การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน
จากการแก้ปัญหาการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายมาก) โดยกำหนดอนุพันธ์เป็นขีดจำกัดอัตราส่วนของการเพิ่มต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น . Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) เป็นคนแรกที่ทำงานด้านการค้นหาอนุพันธ์
ดังนั้นในสมัยของเราเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่ต้องใช้ตารางเท่านั้น ของอนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริทึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการหาอนุพันธ์
เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องการนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายขีด แบ่งหน้าที่ง่าย ๆและกำหนดการกระทำ (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน นอกจากนี้ เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์ และสูตรอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ ผลรวมและผลหาร - ในกฎของความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่างมีให้หลังจากสองตัวอย่างแรก
ตัวอย่าง 1หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. จากกฎของความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน นั่นคือ
จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "X" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้ด้วยผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการโดยเงื่อนไขของปัญหา:
ตัวอย่าง 2หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. สร้างความแตกต่างในฐานะอนุพันธ์ของผลรวม ซึ่งเทอมที่สองที่มีค่าคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:
หากยังคงมีคำถามว่าบางสิ่งมาจากไหน ตามกฎแล้วจะมีความชัดเจนหลังจากอ่านตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เราจะไปหาพวกเขาตอนนี้
ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย
| 1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ของฟังก์ชัน ศูนย์เสมอ สิ่งนี้สำคัญมากที่ต้องจำไว้ เพราะจำเป็นมาก | |
| 2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "x" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้ | |
| 3. อนุพันธ์ของดีกรี เมื่อแก้ปัญหา คุณต้องแปลงรากที่สองให้เป็นกำลัง | |
| 4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1 | |
| 5. อนุพันธ์ของรากที่สอง | |
| 6. อนุพันธ์ของไซน์ | |
| 7. อนุพันธ์โคไซน์ |  |
| 8. อนุพันธ์แทนเจนต์ |  |
| 9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์ |  |
| 10. อนุพันธ์ของอาร์กไซน์ |  |
| 11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์ |  |
| 12. อนุพันธ์ของอาร์คแทนเจนต์ |  |
| 13. อนุพันธ์ของแทนเจนต์ผกผัน |  |
| 14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ | |
| 15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม |  |
| 16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง | |
| 17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง |
กฎการสร้างความแตกต่าง
| 1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือส่วนต่าง |  |
| 2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ |  |
| 2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่ | |
| 3. อนุพันธ์ของผลหาร |  |
| 4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน |  |
กฎข้อที่ 1ถ้าทำหน้าที่
แตกต่างได้ในบางจุด จากนั้นฟังก์ชัน .ที่จุดเดียวกัน
และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้
ผลที่ตามมา ถ้าฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลสองตัวต่างกันด้วยค่าคงที่ อนุพันธ์ของพวกมันคือ, เช่น.
กฎข้อ 2ถ้าทำหน้าที่
ต่างกันที่จุดหนึ่ง แล้วผลคูณก็ต่างกันที่จุดเดียวกัน
และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันมีค่าเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันเหล่านี้แต่ละตัวและอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น
ผลที่ 1 ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:
ผลที่ 2 อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลหลายตัวเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของปัจจัยแต่ละตัวและอื่นๆ ทั้งหมด
ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:
กฎข้อ 3ถ้าทำหน้าที่
แตกต่างในบางจุด และ , เมื่อถึงจุดนี้ ผลหารของพวกมันก็หาอนุพันธ์ได้ด้วยเช่นกันu/v และ
เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน เท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษ และอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม .
จะดูหน้าอื่นได้ที่ไหน
เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และความฉลาดในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในครั้งเดียวเสมอ ดังนั้นตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้จะอยู่ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหาร".
ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) เป็นพจน์ในผลรวมและเป็นปัจจัยคงที่! ในกรณีของพจน์ อนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์จะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไปที่เกิดขึ้นใน ชั้นต้นการเรียนรู้อนุพันธ์ แต่ในขณะที่พวกเขาแก้ตัวอย่างหนึ่งสององค์ประกอบ นักเรียนทั่วไปจะไม่ทำผิดพลาดนี้อีกต่อไป
และถ้าเมื่อแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีเทอม ยู"วี, โดยที่ ยู- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือ ค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น พจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (กรณีดังกล่าววิเคราะห์ในตัวอย่างที่ 10) .
ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้ปัญหาทางกลของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนในฐานะอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ นั่นเป็นเหตุผลที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนอุทิศให้กับบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ
ระหว่างทางคุณไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องแปลงนิพจน์ ในการดำเนินการนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือ windows ใหม่ การกระทำด้วยอำนาจและรากเหง้าและ การกระทำที่มีเศษส่วน .
หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ที่มีกำลังและราก นั่นคือ เมื่อฟังก์ชันดูเหมือน 
จากนั้นทำตามบทเรียน " อนุพันธ์ของผลรวมของเศษส่วนที่มีกำลังและราก".
หากคุณมีงานเช่น 
แล้วคุณจะอยู่ในบทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย"
ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีหาอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 3หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. เรากำหนดส่วนต่าง ๆ ของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และปัจจัยของมันคือผลรวม ในวินาทีที่หนึ่งในเงื่อนไขมีปัจจัยคงที่ เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้และอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:
ต่อไป เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองที่มีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวม เราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ อนุพันธ์ของค่าหนึ่งเท่ากับหนึ่ง และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "x" กลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 - เป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" ถูกคูณด้วย 2 เราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:
เราแทนที่อนุพันธ์ที่ค้นพบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหา:
และคุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของอนุพันธ์บน
ตัวอย่างที่ 4หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. เราต้องหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการแยกความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วนซึ่งตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษ และอนุพันธ์ของตัวส่วน และ ตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:
เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษแล้วในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นปัจจัยที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบัน ถูกนำมาด้วยเครื่องหมายลบ:
หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาดังกล่าว ซึ่งคุณจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งมีกองรากและดีกรีต่อเนื่องกัน เช่น 
ยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน "อนุพันธ์ของผลรวมของเศษส่วนที่มีกำลังและราก" .
หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ นั่นคือเมื่อฟังก์ชันดูเหมือน แล้วคุณจะมีบทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .
ตัวอย่างที่ 5หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยที่เป็นรากที่สองของตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ ตามกฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้รับ:
คุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาอนุพันธ์ได้ที่ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ออนไลน์ .
ตัวอย่างที่ 6หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีการแก้. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหาร ซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ตามกฎการแยกความแตกต่างของผลหาร ซึ่งเราทำซ้ำและใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้รับ:
ในการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย .
ตั้งแต่คุณมาที่นี่ คุณคงเห็นสูตรนี้แล้วในตำราเรียน
แล้วทำหน้าแบบนี้
เพื่อนไม่ต้องกังวล! อันที่จริง ทุกสิ่งเป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้อับอายขายหน้า คุณจะเข้าใจทุกอย่างอย่างแน่นอน คำขอเดียวเท่านั้น - อ่านบทความ ช้าพยายามเข้าใจทุกขั้นตอน ฉันเขียนอย่างเรียบง่ายและชัดเจนที่สุด แต่คุณยังคงต้องเจาะลึกแนวคิดนี้ และอย่าลืมแก้ไขงานจากบทความ
ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคืออะไร?
ลองนึกภาพว่าคุณกำลังย้ายไปอพาร์ตเมนต์อื่น ดังนั้น คุณกำลังจัดของในกล่องใหญ่ ให้จำเป็นต้องรวบรวมสิ่งของชิ้นเล็ก ๆ เช่นเครื่องเขียนของโรงเรียน หากคุณโยนมันลงในกล่องขนาดใหญ่ พวกมันจะหลงทาง เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ ก่อนอื่นคุณต้องใส่มันลงในถุง ซึ่งคุณใส่ในกล่องขนาดใหญ่หลังจากนั้นก็ปิดผนึก กระบวนการที่ "ยากที่สุด" นี้แสดงอยู่ในแผนภาพด้านล่าง:
ดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์อยู่ที่ไหน นอกจากนี้ ฟังก์ชันที่ซับซ้อนยังถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน! มีเพียงเราเท่านั้นที่ "แพ็ค" ไม่ใช่โน้ตบุ๊คและปากกา แต่ \ (x \) ในขณะที่ "แพ็คเกจ" และ "กล่อง" ต่างกันให้บริการ
ตัวอย่างเช่น ลองนำ x และ "แพ็ค" ลงในฟังก์ชัน:
เป็นผลให้เราได้รับ \(\cosx\) แน่นอน นี่คือ "ถุงผ้า" ของเรา และตอนนี้เราใส่มันใน "กล่อง" - เราแพ็คมันลงในฟังก์ชันลูกบาศก์
จะเกิดอะไรขึ้นในที่สุด? ใช่ ถูกต้องแล้ว จะมี "แพ็คเกจที่มีของในกล่อง" นั่นคือ "โคไซน์ของ x ลูกบาศก์"
โครงสร้างที่ได้คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน ต่างจากของธรรมดาตรงที่ว่า “ผลกระทบ” หลายครั้ง (แพ็คเกจ) ถูกนำไปใช้กับ X หนึ่งรายการติดต่อกันและปรากฎว่า "ฟังก์ชันจากฟังก์ชัน" - "แพ็กเกจในแพ็กเกจ" เหมือนเดิม
ที่ หลักสูตรโรงเรียนมี "แพ็คเกจ" เดียวกันนี้น้อยมาก มีเพียงสี่ประเภทเท่านั้น:
ตอนนี้มา "แพ็ค" x ก่อนใน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังกับฐาน 7 แล้วไปเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราได้รับ:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
ตอนนี้มา "แพ็ค" x สองครั้งใน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ก่อนใน และจากนั้นใน :
\(x → sinx → ctg (sinx)\)
ง่ายใช่มั้ย?
ตอนนี้เขียนฟังก์ชันด้วยตัวเองโดยที่ x:
- อันดับแรก มันถูก "บรรจุ" ลงในโคไซน์ และจากนั้นเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน \(3\);
- อันดับแรกยกกำลังห้าแล้วจึงแทนเจนต์
- ก่อนถึงลอการิทึมฐาน \(4\)
จากนั้นให้ยกกำลัง \(-2\)
ดูคำตอบสำหรับคำถามนี้ที่ท้ายบทความ
แต่เรา "แพ็ค" x ไม่ใช่สอง แต่สามครั้งได้ไหม? ไม่มีปัญหา! และสี่ ห้า และยี่สิบห้าครั้ง ตัวอย่างเช่น ในที่นี้ เป็นฟังก์ชันที่ x ถูก "บรรจุ" \(4\) ครั้ง:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
แต่จะไม่พบสูตรดังกล่าวในการฝึกฝนของโรงเรียน (นักเรียนโชคดีกว่า - อาจยากกว่า☺)
"การเปิดออก" ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน
ดูฟังก์ชันก่อนหน้าอีกครั้ง คุณสามารถหาลำดับของ "การบรรจุ" ได้หรือไม่? สิ่งที่ X ถูกยัดเข้าไปก่อน อะไรต่อจากนั้น และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงที่สุด กล่าวคือ ฟังก์ชันใดซ้อนอยู่ในข้อใด หยิบกระดาษแผ่นหนึ่งแล้วเขียนสิ่งที่คุณคิด คุณสามารถทำสิ่งนี้ได้โดยใช้ลูกธนูเป็นลูกโซ่ ตามที่เราเขียนไว้ข้างต้น หรือด้วยวิธีอื่นใด
ตอนนี้ คำตอบที่ถูกต้องคือ: x ตัวแรก "ถูกบรรจุ" ไว้ในกำลัง \(4\)th จากนั้นผลลัพธ์ก็ถูกบรรจุลงในไซน์ ในทางกลับกัน มันถูกวางไว้ในฐานลอการิทึม \(2\) และใน ท้ายที่สุด การก่อสร้างทั้งหมดก็ถูกผลักเข้าสู่อำนาจห้า
นั่นคือจำเป็นต้องคลี่คลายลำดับในลำดับย้อนกลับ และนี่คือคำใบ้เกี่ยวกับวิธีการทำให้ง่ายขึ้น: เพียงแค่ดูที่ X - คุณต้องเต้นจากมัน มาดูตัวอย่างกัน
ตัวอย่างเช่น นี่คือฟังก์ชัน: \(y=tg(\log_2x)\) เราดูที่ X - เกิดอะไรขึ้นกับเขาก่อน? เอามาจากเขา แล้ว? แทนเจนต์ของผลลัพธ์ และลำดับจะเหมือนกัน:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
อีกตัวอย่างหนึ่ง: \(y=\cos((x^3))\) เราวิเคราะห์ - x ตัวแรกถูกลูกบาศก์แล้วโคไซน์ถูกนำมาจากผลลัพธ์ ดังนั้นลำดับจะเป็น: \(x → x^3 → \cos((x^3))\) ให้ความสนใจ ฟังค์ชั่นดูเหมือนจะคล้ายกับอันแรก (ที่มีรูปภาพ) แต่นี่เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง: ที่นี่ในคิวบ์ x (นั่นคือ \(\cos((x x x)))\) และในลูกบาศก์โคไซน์ \(x\) (นั่นคือ \(\ cos x·\cosx·\cosx\)) ความแตกต่างนี้เกิดจากลำดับ "การบรรจุ" ที่ต่างกัน
ตัวอย่างสุดท้าย (ซึ่งมีข้อมูลสำคัญอยู่ในนั้น): \(y=\sin((2x+5))\) เป็นที่ชัดเจนว่าในตอนแรกเราทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วย x จากนั้นไซน์ถูกนำมาจากผลลัพธ์: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\) และนี่ จุดสำคัญ: แม้ว่าการดำเนินการเลขคณิตจะไม่ใช่ฟังก์ชันในตัวเอง แต่ที่นี่ยังทำหน้าที่เป็นวิธีการ "บรรจุ" มาเจาะลึกความละเอียดอ่อนนี้กันสักหน่อย
ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น ในฟังก์ชันง่าย ๆ x จะถูก "บรรจุ" หนึ่งครั้ง และในฟังก์ชันที่ซับซ้อน - สองรายการขึ้นไป นอกจากนี้ การรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐานใดๆ (นั่นคือ ผลรวม ผลต่าง การคูณ หรือหาร) ก็เป็นฟังก์ชันแบบง่ายเช่นกัน ตัวอย่างเช่น \(x^7\) เป็นฟังก์ชันธรรมดา และ \(ctg x\) ก็เช่นกัน ดังนั้น การรวมกันทั้งหมดจึงเป็นฟังก์ชันง่ายๆ:
\(x^7+ ctg x\) - ง่าย
\(x^7 ctg x\) นั้นง่าย
\(\frac(x^7)(ctg x)\) นั้นเรียบง่าย เป็นต้น
อย่างไรก็ตาม หากมีการใช้ฟังก์ชันอื่นร่วมกับชุดค่าผสมดังกล่าว ก็จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอยู่แล้ว เนื่องจากจะมี "แพ็คเกจ" สองชุด ดูแผนภาพ:
โอเค มาเริ่มกันเลยดีกว่า เขียนลำดับของฟังก์ชัน "wrapping":
\(y=cos((sinx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
คำตอบจะอยู่ท้ายบทความอีกครั้ง
ฟังก์ชั่นภายในและภายนอก
ทำไมเราต้องเข้าใจฟังก์ชั่น nesting? สิ่งนี้ให้อะไรเราบ้าง? ประเด็นคือหากไม่มีการวิเคราะห์ดังกล่าว เราจะไม่สามารถค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กล่าวถึงข้างต้นได้อย่างน่าเชื่อถือ
และเพื่อที่จะไปต่อ เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเพิ่มเติมอีกสองแนวคิด: ฟังก์ชันภายในและภายนอก นี่เป็นเรื่องง่ายมาก ยิ่งกว่านั้น เราได้วิเคราะห์ข้างต้นแล้ว: หากเราจำการเปรียบเทียบของเราได้ในตอนเริ่มต้น ฟังก์ชันภายในก็คือ "แพ็กเกจ" และฟังก์ชันภายนอกคือ "กล่อง" เหล่านั้น. สิ่งที่ X คือ "ห่อ" ในอันดับแรกคือฟังก์ชันภายใน และสิ่งที่อยู่ภายใน "ห่อ" อยู่นั้นเป็นฟังก์ชันภายนอกอยู่แล้ว เป็นที่เข้าใจได้ว่าทำไม - มันอยู่ข้างนอก มันหมายถึงภายนอก
ในตัวอย่างนี้: \(y=tg(log_2x)\), ฟังก์ชัน \(\log_2x\) เป็นฟังก์ชันภายใน และ 
- ภายนอก
และในอันนี้: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) อยู่ภายใน และ 
- ภายนอก
ทำแบบฝึกหัดสุดท้ายของการวิเคราะห์ฟังก์ชันที่ซับซ้อน และสุดท้าย มาต่อกันที่จุดที่ทุกอย่างเริ่มต้นขึ้น - เราจะพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
เติมช่องว่างในตาราง:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันประสม
ไชโยสำหรับเรา เรายังได้ "เจ้านาย" ของหัวข้อนี้ - อันที่จริง อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและโดยเฉพาะกับสูตรที่แย่มากตั้งแต่ต้นบทความ☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot ก"(x)\)
สูตรนี้อ่านดังนี้:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกที่สัมพันธ์กับฟังก์ชันภายในคงที่และอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน
และดูรูปแบบการแยกวิเคราะห์ "ด้วยคำพูด" ทันทีเพื่อทำความเข้าใจว่าต้องเกี่ยวข้องกับอะไร:
ฉันหวังว่าคำว่า "อนุพันธ์" และ "ผลิตภัณฑ์" จะไม่ทำให้เกิดปัญหา "ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน" - เราได้รื้อถอนแล้ว การจับนั้นอยู่ใน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกที่สัมพันธ์กับค่าคงที่ภายใน" มันคืออะไร?
คำตอบ: นี่เป็นอนุพันธ์ปกติของฟังก์ชันภายนอก ซึ่งมีเพียงฟังก์ชันภายนอกเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง ในขณะที่ฟังก์ชันภายในยังคงเหมือนเดิม ยังไม่ชัดเจน? โอเค มาดูตัวอย่างกัน
สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน \(y=\sin(x^3)\) เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชันภายในที่นี่คือ \(x^3\) และฟังก์ชันภายนอก 
. ตอนนี้ให้เราหาอนุพันธ์ของตัวนอกเทียบกับค่าคงที่ตัวใน
หากเราทำตามคำจำกัดความ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนการเพิ่มของฟังก์ชัน Δ yเพื่อเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:
ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองคำนวณตามสูตรนี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · อี xบาป x. หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากการคำนวณสองสามหน้าคุณจะหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายกว่าและมีประสิทธิภาพมากกว่า
ในการเริ่มต้น เราทราบว่าฟังก์ชันพื้นฐานที่เรียกว่าสามารถแยกแยะได้จากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด นี่เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่คำนวณและป้อนในตารางมานานแล้ว ฟังก์ชันดังกล่าวจำง่ายพอๆ กับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น
ฟังก์ชันพื้นฐานมีทุกอย่างตามรายการด้านล่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องเป็นที่รู้จักด้วยหัวใจ ยิ่งกว่านั้นการจดจำนั้นไม่ยาก - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา
ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:
| ชื่อ | การทำงาน | อนุพันธ์ |
| คงที่ | ฉ(x) = ค, ค ∈ R | 0 (ใช่ ใช่ ศูนย์!) |
| องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ | ฉ(x) = x น | น · x น − 1 |
| ไซนัส | ฉ(x) = บาป x | cos x |
| โคไซน์ | ฉ(x) = cos x | − บาป x(ลบไซน์) |
| แทนเจนต์ | ฉ(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| โคแทนเจนต์ | ฉ(x) = ctg x | − 1/sin2 x |
| ลอการิทึมธรรมชาติ | ฉ(x) = บันทึก x | 1/x |
| ลอการิทึมตามอำเภอใจ | ฉ(x) = บันทึก เอ x | 1/(x ln เอ) |
| ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง | ฉ(x) = อี x | อี x(ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง) |
หากฟังก์ชันพื้นฐานคูณด้วยค่าคงที่ใดๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็จะคำนวณได้ง่ายเช่นกัน:
(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.
โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
เห็นได้ชัดว่า ฟังก์ชันพื้นฐานสามารถเพิ่มซึ่งกันและกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมาย นี่คือลักษณะที่ปรากฏของฟังก์ชันใหม่ ไม่ใช่แบบพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังแยกความแตกต่างได้ตามกฎบางอย่าง กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่าง
อนุพันธ์ของผลรวมและส่วนต่าง
ให้ฟังก์ชั่น ฉ(x) และ g(x) ซึ่งเรารู้จักอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้น จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:
- (ฉ + g)’ = ฉ ’ + g ’
- (ฉ − g)’ = ฉ ’ − g ’
ดังนั้นอนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจึงเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + g + ชม.)’ = ฉ ’ + g ’ + ชม. ’.
พูดอย่างเคร่งครัดไม่มีแนวคิดของ "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดของ "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − gสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (-1) gและเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม
ฉ(x) = x 2 + บาป; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน ดังนั้น:
ฉ ’(x) = (x 2+ บาป x)’ = (x 2)' + (บาป x)’ = 2x+ คอสเอ็กซ์;
เราเถียงกันสำหรับฟังก์ชัน g(x). มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
ตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอสเอ็กซ์;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ หลายคนเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณนั้น โจมตี"\u003e เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่สำหรับคุณมะเดื่อ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:
(ฉ · g) ’ = ฉ ’ · g + ฉ · g ’
สูตรง่าย ๆ แต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอสเอ็กซ์; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · อี x .
การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐานสองอย่าง ดังนั้นทุกอย่างจึงง่าย:
ฉ ’(x) = (x 3 คอส x)’ = (x 3)' เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − xบาป x)
การทำงาน g(x) ตัวคูณแรกนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่รูปแบบทั่วไปจะไม่เปลี่ยนแปลงจากสิ่งนี้ แน่นอน ตัวคูณแรกของฟังก์ชัน g(x) เป็นพหุนาม และอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · อี x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · อี x + (x 2 + 7x− 7) ( อี x)’ = (2x+ 7) · อี x + (x 2 + 7x− 7) · อี x = อี x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · อี x = x(x+ 9) · อี x .
ตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3cos x − xบาป x);
g ’(x) = x(x+ 9) · อี
x
.
โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้าย อนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการ ไม่จำเป็น แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อสำรวจฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าเพิ่มเติมอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ เครื่องหมายจะถูกหา และอื่น ๆ ในกรณีเช่นนี้ จะดีกว่าที่จะมีการแสดงออกที่แยกออกเป็นปัจจัยต่างๆ
หากมีสองหน้าที่ ฉ(x) และ g(x), และ g(x) ≠ 0 ในเซตที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ ชม.(x) = ฉ(x)/g(x). สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณสามารถหาอนุพันธ์ได้:
ไม่อ่อนแอใช่มั้ย? ค่าลบมาจากไหน? ทำไม g 2? แต่แบบนี้! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ซับซ้อนที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้หากไม่มีขวด เพราะฉะนั้น เรียนต่อดีกว่า ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม.
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
มีฟังก์ชันพื้นฐานในตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนแต่ละส่วน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลหาร:
ตามธรรมเนียมแล้ว เราแยกตัวเศษออกเป็นปัจจัย - ซึ่งจะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:
ฟังก์ชันเชิงซ้อนไม่จำเป็นต้องเป็นสูตรที่มีความยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ฟังก์ชัน ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร x, พูด, บน x 2+ln x. ปรากฎว่า ฉ(x) = บาป ( x 2+ln x) เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน เธอยังมีอนุพันธ์ แต่จะไม่ทำงานเพื่อค้นหาตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น
จะเป็นอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะช่วยได้ดังนี้
ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย t(x).
ตามกฎแล้ว สถานการณ์ที่มีความเข้าใจในสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าผลสืบเนื่องของผลหาร ดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างเฉพาะด้วย คำอธิบายโดยละเอียดทุกขั้นตอน
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = อี 2x + 3 ; g(x) = บาป ( x 2+ln x)
โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+ 3 จะง่าย xจากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = อี x. ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้2 x + 3 = t, ฉ(x) = ฉ(t) = อี t. เรากำลังมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยสูตร:
ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t ’ = (อี t)’ · t ’ = อี t · t ’
และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ: t = 2x+ 3. เราได้รับ:
ฉ ’(x) = อี t · t ’ = อี 2x+ 3 (2 x + 3)’ = อี 2x+ 3 2 = 2 อี 2x + 3
ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน g(x). เห็นได้ชัดว่าต้องเปลี่ยน x 2+ln x = t. เรามี:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (บาป t)’ · t' = cos t · t ’
การเปลี่ยนกลับ: t = x 2+ln x. แล้ว:
g ’(x) = คอส( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = คอส ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
นั่นคือทั้งหมด! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณอนุพันธ์ของผลรวม
ตอบ:
ฉ ’(x) = 2 อี
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) เพราะ ( x 2+ln x).
บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "จังหวะ" ตัวอย่างเช่น สโตรกของผลรวมเท่ากับผลรวมของสโตรก ชัดเจนกว่านี้ไหม? ดีที่เป็นสิ่งที่ดี
ดังนั้น การคำนวณอนุพันธ์ลงมาเพื่อกำจัดจังหวะเหล่านี้ตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น เป็นตัวอย่างสุดท้าย กลับไปที่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:
(x น)’ = น · x น − 1
น้อยคนนักที่จะรู้ว่าในบทบาท นอาจเป็นจำนวนเศษส่วนก็ได้ ตัวอย่างเช่น รูทคือ x 0.5 . แต่ถ้ามีอะไรซับซ้อนอยู่ใต้รูทล่ะ? อีกครั้ง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะเปิดออก - พวกเขาต้องการให้โครงสร้างดังกล่าวใน งานควบคุมโอ้และการสอบ
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
อันดับแรก ให้เขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขยกกำลังที่เป็นตรรกยะ:
ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = t. เราหาอนุพันธ์ได้จากสูตร:
ฉ ’(x) = ฉ ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.
เราทำการทดแทนแบบย้อนกลับ: t = x 2 + 8x− 7. เรามี:
ฉ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
ในที่สุดกลับไปที่ราก:
และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ซึ่งมีสูตรดังนี้
ให้ 1) ฟังก์ชัน $u=\varphi (x)$ มีอนุพันธ์ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ ในบางจุด $x_0$, 2) ฟังก์ชัน $y=f(u)$ มีที่จุดที่สอดคล้องกัน $u_0=\varphi (x_0)$ อนุพันธ์ $y_(u)"=f"(u)$ จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน $y=f\left(\varphi (x) \right)$ ที่จุดดังกล่าวจะมีอนุพันธ์เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(u)$ และ $\varphi ( x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
หรือในรูปแบบที่สั้นกว่า: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$
ในตัวอย่างของส่วนนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดมีรูปแบบ $y=f(x)$ (เช่น เราพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันของตัวแปร $x$ เท่านั้น) ดังนั้น ในตัวอย่างทั้งหมด อนุพันธ์ $y"$ จะถูกนำมาเทียบกับตัวแปร $x$ เพื่อเน้นว่าอนุพันธ์ถูกนำมาเทียบกับตัวแปร $x$ เรามักจะเขียน $y"_x$ แทน $ y"$.
ตัวอย่าง #1, #2 และ #3 ให้รายละเอียดกระบวนการในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ตัวอย่างที่ 4 มีวัตถุประสงค์เพื่อให้เข้าใจตารางอนุพันธ์อย่างสมบูรณ์ยิ่งขึ้น และเหมาะสมที่จะทำความคุ้นเคยกับมัน
ขอแนะนำหลังจากศึกษาเนื้อหาในตัวอย่างที่ 1-3 แล้วไปที่ การตัดสินใจที่เป็นอิสระตัวอย่าง #5 #6 และ #7 ตัวอย่าง #5, #6 และ #7 มีวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ เพื่อให้ผู้อ่านสามารถตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ได้
ตัวอย่าง #1
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=e^(\cos x)$
เราต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน $y"$ ตั้งแต่ $y=e^(\cos x)$ แล้ว $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. To ค้นหาอนุพันธ์ $ \left(e^(\cos x)\right)"$ ใช้สูตร #6 จากตารางอนุพันธ์ ในการใช้สูตรหมายเลข 6 คุณต้องคำนึงว่าในกรณีของเรา $u=\cos x$ วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมประกอบด้วยการแทนที่ซ้ำ ๆ ของนิพจน์ $\cos x$ แทนที่จะเป็น $u$ ในสูตรหมายเลข 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
ตอนนี้เราต้องหาค่าของนิพจน์ $(\cos x)"$ อีกครั้ง เรากลับไปที่ตารางอนุพันธ์โดยเลือกสูตรหมายเลข 10 จากนั้นแทนที่ $u=x$ เป็นสูตรที่ 10 เรามี : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. ตอนนี้เราดำเนินการต่อความเท่าเทียมกัน (1.1) เสริมด้วยผลลัพธ์ที่พบ:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
ตั้งแต่ $x"=1$ เรายังคงความเท่าเทียมกัน (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
จากความเท่าเทียมกัน (1.3) เรามี: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ โดยปกติคำอธิบายและความเท่าเทียมกันระดับกลางมักจะถูกข้ามไปโดยเขียนอนุพันธ์ในหนึ่งบรรทัดเช่นเดียวกับในความเท่าเทียมกัน ( 1.3) ดังนั้น เมื่อพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เหลือเพียงการเขียนคำตอบเท่านั้น
ตอบ: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
ตัวอย่าง #2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$
เราต้องคำนวณอนุพันธ์ $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ในการเริ่มต้น เราสังเกตว่าค่าคงที่ (เช่น เลข 9) สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
ทีนี้มาดูนิพจน์ $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ เพื่อให้ง่ายต่อการเลือกสูตรที่ต้องการจากตารางอนุพันธ์ ผมจะนำเสนอนิพจน์ ในรูปแบบนี้: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าจำเป็นต้องใช้สูตรที่ 2 เช่น $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. แทนที่ $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ และ $\alpha=12$ ลงในสูตรนี้:
เสริมความเท่าเทียมกัน (2.1) กับผลลัพธ์ที่ได้ เรามี:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
ในสถานการณ์นี้ มักเกิดข้อผิดพลาดเมื่อโปรแกรมแก้ปัญหาในขั้นตอนแรกเลือกสูตร $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ แทนสูตร $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. ประเด็นคือต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกก่อน เพื่อให้เข้าใจว่าฟังก์ชันใดที่จะอยู่ภายนอกนิพจน์ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ให้จินตนาการว่าคุณกำลังนับค่าของนิพจน์ $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ สำหรับค่าบางอย่างของ $x$ ขั้นแรก คุณคำนวณค่าของ $5^x$ แล้วคูณผลลัพธ์ด้วย 4 เพื่อให้ได้ $4\cdot 5^x$ ตอนนี้เราหาอาร์กแทนเจนต์จากผลลัพธ์นี้ ได้ $\arctg(4\cdot 5^x)$ จากนั้นเราเพิ่มจำนวนผลลัพธ์เป็นยกกำลังสิบสอง ได้ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ การกระทำสุดท้าย กล่าวคือ ยกกำลัง 12 - และมันจะเป็น ฟังก์ชั่นภายนอก. และมันก็มาจากมันที่เราควรเริ่มหาอนุพันธ์ซึ่งทำในความเท่าเทียมกัน (2.2)
ตอนนี้เราต้องหา $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ เราใช้สูตรหมายเลข 19 ของตารางอนุพันธ์แทน $u=4\cdot \ln x$ เข้าไป:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
เรามาลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์กันเล็กน้อย โดยคำนึงถึง $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
ความเท่าเทียมกัน (2.2) จะกลายเป็น:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$
มันยังคงต้องหา $(4\cdot \ln x)"$ เราเอาค่าคงที่ (เช่น 4) ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$ สำหรับในการหา $(\ln x)"$ เราใช้สูตรหมายเลข 8 แทนที่ $u=x$ เป็น: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. ตั้งแต่ $x"=1$ แล้ว $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ แทนผลลัพธ์ที่ได้รับเป็นสูตร (2.3) เราได้รับ:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $
ผมขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมักอยู่ในบรรทัดเดียว ดังที่เขียนไว้ในสมการสุดท้าย ดังนั้นเมื่อทำการคำนวณหรือทดสอบมาตรฐาน ไม่จำเป็นต้องลงสีโซลูชันในรายละเอียดเดียวกันเลย
ตอบ: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
ตัวอย่าง #3
ค้นหา $y"$ ของฟังก์ชัน $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$
ขั้นแรก ให้แปลงฟังก์ชัน $y$ เล็กน้อยโดยแสดงราก (root) เป็นกำลัง: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. ทีนี้มาเริ่มหาอนุพันธ์กัน ตั้งแต่ $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ ดังนั้น:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
เราใช้สูตรหมายเลข 2 จากตารางอนุพันธ์แทน $u=\sin(5\cdot 9^x)$ และ $\alpha=\frac(3)(7)$ ลงในนั้น:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
เรายังคงความเท่าเทียมกัน (3.1) โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
ตอนนี้เราต้องหา $(\sin(5\cdot 9^x))"$ สำหรับสิ่งนี้ เราใช้สูตรหมายเลข 9 จากตารางอนุพันธ์ แทนที่ $u=5\cdot 9^x$ ลงในนั้น:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
เสริมความเท่าเทียมกัน (3.2) กับผลลัพธ์ที่ได้ เรามี:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$
มันยังคงต้องหา $(5\cdot 9^x)"$. อันดับแรก เราเอาค่าคงที่ (ตัวเลข $5$) ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นั่นคือ $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$ ในการหาอนุพันธ์ $(9^x)"$ เราใช้สูตรที่ 5 ของตารางอนุพันธ์แทน $a=9$ และ $u=x$ ลงในนั้น: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. ตั้งแต่ $x"=1$ แล้ว $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. ตอนนี้ เราสามารถดำเนินการต่อความเท่าเทียมกัน (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
คุณสามารถคืนอำนาจจากรากเป็นราก (เช่น root) ได้อีกครั้งโดยเขียน $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ as $\ frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. จากนั้นอนุพันธ์จะถูกเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))) $$
ตอบ: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.
ตัวอย่าง #4
แสดงว่าสูตรที่ 3 และ 4 ของตารางอนุพันธ์เป็นกรณีพิเศษของสูตรที่ 2 ของตารางนี้
ในสูตรที่ 2 ของตารางอนุพันธ์ เขียนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $u^\alpha$ แทนที่ $\alpha=-1$ ลงในสูตร #2 เราได้:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
เนื่องจาก $u^(-1)=\frac(1)(u)$ และ $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ ความเท่าเทียมกัน (4.1) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. นี่คือสูตรหมายเลข 3 ของตารางอนุพันธ์
ลองกลับมาที่สูตรหมายเลข 2 ของตารางอนุพันธ์กันอีกครั้ง แทนที่ $\alpha=\frac(1)(2)$ เข้าไป:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
ตั้งแต่ $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ และ $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (4.2) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
ความเท่าเทียมกันที่ได้คือ $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ คือสูตรที่ 4 ของตารางอนุพันธ์ ดังที่คุณเห็น สูตรที่ 3 และหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์ได้มาจากสูตรที่ 2 โดยแทนที่ค่าที่สอดคล้องกันของ $\alpha$
ถ้า g(x) และ ฉ(ยู) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของอาร์กิวเมนต์ตามลำดับที่จุด xและ ยู= g(x), จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนก็สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด xและหาได้จากสูตร
ข้อผิดพลาดทั่วไปในการแก้ปัญหาอนุพันธ์คือการถ่ายโอนกฎอัตโนมัติเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันอย่างง่ายไปยังฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราจะเรียนรู้ที่จะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดนี้
ตัวอย่าง 2หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีแก้ปัญหาที่ผิด:คำนวณลอการิทึมธรรมชาติของแต่ละเทอมในวงเล็บและหาผลรวมของอนุพันธ์:
การตัดสินใจที่ถูกต้อง:อีกครั้งเรากำหนดว่า "แอปเปิ้ล" อยู่ที่ไหนและ "เนื้อสับ" อยู่ที่ไหน ที่นี่ลอการิทึมธรรมชาติของนิพจน์ในวงเล็บคือ "แอปเปิ้ล" นั่นคือฟังก์ชันบนอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ยูและนิพจน์ในวงเล็บคือ "เนื้อสับ" นั่นคืออาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ยูโดยตัวแปรอิสระ x.
จากนั้น (โดยใช้สูตร 14 จากตารางอนุพันธ์)
ในปัญหาจริงหลายๆ นิพจน์ นิพจน์ที่มีลอการิทึมค่อนข้างซับซ้อน จึงเป็นเหตุให้มีบทเรียน
ตัวอย่างที่ 3หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
วิธีแก้ปัญหาที่ผิด:
การตัดสินใจที่ถูกต้องอีกครั้งที่เรากำหนดที่ "แอปเปิ้ล" และที่ "เนื้อสับ" ที่นี่โคไซน์ของนิพจน์ในวงเล็บ (สูตร 7 ในตารางอนุพันธ์) คือ "แอปเปิ้ล" ซึ่งจัดทำขึ้นในโหมด 1 ซึ่งมีผลเฉพาะกับนิพจน์และนิพจน์ในวงเล็บ (อนุพันธ์ของระดับ - หมายเลข 3 ใน ตารางอนุพันธ์) คือ "เนื้อสับ" ปรุงในโหมด 2 มีผลกับมันเท่านั้น และเช่นเคย เราเชื่อมโยงอนุพันธ์สองตัวกับเครื่องหมายผลิตภัณฑ์ ผลลัพธ์:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมที่ซับซ้อนเป็นงานที่ทำบ่อยในการทดสอบ ดังนั้นเราขอแนะนำให้คุณไปที่บทเรียน "อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม"
ตัวอย่างแรกมีไว้สำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อน ซึ่งอาร์กิวเมนต์ระดับกลางเหนือตัวแปรอิสระเป็นฟังก์ชันอย่างง่าย แต่ในทางปฏิบัติมักจะต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน โดยที่อาร์กิวเมนต์ระดับกลางอาจเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือมีฟังก์ชันดังกล่าวอยู่ จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวโดยใช้ตารางและกฎการสร้างความแตกต่าง เมื่อพบอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง จะถูกแทนที่ในตำแหน่งที่ถูกต้องในสูตร ด้านล่างนี้คือสองตัวอย่างวิธีการดำเนินการนี้
นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ที่จะทราบดังต่อไปนี้ หากฟังก์ชันเชิงซ้อนสามารถแสดงเป็นสายโซ่ของฟังก์ชันสามฟังก์ชันได้
จากนั้นควรหาอนุพันธ์ของมันเป็นผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้แต่ละตัว:
การบ้านหลายๆ อย่างของคุณอาจทำให้คุณต้องเปิดบทช่วยสอนในหน้าต่างใหม่ การกระทำด้วยอำนาจและรากเหง้าและ การกระทำที่มีเศษส่วน .
ตัวอย่างที่ 4หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน โดยอย่าลืมว่าในผลคูณของอนุพันธ์ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางที่เกี่ยวกับตัวแปรอิสระ xไม่เปลี่ยนแปลง:
เราเตรียมปัจจัยที่สองของผลิตภัณฑ์และใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของผลรวม:
เทอมที่สองคือรูตดังนั้น
ดังนั้น จึงได้มาว่าอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ซึ่งเป็นผลรวม มีฟังก์ชันซับซ้อนเป็นหนึ่งในเงื่อนไข: การยกกำลังเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และสิ่งที่ยกกำลังเป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลางโดยตัวแปรอิสระ x.
ดังนั้นเราจึงใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง:
เราเปลี่ยนดีกรีของปัจจัยแรกเป็นรูต และแยกความแตกต่างของปัจจัยที่สอง เราต้องไม่ลืมว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์:
ตอนนี้เราสามารถหาอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางที่จำเป็นในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ต้องการในเงื่อนไขของปัญหาได้ y:
ตัวอย่างที่ 5หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อันดับแรก เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลรวม:
หาผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนสองฟังก์ชัน ค้นหารายการแรก:
ในที่นี้ การเพิ่มไซน์เป็นกำลังเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และไซน์เองก็เป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลางในตัวแปรอิสระ x. ดังนั้นเราจึงใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนไปพร้อมกัน นำตัวคูณออกจากวงเล็บ :
ตอนนี้เราพบเทอมที่สองจากเทอมที่มาจากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y:
ในที่นี้ การเพิ่มโคไซน์เป็นกำลังเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฉและโคไซน์เองก็เป็นอาร์กิวเมนต์กลางที่เกี่ยวกับตัวแปรอิสระ x. อีกครั้ง เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
ผลลัพธ์คืออนุพันธ์ที่ต้องการ:
ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนบางอย่าง
สำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน ตามกฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่ายจะมีรูปแบบที่ต่างออกไป
| 1. อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังเชิงซ้อน โดยที่ ยู x |  |
| 2. อนุพันธ์ของรากของนิพจน์ | |
| 3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง |  |
| 4. กรณีพิเศษของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง | |
| 5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐานบวกตามอำเภอใจ เอ |  |
| 6. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อน โดยที่ ยูเป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลของอาร์กิวเมนต์ x | |
| 7. อนุพันธ์ของไซน์ |  |
| 8. อนุพันธ์โคไซน์ |  |
| 9. อนุพันธ์แทนเจนต์ |  |
| 10. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์ |  |
| 11. อนุพันธ์ของอาร์กไซน์ |  |
| 12. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์ |  |
| 13. อนุพันธ์ของอาร์คแทนเจนต์ |  |
| 14. อนุพันธ์ของแทนเจนต์ผกผัน |  |