās kārtas lineāros diferenciālvienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem ar patvaļīgu konstantu variācijas metodi: 
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Risinājums:
Šis diferenciālvienādojums pieder lineāriem diferenciālvienādojumiem ar nemainīgiem koeficientiem.
Mēs meklēsim vienādojuma atrisinājumu formā y = e rx . Lai to izdarītu, mēs sastādām lineāra homogēna diferenciālvienādojuma raksturīgo vienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Raksturīgā vienādojuma saknes: r 1 = 4, r 2 = 2
Tāpēc pamata risinājumu sistēma ir funkcijas: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Homogēnā vienādojuma vispārīgajam atrisinājumam ir šāda forma: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Meklējiet konkrētu risinājumu, izmantojot patvaļīgas konstantes variācijas metodi.
Lai atrastu C "i atvasinājumus, mēs veidojam vienādojumu sistēmu:
C′1e 4x +C′2e 2x =0
C′1 (4e 4x) + C′2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Izteikt C" 1 no pirmā vienādojuma:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
un aizstājiet otrajā. Rezultātā mēs iegūstam:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Mēs integrējam iegūtās funkcijas C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Tā kā y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x, tad iegūtās izteiksmes mēs rakstām formā:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2) e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Tādējādi diferenciālvienādojuma vispārējam risinājumam ir šāda forma:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
vai
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Mēs atrodam īpašu risinājumu ar nosacījumu:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Atrastajā vienādojumā aizstājot x = 0, mēs iegūstam:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Mēs atrodam iegūtā vispārējā risinājuma pirmo atvasinājumu:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln (2e 2x +1) -2)
Aizstājot x = 0, mēs iegūstam:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Mēs iegūstam divu vienādojumu sistēmu:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
vai
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
vai
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
No: C 1 = 0, C * 2 = 2
Konkrēts risinājums tiks uzrakstīts šādi:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x
Patvaļīgu konstantu variācijas metode
Patvaļīgu konstantu variācijas metode lineāra nehomogēna diferenciālvienādojuma risinājuma konstruēšanai
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)
sastāv no patvaļīgu konstantu maiņas c k vispārējā lēmumā
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
atbilstošs homogēns vienādojums
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0
palīgfunkcijām c k (t) , kuras atvasinājumi apmierina lineāro algebrisko sistēmu
Sistēmas (1) determinants ir funkciju Vronskis z 1 ,z 2 ,...,z n , kas nodrošina tā unikālo atrisināmību attiecībā uz .
Ja antiatvasinājumi tiek ņemti pie fiksētām integrācijas konstantu vērtībām, tad funkcija
ir sākotnējā lineārā nehomogēnā diferenciālvienādojuma risinājums. Tādējādi nehomogēna vienādojuma integrācija atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārīga risinājuma klātbūtnē tiek reducēta uz kvadrātiem.
Patvaļīgu konstantu variācijas metode lineāru diferenciālvienādojumu sistēmas risinājumu konstruēšanai vektora normālā formā
sastāv no konkrēta risinājuma (1) konstruēšanas formā
kur Z(t) ir atbilstošā viendabīgā vienādojuma atrisinājumu pamats, kas ierakstīts kā matrica, un vektora funkcija , kas aizstāj patvaļīgu konstantu vektoru, ir definēta ar relāciju . Vēlamais konkrētais risinājums (ar nulles sākotnējām vērtībām pie t = t 0 ir forma
Sistēmai ar nemainīgiem koeficientiem pēdējā izteiksme ir vienkāršota:
Matrica Z(t)Z– 1 (τ) sauca Cauchy matrica operators L = A(t) .
Teorētiskais minimumsDiferenciālvienādojumu teorijā ir metode, kas apgalvo, ka šai teorijai ir pietiekami augsta universāluma pakāpe.
Mēs runājam par patvaļīgas konstantes variācijas metodi, kas piemērojama dažādu diferenciālvienādojumu klašu risināšanai un to
sistēmas. Tas ir tieši tas gadījums, kad teorija - ja izņem apgalvojumu pierādījumus no iekavām - ir minimāla, bet ļauj sasniegt
nozīmīgi rezultāti, tāpēc galvenā uzmanība tiks pievērsta piemēriem.Metodes vispārīgā ideja ir diezgan vienkārši formulējama. Lai dotais vienādojums (vienādojumu sistēma) būtu grūti atrisināms vai pat nesaprotams,
kā to atrisināt. Tomēr var redzēt, ka tad, kad daži termini tiek izslēgti no vienādojuma, tas tiek atrisināts. Tad viņi atrisina tikai šādu vienkāršotu
vienādojumu (sistēmu), iegūstiet risinājumu, kas satur noteiktu skaitu patvaļīgu konstantu - atkarībā no vienādojuma secības (skaits
vienādojumi sistēmā). Tad tiek pieņemts, ka konstantes atrastajā risinājumā nav īsti konstantes, atrastais risinājums
tiek aizstāts ar sākotnējo vienādojumu (sistēmu), tiek iegūts diferenciālvienādojums (vai vienādojumu sistēma), lai noteiktu "konstantes".
Patvaļīgas konstantes variācijas metodes pielietošanai ir noteikta specifika dažādi uzdevumi, bet tie jau ir dati, kas būs
parādīts ar piemēriem.Atsevišķi aplūkosim augstākas kārtas lineāru nehomogēnu vienādojumu atrisinājumu, t.i. formas vienādojumi
.
Lineāra nehomogēna vienādojuma vispārējais risinājums ir atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārējā atrisinājuma un konkrētā risinājuma summa
dots vienādojums. Pieņemsim, ka viendabīgā vienādojuma vispārējais atrisinājums jau ir atrasts, proti, ir konstruēta atrisinājumu fundamentālā sistēma (FSR).
. Tad homogēnā vienādojuma vispārējais atrisinājums ir .
Ir jāatrod kāds konkrēts nehomogēnā vienādojuma risinājums. Šim nolūkam tiek uzskatīts, ka konstantes ir atkarīgas no mainīgā.
Tālāk jums jāatrisina vienādojumu sistēma.
Teorija garantē, ka šai algebrisko vienādojumu sistēmai attiecībā uz funkciju atvasinājumiem ir unikāls risinājums.
Atrodot pašas funkcijas, integrācijas konstantes neparādās: galu galā tiek meklēts jebkurš viens risinājums.Formas pirmās kārtas lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmu risināšanas gadījumā
algoritms paliek gandrīz nemainīgs. Vispirms jāatrod atbilstošās viendabīgās vienādojumu sistēmas FSR, jāsastāda pamatmatrica
sistēma , kuras kolonnas ir FSR elementi. Tālāk vienādojums.
Atrisinot sistēmu, mēs nosakām funkcijas, tādējādi atrodot konkrētu risinājumu oriģinālajai sistēmai
(pamatmatrica tiek reizināta ar atrastās pazīmes kolonnu).
Mēs to pievienojam atbilstošās viendabīgo vienādojumu sistēmas vispārīgajam risinājumam, kas veidots, pamatojoties uz jau atrasto FSR.
Tiek iegūts sākotnējās sistēmas vispārīgais risinājums.Piemēri.
1. piemērs Pirmās kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi.
Apskatīsim atbilstošo viendabīgo vienādojumu (vajadzīgo funkciju apzīmējam ar ):
.
Šo vienādojumu ir viegli atrisināt, atdalot mainīgos:
.
Tagad mēs attēlojam sākotnējā vienādojuma risinājumu formā, kur funkcija vēl nav atrasta.
Mēs aizstājam šāda veida risinājumus sākotnējā vienādojumā:
.
Kā redzat, otrais un trešais termins kreisajā pusē atceļ viens otru - tas ir funkciju patvaļīgas konstantes variācijas metode.
Šeit jau - patiešām, patvaļīga konstante. Pa šo ceļu,
.2. piemērs Bernulli vienādojums.
Mēs rīkojamies līdzīgi kā pirmajā piemērā – atrisinām vienādojumu
mainīgo lielumu atdalīšanas metode. Izrādīsies , tāpēc mēs meklējam sākotnējā vienādojuma risinājumu formā
.
Aizstājiet šo funkciju sākotnējā vienādojumā:
.
Un atkal ir griezumi:
.
Šeit jums ir jāatceras, ka, dalot ar, risinājums netiek zaudēts. Un lieta atbilst oriģināla risinājumam
vienādojumi. Atcerēsimies viņu. Tātad,.
Rakstīsim.
Šis ir risinājums. Rakstot atbildi, jānorāda arī iepriekš atrastais risinājums, jo tas neatbilst nevienai gala vērtībai
konstantes.3. piemērs Augstākas kārtas lineāri nehomogēni vienādojumi.
Mēs uzreiz atzīmējam, ka šo vienādojumu var atrisināt vienkāršāk, taču ir ērti parādīt metodi. Lai gan dažas priekšrocības
patvaļīgas konstantes variācijas metodei tā ir arī šajā piemērā.
Tātad, jums jāsāk ar atbilstošā viendabīgā vienādojuma FSR. Atgādiniet, ka, lai atrastu FSR, raksturlielumu
vienādojums
.
Tādējādi homogēnā vienādojuma vispārējais risinājums
.
Šeit iekļautās konstantes ir jāmaina. Sistēmas sastādīšana
