Nenoteiktā integrāļa antiatvasinājuma un nenoteiktā integrāļa īpašības. Antiatvasinājums un integrāļi

IKTIB ITA SFU

LEKCIJAS KURSS PAR MATEMĀTIKU

5. nodaļa Integrālrēķins
viena mainīgā funkcijas

21. lekcija Antiderivatīvs, nenoteikts integrālis

Lekcijas plāns

Antiatvasinātais un nenoteiktais integrālis. Nenoteiktā integrāļa īpašības. Tabulu integrācija. Integrācijas formulu nemainības īpašība. Nonākot zem diferenciāļa zīmes. Mainīgā lieluma maiņa nenoteiktā integrālī. Integrācija pa daļām. Polinomu faktorizācija. Pareizo racionālo daļu sadalīšana vienkāršās. Vienkāršu un racionālu daļskaitļu integrācija. Integrācija trigonometriskās funkcijas un daži neracionāli izteicieni.

Antiderivatīvā un nenoteiktā integrāļa jēdziens

Kas ir integrālis? Vai tā ir taisnība, ka integrācija ir pretstats diferenciācijai? Atbildēsim uz šiem un citiem jautājumiem.

1. definīcija . Funkcijas antiatvasinājums ir tāda funkcija, ka .

Tātad antiatvasinājums ir funkcija, kuras atvasinājums ir vienāds ar doto funkciju. Ņemiet vērā, ka noteiktas funkcijas antiatvasinājums nav noteikts unikāli. Piemēram, funkcijas atvasinājums ir vienāds ar funkciju. Tāpēc funkcija ir funkcijas antiatvasinājums. Bet galu galā funkcijas atvasinājums arī ir vienāds ar funkciju. Tāpēc funkcija ir arī funkcijas antiatvasinājums, kā arī funkcijai , kur ir patvaļīga konstante.

1. teorēma . (Vispārīga antiatvasinājumu forma noteiktai funkcijai) Ļaujiet funkcijai būt antiatvasinājumam funkcijai . Tad jebkurš funkcijas antiatvasinājums tiek attēlots kā , kur ir patvaļīga konstante. Un otrādi, jebkurai funkcijai ir funkcijas antiatvasinājums.

Pierādījums . Teorēmas otrā daļa ir acīmredzama, jo ir acīmredzams, ka . Tagad pietiek pierādīt, ka, ja divu funkciju atvasinājumi ir vienādi, tad šīs funkcijas atšķiras ar konstanti. Faktiski pietiek pierādīt, ka, ja funkcijas atvasinājums (minēto funkciju starpība) ir vienāds ar 0, tad tas ir konstantes atvasinājums. Bet tā ir taisnība. Paņemiet jebkurus divus punktus. Atšķirība starp funkcijas vērtībām šajos punktos saskaņā ar Lagranža galīgo pieauguma formulu ir vienāda ar atvasinājumu kādā starppunktā, kas reizināts ar argumentu starpību ( ). Bet galu galā atvasinājums visur ir vienāds ar 0, tāpēc funkcijas pieaugums vienmēr ir vienāds ar 0, t.i., funkcija ir vienāda ar konstanti. Teorēma ir pierādīta.

2. definīcija . Visu funkcijas antiatvasinājumu kopu sauc par funkcijas nenoteikto integrāli un apzīmē ar simbolu .

Tātad, patiešām, aprēķināt nenoteiktu integrāli nozīmē veikt darbību, kas ir pretēja atvasinājuma aprēķināšanai. Turklāt, ņemot vērā 1. teorēmu, ir spēkā formula nenoteiktā integrāļa aprēķināšanai , (1) kur ir viens no funkcijas antiatvasinājumiem, ko sauc par zem s neatņemama funkcija.

Mēs jau zinām, ka funkcijas atvasinājumam ir daudz pielietojumu. Runa lietojumprogrammās, protams, ir par atvasinājumu vērtību atsevišķos punktos, tas ir, par skaitļiem. Ņemiet vērā, ka nenoteiktais integrālis ir funkciju kopums. Tāpēc nenoteiktā integrāļa tiešais pielietojums ir ļoti ierobežots. Lietojumprogrammās ir arī cita veida integrāļi, kur rezultāts ir skaitlis, un tehniski aprēķins tiek reducēts līdz antiderivatīvās funkcijas atrašanai. Tāpēc ir ļoti svarīgi iemācīties aprēķināt nenoteikto integrāli.

1. No kādām funkcijām var aprēķināt
nenoteikts integrālis

Mēs zinām, ka ir iespējams aprēķināt jebkuras elementāras funkcijas atvasinājumu, izmantojot pamata elementārfunkciju atvasinājumu tabulu un atvasinājumu aprēķināšanas noteikumus (summas atvasinājums, starpība, reizinājums, koeficients, sarežģīta funkcija).

No šejienes jūs varat uzrakstīt antiatvasinājumu tabulu, izlasot atvasinājumu tabulu "no labās uz kreiso pusi". Ir iespējams arī formulēt noteikumus, kas atbilst atvasinājuma aprēķināšanas noteikumiem. Ar skaitliskās kopas summu, starpību, atveidojumu diferencēšanas un integrācijas noteikumi ir identiski. Bet ar kompleksas funkcijas reizinājumu, koeficientu un atvasinājuma aprēķinu situācija ir sarežģītāka. Galu galā, teiksim, produkta atvasinājums nav vienāds ar “atvasinājumu produktu”. Tāpēc antiatvasinājumu tabula un antiatvasinājumu aprēķināšanas noteikumi neļauj atrast nevienas elementāras funkcijas antiatvasinājumu. Ir tā sauktie "nepaņemtie" elementārfunkciju integrāļi. Piemēram, šķiet, ka vienkāršu integrāli mūsu izpratnē nevar aprēķināt, jo starp elementārajām funkcijām nav tādas funkcijas, kuras atvasinājums būtu vienāds ar . Nepārtrauktas funkcijas antiatvasinājums pastāv vienmēr, bet šajā gadījumā tas nav starp elementārajiem. Šādas funkcijas sauc par īpašām. Daudzi no tiem ir nepieciešami pieteikumos, un tie tiek pētīti atsevišķi.

Tātad, atšķirībā no funkcijas atvasinājuma aprēķināšanas, mums nav jāspēj aprēķināt jebkuras elementāras funkcijas nenoteikto integrāli. Mēs pētīsim noteikta veida elementāras funkcijas, no kurām mums jāiemācās aprēķināt nenoteiktus integrāļus.

Vienkāršu nenoteiktu integrāļu tabula

Atgādināsim galveno elementāro funkciju atvasinājumu tabulu:

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

Daudzos veidos tas ģenerē vienkāršāko nenoteikto integrāļu tabulu. Šeit ir arī citi integrāļi. Tos visus var viegli pārbaudīt, aprēķinot labās puses atvasinājumu.

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)

	|	nākamā lekcija ==>
	|

Funkcija F(x ) sauca primitīvs funkcijai f(x) noteiktā intervālā, ja visiem x no šī intervāla vienlīdzība

F"(x ) = f(x ) .

Piemēram, funkcija F(x) = x 2 f(x ) = 2X , jo

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Galvenā antiatvasinājuma īpašība

Ja F(x) ir funkcijas antiatvasinājums f(x) noteiktā intervālā, tad funkcija f(x) ir bezgala daudz antiatvasinājumu, un visus šos antiatvasinājumus var rakstīt kā F(x)+C, kur NO ir patvaļīga konstante.

Piemēram. Funkcija F(x) = x 2 + 1 ir funkcijas antiatvasinājums f(x ) = 2X , jo F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funkciju F(x) = x 2 - 1 ir funkcijas antiatvasinājums f(x ) = 2X , jo F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funkciju F(x) = x 2 - 3 ir funkcijas antiatvasinājums f(x) = 2X , jo F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); jebkura funkcija F(x) = x 2 + NO , kur NO ir patvaļīga konstante, un tikai šāda funkcija ir funkcijas antiatvasinājums f(x) = 2X . ◄

Antiatvasinājumu aprēķināšanas noteikumi

1. Ja F(x) - oriģināls priekš f(x) , a G(x) - oriģināls priekš g(x) , tad F(x) + G(x) - oriģināls priekš f(x) + g(x) . Citiem vārdiem sakot, summas antiatvasinājums ir vienāds ar antiatvasinājumu summu .
2. Ja F(x) - oriģināls priekš f(x) , un k tad ir nemainīgs k · F(x) - oriģināls priekš k · f(x) . Citiem vārdiem sakot, konstanto koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes .
3. Ja F(x) - oriģināls priekš f(x) , un k,b- pastāvīgs un k ≠ 0 , tad 1 / k F( k x + b ) - oriģināls priekš f(k x + b) .

Nenoteikts integrālis

Nav noteiktais integrālis no funkcijas f(x) sauc par izteiksmi F(x)+C, tas ir, visu dotās funkcijas antiatvasinājumu kopa f(x) . Nenoteikto integrāli apzīmē šādi:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- sauca integrand ;

f(x) dx- sauca integrand ;

x - sauca integrācijas mainīgais ;

F(x) ir viens no funkcijas antiatvasinājumiem f(x) ;

NO ir patvaļīga konstante.

Piemēram, ∫ 2 x dx =X 2 + NO , ∫ cosx dx = grēks X + NO un tā tālāk. ◄

Vārds "integrāls" nāk no latīņu vārda vesels skaitlis , kas nozīmē "atjaunots". Ņemot vērā nenoteikto integrāli 2 x, mēs it kā atjaunojam funkciju X 2 , kura atvasinājums ir 2 x. Tiek saukta funkcijas atjaunošana no tās atvasinājuma vai, kas ir tas pats, nenoteikta integrāļa atrašana pār doto integrandu. integrācija šī funkcija. Integrācija ir diferenciācijas apgrieztā darbība.Lai pārbaudītu, vai integrācija tiek veikta pareizi, pietiek ar rezultātu diferencēšanu un integranda iegūšanu.

Nenoteiktā integrāļa pamatīpašības

1. Nenoteiktā integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrādu:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Integrānda konstanto koeficientu var izņemt no integrāļa zīmes:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Funkciju summas (starpības) integrālis ir vienāds ar šo funkciju integrāļu summu (starpību):

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Ja k,b- pastāvīgs un k ≠ 0 , tad

∫ f( k x + b) dx = 1 / k F( k x + b ) + C .

Antiatvasināto un nenoteikto integrāļu tabula

	f(x)	F(x)+C	∫ f(x) dx = F(x) + C
es	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
v.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
x.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Šajā tabulā dotos primitīvos un nenoteiktos integrāļus parasti sauc tabulu primitīvi un tabulas integrāļi .

Noteikts integrālis

Ielaidiet starpā [a; b] dota nepārtraukta funkcija y = f(x) , tad noteikts integrālis no a līdz b funkcijas f(x) sauc par primitīva pieaugumu F(x) šī funkcija, tas ir

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Skaitļi a un b tiek saukti attiecīgi zemāks un tops integrācijas ierobežojumi.

Pamatnoteikumi noteiktā integrāļa aprēķināšanai

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) kur k - nemainīgs;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), kur f(x) ir vienmērīga funkcija;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), kur f(x) ir nepāra funkcija.

komentēt . Visos gadījumos tiek pieņemts, ka integrandi ir integrējami skaitļu intervālos, kuru robežas ir integrācijas robežas.

Noteiktā integrāļa ģeometriskā un fiziskā nozīme

ģeometriskā sajūta noteiktais integrālis	fiziskā nozīme noteiktais integrālis
Kvadrāts S līknes trapecveida forma (skaitlis, ko ierobežo nepārtraukta pozitīvā intervāla grafiks [a; b] funkcijas f(x) , ass Vērsis un tieši x=a , x=b ) aprēķina pēc formulas $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Ceļš s kurš ir pārvarējis materiālais punkts, kas pārvietojas taisnā līnijā ar ātrumu, kas mainās atkarībā no likuma v(t) , uz laika intervālu a ; b], tad attēla laukums, ko ierobežo šo funkciju grafiki un taisnes x = a , x = b , aprēķina pēc formulas $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Piemēram. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y=x 2 un y= 2-x . Shematiski attēlosim šo funkciju grafikus un izcelsim figūru, kuras laukums ir jāatrod citā krāsā. Lai atrastu integrācijas robežas, mēs atrisinām vienādojumu: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Revolūcijas ķermeņa apjoms

	Ja ķermenis iegūts griešanās ap asi rezultātā Vērsis līknes trapecveida forma, ko ierobežo intervāla nepārtraukta un nenegatīva grafiks [a; b] funkcijas y = f(x) un tieši x = a un x = b , tad to sauc revolūcijas ķermenis . Apgriezienu ķermeņa tilpumu aprēķina pēc formulas $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Ja apgriezienu ķermeni iegūst, pagriežot figūru, kuru augšā un apakšā ierobežo funkciju grafiki y = f(x) un y = g(x) , attiecīgi, tad $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Piemēram. Aprēķiniet konusa tilpumu ar rādiusu r un augstums h . Novietosim konusu taisnstūra koordinātu sistēmā tā, lai tā ass sakristu ar asi Vērsis , un bāzes centrs atradās koordinātu sākumā. Ģeneratora rotācija AB definē konusu. Kopš vienādojuma AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
un konusa tilpumam, kas mums ir $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

Antiatvasinājuma definīcija.

Antiatvasinājuma funkcija f(x) uz intervāla (a; b) ir tāda funkcija F(x), ka vienādība ir spēkā jebkuram x no noteiktā intervāla.

Ja ņemam vērā to, ka konstantes C atvasinājums ir vienāds ar nulli, tad vienādība . Tādējādi funkcijai f(x) ir antiatvasinājumu kopa F(x)+C patvaļīgai konstantei C, un šie antiatvasinājumi viens no otra atšķiras ar patvaļīgu konstantes vērtību.

Nenoteiktā integrāļa definīcija.

Visu funkcijas f(x) antiatvasinājumu kopu sauc par šīs funkcijas nenoteikto integrāli un apzīmē .

Izteicienu sauc integrand, un f(x) integrand. Integrands ir funkcijas f(x) diferenciālis.

To sauc par nezināmas funkcijas atrašanu pēc tās noteiktā diferenciāļa nenoteikts integrāciju, jo integrācijas rezultāts ir nevis viena funkcija F(x) , bet gan tās antiatvasinājumu kopa F(x)+C .

Pamatojoties uz atvasinājuma īpašībām, var formulēt un pierādīt nenoteiktā integrāļa īpašības(antiderivatīva īpašības).

Skaidrības labad ir dotas nenoteiktā integrāļa pirmās un otrās īpašības starpvienādības.

Lai pierādītu trešo un ceturto īpašību, pietiek atrast vienādību labās puses atvasinājumus:

Šie atvasinājumi ir vienādi ar integrāniem, kas ir pierādījums, pamatojoties uz pirmo īpašību. To izmanto arī pēdējās pārejās.

Tādējādi integrācijas problēma ir diferenciācijas apgrieztā problēma, un starp šīm problēmām ir ļoti cieša saikne:

• pirmais īpašums ļauj pārbaudīt integrāciju. Lai pārbaudītu veiktās integrācijas pareizību, pietiek ar iegūtā rezultāta atvasinājuma aprēķināšanu. Ja diferenciācijas rezultātā iegūtā funkcija izrādīsies vienāda ar integrandu, tad tas nozīmēs, ka integrācija ir veikta pareizi;
• nenoteiktā integrāļa otrā īpašība ļauj atrast tā antiatvasinājumu no zināmās funkcijas diferenciāļa. Nenoteiktu integrāļu tiešais aprēķins ir balstīts uz šo īpašību.

Apsveriet piemēru.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas antiatvasinājumu, kuras vērtība ir vienāda ar vienu pie x = 1.

Risinājums.

Mēs to zinām no diferenciālskaitļa (tikai paskatieties uz pamata elementāro funkciju atvasinājumu tabulu). Pa šo ceļu, . Ar otro īpašumu . Tas ir, mums ir antiderivatīvu komplekts. Ja x = 1, mēs iegūstam vērtību. Pēc nosacījuma šai vērtībai jābūt vienādai ar vienu, tāpēc С = 1. Vēlamais antiderivatīvs iegūs formu .

Piemērs.

Atrodiet nenoteikto integrāli un pārbaudiet rezultātu diferencējot.

Risinājums.

Pēc dubultleņķa sinusa formulas no trigonometrijas , tāpēc

No trigonometrisko funkciju atvasinājumu tabulas mums ir

Tas ir,

Saskaņā ar nenoteiktā integrāļa trešo īpašību mēs varam rakstīt

Pievēršoties otrajam īpašumam, mēs iegūstam .

Sekojoši,

Pārbaude.

Lai pārbaudītu rezultātu, mēs atšķiram iegūto izteiksmi:

Rezultātā mēs saņēmām integrandu, kas nozīmē, ka integrācija tika veikta pareizi. Pēdējā pārejā tika izmantota dubultā leņķa sinusa formula.

Ja pamatelementāro funkciju atvasinājumu tabulu pārraksta diferenciāļu veidā, tad no tās atbilstoši nenoteiktā integrāļa otrajai īpašībai var sastādīt antiatvasinājumu tabulu.

NOTEIKTS INTEGRĀLS

Mēs sākam pētīt integrāļus, kurus plaši izmanto daudzās tehnoloģiju jomās. Sāksim ar nenoteikto integrāli.

Antiatvasinātais un nenoteiktais integrālis

Diferenciālrēķina galvenais uzdevums ir šo funkciju diferencēšana, citiem vārdiem sakot, uzdevums atrast dotās funkcijas izmaiņu ātrumu. Daudzi zinātnes un tehnikas jautājumi noved pie apgrieztas problēmas formulēšanas: noteiktai funkcijai f (x) atjauno funkciju F(x), kurai f (x) būtu atvasinājums: F ¢ (x) = f ( x).

Definīcija. Funkciju F(x) sauc par antiatvasinājumu f (x), ja

F ¢ (x) = f (x) vai dF(x) = f (x) dx.

Piemēri. 1) f (x) \u003d 3x 2, F (x) \u003d x 3;

2) f(x) = cosx, F(x) = sinx.

Ir viegli redzēt, ka šī funkcija f (x) = 3x 2 atbilst nevis vienam antiatvasinājumam, bet kopai: x 3 ; x 3 + 1; x 3 - 1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + C.

Patiešām, (x 3)¢ \u003d 3x 2; (x 3 + 1)¢ = 3x 2; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2; . . . . (x 3 + C)¢ \u003d 3x 2.

Kopumā, ja F(x) ir dotās funkcijas f (x) antiatvasinājums, tad antiatvasinājuma funkcija būs arī funkcija F(x) + c, "СнR, jo:

¢ = F¢(x) = f (x).

Vai visu antiatvasinājumu kopa f(x) ir izsmelta ar formas F(x) + C izteiksmēm, vai arī ir šīs funkcijas antiatvasinājumi, kas nerodas no F(x) + C jebkurai C vērtībai? Izrādās, ka apgalvojums ir patiess: nav citu funkcijas f (x) antiatvasinājumu. Citiem vārdiem sakot, ja F 1 (x) un F 2 (x) ir divi f (x) antiatvasinājumi, tad F 1 (x) = F 2 (x) + C,

kur C ir kāda konstante.

Patiešām, kopš F 1 (x) un F 2 (x) ir f (x) antiatvasinājumi, tad

Apsveriet atšķirību visiem x.

Lai x 0 ir kāda fiksēta argumenta vērtība,

x ir patvaļīga cita vērtība.

Pēc Lagranža formulas

kur ir kāds skaitlis starp x 0 un x. Jo:

Vai katrai funkcijai f(x) ir antiatvasinājums?

Teorēma. Ja funkcija f(x) ir nepārtraukta kādā intervālā, tad tai ir antiatvasinājums (bez pierādījuma).

Definīcija. Ja F (x) ir kaut kāds f (x) antiatvasinājums, tad izteiksmi F (x) + C, kur C ir patvaļīga konstante, sauc par nenoteiktu integrāli un apzīmē: , savukārt f (x) sauc. integrands un izteiksme f (x) dx - integrand:

Tiek izsaukta nenoteikta integrāļa atrašanas darbība, pretējā gadījumā visu dotās funkcijas antiatvasinājumu atrašana integrācijašī funkcija. Acīmredzot diferenciācijas un integrācijas darbības ir savstarpēji apgrieztas.

Saskaitīšana un atņemšana, kāpināšana un sakņu ekstrakcija, reizināšana un dalīšana ir savstarpēju matemātisko darbību piemēri.