ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น:
ตัวอย่าง.
X-4 6 10
หน้า 0.2 0.3 0.5
วิธีแก้ไข: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่า X ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น:
M (X) \u003d 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 \u003d 6
ในการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ สะดวกในการคำนวณใน Excel (โดยเฉพาะเมื่อมีข้อมูลจำนวนมาก) เราขอแนะนำให้ใช้เทมเพลตสำเร็จรูป ()
ตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ(คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขได้)
ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ที่กำหนดโดยกฎหมายการกระจาย:
X 0.21 0.54 0.61
หน้า 0.1 0.5 0.4
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
คุณสมบัติ 1 การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นั้นเอง: М(С)=С
คุณสมบัติ 2 ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวัง: М(СХ)=СМ(Х)
คุณสมบัติ 3 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันนั้นเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปัจจัย: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) * ..*M(Xn)
คุณสมบัติ 4 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).
ปัญหาที่ 189 ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ X และ Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
วิธีแก้ไข: ใช้คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ (การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเทอมนั้นๆ ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหมายได้) เราจะได้ M(Z)=M (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11
190. ใช้คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ พิสูจน์ว่า: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของส่วนเบี่ยงเบน X-M(X) เป็นศูนย์
191. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ใช้ค่าที่เป็นไปได้สามค่า: x1= 4 ด้วยความน่าจะเป็น p1 = 0.5; x3 = 6 ด้วยความน่าจะเป็น P2 = 0.3 และ x3 ที่มีความน่าจะเป็น p3 ค้นหา: x3 และ p3 โดยรู้ว่า M(X)=8
192. รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ได้รับ: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณนี้และกำลังสองเป็นที่รู้จักกัน: M (X ) \u003d 0.1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. ค้นหาความน่าจะเป็น p1, p2, p3 ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ xi
194. ชุดละ 10 ชิ้นประกอบด้วยชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานสามชิ้น สองรายการถูกสุ่มเลือก ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานจากสองส่วนที่เลือก
196. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X-number ของการโยนลูกเต๋าห้าลูกดังกล่าว โดยแต่ละจุดจะปรากฏบนลูกเต๋าสองลูก ถ้าจำนวนการโยนทั้งหมดคือยี่สิบ
มูลค่าที่คาดหวัง การกระจายทวินามเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง:
2. พื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น
มูลค่าที่คาดหวัง
พิจารณาตัวแปรสุ่มที่มีค่าตัวเลข มักจะเป็นประโยชน์ในการเชื่อมโยงตัวเลขกับฟังก์ชันนี้ - "ค่าเฉลี่ย" หรืออย่างที่พวกเขาพูดว่า "ค่าเฉลี่ย", "ตัวบ่งชี้แนวโน้มศูนย์กลาง" ด้วยเหตุผลหลายประการ ซึ่งบางส่วนจะมีความชัดเจนในสิ่งต่อไปนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้ค่าเฉลี่ยเป็นค่าเฉลี่ย
คำจำกัดความ 3การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Xเรียกเลขหมาย
เหล่านั้น. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าตัวแปรสุ่มที่มีน้ำหนักเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์พื้นฐานที่สอดคล้องกัน
ตัวอย่างที่ 6มาคำนวณความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขที่ตกบนหน้าลูกเต๋ากัน เป็นไปตามนิยาม 3 โดยตรงว่า
คำชี้แจง 2ให้ตัวแปรสุ่ม Xรับค่า x 1, x 2, ..., xม. แล้วความเท่าเทียมกัน
(5)
เหล่านั้น. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าของตัวแปรสุ่มที่มีน้ำหนักเท่ากับความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มใช้ค่าบางค่า
ตรงกันข้ามกับ (4) ที่การบวกถูกดำเนินการโดยตรงเหนือเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา เหตุการณ์สุ่มอาจประกอบด้วยเหตุการณ์ระดับประถมศึกษาหลายเหตุการณ์
บางครั้งความสัมพันธ์ (5) ถูกใช้เป็นคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การใช้คำจำกัดความที่ 3 ดังที่แสดงด้านล่าง จะง่ายกว่าในการสร้างคุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นในการสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์จริงมากกว่าการใช้ความสัมพันธ์ (5)
เพื่อพิสูจน์ความสัมพันธ์ (5) เราจัดกลุ่มใน (4) เงื่อนไขกับ มีค่าเท่ากันตัวแปรสุ่ม :
เนื่องจากตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของผลรวมได้ดังนั้น
โดยนิยามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ด้วยความช่วยเหลือของสองความสัมพันธ์สุดท้าย เราได้รับสิ่งที่ต้องการ:
แนวคิดของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีความน่าจะเป็น-สถิติสอดคล้องกับแนวคิดของจุดศูนย์ถ่วงในกลศาสตร์ มาลงจุดกันเถอะ x 1, x 2, ..., xมบนแกนตัวเลขของมวล พี(X= x 1 ), พี(X= x 2 ),…, พี(X= x ม) ตามลำดับ จากนั้นความเท่าเทียมกัน (5) แสดงว่าจุดศูนย์ถ่วงของระบบนี้ จุดวัสดุตรงกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ซึ่งแสดงถึงความเป็นธรรมชาติของนิยามที่ 3
คำชี้แจง 3อนุญาต X- ค่าสุ่ม เอ็ม(เอ็กซ์)คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ- ตัวเลขบางส่วน แล้ว
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3เอ็ม[(X- เอ) 2 ]= เอ็ม[(X- เอ็ม(X)) 2 ]+(เอ- เอ็ม(X)) 2 .
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ก่อนอื่นเราพิจารณาตัวแปรสุ่มที่มีค่าคงที่ กล่าวคือ ฟังก์ชันจะจับคู่พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นเป็นจุดเดียว เอ. เนื่องจากตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของผลรวมได้ดังนั้น
หากแต่ละเทอมของผลรวมถูกแบ่งออกเป็นสองเทอม ผลรวมทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นสองผลรวมด้วย โดยที่เทอมแรกประกอบด้วยเทอมแรกและเทอมที่สอง ดังนั้น การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว X+Yกำหนดไว้ในพื้นที่เดียวกันของเหตุการณ์เบื้องต้น เท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็ม(เอ็กซ์)และ เอ็ม(ยู)ตัวแปรสุ่มเหล่านี้:
M(X+Y) = M(X) + M(Y)
และดังนั้นจึง เอ็ม(X-M(X)) = M(X) - M(M(X))ดังที่แสดงไว้ข้างต้น เอ็ม(เอ็ม(X)) = เอ็ม(X).เพราะเหตุนี้, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
เพราะว่า (X - ก) 2 = ((X – เอ็ม(X)) + (เอ็ม(X) - เอ)} 2 = (X - เอ็ม(X)) 2 + 2(X - เอ็ม(X))(เอ็ม(X) - เอ) + (เอ็ม(X) – เอ) 2 , แล้ว เอ็ม[(X - a) 2] =เอ็ม(X - เอ็ม(X)) 2 + เอ็ม{2(X - เอ็ม(X))(เอ็ม(X) - เอ)} + เอ็ม[(เอ็ม(X) – เอ) 2 ]. ลองลดความเท่าเทียมกันสุดท้ายกัน ดังที่แสดงไว้ตอนต้นของการพิสูจน์ข้อเสนอ 3 ความคาดหวังของค่าคงที่คือค่าคงที่นั้นเอง ดังนั้น เอ็ม[(เอ็ม(X) – เอ) 2 ] = (เอ็ม(X) – เอ) 2 . เนื่องจากตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของผลรวมได้ดังนั้น เอ็ม{2(X - เอ็ม(X))(เอ็ม(X) - เอ)} = 2(เอ็ม(X) - เอ)เอ็ม(X - เอ็ม(X)). ทางขวามือของค่าความเสมอภาคสุดท้ายคือ 0 เพราะดังที่แสดงไว้ข้างต้น M(X-M(X))=0.เพราะเหตุนี้, เอ็ม[(X- เอ) 2 ]= เอ็ม[(X- เอ็ม(X)) 2 ]+(เอ- เอ็ม(X)) 2 ซึ่งต้องพิสูจน์
จากที่เล่ามานั้น เอ็ม[(X- เอ) 2 ] ถึงขั้นต่ำ เอเท่ากับ เอ็ม[(X- เอ็ม(X)) 2 ], ที่ ก = M(X),เนื่องจากเทอมที่สองในความเท่าเทียมกัน 3) ไม่เป็นลบเสมอและเท่ากับ 0 สำหรับค่าที่ระบุเท่านั้น เอ.
คำชี้แจง 4ให้ตัวแปรสุ่ม Xรับค่า x 1, x 2, ..., xมและ f คือฟังก์ชันบางอย่างของอาร์กิวเมนต์ที่เป็นตัวเลข แล้ว
เพื่อพิสูจน์ ให้จัดกลุ่มทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (4) ซึ่งกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เงื่อนไขที่มีค่าเดียวกัน:
โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของผลรวม และโดยการพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม (2) เราได้รับ
คิวอีดี
คำชี้แจง 5.อนุญาต Xและ ที่เป็นตัวแปรสุ่มที่กำหนดไว้ในพื้นที่เดียวกันของเหตุการณ์เบื้องต้น เอและ ข- ตัวเลขบางส่วน แล้ว เอ็ม(ขวาน+ โดย)= เป็น(X)+ bM(Y).
โดยใช้คำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และคุณสมบัติของสัญลักษณ์ผลรวม เราได้รับห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน:
ความต้องการได้รับการพิสูจน์แล้ว
ด้านบนแสดงให้เห็นว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนผ่านไปยังแหล่งกำเนิดอื่นและไปยังหน่วยการวัดอื่นอย่างไร (transition Y=ขวาน+ข) เช่นเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกนำไปใช้อย่างต่อเนื่องในการวิเคราะห์ทางเทคนิคและเศรษฐกิจ ในการประเมินกิจกรรมทางการเงินและเศรษฐกิจขององค์กร ในการเปลี่ยนจากสกุลเงินหนึ่งไปเป็นอีกสกุลเงินหนึ่งในการชำระบัญชีทางเศรษฐกิจต่างประเทศ ในเอกสารด้านกฎระเบียบและทางเทคนิค ฯลฯ ผลการพิจารณาอนุญาตให้ใช้ สูตรการคำนวณเดียวกันสำหรับขนาดและกะพารามิเตอร์ต่างๆ
| ก่อนหน้า |
คุณลักษณะที่สมบูรณ์ที่สุดของตัวแปรสุ่มคือกฎการแจกแจง อย่างไรก็ตาม ไม่เป็นที่รู้จักเสมอไป และในกรณีเหล่านี้ เราต้องเนื้อหาที่มีข้อมูลน้อยลง ข้อมูลดังกล่าวอาจรวมถึง: ช่วงของการแปรผันของตัวแปรสุ่ม ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของตัวแปรนั้น ลักษณะอื่นๆ ที่อธิบายตัวแปรสุ่มในลักษณะสรุปบางอย่าง ปริมาณเหล่านี้เรียกว่า ลักษณะเชิงตัวเลขตัวแปรสุ่ม. มักจะเป็นบางส่วน ไม่สุ่มตัวเลขที่แสดงลักษณะตัวแปรสุ่ม วัตถุประสงค์หลักของลักษณะเชิงตัวเลขคือการแสดงคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของการแจกแจงเฉพาะในรูปแบบที่กระชับ
ลักษณะตัวเลขที่ง่ายที่สุดของตัวแปรสุ่ม Xเรียกเธอว่า มูลค่าที่คาดหวัง:
M (X) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n. (1.3.1)
ที่นี่ x 1, x2, …, x นเป็นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X, แ หน้า 1, หน้า 2, …, พีนคือความน่าจะเป็นของพวกเขา
ตัวอย่าง 1หาค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มถ้ารู้กฎการแจกแจง:
วิธีการแก้. M(X)=2×0.3+3×0.1+5×0.6=3.9.
ตัวอย่าง 2. หาค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของจำนวนครั้งของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่ในการทดลองหนึ่งครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ R.
วิธีการแก้. ถ้า X– จำนวนครั้งของเหตุการณ์ แต่ในการพิจารณาคดีหนึ่งแล้วเห็นได้ชัดว่ากฎหมายการจำหน่าย Xดูเหมือน:
แล้ว М(Х)=0×(1–р)+1×р=р.
ดังนั้น: การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง เท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความหมายความน่าจะเป็นของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์
ให้ผลิต นการทดสอบที่ตัวแปรสุ่ม Xได้รับการยอมรับ ม.1คูณค่า x 1, m2คูณค่า x2, …, m kคูณค่า x k. แล้วผลรวมของค่าทั้งหมดใน นการทดสอบมีค่าเท่ากับ:
x 1 ม. 1 +x 2 ม. 2 +…+x k m k.
มาหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าทั้งหมดที่ได้จากตัวแปรสุ่ม:
ค่า - ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดขึ้นของค่า x ผม (ผม=1, …, k). ถ้า นใหญ่พอ (n®¥)จากนั้นความถี่เหล่านี้จะเท่ากับความน่าจะเป็นโดยประมาณ: . แต่แล้ว
=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x k p k =M(X).
ดังนั้นการคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเท่ากันโดยประมาณ (ยิ่งแม่นยำ ยิ่งมีจำนวนการทดลองมากขึ้น) กับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่ม นี่คือความหมายความน่าจะเป็นของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์
คุณสมบัติความคาดหวัง
1. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นั้นเอง
M(S)=S×1=S.
2. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวังได้
M(CX)=S×M(X).
การพิสูจน์. ให้กฎหมายการจัดจำหน่าย Xกำหนดโดยตาราง:
จากนั้นตัวแปรสุ่ม SHรับค่า Dx 1, CX 2, …, Сх n ที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน, เช่น. กฎหมายการจัดจำหน่าย SHดูเหมือน:
М(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =
\u003d C (x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n) \u003d CM (X)
3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน:
M(XY)=ม(X)×M(Y).
การยืนยันนี้ให้โดยไม่มีการพิสูจน์ (การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของความคาดหวัง)
ผลที่ตามมา. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลคูณของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันหลายตัวนั้นเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน
โดยเฉพาะสำหรับตัวแปรสุ่มอิสระสามตัว
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
ตัวอย่าง. หาความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลคูณของจำนวนแต้มที่อาจตกเมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก
วิธีการแก้. อนุญาต Х ฉัน- จำนวนคะแนน ผมกระดูก อาจเป็นตัวเลข 1 , 2 , …, 6 ด้วยความน่าจะเป็น แล้ว
М(Х ผม)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
อนุญาต X \u003d X 1 × X 2. แล้ว
M (X) \u003d M (X 1) × M (X 2) \u003d \u003d 12.25.
4. การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว (อิสระหรือตามอิสระ) เท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข:
ม(X+Y)=ม(X)+ม(Y).
คุณสมบัตินี้มีลักษณะทั่วไปในกรณีของจำนวนเงื่อนไขโดยพลการ
ตัวอย่าง. ยิง 3 นัด มีโอกาสยิงโดนเป้าหมายเท่ากับ หน้า 1 \u003d 0.4, หน้า 2 \u003d 0.3และ หน้า 3 \u003d 0.6. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวน Hit ทั้งหมด
วิธีการแก้. อนุญาต Х ฉัน- จำนวนครั้ง ผม- ช็อตที่ แล้ว
М(Х ผม)=1×p ผม +0×(1–p ผม)=p ผม.
ทางนี้,
M(X 1 + X 2 + X 3) \u003d \u003d 0.4 + 0.3 + 0.6 \u003d 1.3.
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์คือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ คำจำกัดความ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง การคาดคะเนแบบมีเงื่อนไข การคำนวณ คุณสมบัติ งาน การประมาณค่าความคาดหวัง ความแปรปรวน ฟังก์ชันการกระจาย สูตร ตัวอย่างการคำนวณ
ขยายเนื้อหา
ยุบเนื้อหา
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ คำจำกัดความ
แนวคิดที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งในสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็น โดยกำหนดลักษณะการกระจายของค่าหรือความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม มักจะแสดงเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ทางเทคนิค การศึกษาอนุกรมจำนวน การศึกษากระบวนการต่อเนื่องและระยะยาว มันเป็นสิ่งสำคัญในการประเมินความเสี่ยง การทำนายตัวบ่งชี้ราคาเมื่อทำการซื้อขายในตลาดการเงิน และใช้ในการพัฒนากลยุทธ์และวิธีการของกลยุทธ์เกมในทฤษฎีการพนัน
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มถือเป็นทฤษฎีความน่าจะเป็น
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือการวัดค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม xหมายถึง เอ็ม(x).
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือในทฤษฎีความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มนี้สามารถรับได้
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มตามความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือผลประโยชน์เฉลี่ยจากการตัดสินใจโดยเฉพาะ โดยที่การตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ในกรอบของทฤษฎีจำนวนมากและระยะทางไกล
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือในทฤษฎีการพนัน จำนวนเงินชนะที่ผู้เล่นสามารถรับหรือแพ้โดยเฉลี่ยสำหรับการเดิมพันแต่ละครั้ง ในภาษาของนักพนัน บางครั้งเรียกว่า "ขอบเกม" (หากเป็นบวกสำหรับผู้เล่น) หรือ "ขอบบ้าน" (หากเป็นลบสำหรับผู้เล่น)
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือเปอร์เซ็นต์ของกำไรต่อการชนะคูณด้วยกำไรเฉลี่ยลบความน่าจะเป็นที่จะขาดทุนคูณด้วยการสูญเสียเฉลี่ย
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์
ลักษณะเชิงตัวเลขที่สำคัญอย่างหนึ่งของตัวแปรสุ่มคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ให้เราแนะนำแนวคิดของระบบตัวแปรสุ่ม พิจารณาชุดของตัวแปรสุ่มที่เป็นผลลัพธ์ของการทดลองสุ่มชุดเดียวกัน หากเป็นหนึ่งในค่าที่เป็นไปได้ของระบบ เหตุการณ์จะสอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของ Kolmogorov ฟังก์ชันที่กำหนดไว้สำหรับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มเรียกว่ากฎการกระจายร่วม ฟังก์ชันนี้ช่วยให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎร่วมของการแจกแจงตัวแปรสุ่มและซึ่งรับค่าจากเซตและกำหนดโดยความน่าจะเป็น
คำว่า "ความคาดหวัง" ถูกนำมาใช้โดย Pierre Simon Marquis de Laplace (พ.ศ. 2338) และมีต้นกำเนิดมาจากแนวคิดของ "มูลค่าที่คาดหวังของผลตอบแทน" ซึ่งปรากฏครั้งแรกในศตวรรษที่ 17 ในทฤษฎีการพนันในผลงานของ Blaise Pascal และ Christian Huygens . อย่างไรก็ตาม Pafnuty Lvovich Chebyshev (กลางศตวรรษที่ 19) ได้ให้ความเข้าใจเชิงทฤษฎีและการประเมินแนวคิดนี้อย่างสมบูรณ์เป็นครั้งแรก
กฎการแจกแจงของตัวแปรตัวเลขสุ่ม (ฟังก์ชันการแจกแจงและอนุกรมการแจกแจงหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) อธิบายพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มอย่างครบถ้วน แต่ในปัญหาจำนวนหนึ่ง ก็เพียงพอที่จะทราบลักษณะเชิงตัวเลขของปริมาณที่ศึกษา (เช่น ค่าเฉลี่ยและ ค่าเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้จากเขา) เพื่อตอบคำถาม ลักษณะเชิงตัวเลขหลักของตัวแปรสุ่มคือความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน โหมดและค่ามัธยฐาน
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน บางครั้งการคาดหมายทางคณิตศาสตร์เรียกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก เนื่องจากมีค่าประมาณเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มในการทดลองจำนวนมาก จากคำจำกัดความของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ค่าของมันไม่น้อยกว่าค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและไม่เกินค่าที่มากที่สุด ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือตัวแปรที่ไม่สุ่ม (ค่าคงที่)
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์มีความหมายทางกายภาพอย่างง่าย คือ ถ้าวางมวลหน่วยเป็นเส้นตรง ให้วางมวลไว้ที่จุดใดจุดหนึ่ง (สำหรับ การกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง) หรือ "ละเลง" ด้วยความหนาแน่นที่แน่นอน (สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องแน่นอน) จากนั้นจุดที่สอดคล้องกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเป็นพิกัดของ "จุดศูนย์ถ่วง" ของเส้นตรง
ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มคือจำนวนหนึ่ง ซึ่งก็คือ "ตัวแทน" ของตัวแปรดังกล่าว และแทนที่ด้วยการคำนวณโดยประมาณคร่าวๆ เมื่อเราพูดว่า: "เวลาทำงานโดยเฉลี่ยของหลอดไฟคือ 100 ชั่วโมง" หรือ "จุดกระทบโดยเฉลี่ยจะเลื่อนสัมพันธ์กับเป้าหมายไปทางขวา 2 เมตร" เราระบุลักษณะตัวเลขบางอย่างของตัวแปรสุ่มที่อธิบายสิ่งนี้ ตำแหน่งบนแกนตัวเลข กล่าวคือ คำอธิบายตำแหน่ง
ลักษณะของตำแหน่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น บทบาทที่สำคัญที่สุดคือการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม
พิจารณาตัวแปรสุ่ม Xซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้ x1, x2, …, xnด้วยความน่าจะเป็น p1, p2, …, pn. เราจำเป็นต้องระบุตำแหน่งของค่าตัวแปรสุ่มบนแกน x ด้วยจำนวนหนึ่ง โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าค่าเหล่านี้มีความน่าจะเป็นต่างกัน เพื่อจุดประสงค์นี้ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สิ่งที่เรียกว่า "ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก" ของค่าต่างๆ xiและแต่ละค่า xi ในระหว่างการหาค่าเฉลี่ยควรนำมาพิจารณาด้วย "น้ำหนัก" ตามสัดส่วนกับความน่าจะเป็นของค่านี้ ดังนั้น เราจะคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม Xซึ่งเราจะแสดงว่า M|X|:
ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักนี้เรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นเราจึงแนะนำแนวคิดที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็น - แนวคิดของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้
Xเนื่องจากการพึ่งพาอาศัยกันที่แปลกประหลาดกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มที่มีการทดลองจำนวนมาก การพึ่งพาอาศัยกันนี้เป็นประเภทเดียวกับการพึ่งพาอาศัยกันระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น กล่าวคือ ด้วยการทดลองจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของวิธีการตัวแปรสุ่ม (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน จากการมีอยู่ของความสัมพันธ์ระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น เราสามารถอนุมานได้ว่าเป็นผลจากการมีอยู่ของความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ อันที่จริง พิจารณาตัวแปรสุ่ม Xโดดเด่นด้วยชุดของการแจกแจง:
ปล่อยให้มันผลิต นู๋การทดลองอิสระ โดยแต่ละครั้งมีค่า Xใช้ค่าบางอย่าง สมมติค่า x1ปรากฏขึ้น m1ครั้ง ค่า x2ปรากฏขึ้น m2ครั้งความหมายทั่วไป xiปรากฏขึ้นครั้งไมล์ ให้เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของ X ซึ่งตรงกันข้ามกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ M|X|เราจะแสดงว่า ม*|X|:
ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น นู๋ความถี่ ปี่จะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่ม M|X|ด้วยการเพิ่มจำนวนของการทดลอง มันจะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน ความเชื่อมโยงระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ตามสูตรข้างต้นถือเป็นเนื้อหาในรูปแบบหนึ่งของกฎจำนวนมาก
เรารู้แล้วว่ากฎจำนวนมากในทุกรูปแบบระบุถึงข้อเท็จจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยบางค่าคงที่ในการทดลองจำนวนมาก ในที่นี้เรากำลังพูดถึงความเสถียรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากการสังเกตชุดค่าเดียวกัน ด้วยการทดลองเพียงเล็กน้อย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์จะเป็นแบบสุ่ม ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้นอย่างเพียงพอ มันจึงกลายเป็น "เกือบจะไม่สุ่ม" และทำให้เสถียรเข้าใกล้ค่าคงที่ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
คุณสมบัติของความเสถียรของค่าเฉลี่ยสำหรับการทดสอบจำนวนมากนั้นง่ายต่อการตรวจสอบในการทดลอง ตัวอย่างเช่น การชั่งน้ำหนักร่างกายในห้องปฏิบัติการโดย เครื่องชั่งที่แม่นยำจากการชั่งน้ำหนักเราได้รับค่าใหม่ทุกครั้ง เพื่อลดข้อผิดพลาดในการสังเกต เราชั่งน้ำหนักร่างกายหลายครั้งและใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่ได้รับ สังเกตได้ง่ายว่าด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น (การชั่งน้ำหนัก) เพิ่มขึ้นอีก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะตอบสนองต่อการเพิ่มขึ้นนี้น้อยลงเรื่อยๆ และด้วยการทดลองจำนวนมากพอสมควรแล้ว ในทางปฏิบัติก็แทบจะไม่เปลี่ยนแปลงเลย
ควรสังเกตว่าไม่มีคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่งของตัวแปรสุ่ม - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ไม่มีอยู่ในตัวแปรสุ่มทั้งหมด เป็นไปได้ที่จะสร้างตัวอย่างของตัวแปรสุ่มดังกล่าวซึ่งไม่มีการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากผลรวมหรืออินทิกรัลต่างกัน อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ กรณีดังกล่าวไม่ได้รับความสนใจอย่างมีนัยสำคัญ โดยปกติ ตัวแปรสุ่มที่เรากำลังเผชิญอยู่จะมีช่วงค่าที่เป็นไปได้ที่จำกัด และแน่นอน มีความคาดหวัง
นอกเหนือจากลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่งของตัวแปรสุ่ม - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ บางครั้งลักษณะตำแหน่งอื่นๆ ก็ถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติ โดยเฉพาะโหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม
โหมดของตัวแปรสุ่มคือค่าที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด คำว่า "ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด" พูดอย่างเคร่งครัด ใช้เฉพาะกับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่อง สำหรับปริมาณต่อเนื่อง โหมดคือค่าที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสูงสุด ตัวเลขแสดงโหมดสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องตามลำดับ
หากรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (เส้นโค้งการกระจาย) มีค่าสูงสุดมากกว่าหนึ่งค่า การแจกแจงจะเรียกว่า "polymodal"
บางครั้งมีการแจกแจงที่อยู่ตรงกลางไม่ใช่ค่าสูงสุด แต่เป็นค่าต่ำสุด การแจกแจงดังกล่าวเรียกว่า "ปฏิกิริยา"
ในกรณีทั่วไป โหมดและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มจะไม่ตรงกัน ในกรณีพิเศษ เมื่อการกระจายแบบสมมาตรและเป็นกิริยาช่วย (เช่น มีโหมด) และมีการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ มันจะเกิดขึ้นพร้อมกับโหมดและจุดศูนย์กลางสมมาตรของการกระจาย
มักใช้คุณลักษณะอื่นของตำแหน่ง - ค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่มที่เรียกว่า คุณลักษณะนี้มักจะใช้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเท่านั้น แม้ว่าจะสามารถกำหนดอย่างเป็นทางการสำหรับตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องได้เช่นกัน ในทางเรขาคณิต ค่ามัธยฐานคือ abscissa ของจุดที่พื้นที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งการกระจายถูกแบ่งครึ่ง
ในกรณีของการกระจายแบบโมดอลแบบสมมาตร ค่ามัธยฐานจะตรงกับค่าเฉลี่ยและโหมด
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ซึ่งเป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไปแล้ว การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์(ญ)ถูกกำหนดให้เป็นอินทิกรัล Lebesgue เทียบกับการวัดความน่าจะเป็น Rในพื้นที่ความน่าจะเป็นเดิม:
การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ยังสามารถคำนวณได้เป็นอินทิกรัล Lebesgue ของ Xโดยการกระจายความน่าจะเป็น pxปริมาณ X:
ในทางธรรมชาติ เราสามารถกำหนดแนวคิดของตัวแปรสุ่มด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างทั่วไปคือเวลากลับในบางส่วน สุ่มเดิน.
ด้วยความช่วยเหลือของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ลักษณะเชิงตัวเลขและเชิงฟังก์ชันจำนวนมากของการแจกแจงจะถูกกำหนด (ตามการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันที่สอดคล้องกันของตัวแปรสุ่ม) ตัวอย่างเช่น การสร้างฟังก์ชัน ฟังก์ชันคุณลักษณะ โมเมนต์ของลำดับใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกระจายตัว , ความแปรปรวนร่วม
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นลักษณะของตำแหน่งของค่าของตัวแปรสุ่ม (ค่าเฉลี่ยของการแจกแจง) ในความสามารถนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์การกระจาย "ทั่วไป" และบทบาทของมันก็คล้ายกับบทบาทของโมเมนต์คงที่ - พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของการกระจายมวล - ในกลศาสตร์ จากลักษณะเฉพาะของตำแหน่งอื่น ๆ ด้วยความช่วยเหลือซึ่งอธิบายการแจกแจงในเงื่อนไขทั่วไป - ค่ามัธยฐาน, โหมด, ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แตกต่างกันในค่าที่มากกว่าที่มันและลักษณะการกระจายที่สอดคล้องกัน - การกระจาย - มีในทฤษฎีบทจำกัดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ด้วยความสมบูรณ์สูงสุด ความหมายของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์จึงถูกเปิดเผยโดยกฎของตัวเลขจำนวนมาก (ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev) และกฎที่เสริมความแข็งแกร่งของตัวเลขจำนวนมาก
การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ให้มีตัวแปรสุ่มบางตัวที่สามารถรับค่าตัวเลขได้หลายค่า (เช่น จำนวนจุดในม้วนแม่พิมพ์สามารถเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6) บ่อยครั้งในทางปฏิบัติสำหรับค่าดังกล่าว คำถามเกิดขึ้น: "โดยเฉลี่ย" ใช้ค่าอะไรกับการทดสอบจำนวนมาก ผลตอบแทน (หรือขาดทุน) โดยเฉลี่ยของเราจากธุรกรรมที่มีความเสี่ยงแต่ละครั้งจะเป็นอย่างไร
สมมุติว่ามีลอตเตอรีบางชนิด เราต้องการทำความเข้าใจว่าการเข้าร่วมนั้นมีประโยชน์หรือไม่ (หรือแม้แต่เข้าร่วมซ้ำๆ เป็นประจำ) สมมติว่าทุก ๆ ตั๋วที่สี่ชนะ รางวัลจะเป็น 300 รูเบิล และราคาของตั๋วใด ๆ จะเท่ากับ 100 รูเบิล ด้วยจำนวนผู้เข้าร่วมที่ไม่สิ้นสุด นี่คือสิ่งที่จะเกิดขึ้น ในสามในสี่ของคดี เราจะแพ้ ทุกๆ การสูญเสียสามครั้งจะมีราคา 300 รูเบิล ในทุก ๆ กรณีที่สี่ เราจะชนะ 200 rubles (รางวัลลบด้วยค่าใช้จ่าย) นั่นคือสำหรับการมีส่วนร่วมสี่ครั้งเราเสียค่าเฉลี่ย 100 รูเบิลสำหรับหนึ่ง - เฉลี่ย 25 รูเบิล โดยรวมแล้วอัตราการทำลายเฉลี่ยของเราจะอยู่ที่ 25 รูเบิลต่อตั๋ว
เราโยนลูกเต๋า ถ้ามันไม่โกง (โดยไม่เปลี่ยนจุดศูนย์ถ่วง ฯลฯ) แล้วเราจะมีคะแนนเฉลี่ยครั้งละกี่คะแนน? เนื่องจากแต่ละตัวเลือกมีโอกาสเท่ากัน เราจึงนำค่าเฉลี่ยเลขคณิตโง่ๆ มาคำนวณเป็น 3.5 เนื่องจากนี่คือ AVERAGE ไม่จำเป็นต้องโกรธที่ไม่มีการโยนใด ๆ ที่จะให้ 3.5 แต้ม - ลูกบาศก์นี้ไม่มีใบหน้าที่มีตัวเลขดังกล่าว!
ตอนนี้ขอสรุปตัวอย่างของเรา:
มาดูภาพด้านบนกันเลยครับ ทางด้านซ้ายเป็นตารางการกระจายของตัวแปรสุ่ม ค่าของ X สามารถรับค่าใดค่าหนึ่งจาก n ค่าที่เป็นไปได้ (ระบุในแถวบนสุด) ไม่สามารถมีค่าอื่นได้ ภายใต้แต่ละค่าที่เป็นไปได้ ความน่าจะเป็นของมันถูกเซ็นชื่อด้านล่าง ทางด้านขวาคือสูตร โดยที่ M(X) เรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ความหมายของค่านี้คือด้วยการทดลองจำนวนมาก (ด้วยตัวอย่างจำนวนมาก) ค่าเฉลี่ยมักจะเป็นไปตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างมาก
ลองกลับไปที่การเล่นคิวบ์เดียวกัน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนแต้มในการโยนคือ 3.5 (คำนวณตัวเองโดยใช้สูตรหากคุณไม่เชื่อ) สมมุติว่าคุณโยนมันสองครั้ง 4 และ 6 หลุดออกมา โดยเฉลี่ยแล้วกลายเป็น 5 นั่นคือไกลจาก 3.5 พวกเขาโยนมันอีกครั้ง 3 หลุดออกมานั่นคือโดยเฉลี่ย (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... อยู่ไกลจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ตอนนี้ทำการทดลองที่บ้าๆบอ ๆ - หมุนลูกบาศก์ 1,000 ครั้ง! และถ้าค่าเฉลี่ยไม่เท่ากับ 3.5 มันก็ใกล้เคียงกัน
มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับลอตเตอรีที่อธิบายไว้ข้างต้น ตารางจะมีลักษณะดังนี้:
จากนั้นการคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเป็นดังที่เราได้กำหนดไว้ข้างต้น:
อีกอย่างคือมัน "ติดนิ้ว" ด้วย ถ้าไม่มีสูตรคงยากถ้ามีตัวเลือกมากกว่านี้ สมมติว่ามีตั๋วแพ้ 75% ตั๋วที่ชนะ 20% และตั๋วที่ชนะ 5%
ตอนนี้คุณสมบัติบางอย่างของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์
พิสูจน์ได้ง่ายๆ ดังนี้
ตัวคูณคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวัง นั่นคือ:
นี่เป็นกรณีพิเศษของคุณสมบัติเชิงเส้นตรงของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์
ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของความเป็นเส้นตรงของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
กล่าวคือ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม
ให้ X, Y เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ, แล้ว:
นอกจากนี้ยังง่ายต่อการพิสูจน์) XYตัวมันเองเป็นตัวแปรสุ่มในขณะที่ถ้าค่าเริ่มต้นสามารถรับได้ นและ มค่าตามลำดับแล้ว XYสามารถรับค่า nm ได้ ความน่าจะเป็นของแต่ละค่าคำนวณจากข้อเท็จจริงที่ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระนั้นคูณกัน เป็นผลให้เราได้รับสิ่งนี้:
การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง
ตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่องมีลักษณะเช่นความหนาแน่นของการกระจาย (ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) อันที่จริงแล้ว มันอธิบายลักษณะของสถานการณ์ที่ตัวแปรสุ่มใช้ค่าบางค่าจากเซตของจำนวนจริงบ่อยขึ้น บางค่า - น้อยกว่า ตัวอย่างเช่น พิจารณาแผนภูมินี้:
ที่นี่ X- อันที่จริงเป็นตัวแปรสุ่ม เอฟ(x)- ความหนาแน่นของการกระจาย พิจารณาจากกราฟนี้ ระหว่างการทดลอง ค่า Xมักจะเป็นตัวเลขที่ใกล้ศูนย์ โอกาสที่จะเกิน 3 หรือน้อยกว่านั้น -3 ค่อนข้างเชิงทฤษฎี
ตัวอย่างเช่น มีการกระจายแบบสม่ำเสมอ:
ซึ่งค่อนข้างสอดคล้องกับความเข้าใจโดยสัญชาตญาณ สมมุติว่าเราได้จำนวนจริงสุ่มจำนวนมากพร้อมการกระจายแบบสม่ำเสมอ แต่ละเซ็กเมนต์ |0; 1| แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตควรอยู่ที่ประมาณ 0.5
คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ - ความเป็นเส้นตรง ฯลฯ ที่ใช้กับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องก็สามารถนำมาใช้ที่นี่ได้เช่นกัน
ความสัมพันธ์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กับตัวชี้วัดทางสถิติอื่นๆ
ในการวิเคราะห์ทางสถิติ ร่วมกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ มีระบบตัวบ่งชี้ที่พึ่งพาอาศัยกันซึ่งสะท้อนถึงความสม่ำเสมอของปรากฏการณ์และความเสถียรของกระบวนการ บ่อยครั้ง ตัวบ่งชี้ความผันแปรไม่มีความหมายอิสระและใช้สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลเพิ่มเติม ข้อยกเว้นคือค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน ซึ่งกำหนดลักษณะความเป็นเนื้อเดียวกันของข้อมูล ซึ่งเป็นคุณลักษณะทางสถิติที่มีค่า
ระดับความแปรปรวนหรือความเสถียรของกระบวนการในวิทยาศาสตร์สถิติสามารถวัดได้โดยใช้ตัวชี้วัดหลายตัว
ตัวบ่งชี้ที่สำคัญที่สุดที่แสดงลักษณะความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มคือ การกระจายตัวซึ่งเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดและเกี่ยวข้องโดยตรงกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์มากที่สุด พารามิเตอร์นี้ถูกใช้อย่างแข็งขันในการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่น (การทดสอบสมมติฐาน การวิเคราะห์ความสัมพันธ์ของเหตุและผล ฯลฯ) เช่นเดียวกับค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ย ความแปรปรวนยังสะท้อนถึงขอบเขตที่ข้อมูลกระจายไปทั่วค่าเฉลี่ย
เป็นประโยชน์ในการแปลภาษาของสัญญาณเป็นภาษาของคำ ปรากฎว่าความแปรปรวนคือกำลังสองเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบน นั่นคือ ค่าเฉลี่ยจะถูกคำนวณก่อน จากนั้นจึงนำความแตกต่างระหว่างมูลค่าดั้งเดิมและค่าเฉลี่ยแต่ละค่ามา ยกกำลังสอง บวกแล้วหารด้วยจำนวนค่าในประชากรกลุ่มนี้ ความแตกต่างระหว่างค่าแต่ละค่าและค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงการวัดค่าความเบี่ยงเบน มันถูกยกกำลังสองเพื่อให้แน่ใจว่าการเบี่ยงเบนทั้งหมดกลายเป็นจำนวนบวกโดยเฉพาะและเพื่อหลีกเลี่ยงการยกเลิกค่าเบี่ยงเบนบวกและลบร่วมกันเมื่อรวมกัน จากนั้น ให้ค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง เราก็คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ย - สแควร์ - ส่วนเบี่ยงเบน ส่วนเบี่ยงเบนถูกยกกำลังสองและพิจารณาค่าเฉลี่ย คำตอบของคำวิเศษ "การกระจาย" เป็นเพียงสามคำ
อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบบริสุทธิ์ ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือดัชนี การกระจายตัวจะไม่ถูกนำมาใช้ เป็นตัวบ่งชี้เสริมและตัวกลางที่ใช้สำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่น เธอไม่มีแม้แต่หน่วยวัดปกติด้วยซ้ำ เมื่อพิจารณาจากสูตร นี่คือกำลังสองของหน่วยข้อมูลเดิม
มาวัดตัวแปรสุ่มกัน นู๋ครั้ง เช่น เราวัดความเร็วลมสิบเท่าและต้องการหาค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยสัมพันธ์กับฟังก์ชันการกระจายอย่างไร
หรือเราจะทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมาก จำนวนคะแนนที่จะตกลงบนไดย์ระหว่างการโยนแต่ละครั้งเป็นตัวแปรสุ่มและสามารถรับค่าธรรมชาติใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 นู๋มันมีแนวโน้มที่จะเป็นตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงมาก - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ Mx. ในกรณีนี้ Mx = 3.5
คุณค่านี้เกิดขึ้นได้อย่างไร? ปล่อยให้ใน นู๋การทดลอง n1เมื่อหลุดไป 1 แต้ม n2ครั้ง - 2 คะแนนเป็นต้น จากนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่จุดหนึ่งลดลง:
ในทำนองเดียวกันสำหรับผลลัพธ์เมื่อคะแนน 2, 3, 4, 5 และ 6 หลุดออกมา
ให้เราสมมติว่าเรารู้กฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม x นั่นคือ เรารู้ว่าตัวแปรสุ่ม x สามารถรับค่าได้ x1, x2, ..., xk ที่มีความน่าจะเป็น p1, p2, ... , พีเค
ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ Mx ของตัวแปรสุ่ม x คือ:
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่การประมาณการที่สมเหตุสมผลของตัวแปรสุ่มบางตัวเสมอไป ดังนั้น ในการประมาณค่าเฉลี่ย ค่าจ้างมันสมเหตุสมผลกว่าที่จะใช้แนวคิดของค่ามัธยฐาน นั่นคือ ค่าที่จำนวนคนที่ได้รับเงินเดือนน้อยกว่าค่ามัธยฐานและมากกว่านั้นเท่ากัน
ความน่าจะเป็น p1 ที่ตัวแปรสุ่ม x น้อยกว่า x1/2 และความน่าจะเป็น p2 ที่ตัวแปรสุ่ม x มากกว่า x1/2 จะเท่ากันและเท่ากับ 1/2 ค่ามัธยฐานไม่ได้กำหนดไว้เฉพาะสำหรับการแจกแจงทั้งหมด
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในสถิติจะเรียกระดับความเบี่ยงเบนของข้อมูลเชิงสังเกตหรือชุดจากค่า AVERAGE เขียนแทนด้วยตัวอักษร s หรือ s ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเล็กน้อยบ่งชี้ว่าข้อมูลถูกจัดกลุ่มตามค่าเฉลี่ย และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานขนาดใหญ่บ่งชี้ว่าข้อมูลเริ่มต้นอยู่ไกลจากข้อมูลนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับรากที่สองของปริมาณที่เรียกว่าความแปรปรวน เป็นค่าเฉลี่ยของผลรวมของผลต่างกำลังสองของข้อมูลเริ่มต้นที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มคือรากที่สองของความแปรปรวน:
ตัวอย่าง. ภายใต้เงื่อนไขการทดสอบเมื่อยิงไปที่เป้าหมาย ให้คำนวณความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม:
Variation- ความผันผวนความแปรปรวนของค่าแอตทริบิวต์ในหน่วยของประชากร แยก ค่าตัวเลขคุณลักษณะที่เกิดขึ้นในประชากรที่ศึกษาเรียกว่าตัวเลือกค่า ความไม่เพียงพอของค่าเฉลี่ยสำหรับการกำหนดลักษณะที่สมบูรณ์ของประชากรทำให้จำเป็นต้องเสริมค่าเฉลี่ยด้วยตัวบ่งชี้ที่ทำให้สามารถประเมินลักษณะทั่วไปของค่าเฉลี่ยเหล่านี้ได้โดยการวัดความผันผวน (การเปลี่ยนแปลง) ของลักษณะภายใต้การศึกษา ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผันคำนวณโดยสูตร:
รูปแบบช่วง(R) คือความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุดของลักษณะในประชากรที่ศึกษา ตัวบ่งชี้นี้ให้แนวคิดทั่วไปที่สุดเกี่ยวกับความผันผวนของลักษณะภายใต้การศึกษา เนื่องจากแสดงความแตกต่างระหว่างค่าสุดขีดของตัวเลือกเท่านั้น การพึ่งพาค่าสุดขีดของแอตทริบิวต์ทำให้ช่วงของการเปลี่ยนแปลงเป็นอักขระสุ่มที่ไม่เสถียร
ส่วนเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ (โมดูโล) ของค่าทั้งหมดของประชากรที่วิเคราะห์จากค่าเฉลี่ย:
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีการพนัน
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือจำนวนเงินเฉลี่ยของผู้เล่น การพนันสามารถชนะหรือแพ้ในการเดิมพันที่กำหนด นี่เป็นแนวคิดที่สำคัญมากสำหรับผู้เล่น เนื่องจากเป็นพื้นฐานในการประเมินสถานการณ์ในเกมส่วนใหญ่ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือที่ดีที่สุดสำหรับการวิเคราะห์เลย์เอาต์การ์ดพื้นฐานและสถานการณ์ในเกม
สมมติว่าคุณกำลังเล่นเหรียญกับเพื่อน โดยเดิมพันครั้งละ 1 ดอลลาร์ ไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้น ก้อย - คุณชนะ หัว - คุณแพ้ โอกาสที่มันจะเกิดขึ้นคือ 1 ต่อ 1 และคุณกำลังเดิมพัน 1 ดอลลาร์ต่อ 1 ดอลลาร์ ดังนั้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของคุณจึงเป็นศูนย์ เพราะ ในทางคณิตศาสตร์ คุณไม่สามารถรู้ได้ว่าคุณจะเป็นผู้นำหรือแพ้หลังจากสองทอยหรือหลัง 200
กำไรรายชั่วโมงของคุณเป็นศูนย์ การจ่ายเงินรายชั่วโมงคือจำนวนเงินที่คุณคาดว่าจะได้รับในหนึ่งชั่วโมง คุณสามารถพลิกเหรียญ 500 ครั้งภายในหนึ่งชั่วโมง แต่คุณจะไม่ชนะหรือแพ้เพราะ อัตราต่อรองของคุณไม่เป็นบวกหรือลบ หากมองจากมุมมองของผู้เล่นที่จริงจัง ระบบการเดิมพันดังกล่าวก็ไม่เลว แต่มันเสียเวลาเปล่า
แต่สมมติว่ามีคนต้องการเดิมพัน $2 ต่อ $1 ของคุณในเกมเดียวกัน จากนั้นคุณจะมีความคาดหวังในเชิงบวกทันทีที่ 50 เซ็นต์จากการเดิมพันแต่ละครั้ง ทำไมต้อง 50 เซ็นต์? โดยเฉลี่ยแล้ว คุณชนะหนึ่งเดิมพันและแพ้ในครั้งที่สอง เดิมพันดอลลาร์แรกและเสีย 1 ดอลลาร์ เดิมพันที่สองและชนะ 2 ดอลลาร์ คุณเดิมพัน $1 สองครั้งและนำหน้า $1 ดังนั้น การเดิมพันหนึ่งดอลลาร์แต่ละครั้งจะให้ 50 เซ็นต์แก่คุณ
หากเหรียญตกลงมา 500 ครั้งในหนึ่งชั่วโมง กำไรรายชั่วโมงของคุณจะเป็น $250 เพราะ โดยเฉลี่ยแล้ว คุณสูญเสีย $1 250 ครั้งและชนะ $2 250 ครั้ง $500 ลบ $250 เท่ากับ $250 ซึ่งเป็นเงินรางวัลทั้งหมด โปรดทราบว่ามูลค่าที่คาดหวัง ซึ่งเป็นจำนวนเงินที่คุณชนะโดยเฉลี่ยในการเดิมพันครั้งเดียวคือ 50 เซ็นต์ คุณได้รับรางวัล 250 ดอลลาร์จากการเดิมพัน 500 ดอลลาร์ ซึ่งเท่ากับ 50 เซ็นต์ของเงินเดิมพันของคุณ
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ในระยะสั้น คู่ต่อสู้ของคุณที่ตัดสินใจเดิมพัน $2 กับคุณ สามารถเอาชนะคุณได้ในการโยนสิบครั้งแรกติดต่อกัน แต่ด้วยความได้เปรียบในการเดิมพัน 2 ต่อ 1 ที่เหลือทั้งหมดเท่ากัน ให้ 50 เซ็นต์สำหรับการเดิมพัน 1 ดอลลาร์ในทุก ๆ 1 ดอลลาร์ สถานการณ์. ไม่สำคัญว่าคุณจะชนะหรือแพ้หนึ่งเดิมพันหรือหลายเดิมพัน แต่ต้องอยู่ในเงื่อนไขว่าคุณมีเงินสดเพียงพอที่จะชดเชยค่าใช้จ่ายได้อย่างง่ายดาย หากคุณยังคงเดิมพันในลักษณะเดียวกัน ในช่วงเวลาที่ยาวนาน เงินรางวัลของคุณจะเป็นผลรวมของมูลค่าที่คาดหวังในแต่ละม้วน
ทุกครั้งที่คุณทำการเดิมพันที่ดีขึ้น (การเดิมพันที่สามารถทำกำไรได้ในระยะยาว) เมื่ออัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณจะต้องชนะบางสิ่งจากมัน ไม่ว่าคุณจะแพ้หรือไม่อยู่ในมือที่กำหนด ในทางกลับกัน หากคุณเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่แย่กว่า (การเดิมพันที่ไม่ทำกำไรในระยะยาว) เมื่ออัตราต่อรองไม่อยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณจะสูญเสียบางสิ่งบางอย่าง ไม่ว่าคุณจะชนะหรือแพ้ในมือนี้ก็ตาม
คุณเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่ดีที่สุดหากความคาดหวังของคุณเป็นบวก และเป็นบวกหากอัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ การเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่แย่ที่สุด คุณมีความคาดหวังเชิงลบ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่ออัตราต่อรองกับคุณ ผู้เล่นที่จริงจังเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเท่านั้น โดยที่แย่ที่สุด - พวกเขาหมอบ อัตราต่อรองในความโปรดปรานของคุณหมายถึงอะไร? คุณอาจจบลงด้วยการชนะมากกว่าอัตราต่อรองที่เกิดขึ้นจริง อัตราต่อรองที่แท้จริงของการตีหางคือ 1 ต่อ 1 แต่คุณจะได้ 2 ต่อ 1 เนื่องจากอัตราส่วนการเดิมพัน ในกรณีนี้ อัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณจะได้รับผลลัพธ์ที่ดีที่สุดอย่างแน่นอนด้วยความคาดหวังในเชิงบวกที่ 50 เซ็นต์ต่อการเดิมพัน
มีมากกว่านี้ ตัวอย่างที่ซับซ้อนความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เพื่อนจดตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงห้าและเดิมพัน $5 ต่อ $1 ของคุณซึ่งคุณจะไม่เลือกหมายเลขนั้น คุณเห็นด้วยกับการเดิมพันดังกล่าวหรือไม่? อะไรคือความคาดหวังที่นี่?
โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะผิดสี่ครั้ง จากข้อมูลนี้ อัตราต่อรองที่คุณคาดเดาตัวเลขจะเป็น 4 ต่อ 1 อัตราต่อรองคือคุณจะเสียเงินหนึ่งดอลลาร์ในครั้งเดียว อย่างไรก็ตาม คุณชนะ 5 ต่อ 1 โดยมีความเป็นไปได้ที่จะแพ้ 4 ต่อ 1 ดังนั้น อัตราต่อรองอยู่ในความโปรดปรานของคุณ คุณสามารถเดิมพันและหวังว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด หากคุณเดิมพันนี้ห้าครั้ง โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะเสียเงินสี่ครั้ง $1 และชนะ $5 หนึ่งครั้ง จากสิ่งนี้ สำหรับความพยายามทั้งห้าครั้ง คุณจะได้รับ $1 โดยมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกที่ 20 เซนต์ต่อการเดิมพัน
ผู้เล่นที่จะชนะมากกว่าที่เดิมพัน ดังตัวอย่างด้านบน กำลังจับอัตราต่อรอง ในทางกลับกัน เขาทำลายโอกาสเมื่อเขาคาดว่าจะชนะน้อยกว่าที่เดิมพัน นักพนันสามารถมีความคาดหวังในเชิงบวกหรือเชิงลบขึ้นอยู่กับว่าเขาจับหรือทำลายอัตราต่อรอง
หากคุณเดิมพัน $50 เพื่อชนะ $10 โดยมีโอกาสชนะ 4 ต่อ 1 คุณจะได้รับความคาดหวังเชิงลบที่ $2 เนื่องจาก โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะชนะสี่ครั้ง $10 และเสีย $50 หนึ่งครั้ง ซึ่งแสดงว่าการสูญเสียต่อการเดิมพันจะเท่ากับ $10 แต่ถ้าคุณเดิมพัน 30 ดอลลาร์เพื่อชนะ 10 ดอลลาร์โดยมีโอกาสชนะ 4 ต่อ 1 เท่ากัน ในกรณีนี้ คุณคาดหวังในเชิงบวกที่ 2 ดอลลาร์เพราะ คุณชนะอีกครั้งสี่ครั้ง $10 และเสีย $30 อีกครั้งเพื่อผลกำไร $10 ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเดิมพันครั้งแรกไม่ดีและครั้งที่สองเป็นสิ่งที่ดี
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นศูนย์กลางของทุกสถานการณ์ในเกม เมื่อเจ้ามือรับแทงพนันสนับสนุนให้แฟนฟุตบอลเดิมพัน 11 ดอลลาร์เพื่อชนะ 10 ดอลลาร์ พวกเขามีความคาดหวังในเชิงบวกที่ 50 เซ็นต์สำหรับทุกๆ 10 ดอลลาร์ หากคาสิโนจ่ายเงินแม้แต่เงินจากพาสไลน์ของ Craps ความคาดหวังในเชิงบวกของบ้านจะอยู่ที่ประมาณ 1.40 ดอลลาร์ต่อทุกๆ 100 ดอลลาร์ เกมนี้มีโครงสร้างเพื่อให้ทุกคนที่เดิมพันในสายนี้เสียเฉลี่ย 50.7% และชนะ 49.3% ของเวลาทั้งหมด ไม่ต้องสงสัยเลยว่านี่เป็นความคาดหวังเชิงบวกที่ดูเหมือนว่าจะนำผลกำไรมหาศาลมาสู่เจ้าของคาสิโนทั่วโลก ดังที่ Bob Stupak เจ้าของคาสิโน Vegas World กล่าวว่า “หนึ่งในพันของเปอร์เซ็นต์ของความน่าจะเป็นเชิงลบในระยะทางที่ยาวพอจะถูกทำลาย คนที่รวยที่สุดในโลก".
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เมื่อเล่นโปกเกอร์
เกมโป๊กเกอร์เป็นตัวอย่างที่มีภาพประกอบและเป็นตัวอย่างมากที่สุดในแง่ของการใช้ทฤษฎีและคุณสมบัติของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์
มูลค่าที่คาดหวังในโป๊กเกอร์คือผลประโยชน์โดยเฉลี่ยจากการตัดสินใจหนึ่งๆ โดยที่การตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ในกรอบของทฤษฎีตัวเลขจำนวนมากและระยะทางไกล โป๊กเกอร์ที่ประสบความสำเร็จคือการยอมรับการเคลื่อนไหวด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกเสมอ
ความหมายทางคณิตศาสตร์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เมื่อเล่นโป๊กเกอร์นั้นอยู่ที่ว่าเรามักจะพบกับตัวแปรสุ่มเมื่อทำการตัดสินใจ (เราไม่รู้ว่าไพ่ใบใดที่ฝ่ายตรงข้ามมีอยู่ในมือของเขา เราต้องพิจารณาคำตอบแต่ละข้อจากมุมมองของทฤษฎีจำนวนมาก ซึ่งบอกว่าด้วยตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มจะมีแนวโน้มเป็นไปตามการคาดหมายทางคณิตศาสตร์
ในบรรดาสูตรเฉพาะสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ต่อไปนี้เป็นสูตรที่เหมาะสมที่สุดในโป๊กเกอร์:
เมื่อเล่นโป๊กเกอร์ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถคำนวณได้ทั้งการเดิมพันและการโทร ในกรณีแรก ควรคำนึงถึงส่วนเท่าเทียม ประการที่สอง อัตราต่อรองของหม้อเอง เมื่อประเมินความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนไหวเฉพาะ ควรจำไว้ว่าการพับมักจะไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นศูนย์ ดังนั้น การทิ้งไพ่จะเป็นการตัดสินใจที่ทำกำไรได้มากกว่าการเคลื่อนไหวเชิงลบใดๆ เสมอ
ความคาดหวังบอกคุณถึงสิ่งที่คุณคาดหวังได้ (กำไรหรือขาดทุน) สำหรับทุกๆ ดอลลาร์ที่คุณเสี่ยง คาสิโนทำเงินเพราะความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเกมทั้งหมดที่ฝึกฝนอยู่ในความโปรดปรานของคาสิโน ด้วยชุดเกมที่ยาวพอสมควร คาดว่าลูกค้าจะสูญเสียเงินของเขา เนื่องจาก "ความน่าจะเป็น" เป็นที่โปรดปรานของคาสิโน อย่างไรก็ตาม ผู้เล่นคาสิโนมืออาชีพจำกัดเกมของพวกเขาไว้ในช่วงเวลาสั้น ๆ ซึ่งจะเป็นการเพิ่มโอกาสในความโปรดปรานของพวกเขา เช่นเดียวกับการลงทุน หากความคาดหวังของคุณเป็นไปในเชิงบวก คุณสามารถทำเงินได้มากขึ้นโดยทำการซื้อขายจำนวนมากในระยะเวลาอันสั้น ความคาดหวังคือเปอร์เซ็นต์ของกำไรต่อการชนะ คูณกำไรเฉลี่ย ลบความน่าจะเป็นที่จะขาดทุน คูณด้วยการสูญเสียโดยเฉลี่ย
โป๊กเกอร์ยังสามารถพิจารณาในแง่ของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถสรุปได้ว่าการเคลื่อนไหวบางอย่างสามารถทำกำไรได้ แต่ในบางกรณีอาจไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุด เนื่องจากการเคลื่อนไหวอื่นให้ผลกำไรมากกว่า สมมติว่าคุณตีไพ่เต็มห้าใบในโป๊กเกอร์ เดิมพันคู่ต่อสู้ของคุณ คุณรู้ว่าถ้าคุณขึ้น ante เขาจะโทร ดังนั้นการเลี้ยงจึงดูเป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุด แต่ถ้าคุณทำการเพิ่ม ผู้เล่นสองคนที่เหลือจะหมอบแน่นอน แต่ถ้าคุณเรียกเดิมพัน คุณจะแน่ใจโดยสมบูรณ์ว่าผู้เล่นอีกสองคนหลังจากที่คุณทำแบบเดียวกัน เมื่อคุณเพิ่มเงินเดิมพัน คุณจะได้รับหนึ่งหน่วย และเพียงแค่โทรหาคุณก็ได้สองหน่วย ดังนั้นการโทรจึงให้คุณค่าที่คาดหวังในเชิงบวกที่สูงขึ้นและเป็นกลวิธีที่ดีที่สุด
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ยังสามารถให้แนวคิดว่ากลยุทธ์ใดในโป๊กเกอร์ที่ให้ผลกำไรน้อยกว่าและทำกำไรได้มากกว่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเล่นมือใดมือหนึ่ง และคุณคิดว่าการสูญเสียเฉลี่ยของคุณคือ 75 เซ็นต์รวมแอนตี คุณควรเล่นมือนั้นเพราะ นี้ดีกว่าพับเมื่อ ante คือ $1
เหตุผลสำคัญอีกประการหนึ่งในการทำความเข้าใจมูลค่าที่คาดหวังคือทำให้คุณรู้สึกอุ่นใจไม่ว่าคุณจะชนะเดิมพันหรือไม่: หากคุณเดิมพันที่ดีหรือส่งผ่านเวลา คุณจะรู้ว่าคุณได้ทำเงินหรือเก็บออมไว้จำนวนหนึ่ง เงินซึ่งผู้เล่นที่อ่อนแอกว่าไม่สามารถบันทึกได้ มันยากกว่ามากที่จะหมอบถ้าคุณผิดหวังที่คู่ต่อสู้ของคุณมีมือที่ดีกว่าในการเสมอ ที่กล่าวว่าเงินที่คุณบันทึกโดยไม่ได้เล่น แทนการเดิมพัน จะถูกเพิ่มในการชนะข้ามคืนหรือรายเดือนของคุณ
แค่จำไว้ว่าถ้าคุณเปลี่ยนมือ ฝ่ายตรงข้ามจะโทรหาคุณ และอย่างที่คุณเห็นในบทความ Fundamental Theorem of Poker นี่เป็นเพียงข้อดีอย่างหนึ่งของคุณ คุณควรชื่นชมยินดีเมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น คุณยังสามารถเรียนรู้ที่จะสนุกกับการเสียมือ เพราะคุณรู้ว่าผู้เล่นคนอื่นที่สวมรองเท้าของคุณจะเสียมากกว่า
ดังที่ได้กล่าวไว้ในตัวอย่างเกมเหรียญในตอนเริ่มต้น อัตราผลตอบแทนรายชั่วโมงนั้นสัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และแนวคิดนี้มีความสำคัญเป็นพิเศษสำหรับผู้เล่นมืออาชีพ เมื่อคุณจะเล่นโป๊กเกอร์ คุณต้องประเมินในใจว่าคุณจะสามารถชนะได้มากแค่ไหนในหนึ่งชั่วโมงของการเล่น ในกรณีส่วนใหญ่ คุณจะต้องพึ่งพาสัญชาตญาณและประสบการณ์ของคุณ แต่คุณสามารถใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์บางอย่างได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังเล่น Draw Lowball และคุณเห็นผู้เล่นสามคนเดิมพัน $10 แล้วจั่วไพ่สองใบ ซึ่งเป็นกลยุทธ์ที่แย่มาก คุณสามารถคำนวณด้วยตัวคุณเองว่าทุกครั้งที่พวกเขาเดิมพัน $10 พวกเขาเสียเงินประมาณ $2 แต่ละคนทำสิ่งนี้แปดครั้งต่อชั่วโมง ซึ่งหมายความว่าทั้งสามสูญเสียประมาณ 48 ดอลลาร์ต่อชั่วโมง คุณเป็นหนึ่งในผู้เล่นสี่คนที่เหลือซึ่งมีค่าเท่ากันโดยประมาณ ดังนั้นผู้เล่นสี่คนนี้ (และหนึ่งในนั้นคือคุณ) ต้องแบ่งปัน $48 และแต่ละคนจะทำกำไรได้ $12 ต่อชั่วโมง อัตรารายชั่วโมงของคุณในกรณีนี้เป็นเพียงส่วนแบ่งของจำนวนเงินที่เสียไปโดยผู้เล่นที่ไม่ดีสามคนต่อชั่วโมง
ในช่วงเวลาที่ยาวนาน เงินรางวัลรวมของผู้เล่นเป็นผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเขาในการแจกแจงแบบแยกส่วน ยิ่งคุณเล่นด้วยความคาดหวังในเชิงบวก ยิ่งคุณชนะ และในทางกลับกัน ยิ่งคุณเล่นด้วยความคาดหวังเชิงลบมากเท่าไร คุณก็ยิ่งสูญเสียมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้น คุณควรจัดลำดับความสำคัญของเกมที่สามารถเพิ่มความคาดหวังในเชิงบวกของคุณหรือลบล้างความคาดหวังเชิงลบของคุณเพื่อที่คุณจะได้เพิ่มผลกำไรรายชั่วโมงของคุณให้สูงสุด
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกในกลยุทธ์เกม
หากคุณรู้วิธีนับไพ่ คุณอาจมีข้อได้เปรียบเหนือคาสิโนหากพวกเขาไม่สังเกตและไล่คุณออกไป คาสิโนรักนักพนันที่ขี้เมาและไม่สามารถยืนนับไพ่ได้ ข้อได้เปรียบนี้จะช่วยให้คุณชนะมากกว่าที่คุณแพ้เมื่อเวลาผ่านไป การจัดการที่ดีเงินทุนโดยใช้การคำนวณความคาดหวังสามารถช่วยให้คุณใช้ประโยชน์จากขอบและลดความสูญเสียของคุณ หากไม่มีข้อได้เปรียบ คุณควรมอบเงินเพื่อการกุศล ในเกมในตลาดหลักทรัพย์ ความได้เปรียบมาจากระบบของเกม ซึ่งสร้างผลกำไรมากกว่าการขาดทุน ความแตกต่างของราคา และค่าคอมมิชชัน ไม่มีการจัดการเงินจำนวนเท่าใดที่จะบันทึกระบบเกมที่ไม่ดี
ความคาดหวังเชิงบวกถูกกำหนดโดยค่าที่มากกว่าศูนย์ ยิ่งตัวเลขนี้มากเท่าไร ความคาดหวังทางสถิติก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้น หากค่าน้อยกว่าศูนย์ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเป็นค่าลบด้วย ยิ่งโมดูลัสของค่าลบมากเท่าไหร่ สถานการณ์ก็ยิ่งแย่ลงเท่านั้น ถ้าผลลัพธ์เป็นศูนย์ แสดงว่าความคาดหวังนั้นคุ้มทุน คุณสามารถชนะได้ก็ต่อเมื่อคุณมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวก ระบบเกมที่สมเหตุสมผล การเล่นตามสัญชาตญาณนำไปสู่หายนะ
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการซื้อขายหุ้น
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นตัวบ่งชี้ทางสถิติที่มีความต้องการอย่างกว้างขวางและเป็นที่นิยมในการซื้อขายแลกเปลี่ยนในตลาดการเงิน ก่อนอื่น พารามิเตอร์นี้ใช้เพื่อวิเคราะห์ความสำเร็จของการซื้อขาย ไม่ยากเลยที่จะเดาว่ายิ่งมูลค่านี้มากเท่าไร ก็ยิ่งมีเหตุผลมากขึ้นในการพิจารณาการค้าภายใต้การศึกษาที่ประสบความสำเร็จ แน่นอน การวิเคราะห์งานของผู้ซื้อขายไม่สามารถดำเนินการได้ด้วยความช่วยเหลือของพารามิเตอร์นี้เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ค่าที่คำนวณได้เมื่อรวมกับวิธีอื่นๆ ในการประเมินคุณภาพของงาน สามารถเพิ่มความแม่นยำของการวิเคราะห์ได้อย่างมาก
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มักจะถูกคำนวณในบริการตรวจสอบบัญชีซื้อขาย ซึ่งช่วยให้คุณประเมินงานที่ทำกับเงินฝากได้อย่างรวดเร็ว เป็นข้อยกเว้น เราสามารถอ้างอิงกลยุทธ์ที่ใช้ "อยู่เกินกำหนด" ของการสูญเสียการซื้อขาย เทรดเดอร์อาจโชคดีในบางครั้ง ดังนั้นในงานของเขาอาจไม่ขาดทุนเลย ในกรณีนี้จะไม่สามารถนำทางได้ตามความคาดหวังเท่านั้นเพราะจะไม่คำนึงถึงความเสี่ยงที่ใช้ในงาน
ในการซื้อขายในตลาด ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มักถูกใช้ในการคาดการณ์ความสามารถในการทำกำไรของกลยุทธ์การซื้อขายหรือเมื่อคาดการณ์รายได้ของนักเทรดตามสถิติของการซื้อขายครั้งก่อนๆ
เกี่ยวกับการจัดการเงิน เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจว่าเมื่อทำการซื้อขายด้วยความคาดหวังเชิงลบ ไม่มีแผนการจัดการเงินที่สามารถสร้างผลกำไรสูงได้อย่างแน่นอน หากคุณยังคงเล่นการแลกเปลี่ยนภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ไม่ว่าคุณจะจัดการเงินของคุณอย่างไร คุณจะสูญเสียบัญชีทั้งหมดไม่ว่าจะใหญ่แค่ไหนในตอนเริ่มต้น
สัจพจน์นี้ไม่เพียงแต่เป็นความจริงสำหรับเกมที่มีความคาดหวังเชิงลบหรือการเทรดเท่านั้น แต่ยังเป็นความจริงสำหรับเกมที่อัตราต่อรองด้วย ดังนั้น กรณีเดียวที่คุณมีโอกาสที่จะได้รับประโยชน์ในระยะยาวคือเมื่อทำข้อตกลงกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวก
ความแตกต่างระหว่างความคาดหวังเชิงลบและความคาดหวังในเชิงบวกคือความแตกต่างระหว่างชีวิตและความตาย ไม่สำคัญว่าความคาดหวังจะเป็นไปในเชิงบวกหรือเชิงลบเพียงใด สิ่งที่สำคัญคือไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ ดังนั้น ก่อนพิจารณาการจัดการเงิน คุณต้องหาเกมที่มีความคาดหวังในเชิงบวก
หากคุณไม่มีเกมนั้น การจัดการเงินจำนวนหนึ่งในโลกนี้จะไม่ช่วยคุณได้ ในทางกลับกัน หากคุณมีความคาดหวังในเชิงบวก ก็เป็นไปได้ด้วยการจัดการเงินที่เหมาะสม เพื่อเปลี่ยนให้เป็นฟังก์ชันการเติบโตแบบทวีคูณ ไม่ว่าความคาดหวังในเชิงบวกจะเล็กน้อยแค่ไหนก็ตาม! กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่สำคัญว่าระบบการซื้อขายตามสัญญาหนึ่งสัญญาจะทำกำไรได้มากเพียงใด หากคุณมีระบบที่ชนะ $10 ต่อสัญญาในการซื้อขายครั้งเดียว (หลังค่าธรรมเนียมและ Slippage) คุณสามารถใช้เทคนิคการจัดการเงินเพื่อให้มีกำไรมากกว่าระบบที่แสดงกำไรเฉลี่ย $1,000 ต่อการซื้อขาย (หลังจากหักค่าคอมมิชชั่นและ เลื่อนหลุด).
สิ่งที่สำคัญไม่ใช่ว่าระบบมีผลกำไรมากน้อยเพียงใด แต่สามารถพูดได้ว่าระบบจะแสดงผลกำไรขั้นต่ำอย่างน้อยที่สุดในอนาคตได้อย่างไร ดังนั้น การเตรียมการที่สำคัญที่สุดที่ผู้ค้าสามารถทำได้คือต้องแน่ใจว่าระบบแสดงมูลค่าที่คาดหวังในเชิงบวกในอนาคต
เพื่อให้มีค่าที่คาดหวังในเชิงบวกในอนาคต เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะไม่จำกัดระดับความเป็นอิสระของระบบของคุณ สิ่งนี้ทำได้ไม่เพียงแต่โดยการกำจัดหรือลดจำนวนพารามิเตอร์ที่จะปรับให้เหมาะสมเท่านั้น แต่ยังลดกฎของระบบให้ได้มากที่สุด ทุกพารามิเตอร์ที่คุณเพิ่ม ทุกกฎที่คุณสร้าง ทุกการเปลี่ยนแปลงเล็กๆ น้อยๆ ที่คุณทำกับระบบจะลดจำนวนองศาอิสระ ตามหลักการแล้ว คุณต้องการสร้างระบบที่ค่อนข้างดั้งเดิมและเรียบง่าย ซึ่งจะสร้างผลกำไรเพียงเล็กน้อยในเกือบทุกตลาดอย่างต่อเนื่อง อีกครั้ง สิ่งสำคัญคือคุณต้องเข้าใจว่าระบบจะทำกำไรได้มากแค่ไหน ตราบใดที่ระบบนั้นทำกำไรได้ เงินที่คุณได้รับจากการซื้อขายจะได้รับผ่าน การจัดการที่มีประสิทธิภาพเงิน.
ระบบการซื้อขายเป็นเพียงเครื่องมือที่ให้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงบวกแก่คุณ เพื่อให้สามารถใช้การจัดการเงินได้ ระบบที่ทำงาน (แสดงผลกำไรขั้นต่ำเป็นอย่างน้อย) ในตลาดเพียงหนึ่งหรือสองสามตลาด หรือมีกฎเกณฑ์หรือพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันสำหรับตลาดที่แตกต่างกัน ส่วนใหญ่จะไม่ทำงานตามเวลาจริงเป็นเวลานาน ปัญหาของเทรดเดอร์ที่เน้นเทคนิคส่วนใหญ่คือพวกเขาใช้เวลาและความพยายามมากเกินไปในการปรับกฎและพารามิเตอร์ต่างๆ ของระบบการซื้อขายให้เหมาะสม สิ่งนี้ให้ผลลัพธ์ที่ตรงกันข้ามอย่างสิ้นเชิง แทนที่จะเปลืองพลังงานและเวลาคอมพิวเตอร์ในการเพิ่มผลกำไรของระบบการซื้อขาย ให้นำพลังงานของคุณไปที่การเพิ่มระดับความน่าเชื่อถือในการได้รับกำไรขั้นต่ำ
เมื่อรู้ว่าการจัดการเงินเป็นเพียงเกมตัวเลขที่ต้องใช้ความคาดหวังในเชิงบวก ผู้ค้าสามารถหยุดมองหา "จอกศักดิ์สิทธิ์" ของการซื้อขายหุ้น แต่เขาสามารถเริ่มทดสอบวิธีการซื้อขายของเขา หาคำตอบว่าวิธีนี้มีเหตุผลหรือไม่ ไม่ว่าจะให้ความคาดหวังในเชิงบวกหรือไม่ วิธีการจัดการเงินที่เหมาะสมซึ่งนำไปใช้กับวิธีการซื้อขายใดๆ ก็ตาม แม้แต่วิธีการซื้อขายที่ธรรมดามาก จะทำส่วนที่เหลือทั้งหมด
เทรดเดอร์ที่ประสบความสำเร็จในการทำงานต้องแก้ไขงานที่สำคัญที่สุดสามประการ: เพื่อให้แน่ใจว่าจำนวนธุรกรรมที่ประสบความสำเร็จเกินข้อผิดพลาดและการคำนวณผิดพลาดที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ ตั้งค่าระบบการซื้อขายของคุณเพื่อให้โอกาสในการสร้างรายได้ได้บ่อยที่สุด บรรลุผลในเชิงบวกที่มั่นคงจากการดำเนินงานของคุณ
และที่นี่ สำหรับเรา เทรดเดอร์ที่ทำงานอยู่ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถให้ความช่วยเหลือได้ดี เทอมนี้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนึ่งในกุญแจสำคัญ ด้วยค่านี้ คุณสามารถให้ค่าประมาณค่าเฉลี่ยของค่าสุ่มได้ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มก็เหมือนจุดศูนย์ถ่วง หากเราจินตนาการว่าความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นจุดที่มีมวลต่างกัน
ในความสัมพันธ์กับกลยุทธ์การซื้อขาย ในการประเมินประสิทธิผล มักใช้การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของกำไร (หรือขาดทุน) พารามิเตอร์นี้ถูกกำหนดเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของระดับของกำไรและขาดทุนที่กำหนด และความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น กลยุทธ์การซื้อขายที่พัฒนาแล้วถือว่า 37% ของการดำเนินการทั้งหมดจะสร้างกำไร และส่วนที่เหลือ - 63% - จะไม่ทำกำไร ในเวลาเดียวกัน รายได้เฉลี่ยจากการทำธุรกรรมที่ประสบความสำเร็จจะเท่ากับ 7 ดอลลาร์ และการสูญเสียเฉลี่ยจะอยู่ที่ 1.4 ดอลลาร์ มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการซื้อขายโดยใช้ระบบต่อไปนี้:
ตัวเลขนี้หมายความว่าอย่างไร มันบอกว่าตามกฎของระบบนี้ โดยเฉลี่ยแล้ว เราจะได้รับ 1.708 ดอลลาร์จากแต่ละธุรกรรมที่ปิด เนื่องจากคะแนนประสิทธิภาพที่ได้มีค่ามากกว่าศูนย์ ระบบดังกล่าวจึงสามารถนำไปใช้งานจริงได้ หากผลจากการคำนวณ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์กลายเป็นลบ แสดงว่ามีการขาดทุนโดยเฉลี่ยแล้ว และการซื้อขายดังกล่าวจะนำไปสู่ความพินาศ
จำนวนกำไรต่อการค้าสามารถแสดงเป็นค่าสัมพัทธ์ในรูปแบบของ% ตัวอย่างเช่น:
– เปอร์เซ็นต์ของรายได้ต่อ 1 รายการ - 5%;
– เปอร์เซ็นต์ของการดำเนินการซื้อขายที่ประสบความสำเร็จ - 62%;
– เปอร์เซ็นต์การสูญเสียต่อ 1 การค้า - 3%;
- เปอร์เซ็นต์ของการทำธุรกรรมที่ไม่สำเร็จ - 38%;
นั่นคือการทำธุรกรรมเฉลี่ยจะนำมา 1.96%
เป็นไปได้ที่จะพัฒนาระบบที่แม้จะขาดทุนจากการเทรดเป็นหลัก แต่ก็ให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก เนื่องจาก MO>0
อย่างไรก็ตาม การรอคนเดียวไม่เพียงพอ เป็นการยากที่จะทำเงินหากระบบให้สัญญาณการซื้อขายน้อยมาก ในกรณีนี้ความสามารถในการทำกำไรจะเทียบเท่ากับดอกเบี้ยธนาคาร ให้แต่ละการดำเนินการนำมาเพียง 0.5 ดอลลาร์โดยเฉลี่ย แต่ถ้าระบบถือว่า 1,000 ธุรกรรมต่อปี? นี้จะเป็นจำนวนเงินที่ร้ายแรงมากในเวลาอันสั้น ตามหลักเหตุผลจากนี้ไป เครื่องหมายการค้าที่ดีอีกอย่างหนึ่งของระบบการซื้อขายที่ดีถือได้ว่าเป็นช่วงเวลาสั้น ๆ
ที่มาและลิงค์
dic.academic.ru - พจนานุกรมออนไลน์ทางวิชาการ
math.ru - เว็บไซต์การศึกษาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์
nsu.ru เป็นเว็บไซต์การศึกษาของ Novosibirsk มหาวิทยาลัยของรัฐ
webmath.ru พอร์ทัลการศึกษาสำหรับนักเรียน ผู้สมัคร และเด็กนักเรียน
exponenta.ru เว็บไซต์คณิตศาสตร์เพื่อการศึกษา
ru.tradimo.com - โรงเรียนซื้อขายออนไลน์ฟรี
crypto.hut2.ru - แหล่งข้อมูลสหสาขาวิชาชีพ
poker-wiki.ru - สารานุกรมฟรีของโป๊กเกอร์
sernam.ru - ห้องสมุดวิทยาศาสตร์ของสิ่งพิมพ์วิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่เลือก
reshim.su - เว็บไซต์ SOLVE งานควบคุมหลักสูตร
unfx.ru – Forex บน UNFX: การฝึกอบรม สัญญาณการซื้อขาย การจัดการความไว้วางใจ
slovopedia.com - ขนาดใหญ่ พจนานุกรมสารานุกรมสโลวีเนีย
pokermansion.3dn.ru - คำแนะนำของคุณสู่โลกของโป๊กเกอร์
statanaliz.info - บล็อกข้อมูล "การวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติ"
forex-trader.rf - พอร์ทัล Forex-Trader
megafx.ru - การวิเคราะห์ Forex ที่ทันสมัย
fx-by.com - ทุกอย่างสำหรับเทรดเดอร์
ตัวแปรสุ่มตัวแปรถูกเรียกซึ่ง อันเป็นผลมาจากการทดสอบแต่ละครั้ง ใช้ค่าที่ไม่รู้จักก่อนหน้านี้หนึ่งค่า ขึ้นอยู่กับสาเหตุแบบสุ่ม ตัวแปรสุ่มแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ ตามประเภท ตัวแปรสุ่มสามารถเป็น ไม่ต่อเนื่องและ ต่อเนื่อง.
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง- นี่เป็นตัวแปรสุ่ม ค่าของค่าที่ไม่สามารถนับได้คือจำนวนจำกัดหรือนับได้ การนับได้หมายความว่าสามารถระบุค่าของตัวแปรสุ่มได้
ตัวอย่าง 1 . ให้เรายกตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:
ก) จำนวนการโจมตีเป้าหมายด้วยการยิง $n$ ที่นี่ค่าที่เป็นไปได้คือ $0,\ 1,\ \dots ,\ n$
b) จำนวนแขนเสื้อที่หลุดออกมาเมื่อโยนเหรียญ ค่าที่เป็นไปได้คือ $0,\ 1,\ \dots ,\ n$
c) จำนวนเรือที่มาถึงบนเรือ (ชุดค่าที่นับได้)
d) จำนวนการโทรที่มาถึงการแลกเปลี่ยน (ชุดค่าที่นับได้)
1. กฎการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ สามารถใช้ค่า \$x_1,\dots ,\ x_n$ ด้วยความน่าจะเป็น $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ ความสอดคล้องระหว่างค่าเหล่านี้กับความน่าจะเป็นเรียกว่า กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง. ตามกฎแล้วการติดต่อนี้จะถูกระบุโดยใช้ตารางในบรรทัดแรกซึ่งมีการระบุค่า $x_1,\dots ,\ x_n$ และในบรรทัดที่สองความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับค่าเหล่านี้คือ $ p_1,\dots ,\ p_n$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \จุด & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$
ตัวอย่าง 2 . ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนคะแนนที่ทอยเมื่อทอยลูกเต๋า ตัวแปรสุ่มดังกล่าว $X$ สามารถใช้ค่าต่อไปนี้ $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้ทั้งหมดเท่ากับ $1/6$ จากนั้นกฎการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับตัวแปรสุ่ม $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(array)$
ความคิดเห็น. เนื่องจากเหตุการณ์ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ในกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ ผลรวมของความน่าจะเป็นต้องเท่ากับหนึ่ง นั่นคือ $\sum( p_i)=1$.
2. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มระบุค่า "ส่วนกลาง" สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะคำนวณเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่า $x_1,\dots ,\ x_n$ และความน่าจะเป็น $p_1,\dots ,\ p_n$ ที่สอดคล้องกับค่าเหล่านี้ เช่น: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. ในวรรณคดีอังกฤษ ใช้สัญลักษณ์อื่น $E\left(X\right)$
คุณสมบัติความคาดหวัง$M\left(X\right)$:
- $M\left(X\right)$ อยู่ระหว่างค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของตัวแปรสุ่ม $X$
- การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นั่นเอง กล่าวคือ $M\left(C\right)=C$.
- ค่าคงที่สามารถลบออกจากเครื่องหมายคาดหวังได้: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$
ตัวอย่างที่ 3 . มาหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ จากตัวอย่าง $2$
$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$
เราสามารถสังเกตได้ว่า $M\left(X\right)$ อยู่ระหว่างค่าที่เล็กที่สุด ($$1$) และค่าที่ใหญ่ที่สุด ($6$) ของตัวแปรสุ่ม $X$
ตัวอย่างที่ 4 . เป็นที่ทราบกันดีว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $M\left(X\right)=2$ ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $3X+5$
โดยใช้คุณสมบัติข้างต้น เราจะได้ $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$
ตัวอย่างที่ 5 . เป็นที่ทราบกันดีว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $M\left(X\right)=4$ ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $2X-9$
โดยใช้คุณสมบัติข้างต้น เราจะได้ $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากันสามารถกระจัดกระจายไปตามค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มนักเรียนสองกลุ่ม คะแนนเฉลี่ยสำหรับการสอบในทฤษฎีความน่าจะเป็นกลายเป็น 4 แต่ในกลุ่มหนึ่งทุกคนกลายเป็นนักเรียนที่ดีและในอีกกลุ่ม - มีเพียงนักเรียน C และนักเรียนที่ยอดเยี่ยมเท่านั้น ดังนั้นจึงมีความจำเป็นสำหรับคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม ซึ่งจะแสดงการกระจายของค่าของตัวแปรสุ่มตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน ลักษณะนี้คือการกระจายตัว
การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง$X$ คือ:
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$
ในวรรณคดีอังกฤษ จะใช้สัญกรณ์ $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ บ่อยครั้งที่ความแปรปรวน $D\left(X\right)$ คำนวณโดยสูตร $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ ซ้าย(X \right)\right))^2$.
คุณสมบัติการกระจาย$D\left(X\right)$:
- การกระจายตัวมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอนั่นคือ $D\left(X\right)\ge 0$.
- การกระจายตัวจากค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ $D\left(C\right)=0$.
- ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยมีเงื่อนไขว่ากำลังสองคือ $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรนั้น กล่าวคือ $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- ความแปรปรวนของผลต่างของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านั้น กล่าวคือ $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
ตัวอย่างที่ 6 . ให้เราคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ จากตัวอย่าง $2$
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\ประมาณ 2.92.$$
ตัวอย่าง 7 . เป็นที่ทราบกันดีว่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $D\left(X\right)=2$ ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $4X+1$
โดยใช้คุณสมบัติข้างต้น เราจะพบ $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2=32$.
ตัวอย่างที่ 8 . เป็นที่ทราบกันดีว่าความแปรปรวนของ $X$ เท่ากับ $D\left(X\right)=3$ ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $3-2X$
โดยใช้คุณสมบัติข้างต้น เราจะพบ $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.
4. ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
วิธีการแสดงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องในรูปแบบของอนุกรมการแจกแจงไม่ใช่วิธีเดียว และที่สำคัญที่สุดคือไม่ใช่แบบสากล เนื่องจากไม่สามารถระบุตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องโดยใช้อนุกรมการแจกแจงได้ มีอีกวิธีหนึ่งในการแสดงตัวแปรสุ่ม - ฟังก์ชันการกระจาย
ฟังก์ชันการกระจายตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นฟังก์ชัน $F\left(x\right)$ ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม $X$ ใช้ค่าน้อยกว่าค่าคงที่บางค่า $x$ นั่นคือ $F\left(x\ ขวา)$ )=P\left(X< x\right)$
คุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจาย:
- $0\le F\left(x\right)\le 1$.
- ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม $X$ รับค่าจากช่วง $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ เท่ากับผลต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันการกระจายที่ส่วนท้ายของช่วงเวลานี้ : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ - ไม่ลดลง
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.
ตัวอย่างที่ 9 . ให้เราหาฟังก์ชันการกระจาย $F\left(x\right)$ สำหรับกฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง $X$ จากตัวอย่าง $2$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$
ถ้า $x\le 1$ แสดงว่า $F\left(x\right)=0$ (รวม $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).
ถ้า $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
ถ้า $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
ถ้า $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
ถ้า $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
ถ้า $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
ถ้า $x > 6$ แล้ว $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$
ดังนั้น $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ ที่\ x\le 1,\\
1/6, ที่ \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ ที่\ 2< x\le 3,\\
1/2, ที่ \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at \ 4< x\le 5,\\
1,\ สำหรับ \ x > 6
\end(เมทริกซ์)\right.$