คำอธิบายสูตรการลดตรีโกณมิติ สูตรหล่อ

และอีกหนึ่งปัญหา B11 ในหัวข้อเดียวกัน - จาก การใช้งานจริงคณิตศาสตร์.

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ในวิดีโอสอนสั้นๆ นี้ เราจะเรียนรู้วิธีสมัคร สูตรลดเพื่อแก้ปัญหาจริง ข11 จากข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ อย่างที่คุณเห็น เรามีนิพจน์ตรีโกณมิติสองนิพจน์ข้างหน้าเรา แต่ละนิพจน์ประกอบด้วยไซน์และโคไซน์ เช่นเดียวกับอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขที่ค่อนข้างรุนแรง

ก่อนจะแก้ปัญหาเหล่านี้ มาจำกันก่อนว่าสูตรรีดักชั่นคืออะไร ดังนั้นถ้าเรามีนิพจน์เช่น:

จากนั้นเราสามารถกำจัดเทอมแรก (ของรูปแบบ k π/2) โดย กฎพิเศษ. ลองวาดวงกลมตรีโกณมิติ ทำเครื่องหมายจุดหลักบนมัน: 0, π/2; พาย; 3π/2 และ 2π จากนั้นเราดูที่เทอมแรกภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เรามี:

1. หากเงื่อนไขที่เราสนใจอยู่บนแกนตั้งของวงกลมตรีโกณมิติ (เช่น: 3π / 2; π / 2 เป็นต้น) ฟังก์ชันดั้งเดิมจะถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันร่วม: ไซน์จะถูกแทนที่ด้วย a โคไซน์และโคไซน์ถูกแทนที่ด้วยไซน์
2. หากเทอมของเราอยู่บนแกนนอน ฟังก์ชันดั้งเดิมจะไม่เปลี่ยนแปลง เพียงลบพจน์แรกในนิพจน์ - เท่านี้ก็เรียบร้อย

ดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ไม่มีเงื่อนไขในรูปแบบ k · π/2 อย่างไรก็ตาม การทำงานกับสูตรลดขนาดไม่ได้จบเพียงแค่นั้น ความจริงก็คือก่อนฟังก์ชันใหม่ของเรา ซึ่งได้รับหลังจาก "การปฏิเสธ" ของเทอมแรก อาจมีเครื่องหมายบวกหรือลบ จะระบุสัญลักษณ์นี้ได้อย่างไร? ตอนนี้เราจะหา

ลองนึกภาพว่ามุม α ซึ่งยังคงอยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติหลังการแปลงมีหน่วยวัดองศาที่เล็กมาก แต่ "การวัดขนาดเล็ก" หมายถึงอะไร? สมมติว่า α ∈ (0; 30°) - แค่นี้ก็เพียงพอแล้ว ลองใช้ฟังก์ชันเป็นตัวอย่าง:

จากนั้น จากสมมติฐานที่ว่า α ∈ (0; 30°) เราสรุปได้ว่ามุม 3π/2 − α อยู่ในจตุภาคพิกัดที่สาม นั่นคือ 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2) เราจำสัญลักษณ์ของฟังก์ชันดั้งเดิมได้นั่นคือ y = บาป x ในช่วงเวลานี้ เห็นได้ชัดว่า ไซน์ในไตรมาสพิกัดที่สามเป็นค่าลบ เพราะตามคำจำกัดความ ไซน์คือพิกัดของจุดสิ้นสุดของรัศมีเคลื่อนที่ (กล่าวโดยย่อ ไซน์คือพิกัด y) พิกัด y ในระนาบครึ่งล่างรับค่าลบเสมอ ดังนั้นในไตรมาสที่สาม y ก็เป็นลบเช่นกัน

จากการพิจารณาเหล่านี้ เราสามารถเขียนนิพจน์สุดท้ายได้:

ปัญหา B11 - 1 ตัวเลือก

เทคนิคเดียวกันนี้ค่อนข้างเหมาะสำหรับการแก้ปัญหา B11 จาก Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือในปัญหา B11 ในชีวิตจริงหลายๆ ปัญหา แทนที่จะใช้การวัดเรเดียน (เช่น ตัวเลข π, π/2, 2π ฯลฯ) จะใช้การวัดองศา (เช่น 90°, 180°, 270° และ เป็นต้น) ลองดูงานแรก:

มาจัดการกับตัวเศษกันก่อน cos 41° เป็นค่าที่ไม่ใช่ตาราง เราจึงทำอะไรกับมันไม่ได้ สำหรับตอนนี้ ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น

ตอนนี้ดูที่ตัวส่วน:

บาป 131° = บาป (90° + 41°) = cos 41°

แน่นอน เรามีสูตรรีดิวซ์อยู่ข้างหน้า ดังนั้นไซน์จึงถูกแทนที่ด้วยโคไซน์ นอกจากนี้ มุม 41° จะอยู่ในส่วนของ (0°; 90°) เช่น ในไตรมาสแรกของพิกัด - ตรงตามที่จำเป็นสำหรับการใช้สูตรการลด แต่แล้ว 90° + 41° เป็นควอเตอร์พิกัดที่สอง ฟังก์ชันดั้งเดิม y = sin x เป็นค่าบวก นั่นคือสาเหตุที่เราใส่เครื่องหมายบวกหน้าโคไซน์ในขั้นตอนสุดท้าย (กล่าวคือ เราไม่ได้ใส่อะไรเลย)

มันยังคงจัดการกับองค์ประกอบสุดท้าย:

cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0.5

ในที่นี้เราจะเห็นว่า 180° เป็นแกนนอน ดังนั้น ฟังก์ชันเองจะไม่เปลี่ยนแปลง: มีโคไซน์ - และโคไซน์ก็จะยังคงอยู่ แต่คำถามก็เกิดขึ้นอีกครั้ง: บวกหรือลบอยู่ข้างหน้านิพจน์ผลลัพธ์ cos 60 °? โปรดทราบว่า 180° เป็นจตุภาคพิกัดที่สาม โคไซน์เป็นลบตรงนั้น ดังนั้น โคไซน์จะลงท้ายด้วยเครื่องหมายลบ โดยรวมแล้ว เราได้โครงสร้าง -cos 60 ° = -0.5 - นี่คือค่าแบบตาราง ดังนั้นทุกอย่างจึงคำนวณได้ง่าย

ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขที่ได้รับลงในสูตรดั้งเดิมและรับ:

อย่างที่คุณเห็น จำนวน cos 41 ° ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนจะลดลงอย่างง่ายดาย และนิพจน์ปกติยังคงอยู่ ซึ่งเท่ากับ -10 ในกรณีนี้ ลบสามารถนำออกและวางไว้หน้าเครื่องหมายเศษส่วนหรือ "เก็บ" ถัดจากตัวคูณที่สองจนกว่าจะถึงขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณ ไม่ว่าจะด้วยวิธีใด คำตอบคือ -10 แค่นั้นแหละ ปัญหา B11 ได้รับการแก้ไขแล้ว!

ปัญหา B14 - ตัวเลือกที่ 2

มาต่อกันที่งานที่สอง ก่อนที่เราจะเป็นเศษส่วนอีกครั้ง:

เรามี 27° ในจตุภาคพิกัดแรก เราจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรที่นี่ แต่ต้องทาสีบาป 117 ° (จนถึงตอนนี้ไม่มีสี่เหลี่ยม):

บาป 117° = บาป (90° + 27°) = cos 27°

ชัดเจนต่อหน้าเราอีกครั้ง สูตรลด: 90° คือแกนตั้ง ดังนั้นไซน์จะเปลี่ยนเป็นโคไซน์ นอกจากนี้ มุม α = 117° = 90° + 27° อยู่ในจตุภาคพิกัดที่สอง ฟังก์ชันดั้งเดิม y = sin x เป็นบวกที่นั่น ดังนั้น ก่อนโคไซน์หลังการแปลงทั้งหมด เครื่องหมายบวกยังคงอยู่ กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่มีการเพิ่มอะไรเลย - เราปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น: cos 27 °

เรากลับไปที่นิพจน์เดิมที่ต้องได้รับการประเมิน:

อย่างที่คุณเห็น หลังจากการแปลง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักปรากฏในตัวส่วน: sin 2 27° + cos 2 27° = 1 รวม -4: 1 = -4 - เราจึงพบคำตอบของปัญหาที่สอง B11

อย่างที่คุณเห็น ด้วยความช่วยเหลือของสูตรการลดลง งานดังกล่าวจาก Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์จะได้รับการแก้ไขในสองสามบรรทัด ไม่มีไซน์ของผลรวมและโคไซน์ของผลต่าง ทั้งหมดที่เราต้องจำไว้เป็นเพียงวงกลมตรีโกณมิติ

สูตรลดขนาดเป็นอัตราส่วนที่ช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนจากไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ด้วยมุม `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha', `2\pi \pm \alpha' กับฟังก์ชันเดียวกันของมุม `\alpha' ซึ่งอยู่ในไตรมาสแรกของวงกลมหนึ่งหน่วย ดังนั้นสูตรการลดขนาด "นำ" ให้เราทำงานกับมุมในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาซึ่งสะดวกมาก

รวมแล้วมี 32 สูตรลด พวกเขาจะมีประโยชน์อย่างแน่นอนในการสอบ การสอบ การทดสอบ แต่เราจะเตือนคุณทันทีว่าไม่จำเป็นต้องจำมัน! คุณต้องใช้เวลาเล็กน้อยและเข้าใจอัลกอริทึมสำหรับแอปพลิเคชันของพวกเขา แล้วคุณจะได้รับความเท่าเทียมกันที่จำเป็นในเวลาที่เหมาะสมได้ไม่ยาก

ขั้นแรก ให้เขียนสูตรการลดลงทั้งหมด:

สำหรับมุม (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` บาป (\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha'
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

สำหรับมุม (`\pi \pm \alpha`) หรือ (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` บาป (\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

สำหรับมุม (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` บาป (\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha'
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha'
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha'
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha'

สำหรับมุม (`2\pi \pm \alpha`) หรือ (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` บาป (2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha'
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

คุณมักจะพบสูตรการย่อขนาดในรูปของตาราง โดยที่มุมเขียนเป็นเรเดียน:

ในการใช้งาน คุณต้องเลือกแถวที่มีฟังก์ชันที่เราต้องการ และคอลัมน์ที่มีอาร์กิวเมนต์ที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น หากต้องการใช้ตารางเพื่อค้นหาว่า ` sin(\pi + \alpha)` คืออะไร ก็เพียงพอแล้วที่จะหาคำตอบที่จุดตัดของแถว ` sin \beta` และคอลัมน์ ` \pi + \ อัลฟ่า' เราได้รับ ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`

และตารางที่สองที่คล้ายกันซึ่งมุมเขียนเป็นองศา:

กฎการจำของสูตรการหล่อหรือวิธีจำ

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำอัตราส่วนข้างต้นทั้งหมด หากคุณมองใกล้พวกเขา คุณอาจสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง พวกเขาช่วยให้เราสามารถกำหนดกฎช่วยในการจำ (ช่วยในการจำ - จดจำ) ซึ่งคุณสามารถรับสูตรการย่อขนาดใดก็ได้

เราทราบทันทีว่าเพื่อที่จะใช้กฎนี้ เราต้องสามารถกำหนด (หรือจำ) สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนต่างๆ ของวงกลมหนึ่งหน่วยได้เป็นอย่างดี
การรับสินบนนั้นประกอบด้วย 3 ขั้นตอน:

1. 1. อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันต้องอยู่ในรูปแบบ `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha` โดยต้องมี `\ alpha' มุมแหลม(จาก 0 ถึง 90 องศา)
   2. สำหรับอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` ฟังก์ชันตรีโกณมิติของนิพจน์ที่แปลงแล้วจะเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันร่วม นั่นคือ ตรงกันข้าม (ไซน์เป็นโคไซน์ แทนเจนต์เป็นโคแทนเจนต์ และในทางกลับกัน) สำหรับอาร์กิวเมนต์ `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
   3. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชันดั้งเดิม ฟังก์ชันผลลัพธ์ทางด้านขวาจะมีเครื่องหมายเหมือนกัน

เพื่อดูว่ากฎนี้สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร ให้แปลงนิพจน์สองสามข้อ:

1. `cos(\pi + \alpha)`

ฟังก์ชันจะไม่ย้อนกลับ มุม ` \pi + \alpha` อยู่ในจตุภาคที่สาม โคไซน์ในจตุภาคนี้มีเครื่องหมาย "-" ดังนั้นฟังก์ชันที่แปลงแล้วจะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

คำตอบ: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`

ตามกฎช่วยในการจำ ฟังก์ชันจะย้อนกลับ มุม `\frac (3\pi)2 - \alpha` อยู่ในจตุภาคที่สาม ไซน์ตรงนี้มีเครื่องหมาย "-" ดังนั้นผลลัพธ์จะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

คำตอบ: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\อัลฟ่า))' มาแทน `3\pi` เป็น `2\pi+\pi` `2\pi` คือคาบของฟังก์ชัน

สำคัญ: ฟังก์ชัน "cos \alpha" และ "sin \alpha" มีช่วงเวลา "2\pi" หรือ "360^\circ" ค่าจะไม่เปลี่ยนแปลงหากอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยค่าเหล่านี้

จากสิ่งนี้ นิพจน์ของเราสามารถเขียนได้ดังนี้: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)` การใช้กฎช่วยในการจำสองครั้ง เราจะได้: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - บาป \alpha`.

คำตอบ: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`

กฎของม้า

วรรคสองของข้างต้น กฎความจำเรียกอีกอย่างว่ากฎของสูตรลดม้า ฉันสงสัยว่าทำไมม้า?

ดังนั้นเราจึงมีฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, จุด `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` เป็นจุดสำคัญ พวกมันอยู่บนแกนพิกัด `\pi` และ `2\pi` อยู่บนแกน x แนวนอน และ `\frac (\pi)2` และ `\frac (3\pi)2` อยู่บนแกน y แนวตั้ง

เราถามตัวเองว่า: "ฟังก์ชันเปลี่ยนเป็น cofunction หรือไม่" ในการตอบคำถามนี้ คุณต้องเคลื่อนศีรษะไปตามแกนที่จุดสำคัญตั้งอยู่

นั่นคือ สำหรับการโต้แย้งที่มีประเด็นสำคัญอยู่บนแกนนอน เราตอบว่า "ไม่" โดยส่ายหัวไปด้านข้าง และสำหรับมุมที่มีจุดสำคัญอยู่บนแกนตั้ง เราตอบว่า "ใช่" โดยพยักหน้าจากบนลงล่างเหมือนม้า 🙂

เราแนะนำให้ดูวิดีโอสอนโดยผู้เขียนจะอธิบายรายละเอียดวิธีการจำสูตรลดขนาดโดยไม่ต้องท่องจำ

ตัวอย่างการปฏิบัติของการใช้สูตรการหล่อ

การใช้สูตรลดเริ่มต้นในเกรด 9 และ 10 มีการส่งงานจำนวนมากที่มีการใช้งานไปสอบ นี่คืองานบางส่วนที่คุณจะต้องใช้สูตรเหล่านี้:

• งานแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก
• การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติที่เป็นตัวเลขและตัวอักษร การคำนวณค่า
• ปัญหาสามมิติ

ตัวอย่างที่ 1 ใช้สูตรการลดลงเพื่อคำนวณ a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ'

วิธีแก้ไข: ก) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `บาป 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`

ตัวอย่างที่ 2 เมื่อแสดงโคไซน์ผ่านไซน์โดยใช้สูตรการลด ให้เปรียบเทียบตัวเลข: 1) `sin \frac (9\pi)8` และ `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` และ `cos \frac (3\pi)10`

วิธีแก้ไข: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

ก่อนอื่นเราพิสูจน์สองสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` และ ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha` ส่วนที่เหลือมาจากพวกเขา

นำวงกลมหนึ่งหน่วยแล้วชี้ A ด้วยพิกัด (1,0) ให้หลังจากเปิด มุม `\alpha` มันจะไปที่จุด `A_1(x, y)` และหลังจากหมุนมุม `\frac (\pi)2 + \alpha` ไปยังจุด `A_2(-y,x)` . การลดเส้นตั้งฉากจากจุดเหล่านี้ไปที่เส้น OX เราจะเห็นว่าสามเหลี่ยม `OA_1H_1` และ `OA_2H_2` เท่ากัน เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมประชิดเท่ากัน จากนั้น ตามคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ เราสามารถเขียน `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y` เราจะเขียนได้อย่างไรว่า ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` and ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha` ซึ่งพิสูจน์การลดลง สูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของมุม `\frac (\pi)2 + \alpha`

จากนิยามของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เราได้ ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` และ ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha` ซึ่งพิสูจน์การลดลง สูตรสำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม `\frac (\pi)2 + \alpha`

เพื่อพิสูจน์สูตรด้วยอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 - \alpha` ก็เพียงพอที่จะแสดงเป็น `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` และทำตามเส้นทางเดียวกับด้านบน ตัวอย่างเช่น `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`

มุม `\pi + \alpha` และ `\pi - \alpha` สามารถแสดงเป็น `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` และ `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` ตามลำดับ

และ `\frac (3\pi)2 + \alpha` และ `\frac (3\pi)2 - \alpha` เป็น `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` และ `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`

บทความนี้มีไว้สำหรับการศึกษาโดยละเอียดเกี่ยวกับสูตรการลดตรีโกณมิติ มีรายการสูตรการลดขนาดทั้งหมด แสดงตัวอย่างการใช้งาน และมีการพิสูจน์ความถูกต้องของสูตร บทความนี้ยังให้กฎช่วยในการจำที่ช่วยให้คุณได้รับสูตรการลดลงโดยไม่ต้องจำแต่ละสูตร

Yandex.RTB R-A-339285-1

สูตรหล่อ. รายการ

สูตรการลดขนาดช่วยให้คุณลดฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของมุมขนาดใดก็ได้เป็นฟังก์ชันของมุมที่อยู่อยู่ในช่วง 0 ถึง 90 องศา (จาก 0 ถึง π 2 เรเดียน) การทำงานโดยทำมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาจะสะดวกกว่าการทำงานกับค่าขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ ดังนั้นจึงใช้สูตรการย่อขนาดในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติอย่างกว้างขวาง

ก่อนที่เราจะเขียนสูตรเอง เราจะชี้แจงบางประเด็นที่สำคัญต่อการทำความเข้าใจ

• อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติในสูตรการลดคือมุมของรูปแบบ ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . โดยที่ z คือจำนวนเต็มใดๆ และ α คือมุมการหมุนตามอำเภอใจ
• ไม่จำเป็นต้องเรียนรู้สูตรการลดทั้งหมดซึ่งเป็นจำนวนที่ค่อนข้างน่าประทับใจ มีกฎช่วยในการจำที่ทำให้ได้มาซึ่งสูตรที่ต้องการได้ง่าย กฎช่วยในการจำจะกล่าวถึงในภายหลัง

ตอนนี้ ไปที่สูตรการลดลงโดยตรง

สูตรการหล่อช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนจากการทำงานกับมุมขนาดใหญ่ตามอำเภอใจไปจนถึงการทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา มาเขียนสูตรทั้งหมดในรูปแบบของตารางกัน

สูตรหล่อ

บาป α + 2 π z = บาป α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - บาป α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - บาป α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = บาป α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - บาป α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = บาป α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - บาป α t ก. 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

ในกรณีนี้ สูตรจะเขียนเป็นเรเดียน อย่างไรก็ตาม คุณสามารถเขียนโดยใช้องศาได้ การแปลงเรเดียนเป็นองศาก็เพียงพอแล้วโดยแทนที่ π ด้วย 180 องศา

ตัวอย่างการใช้สูตรหล่อ

เราจะแสดงวิธีการใช้สูตรลดขนาดและวิธีการใช้สูตรเหล่านี้ในการแก้ตัวอย่างในทางปฏิบัติ

มุมภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่สามารถแสดงเป็นมุมเดียวได้ แต่มีหลายวิธี ตัวอย่างเช่น อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแสดงเป็น ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . เรามาสาธิตเรื่องนี้กัน

ลองหามุม α = 16 π 3 . มุมนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

ขึ้นอยู่กับการแสดงของมุม ใช้สูตรการลดที่สอดคล้องกัน

ลองหามุมเดียวกัน α = 16 π 3 แล้วคำนวณแทนเจนต์

ตัวอย่างที่ 1: การใช้สูตรการหล่อ

α \u003d 16 π 3, t ก. α \u003d?

ให้เราแทนมุม α = 16 π 3 เป็น α = π + π 3 + 2 π 2

การแสดงมุมนี้จะสอดคล้องกับสูตรการลดลง

t ก. (π + α + 2 π z) = t ก. α

t ก. 16 π 3 = t ก. π + π 3 + 2 π 2 = t ก π 3

โดยใช้ตารางเราระบุค่าของแทนเจนต์

ตอนนี้เราใช้การแสดงอีกมุมหนึ่งของมุม α = 16 π 3 .

ตัวอย่างที่ 2: การใช้สูตรการหล่อ

α \u003d 16 π 3, t ก. α \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3

สุดท้าย สำหรับการแทนค่ามุมที่สามที่เราเขียน

ตัวอย่างที่ 3: การใช้สูตรการหล่อ

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

ทีนี้มายกตัวอย่างการใช้สูตรรีดิวซ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นกัน

ตัวอย่างที่ 4: การใช้สูตรการหล่อ

ลองแทนบาป 197 °ในแง่ของไซน์และโคไซน์ของมุมแหลม

เพื่อให้สามารถใช้สูตรการรีดิวซ์ได้ จำเป็นต้องแสดงมุม α = 197 ° ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z ตามเงื่อนไขของปัญหา มุมจะต้องแหลม ดังนั้นเราจึงมีสองวิธีในการแสดงข้อมูลดังกล่าว:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

เราได้รับ

บาป 197° = บาป (180° + 17°) บาป 197° = บาป (270° - 73°)

ตอนนี้เรามาดูสูตรการลดขนาดไซน์และเลือกสูตรที่เหมาะสมกัน

บาป (π + α + 2 πz) = - บาปαบาป (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα บาป 197 ° = บาป (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - บาป 17 ° บาป 197 ° = บาป(270° - 73° + 360° z) = - cos 73°

กฎช่วยจำ

มีสูตรการหล่อมากมายและโชคดีที่ไม่ต้องจำสูตร มีรูปแบบที่คุณสามารถหาสูตรการย่อขนาดสำหรับมุมต่างๆ และฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ รูปแบบเหล่านี้เรียกว่ากฎช่วยในการจำ Mnemonics เป็นศิลปะแห่งการท่องจำ กฎช่วยในการจำประกอบด้วยสามส่วนหรือประกอบด้วยสามขั้นตอน

กฎช่วยจำ

1. อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันดั้งเดิมแสดงในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

มุม α ต้องอยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

2. กำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติดั้งเดิม ฟังก์ชันที่เขียนทางด้านขวาของสูตรจะมีเครื่องหมายเหมือนกัน

3. สำหรับมุม ± α + 2 πz และ π ± α + 2 πz ชื่อของฟังก์ชันดั้งเดิมยังคงไม่เปลี่ยนแปลง และสำหรับมุม π 2 ± α + 2 πz และ 3 π 2 ± α + 2 πz ตามลำดับ จะเปลี่ยนไป สู่ "ฟังก์ชันร่วม" ไซน์ถึงโคไซน์ แทนเจนต์เป็นโคแทนเจนต์

ในการใช้กฎช่วยในการจำสำหรับสูตรการย่อ คุณต้องสามารถกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติตามไตรมาสของวงกลมหนึ่งหน่วยได้ มาดูตัวอย่างการใช้กฎช่วยในการจำ

ตัวอย่างที่ 1: การใช้กฎช่วยในการจำ

ให้เราเขียนสูตรการลดลงสำหรับ cos π 2 - α + 2 πz และ t g π - α + 2 πz . α - มุมของไตรมาสแรก

1. เนื่องจากตามเงื่อนไข α เป็นล็อกของไตรมาสแรก เราจึงข้ามวรรคแรกของกฎ

2. ให้เรากำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน cos π 2 - α + 2 πz และ t g π - α + 2 πz . มุม π 2 - α + 2 πz ก็เป็นมุมของไตรมาสแรกเช่นกัน และมุม π - α + 2 πz อยู่ในควอเตอร์ที่สอง ในไตรมาสแรก ฟังก์ชันโคไซน์เป็นค่าบวก และแทนเจนต์ในไตรมาสที่สองมีเครื่องหมายลบ ลองเขียนว่าสูตรที่ต้องการจะมีลักษณะอย่างไรในขั้นตอนนี้

cos π 2 - α + 2 πz = + t ก. π - α + 2 πz = -

3. ตามจุดที่สาม สำหรับมุม π 2 - α + 2 π ชื่อของฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นขงจื๊อ และสำหรับมุม π - α + 2 πz ยังคงเหมือนเดิม มาเขียนกัน:

cos π 2 - α + 2 πz = + บาป α t g π - α + 2 πz = - t g α

ตอนนี้ มาดูสูตรด้านบนกัน และตรวจสอบให้แน่ใจว่ากฎช่วยในการจำทำงาน

ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีมุมจำเพาะ α = 777° เรานำไซน์อัลฟามาสู่ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลม

ตัวอย่างที่ 2: การใช้กฎช่วยในการจำ

1. ลองแทนมุม α = 777 ° ในรูปแบบที่ต้องการ

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. มุมเริ่มต้น - มุมของไตรมาสแรก ดังนั้นไซน์ของมุมจึงมีเครื่องหมายบวก เป็นผลให้เรามี:

3. บาป 777° = บาป (57° + 360° 2) = บาป 57° บาป 777° = บาป (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

ตอนนี้มาดูตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าการระบุเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างถูกต้องและแสดงมุมอย่างถูกต้องมีความสำคัญเพียงใดเมื่อใช้กฎช่วยในการจำ มาย้ำกันอีกครั้ง

สำคัญ!

มุม α ต้องเฉียบ!

ลองคำนวณแทนเจนต์ของมุม 5 π 3 . จากตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติหลัก คุณสามารถใช้ค่า t g 5 π 3 = - 3 ได้ทันที แต่เราจะใช้กฎช่วยในการจำ

ตัวอย่างที่ 3: การใช้กฎช่วยในการจำ

เราแสดงมุม α = 5 π 3 ในรูปแบบที่ต้องการและใช้กฎ

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

หากเราแสดงมุมอัลฟาในรูปแบบ 5 π 3 = π + 2 π 3 ผลลัพธ์ของการใช้กฎช่วยในการจำจะไม่ถูกต้อง

t ก. 5 π 3 \u003d t ก. π + 2 π 3 \u003d - t ก. 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3

ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องเกิดจากการที่มุม 2 π 3 ไม่แหลม

การพิสูจน์สูตรการลดจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของคาบและสมมาตรของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่นเดียวกับคุณสมบัติของการขยับตามมุม π 2 และ 3 π 2 . การพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรการรีดักชันทั้งหมดสามารถทำได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงระยะ 2 πz เนื่องจากมันแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงในมุมด้วยจำนวนเต็มของรอบการหมุนเต็มจำนวนและสะท้อนถึงคุณสมบัติของคาบเท่านั้น

16 สูตรแรกเป็นไปตามคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานโดยตรง ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

เรานำเสนอข้อพิสูจน์ของสูตรการรีดิวซ์สำหรับไซน์และโคไซน์

บาป π 2 + α = cos α และ cos π 2 + α = - บาป α

ลองดูที่วงกลมหนึ่งหน่วย จุดเริ่มต้นหลังจากหมุนมุม α แล้ว ผ่านไปยังจุด A 1 x , y และหลังจากหมุนมุม π 2 + α - ไปยังจุด A 2 . จากทั้งสองจุด เราวาดเส้นตั้งฉากกับแกน x

สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป O A 1 H 1 และ O A 2 H 2 เท่ากันในแง่ของด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมที่อยู่ติดกัน จากตำแหน่งของจุดบนวงกลมและความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม เราสามารถสรุปได้ว่าจุด A 2 มีพิกัด A 2 - y, x โดยใช้คำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ เราเขียน:

บาป α \u003d y, cos α \u003d x, บาป π 2 + α \u003d x, cos π 2 + α \u003d y

บาป π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + α \u003d - บาป α

โดยคำนึงถึงอัตลักษณ์พื้นฐานของตรีโกณมิติและสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว เราสามารถเขียนได้

เสื้อ ก π 2 + α = บาป π 2 + α cos π 2 + α = cos α - บาป α = - c t g α c t ก. π 2 + α = cos π 2 + α บาป π 2 + α = - บาป α cos α = - tgα

ในการพิสูจน์สูตรการลดลงด้วยอาร์กิวเมนต์ π 2 - α จะต้องแสดงเป็น π 2 + (- α) . ตัวอย่างเช่น:

cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - บาป (- α) \u003d บาป α

หลักฐานใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์ตรงข้ามในเครื่องหมาย

สูตรการลดลงอื่น ๆ ทั้งหมดสามารถพิสูจน์ได้บนพื้นฐานของสูตรที่เขียนไว้ข้างต้น

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

และอีกสิ่งหนึ่ง: มีสูตรการลดจำนวนค่อนข้างมาก และเราจะเตือนคุณทันทีว่าอย่าท่องจำทั้งหมด ไม่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้ ซึ่งทำให้ง่ายต่อการใช้สูตรลดขนาด

ลองเขียนสูตรการย่อทั้งหมดในรูปแบบของตาราง

สูตรเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้องศาและเรเดียน ในการทำเช่นนี้ เพียงจำความสัมพันธ์ระหว่างองศาและเรเดียน และทุกที่แทนที่ π ด้วย 180 องศา

ตัวอย่างการใช้สูตรหล่อ

จุดประสงค์ของส่วนนี้คือเพื่อแสดงให้เห็นว่ามีการใช้สูตรการลดลงในทางปฏิบัติเมื่อแก้ตัวอย่างอย่างไร

ในการเริ่มต้น ควรบอกว่ามีหลายวิธีในการแสดงมุมภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปแบบและ . นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่ามุมสามารถรับค่าใดก็ได้ ลองแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ลองหามุมภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติเท่ากับ . มุมนี้สามารถแสดงเป็น หรืออย่างไร หรืออย่างไร หรือในอีกหลายๆ ทาง

ตอนนี้เรามาดูกันว่าต้องใช้สูตรรีดักชั่นอะไรขึ้นอยู่กับการแสดงมุม ยกตัวอย่างเช่น

ถ้าเราแทนมุมเป็น , จากนั้นการแสดงนี้สอดคล้องกับสูตรการลดขนาดของแบบฟอร์ม , ดังนั้นเราจึงได้รับ . เราสามารถระบุค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ที่นี่:

สำหรับการนำเสนอ เราจะใช้สูตรของแบบฟอร์มอยู่แล้ว ซึ่งนำเราไปสู่ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: .

สุดท้าย เนื่องจากสูตรการลดลงที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ .

ในการสรุปการสนทนานี้ ควรเน้นว่ามีสิ่งอำนวยความสะดวกบางประการในการใช้การแสดงแทนมุม ซึ่งมุมมีค่าระหว่าง 0 ถึง 90 องศา (0 ถึง pi ในครึ่งเรเดียน)

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของการใช้สูตรรีดิวซ์

ตัวอย่าง.

ใช้สูตรรีดักชัน แทนค่าไซน์ และโคไซน์ของมุมแหลม

วิธีการแก้.

ในการใช้สูตรการรีดิวซ์ เราต้องแสดงมุม 197 องศา ในรูปแบบ or และตามสภาพของปัญหา มุมจะต้องแหลม สามารถทำได้สองวิธี: หรือ . ทางนี้, หรือ .

อ้างอิงถึงสูตรการลดที่เหมาะสม และ , เราได้รับ และ .

ตอบ:

และ .

กฎช่วยจำ

ดังที่เราได้กล่าวไว้ข้างต้น ไม่จำเป็นต้องจำสูตรการหล่อ หากคุณดูอย่างระมัดระวัง คุณสามารถระบุรูปแบบที่คุณจะได้รับกฎที่ช่วยให้คุณได้รับสูตรการลดลงใดๆ เขาถูกเรียก กฎความจำ(ความจำเป็นศิลปะแห่งความทรงจำ)

กฎช่วยในการจำประกอบด้วยสามขั้นตอน:

เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การบอกทันทีว่าเพื่อใช้กฎช่วยในการจำ คุณต้องเก่งในการกำหนดสัญญาณของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ตามไตรมาส เนื่องจากคุณจะต้องทำเช่นนี้ตลอดเวลา

มาวิเคราะห์การประยุกต์ใช้กฎช่วยในการจำพร้อมตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

ใช้กฎช่วยในการจำ จดสูตรการลดค่าสำหรับ และ ให้นับมุมเป็นมุมของควอเตอร์แรก

วิธีการแก้.

เราไม่ต้องทำขั้นตอนแรกของกฎ เนื่องจากมุมที่อยู่ใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้เขียนไว้แล้วในรูปแบบที่ต้องการ

ให้เรากำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชัน และ . โดยมีเงื่อนไขว่า - มุมของไตรมาสแรกมุม ก็คือมุมหนึ่งในสี่ส่วนแรกด้วย และมุม - มุมของไตรมาสที่สอง โคไซน์ในไตรมาสแรกมีเครื่องหมายบวก และแทนเจนต์ในไตรมาสที่สองมีเครื่องหมายลบ ในขั้นตอนนี้สูตรที่ต้องการจะมีรูปแบบ และ . เราหาสัญญาณได้แล้ว คุณสามารถไปยังขั้นตอนสุดท้ายของกฎช่วยในการจำ

เนื่องจากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันโคไซน์มีรูปแบบ ดังนั้นจะต้องเปลี่ยนชื่อของฟังก์ชันเป็น cofunction นั่นคือเป็นไซน์ และอาร์กิวเมนต์แทนเจนต์คือ ดังนั้น ชื่อของฟังก์ชันจึงควรคงไว้เหมือนเดิม

เป็นผลให้เรามี และ . คุณสามารถดูตารางสูตรการหล่อเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ถูกต้อง

ตอบ:

และ .

ในการรวมวัสดุ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างด้วยมุมเฉพาะ

ตัวอย่าง.

ใช้กฎช่วยในการจำ แปลงเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลม

วิธีการแก้.

อันดับแรก ให้แสดงมุม 777 องศาในรูปแบบที่จำเป็นต่อการใช้กฎช่วยในการจำ สามารถทำได้สองวิธี: หรือ .

มุมเดิมคือมุมของไตรมาสแรก ไซน์สำหรับมุมนี้มีเครื่องหมายบวก

สำหรับการแทนค่า ชื่อของไซน์จะต้องปล่อยให้เหมือนกัน และสำหรับการแทนค่าของชนิด ไซน์จะต้องเปลี่ยนเป็นโคไซน์

เป็นผลให้เรามี และ .

ตอบ:

และ .

ในการสรุปส่วนนี้ ให้พิจารณาตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงความสำคัญของการแสดงมุมที่ถูกต้องภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับการใช้กฎช่วยในการจำ: มุมต้องคม!

คำนวณแทนเจนต์ของมุม โดยหลักการแล้วการอ้างถึงเนื้อหาของบทความเกี่ยวกับค่าของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เราสามารถตอบคำถามของปัญหาได้ทันที: .

หากเราแสดงมุมเป็นหรือเป็น เราก็สามารถใช้กฎช่วยในการจำ: และซึ่งนำเราไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราใช้การแสดงแทนมุม เช่น มุมมอง ในกรณีนี้ กฎช่วยในการจำจะนำเราไปสู่ผลลัพธ์นี้ ผลลัพธ์นี้ไม่ถูกต้อง และนี่คือความจริงที่ว่าเราไม่มีสิทธิ์ใช้กฎช่วยในการจำสำหรับการแสดง เนื่องจากมุมไม่แหลม

พิสูจน์สูตรลด

สูตรการลดขนาดสะท้อนถึงคาบ ความสมมาตร และคุณสมบัติของการเลื่อนตามมุมและ เราทราบทันทีว่าสูตรการย่อทั้งหมดสามารถพิสูจน์ได้โดยการละเว้นคำในอาร์กิวเมนต์ เนื่องจากมันหมายถึงการเปลี่ยนแปลงในมุมด้วยจำนวนเต็มของการเลี้ยวเต็มจำนวน และสิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คำนี้ทำหน้าที่เป็นภาพสะท้อนของช่วงเวลา

กลุ่มแรกของสูตรการลดขนาด 16 สูตรติดตามโดยตรงจากคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ คุณไม่จำเป็นต้องหยุดที่พวกเขา

ไปที่บล็อกสูตรถัดไป ก่อนอื่นเราพิสูจน์สองคนแรกของพวกเขา ส่วนที่เหลือตามมาจากพวกเขา งั้นเรามาพิสูจน์สูตรรีดิวซ์ของฟอร์มกัน และ .

พิจารณาวงกลมหนึ่งหน่วย ให้จุดเริ่มต้น A หลังจากเลี้ยวผ่านมุม ไปที่จุด A 1 (x, y) และหลังจากเลี้ยวผ่านมุม ให้เป็นจุด A 2 . ลองวาด A 1 H 1 และ A 2 H 2 - ตั้งฉากกับเส้น Ox

มันง่ายที่จะเห็นว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก OA 1 H 1 และ OA 2 H 2 เท่ากันในด้านตรงข้ามมุมฉากและมีมุมสองมุมประชิดกัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมและตำแหน่งของจุด A 1 และ A 2 บนวงกลมหน่วย จะเห็นได้ชัดว่าถ้าจุด A 1 มีพิกัด x และ y จุด A 2 จะมีพิกัด −y และ x จากนั้นคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ทำให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันและ , ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น และ . นี่เป็นการพิสูจน์สูตรการลดขนาดภายใต้การพิจารณาสำหรับมุมใดๆ

พิจารณาว่าและ (ถ้าจำเป็น ดูบทความ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน ) เช่นเดียวกับสูตรที่เพิ่งพิสูจน์ เราได้รับ และ . เราจึงได้พิสูจน์สูตรการรีดิวซ์สองสูตรต่อไปนี้

เพื่อพิสูจน์สูตรการย่อด้วยอาร์กิวเมนต์ ก็เพียงพอที่จะแสดงเป็น แล้วใช้สูตรและคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่พิสูจน์แล้วที่มีอาร์กิวเมนต์ตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น, .

สูตรลดขนาดอื่นๆ ทั้งหมดได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันโดยพิจารณาจากสูตรที่พิสูจน์แล้วโดยการใช้สองครั้ง ตัวอย่างเช่น มันถูกแสดงเป็น , และ - as . และ และ - ตามลำดับ

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต: Proc. สำหรับ 9 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน / ยู. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด. S. A. Telyakovsky.- M.: การตรัสรู้, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน - ครั้งที่ 3 - ม.: ตรัสรู้, 2536. - 351 น.: ป่วย. - ไอเอสบีเอ็น 5-09-004617-4
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และอื่น ๆ ; เอ็ด. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: การตรัสรู้, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3
• Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า รร. 2527-351 น.

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ "การประยุกต์ใช้สูตรลดในการแก้ปัญหา"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 10
1C: โรงเรียน งานก่อสร้างเชิงโต้ตอบสำหรับเกรด 7-10
1C: โรงเรียน เราแก้ปัญหาในเรขาคณิต งานเชิงโต้ตอบสำหรับการสร้างในอวกาศสำหรับเกรด 10-11

เราจะเรียนอะไร:
1. ทำซ้ำอีกเล็กน้อย
2. กฎสำหรับสูตรการลด
3. ตารางการแปลงสูตรการลด
4. ตัวอย่าง

การทำซ้ำของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

พวกคุณเคยเจอสูตรผีแล้ว แต่ยังไม่ได้เรียกว่า คุณคิดว่าที่ไหน?

ดูภาพวาดของเรา ถูกต้อง เมื่อพวกเขาแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

กฎสำหรับสูตรลด

มาแนะนำกฎพื้นฐานกัน: หากเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วยตัวเลขของรูปแบบ π×n/2 + t โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของเราสามารถลดลงให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่าซึ่งจะมีเพียงอาร์กิวเมนต์ ที สูตรดังกล่าวเรียกว่าสูตรผี

จำสูตรบางอย่าง:

• บาป(t + 2π*k) = บาป(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• บาป(t + π) = -บาป(เสื้อ)
• cos(t + π) = -cos(t)
• บาป(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tg(t + π*k) = tg(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

มีสูตรผีอยู่มากมาย เรามาสร้างกฎโดยที่เราจะกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติของเราเมื่อใช้งาน สูตรผี:

• หากเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วยตัวเลขของรูปแบบ: π + t, π - t, 2π + t และ 2π - t ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ไซน์จะยังคงเป็นไซน์ โคแทนเจนต์จะยังคงเป็นโคแทนเจนต์
• หากเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีตัวเลขในรูปแบบ: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t และ 3π/2 - t จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกัน เช่น ไซน์จะกลายเป็นโคไซน์ โคแทนเจนต์จะกลายเป็นแทนเจนต์
• ก่อนฟังก์ชันผลลัพธ์ คุณต้องใส่เครื่องหมายว่าฟังก์ชันที่แปลงแล้วจะมีถ้า 0

กฎเหล่านี้ยังใช้เมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอยู่ในหน่วยองศา!

นอกจากนี้เรายังสามารถสร้างตารางการแปลงของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

ตัวอย่างการใช้สูตรรีดิวซ์

1. ลองแปลง cos(π + t) ชื่อฟังก์ชันยังคงอยู่เช่น เราได้รับ cos(t) ต่อไป สมมติว่า π/2

2. แปลงบาป(π/2 + t). ชื่อของฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลง กล่าวคือ เราได้รับ cos(t) สมมติว่า 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. ให้เราแปลง tg(π + t) ชื่อฟังก์ชันยังคงอยู่เช่น เราได้รับ tg(t) ต่อไปสมมติว่า 0

4. ลองแปลง ctg(270 0 + t) ชื่อของฟังก์ชันเปลี่ยนไป นั่นคือ เราได้ tg(t) ต่อไปสมมติว่า 0

ปัญหาเกี่ยวกับสูตรการรีดิวซ์สำหรับการแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ

พวกเปลี่ยนตัวเองโดยใช้กฎของเรา:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) บาป(2π + t),
7) บาป(π/2 + 5t),
8) บาป(π/2 - t),
9) บาป(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).