Integrācija pa daļām. Risinājumu piemēri

Sveiks atkal. Šodien nodarbībā mācīsimies integrēt pa daļām. Integrācijas pa daļām metode ir viens no integrālrēķina stūrakmeņiem. Ieskaitē, eksāmenā studentam gandrīz vienmēr tiek piedāvāts atrisināt šāda veida integrāļus: vienkāršākais integrālis (skat. rakstu) vai integrāli, lai mainītu mainīgo (skat. rakstu) vai integrālis tikai ieslēgts integrācijas metode pa daļām.

Kā vienmēr, pie rokas jābūt: Integrāļu tabula un Atvasinājumu tabula. Ja jums to joprojām nav, lūdzu, apmeklējiet manas vietnes noliktavu: Matemātiskās formulas un tabulas. Man neapniks atkārtot - labāk visu izdrukāt. Es centīšos visu materiālu pasniegt konsekventi, vienkārši un pieejamā veidā, nav īpašu grūtību integrēt pa daļām.

Kādu problēmu atrisina integrācija pa daļām? Integrācijas metode pa daļām atrisina ļoti svarīgu problēmu, tā ļauj integrēt dažas funkcijas, kuras nav tabulā, strādāt funkcijas, un dažos gadījumos - un privātās. Kā mēs atceramies, nav ērtas formulas: . Bet ir šis: ir formula integrēšanai pa daļām personīgi. Es zinu, es zinu, jūs esat vienīgais - ar viņu mēs strādāsim visu stundu (tas jau ir vieglāk).

Un uzreiz saraksts studijā. Detaļās tiek ņemti šādu veidu integrāļi:

1) , , - logaritms, logaritms reizināts ar kādu polinomu.

2) ,ir eksponenciāla funkcija, kas reizināta ar kādu polinomu. Tas ietver arī tādus integrāļus kā - eksponenciāla funkcija, kas reizināta ar polinomu, bet praksē tas ir 97 procenti, zem integrāļa mirdz skaists burts “e”. ... raksts izrādās kaut kas lirisks, ak jā ... pavasaris ir atnācis.

3) , , ir trigonometriskas funkcijas, kas reizinātas ar kādu polinomu.

4) , - apgrieztas trigonometriskās funkcijas (“arkas”), “arkas”, reizinātas ar kādu polinomu.

Arī dažas frakcijas tiek ņemtas pa daļām, mēs arī detalizēti apsvērsim atbilstošos piemērus.

Logaritmu integrāļi

1. piemērs

Klasika. Ik pa laikam šo integrāli var atrast tabulās, taču nav vēlams izmantot gatavu atbildi, jo skolotājam pavasarī ir beriberi un viņš daudz lamās. Tā kā aplūkojamais integrālis nekādā gadījumā nav tabulas veidā - tas tiek ņemts pa daļām. Mēs nolemjam:

Mēs pārtraucam risinājumu starpposma skaidrojumiem.

Mēs izmantojam formulu integrēšanai pa daļām:

Formula tiek piemērota no kreisās puses uz labo

Mēs skatāmies uz kreiso pusi:. Acīmredzot mūsu piemērā (un visos citos, ko mēs apsvērsim) kaut kas ir jāapzīmē ar , bet kaut kas ir jāapzīmē ar .

Aplūkojamā tipa integrāļos mēs vienmēr apzīmējam logaritmu.

Tehniski risinājuma dizains tiek realizēts šādi, ailē rakstām:

Tas ir, jo mēs apzīmējām logaritmu, un - atlikušo daļu integrand.

Nākamais solis: atrodiet diferenciāli:

Diferenciālis ir gandrīz tāds pats kā atvasinājums, mēs jau apspriedām, kā to atrast iepriekšējās nodarbībās.

Tagad mēs atrodam funkciju. Lai atrastu funkciju, ir jāintegrē labā puse zemāka vienlīdzība:

Tagad atveram risinājumu un izveidojam formulas labo pusi: .
Starp citu, šeit ir gala risinājuma piemērs ar nelielām piezīmēm:

Vienīgais moments produktā, uzreiz pārkārtoju un, tā kā ir pieņemts reizinātāju rakstīt pirms logaritma.

Kā redzat, integrācijas pa daļām formulas piemērošana būtībā samazināja mūsu risinājumu līdz diviem vienkāršiem integrāļiem.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka dažos gadījumos uzreiz pēc Izmantojot formulu, vienkāršošana obligāti tiek veikta zem atlikušā integrāļa - aplūkotajā piemērā integrandu samazinājām ar "x".

Veiksim pārbaudi. Lai to izdarītu, jums ir jāņem atbildes atvasinājums:

Tiek iegūts sākotnējais integrands, kas nozīmē, ka integrālis ir atrisināts pareizi.

Pārbaudes laikā mēs izmantojām produktu diferenciācijas noteikumu: . Un tā nav nejaušība.

Integrācija pēc detaļu formulas un formula Šie ir divi savstarpēji apgriezti noteikumi.

2. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Integrands ir logaritma un polinoma reizinājums.
Mēs izlemjam.

Es vēlreiz sīki aprakstīšu noteikuma piemērošanas procedūru, turpmāk piemēri tiks izklāstīti īsāk, un, ja jums pašam rodas grūtības to atrisināt, jums jāatgriežas pie pirmajiem diviem nodarbības piemēriem. .

Kā jau minēts, ir nepieciešams norādīt logaritmu (tam, ka tas ir pakāpē, nav nozīmes). Mēs apzīmējam atlikušo daļu integrand.

Mēs rakstām kolonnā:

Vispirms atrodam diferenciāli:

Šeit mēs izmantojam diferenciācijas likumu sarežģīta funkcija . Tā nav nejaušība, ka pašā pirmajā tēmas nodarbībā Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri Es koncentrējos uz to, ka, lai apgūtu integrāļus, jums ir "jāpieņem roka" uz atvasinājumiem. Atvasinājumi būs jāsaskaras vairāk nekā vienu reizi.

Tagad mēs atrodam funkciju, lai to integrētu labā puse zemāka vienlīdzība:

Integrācijai mēs izmantojām vienkāršāko tabulas formulu

Tagad esat gatavs piemērot formulu . Mēs to atveram ar "zvaigznīti" un "izstrādājam" risinājumu saskaņā ar labo pusi:

Zem integrāļa mums atkal ir logaritma polinoms! Tāpēc risinājums atkal tiek pārtraukts un otrreiz tiek piemērots integrācijas pa daļām noteikums. Neaizmirstiet, ka līdzīgās situācijās vienmēr tiek apzīmēts logaritms.

Būtu jauki, ja šajā brīdī jūs varētu mutiski atrast vienkāršākos integrāļus un atvasinājumus.

(1) Neapmulsieties zīmēs! Ļoti bieži šeit tiek pazaudēts mīnuss, ņemiet vērā arī to, ka ir spēkā mīnuss visiem kronšteins , un šīs kronšteini ir pareizi jāatver.

(2) Izvērsiet kronšteinus. Mēs vienkāršojam pēdējo integrāli.

(3) Mēs ņemam pēdējo integrāli.

(4) Atbildes “ķemmēšana”.

Nepieciešamība divreiz (vai pat trīsreiz) piemērot integrācijas noteikumu pa daļām nav nekas neparasts.

Un tagad pāris piemēri neatkarīgs risinājums:

3. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Šis piemērs ir atrisināts, mainot mainīgo metodi (vai summējot zem diferenciālzīmes)! Un kāpēc gan ne - var mēģināt ņemt pa daļām, sanāk smieklīga lieta.

4. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Bet šis integrālis ir integrēts pa daļām (solītā daļa).

Tie ir piemēri pašrisināšanai, risinājumi un atbildes nodarbības beigās.

Šķiet, ka piemēros 3,4 integrāļi ir līdzīgi, bet risināšanas metodes atšķiras! Tieši tā ir galvenā integrāļu apgūšanas grūtība - ja integrāļa risināšanai izvēlaties nepareizu metodi, tad ar to varat knibināt stundām ilgi, tāpat kā ar īstu mīklu. Tāpēc, jo vairāk risināsi dažādus integrāļus, jo labāk, jo vieglāk būs ieskaite un eksāmens. Turklāt otrajā kursā būs diferenciālvienādojumi, un bez integrāļu un atvasinājumu risināšanas pieredzes tur nav ko darīt.

Pēc logaritmiem, iespējams, vairāk nekā pietiekami. Uzkodām varu atcerēties arī to, ka tehnoloģiju studenti sieviešu krūtis sauc par logaritmiem =). Starp citu, ir lietderīgi no galvas zināt galveno elementāro funkciju grafikus: sinusu, kosinusu, arktangensu, eksponentu, trešās, ceturtās pakāpes polinomus utt. Nē, protams, prezervatīvs uz zemeslodes
Nevilkšu, bet tagad daudz ko atcerēsies no sadaļas Grafiki un funkcijas =).

Eksponenta integrāļi, kas reizināti ar polinomu

Vispārējs noteikums:

5. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Izmantojot pazīstamo algoritmu, mēs integrējam pa daļām:

Ja jums ir kādas grūtības ar integrāli, jums vajadzētu atgriezties pie raksta Mainīgo izmaiņu metode nenoteiktā integrālā.

Vienīgais, kas jādara, ir "ķemmēt" atbildi:

Bet, ja jūsu aprēķinu tehnika nav ļoti laba, atstājiet izdevīgāko variantu kā atbildi. vai pat

Tas ir, piemērs tiek uzskatīts par atrisinātu, kad tiek ņemts pēdējais integrālis. Tā nebūs kļūda, cita lieta, ko skolotājs var lūgt, lai atbildi vienkāršotu.

6. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Šis ir “dari pats” piemērs. Šis integrālis ir integrēts divreiz pa daļām. Īpaša uzmanība jāpievērš zīmēm – tajās ir viegli apjukt, tāpat atceramies, ka – sarežģīta funkcija.

Par izstādes dalībnieku daudz vairāk nav ko teikt. Varu tikai piebilst, ka eksponents un naturālais logaritms ir savstarpēji apgrieztas funkcijas, es runāju par izklaidējošu grafiku tēmu augstākā matemātika=) Stop, stop, neuztraucies, pasniedzējs ir prātīgs.

Trigonometrisko funkciju integrāļi, kas reizināti ar polinomu

Vispārējs noteikums: vienmēr apzīmē polinomu

7. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli.

Integrēšana pa daļām:

Hmm... un nav ko komentēt.

8. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs

9. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Vēl viens piemērs ar daļskaitli. Tāpat kā divos iepriekšējos piemēros, polinoms tiek apzīmēts ar.

Integrēšana pa daļām:

Ja ir kādas grūtības vai pārpratums ar integrāļa atrašanu, tad iesaku apmeklēt nodarbību Trigonometrisko funkciju integrāļi.

10. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” piemērs.

Padoms: pirms izmantojat integrācijas pa daļām metodi, jums jāpiemēro kāda trigonometriskā formula, kas pārvērš divu reizinājumu trigonometriskās funkcijas vienā funkcijā. Formulu var izmantot arī integrācijas metodes pielietošanas gaitā pa daļām, kam tas ir ērtāk.

Tas, iespējams, ir viss šajā punktā. Nez kāpēc atcerējos rindiņu no Fizikas un matemātikas katedras himnas “Un pa abscisu asi iet sinusa grafika vilnis pēc viļņa” ....

Apgriezto trigonometrisko funkciju integrāļi.
Apgriezto trigonometrisko funkciju integrāļi, kas reizināti ar polinomu

Vispārējs noteikums: vienmēr apzīmē apgriezto trigonometrisko funkciju.

Atgādinu, ka apgrieztās trigonometriskās funkcijas ietver arkosīnu, arkosīnu, arktangensu un arkotangensu. Īsuma labad es tās saukšu par "arkām"

Kompleksie integrāļi

Šis raksts pabeidz tēmu nenoteiktie integrāļi, un tajā ir iekļauti integrāļi, kas man šķiet diezgan sarežģīti. Nodarbība tika izveidota pēc vairākkārtēja apmeklētāju lūguma, kuri izteica vēlmi, lai vietnē tiktu analizēti sarežģītāki piemēri.

Tiek pieņemts, ka šī teksta lasītājs ir labi sagatavojies un zina, kā pielietot integrācijas pamatmetodes. Manekeniem un cilvēkiem, kuri nav ļoti pārliecināti par integrāļiem, vajadzētu atsaukties uz pašu pirmo nodarbību - Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri kur var apgūt tēmu gandrīz no nulles. Pieredzējuši studenti var iepazīties ar integrācijas paņēmieniem un metodēm, kas manos rakstos vēl nav sastaptas.

Kādi integrāļi tiks ņemti vērā?

Pirmkārt, mēs aplūkojam integrāļus ar saknēm, kuru risināšanai mēs secīgi izmantojam mainīgā aizstāšana un integrācija pa daļām. Tas ir, vienā piemērā divas metodes ir apvienotas vienlaikus. Un vēl vairāk.

Tad iepazīsimies ar interesantu un oriģinālu metode integrāļa reducēšanai uz sevi. Šādā veidā tiek atrisināts ne tik maz integrāļu.

Trešais programmas numurs būs komplekso daļskaitļu integrāļi, kas iepriekšējos rakstos lidoja garām kases aparātam.

Ceturtkārt, tiks analizēti papildu integrāļi no trigonometriskajām funkcijām. Jo īpaši ir metodes, kas ļauj izvairīties no laikietilpīgas universālas trigonometriskās aizstāšanas.

(2) Integrandā mēs dalām skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.

(3) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašību. Pēdējā integrālī nekavējoties novietojiet funkciju zem diferenciāļa zīmes.

(4) Mēs ņemam atlikušos integrāļus. Ņemiet vērā, ka logaritmā varat izmantot iekavas, nevis moduli, jo .

(5) Mēs veicam apgriezto aizstāšanu, izsakot no tiešās aizstāšanas "te":

Mazohistiski studenti var atšķirt atbildi un iegūt sākotnējo integrandu, kā es tikko darīju. Nē, nē, es pārbaudīju pareizajā nozīmē =)

Kā redzams, risinājuma gaitā bija jāizmanto pat vairāk nekā divas risinājuma metodes, tāpēc, lai tiktu galā ar šādiem integrāļiem, nepieciešamas pārliecinošas integrācijas prasmes un ne mazākā pieredze.

Praksē, protams, kvadrātsakne ir izplatītāka, šeit ir trīs piemēri neatkarīgam risinājumam:

2. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

3. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

4. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šie piemēri ir viena veida, tāpēc pilnais risinājums raksta beigās būs tikai 2. piemēram, 3.-4. piemēros - viena atbilde. Kuru aizstājēju izmantot lēmumu pieņemšanas sākumā, manuprāt, ir skaidrs. Kāpēc es izvēlējos tāda paša veida piemērus? Bieži sastopams viņu lomās. Biežāk, iespējams, tikai kaut kas līdzīgs .

Bet ne vienmēr, kad lineāras funkcijas sakne atrodas zem arktangensa, sinusa, kosinusa, eksponenta un citām funkcijām, vienlaikus ir jāpiemēro vairākas metodes. Vairākos gadījumos ir iespējams “nokāpt viegli”, tas ir, uzreiz pēc nomaiņas tiek iegūts vienkāršs integrālis, kas tiek ņemts elementāri. Vienkāršākais no iepriekš piedāvātajiem uzdevumiem ir 4. piemērs, kurā pēc aizstāšanas tiek iegūts salīdzinoši vienkāršs integrālis.

Integrāļa reducēšanas metode uz sevi

Gudra un skaista metode. Apskatīsim žanra klasiku:

5. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Zem saknes ir kvadrātveida binomiāls, un, mēģinot integrēt šo piemēru, tējkanna var ciest stundām ilgi. Šādu integrāli ņem pa daļām un reducē uz sevi. Principā tas nav grūti. Ja zini kā.

Apzīmēsim aplūkoto integrāli ar latīņu burtu un sāksim risinājumu:

Integrēšana pa daļām:

(1) Mēs sagatavojam integrandu dalīšanai pa terminiem.

(2) Mēs sadalām integrandu ar terminu. Varbūt ne visi saprot, es uzrakstīšu sīkāk:

(3) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašību.

(4) Mēs ņemam pēdējo integrāli ("garo" logaritmu).

Tagad apskatīsim pašu risinājuma sākumu:

Un nobeigumam:

Kas notika? Mūsu manipulāciju rezultātā integrālis ir reducēts uz sevi!

Pielīdziniet sākumu un beigas:

Pārbraucam uz kreiso pusi ar zīmes maiņu:

Un mēs nojaucam divnieku uz labo pusi. Rezultātā:

Konstante, stingri ņemot, bija jāpievieno agrāk, bet es to pievienoju beigās. Es ļoti iesaku izlasīt šeit, kāda ir smaguma pakāpe:

Piezīme: Precīzāk, risinājuma pēdējais posms izskatās šādi:

Pa šo ceļu:

Konstanti var pārdēvēt ar . Kāpēc jūs varat pārdēvēt? Jo tas joprojām prasa jebkura vērtības, un šajā ziņā nav atšķirības starp konstantēm un.
Rezultātā:

Līdzīgs triks ar pastāvīgu pārdēvēšanu tiek plaši izmantots diferenciālvienādojumi. Un tur es būšu stingrs. Un te šādas brīvības es pieļauju tikai tāpēc, lai nesajauktu jūs ar liekām lietām un pievērstos pašai integrācijas metodei.

6. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Vēl viens tipisks neatkarīga risinājuma integrāls. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Atšķirība ar iepriekšējā piemēra atbildi būs!

Ja zem kvadrātsaknes atrodas kvadrātveida trinomāls, tad risinājums jebkurā gadījumā reducējas uz diviem analizētajiem piemēriem.

Piemēram, apsveriet integrāli . Viss, kas jums jādara, ir iepriekš atlasiet pilnu kvadrātu:
.
Tālāk tiek veikta lineāra nomaiņa, kas izdodas "bez jebkādām sekām":
, kā rezultātā veidojas integrālis . Kaut kas pazīstams, vai ne?

Vai šis piemērs ar kvadrātveida binomiālu:
Pilna kvadrāta atlase:
Un pēc lineāras aizstāšanas iegūstam integrāli , ko arī atrisina jau aplūkotais algoritms.

Apsveriet vēl divus tipiskus piemērus, kā reducēt integrāli uz sevi:
ir eksponenta integrālis, kas reizināts ar sinusu;
ir eksponenta integrālis, kas reizināts ar kosinusu.

Norādītajos integrāļos pa daļām jums būs jāintegrē jau divas reizes:

7. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Integrands ir eksponents, kas reizināts ar sinusu.

Mēs integrējam pa daļām divreiz un samazinām integrāli uz sevi:

Dubultās integrācijas pa daļām rezultātā integrālis tiek reducēts uz sevi. Pielīdziniet risinājuma sākumu un beigas:

Mēs pārejam uz kreiso pusi ar zīmes maiņu un izsakām savu integrāli:

Gatavs. Pa ceļam vēlams izķemmēt labo pusi, t.i. izņemiet eksponentu no iekavām un ievietojiet sinusu un kosinusu iekavās “skaistajā” secībā.

Tagad atgriezīsimies pie piemēra sākuma vai drīzāk pie integrācijas pa daļām:

Jo mēs esam norādījuši izstādes dalībnieku. Rodas jautājums, tieši eksponents vienmēr ir jāapzīmē ar ? Nav nepieciešams. Faktiski aplūkotajā integrālī principiāli nav nozīmes, ko apzīmēt, varētu iet arī citādi:

Kāpēc tas ir iespējams? Tā kā eksponents pārvēršas par sevi (diferencējot un integrējot), sinuss un kosinuss savstarpēji pārvēršas viens otrā (atkal gan diferencējot, gan integrējot).

Tas nozīmē, ka var apzīmēt arī trigonometrisko funkciju. Bet aplūkotajā piemērā tas ir mazāk racionāli, jo parādīsies frakcijas. Ja vēlaties, varat mēģināt atrisināt šo piemēru otrā veidā, atbildēm jābūt vienādām.

8. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” piemērs. Pirms lēmuma pieņemšanas padomājiet par to, ko šajā gadījumā ir izdevīgāk apzīmēt eksponenciālai vai trigonometriskai funkcijai? Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Un, protams, neaizmirstiet, ka lielāko daļu atbilžu šajā nodarbībā ir diezgan viegli pārbaudīt, diferencējot!

Piemēri netika uzskatīti par grūtākajiem. Praksē biežāk sastopami integrāļi, kur konstante ir gan eksponentā, gan trigonometriskās funkcijas argumentā, piemēram: . Daudziem cilvēkiem nāksies apjukt šādā integrālī, un es pats bieži apjūku. Fakts ir tāds, ka risinājumā ir liela varbūtība, ka parādīsies frakcijas, un ir ļoti viegli kaut ko zaudēt neuzmanības dēļ. Turklāt zīmēs ir liela kļūdu iespējamība, ņemiet vērā, ka eksponentā ir mīnusa zīme, un tas rada papildu grūtības.

Pēdējā posmā bieži izrādās kaut kas līdzīgs šim:

Pat risinājuma beigās jums jābūt ārkārtīgi uzmanīgam un pareizi jārīkojas ar frakcijām:

Sarežģītu frakciju integrēšana

Mēs lēnām tuvojamies nodarbības ekvatoram un sākam apsvērt daļskaitļu integrāļus. Atkal, ne visi no tiem ir ļoti sarežģīti, tikai viena vai otra iemesla dēļ piemēri citos rakstos bija nedaudz “nepatīkami”.

Turpinot sakņu tēmu

9. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Saucējā zem saknes ir kvadrātveida trinomināls plus ārpus saknes "pielikums" "X" formā. Šīs formas integrālis tiek atrisināts, izmantojot standarta aizstāšanu.

Mēs nolemjam:

Aizvietošana šeit ir vienkārša:

Skatoties uz dzīvi pēc nomaiņas:

(1) Pēc aizstāšanas mēs reducējam terminus zem saknes līdz kopsaucējam.
(2) Mēs to izņemam no saknes.
(3) Mēs samazinām skaitītāju un saucēju par . Tajā pašā laikā zem saknes es pārkārtoju terminus ērtā secībā. Ar zināmu pieredzi, darbības (1), (2) var izlaist, veicot komentētās darbības mutiski.
(4) Iegūtais integrālis, kā jūs atceraties no nodarbības Dažu frakciju integrācija, ir atrisināts pilna kvadrāta atlases metode. Atlasiet pilnu kvadrātu.
(5) Integrējot mēs iegūstam parastu "garu" logaritmu.
(6) Mēs veicam apgriezto nomaiņu. Ja sākotnēji , tad atpakaļ: .
(7) Pēdējā darbība ir vērsta uz rezultāta frizūru: zem saknes mēs atkal apvienojam terminus līdz kopsaucējam un izņemam tos no saknes.

10. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” piemērs. Šeit vienīgajam x tiek pievienota konstante, un aizstāšana ir gandrīz tāda pati:

Vienīgais, kas jādara papildus, ir izteikt "x" no aizstāšanas:

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Dažreiz šādā integrālī zem saknes var būt kvadrātveida binomiāls, tas nemaina risinājuma veidu, tas būs pat vienkāršāk. Sajūti atšķirību:

11. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

12. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Īsi risinājumi un atbildes nodarbības beigās. Jāatzīmē, ka 11. piemērs ir tieši tāds binominālais integrālis, kuras risināšanas metode tika aplūkota nodarbībā Iracionālo funkciju integrāļi.

2. pakāpes nesadalāma polinoma integrālis līdz pakāpei

(polinoms saucējā)

Retāk, bet tomēr tikšanās praktiski piemēri integrāļa veids.

13. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Bet atgriezīsimies pie piemēra ar laimīgo skaitli 13 (godīgi sakot, es neuzminēju). Šis integrālis ir arī no to kategorijas, ar kurām jūs varat ciest, ja nezināt, kā to atrisināt.

Risinājums sākas ar mākslīgu transformāciju:

Domāju, ka visi jau saprot, kā dalīt skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.

Iegūtais integrālis tiek ņemts pa daļām:

Formas integrālim ( ir naturāls skaitlis), mēs esam atvasinājuši atkārtojas pazemināšanas formula:
, kur ir zemākas pakāpes integrālis.

Pārbaudīsim šīs formulas derīgumu atrisinātajam integrālim.
Šajā gadījumā: , , mēs izmantojam formulu:

Kā redzat, atbildes ir vienādas.

14. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” piemērs. Parauga šķīdumā iepriekšminētā formula tiek izmantota divas reizes pēc kārtas.

Ja zem grāda ir nesadalāms kvadrātveida trinomu, tad risinājums tiek reducēts līdz binomam, izvelkot pilnu kvadrātu, piemēram:

Ko darīt, ja skaitītājā ir papildu polinoms? Šajā gadījumā tiek izmantota nenoteikto koeficientu metode, un integrands tiek izvērsts daļskaitļu summā. Bet manā praksē šādu piemēru nekad nav satikušies, tāpēc es izlaidu šo gadījumu rakstā Daļskaitļa-racionālas funkcijas integrāļi, es to tagad izlaidīšu. Ja šāds integrālis joprojām parādās, skatiet mācību grāmatu - tur viss ir vienkārši. Neuzskatu par lietderīgu iekļaut materiālu (pat vienkāršu), ar kuru satikšanās varbūtība tiecas uz nulli.

Sarežģītu trigonometrisko funkciju integrācija

Īpašības vārds "grūti" lielākajā daļā piemēru atkal lielā mērā ir nosacīts. Sāksim ar pieskarēm un kotangensiem lielās pakāpēs. No pieskares atrisināšanai izmantoto metožu viedokļa un kotangenss ir gandrīz vienādas, tāpēc es vairāk runāšu par tangensu, proti, demonstrētā integrāļa risināšanas metode ir derīga arī kotangensam.

Iepriekš minētajā nodarbībā mēs apskatījām universāla trigonometriskā aizstāšana noteikta veida trigonometrisko funkciju integrāļu risināšanai. Universālās trigonometriskās aizstāšanas trūkums ir tāds, ka tās izmantošana bieži rada apgrūtinošus integrāļus ar sarežģītiem aprēķiniem. Un dažos gadījumos var izvairīties no universālās trigonometriskās aizstāšanas!

Apsveriet vēl vienu kanonisku piemēru, vienotības integrāli, kas dalīts ar sinusu:

17. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šeit jūs varat izmantot universālo trigonometrisko aizstāšanu un iegūt atbildi, taču ir arī racionālāks veids. Es sniegšu pilnīgu risinājumu ar komentāriem katram solim:

(1) Mēs izmantojam trigonometrisko formulu dubultā leņķa sinusam.
(2) Veicam mākslīgo pārveidošanu: saucējā dalām un reizinam ar .
(3) Saskaņā ar labi zināmo formulu saucējā mēs daļu pārvēršam par tangensu.
(4) Mēs novietojam funkciju zem diferenciāļa zīmes.
(5) Mēs ņemam integrāli.

Daži vienkārši piemēri, ko atrisināt patstāvīgi:

18. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Padoms: pats pirmais solis ir izmantot samazināšanas formulu un rūpīgi veiciet darbības, kas līdzīgas iepriekšējam piemēram.

19. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Nu, šis ir ļoti vienkāršs piemērs.

Pilnīgi risinājumi un atbildes nodarbības beigās.

Es domāju, ka tagad nevienam nebūs problēmu ar integrāļiem:
utt.

Kāda ir metodes ideja? Ideja ir izmantot transformācijas, trigonometriskās formulas, lai sakārtotu tikai pieskares un pieskares atvasinājumu integrandā. Tas ir, mēs runājam par aizstāšanu: . 17.–19. piemēros mēs faktiski izmantojām šī nomaiņa, bet integrāļi bija tik vienkārši, ka tas tika izdarīts ar līdzvērtīgu darbību – funkciju nogādājot zem diferenciāļa zīmes.

Līdzīgu argumentāciju, kā jau minēju, var veikt kotangensam.

Iepriekš minētās aizstāšanas piemērošanai ir arī formāls priekšnoteikums:

Kosinusa un sinusa pakāpju summa ir negatīvs vesels PĀR skaitlis, piemēram:

integrālim, vesels skaitlis, negatīvs PĀR skaitlis.

! Piezīme : ja integrands satur TIKAI sinusu vai TIKAI kosinusu, tad integrālis tiek ņemts pat ar negatīvu nepāra pakāpi (vienkāršākie gadījumi ir piemēros Nr. 17, 18).

Apsveriet dažus nozīmīgākus šī noteikuma uzdevumus:

20. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Sinusa un kosinusa pakāpju summa: 2 - 6 \u003d -4 - negatīvs vesels skaitlis PĀRĀTS, kas nozīmē, ka integrāli var reducēt līdz tangensiem un tā atvasinājumam:

(1) Pārveidosim saucēju.
(2) Saskaņā ar labi zināmo formulu mēs iegūstam .
(3) Pārveidosim saucēju.
(4) Mēs izmantojam formulu .
(5) Mēs novietojam funkciju zem diferenciālzīmes.
(6) Mēs veicam nomaiņu. Pieredzējuši studenti var neveikt nomaiņu, bet tomēr labāk ir aizstāt tangensu ar vienu burtu - ir mazāks sajaukšanas risks.

21. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” piemērs.

Turies, sākas čempionāta kārtas =)

Bieži vien integrandā ir "savienojums":

22. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis integrālis sākotnēji satur tangensu, kas uzreiz liek domāt par jau pazīstamu domu:

Mākslīgo pārveidošanu atstāšu pašā sākumā un pārējos soļus bez komentāriem, jo ​​viss jau ir teikts iepriekš.

Pāris radošu piemēru neatkarīgam risinājumam:

23. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

24. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Jā, tajos, protams, var pazemināt sinusa, kosinusa pakāpes, izmantot universālo trigonometrisko aizstāšanu, taču risinājums būs daudz efektīvāks un īsāks, ja to zīmēs caur tangentēm. Pilns risinājums un atbildes nodarbības beigās

Detalizēti aplūkoti integrāļu atrisinājumu piemēri pa daļām, kuru integrands satur logaritmu, arcsinusu, arktangensu, kā arī vesela skaitļa pakāpju logaritmu un polinoma logaritmu.

Saturs

Skatīt arī: Integrācijas metode pa daļām
Nenoteiktu integrāļu tabula
Nenoteikto integrāļu aprēķināšanas metodes
Pamatelementu funkcijas un to īpašības

Integrācija pēc detaļu formulas

Tālāk, risinot piemērus, tiek izmantota integrācijas pa daļām formula:
;
.

Integrāļu piemēri, kas satur logaritmu un apgrieztās trigonometriskās funkcijas

Šeit ir piemēri integrāļiem, kas tiek integrēti pa daļām:
, , , , , , .

Integrējot to integranda daļu, kurā ir logaritms vai apgrieztās trigonometriskās funkcijas, apzīmē ar u, pārējo - ar dv.

Tālāk ir sniegti piemēri ar detalizētiem šo integrāļu risinājumiem.

Vienkāršs logaritma piemērs

Mēs aprēķinām integrāli, kas satur polinoma un logaritma reizinājumu:

Šeit integrands satur logaritmu. Aizstāšanas veikšana
u= ln x, dv = x 2 dx . Tad
,
.

Mēs integrējam pa daļām.
.

.
Tad
.
Aprēķinu beigās pievienojam konstanti C .

Piemērs logaritmam ar pakāpi 2

Apsveriet piemēru, kurā integrands ietver vesela skaitļa pakāpes logaritmu. Šādus integrāļus var integrēt arī pa daļām.

Aizstāšanas veikšana
u= (ln x) 2, dv = x dx . Tad
,
.

Atlikušo integrāli aprēķina arī pa daļām:
.
Aizstājējs
.

Piemērs, kur logaritma arguments ir polinoms

Daļēji var aprēķināt integrāļus, kuru integrāds ietver logaritmu, kura arguments ir polinoma, racionāla vai iracionāla funkcija. Piemēram, aprēķināsim integrāli ar logaritmu, kura arguments ir polinoms.
.

Aizstāšanas veikšana
u= žurnāls (x 2 - 1), dv = x dx .
Tad
,
.

Mēs aprēķinām atlikušo integrāli:
.
Mēs šeit nerakstām moduļa zīmi. ln | x 2 - 1|, jo integrands ir definēts x 2 - 1 > 0 . Aizstājējs
.

Arcsine piemērs

Apsveriet integrāļa piemēru, kura integrands ietver arcsinusu.
.

Aizstāšanas veikšana
u= arcsin x,
.
Tad
,
.

Turklāt mēs atzīmējam, ka integrands ir definēts |x|< 1 . Mēs izvēršam moduļa zīmi zem logaritma, ņemot vērā to 1 — x > 0 un 1 + x > 0.

Loka tangentes piemērs

Atrisināsim piemēru ar loka tangensu:
.

Mēs integrējam pa daļām.
.
Ņemsim daļskaitļa veselo skaitļu daļu:
x 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Mēs integrējam:
.
Beidzot mums ir.

Antiderivatīvs un integrāls

1. Antiderivatīvs. Funkciju F (x) sauc par antiatvasinājumu funkcijai f (x) intervālā X, ja jebkuram x no X vienādība F "(x) \u003d f (x)

T.7.13 (Ja F(x) ir antiatvasinājums funkcijai f(x) intervālā X, tad funkcijai f(x) ir bezgalīgi daudz antiatvasinājumu, un visiem šiem antiatvasinājumiem ir forma F (x) + С, kur С ir patvaļīga konstante (antiderivatīva galvenā īpašība).

2. Antiatvasinājumu tabula. Ņemot vērā, ka antiatvasinājuma atrašana ir diferenciācijai apgriezta darbība, un, sākot no atvasinājumu tabulas, iegūstam šādu antiatvasinājumu tabulu (vienkāršības labad tabulā ir parādīts viens antiatvasinājums F(x), nevis antiatvasinājumu F vispārējā forma. (x) + C):

	antiderivatīvs		antiderivatīvs

Antiderivatīvā un logaritmiskā funkcija

Logaritmiskā funkcija, funkcija apgriezta eksponenciālā funkcija. L. f. apzīmēts

tā vērtību y, kas atbilst argumenta x vērtībai, sauc par skaitļa x naturālo logaritmu. Pēc definīcijas relācija (1) ir līdzvērtīga

(e ir nevienādranga skaitlis). Tā kā ey > 0 jebkuram reālam y, tad L. f. ir definēts tikai x > 0. Vispārīgākā nozīmē L. f. izsaukt funkciju

antiderivatīvs pakāpes integrālais logaritms

kur a > 0 (a? 1) ir patvaļīga logaritmu bāze. Tomēr matemātiskajā analīzē InX funkcijai ir īpaša nozīme; logaX funkcija tiek reducēta uz to ar formulu:

kur M = 1/In a. L. f. - viena no galvenajām elementārajām funkcijām; tā grafiku (1. att.) sauc par logaritmiku. Galvenās īpašības L. f. izriet no atbilstošajām eksponenciālās funkcijas īpašībām un logaritmiem; piemēram, L. f. apmierina funkcionālo vienādojumu

Par - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Daudzi integrāļi ir izteikti L. f. izteiksmē; piemēram

L. f. bieži sastopams aprēķinos un tā lietojumos.

L. f. bija labi zināms 17. gadsimta matemātiķiem. Pirmo reizi attiecības starp mainīgajiem, ko izteica L. f., aplūkoja J. Napier (1614). Viņš iepazīstināja ar skaitļu un to logaritmu saistību, izmantojot divus punktus, kas pārvietojas pa paralēlām taisnēm (2. att.). Viens no tiem (Y) pārvietojas vienmērīgi, sākot no C, bet otrs (X), sākot no A, pārvietojas ar ātrumu, kas ir proporcionāls tā attālumam no B. Ja liekam SU = y, XB = x, tad saskaņā ar šī definīcija,

dx/dy = - kx, no kurienes.

L. f. kompleksajā plaknē ir daudzvērtīgu (bezgalīgu vērtību) funkcija, kas definēta visām argumenta z vērtībām? 0 apzīmē Lnz. Šīs funkcijas nepārprotama filiāle, kas definēta kā

Inz \u003d In?z? + i arg z,

kur arg z ir kompleksā skaitļa z arguments, sauc par L galveno vērtību. f. Mums ir

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

Visas L. f. vērtības. negatīviem: reālie z ir kompleksi skaitļi. Pirmā apmierinošā teorija par L. f. kompleksajā plaknē sniedza L. Eilers (1749), kurš izgāja no definīcijas