Linijinio nehomogeniškumo sprendimo būdas diferencialines lygtis didesni laipsniai su pastoviais koeficientais Lagranžo konstantų variacijos metodu. Lagranžo metodas taip pat taikomas sprendžiant bet kokias tiesines nehomogenines lygtis, jei yra žinoma pagrindinė homogeninės lygties sprendinių sistema.
TurinysTaip pat žiūrėkite:
Lagranžo metodas (konstantų kitimas)
Apsvarstykite tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį su pastoviais savavališkos n-osios eilės koeficientais:
(1)
.
Pastovios variacijos metodas, kurį laikėme pirmosios eilės lygtims, taip pat taikomas aukštesnės eilės lygtims.
Tirpalas atliekamas dviem etapais. Pirmajame etape mes atmetame dešinę pusę ir išsprendžiame homogeninę lygtį. Dėl to gauname sprendimą, kuriame yra n savavališkų konstantų. Antrame etape keičiame konstantas. Tai yra, mes manome, kad šios konstantos yra nepriklausomo kintamojo x funkcijos ir randame šių funkcijų formą.
Nors čia svarstome lygtis su pastoviais koeficientais, bet Lagranžo metodas taip pat taikomas sprendžiant bet kokias tiesines nehomogenines lygtis. Tačiau tam reikia žinoti pagrindinę homogeninės lygties sprendinių sistemą.
1 žingsnis. Homogeninės lygties sprendimas
Kaip ir pirmosios eilės lygčių atveju, pirmiausia ieškome bendras sprendimas vienalytė lygtis, dešiniąją nehomogeninę dalį prilyginanti nuliui:
(2)
.
Bendras tokios lygties sprendimas turi tokią formą:
(3)
.
Čia yra savavališkos konstantos; - n tiesiškai nepriklausomų homogeninės lygties (2) sprendinių, kurie sudaro pagrindinę šios lygties sprendinių sistemą.
2 veiksmas. Konstantų keitimas – konstantų pakeitimas funkcijomis
Antrame žingsnyje nagrinėsime konstantų kitimą. Kitaip tariant, konstantas pakeisime nepriklausomo kintamojo x funkcijomis:
.
Tai yra, mes ieškome pradinės (1) lygties sprendimo tokia forma:
(4)
.
Jei (4) pakeisime į (1), gausime vieną diferencialinę lygtį n funkcijų. Šiuo atveju šias funkcijas galime susieti papildomomis lygtimis. Tada gausite n lygčių, iš kurių galite nustatyti n funkcijų. Papildomas lygtis galima parašyti įvairiais būdais. Bet mes tai padarysime taip, kad sprendimas būtų paprasčiausios formos. Norėdami tai padaryti, diferencijuodami turite prilyginti nuliui terminus, kuriuose yra funkcijų išvestinės. Parodykime tai.
Norėdami pakeisti siūlomą sprendinį (4) į pradinę lygtį (1), turime rasti (4) forma užrašytos funkcijos pirmųjų n eilių išvestines. Atskirkite (4) taikydami sumos ir sandaugos diferencijavimo taisykles:
.
Sugrupuokime narius. Pirmiausia išrašome terminus su išvestiniais iš , o tada terminus su išvestiniais iš :
.
Pirmąją sąlygą keliame funkcijoms:
(5.1)
.
Tada pirmosios išvestinės išraiška bus paprastesnė:
(6.1)
.
Tuo pačiu būdu randame antrąją išvestinę:
.
Funkcijoms keliame antrąją sąlygą:
(5.2)
.
Tada
(6.2)
.
Ir taip toliau. Esant papildomoms sąlygoms, terminus, kuriuose yra funkcijų išvestinės, prilyginame nuliui.
Taigi, jei funkcijoms pasirinksime šias papildomas lygtis:
(5.k) ,
tada pirmieji išvestiniai bus paprasčiausios formos:
(6.k) .
čia .
Randame n-tąją išvestinę:
(6.n)
.
Į pradinę (1) lygtį pakeičiame:
(1)
;
.
Atsižvelgiame į tai, kad visos funkcijos atitinka (2) lygtį:
.
Tada terminų suma, kurią sudaro nulis. Dėl to gauname:
(7)
.
Dėl to gavome išvestinių tiesinių lygčių sistemą:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .
Išspręsdami šią sistemą, randame išvestinių išraiškas kaip x funkcijas. Integruodami gauname:
.
Čia yra konstantos, kurios nebepriklauso nuo x. Pakeitę į (4), gauname bendrąjį pradinės lygties sprendinį.
Atkreipkite dėmesį, kad išvestinių verčių nustatymui niekada nenaudojome fakto, kad koeficientai a i yra pastovūs. Štai kodėl Lagranžo metodas tinka bet kurioms tiesinėms nehomogeninėms lygtims išspręsti, jei žinoma homogeninės (2) lygties sprendinių pagrindinė sistema.
Pavyzdžiai
Išspręskite lygtis konstantų kitimo metodu (Lagrange).
Pavyzdžių sprendimas >>>
Aukštesnės eilės lygčių sprendimas Bernulio metodu
Tiesinių nevienalyčių aukštesnės eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimas tiesiniu pakeitimu
Dabar apsvarstykite tiesinę nehomogeninę lygtį
. (2)
Tegul y 1 ,y 2 ,.., y n yra pagrindinė sprendinių sistema, o atitinkamos vienalytės lygties L(y)=0 bendrasis sprendinys. Panašiai kaip ir pirmosios eilės lygčių atveju, (2) lygties sprendimo ieškosime formoje
. (3)
Patikrinkite, ar yra šios formos sprendimas. Norėdami tai padaryti, funkciją pakeičiame lygtyje. Norėdami pakeisti šią funkciją į lygtį, randame jos išvestinius. Pirmasis išvestinis yra 
. (4)
Skaičiuojant antrąją išvestinę, dešinėje (4) pusėje atsiranda keturi nariai, skaičiuojant trečiąją išvestinę – aštuonios ir pan. Todėl tolesnių skaičiavimų patogumui manoma, kad pirmasis (4) narys yra lygus nuliui. Turint tai omenyje, antroji išvestinė yra lygi 
. (5)
Dėl tų pačių priežasčių, kaip ir anksčiau, (5) pirmąjį narį taip pat nustatėme lygų nuliui. Galiausiai n-oji išvestinė yra 
. (6)
Pakeitę gautas išvestinių vertes į pradinę lygtį, turime 
. (7)
Antrasis (7) narys yra lygus nuliui, nes funkcijos y j , j=1,2,..,n yra atitinkamos vienalytės lygties L(y)=0 sprendiniai. Sujungę su ankstesne, gauname algebrinių lygčių sistemą funkcijoms C" j (x) rasti 
(8)
Šios sistemos determinantas yra atitinkamos vienalytės lygties L(y)=0 pagrindinės sprendinių y 1 ,y 2 ,..,y n sistemos Vronskio determinantas ir todėl nėra lygus nuliui. Todėl yra unikalus sistemos sprendimas (8). Jį radę, gauname funkcijas C "j (x), j=1,2,…,n ir, atitinkamai, C j (x), j=1,2,…,n, pakeisdami šias reikšmes į (3), gauname tiesinės nehomogeninės lygties sprendimą.
Aprašytas metodas vadinamas savavališkos konstantos keitimo metodu arba Lagranžo metodu.
1 pavyzdys. Raskime bendrąjį lygties y "" + 4y" + 3y \u003d 9e -3 x sprendinį. Apsvarstykite atitinkamą vienalytę lygtį y "" + 4y" + 3y \u003d 0. Jai būdingos lygties r 2 + 4r šaknys + 3 \u003d 0 yra lygūs -1 ir - 3. Todėl pagrindinė vienalytės lygties sprendinių sistema susideda iš funkcijų y 1 = e - x ir y 2 = e -3 x. Mes ieškome nehomogeninės lygties, kurios forma y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x, sprendimo. Norėdami rasti išvestines C " 1 , C" 2, sudarome lygčių sistemą (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′1e -x -3C′2e -3x =9e -3x
kurią išspręsdami randame , Integruodami gautas funkcijas, turime 
Pagaliau gauname
2 pavyzdys. Išspręskite antros eilės tiesines diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais savavališkų konstantų kitimo metodu: 
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Sprendimas:
Ši diferencialinė lygtis priklauso tiesinėms diferencialinėms lygtims su pastoviais koeficientais.
Ieškosime lygties sprendinio formoje y = e rx . Norėdami tai padaryti, sudarome būdingą tiesinės vienalytės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais lygtį:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Charakteristikos lygties šaknys: r 1 = 4, r 2 = 2
Todėl pagrindinė sprendinių sistema yra funkcijos: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Bendrasis vienalytės lygties sprendinys turi tokią formą: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Ieškokite konkretaus sprendimo savavališkos konstantos variacijos metodu.
Norėdami rasti C "i išvestinius, sudarome lygčių sistemą:
C′1 e 4x +C′ 2 e 2x =0
C′1 (4e 4x) + C′2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Išreikškite C" 1 iš pirmosios lygties:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
ir pakeiskite antruoju. Dėl to gauname:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Integruojame gautas funkcijas C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Kadangi y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x, tada gautas išraiškas rašome tokia forma:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2) e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Taigi bendras diferencialinės lygties sprendimas turi tokią formą:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
arba
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Mes randame konkretų sprendimą su sąlyga:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Rastoje lygtyje pakeitę x = 0, gauname:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Randame pirmąją gauto bendrojo sprendinio išvestinę:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln (2e 2x +1) -2)
Pakeitę x = 0, gauname:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Gauname dviejų lygčių sistemą:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 n3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
arba
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
arba
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Iš: C 1 = 0, C * 2 = 2
Konkretus sprendimas bus parašytas taip:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Savavališkų konstantų kitimo metodas
Savavališkų konstantų kitimo metodas tiesinės nevienalytės diferencialinės lygties sprendiniui sudaryti
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)
susideda iš savavališkų konstantų keitimo c k bendrame sprendime
z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)
atitinkamą homogeninę lygtį
a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0
pagalbinėms funkcijoms c k (t) , kurios išvestinės tenkina tiesinę algebrinę sistemą
Sistemos (1) determinantas yra funkcijų Vronskis z 1 ,z 2 ,...,z n , kuris užtikrina unikalų jo išsprendžiamumą .
Jei antidariniai imami fiksuotomis integracijos konstantų reikšmėmis, tada funkcija
yra pradinės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimas. Taigi nehomogeninės lygties integravimas esant bendram atitinkamos vienalytės lygties sprendiniui redukuojamas į kvadratus.
Savavališkų konstantų kitimo metodas, skirtas sudaryti vektoriaus normaliosios formos tiesinių diferencialinių lygčių sistemos sprendinius
susideda iš tam tikro sprendimo (1) sudarymo formoje
kur Z(t) yra atitinkamos vienarūšės lygties sprendinių pagrindas, užrašytas kaip matrica, o vektoriaus funkcija , kuri pakeitė savavališkų konstantų vektorių, apibrėžiama ryšiu . Norimas konkretus sprendimas (su nulinėmis pradinėmis reikšmėmis t = t 0 turi formą
Sistemai su pastoviais koeficientais paskutinė išraiška yra supaprastinta:
Matrica Z(t)Z– 1 (τ) paskambino Cauchy matrica operatorius L = A(t) .
Teorinis minimumasDiferencialinių lygčių teorijoje yra metodas, kuris teigia turintis pakankamai aukštą šios teorijos universalumo laipsnį.
Kalbame apie savavališkos konstantos kitimo metodą, taikomą sprendžiant įvairių klasių diferencialinių lygčių ir jų
sistemos. Tai yra būtent tas atvejis, kai teorija - jei teiginių įrodymą išimsite iš skliaustų - yra minimali, bet leidžia pasiekti
reikšmingų rezultatų, todėl pagrindinis dėmesys bus skiriamas pavyzdžiams.Bendra metodo idėja yra gana paprasta suformuluoti. Tegul duotoji lygtis (lygčių sistema) būna sunkiai išsprendžiama ar net nesuprantama,
kaip ją išspręsti. Tačiau matyti, kad kai kurie terminai neįtraukiami į lygtį, ji išsprendžiama. Tada jie išsprendžia tik tokį supaprastintą
lygtį (sistemą), gaukite sprendimą, turintį tam tikrą skaičių savavališkų konstantų - priklausomai nuo lygties eilės (skaičiaus
lygtys sistemoje). Tada daroma prielaida, kad konstantos rastame sprendinyje tikrai nėra konstantos, rastasis sprendinys
pakeičiama į pradinę lygtį (sistemą), gaunama diferencialinė lygtis (arba lygčių sistema), kuri nustato "konstantas".
Taikant savavališkos konstantos kitimo metodą yra tam tikras specifiškumas skirtingos užduotys, bet tai jau detalės, kurios bus
parodyta su pavyzdžiais.Atskirai panagrinėkime aukštesnio laipsnio tiesinių nehomogeninių lygčių sprendimą, t.y. formos lygtys
.
Bendrasis tiesinės nehomogeninės lygties sprendinys yra atitinkamos homogeninės lygties bendrojo sprendinio ir konkretaus sprendinio suma
duota lygtis. Tarkime, kad bendras homogeninės lygties sprendinys jau rastas, o būtent, sukonstruota fundamentalioji sprendinių sistema (FSR).
. Tada bendras homogeninės lygties sprendinys yra .
Būtina rasti bet kurį konkretų nehomogeninės lygties sprendimą. Tam konstantos laikomos priklausomomis nuo kintamojo.
Toliau reikia išspręsti lygčių sistemą.
Teorija garantuoja, kad ši algebrinių lygčių sistema funkcijų išvestinių atžvilgiu turi unikalų sprendimą.
Surandant pačias funkcijas, integravimo konstantos neatsiranda: juk ieškoma bet kokio sprendimo.Sprendžiant pirmosios formos eilės tiesinių nehomogeninių lygčių sistemas
algoritmas išlieka beveik nepakitęs. Pirmiausia reikia rasti atitinkamos homogeninės lygčių sistemos FSR, sudaryti pagrindinę matricą
sistema , kurios stulpeliai yra FSR elementai. Toliau lygtis.
Spręsdami sistemą, nustatome funkcijas, taip randame tam tikrą sprendimą pradinei sistemai
(pagrindinė matrica padauginama iš rastos funkcijos stulpelio).
Pridedame jį prie bendro atitinkamos vienarūšių lygčių sistemos sprendinio, kuris yra sudarytas remiantis jau rastu FSR.
Gaunamas bendras pradinės sistemos sprendimas.Pavyzdžiai.
1 pavyzdys Pirmosios eilės tiesinės nehomogeninės lygtys.
Panagrinėkime atitinkamą vienalytę lygtį (reikiamą funkciją žymime ):
.
Ši lygtis lengvai išsprendžiama atskiriant kintamuosius:
.
Dabar pavaizduojame pradinės lygties sprendimą formoje, kur funkcija dar nerasta.
Pradinę lygtį pakeičiame tokio tipo sprendimus:
.
Kaip matote, antrasis ir trečiasis terminai kairėje pusėje panaikina vienas kitą – tai yra funkcija savavališkos konstantos kitimo metodas.
Čia jau - iš tikrųjų savavališka konstanta. Šiuo būdu,
.2 pavyzdys Bernulio lygtis.
Elgiamės panašiai kaip pirmame pavyzdyje – išsprendžiame lygtį
kintamųjų atskyrimo būdas. Pasirodys , todėl mes ieškome pradinės lygties sprendinio formoje
.
Pakeiskite šią funkciją į pradinę lygtį:
.
Ir vėl yra pjūviai:
.
Čia reikia nepamiršti, kad dalijant iš sprendimas neprarastų. O atvejis atitinka originalo sprendimą
lygtys. Prisiminkime jį. Taigi,.
Parašykime .
Tai yra sprendimas. Rašydami atsakymą taip pat turėtumėte nurodyti anksčiau rastą sprendimą, nes jis neatitinka jokios galutinės reikšmės
konstantos .3 pavyzdys Aukštesnių laipsnių tiesinės nehomogeninės lygtys.
Iš karto pastebime, kad šią lygtį galima išspręsti paprasčiau, tačiau patogu joje parodyti metodą. Nors kai kurie privalumai
savavališkos konstantos kitimo metodas taip pat turi jį šiame pavyzdyje.
Taigi, jums reikia pradėti nuo atitinkamos homogeninės lygties FSR. Prisiminkite, kad norėdami rasti FSR, charakteristikas
lygtis
.
Taigi bendras homogeninės lygties sprendinys
.
Čia įtrauktos konstantos turi būti įvairios. Sistemos sudarymas
