วันที่: 11/20/2014

อนุพันธ์คืออะไร?

ตารางอนุพันธ์.

อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดหลัก คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น. ในบทเรียนนี้ เราจะแนะนำแนวคิดนี้ มาทำความรู้จักกันโดยไม่ต้องใช้สูตรทางคณิตศาสตร์และการพิสูจน์ที่เข้มงวด

บทนำนี้จะช่วยให้คุณ:

เข้าใจสาระสำคัญของงานง่าย ๆ ด้วยอนุพันธ์

แก้ปัญหาง่ายๆเหล่านี้ให้สำเร็จ

เตรียมพร้อมสำหรับบทเรียนอนุพันธ์ที่จริงจังยิ่งขึ้น

อย่างแรกคือความประหลาดใจที่น่ายินดี

คำจำกัดความที่เข้มงวดของอนุพันธ์นั้นขึ้นอยู่กับทฤษฎีของลิมิต และสิ่งนี้ค่อนข้างซับซ้อน มันทำให้อารมณ์เสีย แต่ตามกฎแล้วการประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในทางปฏิบัตินั้นไม่ต้องการความรู้ที่กว้างขวางและลึกซึ้งเช่นนี้!

เพื่อให้งานส่วนใหญ่ที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยสำเร็จ ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้ เพียงไม่กี่เงื่อนไข- เพื่อทำความเข้าใจกับงานและ กฎเพียงไม่กี่ข้อ- เพื่อแก้ปัญหา และนั่นแหล่ะ สิ่งนี้ทำให้ฉันมีความสุข

เรามารู้จักกันดีไหม?)

ข้อกำหนดและการกำหนด

มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากมายในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา การบวก การลบ การคูณ การยกกำลัง ลอการิทึม ฯลฯ หากมีการเพิ่มการดำเนินการเหล่านี้เข้าไปอีก คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาจะสูงขึ้น การดำเนินการใหม่นี้เรียกว่า ความแตกต่างคำจำกัดความและความหมายของการดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทเรียนแยกต่างหาก

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าความแตกต่างเป็นเพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชัน เราใช้ฟังก์ชั่นใด ๆ และเปลี่ยนมันตามกฎบางอย่าง ผลลัพธ์คือฟังก์ชันใหม่ ฟังก์ชันใหม่นี้เรียกว่า: อนุพันธ์

ความแตกต่าง- การดำเนินการกับฟังก์ชัน

อนุพันธ์คือผลของการกระทำนี้

ตัวอย่างเช่น ผลรวมเป็นผลมาจากการบวก หรือ ส่วนตัวเป็นผลจากการแบ่ง

รู้คำศัพท์อย่างน้อยคุณก็สามารถเข้าใจงานได้) ถ้อยคำมีดังนี้: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน รับอนุพันธ์; แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน คำนวณอนุพันธ์และอื่น ๆ นี่คือทั้งหมด เดียวกัน.แน่นอนว่ามีงานที่ซับซ้อนกว่านั้น ซึ่งการหาอนุพันธ์ (การหาอนุพันธ์) จะเป็นเพียงขั้นตอนหนึ่งในการแก้ปัญหา

อนุพันธ์จะแสดงด้วยเส้นประที่ด้านบนขวาเหนือฟังก์ชัน แบบนี้: วาย"หรือ ฉ"(x)หรือ เซนต์)และอื่น ๆ

อ่าน จังหวะ y, จังหวะ ef จาก x, จังหวะ es จาก te,เข้าใจแล้ว...)

ไพรม์ยังสามารถแสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะ เช่น: (2x+3)", (x 3 )" , (ซิน)"เป็นต้น บ่อยครั้งที่อนุพันธ์แสดงโดยใช้ดิฟเฟอเรนเชียล แต่เราจะไม่พิจารณาสัญลักษณ์ดังกล่าวในบทเรียนนี้

สมมติว่าเราได้เรียนรู้ที่จะเข้าใจงาน ไม่มีอะไรเหลือ - เพื่อเรียนรู้วิธีแก้ปัญหา) ฉันขอเตือนคุณอีกครั้ง: การหาอนุพันธ์คือ การแปลงฟังก์ชันตามกฎบางอย่างกฎเหล่านี้มีน้อยอย่างน่าประหลาดใจ

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณต้องรู้เพียงสามสิ่งเท่านั้น เสาสามต้นที่วางความแตกต่างทั้งหมด นี่คือปลาวาฬสามตัว:

1. ตารางอนุพันธ์ (สูตรความแตกต่าง)

3. อนุพันธ์ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน.

เริ่มกันตามลำดับ ในบทเรียนนี้ เราจะพิจารณาตารางอนุพันธ์

ตารางอนุพันธ์.

โลกมีฟังก์ชั่นมากมายนับไม่ถ้วน ในชุดนี้มีฟังก์ชั่นที่สำคัญที่สุดสำหรับ การประยุกต์ใช้จริง. หน้าที่เหล่านี้อยู่ในกฎของธรรมชาติทั้งหมด จากฟังก์ชั่นเหล่านี้ เช่น จากก้อนอิฐ คุณสามารถสร้างสิ่งอื่นๆ ทั้งหมดได้ ฟังก์ชันคลาสนี้เรียกว่า ฟังก์ชันพื้นฐานเป็นฟังก์ชันเหล่านี้ที่มีการศึกษาที่โรงเรียน - เชิงเส้น กำลังสอง ไฮเปอร์โบลา ฯลฯ

ความแตกต่างของฟังก์ชั่น "ตั้งแต่เริ่มต้น" เช่น ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์และทฤษฎีของขีดจำกัด - เป็นสิ่งที่ค่อนข้างใช้เวลา และนักคณิตศาสตร์ก็เป็นคนเหมือนกัน ใช่ ใช่!) ดังนั้นพวกเขาจึงทำให้ชีวิตของพวกเขา (และเรา) ง่ายขึ้น พวกเขาคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐานก่อนเรา ผลลัพธ์คือตารางอนุพันธ์ซึ่งทุกอย่างพร้อม)

นี่ไง จานนี้สำหรับเมนูยอดนิยม ซ้าย - ฟังก์ชันพื้นฐาน ขวา - อนุพันธ์ของมัน

	การทำงาน ย	อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y วาย"
1	ค( คงที่)	ค" = 0
2	x	x" = 1
3	xn (n คือจำนวนใดๆ)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (น = 2)	(x 2)" = 2x
4	บาป x	(ซิงซ์)" = cosx
	เพราะ x	(cos x)" = - บาป x
	ทีจีเอ็กซ์
	ctg x
5	อาร์คซิน x
	อาร์คคอส x
	arcg x
	arcctg x
4	ก x
	อี x
5	บันทึก ก x
	ln x ( เอ = อี)

ฉันขอแนะนำให้ให้ความสนใจกับฟังก์ชันกลุ่มที่สามในตารางอนุพันธ์นี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังเป็นหนึ่งในสูตรที่พบได้บ่อยที่สุด หากไม่ใช่สูตรที่พบมากที่สุด! คำใบ้ชัดเจนหรือไม่) ใช่เป็นที่พึงปรารถนาที่จะรู้ตารางอนุพันธ์ด้วยใจ โดยวิธีการนี้ไม่ยากอย่างที่คิด ลองแก้ตัวอย่างเพิ่มเติมตารางจะจำได้เอง!)

การค้นหาค่าตารางของอนุพันธ์ตามที่คุณเข้าใจไม่ใช่งานที่ยากที่สุด ดังนั้นบ่อยครั้งในงานดังกล่าวจึงมีชิปเพิ่มเติม ทั้งในการกำหนดงานหรือในฟังก์ชันเดิมซึ่งดูเหมือนจะไม่อยู่ในตาราง ...

ลองดูตัวอย่าง:

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x 3

ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตาราง แต่มีอนุพันธ์ทั่วไปของฟังก์ชันกำลัง (กลุ่มที่สาม) ในกรณีของเรา n=3 ดังนั้นเราจึงแทนสามแทน n และเขียนผลลัพธ์อย่างระมัดระวัง:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3 เท่า 2

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป

คำตอบ: y" = 3x 2

2. ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = sinx ที่จุด x = 0

งานนี้หมายความว่าคุณต้องหาอนุพันธ์ของไซน์ก่อน แล้วจึงแทนค่า x = 0ของอนุพันธ์เดียวกันนี้ เป็นไปตามนั้น!มิฉะนั้นจะเกิดขึ้นทันทีที่พวกเขาแทนที่ศูนย์ในฟังก์ชันดั้งเดิม ... เราถูกขอให้ค้นหาไม่ใช่ค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม แต่เป็นค่า อนุพันธ์ของมันผมขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันใหม่อยู่แล้ว

บนจานเราพบไซน์และอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง:

y" = (ซินซ์)" = cosx

แทนที่ศูนย์ในอนุพันธ์:

y"(0) = คอส 0 = 1

นี่จะเป็นคำตอบ

3. แยกแยะฟังก์ชัน:

อะไรเป็นแรงบันดาลใจ) ไม่มีแม้แต่การปิดฟังก์ชันดังกล่าวในตารางอนุพันธ์

ฉันขอเตือนคุณว่าการแยกแยะฟังก์ชันเป็นเพียงการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ หากคุณลืมตรีโกณมิติเบื้องต้น การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันของเราค่อนข้างลำบาก โต๊ะไม่ช่วย...

แต่ถ้าเราเห็นว่าหน้าที่ของเราคือ โคไซน์ของมุมคู่แล้วทุกอย่างจะดีขึ้นทันที!

ใช่ ๆ! โปรดจำไว้ว่าการแปลงของฟังก์ชันเดิม ก่อนแยกความแตกต่างยอมเลยทีเดียว! และมันทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก ตามสูตรโคไซน์ของมุมคู่:

เหล่านั้น. หน้าที่ยุ่งยากของเราคืออะไรนอกจาก y = ค็อกซ์. และนี่คือฟังก์ชันตาราง เราได้รับทันที:

คำตอบ: y" = - บาป x.

ตัวอย่างสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาขั้นสูงและนักศึกษา:

4. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตารางอนุพันธ์แน่นอน แต่ถ้าคุณจำคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาได้ การกระทำที่มีพลัง... เป็นไปได้มากทีเดียวที่จะทำให้ฟังก์ชันนี้ง่ายขึ้น แบบนี้:

และ x กำลังหนึ่งในสิบก็เป็นฟังก์ชันแบบตารางแล้ว! กลุ่มที่สาม n=1/10 ตรงตามสูตรแล้วเขียนว่า

นั่นคือทั้งหมด นี่จะเป็นคำตอบ

ฉันหวังว่าด้วยปลาวาฬแห่งความแตกต่างตัวแรก - ตารางอนุพันธ์ - ทุกอย่างชัดเจน มันยังคงต้องจัดการกับวาฬสองตัวที่เหลือ ในบทต่อไป เราจะได้เรียนรู้กฎของความแตกต่าง

การพิสูจน์และที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์โคไซน์ - cos(x) ถูกนำเสนอ ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ cos 2x, cos 3x, cos nx, โคไซน์กำลังสอง, กำลังสาม และกำลังของ n สูตรสำหรับอนุพันธ์ของโคไซน์ลำดับที่ n

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: ไซน์และโคไซน์ - คุณสมบัติ กราฟ สูตร

อนุพันธ์ที่เกี่ยวกับตัวแปร x ของโคไซน์ของ x เท่ากับลบไซน์ของ x:
(cos x)' = - บาป x.

การพิสูจน์

ในการรับสูตรสำหรับอนุพันธ์โคไซน์ เราใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์:
.

ลองแปลงนิพจน์นี้เพื่อลดทอนเป็นกฎและกฎทางคณิตศาสตร์ที่รู้จัก ในการทำเช่นนี้เราจำเป็นต้องรู้คุณสมบัติสี่ประการ
1) สูตรตรีโกณมิติ เราต้องการสูตรต่อไปนี้:
(1) ;
2) คุณสมบัติความต่อเนื่องของฟังก์ชันไซน์:
(2) ;
3) ความหมายของขีด จำกัด ที่น่าทึ่งแรก:
(3) ;
4) คุณสมบัติลิมิตของผลคูณของสองฟังก์ชัน:
ถ้าแล้ว
(4) .

เราใช้กฎหมายเหล่านี้จนถึงขีดจำกัดของเรา ก่อนอื่น เราแปลงนิพจน์พีชคณิต
.
สำหรับสิ่งนี้เราใช้สูตร
(1) ;
ในกรณีของเรา
; . แล้ว
;
;
;
.

มาทำแทนกันเถอะ ที่ , . เราใช้คุณสมบัติความต่อเนื่อง (2):
.

เราทำการแทนที่แบบเดียวกันและใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งแรก (3):
.

เนื่องจากมีขีดจำกัดที่คำนวณไว้ข้างต้น เราจึงใช้คุณสมบัติ (4):

.

ดังนั้นเราจึงได้รับสูตรสำหรับอนุพันธ์ของโคไซน์

ตัวอย่าง

ลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีโคไซน์ ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้:
y = cos2x; y = cos 3x; y = คอส nx; y= เพราะ 2 x; y= คอส 3 xและ y= เพราะ n x.

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของ คอส 2x, คอส 3xและ เพราะ nx.

ฟังก์ชั่นดั้งเดิมมีรูปแบบที่คล้ายกัน ดังนั้นเราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = cos nx. จากนั้นเป็นอนุพันธ์ของ เพราะ nxแทน n = 2 และ n = 3 ดังนั้นเราจึงได้รับสูตรสำหรับอนุพันธ์ของ คอส 2xและ คอส 3x .

ดังนั้นเราจึงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
y = cos nx .
แทนค่าฟังก์ชันของตัวแปร x เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ประกอบด้วยสองฟังก์ชัน:
1)
2)
จากนั้น ฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน (เชิงซ้อน) ที่ประกอบด้วยฟังก์ชัน และ :
.

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร x:
.
ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร:
.
เราสมัคร
.
ทดแทน :
(P1) .

ตอนนี้ในสูตร (P1) เราแทนที่และ:
;
.

;
;
.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของโคไซน์กำลังสอง โคไซน์คิวบิก และโคไซน์ยกกำลัง n:
y= เพราะ 2 x; y= คอส 3 x; y= เพราะ n x.

ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันยังมีลักษณะที่คล้ายกันอีกด้วย ดังนั้นเราจะพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั่วไปที่สุด - โคไซน์ยกกำลังของ n:
y= เพราะ n x.
จากนั้นเราแทนที่ n = 2 และ n = 3 . ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของโคไซน์กำลังสองและโคไซน์กำลังสาม

ดังนั้น เราต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
.
มาเขียนใหม่ในรูปแบบที่เข้าใจได้มากขึ้น:
.
แทนฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ประกอบด้วยสองฟังก์ชัน:
1) ฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปร : ;
2) ฟังก์ชันขึ้นกับตัวแปร : .
จากนั้น ฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ประกอบด้วยสองฟังก์ชัน และ :
.

เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เกี่ยวกับตัวแปร x:
.
เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เกี่ยวกับตัวแปร:
.
เราใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
.
ทดแทน :
(P2) .

ตอนนี้มาแทนที่และ:
;
.

;
;
.

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

โปรดทราบว่าอนุพันธ์ของ เพราะ xของลำดับที่หนึ่งสามารถแสดงในรูปของโคไซน์ได้ดังนี้
.

มาหาอนุพันธ์อันดับสองโดยใช้สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

.
ที่นี่ .

โปรดทราบว่าความแตกต่าง เพราะ xทำให้อาร์กิวเมนต์ของมันเพิ่มขึ้นโดย จากนั้นอนุพันธ์ของลำดับที่ n จะมีรูปแบบ:
(5) .

สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้อย่างเคร่งครัดมากขึ้นโดยใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ การพิสูจน์อนุพันธ์อันดับที่ n ของไซน์มีอยู่ในหน้า “อนุพันธ์ของไซน์” สำหรับอนุพันธ์อันดับ n ของโคไซน์ การพิสูจน์ก็เหมือนกันทุกประการ จำเป็นต้องแทนที่ sin ด้วย cos ในทุกสูตรเท่านั้น

ดูสิ่งนี้ด้วย:

อนุพันธ์อันดับหนึ่งของอาร์คไซน์ (arcsin x)′ และอาร์คโคไซน์ (arccos x)′ ถูกนำเสนอ สำหรับแต่ละฟังก์ชัน เอาต์พุตจะได้รับสองวิธี

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: อาร์คไซน์, อาร์คโคไซน์ - คุณสมบัติ, กราฟ, สูตร

สมมติว่าเรารู้อนุพันธ์ของไซน์และโคไซน์ ต่อไป เราจะได้อนุพันธ์ของอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์ เนื่องจากอนุพันธ์ของอาร์คไซน์และโคไซน์ต่างกันตามลำดับ

ที่มาของอนุพันธ์ของอาร์คไซน์

พิจารณาฟังก์ชันอาร์คไซน์ของตัวแปร x :
y= อาร์คซิน x.
- 1 ก่อน + 1 :
.
- พาย/2ก่อน + พาย/2:
.
ฟังก์ชันอาร์คไซน์เป็นส่วนผกผันของฟังก์ชันไซน์:
x= บาป.

ในการหาอนุพันธ์ของอาร์คไซน์ เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน:
(1) .

เรารู้อนุพันธ์ของไซน์ โดยปกติจะเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:
.
ที่นี่ .
,
ที่ไหน .
แทนลงในสูตร (1):
(2) .
ที่นี่
y= อาร์คซิน x;
x= บาป.

ทีนี้มาแสดงด้านขวาของสูตร (2) ผ่านตัวแปร x สำหรับสิ่งนี้ เราทราบว่า ตั้งแต่นั้นมา แล้ว
.
แทนลงในสูตร (2):
.

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของอาร์คไซน์:
.

วิธีที่สอง

เนื่องจากอาร์คไซน์และไซน์เป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน ดังนั้น
(3) .
ที่นี่ .
ลองแยกความแตกต่างของสมการนี้เทียบกับตัวแปร x นั่นคือเราพบอนุพันธ์ของด้านซ้ายและด้านขวาและเทียบเคียงกัน:
(4) .

เราพบอนุพันธ์ของด้านขวาจากตารางอนุพันธ์:
.

เราค้นหาอนุพันธ์ของด้านซ้ายตามสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.
ที่นี่ .
เพราะฉนั้น. นั่นเป็นเหตุผล
.
แล้ว
.

แทนที่ใน (4):
.
จากที่นี่
.

อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์

โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์

อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์นั้นหาได้ง่ายจากอนุพันธ์ของอาร์คไซน์ หากคุณใช้ความสัมพันธ์ระหว่างอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์:
.
จากที่นี่
.

ตามสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

นอกจากนี้ยังสามารถหาอนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์ได้จากสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

พิจารณาฟังก์ชันอาร์คโคไซน์:
y= อาร์คคอส x.
ที่นี่ตัวแปรอิสระ x สามารถรับค่าจาก - 1 ก่อน + 1 :
.
ตัวแปรตาม y สามารถรับค่าจาก 0 ก่อน π :
.
ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์เป็นส่วนผกผันของฟังก์ชันโคไซน์:
x= อบอุ่นสบาย.

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน:
(1) .

เรารู้อนุพันธ์ของโคไซน์:
.
ที่นี่ .
เรามาเปลี่ยนสัญกรณ์ของตัวแปร x และ y กัน แล้ว
,
ที่ไหน .
แทนลงในสูตร (1):
(5) .
ที่นี่
y= อาร์คคอส x;
x= อบอุ่นสบาย.

ทีนี้มาแสดงด้านขวาของสูตร (5) ผ่านตัวแปร x เพราะฉนั้น. แล้ว
.
แทนที่ในสูตร (5):
.

ดังนั้นเราจึงได้รับสูตรสำหรับอนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์:
.

ฉ'(x)

การบรรยาย 8. อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน

ความแตกต่างของฟังก์ชันที่ระบุในเชิงพารามิเตอร์ อนุพันธ์ของนัย

1. อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

ข้อความ 1. ให้ฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งมีฟังก์ชันผกผัน x = f −1 (y) และให้ฟังก์ชัน y = f (x) มีอนุพันธ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ f ′ (x) ที่จุด x จากนั้นฟังก์ชันผกผัน f −1 (y) ก็มีอนุพันธ์ที่จุดสอดคล้องกัน y = f (x) และอนุพันธ์นี้ก็เท่ากัน

ดังนั้นสูตร

	(ฉ −1 (ย))′
						ฉ'(x)
การพิสูจน์. อนุญาต	y เพิ่มขึ้น							ตัวแปร	y มันสอดคล้องกับ
การเพิ่มค่า x = f −1 (y + y) − f −1 (y) ของฟังก์ชันผกผัน สามารถแสดงให้ดูได้
ความเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันเอง y = f (x) นั่นคือถ้า									x 6= 0 และ x กับ y
มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นเราจึงมี

ถ้า x → 0 ดังนั้นตัวส่วนทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้มีแนวโน้มที่จะถึงขีดจำกัด f ′ (x) =6 0 ซึ่งหมายความว่ามีขีดจำกัดทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้

						ฉ'(x)

ดังนั้นจึงมีข้อ จำกัด จากด้านซ้ายเช่นกัน เขาเป็นตัวแทน

อนุพันธ์ (f −1 (y))′ .

เราจึงมีสูตร xy

yx'

หมายเหตุ 1. โดยปกติแล้ว

การโต้แย้ง

ฟังก์ชันจะแสดง

x เนื่องจาก

พิจารณาจากฟังก์ชัน f −1

ในฐานะฟังก์ชันของตัวแปร x เราเขียนสูตร (1) ใหม่เป็น

(ฉ–1

(x))'

ฉ'(ย)

ให้เราได้รับอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

1 − x2

ฟังก์ชัน y

จะผกผันกับฟังก์ชัน x

ดังนั้นเราได้รับตามกฎความแตกต่างของฟังก์ชันผกผัน

(บาป y)y ′

1 − sin2y

1 − x2

โดยที่ −π 2< y < π 2 .

1 − x2

ในทำนองเดียวกัน เราได้รับ

(เพราะ y)y'

1 − cos2 ย

1 − x2

1+x2

π <

ฟังก์ชัน y

x คือส่วนผกผันของ x

ย< π ).

xy' =

cos2 วาย

เพราะฉะนั้น,

yx' =

คอสทูปี,

cos2 y =

1 + tg2 ย

เนื่องจาก tg y = x ในที่สุดเราก็ได้:

คุณ

ในทำนองเดียวกันเอาต์พุต

1+x2

พิจารณาตัวอย่าง

หาอนุพันธ์ y = arccos tg x

คอสทูเอ็กซ์

1 − tg2 x

1 − tg2 x

หาอนุพันธ์ y = arctg4 x

y' = (arctg4 x)' = 4 arctg3 x(arctg x)'

4 arctg3x

2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ดูฟังก์ชั่น

y = คุณ(x)v(x) (คุณ(x) > 0),

โดยที่ทั้งฐานและเลขชี้กำลังขึ้นกับ x เรียกว่าเลขชี้กำลังแบบผสม ฟังก์ชัน uv สามารถแสดงเป็น uv = ev ln u จากนั้น

y′ = (uv )′ = ev ln u (v ln u)′ = uv u v u′ − v′ ln u

คุณสามารถทำได้โดยใช้ลอการิทึมของฟังก์ชัน y ก่อน:

ln y = ln uv = v ln คุณ

แยกแยะตัวตนนี้ด้วยความเคารพ x

และระลึกว่า ln y เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของ x

คุณ

v ln u + v · u · u′ .

y' = y

การดำเนินการที่ประกอบด้วยการประยุกต์ต่อเนื่องกับฟังก์ชัน f (x) อันดับแรกของลอการิทึม และจากนั้นของการหาอนุพันธ์ เรียกว่า การหาอนุพันธ์ของลอการิทึม และผลลัพธ์ของมัน

′ = f ′ (x) ฉ (x)

เรียกว่าอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน f(x)

การหาอนุพันธ์ของลอการิทึมสามารถใช้ค้นหาอนุพันธ์ได้ ไม่เพียงแต่ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่ซับซ้อนเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เพื่อหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

y = 2x √ x2 + 4 บาป2x

สะดวกในการใช้ความแตกต่างของลอการิทึมซึ่งช่วยให้คุณค้นหาได้อย่างรวดเร็ว ผลลัพธ์. แล้ว ln y = ln(2 x √ x 2 + 4 บาป 2 x)

โดยคุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม เรามี

ln y = ln 2x + ln x2 + 4 + ln sin2 x

ln y = x ln 2 + 1 2 ln(x2 + 4) + 2 ln บาป x

การหาอนุพันธ์ของเอกลักษณ์นี้ด้วยความเคารพ x และจำไว้ว่าด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนั้นเป็นคอมเพล็กซ์

ฟังก์ชันของ x,

คุณ

x2+4

x2+4

x2+4

หา y' ,

ถ้า y = (ctg x)x 2 .

สารละลาย. ฟังก์ชั่นมีความซับซ้อน เราลอการิทึมทั้งสองข้างของสมการ:

ln y = ln(ctg x)x 2 = x2 ln ctg x

y′ = 2x ln ctg x −

(ctgx)x

ctg x บาป2 x

3. ความแตกต่างของฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก

ให้การพึ่งพาอาศัยกันของ y ต่อ x ถูกแสดงในรูปของพารามิเตอร์ t เช่น

มันต้องเข้าใจอย่างนี้ สำหรับฟังก์ชัน x = ϕ(t) มีฟังก์ชันผกผัน t = ϕ−1 (x) ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนการพึ่งพาที่ชัดเจนได้

y = ψ(ϕ−1 (x))

ลองหา yx ′ ถึง ψt ′ , ϕ′ t กัน เราแยกความแตกต่างของ y เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของ x รับ

ψ′

yx = ψt

เท็กซัส

= ψt

(x))x =

ϕt'

เขียนสั้นๆ ได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหา

ดีเอ็กซ์ดี ,

ถ้า x = ln3 t , y = cos2 3t .

ตาย:

สารละลาย. ฟังก์ชันถูกตั้งค่าแบบพาราเมตริก หากัน

3 ล.2 ท

dy dt = 2 cos 3t(− บาป 3t)3 = −3 บาป 6t,

dx dy = dx dt = −t บาป 6t

ตัวอย่างที่ 5 หาอนุพันธ์ yx ′ ถ้า x = a cos t, y = a sin t เรามี

		ใช่		(บาป t)t'
		x'		(เป็นต้นทุน t)'

4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย

ให้ y = y(x) เป็นฟังก์ชันโดยปริยายของ x กล่าวคือ ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสมการ F (x, y) = 0 ดังนั้น F (x, y(x)) ≡ 0 จากนั้น ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = y(x) เราต้องแยกสมการทั้งสองข้างของสมการ F (x, y(x)) = 0 เทียบกับ x โดยคำนึงว่า y เป็นฟังก์ชันของ x

ตัวอย่างที่ 6 หาอนุพันธ์ y ′ ถ้าฟังก์ชัน y ถูกกำหนดโดยสมการ

y2 + x บาป y = 0

สารละลาย. แยกความแตกต่างของสมการด้วยความเคารพ x:

2yy′ + ไซน์ + x cos y y′ = 0

จากที่นี่เราแสดง y' รับ

y ′ = − 2y + x คอส y

ตัวอย่างที่ 7 คำนวณค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนัย xy2 = 4 ที่จุด

สารละลาย. มาหาอนุพันธ์กัน:
x' y2 + x2yy'		0, y′ = -
สำหรับ x = 1, y = 2 เราจะได้

และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนซึ่งมีการกำหนดดังนี้:

ให้ 1) ฟังก์ชัน $u=\varphi (x)$ มีอนุพันธ์ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ ในบางจุด $x_0$, 2) ฟังก์ชัน $y=f(u)$ มีอนุพันธ์ $y_(u)"=f"(u)$ ที่จุดที่ตรงกัน $u_0=\varphi (x_0)$ จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน $y=f\left(\varphi (x) \right)$ ที่จุดดังกล่าวจะมีอนุพันธ์เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(u)$ และ $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

หรือเรียกสั้นๆ ว่า $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$

ในตัวอย่างของส่วนนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดมีรูปแบบ $y=f(x)$ (กล่าวคือ เราจะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันของตัวแปร $x$ เท่านั้น) ดังนั้น ในตัวอย่างทั้งหมด อนุพันธ์ $y"$ จะถูกนำมาเทียบกับตัวแปร $x$ เพื่อเน้นว่าอนุพันธ์นั้นมาจากตัวแปร $x$ เรามักจะเขียน $y"_x$ แทน $y"$

ตัวอย่าง #1, #2 และ #3 แสดงกระบวนการโดยละเอียดสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ตัวอย่างหมายเลข 4 มีจุดประสงค์เพื่อความเข้าใจที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นเกี่ยวกับตารางอนุพันธ์ และควรทำความคุ้นเคยกับตารางนี้

ขอแนะนำให้ไปที่หลังจากศึกษาเนื้อหาในตัวอย่างหมายเลข 1-3 แล้ว การตัดสินใจที่เป็นอิสระตัวอย่าง #5, #6 และ #7 ตัวอย่าง #5, #6 และ #7 มีวิธีแก้ไขสั้นๆ เพื่อให้ผู้อ่านตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ได้

ตัวอย่าง #1

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=e^(\cos x)$

เราจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน $y"$ เนื่องจาก $y=e^(\cos x)$ ดังนั้น $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ ในการหาอนุพันธ์ $\left(e^(\cos x)\right)"$ เราใช้สูตรหมายเลข 6 จากตารางอนุพันธ์ ในการใช้สูตรหมายเลข 6 คุณต้องคำนึงว่าในกรณีของเรา $u=\cos x$ วิธีแก้ไขเพิ่มเติมประกอบด้วยการแทนที่ซ้ำๆ ของนิพจน์ $\cos x$ แทน $u$ ในสูตรหมายเลข 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

ตอนนี้เราต้องหาค่าของนิพจน์ $(\cos x)"$ อีกครั้ง เรากลับไปที่ตารางอนุพันธ์ โดยเลือกสูตรหมายเลข 10 จากนั้นแทนค่า $u=x$ ในสูตรหมายเลข 10 เรามี: $(\cos x)"=-\sin x\cdot x"$ ตอนนี้เราดำเนินการต่อความเท่าเทียมกัน (1.1) โดยเสริมด้วยผลลัพธ์ที่พบ:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot x") \tag (1.2) $$

ตั้งแต่ $x"=1$ เรายังคงความเสมอภาค (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

ดังนั้น จากความเท่าเทียมกัน (1.3) เรามี: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ โดยธรรมชาติแล้ว คำอธิบายและความเท่าเทียมระดับกลางมักจะถูกข้ามไป โดยเขียนการหาอนุพันธ์ในบรรทัดเดียว เช่นเดียวกับความเสมอภาค (1.3) ดังนั้นจึงพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน จึงเหลือเพียงการเขียนคำตอบเท่านั้น

คำตอบ: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$

ตัวอย่าง #2

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$

เราจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ในการเริ่มต้น เราทราบว่าค่าคงที่ (เช่น หมายเลข 9) สามารถนำออกจากสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ได้:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

ทีนี้มาดูนิพจน์ $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ เพื่อให้ง่ายต่อการเลือกสูตรที่ต้องการจากตารางอนุพันธ์ ฉันจะนำเสนอนิพจน์ที่เป็นปัญหาดังนี้ $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$ ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าจำเป็นต้องใช้สูตรหมายเลข 2 เช่น $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ แทนที่ $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ และ $\alpha=12$ ในสูตรนี้:

เสริมความเท่าเทียมกัน (2.1) ด้วยผลลัพธ์ที่ได้ เรามี:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\c dot \ln x)) " \แท็ก (2.2) $$

ในสถานการณ์นี้ ข้อผิดพลาดมักเกิดขึ้นเมื่อตัวแก้โจทย์ในขั้นตอนแรกเลือกสูตร $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ แทนสูตร $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ ประเด็นคือต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกให้ได้ก่อน เพื่อทำความเข้าใจว่าฟังก์ชันใดจะอยู่นอกนิพจน์ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ลองนึกภาพว่าคุณคำนวณค่าของนิพจน์ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ที่ค่า $x$ ก่อนอื่น ให้คุณคำนวณค่าของ $5^x$ จากนั้นคูณผลลัพธ์ด้วย 4 เพื่อรับ $4\cdot 5^x$ ตอนนี้เราหาอาร์กแทนเจนต์จากผลลัพธ์นี้ จะได้ $\arctg(4\cdot 5^x)$ จากนั้นเราเพิ่มจำนวนผลลัพธ์เป็นกำลังสิบสอง จะได้ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ การกระทำครั้งสุดท้ายเช่น ยกกำลัง 12 - และมันจะเป็น ฟังก์ชั่นภายนอก. และจากนั้นเราควรเริ่มค้นหาอนุพันธ์ซึ่งทำด้วยความเท่าเทียมกัน (2.2)

ตอนนี้เราต้องหา $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ เราใช้สูตรหมายเลข 19 ของตารางอนุพันธ์ แทน $u=4\cdot \ln x$ ลงไป:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

มาทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้นเล็กน้อย โดยคำนึงถึง $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ความเท่าเทียมกัน (2.2) จะกลายเป็น:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4 \cdot \ln x) )"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

ยังคงต้องหา $(4\cdot \ln x)"$ ลองนำค่าคงที่ (เช่น 4) ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$ ในการหา $(\ln x)"$ เราใช้สูตรหมายเลข 8 แทน $u=x$ ลงไป: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"$. เนื่องจาก $x"=1$ ดังนั้น $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x)$ แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ลงในสูตร (2.3) เราได้รับ:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4 \cdot \ln x) )"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)"=\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(1 $$

ฉันขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนส่วนใหญ่มักอยู่ในบรรทัดเดียว ดังที่เขียนไว้ในความเท่าเทียมกันล่าสุด ดังนั้นเมื่อทำการคำนวณมาตรฐานหรือ ควบคุมการทำงานไม่จำเป็นต้องอธิบายวิธีแก้ปัญหาในรายละเอียดดังกล่าว

คำตอบ: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$

ตัวอย่าง #3

ค้นหา $y"$ ของฟังก์ชัน $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$

ขั้นแรก เรามาแปลงฟังก์ชัน $y$ เล็กน้อยโดยแสดงเครื่องหมายราก (root) เป็นเลขยกกำลัง: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ ตอนนี้เรามาเริ่มหาอนุพันธ์กัน ตั้งแต่ $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ ดังนั้น:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

เราใช้สูตรหมายเลข 2 จากตารางอนุพันธ์ โดยแทนที่ $u=\sin(5\cdot 9^x)$ และ $\alpha=\frac(3)(7)$ ลงไป:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \ left(\sin(5 \cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

เราดำเนินการต่อความเท่าเทียมกัน (3.1) โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

ตอนนี้เราต้องหา $(\sin(5\cdot 9^x))"$ สำหรับสิ่งนี้ เราใช้สูตรหมายเลข 9 จากตารางอนุพันธ์ แทน $u=5\cdot 9^x$ ลงไป:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

เสริมความเท่าเทียมกัน (3.2) ด้วยผลลัพธ์ที่ได้ เรามี:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3)(7) \cdot \le ft(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" \tag (3.3) $$

ยังคงต้องค้นหา $(5\cdot 9^x)"$ ขั้นแรก เรานำค่าคงที่ (จำนวน $5$) ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ เช่น $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x)"$ ในการหาอนุพันธ์ $(9^x)"$ เราใช้สูตรหมายเลข 5 ของตารางอนุพันธ์ โดยแทนที่ $a=9$ และ $u=x$ ลงใน: $(9^ x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$ ตั้งแต่ $x"=1$ ดังนั้น $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ ตอนนี้เราสามารถดำเนินการต่อความเท่าเทียมกัน (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3)(7) \cdot \le ft(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

คุณสามารถเปลี่ยนจากเลขยกกำลังเป็นราก (เช่น root) ได้อีกครั้งโดยเขียน $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ เป็น $\frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\c dot 9^x)) )$. จากนั้นอนุพันธ์จะถูกเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\ cdot 9^x) \cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

คำตอบ: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x)))$.

ตัวอย่าง #4

แสดงว่าสูตรหมายเลข 3 และหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์เป็นกรณีพิเศษของสูตรหมายเลข 2 ของตารางนี้

ในสูตรหมายเลข 2 ของตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $u^\alpha$ ถูกเขียนขึ้น แทน $\alpha=-1$ ในสูตร #2 เราจะได้:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

เนื่องจาก $u^(-1)=\frac(1)(u)$ และ $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ ความเสมอภาค (4.1) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: $\left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$ นี่คือสูตรหมายเลข 3 ของตารางอนุพันธ์

กลับไปที่สูตรหมายเลข 2 ของตารางอนุพันธ์ แทนที่ $\alpha=\frac(1)(2)$ ลงไป:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u"=\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

เนื่องจาก $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ และ $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ ความเสมอภาค (4.2) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u" $$

ความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ คือสูตรหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์ อย่างที่คุณเห็น สูตรหมายเลข 3 และหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์ได้มาจากสูตรหมายเลข 2 โดยการแทนค่าที่สอดคล้องกันของ $\alpha$