Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності:
приклад.
X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Рішення: Математичне очікування дорівнює сумі творів всіх можливих значень X з їхньої ймовірності:
М (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.
Для обчислення математичного очікуваннязручно розрахунки проводити в Excel (особливо коли даних багато), пропонуємо скористатися готовим шаблоном ().
Приклад для самостійного рішення(можете застосувати калькулятор).
Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Математичне очікування має такі властивості.
Властивість 1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій: М(С)=С.
Властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: М(СХ) = СМ(Х).
Властивість 3. Математичне очікування добутку взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних очікувань співмножників: М (Х1Х2 ... Хп) = М (X1) М (Х2) *. ..*М (Xn)
Властивість 4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М(Хn).
Завдання 189. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X н Y: Z = X + 2Y, M (X) = 5, M (Y) = 3;
Рішення: Використовуючи властивості математичного очікування (математичне очікування суми дорівнює сумі математичних очікувань доданків; постійний множник можна винести за знак математичного очікування), отримаємо M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y) = 5 + 2 * 3 = 11.
190. Використовуючи властивості математичного очікування, довести, що: а) М(Х - Y) = M(X)-М(Y); б) математичне очікування відхилення X-M(Х) дорівнює нулю.
191. Дискретна випадкова величина X набуває трьох можливих значень: x1= 4 З ймовірністю р1 = 0,5; xЗ = 6 З ймовірністю P2 = 0,3 та x3 з ймовірністю р3. Знайти: x3 і р3, знаючи, що М(Х)=8.
192. Даний перелік можливих значень дискретної випадкової величини X: x1 = -1, х2 = 0, x3 = 1 також відомі математичні очікування цієї величини та її квадрата: M(Х) = 0,1, М(Х^2)=0 ,9. Знайти ймовірності p1, p2, p3, що відповідають можливим значенням xi
194. У партії з 10 деталей міститься три нестандартні. Навмання відібрано дві деталі. Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X – числа нестандартних деталей серед двох відібраних.
196. Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X числа таких кидань п'яти гральних кісток, у кожному з яких на двох кістках з'явиться по одному окуляру, якщо загальна кількість кидань дорівнює двадцяти.
Математичне очікування біномного розподілудорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні:
Як відомо, закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватись меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, що описують випадкову величину сумарно; такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини.
До важливих числових характеристик належить математичне очікування.
Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величининазивають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності.
Якщо випадкова величина характеризується кінцевим рядом розподілу:
| Х | х 1 | х 2 | х 3 | … | х п |
| Р | р 1 | р 2 | р 3 | … | р п |
то математичне очікування М(Х)визначається за формулою:
Математичне очікування безперервної випадкової величини визначається рівністю:
де – густина ймовірності випадкової величини Х.
Приклад 4.7.Знайти математичне очікування числа очок, що випадають під час кидання гральної кістки.
Рішення:
Випадкова величина Хприймає значення 1, 2, 3, 4, 5, 6. Складемо закон її розподілу:
| Х | ||||||
| Р |
Тоді математичне очікування одно:
Властивості математичного очікування:
1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій:
М(С) = С.
2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
М(СХ) = СМ(X).
3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:
M(XY) = M(X)M(Y).
Приклад 4.8. Незалежні випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:
| Х | Y | ||||||
| Р | 0,6 | 0,1 | 0,3 | Р | 0,8 | 0,2 |
Знайти математичне очікування випадкового розміру XY.
Рішення.
Знайдемо математичні очікування кожної з цих величин:
Випадкові величини Xі Yнезалежні, тому шукане математичне очікування:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Слідство.Математичне очікування твору кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.
4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:
М(X+Y) = М(X)+М(Y).
Слідство.Математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків.
Приклад 4.9.Виробляється 3 постріли з ймовірностями влучення в ціль, рівними р 1 = 0,4; p 2= 0,3 та р 3= 0,6. Знайти математичне очікування загальної кількості влучень.
Рішення.
Число влучень при першому пострілі є випадковою величиною Х 1, яка може приймати лише два значення: 1 (попадання) з ймовірністю р 1= 0,4 та 0 (промах) з ймовірністю q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Математичне очікування числа влучень при першому пострілі дорівнює ймовірності влучення:
Аналогічно знайдемо математичні очікування кількості влучень при другому та третьому пострілах:
М(Х 2)= 0,3 та М(Х 3)= 0,6.
Загальна кількість влучень є також випадковою величиною, що складається з суми влучень у кожному з трьох пострілів:
Х = Х1 + Х2 + Х3.
Шукане математичне очікування Хзнаходимо за теоремою про математичне, очікування суми.
Характеристики ДСВ та їх властивості. Математичне очікування, дисперсія, СКО
Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак, коли неможливо знайти закон розподілу, або це не потрібно, можна обмежитися знаходженням значень, званих числовими характеристиками випадкової величини. Ці величини визначають деяке середнє значення, навколо якого групуються значення випадкової величини, і рівень їх розкиданості навколо цього середнього значення.
Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих значень випадкової величини з їхньої ймовірності.
Математичне очікування існує, якщо ряд, що стоїть у правій частині рівності, сходиться абсолютно.
З погляду ймовірності можна сказати, що математичне очікування приблизно дорівнює середньому арифметичному значень випадкової величини, що спостерігаються.
приклад. Відомий закон розподілу дискретної випадкової величини. Знайти математичне очікування.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Рішення:
9.2 Властивості математичного очікування
1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій.
2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування.
3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.
Ця властивість є справедливою для довільного числа випадкових величин.
4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків.
Ця властивість також справедлива довільного числа випадкових величин.
Нехай проводиться n незалежних випробувань, ймовірність появи події А в яких дорівнює р.
Теорема.Математичне очікування М(Х) числа появи події А n незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події у кожному випробуванні.
приклад. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X та Y: M(Х)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Рішення:
9.3 Дисперсія дискретної випадкової величини
Проте, математичне очікування неспроможна повністю характеризувати випадковий процес. Крім математичного очікування треба запровадити величину, яка характеризує відхилення значень випадкової величини від математичного очікування.
Це відхилення дорівнює різниці між випадковою величиною та її математичним очікуванням. При цьому математичне очікування відхилення дорівнює нулю. Це пояснюється тим, що одні можливі відхиленняпозитивні, інші негативні, і їх взаємного погашення виходить нуль.
Дисперсією (розсіюванням)Дискретна випадкова величина називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.
Насправді такий спосіб обчислення дисперсії незручний, т.к. приводить при великій кількості значень випадкової величини до громіздких обчислень.
Тому застосовується інший спосіб.
Теорема. Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х та квадратом її математичного очікування.
Доведення. З огляду на те, що математичне очікування М(Х) і квадрат математичного очікування М 2 (Х) – величини постійні, можна записати:
приклад. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини заданої законом розподілу.
| Х | ||||
| Х 2 | ||||
| р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Рішення: .
9.4 Властивості дисперсії
1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю. .
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат. .
3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. .
4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. .
Теорема. Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і непояви події в кожному випробуванні.
9.5 Середнє відхилення дискретної випадкової величини
Середнім квадратичним відхиленнямвипадкової величини Х називається квадратний корінь із дисперсії.
Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми кінцевого числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню із суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин.
1. Математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній М(С)=С
.
2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: M(CX)=CM(X)
3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: M(XY) = M(X) M(Y).
4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Теорема. Математичне очікування М(х) числа появи подій А n незалежних випробуваннях дорівнює добутку цих випробувань на ймовірність появи подій у кожному випробуванні: M(x) = np.
Нехай Х - випадкова величина та М(Х) – її математичне очікування. Розглянемо як нову випадкову величину різницю Х – М(Х).
Відхиленням називають різницю між випадковою величиною та її математичним очікуванням.
Відхилення має наступний закон розподілу:
Рішення: Знайдемо математичне очікування:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Напишемо закон розподілу квадрата відхилення:
Рішення: Знайдемо математичне очікування М(х): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5
Напишемо закон розподілу випадкової величини X 2
| X 2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Знайдемо математичне очікування M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Шукана дисперсія D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05
Властивості дисперсії:
1. Дисперсія постійної величини З
дорівнює нулю: D(C)=0
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Дисперсія біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та непояви події в одному випробуванні D(X)=npq
Для оцінки розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення, крім дисперсії, служать і деякі інші характеристики. До них належить середнє квадратичне відхилення.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Хназивають квадратний корінь із дисперсії:
σ(X) = √D(X) (4)
приклад. Випадкова величина Х задана законом розподілу
| X | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Знайти середнє квадратичне відхилення σ(x)
Рішення: Знайдемо математичне очікування Х: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
Знайдемо математичне очікування X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Знайдемо дисперсію: D (x) = M (x 2) = M (x 2) - 2 = 54-6.4 2 = 13.04
Шукане середнє квадратичне відхилення σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61
Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми кінцевого числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню із суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин:
приклад. На полиці з 6 книг 3 книги з математики та 3 з фізики. Вибирають навмання три книги. Знайти закон розподілу числа книг з математики серед вибраних книг. Знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.
D(X)= М(Х 2)- М(Х) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45
Кожна окремо взята величина повністю визначається своєю функцією розподілу. Також, для вирішення практичних завдань вистачає знати кілька числових характеристик, завдяки яким з'являється можливість уявити основні особливості випадкової величини в короткій формі.
До таких величин відносять насамперед математичне очікуванняі дисперсія .
Математичне очікування- Середнє значення випадкової величини в теорії ймовірностей. Позначається як .
Самим простим способомматематичне очікування випадкової величини Х(w), знаходять як інтегралЛебегастосовно ймовірнісної міри Р вихідному імовірнісному просторі
Ще знайти математичне очікування величини можна як інтеграл Лебегавід хщодо розподілу ймовірностей Р Хвеличини X:
де - безліч усіх можливих значень X.
Математичне очікування функцій від випадкової величини Xзнаходиться через розподіл Р Х. Наприклад, якщо X- випадкова величина зі значеннями і f(x)- однозначна борелівськафункція Х , то:
Якщо F(x)- функція розподілу X, то математичне очікування представимо інтеграломЛебега - Стілтьєса (або Рімана - Стілтьєса):
при цьому інтегрованість Xв сенсі ( * ) відповідає кінцівки інтегралу
У конкретних випадках, якщо Xмає дискретний розподілз ймовірними значеннями х k, k=1, 2, . і ймовірностями , то
якщо Xмає абсолютно безперервний розподіл із щільністю ймовірності р(х), то
при цьому існування математичного очікування рівносильне абсолютній збіжності відповідного ряду або інтеграла.
Властивості математичного очікування випадкової величини.
- Математичне очікування постійної величини дорівнює цій величині:
C- Постійна;
- M=C.M[X]
- Математичне очікування суми випадково взятих величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:
- Математичне очікування твору незалежних випадково взятих величин = твору їх математичних очікувань:
M=M[X]+M[Y]
якщо Xі Yнезалежні.
якщо сходиться ряд:
Алгоритм обчислення математичного очікування.
Властивості дискретних випадкових величин: їх значення можна перенумерувати натуральними числами; кожному значення прирівняти відмінну від нуля ймовірність.
1. По черзі перемножуємо пари: x iна p i.
2. Складаємо твір кожної пари x i p i.
Наприклад, для n = 4 :
Функція розподілу дискретної випадкової величиниступінчаста, вона зростає стрибком у тих точках, ймовірності яких мають позитивний знак.
Приклад:Знайти математичне очікування за формулою.