การแก้สมการโดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ วิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการสำหรับการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้น

วิธีการแก้สมการเชิงเส้นไม่เท่ากัน สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้นด้วยสัมประสิทธิ์คงที่โดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่ลากรองจ์ วิธีการลากรองจ์ยังใช้ได้กับการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นใดๆ หากทราบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของสมการเอกพันธ์

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย:

วิธีลากรองจ์ (การเปลี่ยนแปลงของค่าคงที่)

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ของลำดับที่ n โดยพลการ:
(1) .
วิธีการแปรผันคงที่ซึ่งเราพิจารณาสำหรับสมการลำดับที่หนึ่งนั้นใช้ได้กับสมการของลำดับที่สูงกว่าเช่นกัน

การแก้ปัญหาจะดำเนินการในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เราทิ้งด้านขวาและแก้สมการเอกพันธ์ เป็นผลให้เราได้รับโซลูชันที่มีค่าคงที่โดยพลการ n ในขั้นตอนที่สอง เราเปลี่ยนค่าคงที่ นั่นคือ เราถือว่าค่าคงที่เหล่านี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x และหารูปแบบของฟังก์ชันเหล่านี้

แม้ว่าเรากำลังพิจารณาสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่อยู่ที่นี่ แต่ วิธีการลากรองจ์ยังใช้ได้กับการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นใดๆ อีกด้วย. อย่างไรก็ตาม สำหรับสิ่งนี้ ต้องรู้ระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเอกพันธ์

ขั้นตอนที่ 1 การแก้สมการเอกพันธ์

ในกรณีของสมการลำดับที่หนึ่ง เราจะมองหา การตัดสินใจร่วมกันสมการเอกพันธ์ เท่ากับส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็นศูนย์:
(2) .
คำตอบทั่วไปของสมการดังกล่าวมีรูปแบบดังนี้
(3) .
นี่คือค่าคงที่โดยพลการ - n คำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเอกพันธ์ (2) ซึ่งเป็นระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการนี้

ขั้นตอนที่ 2 การเปลี่ยนแปลงของค่าคงที่ - การแทนที่ค่าคงที่ด้วยฟังก์ชัน

ในขั้นตอนที่สอง เราจะจัดการกับความแปรผันของค่าคงที่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะแทนที่ค่าคงที่ด้วยฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x :
.
นั่นคือ เรากำลังหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (1) ในรูปแบบต่อไปนี้:
(4) .

ถ้าเราแทน (4) เป็น (1) เราจะได้สมการอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชัน n ฟังก์ชัน ในกรณีนี้ เราสามารถเชื่อมฟังก์ชันเหล่านี้กับสมการเพิ่มเติมได้ จากนั้นคุณจะได้สมการ n สมการ ซึ่งคุณสามารถกำหนดฟังก์ชัน n ได้ สามารถเขียนสมการเพิ่มเติมได้หลายวิธี แต่เราจะทำในลักษณะที่วิธีแก้ปัญหามีรูปแบบที่ง่ายที่สุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เมื่อสร้างความแตกต่าง คุณต้องถือพจน์ศูนย์ที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เรามาสาธิตเรื่องนี้กัน

เพื่อแทนที่คำตอบที่เสนอ (4) ลงในสมการดั้งเดิม (1) เราจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของคำสั่ง n ตัวแรกของฟังก์ชันที่เขียนในรูปแบบ (4) สร้างความแตกต่าง (4) โดยใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลรวมและผลิตภัณฑ์:
.
มาจัดกลุ่มสมาชิกกันเถอะ อันดับแรก เราเขียนเงื่อนไขที่มีอนุพันธ์ของ และจากนั้นเงื่อนไขที่มีอนุพันธ์ของ :

.
เรากำหนดเงื่อนไขแรกในฟังก์ชัน:
(5.1) .
จากนั้นนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับ 1 จะมีรูปแบบที่ง่ายกว่า:
(6.1) .

ในทำนองเดียวกัน เราพบอนุพันธ์อันดับสอง:

.
เรากำหนดเงื่อนไขที่สองในฟังก์ชัน:
(5.2) .
แล้ว
(6.2) .
และอื่นๆ. ภายใต้เงื่อนไขเพิ่มเติม เราจัดเงื่อนไขที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันให้เป็นศูนย์

ดังนั้น หากเราเลือกสมการเพิ่มเติมต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชัน :
(5.k) ,
จากนั้นอนุพันธ์อันดับ 1 จะมีรูปแบบที่ง่ายที่สุด:
(6.k) .
ที่นี่ .

เราพบอนุพันธ์อันดับที่ n:
(6.n)
.

เราแทนที่ด้วยสมการดั้งเดิม (1):
(1) ;






.
เราคำนึงว่าฟังก์ชันทั้งหมดเป็นไปตามสมการ (2):
.
จากนั้นผลรวมของเงื่อนไขที่มีให้ศูนย์ เป็นผลให้เราได้รับ:
(7) .

เป็นผลให้เราได้ระบบสมการเชิงเส้นสำหรับอนุพันธ์:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

การแก้ระบบนี้ เราพบนิพจน์สำหรับอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันของ x การบูรณาการ เราได้รับ:
.
นี่คือค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นกับ x อีกต่อไป แทนที่ด้วย (4) เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม

โปรดทราบว่าเราไม่เคยใช้ความจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ a i เป็นค่าคงที่เพื่อกำหนดค่าของอนุพันธ์ นั่นเป็นเหตุผลที่ วิธี Lagrange ใช้ได้กับการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นใดๆถ้ารู้ระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเอกพันธ์ (2)

ตัวอย่าง

แก้สมการโดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่ (Lagrange)


เฉลยตัวอย่าง >> >

ดูสิ่งนี้ด้วย: คำตอบของสมการอันดับที่หนึ่งโดยวิธีการแปรผันคงที่ (ลากรองจ์)
การแก้สมการระดับสูงโดยวิธีเบอร์นูลลี
การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูงกว่าเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันด้วยสัมประสิทธิ์คงที่โดยการแทนที่เชิงเส้น

พิจารณาตอนนี้สมการเอกพันธ์เชิงเส้น
. (2)
ให้ y 1 ,y 2 ,.., y n เป็นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและเป็นคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน L(y)=0 . ในทำนองเดียวกันกับกรณีของสมการอันดับหนึ่ง เราจะหาคำตอบของสมการ (2) ในรูปแบบ
. (3)
ให้เราตรวจสอบว่ามีวิธีแก้ปัญหาในแบบฟอร์มนี้หรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแทนฟังก์ชันลงในสมการ ในการแทนฟังก์ชันนี้ลงในสมการ เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ อนุพันธ์อันดับแรกคือ
. (4)
เมื่อคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง คำศัพท์สี่คำจะปรากฏทางด้านขวาของ (4) เมื่อคำนวณอนุพันธ์อันดับสาม คำศัพท์แปดคำจะปรากฏขึ้น เป็นต้น ดังนั้น เพื่อความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติม เทอมแรกใน (4) จะถือว่าเท่ากับศูนย์ เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ อนุพันธ์อันดับสองจะเท่ากับ
. (5)
ด้วยเหตุผลเดียวกันกับก่อนหน้านี้ ใน (5) เราจึงตั้งค่าเทอมแรกเป็นศูนย์ด้วย สุดท้าย อนุพันธ์อันดับที่ n คือ
. (6)
แทนค่าอนุพันธ์ของอนุพันธ์ในสมการเดิมได้
. (7)
เทอมที่สองใน (7) เท่ากับศูนย์ เนื่องจากฟังก์ชัน y j , j=1,2,..,n เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน L(y)=0 เมื่อรวมกับสมการก่อนหน้า เราจะได้ระบบสมการพีชคณิตสำหรับการค้นหาฟังก์ชัน C" j (x)
(8)
ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ Wronsky ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา y 1 ,y 2 ,..,y n ของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน L(y)=0 ดังนั้นจึงไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับระบบ (8) เมื่อพบแล้วเราได้รับฟังก์ชัน C "j (x), j=1,2,…,n และดังนั้น C j (x), j=1,2,…,n แทนที่ค่าเหล่านี้ลงใน (3) เราได้คำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น
วิธีการที่อธิบายไว้เรียกว่าวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจหรือวิธีลากรองจ์

ตัวอย่าง # 1 มาหาคำตอบทั่วไปของสมการ y "" + 4y" + 3y \u003d 9e -3 x พิจารณาสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน y "" + 4y" + 3y \u003d 0 รากของสมการคุณลักษณะ r 2 + 4r + 3 \u003d 0 เท่ากับ -1 และ - 3 ดังนั้นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของสมการเอกพันธ์จึงประกอบด้วยฟังก์ชัน y 1 = e - x และ y 2 = e -3 x เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาสมการเอกพันธ์ในรูปแบบ y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x ในการหาอนุพันธ์ C " 1 , C" 2 เราสร้างระบบสมการ (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 e -x -3C′ 2 e -3x =9e -3x
แก้ที่เราพบ , การรวมฟังก์ชันที่ได้รับ, เรามี
ในที่สุดเราก็ได้

ตัวอย่าง # 2 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองด้วยสัมประสิทธิ์คงที่โดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

วิธีการแก้:
สมการเชิงอนุพันธ์นี้เป็นของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
เราจะหาคำตอบของสมการในรูปแบบ y = e rx . ในการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการคุณลักษณะของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

รากของสมการคุณลักษณะ: r 1 = 4, r 2 = 2
ดังนั้นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาคือฟังก์ชัน: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบดังนี้ y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะด้วยวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ
ในการหาอนุพันธ์ของ C "i เราสร้างระบบสมการ:
C′ 1 e 4x +C′ 2 e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Express C" 1 จากสมการแรก:
C" 1 \u003d -c 2 อี -2x
และแทนที่ในครั้งที่สอง เป็นผลให้เราได้รับ:
C" 1 \u003d 2 / (อี 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
เรารวมฟังก์ชันที่ได้รับ C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

เนื่องจาก y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x เราจึงเขียนนิพจน์ผลลัพธ์ในรูปแบบ:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x อี 2x + C * 2 อี 2x
ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์จึงมีรูปแบบดังนี้
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x อี 2x + C * 2 e 2x
หรือ
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

เราพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะภายใต้เงื่อนไข:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

แทนค่า x = 0 ลงในสมการที่พบ เราจะได้:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
เราพบอนุพันธ์อันดับแรกของคำตอบทั่วไปที่ได้รับ:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
แทนที่ x = 0 เราได้รับ:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

เราได้ระบบสองสมการ:
3 ลิตร(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
หรือ
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
หรือ
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
จาก: C 1 = 0, C * 2 = 2
โซลูชันเฉพาะจะถูกเขียนเป็น:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x อี 2x + 2 อี 2x

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจสำหรับการสร้างคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

เอ น (t)z (น) (t) + เอ น − 1 (t)z (น − 1) (t) + ... + เอ 1 (t)z"(t) + เอ 0 (t)z(t) = ฉ(t)

ประกอบด้วยการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจ ค kในการตัดสินใจทั่วไป

z(t) = ค 1 z 1 (t) + ค 2 z 2 (t) + ... + ค น z น (t)

สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

เอ น (t)z (น) (t) + เอ น − 1 (t)z (น − 1) (t) + ... + เอ 1 (t)z"(t) + เอ 0 (t)z(t) = 0

เพื่อช่วยในการทำงาน ค k (t) ซึ่งอนุพันธ์เป็นไปตามระบบพีชคณิตเชิงเส้น

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ (1) คือ Wronskian ของฟังก์ชัน z 1 ,z 2 ,...,z น ซึ่งช่วยให้มั่นใจถึงความสามารถในการแก้ไขเฉพาะในส่วนที่เกี่ยวกับ

หากเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับค่าคงที่ของค่าคงที่ของการรวม ฟังก์ชัน

เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นตรงที่เป็นต้นฉบับ การรวมสมการเอกพันธ์ในสารละลายทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันจึงลดลงเป็นการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจสำหรับการสร้างคำตอบให้กับระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในรูปแบบเวกเตอร์ปกติ

ประกอบด้วยการสร้างโซลูชันเฉพาะ (1) ในรูปแบบ

ที่ไหน Z(t) เป็นพื้นฐานของคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ซึ่งเขียนเป็นเมทริกซ์ และฟังก์ชันเวกเตอร์ ซึ่งแทนที่เวกเตอร์ของค่าคงที่ตามอำเภอใจ ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ โซลูชันเฉพาะที่ต้องการ (โดยมีค่าเริ่มต้นเป็นศูนย์ที่ t = t 0 มีรูปแบบ

สำหรับระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ นิพจน์สุดท้ายจะลดความซับซ้อนลง:

เมทริกซ์ Z(t)Z− 1 (τ)เรียกว่า Cauchy matrixโอเปอเรเตอร์ หลี่ = อา(t) .

ขั้นต่ำตามทฤษฎี

ในทฤษฎีสมการอนุพันธ์ มีวิธีการที่อ้างว่ามีความเป็นสากลในระดับสูงเพียงพอสำหรับทฤษฎีนี้
เรากำลังพูดถึงวิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการ ใช้ได้กับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ระดับต่างๆ และ
ระบบต่างๆ นี่เป็นกรณีที่ทฤษฎี - หากคุณนำการพิสูจน์ข้อความจากวงเล็บ - น้อยที่สุด แต่ช่วยให้คุณบรรลุ
ผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญ ดังนั้นจุดเน้นหลักจะอยู่ที่ตัวอย่าง

แนวคิดทั่วไปของวิธีการนี้ค่อนข้างง่ายในการกำหนด ให้สมการที่ให้มา (ระบบสมการ) แก้ยากหรือเข้าใจยาก
วิธีแก้ปัญหา อย่างไรก็ตาม จะเห็นได้ว่าเมื่อคำศัพท์บางคำไม่รวมอยู่ในสมการก็จะได้รับการแก้ไข จากนั้นพวกเขาก็แก้ตัวให้ง่ายขึ้น
สมการ (ระบบ) รับคำตอบที่มีค่าคงที่ตามอำเภอใจจำนวนหนึ่ง - ขึ้นอยู่กับลำดับของสมการ (จำนวน
สมการในระบบ) จากนั้นจะสันนิษฐานว่าค่าคงที่ในคำตอบที่หาได้นั้นไม่ใช่ค่าคงที่จริง ๆ ค่าคงที่ที่หาได้
ถูกแทนที่ในสมการเดิม (ระบบ) สมการอนุพันธ์ (หรือระบบสมการ) ได้มาเพื่อกำหนด "ค่าคงที่"
มีความจำเพาะในการใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจกับ งานต่างๆแต่สิ่งเหล่านี้เป็นรายละเอียดที่จะ .แล้ว
แสดงด้วยตัวอย่าง

ให้เราพิจารณาคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นตรงของลำดับที่สูงกว่ากัน นั่นคือ สมการของรูปแบบ
.
คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นคือผลรวมของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันและคำตอบเฉพาะ
สมการที่กำหนด สมมุติว่าพบคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์แล้ว กล่าวคือ มีการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา (FSR)
. แล้วคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์คือ
จำเป็นต้องหาคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ สำหรับสิ่งนี้ ค่าคงที่จะถือว่าขึ้นอยู่กับตัวแปร
ต่อไปคุณต้องแก้ระบบสมการ
.
ทฤษฎีนี้รับประกันว่าระบบสมการพีชคณิตเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้มีคำตอบเฉพาะ
เมื่อค้นหาฟังก์ชันด้วยตนเอง ค่าคงที่การรวมจะไม่ปรากฏ ท้ายที่สุดแล้ว ต้องหาวิธีแก้ปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่ง

ในกรณีของการแก้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่งของรูปแบบ

อัลกอริทึมยังคงแทบไม่เปลี่ยนแปลง ขั้นแรกคุณต้องหา FSR ของระบบสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เกี่ยวข้องกัน ให้เขียนเมทริกซ์พื้นฐาน
ระบบ คอลัมน์ที่เป็นองค์ประกอบของ FSR ต่อไปสมการ
.
การแก้ระบบ เรากำหนดฟังก์ชัน ดังนั้นจึงค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับระบบเดิม
(เมทริกซ์พื้นฐานคูณด้วยคอลัมน์คุณลักษณะที่พบ)
เราเพิ่มลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันซึ่งสร้างขึ้นบนพื้นฐานของ FSR ที่พบแล้ว
ได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

ตัวอย่าง 1 สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง.

ให้เราพิจารณาสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน (เราแสดงถึงฟังก์ชันที่ต้องการโดย ):
.
สมการนี้แก้ได้ง่ายโดยการแยกตัวแปร:

.
ตอนนี้เราแสดงคำตอบของสมการดั้งเดิมในรูปแบบ ที่ยังหาฟังก์ชันไม่พบ
เราแทนที่คำตอบประเภทนี้ลงในสมการดั้งเดิม:
.
อย่างที่คุณเห็น เทอมที่สองและสามทางด้านซ้ายจะตัดกัน - นี่คือ ลักษณะเฉพาะวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ที่นี่แล้ว - แน่นอน ค่าคงที่ตามอำเภอใจ ทางนี้,
.

ตัวอย่าง 2 สมการเบอร์นูลลี.

เราทำหน้าที่คล้ายกับตัวอย่างแรก - เราแก้สมการ

วิธีการแยกตัวแปร มันจะกลายเป็น ดังนั้นเราจึงมองหาคำตอบของสมการดั้งเดิมในรูปแบบ
.
แทนที่ฟังก์ชันนี้ลงในสมการเดิม:
.
และมีการตัดอีกครั้ง:
.
ที่นี่คุณต้องจำไว้เพื่อให้แน่ใจว่าเมื่อหารด้วยสารละลายจะไม่สูญหาย และกรณีที่สอดคล้องกับการแก้ปัญหาของต้นฉบับ
สมการ มาจำเขากันเถอะ ดังนั้น,
.
มาเขียนกันเถอะ
นี่คือทางออก เมื่อเขียนคำตอบ คุณควรระบุคำตอบที่พบก่อนหน้านี้ด้วย เนื่องจากคำตอบนั้นไม่ตรงกับค่าสุดท้ายใดๆ
ค่าคงที่

ตัวอย่างที่ 3 สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่า.

เราทราบทันทีว่าสมการนี้แก้ได้ง่ายกว่า แต่จะแสดงวิธีการนั้นสะดวก แม้ว่าข้อดีบางอย่าง
วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจก็มีในตัวอย่างนี้เช่นกัน
ดังนั้น คุณต้องเริ่มต้นด้วย FSR ของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน จำได้ว่าในการหา FSR ลักษณะเฉพาะ
สมการ
.
ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์
.
ค่าคงที่ที่รวมอยู่ในที่นี้จะแปรผัน กำลังรวบรวมระบบ