Рішення.
Імовірність того, що не випало жодного герба: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Імовірність того, що випало три герби: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Закон розподілу випадкової величини X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Приклад №2. Ймовірність влучення в мету одного стрільця за одного пострілу першого стрілка дорівнює 0.8, другого стрілка – 0.85. Стрілки зробили по одному пострілу в ціль. Вважаючи попадання в ціль для окремих стрільців подіями незалежними, знайти ймовірність події А – одно попадання в ціль.
Рішення.
Розглянемо подію A – одне влучення в ціль. Можливі варіантинастання цієї події наступні:
- Потрапив перший стрілець, другий стрілок промахнувся: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Перший стрілець промахнувся, другий стрілок влучив у мішень: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Перший і другий стрілки незалежно один від одного потрапили в ціль: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Визначення.Дисперсією (розсіюванням)дискретної випадкової величини називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:
приклад. Для розглянутого вище прикладу знаходимо.
Математичне очікування випадкової величини дорівнює:
Можливі значення квадрата відхилення:
; 
;
Дисперсія дорівнює:
Проте, практично такий спосіб обчислення дисперсії незручний, т.к. приводить при великій кількості значень випадкової величини до громіздких обчислень. Тому застосовується інший спосіб.
Обчислення дисперсії
Теорема. Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х та квадратом її математичного очікування:
Доведення.З урахуванням того, що математичне очікування та квадрат математичного очікування – величини постійні, можна записати:
Застосуємо цю формулу для розглянутого вище прикладу:
| X | ||||||
| X 2 | ||||||
| p | 0,0778 | 0,2592 | 0,3456 | 0,2304 | 0,0768 | 0,0102 |
Властивості дисперсії
1) Дисперсія постійної величинидорівнює нулю:
2) Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:
.
3) Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:
4) Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:
Справедливість цієї рівності випливає із якості 2.
Теорема. Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та ймовірність непояви події у кожному випробуванні:
приклад.Завод випускає 96% виробів першого ґатунку та 4% виробів другого ґатунку. Навмання вибирають 1000 виробів. Нехай Х- Число виробів першого сорту в даній вибірці. Знайти закон розподілу, математичне очікування та дисперсію випадкової величини.
Таким чином, закон розподілу може вважатися біномінальним.
приклад.Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х– числа події Ау двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює і відомо, що
Т.к. випадкова величина Хрозподілена за біномінальним законом, то
приклад.Виробляються незалежні випробування з однаковою ймовірністю появи події Ау кожному випробуванні. Знайти ймовірність появи події А, якщо дисперсія числа події у трьох незалежних випробуваннях дорівнює 0,63.
За формулою дисперсії біномінального закону отримуємо:
;
приклад.Випробовується пристрій, що складається з чотирьох приладів, що незалежно працюють. Імовірність відмови кожного з приладів дорівнює відповідно ; ; . Знайти математичне очікування і дисперсію числа приладів, що відмовили.
Приймаючи за випадкову величину число приладів, що відмовили, бачимо що ця випадкова величина може приймати значення 0, 1, 2, 3 або 4.
p align="justify"> Для складання закону розподілу цієї випадкової величини необхідно визначити відповідні ймовірності. Приймемо.
1) Не відмовив жоден прилад:
2) Відмовив один із приладів.
Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини».
Завдання 1 . У лотереї випущено 100 квитків. Розігрувався один виграш у 50 у.о. та десять виграшів по 10 у.о. Знайти закон розподілу величини X – вартості можливого виграшу.
Рішення. Можливі значення величини X: x 1 = 0; x 2 = 10 та x 3 = 50. Так як "порожніх" квитків - 89, то p 1 = 0,89, ймовірність виграшу 10 у. (10 квитків) – p 2 = 0,10 та для виграшу 50 у.о. - p 3 = 0,01. Таким чином:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Легко проконтролювати: .
Завдання 2. Імовірність те, що покупець ознайомився заздалегідь з рекламою товару дорівнює 0,6 (р=0,6 ). Здійснюється вибірковий контроль якості реклами шляхом опитування покупців до першого, який вивчив рекламу заздалегідь. Скласти низку розподілу кількості опитаних покупців.
Рішення. Відповідно до умови задачі р = 0,6. Звідки: q=1 -p = 0,4. Підставивши дані значення, отримаємо:і побудуємо низку розподілу:
|
p i |
0,24 |
Завдання 3. Комп'ютер складається із трьох незалежно працюючих елементів: системного блоку, монітора та клавіатури. При одноразовому різкому підвищенні напруги можливість відмови кожного елемента дорівнює 0,1. Виходячи з розподілу Бернуллі скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили при стрибку напруги в мережі.
Рішення. Розглянемо розподіл Бернуллі(або біномне): ймовірність того, що в n випробуваннях подія А з'явиться рівно k разів: 
, або:
|
q n |
p n |
У ернемося до завдання.
Можливі значення величини X (кількість відмов):
x 0 =0 – жоден із елементів не відмовив;
x 1 =1 - відмова одного елемента;
x 2 =2 - відмова двох елементів;
x 3 =3 - відмова всіх елементів.
Оскільки, за умовою, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Використовуючи формулу Бернуллі, отримаємо
, ,
, .
Контроль: .
Отже, шуканий закон розподілу:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Завдання 4. Виготовлено 5000 набоїв. Імовірність того, що один патрон бракований 
. Яка ймовірність того, що у всій партії буде рівно 3 браковані патрони?
Рішення. Застосуємо розподіл Пуассона: цей розподіл використовується для визначення ймовірності того, що за дуже великого
кількості випробувань (масові випробування), у кожному з яких ймовірність події A дуже мала, подія A настане раз: 
де .
Тут n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Знаходимо, тоді шукана ймовірність: 
.
Завдання 5. При стрільбі до першого влучення з ймовірністю влучення p = 0,6 під час пострілу треба знайти ймовірність того, що попадання відбудеться при третьому пострілі.
Рішення. Застосуємо геометричний розподіл: нехай виробляються незалежні випробування, у кожному з яких подія A має ймовірність появи p (і не появи q = 1 – p). Випробування закінчуються, щойно станеться подія A.
За таких умов ймовірність того, що подія A відбудеться на k-му випробуванні, визначається за такою формулою: . Тут p = 0,6; q = 1 - 0,6 = 0,4; k = 3. Отже, .
Завдання 6. Нехай заданий закон розподілу випадкової величини X:
Знайти математичне очікування.
Рішення. .
Зауважимо, що імовірнісний зміст математичного очікування – це середнє значення випадкової величини.
Завдання 7. Знайти дисперсію випадкової величини X з наступним законом розподілу:
Рішення. Тут .
Закон розподілу квадрата величини X 2 :
|
X 2 |
|||
Шукана дисперсія: .
Дисперсія характеризує міру відхилення (розсіювання) випадкової величини від її математичного очікування.
Завдання 8. Нехай випадкова величина задається розподілом:
|
10м |
|||
Визначити її числові показники.
Рішення: м, м 2 ,
М 2 , М.
Про випадкову величину X можна сказати або її математичне очікування 6,4 м з дисперсією 13,04 м 2 , або – її математичне очікування 6,4 м з відхиленням м. Друге формулювання, зрозуміло, наочніше.
Завдання 9.
Випадкова величина X задана функцією розподілу: 
.
Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуде значення, укладеного в інтервалі 
.
Рішення. Ймовірність те, що X прийме значення із заданого інтервалу, дорівнює збільшенню інтегральної функції цьому інтервалі, тобто. . У нашому випадку і тому
.
Завдання 10. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу:
Знайти функцію розподілу F (x ) та побудувати її графік.
Рішення. Так як функція розподілу,
для 
, то
при;
при;
при;
при;
Відповідний графік:
Завдання 11.Безперервна випадкова величина X задана диференціальною функцією розподілу: 
.
Знайти ймовірність влучення X в інтервал
Рішення. Зауважимо, що це окремий випадок показового закону розподілу.
Скористаємося формулою: 
.
Завдання 12. Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
- Функція Лапласа.Випадковою величиноюНазивається величина, яка в результаті випробувань, що проводяться в одних і тих же умовах, приймає різні, взагалі кажучи, значення, що залежать від випадкових факторів, що не враховуються. Приклади випадкових величин: кількість очок, що випали на гральній кістці, число дефектних виробів в партії, відхилення точки падіння снаряда від мети, час безвідмовної роботи пристрою і т. п. Розрізняють дискретні і безперервні випадкові величини. ДискретноюНазивається випадкова величина, можливі значення якої утворюють лічильна множина, кінцева або нескінченна (тобто така множина, елементи якої можуть бути занумеровані).
БезперервнийНазивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий кінцевий або нескінченний інтервал числової осі. Число значень безперервної випадкової величини завжди нескінченне.
Випадкові величини будемо позначати великими літерами кінця латинського алфавіту: X, Y, . ; значення випадкової величини – малими літерами: Х, у,. . Таким чином, XПозначає всю сукупність можливих значень випадкової величини, а Х -Деяке її конкретне значення.
Законом розподілудискретної випадкової величини називається відповідність у будь-якій формі відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями.
Нехай можливими значеннями випадкової величини XЄ . Через війну випробування випадкова величина прийме одне з цих значень, тобто. Відбудеться одна подія з повної групи попарно несумісних подій.
Нехай також відомі ймовірності цих подій:
Закон розподілу випадкової величини XМоже бути записаний у вигляді таблиці, яку називають Поруч розподілуДискретної випадкової величини:
Випадкові величини. Дискретна випадкова величина.
Математичне очікування
Другий розділ по теорії ймовірностейприсвячений випадковим величинам , які незримо супроводжували нас буквально у кожній статті на тему. І настав момент чітко сформулювати, що це таке:
Випадковий називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і лише однечислове значення, що залежить від випадкових факторів і наперед непередбачуване.
Випадкові величини, як правило, позначаютьчерез * , які значення – відповідними маленькими літерами з підрядковими індексами, наприклад, .
* Іноді використовують , а також грецькі літери
Приклад зустрівся нам на першому ж уроці з теорії ймовірностей, де ми фактично розглянули таку випадкову величину:
– кількість очок, що випаде після кидка грального кубика.
В результаті цього випробування випаде одна і тількигрань, яка саме – не передбачити (фокуси не розглядаємо); при цьому випадкова величина може прийняти одне з наступних значень:
– кількість хлопчиків серед 10 новонароджених.
Цілком зрозуміло, що ця кількість заздалегідь не відома, і в черговому десятку дітей, що народилися, може виявитися:
Або хлопчиків – один і лише одинз перерахованих варіантів.
І, щоб дотримати форму, трохи фізкультури:
- Дальність стрибка в довжину (У деяких одиницях).
Її не в змозі передбачити навіть майстер спорту 🙂
Тим не менш, ваші гіпотези?
Якщо, безліч дійсних чиселнескінченно, то випадкова величина може прийняти нескінченно багатозначень із деякого проміжку. І в цьому полягає її принципова відмінність від попередніх прикладів.
Таким чином, випадкові величини доцільно поділити на 2 великі групи:
1) Дискретна (перервна)випадкова величина – набуває окремо взятих, ізольованих значень. Кількість цих значень звісноабо нескінченно, але рахунково.
…намалювалися незрозумілі терміни? Терміново повторюємо основи алгебри!
2) Безперервна випадкова величина – приймає всі числові значенняз деякого кінцевого чи нескінченного проміжку.
Примітка : у навчальній літературі популярні абревіатури ДСВ та НСВ
Спочатку розберемо дискретну випадкову величину, потім – безперервну.
Закон розподілу дискретної випадкової величини
– це відповідністьміж можливими значеннями цієї величини та їх ймовірностями. Найчастіше закон записують таблицею:
Досить часто зустрічається термін ряд
розподілу, але в деяких ситуаціях він звучить двозначно, і тому я дотримуватимуся «закону».
А зараз дуже важливий момент
: оскільки випадкова величина обов'язковоприйме одне із значень, то відповідні події утворюють повну групуі сума ймовірностей їх наступу дорівнює одиниці:
або, якщо записати згорнуто:
Так, наприклад, закон розподілу ймовірностей очок, що випали на кубику, має наступний вигляд:
Можливо, у вас склалося враження, що дискретна випадкова величина може набувати лише «хороших» цілей. Розвіємо ілюзію – вони можуть бути будь-якими:
Деяка гра має наступний закон розподілу виграшу:
…напевно, ви давно мріяли про такі завдання 🙂 Відкрию секрет – я теж. Особливо після того, як завершив роботу над теорією поля.
Рішення: оскільки випадкова величина може прийняти лише одне з трьох значень, то відповідні події утворюють повну групу, Отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:
Викриваємо «партизана»:
- Отже, ймовірність виграшу умовних одиниць становить 0,4.
Контроль: , у чому потрібно переконатися.
Відповідь:
Не рідкість, коли закон розподілу потрібно скласти самостійно. Для цього використовують класичне визначення ймовірності, теореми множення / складання ймовірностей подійта інші фішки тервера:
У коробці знаходяться 50 лотерейних квитків, серед яких 12 виграшних, причому 2 з них виграють по 1000 рублів, а решта – по 100 рублів. Скласти закон розподілу випадкової величини - розміру виграшу, якщо з коробки навмання витягується один квиток.
Рішення: Як ви помітили, значення випадкової величини прийнято розташовувати в порядок їх зростання. Тому ми починаємо з найменшого виграшу, і саме карбованців.
Усього таких квитків 50 – 12 = 38, і за класичному визначенню:
- Імовірність того, що навмання витягнутий квиток виявиться безвиграшним.
З рештою випадків все просто. Імовірність виграшу рублів становить:
І для :
Перевірка: і це особливо приємний момент таких завдань!
Відповідь: шуканий закон розподілу виграшу:
Наступне завдання для самостійного вирішення:
Імовірність того, що стрілець вразить мету, дорівнює . Скласти закон розподілу випадкової величини – кількості влучень після двох пострілів.
…я знав, що ви за ним скучили 🙂 Згадуємо теореми множення та додавання. Рішення та відповідь наприкінці уроку.
Закон розподілу повністю описує випадкову величину, проте на практиці буває корисно (а іноді й корисніше) знати лише деякі її числові характеристики .
Математичне очікування дискретної випадкової величини
Говорячи простою мовою, це середньоочікуване значенняпри багаторазовому повторенні випробувань. Нехай випадкова величина набуває значення з ймовірностями відповідно. Тоді математичне очікування цієї випадкової величини дорівнює сумі творіввсіх її значень відповідні ймовірності:
або у згорнутому вигляді:
Обчислимо, наприклад, математичне очікування випадкової величини – кількості очок, що випали на гральному кубику:
У чому полягає ймовірнісний зміст отриманого результату? Якщо підкинути кубик досить багато разів, то середнє значенняочок, що випали, буде близько до 3,5 – і чим більше провести випробувань, тим ближче. Власне, про цей ефект я вже докладно розповідав на уроці про статистичної ймовірності.
Тепер згадаємо нашу гіпотетичну гру:
Виникає питання: а чи вигідно взагалі грати у цю гру? …у кого якісь враження? Адже «навскидку» і не скажеш! Але це питання можна легко відповісти, обчисливши математичне очікування, по суті – середньозваженийза ймовірностями виграш:
Таким чином, математичне очікування цієї гри програшно.
Не вір враженням – вір цифрам!
Так, тут можна виграти 10 і навіть 20-30 разів поспіль, але на довгій дистанції на нас чекає неминуче руйнування. І я не радив би вам грати в такі ігри 🙂 Ну, може, тільки заради розваги.
З усього вищесказаного випливає, що математичне очікування – це вже невипадкова величина.
Творче завдання для самостійного дослідження:
Містер Х грає в європейську рулетку за наступною системою: постійно ставить 100 рублів на червоне. Скласти закон розподілу випадкової величини – його виграшу. Обчислити математичне очікування виграшу та округлити його до копійок. Скільки в середньомупрограє гравець із кожної поставленої сотні?
Довідка : європейська рулетка містить 18 червоних, 18 чорних та 1 зелений сектор («зеро»). У разі випадання «червоного» гравцеві виплачується подвоєна ставка, інакше вона йде до доходу казино
Існує багато інших систем гри в рулетку, для яких можна скласти свої таблиці можливостей. Але це той випадок, коли нам не потрібні ніякі закони розподілу та таблиці, бо достеменно встановлено, що математичне очікування гравця буде таким самим. Від системи до системи змінюється лише дисперсія, Про яку ми дізнаємося у 2-й частині уроку.
Але спочатку буде корисно розім'яти пальці на кнопках калькулятора:
Випадкова величина задана своїм законом розподілу ймовірностей:
Знайти , якщо відомо, що . Виконати перевірку.
Тоді переходимо до вивчення дисперсії дискретної випадкової величини, і по можливості, ПРЯМО ЗАРАЗ!!- Щоб не втратити нитку теми.
Рішення та відповіді:
приклад 3. Рішення: за умовою – ймовірність попадання на мету. Тоді:
- Імовірність промаху.
Складемо – закон розподілу влучень при двох пострілах:
- Жодного влучення. за теоремі множення ймовірностей незалежних подій:
– одне влучення. за теорем складання ймовірностей несумісних та множення незалежних подій:
- Два влучення. За теоремою множення ймовірностей незалежних подій:
Перевірка: 0,09+0,42+0,49=1
Відповідь :
Примітка : можна було використовувати позначення - це не принципово
приклад 4. Рішення: гравець виграє 100 рублів у 18 випадках з 37, і тому закон розподілу його виграшу має такий вигляд:
Обчислимо математичне очікування:
Таким чином, з кожної сотні гравець в середньому програє 2,7 рубля.
Приклад 5. Рішення: з визначення математичного очікування:
поміняємо частини місцями та проведемо спрощення:
таким чином:
Виконаємо перевірку:
, Що і потрібно перевірити.
Відповідь :
(Перехід на головну сторінку)
Якісні роботи без плагіату – Zaochnik.com
www.mathprofi.ru
Дискретні випадкові величини
Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в результаті кожного випробування набуває одного заздалегідь невідомого значення, що залежить від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $ X, \ Y, Z, \ dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретнимиі безперервними.
Дискретна випадкова величина- це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більш ніж лічильними, тобто або кінцевими, або лічильними. Під рахунковістю мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.
Приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:
а) число попадань у мішень при $n$ пострілах, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.
б) число гербів, що випали при підкиданні монети, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.
в) число кораблів, що прибули на борт (лічильна безліч значень).
г) кількість викликів, що надходять на АТС (численна кількість значень).
1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.
Дискретна випадкова величина $X$ може приймати значення $x_1,\dots,\x_n$ з ймовірностями $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$. Відповідність між цими значеннями та їх ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, ця відповідність задається за допомогою таблиці, у першому рядку якої вказують значення $x_1, \ dots , \ x_n $, а в другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \ dots , \ p_n $.
$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$
Приклад 2 . Нехай випадкова величина $X$ - кількість очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $X$ може приймати наступні значення $1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Імовірності всіх цих значень дорівнюють $1/6$. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:
$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
Зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $X$ події $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ утворюють повну групу подій, то в сумі ймовірності повинні дорівнювати одиниці, тобто $\sum
2. Математичне очікування дискретної випадкової величини.
Математичне очікування випадкової величинизадає її "центральне" значення. Для дискретної випадкової величини математичне очікування обчислюється як сума творів значень $x_1,\dots,\x_n$ на відповідні цим значенням ймовірності $p_1,\dots,\p_n$, тобто: $M\left(X\right)=\sum ^n_
Властивості математичного очікування$M\left(X\right)$:
- $M\left(Xright)$ укладено між найменшим і найбільшим значеннями випадкової величини $X$.
- Математичне очікування від константи дорівнює самій константі, тобто. $M\left(Cright)=C$.
- Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
- Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
- Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.
Приклад 3 . Знайдемо математичне очікування випадкової величини $X$ із прикладу $2$.
Можемо помітити, що $M\left(X\right)$ укладено між найменшим ($1$) і найбільшим ($6$) значеннями випадкової величини $X$.
Приклад 4 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 2 $. Знайти математичне очікування випадкового розміру $3X+5$.
Використовуючи вищезазначені властивості, отримуємо $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2 +5 = 11 $.
Приклад 5 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 4 $. Знайти математичне очікування випадкової величини $2X-9$.
Використовуючи вищезазначені властивості, отримуємо $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4 -9 = -1 $.
3. Дисперсія дискретної випадкової величини.
Можливі значення випадкових величин із рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватися навколо своїх середніх значень. Наприклад, у двох студентських групах середній бал за іспит з теорії ймовірностей дорівнював 4, але в одній групі всі виявилися хорошистами, а в іншій групі - тільки трієчники та відмінники. Тому виникає потреба у такій числовій характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такою характеристикою є дисперсія.
Дисперсія дискретної випадкової величини$X$ дорівнює:
В англомовній літературі використовуються позначення $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Дуже часто дисперсію $D\left(X\right)$ обчислюють за формулою $D\left(X\right)=\sum^n_
Властивості дисперсії$D\left(X\right)$:
- Дисперсія завжди більша чи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
- Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (C \ right) = 0 $.
- Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення їх у квадрат, тобто. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
- Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
Приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $X$ із прикладу $2$.
Приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D left (X right) = 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $4X+1$.
Використовуючи вищезазначені властивості, знаходимо $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\ left (X right) = 16 cdot 2 = 32 $.
Приклад 8 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \ left (X \ right) = 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $3-2X$.
Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\ left (X \ right) = 4 \ cdot 3 = 12 $.
4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.
Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не єдиний, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину не можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб подання випадкової величини – функція розподілу.
Функцією розподілувипадкової величини $X$ називається функція $F\left(x\right)$, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $x$, тобто $F\left(x\right )=P\left(X 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3 \right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.
Графік функції розподілу $F\left(x\right)$:
Основні закони розподілу
1. Біноміальний закон розподілу.
Біноміальний закон розподілу описує ймовірність настання події А m разів у n незалежних випробуваннях, за умови, що ймовірність р настання події А у кожному випробуванні постійна.
Наприклад, відділ продажу магазину побутової технікив середньому отримує одне замовлення на покупку телевізорів із 10 дзвінків. Скласти закон розподілу ймовірностей для придбання m телевізорів. Побудувати полігон розподілу ймовірностей.
У таблиці m — кількість замовлень, отриманих компанією для придбання телевізора. З n m - Число поєднань m телевізорів по n, p - ймовірність настання події А, тобто. замовлення телевізора, q - можливість не настання події А, тобто. не замовлення телевізора, P m,n - ймовірність замовлення m телевізорів з n. На малюнку 1 зображено полігон розподілу ймовірностей.
2.Геометричний розподіл.
Геометричний розподіл випадкової величини має такий вигляд:
P m — ймовірність настання події А на випробування під номером m.
р - ймовірність настання події А в одному випробуванні.
q = 1 - p
приклад. До компанії з ремонту побутової техніки надійшла партія з 10 запасних блоків пральних машин. Трапляється, що в партії виявляється 1 блок бракований. Здійснюється перевірка до виявлення бракованого блоку. Потрібно скласти закон розподілу числа перевірених блоків. Імовірність того, що блок може виявитися бракованим дорівнює 0,1. Побудувати полігон розподілу ймовірностей.
З таблиці видно, що зі збільшенням числа m, ймовірність того, що буде виявлено блок, знижується. Останній рядок (m=10) поєднує дві ймовірності: 1 - що десятий блок виявився несправним - 0,038742049, 2 - що всі блоки, що перевіряються, виявилися справними - 0,34867844. Оскільки ймовірність того, що блок виявиться несправним щодо низька (р=0,1), то ймовірність останньої події P m (10 перевірених блоків) відносно висока. Рис.2.
3.Гіпергеометричний розподіл.
Гіпергеометричний розподіл випадкової величини має такий вигляд:
Наприклад, скласти закон розподілу 7-ми вгаданих чисел з 49. У цьому прикладі всього чисел N=49, вилучили n=7 чисел, M — всього чисел, які мають заданим властивістю, тобто. правильно вгаданих чисел, m - число правильно вгаданих чисел серед вилучених.
З таблиці видно, що можливість вгадування одного числа m=1 вище, ніж за m=0. Однак потім ймовірність починає швидко знижуватися. Таким чином, ймовірність вгадування 4-х чисел вже становить менше 0,005, а 5 мізерно мала.
4. Закон розподілу Пуассона.
Випадкова величина Х має розподіл Пуассона, якщо закон її розподілу має вигляд:
Np = const
n — число випробувань, які прагнуть нескінченності
p — ймовірність настання події, що прагне нуля
m - число появи події А
Наприклад, в середньому за день до компанії з продажу телевізорів надходить близько 100 дзвінків. Можливість замовлення телевізора марки А дорівнює 0,08; B - 0,06 і C - 0,04. Скласти закон розподілу замовлень на покупку телевізорів марок А,Вта С. Побудувати полігон розподілу ймовірностей.
З умови маємо: m = 100,? 1 = 8,? 2 = 6,? 3 = 4 (? 10)
(Таблиця дана не повністю)
Якщо n досить велике і прагне нескінченності, а значення p прагне нулю, отже твір np прагне постійному числу, цей закон є наближенням до биномиальному закону розподілу. З графіка видно, що більше ймовірність р, тим ближче крива розташована до осі m, тобто. більш полога. (Мал.4)
Необхідно відзначити, що біноміальний, геометричний, гіпергеометричний та закон розподілу Пуассона виражають розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини.
5.Рівномірний закон розподілу.
Якщо щільність ймовірності?(х) є величина постійна певному проміжку , то закон розподілу називається рівномірним. На рис.5 зображено графіки функції розподілу ймовірностей та щільність ймовірності рівномірного закону розподілу.
6.Нормальний закон розподілу (закон Гауса).
Серед законів розподілу безперервних випадкових величин найбільш поширеним є нормальний законрозподілу. Випадкова величина розподілена за нормальним законом розподілу, якщо її щільність ймовірності має вигляд:
де
а - математичне очікування випадкової величини
? - Середнє квадратичне відхилення
Графік щільності ймовірності випадкової величини, що має нормальний закон розподілу, симетричний щодо прямої х = а, тобто рівного математичного очікування. Таким чином, якщо х = а, то крива має максимум рівний:
При зміні величини математичного очікування крива зміщуватиметься вздовж осі Ох. На графіці (Рис.6) видно, що з х=3 крива має максимум, т.к. математичне очікування дорівнює 3. Якщо математичне очікування набуде іншого значення, наприклад а=6, то крива матиме максимум при х=6. Говорячи про середнє квадратичне відхилення, як можна побачити з графіка, чим більше середнє квадратичне відхилення, тим менше максимальне значення густини ймовірності випадкової величини.
Функція, яка виражає розподіл випадкової величини на інтервалі (-?,х), і має нормальний закон розподілу, виражається через функцію Лапласа за такою формулою:
Тобто. ймовірність випадкової величини Х складається з двох частин: ймовірності де x приймає значення мінус нескінченності до а, рівна 0,5 і друга частина - від а до х. (Мал.7)
Вчимося разом
Корисні матеріали для студентів, дипломні та курсові роботи на замовлення
Урок: закон розподілу дискретної випадкової величини
Законом розподілу дискретної випадкової величининазивається відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями. Його можна поставити таблично, графічно та аналітично.
Що таке випадкова величина розібрано у цьому уроці.
При табличному способі завдання перший рядок таблиці містить можливі значення, а другий їх ймовірності, тобто
Таку величину називають рядом розподілу дискретної випадкової величини.
Х = х1, Х = х2, Х = хn утворюють повну групу, так як в одному випробуванні випадкова величина прийме одне і лише одне можливе значення. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці, тобто p1 + p2 + pn = 1 або
Якщо безліч значень Х нескінченна, то 
Приклад 1. У грошовій лотереї випущено 100 білетів. Розігрується один виграш у 1000 рублів та 10 по 100 рублів. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – вартість можливого виграшу для власника одного лотерейного білета.
Шуканий закон розподілу має вигляд:
Контроль; 0,01 +0,1 +0,89 = 1.
При графічному способі завдання закону розподілу на координатній площині будують точки (Xi: Pi), а потім з'єднують їх відрізками прямої. Отриману ламану лінію називають багатокутником розподілу.Для прикладу 1 багатокутник розподілу зображено малюнку 1.
При аналітичному способі завдання закону розподілу вказують формулу, що пов'язує ймовірність випадкової величини з її можливими значеннями.
Приклади дискретних розподілів
Біноміальний розподіл
Нехай проводиться n випробувань, у кожному з яких подія А настає з постійною ймовірністю p, отже, не настає з постійною ймовірністю q = 1- p. Розглянемо випадкову величину X -число появи події A цих n випробуваннях. Можливими значеннями X є x1 = 0, x2 = 1, ..., xn + 1 = n. Імовірність цих можливих
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають Windows XP Word 2003 Excel 2003 Закони розподілу дискретних випадкових величин Законом розподілу дискретної випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і [...]
Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.
Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеву або нескінченну (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.
1 . Закон розподілу може бути заданий таблицею:
де λ>0, k = 0, 1, 2, … .
в)за допомогою функції розподілу F(x) , Що визначає кожному значення x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, менше x, тобто. F(x) = P(X< x).
Властивості функції F(x)
3 . Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).
Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмірвідхилення випадкової величини від середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.
Основні числові характеристики дискретної випадкової величини :
- Математичне очікування
(Середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i.
Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ - Дисперсія
дискретної випадкової величини D(X)= M 2або D(X) = M(X 2)− 2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ - Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).
Приклади розв'язання задач на тему «Закон розподілу дискретної випадкової величини»
Завдання 1.
Випущено 1000 лотерейних квитків: на 5 з них випадає виграш у сумі 500 рублів, на 10 – виграш у 100 рублів, на 20 – виграш у 50 рублів, на 50 – виграш у 10 рублів. Визначити закон розподілу ймовірностей випадкової величини X – виграшу однією квиток.
Рішення. За умовою завдання можливі наступні значення випадкової величини X: 0, 10, 50, 100 та 500.
Число квитків без виграшу дорівнює 1000 - (5 +10 +20 +50) = 915, тоді P (X = 0) = 915/1000 = 0,915.
Аналогічно знаходимо решту ймовірностей: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X=500) = 5/1000=0,005. Отриманий закон подаємо у вигляді таблиці:
Знайдемо математичне очікування величини Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Завдання 3.
Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досвіді, побудувати багатокутник розподілу. Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.
Рішення. 1. Дискретна випадкова величина X=(кількість елементів, що відмовили в одному досвіді) має такі можливі значення: х 1 =0 (жоден з елементів пристрою не відмовив), х 2 =1 (відмовив один елемент), х 3 =2 (відмовило два елементи ) і х 4 = 3 (відмовили три елементи).
Відмовлення елементів незалежні один від одного, ймовірності відмови кожного елемента рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі
. Враховуючи, що, за умовою, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, визначимо ймовірність значень:
P 3 (0) = 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Перевірка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Таким чином, шуканий біноміальний закон розподілу Х має вигляд:
По осі абсцис відкладаємо можливі значення х i , а осі ординат – відповідні їм ймовірності р i . Побудуємо точки М1 (0; 0,729), М2 (1; 0,243), М3 (2; 0,027), М4 (3; 0,001). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримуємо багатокутник розподілу, що шукається.
3. Знайдемо функцію розподілу F(x) = Р(Х
Для x ≤ 0 маємо F(x) = Р(Х<0) = 0;для 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для x > 3 буде F(x) = 1, т.к. подія достовірна.
 |
Графік функції F(x)
4.
Для біномного розподілу Х:
- Математичне очікування М(X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсія D(X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- середнє квадратичне відхилення σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.