ลูกบาศก์ 2 มิติ Cybercube - ก้าวแรกสู่มิติที่สี่

วิวัฒนาการของสมองมนุษย์เกิดขึ้นในพื้นที่สามมิติ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากสำหรับเราที่จะจินตนาการถึงพื้นที่ที่มีมิติมากกว่าสาม อันที่จริง สมองของมนุษย์ไม่สามารถจินตนาการถึงวัตถุทางเรขาคณิตที่มีมากกว่าสามมิติได้ และในขณะเดียวกัน เราสามารถจินตนาการถึงวัตถุทางเรขาคณิตได้อย่างง่ายดายด้วยมิติ ไม่เพียงแต่สามมิติ แต่ยังมีมิติที่สองและหนึ่งด้วย

ความแตกต่างและความคล้ายคลึงระหว่าง 1D และ 2D และความแตกต่างและความคล้ายคลึงระหว่าง 2D และ 3D ช่วยให้เราสามารถยกความลึกลับเล็กน้อยที่ปิดเราออกจากพื้นที่มิติที่สูงขึ้น เพื่อให้เข้าใจว่าการเปรียบเทียบนี้ใช้อย่างไร ให้พิจารณาวัตถุสี่มิติที่เรียบง่ายมาก - ไฮเปอร์คิวบ์ นั่นคือคิวบ์สี่มิติ เพื่อความชัดเจน สมมติว่าเราต้องการแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจง กล่าวคือ นับจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์สี่มิติ การพิจารณาด้านล่างทั้งหมดจะหลวมมาก โดยไม่มีหลักฐานใด ๆ โดยการเปรียบเทียบอย่างหมดจด

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการสร้างไฮเปอร์คิวบ์จากลูกบาศก์ธรรมดา ก่อนอื่นต้องดูว่าลูกบาศก์ธรรมดาถูกสร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมธรรมดาอย่างไร สำหรับความคิดริเริ่มของการนำเสนอเนื้อหานี้เราจะเรียก SubCube สี่เหลี่ยมธรรมดา (และเราจะไม่สับสนกับซัคคิวบัส)

ในการสร้างคิวบ์จากคิวบ์ย่อย จำเป็นต้องขยายคิวบ์ย่อยในทิศทางตั้งฉากกับระนาบของคิวบ์ย่อยในทิศทางของมิติที่สาม ในเวลาเดียวกัน คิวบ์ย่อยจะเติบโตจากแต่ละด้านของคิวบ์ย่อยเริ่มต้น ซึ่งเป็นหน้าสองมิติด้านข้างของลูกบาศก์ ซึ่งจะจำกัดปริมาตรสามมิติของลูกบาศก์จากสี่ด้าน สองตั้งฉากกับแต่ละทิศทางใน เครื่องบินของ subcube และตามแกนที่สามใหม่ ยังมีคิวบ์ย่อยสองคิวบ์ที่จำกัดปริมาตรสามมิติของคิวบ์ นี่คือหน้าสองมิติที่ซึ่งแต่เดิมของ subcube ของเราตั้งอยู่ และหน้าสองมิติของ cube ที่ subcube มาที่ส่วนท้ายของการสร้างคิวบ์

สิ่งที่คุณเพิ่งอ่านมีรายละเอียดมากเกินไปและมีความชัดเจนมากมาย และไม่ได้ตั้งใจ ตอนนี้เราจะทำเคล็ดลับดังกล่าว เราจะแทนที่คำบางคำในข้อความก่อนหน้าอย่างเป็นทางการในลักษณะนี้:
คิวบ์ -> ไฮเปอร์คิวบ์
ซับคิวบ์ -> คิวบ์
เครื่องบิน -> ระดับเสียง
ที่สาม -> ที่สี่
2D -> 3D
สี่ -> หก
สามมิติ -> สี่มิติ
สอง -> สาม
เครื่องบิน -> อวกาศ

ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้รับข้อความที่สื่อความหมายซึ่งไม่มีรายละเอียดมากเกินไปอีกต่อไป

ในการสร้างไฮเปอร์คิวบ์จากคิวบ์ คุณต้องยืดลูกบาศก์ในทิศทางตั้งฉากกับปริมาตรของลูกบาศก์ในทิศทางของมิติที่สี่ ในเวลาเดียวกัน ลูกบาศก์จะเติบโตจากแต่ละด้านของลูกบาศก์ดั้งเดิม ซึ่งเป็นใบหน้าสามมิติด้านข้างของไฮเปอร์คิวบ์ ซึ่งจะจำกัดปริมาตรสี่มิติของไฮเปอร์คิวบ์จากหกด้าน สามตั้งฉากกับแต่ละทิศทางใน พื้นที่ของลูกบาศก์ และตามแกนที่สี่ใหม่ ยังมีลูกบาศก์สองก้อนที่จำกัดปริมาตรสี่มิติของไฮเปอร์คิวบ์ นี่คือใบหน้าสามมิติที่เดิมลูกบาศก์ของเราตั้งอยู่ และใบหน้าสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์ ซึ่งลูกบาศก์มาที่ส่วนท้ายของการสร้างไฮเปอร์คิวบ์

เหตุใดเราจึงมั่นใจว่าเราได้รับคำอธิบายที่ถูกต้องเกี่ยวกับการสร้างไฮเปอร์คิวบ์แล้ว ใช่ เพราะการแทนที่คำที่เป็นทางการเหมือนกันทุกประการ เราได้คำอธิบายเกี่ยวกับการสร้างลูกบาศก์จากคำอธิบายการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ลองดูเอาเองนะครับ)

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าลูกบาศก์สามมิติอื่นควรเติบโตจากแต่ละด้านของลูกบาศก์ ใบหน้าจะต้องเติบโตจากแต่ละขอบของลูกบาศก์เริ่มต้น โดยรวมแล้ว ลูกบาศก์มี 12 ขอบ ซึ่งหมายความว่าจะมีหน้าใหม่อีก 12 หน้า (ซับคิวบ์) สำหรับ 6 ลูกบาศก์ที่จำกัดปริมาตรสี่มิติตามแกนของพื้นที่สามมิติ และมีลูกบาศก์อีกสองก้อนที่จำกัดปริมาตรสี่มิตินี้จากด้านล่างและจากด้านบนตามแกนที่สี่ ลูกบาศก์แต่ละอันมี 6 หน้า

โดยรวมแล้วเราพบว่าไฮเปอร์คิวบ์มี 12+6+6=24 ตารางใบหน้า

รูปภาพต่อไปนี้แสดงโครงสร้างเชิงตรรกะของไฮเปอร์คิวบ์ มันเหมือนกับการฉายภาพไฮเปอร์คิวบ์ไปยังพื้นที่สามมิติ ในกรณีนี้จะได้กรอบซี่โครงสามมิติ ในรูป แน่นอน คุณเห็นการฉายภาพของเฟรมนี้บนระนาบด้วย

บนเฟรมนี้ คิวบ์ด้านในเป็นเหมือนคิวบ์เริ่มต้นที่เริ่มการก่อสร้างและจำกัดปริมาตรสี่มิติของไฮเปอร์คิวบ์ตามแกนที่สี่จากด้านล่าง เรายืดลูกบาศก์เริ่มต้นนี้ขึ้นไปตามแกนมิติที่สี่ และมันจะเข้าไปในลูกบาศก์ด้านนอก ดังนั้นลูกบาศก์ด้านนอกและด้านในจากรูปนี้จำกัดไฮเปอร์คิวบ์ตามแกนมิติที่สี่

และระหว่างลูกบาศก์ทั้งสองนี้ จะมองเห็นลูกบาศก์ใหม่อีก 6 ก้อน ซึ่งสัมผัสกับสองก้อนแรกด้วยใบหน้าทั่วไป ลูกบาศก์ทั้งหกนี้จำกัดไฮเปอร์คิวบ์ของเราตามพื้นที่สามมิติสามแกน อย่างที่คุณเห็น พวกมันไม่เพียงสัมผัสกับลูกบาศก์สองอันแรก ซึ่งอยู่ภายในและภายนอกในเฟรมสามมิตินี้ แต่ยังติดต่อกันอยู่

คุณสามารถคำนวณได้โดยตรงในรูปและตรวจสอบให้แน่ใจว่าไฮเปอร์คิวบ์มี 24 หน้าจริงๆ แต่ที่นี่มาคำถาม เฟรมไฮเปอร์คิวบ์ 3 มิตินี้เต็มไปด้วยลูกบาศก์ 3 มิติแปดลูกบาศก์โดยไม่มีช่องว่าง ในการสร้างไฮเปอร์คิวบ์จริงจากการฉายภาพ 3 มิติของไฮเปอร์คิวบ์ จำเป็นต้องกลับเฟรมนี้จากด้านในออกเพื่อให้ทั้ง 8 คิวบ์จำกัดระดับเสียง 4 มิติ

มันทำแบบนี้ เราขอเชิญผู้อาศัยในพื้นที่สี่มิติมาเยี่ยมและขอให้เขาช่วยเรา มันคว้าลูกบาศก์ด้านในของเฟรมเวิร์กนี้และเลื่อนไปยังมิติที่สี่ ซึ่งตั้งฉากกับพื้นที่ 3D ของเรา เราอยู่ในพื้นที่สามมิติของเรารับรู้ราวกับว่ากรอบในทั้งหมดหายไปและเหลือเพียงกรอบของลูกบาศก์ชั้นนอกเท่านั้น

ต่อไป ผู้ช่วย 4D ของเราเสนอให้ความช่วยเหลือในการคลอดบุตรที่ไม่เจ็บปวด แต่สตรีมีครรภ์ของเรากลัวว่าทารกจะหายไปจากท้องและจบลงในพื้นที่ 3 มิติคู่ขนาน ดังนั้นสี่เท่าจึงถูกปฏิเสธอย่างสุภาพ

และเราสงสัยว่าลูกบาศก์บางส่วนของเราหลุดหรือไม่เมื่อเฟรมไฮเปอร์คิวบ์ถูกเปิดออกด้านใน ท้ายที่สุด หากลูกบาศก์สามมิติรอบๆ ไฮเปอร์คิวบ์แตะเพื่อนบ้านบนเฟรม พวกเขาจะสัมผัสใบหน้าเดียวกันด้วยหรือไม่ถ้าลูกบาศก์สี่มิติกลับด้านเฟรมออกมา

ให้เรากลับไปที่การเปรียบเทียบกับช่องว่างของมิติที่ต่ำกว่าอีกครั้ง เปรียบเทียบรูปภาพของโครงลวดไฮเปอร์คิวบ์กับการฉายของลูกบาศก์ 3 มิติบนระนาบที่แสดงในภาพต่อไปนี้

ผู้อยู่อาศัยในอวกาศสองมิติที่สร้างบนระนาบเป็นโครงร่างของการฉายคิวบ์บนเครื่องบิน และเชิญเราซึ่งเป็นผู้อยู่อาศัยสามมิติ ให้เปลี่ยนกรอบนี้ออกจากด้านใน เราเอาจุดยอดทั้งสี่ของจตุรัสด้านในแล้วเลื่อนให้ตั้งฉากกับระนาบ ในเวลาเดียวกัน ผู้อยู่อาศัยสองมิติเห็นการหายไปอย่างสมบูรณ์ของกรอบด้านในทั้งหมด และมีเพียงกรอบของสี่เหลี่ยมด้านนอกเท่านั้น ด้วยการดำเนินการดังกล่าว สี่เหลี่ยมทั้งหมดที่สัมผัสกับขอบจะยังคงสัมผัสเหมือนเดิมด้วยขอบเดิม

ดังนั้นเราจึงหวังว่ารูปแบบตรรกะของไฮเปอร์คิวบ์จะไม่ถูกละเมิดเช่นกันเมื่อเฟรมไฮเปอร์คิวบ์ถูกเปิดด้านในออก และจำนวนใบหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของไฮเปอร์คิวบ์จะไม่เพิ่มขึ้นในกรณีนี้และจะยังคงเท่ากับ 24 สิ่งนี้ของ แน่นอนว่าไม่ใช่ข้อพิสูจน์ แต่เป็นการเดาโดยการเปรียบเทียบล้วนๆ

หลังจากอ่านทุกอย่างที่นี่แล้ว คุณสามารถวาดกรอบตรรกะของลูกบาศก์ห้ามิติได้อย่างง่ายดาย และคำนวณจำนวนจุดยอด ขอบ ใบหน้า ลูกบาศก์ และไฮเปอร์คิวบ์ที่ลูกบาศก์มี มันไม่ยากเลย

Hypercube และ Platonic Solids

จำลอง icosahedron ที่ถูกตัดทอน (“ลูกฟุตบอล”) ในระบบ “เวกเตอร์”
โดยที่รูปห้าเหลี่ยมแต่ละอันล้อมรอบด้วยรูปหกเหลี่ยม

icosahedron ที่ถูกตัดทอนสามารถรับได้โดยการตัด 12 จุดยอดเพื่อสร้างใบหน้าในรูปห้าเหลี่ยมปกติ ในกรณีนี้ จำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมใหม่เพิ่มขึ้น 5 เท่า (12 × 5 = 60) ใบหน้ารูปสามเหลี่ยม 20 หน้ากลายเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ (ทั้งหมด ใบหน้ากลายเป็น 20+12=32) แ จำนวนขอบเพิ่มขึ้นเป็น 30+12×5=90.

ขั้นตอนในการสร้าง icosahedron ที่ถูกตัดทอนในระบบ Vector

ตัวเลขในพื้นที่ 4 มิติ

--à

--à ?

ตัวอย่างเช่น กำหนดคิวบ์และไฮเปอร์คิวบ์ มี 24 ใบหน้าในไฮเปอร์คิวบ์ ซึ่งหมายความว่ารูปแปดด้าน 4 มิติจะมีจุดยอด 24 จุด แม้ว่าจะไม่มี แต่ไฮเปอร์คิวบ์มีลูกบาศก์ 8 หน้า - ในแต่ละจุดศูนย์กลางคือจุดยอด ซึ่งหมายความว่ารูปแปดด้าน 4 มิติจะมีจุดยอด 8 จุดได้ง่ายขึ้น

ทรงแปดด้าน 4 มิติ. ประกอบด้วยแปดด้านเท่ากันหมดและทรงจตุรัสที่เท่ากัน
เชื่อมต่อสี่จุดยอดแต่ละจุด

ข้าว. ความพยายามที่จะจำลอง
hyperball-hypersphere ในระบบ "เวกเตอร์"

หน้า-หลัง-ลูกไม่บิดเบี้ยว อีกหกลูก - สามารถระบุได้ผ่านทรงรีหรือพื้นผิวกำลังสอง (ผ่านเส้นชั้นความสูง 4 เส้นเป็นตัวกำเนิด) หรือผ่านใบหน้า (กำหนดครั้งแรกผ่านเครื่องกำเนิดไฟฟ้า)

เคล็ดลับเพิ่มเติมในการ "สร้าง" ไฮเปอร์สเฟียร์
- "ลูกฟุตบอล" เดียวกันในพื้นที่ 4 มิติ

ภาคผนวก 2

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนนั้น มีคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของจุดยอด ขอบ และใบหน้า ซึ่งพิสูจน์โดยลีออนฮาร์ด ออยเลอร์ในปี ค.ศ. 1752 และเรียกว่าทฤษฎีบทออยเลอร์

ก่อนกำหนด ให้พิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมที่เรารู้จักและกรอกข้อมูลในตารางต่อไปนี้ โดยที่ B คือจำนวนจุดยอด P - ขอบและ G - ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด:

ชื่อของรูปทรงหลายเหลี่ยม
ปิรามิดสามเหลี่ยม
พีระมิดทรงสี่เหลี่ยม
ปริซึมสามเหลี่ยม
ปริซึมสี่เหลี่ยม
น-ปิรามิดถ่านหิน	น+1	2น	น+1
น-ปริซึมคาร์บอน	2น	3น	n+2
น-คาร์บอนตัดทอน ปิรามิด	2น	3น	n+2

จะเห็นได้โดยตรงจากตารางนี้ว่าสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เลือกทั้งหมดจะมีความเท่าเทียมกัน B - P + T = 2 ปรากฎว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงไม่เพียง แต่สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้เท่านั้น

ทฤษฎีบทออยเลอร์ สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ความเสมอภาค

V - R + G \u003d 2,

โดยที่ B คือจำนวนจุดยอด P คือจำนวนขอบ และ G คือจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด

การพิสูจน์.เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน ลองนึกภาพพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดซึ่งทำจากวัสดุยืดหยุ่น มาลบ (ตัด) หนึ่งในใบหน้าของมันแล้วยืดพื้นผิวที่เหลือบนระนาบ เราได้รูปหลายเหลี่ยม (เกิดจากขอบของใบหน้าที่ถูกถอดออกของรูปทรงหลายเหลี่ยม) แบ่งออกเป็นหลายเหลี่ยมที่เล็กกว่า (เกิดจากใบหน้าที่เหลือของรูปทรงหลายเหลี่ยม)

โปรดทราบว่ารูปหลายเหลี่ยมสามารถเปลี่ยนรูป ขยาย ย่อ หรืองอด้านข้างได้ ตราบใดที่ด้านข้างไม่หัก จำนวนจุดยอด ขอบ และใบหน้าจะไม่เปลี่ยนแปลง

ให้เราพิสูจน์ว่าพาร์ทิชันผลลัพธ์ของรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เล็กกว่านั้นเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน

(*) V - R + G "= 1,

โดยที่ B คือจำนวนจุดยอดทั้งหมด P คือจำนวนขอบทั้งหมด และ Г คือจำนวนรูปหลายเหลี่ยมที่รวมอยู่ในพาร์ติชั่น เป็นที่ชัดเจนว่า Г = Г - 1 โดยที่ Г คือจำนวนใบหน้าของ ให้รูปทรงหลายเหลี่ยม

ให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกัน (*) จะไม่เปลี่ยนแปลงหากเราวาดเส้นทแยงมุมในรูปหลายเหลี่ยมบางส่วนของพาร์ติชั่นที่กำหนด (รูปที่ 5, a) หลังจากวาดเส้นทแยงมุมแล้ว พาร์ติชั่นใหม่จะมีจุดยอด B, ขอบ P + 1 และจำนวนรูปหลายเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง ดังนั้นเราจึงมี

V - (R + 1) + (G "+1) \u003d V - R + G" .

เมื่อใช้คุณสมบัตินี้ เราวาดเส้นทแยงมุมโดยแบ่งรูปหลายเหลี่ยมขาเข้าออกเป็นรูปสามเหลี่ยม และสำหรับพาร์ติชันผลลัพธ์ เราแสดงว่าความเท่าเทียมกัน (*) เป็นที่พอใจ (รูปที่ 5, b) ในการทำเช่นนี้ เราจะลบขอบด้านนอกออกอย่างสม่ำเสมอ โดยลดจำนวนสามเหลี่ยมลง ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองกรณี:

ก) เพื่อลบรูปสามเหลี่ยม ABCในกรณีของเราจำเป็นต้องถอดสองซี่โครงออก ABและ BC;

b) เพื่อลบสามเหลี่ยมMKNในกรณีของเราจำเป็นต้องลบหนึ่งขอบMN.

ในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน (*) จะไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น ในกรณีแรก หลังจากลบสามเหลี่ยมแล้ว กราฟจะประกอบด้วยจุดยอด B - 1, ขอบ R - 2 และ G "- 1 รูปหลายเหลี่ยม:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G"

พิจารณากรณีที่สองสำหรับตัวคุณเอง

ดังนั้นการลบรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปจะไม่เปลี่ยนความเท่าเทียมกัน (*) ดำเนินการต่อกระบวนการลบสามเหลี่ยมนี้ ในที่สุดเราก็มาถึงพาร์ทิชันที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมเดียว สำหรับพาร์ติชั่นดังกล่าว B \u003d 3, P \u003d 3, Г "= 1 และดังนั้น B - Р + Г" = 1 ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (*) ก็ถือเป็นพาร์ติชั่นดั้งเดิมซึ่งในที่สุดเราก็ได้ สำหรับความเท่าเทียมกันของพาร์ติชันรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด (*) ถือเป็นจริง ดังนั้น สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนดั้งเดิม ความเท่าเทียมกัน B - P + G = 2 จึงเป็นจริง

ตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่มีความสัมพันธ์แบบออยเลอร์คือแสดงในรูปที่ 6 รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีจุดยอด 16 จุด ขอบ 32 จุด และใบหน้า 16 จุด ดังนั้นสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ ความเท่าเทียมกัน B - P + G = 0 เป็นที่พอใจ

ภาคผนวก 3

Movie Cube 2: Hypercube "(eng. Cube 2: Hypercube) - ภาพยนตร์แฟนตาซีความต่อเนื่องของภาพยนตร์" Cube "

คนแปลกหน้าแปดคนตื่นขึ้นมาในห้องรูปทรงลูกบาศก์ ห้องอยู่ในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ห้องมีการเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่องโดย "การเคลื่อนย้ายควอนตัม" และหากคุณปีนเข้าไปในห้องถัดไป ก็ไม่น่าจะกลับไปที่ห้องก่อนหน้า โลกคู่ขนานตัดกันในไฮเปอร์คิวบ์ เวลาไหลต่างกันในบางห้อง และบางห้องเป็นกับดักมรณะ

โครงเรื่องของภาพส่วนใหญ่จะซ้ำเรื่องราวของส่วนแรกซึ่งสะท้อนให้เห็นในภาพของตัวละครบางตัวเช่นกัน Rosenzweig ผู้ได้รับรางวัลโนเบลซึ่งคำนวณเวลาที่แน่นอนของการทำลายไฮเปอร์คิวบ์ เสียชีวิตในห้องของไฮเปอร์คิวบ์.

คำติชม

หากในตอนแรกผู้คนที่ถูกจองจำในเขาวงกตพยายามช่วยเหลือซึ่งกันและกัน ในภาพยนตร์เรื่องนี้ ล้วนแล้วแต่เป็นผู้ชายเพื่อตัวเขาเอง มีเอฟเฟกต์พิเศษมากมาย (เป็นกับดักด้วย) ที่ไม่เชื่อมโยงส่วนนี้ของภาพยนตร์กับส่วนก่อนหน้าอย่างมีเหตุผล นั่นคือปรากฎว่าภาพยนตร์เรื่อง Cube 2 เป็นเขาวงกตแห่งอนาคตปี 2020-2030 แต่ไม่ใช่ปี 2000 ในส่วนแรก กับดักทุกประเภทในทางทฤษฎีสามารถสร้างขึ้นโดยบุคคล ในส่วนที่สอง กับดักเหล่านี้เป็นโปรแกรมของคอมพิวเตอร์บางชนิด ที่เรียกว่า "Virtual Reality"

ถ้ามันเกิดขึ้นกับคุณ กรณีไม่ปกติ, คุณเห็นสัตว์ประหลาดหรือปรากฏการณ์ที่เข้าใจยาก, คุณมีความฝันที่ไม่ธรรมดา, คุณเห็นยูเอฟโอบนท้องฟ้าหรือตกเป็นเหยื่อของการลักพาตัวของมนุษย์ต่างดาว คุณสามารถส่งเรื่องราวของคุณมาให้เราและมันจะเผยแพร่บนเว็บไซต์ของเรา ===> .

คำสอนเกี่ยวกับช่องว่างหลายมิติเริ่มปรากฏให้เห็นในกลางศตวรรษที่ 19 นิยายวิทยาศาสตร์ยืมแนวคิดเรื่องพื้นที่สี่มิติจากนักวิทยาศาสตร์ ในงานของพวกเขา พวกเขาเล่าให้โลกฟังถึงความมหัศจรรย์ของมิติที่สี่

ฮีโร่ในผลงานของพวกเขาโดยใช้คุณสมบัติของพื้นที่สี่มิติสามารถกินเนื้อหาของไข่โดยไม่ทำลายเปลือกดื่มเครื่องดื่มโดยไม่ต้องเปิดขวด พวกลักพาตัวไปเอาสมบัติจากตู้เซฟผ่านมิติที่สี่ ศัลยแพทย์ทำการผ่าตัดอวัยวะภายในโดยไม่ตัดเนื้อเยื่อของร่างกายผู้ป่วย

tesseract

ในเรขาคณิต ไฮเปอร์คิวบ์คือการเปรียบเทียบแบบ n มิติของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (n = 2) และลูกบาศก์ (n = 3) อะนาล็อกสี่มิติของลูกบาศก์ 3 มิติปกติของเราเรียกว่า tesseract tesseract อยู่ที่ลูกบาศก์ในขณะที่ลูกบาศก์อยู่ที่สี่เหลี่ยม อย่างเป็นทางการมากขึ้น tesseract สามารถอธิบายเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมสี่มิตินูนปกติที่มีขอบเขตประกอบด้วยแปดลูกบาศก์เซลล์

ใบหน้า 3 มิติที่ไม่ขนานกันแต่ละคู่ตัดกันเพื่อสร้างใบหน้า 2 มิติ (สี่เหลี่ยม) และอื่นๆ ในที่สุด tesseract มี 8 ใบหน้า 3 มิติ 24 2 มิติ 32 ขอบและ 16 จุดยอด
อนึ่ง ตามพจนานุกรมของ Oxford คำว่า tesseract ได้รับการประกาศเกียรติคุณและใช้ในปี 1888 โดย Charles Howard Hinton (1853-1907) ในหนังสือของเขา A New Age of Thought ต่อมาบางคนเรียกร่างเดียวกันว่าเตตราคิวบ์ (กรีกเตตรา - สี่) - ลูกบาศก์สี่มิติ

การก่อสร้างและคำอธิบาย

ลองจินตนาการว่าไฮเปอร์คิวบ์จะมีลักษณะอย่างไรโดยไม่ต้องออกจากพื้นที่สามมิติ
ใน "ช่องว่าง" หนึ่งมิติ - บนเส้น - เราเลือกส่วน AB ที่มีความยาว L บนระนาบสองมิติที่ระยะทาง L จาก AB เราวาดส่วน DC ขนานกับมันและเชื่อมต่อปลายของมัน คุณจะได้ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำซ้ำการดำเนินการนี้กับระนาบ เราได้ลูกบาศก์ CDBAGHFE สามมิติ และด้วยการเลื่อนลูกบาศก์ในมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับสามตัวแรก) ด้วยระยะทาง L เราจะได้ไฮเปอร์คิวบ์ CDBAGHFEKLJIOPNM

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาเหตุผลสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ที่มีมิติจำนวนมากขึ้นต่อไปได้ แต่มันน่าสนใจกว่ามากที่จะเห็นว่าไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะมองหาเราซึ่งอาศัยอยู่ในอวกาศสามมิติได้อย่างไร

ลองนำเส้นลวด ABCDHEFG มามองด้วยตาข้างเดียวจากด้านข้างของใบหน้า เราจะเห็นและสามารถวาดสี่เหลี่ยมสองช่องบนระนาบ (ทั้งหน้าใกล้และไกล) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นสี่เส้น - ขอบด้านข้าง ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในปริภูมิสามมิติจะดูเหมือน "กล่อง" สองลูกบาศก์ที่สอดเข้าด้วยกันและเชื่อมต่อกันด้วยขอบแปดด้าน ในกรณีนี้ "กล่อง" เอง - ใบหน้าสามมิติ - จะถูกฉายบนพื้นที่ "ของเรา" และเส้นที่เชื่อมต่อกันจะยืดไปในทิศทางของแกนที่สี่ คุณยังสามารถลองจินตนาการถึงลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ในการฉายภาพ แต่เป็นภาพเชิงพื้นที่

เฉกเช่นที่ลูกบาศก์สามมิติถูกสร้างขึ้นโดยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขยับตามความยาวของใบหน้า ลูกบาศก์ที่ถูกเลื่อนไปยังมิติที่สี่จะก่อตัวเป็นไฮเปอร์คิวบ์ มันถูก จำกัด ด้วยแปดลูกบาศก์ซึ่งในอนาคตจะดูเหมือนร่างที่ค่อนข้างซับซ้อน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิตินั้นสามารถแบ่งออกเป็นลูกบาศก์จำนวนนับไม่ถ้วน เช่นเดียวกับที่ลูกบาศก์สามมิติสามารถ "ตัด" เป็นสี่เหลี่ยมแบนจำนวนนับไม่ถ้วน

ด้วยการตัดลูกบาศก์สามมิติหกหน้า คุณสามารถสลายมันให้เป็นรูปแบน - ตาข่าย มันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแต่ละด้านของใบหน้าเดิม บวกอีกหนึ่ง - ใบหน้าตรงข้ามกับมัน การพัฒนาสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะประกอบด้วยลูกบาศก์ดั้งเดิม ลูกบาศก์หกก้อนที่ "เติบโต" จากมัน บวกอีกหนึ่งอัน - "ไฮเปอร์เฟซ" สุดท้าย

ไฮเปอร์คิวบ์ในงานศิลปะ

Tesseract เป็นตัวละครที่น่าสนใจซึ่งดึงดูดความสนใจของนักเขียนและผู้สร้างภาพยนตร์ซ้ำแล้วซ้ำอีก
Robert E. Heinlein กล่าวถึงไฮเปอร์คิวบ์หลายครั้ง ใน The House That Teal Built (1940) เขาได้บรรยายถึงบ้านที่สร้างขึ้นโดยการตีแผ่ของ tesseract และจากเหตุแผ่นดินไหว จึงได้ "ก่อตัว" ในมิติที่สี่และกลายเป็น "tesseract" ที่ "แท้จริง" ในนวนิยายเรื่อง Glory Road โดย Heinlein มีการอธิบายกล่องไฮเปอร์มิติที่ด้านในใหญ่กว่าด้านนอก

เรื่องราวของ Henry Kuttner "All Borog's Tenals" อธิบายของเล่นเพื่อการศึกษาสำหรับเด็กจากอนาคตอันไกลโพ้น ซึ่งมีโครงสร้างคล้ายกับ tesseract

เนื้อเรื่องของ Cube 2: Hypercube มีศูนย์กลางอยู่ที่คนแปลกหน้าแปดคนที่ติดอยู่ใน "ไฮเปอร์คิวบ์" หรือเครือข่ายของลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อกัน

โลกคู่ขนาน

นามธรรมทางคณิตศาสตร์ทำให้แนวคิดของการดำรงอยู่เป็นจริง โลกคู่ขนาน. สิ่งเหล่านี้เป็นความจริงที่มีอยู่พร้อมกันกับเรา แต่เป็นอิสระจากมัน โลกคู่ขนานสามารถมีขนาดแตกต่างกัน: ตั้งแต่พื้นที่ทางภูมิศาสตร์ขนาดเล็กไปจนถึงทั้งจักรวาล ในโลกคู่ขนาน เหตุการณ์ต่าง ๆ เกิดขึ้นในแบบของมันเอง มันอาจจะแตกต่างจากโลกของเรา ทั้งในรายละเอียดส่วนบุคคลและในเกือบทุกอย่าง โดยที่ กฎทางกายภาพโลกคู่ขนานไม่จำเป็นต้องคล้ายกับกฎของจักรวาลของเราเสมอไป

หัวข้อนี้เป็นแหล่งอุดมสมบูรณ์สำหรับนักเขียนนิยายวิทยาศาสตร์

การตรึงกางเขนบนไม้กางเขนโดย Salvador Dali แสดงให้เห็นภาพ tesseract "การตรึงกางเขนหรือร่างไฮเปอร์คิวบิก" เป็นภาพวาดปี 1954 โดยศิลปินชาวสเปน ซัลวาดอร์ ดาลี แสดงให้เห็นภาพพระเยซูคริสต์ที่ถูกตรึงกางเขนเกี่ยวกับพัฒนาการของเทสเซอแรคท์ ภาพวาดถูกเก็บไว้ที่พิพิธภัณฑ์ศิลปะเมโทรโพลิแทนในนิวยอร์ก

ทุกอย่างเริ่มต้นในปี 1895 เมื่อ HG Wells ค้นพบการมีอยู่ของโลกคู่ขนานสำหรับจินตนาการด้วยเรื่องราว "The Door in the Wall" ในปีพ. ศ. 2466 เวลส์ได้กลับสู่แนวคิดเรื่องโลกคู่ขนานและวางไว้ในประเทศยูโทเปียที่ซึ่งตัวละครในนวนิยายเรื่อง "People Are Like Gods" ไป

นวนิยายเรื่องนี้ไม่มีใครสังเกตเห็น ในปี พ.ศ. 2469 เรื่องราวของ G. Dent "The Emperor of the Country" ถ้า "" ปรากฏขึ้น ในเรื่องของ Dent เป็นครั้งแรกที่มีแนวคิดว่าอาจมีประเทศ (โลก) ที่ประวัติศาสตร์อาจแตกต่างจากประวัติศาสตร์ของประเทศจริง ในโลกของเรา และโลกเหล่านี้ก็มีจริงไม่น้อยไปกว่าของเรา

ในปี 1944 Jorge Luis Borges ได้ตีพิมพ์เรื่องสั้นเรื่อง "The Garden of Forking Paths" ในหนังสือของเขาเรื่อง Fictional Stories ในที่สุดความคิดของการแตกแขนงของเวลาก็แสดงออกอย่างชัดเจนที่สุด
แม้จะมีลักษณะที่ปรากฏของผลงานข้างต้น แต่แนวคิดเรื่องโลกหลายใบเริ่มพัฒนาอย่างจริงจังในนิยายวิทยาศาสตร์เฉพาะเมื่อปลายวัยสี่สิบของศตวรรษที่ XX โดยประมาณในเวลาเดียวกันเมื่อมีแนวคิดที่คล้ายกันเกิดขึ้นในฟิสิกส์

หนึ่งในผู้บุกเบิกทิศทางใหม่ในนิยายวิทยาศาสตร์คือ John Bixby ผู้แนะนำในเรื่อง "One-Way Street" (1954) ว่าระหว่างโลกคุณสามารถย้ายไปในทิศทางเดียวเท่านั้น - จากโลกของคุณไปสู่โลกคู่ขนาน คุณจะไม่กลับไป แต่คุณจะย้ายจากโลกหนึ่งไปอีกโลกหนึ่ง อย่างไรก็ตาม การกลับสู่โลกของคุณเองก็ไม่ได้รับการยกเว้น - ด้วยเหตุนี้จึงจำเป็นต้องปิดระบบของโลก

ในนวนิยายของ Clifford Simak เรื่อง "Ring around the Sun" (1982) มีการบรรยายถึงดาวเคราะห์จำนวนมากในโลก ซึ่งแต่ละดวงมีอยู่ในโลกของตัวเอง แต่อยู่บนวงโคจรเดียวกัน และโลกเหล่านี้และดาวเคราะห์เหล่านี้ต่างกันเพียง การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย (โดยไมโครวินาที) ในเวลา ดินแดนต่าง ๆ เยี่ยมชมโดยฮีโร่ของรูปแบบนวนิยาย ระบบเดียวโลก

Alfred Bester แสดงความอยากรู้อยากเห็นเกี่ยวกับการแตกแขนงของโลกในเรื่อง "The Man Who Killed Mohammed" (1958) “เปลี่ยนอดีต” ฮีโร่ของเรื่องกล่าว “คุณเปลี่ยนเพื่อตัวคุณเองเท่านั้น” กล่าวอีกนัยหนึ่ง หลังจากเปลี่ยนอดีต แขนงหนึ่งของประวัติศาสตร์ก็เกิดขึ้น ซึ่งเฉพาะตัวละครที่เปลี่ยนแปลงเท่านั้น การเปลี่ยนแปลงนี้จึงมีอยู่

ในเรื่องราวของพี่น้อง Strugatsky "วันจันทร์เริ่มต้นในวันเสาร์" (1962) การเดินทางของตัวละครไปสู่อนาคตรุ่นต่าง ๆ ที่อธิบายโดยนักเขียนนิยายวิทยาศาสตร์ได้อธิบายไว้ - ตรงกันข้ามกับการเดินทางไปยังรุ่นต่าง ๆ ในอดีตที่มีอยู่แล้วในนิยายวิทยาศาสตร์ .

อย่างไรก็ตาม แม้แต่การแจงนับอย่างง่าย ๆ ของงานทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อของการขนานกันของโลกก็จะใช้เวลามากเกินไป และแม้ว่าตามกฎแล้วนักเขียนนิยายวิทยาศาสตร์จะไม่ยืนยันสมมติฐานของหลายมิติทางวิทยาศาสตร์ แต่พวกเขาพูดถูกในสิ่งหนึ่ง - นี่คือสมมติฐานที่มีสิทธิ์มีอยู่
มิติที่สี่ของ tesseract ยังคงรอให้เราไปเยี่ยมชม

วิกเตอร์ ซาวินอฟ

Bacalier Maria

กำลังศึกษาวิธีการแนะนำแนวคิดของลูกบาศก์สี่มิติ (tesseract) โครงสร้างและคุณสมบัติบางอย่าง คำถามเกี่ยวกับวัตถุสามมิติที่ได้รับเมื่อลูกบาศก์สี่มิติตัดกันโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับสามมิติของมัน ใบหน้าที่มีมิติ เช่นเดียวกับไฮเปอร์เพลนที่ตั้งฉากกับแนวทแยงหลัก พิจารณาเครื่องมือของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติที่ใช้สำหรับการวิจัย

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

บทนำ…………………………………………………………………………………….2

ส่วนหลัก………………………………………………………………..4

สรุปผล………….. …………………………………………………………..12

ข้อมูลอ้างอิง…………………………………………………………..13

บทนำ

พื้นที่สี่มิติดึงดูดความสนใจของทั้งนักคณิตศาสตร์มืออาชีพและผู้ที่ไม่ได้ฝึกฝนวิทยาศาสตร์นี้มานานแล้ว ความสนใจในมิติที่สี่อาจเกิดจากการสันนิษฐานว่าโลกสามมิติของเรา "แช่" อยู่ในอวกาศสี่มิติ เช่นเดียวกับที่เครื่องบิน "แช่" ในพื้นที่สามมิติ เส้นตรงก็ "แช่" ใน ระนาบและจุดเป็นเส้นตรง นอกจากนี้ พื้นที่สี่มิติยังมีบทบาทสำคัญใน ทฤษฎีสมัยใหม่ทฤษฎีสัมพัทธภาพ (สิ่งที่เรียกว่า กาล-อวกาศ หรือ อวกาศ Minkowski) และยังถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษอีกด้วยปริภูมิแบบยุคลิดมิติ (for).

คิวบ์สี่มิติ (tesseract) เป็นอ็อบเจ็กต์ของสเปซสี่มิติที่มีมิติสูงสุดที่เป็นไปได้ โปรดทราบว่าสิ่งนี้เป็นที่สนใจโดยตรงเช่นกัน กล่าวคือ อาจปรากฏในปัญหาการปรับให้เหมาะสมของโปรแกรมเชิงเส้นตรง (เป็นพื้นที่ซึ่งพบฟังก์ชันเชิงเส้นต่ำสุดหรือสูงสุดของตัวแปรสี่ตัว) และยังใช้ในไมโครอิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัลด้วย (เมื่อ การเขียนโปรแกรมการทำงานของจอแสดงผล นาฬิกาอิเล็กทรอนิกส์). นอกจากนี้กระบวนการในการศึกษาลูกบาศก์สี่มิติยังมีส่วนช่วยในการพัฒนาการคิดเชิงพื้นที่และจินตนาการ

ดังนั้นการศึกษาโครงสร้างและคุณสมบัติเฉพาะของลูกบาศก์สี่มิติจึงมีความเกี่ยวข้องมาก ควรสังเกตว่าในแง่ของโครงสร้างลูกบาศก์สี่มิติได้รับการศึกษาค่อนข้างดี สิ่งที่น่าสนใจกว่านั้นคือลักษณะของส่วนต่างๆ ของไฮเปอร์เพลนต่างๆ ดังนั้นเป้าหมายหลักของงานนี้คือการศึกษาโครงสร้างของ tesseract รวมทั้งชี้แจงคำถามว่าจะได้รับวัตถุสามมิติอะไรหากลูกบาศก์สี่มิติถูกตัดโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับหนึ่งในสามของ ใบหน้าที่มีมิติหรือโดยไฮเปอร์เพลนตั้งฉากกับแนวทแยงหลัก ไฮเปอร์เพลนในสเปซสี่มิติคือสเปซย่อยสามมิติ เราสามารถพูดได้ว่าเส้นบนระนาบคือไฮเปอร์เพลนหนึ่งมิติ ระนาบในพื้นที่สามมิติคือไฮเปอร์เพลนสองมิติ

เป้าหมายที่กำหนดวัตถุประสงค์ของการศึกษา:

1) ศึกษาข้อเท็จจริงพื้นฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติ

2) เพื่อศึกษาคุณลักษณะของการสร้างลูกบาศก์ขนาดตั้งแต่ 0 ถึง 3

3) ศึกษาโครงสร้างของลูกบาศก์สี่มิติ

4) อธิบายลูกบาศก์สี่มิติในเชิงวิเคราะห์และเชิงเรขาคณิต

5) สร้างแบบจำลองของการกวาดและการฉายภาพส่วนกลางของลูกบาศก์สามมิติและสี่มิติ

6) การใช้อุปกรณ์ของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติ อธิบายวัตถุสามมิติที่ได้จากการข้ามลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับหนึ่งในใบหน้าสามมิติของมัน หรือโดยไฮเปอร์เพลนที่ตั้งฉากกับแนวทแยงหลัก

ข้อมูลที่ได้รับในลักษณะนี้จะช่วยให้เข้าใจโครงสร้างของ tesseract ได้ดีขึ้น ตลอดจนเปิดเผยการเปรียบเทียบเชิงลึกในโครงสร้างและคุณสมบัติของลูกบาศก์ในมิติต่างๆ

ส่วนสำคัญ

อันดับแรก เราอธิบายเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เราจะใช้ในหลักสูตรการศึกษานี้

1) พิกัดเวกเตอร์: if, แล้ว

2) สมการไฮเปอร์เพลนที่มีเวกเตอร์ปกติดูเหมือนที่นี่

3) เครื่องบินและ จะขนานกันก็ต่อเมื่อ

4) ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดถูกกำหนดดังนี้: if, แล้ว

5) สภาพมุมฉากของเวกเตอร์:

ก่อนอื่น มาดูกันว่าสามารถอธิบายลูกบาศก์สี่มิติได้อย่างไร สามารถทำได้สองวิธี - เรขาคณิตและการวิเคราะห์

หากเราพูดถึงวิธีการตั้งค่าทางเรขาคณิต ขอแนะนำให้ทำตามขั้นตอนการสร้างลูกบาศก์โดยเริ่มจากมิติศูนย์ คิวบ์ศูนย์มิติเป็นจุด (โปรดทราบว่าจุดหนึ่งสามารถเล่นบทบาทของลูกบอลศูนย์มิติได้) ต่อไป เราแนะนำมิติแรก (แกน abscissa) และบนแกนที่สอดคล้องกัน เราทำเครื่องหมายจุดสองจุด (ลูกบาศก์ศูนย์สองลูกบาศก์) ซึ่งอยู่ห่างจากกัน 1 อัน ผลที่ได้คือเซ็กเมนต์ - ลูกบาศก์หนึ่งมิติ ทันทีที่เราสังเกตเห็นคุณลักษณะเฉพาะ: ขอบเขต (สิ้นสุด) ของลูกบาศก์หนึ่งมิติ (ส่วน) เป็นลูกบาศก์ศูนย์สองมิติ (สองจุด) ต่อไป เราแนะนำมิติที่สอง (แกน y) และบนระนาบมาสร้างลูกบาศก์หนึ่งมิติสองอัน (สองส่วน) กัน ปลายของมันอยู่ห่างจากกัน 1 อัน (อันที่จริงหนึ่งในเซกเมนต์เป็นการฉายมุมฉากของอีกอันหนึ่ง) เชื่อมต่อปลายที่สอดคล้องกันของเซ็กเมนต์เราจะได้สี่เหลี่ยม - ลูกบาศก์สองมิติ อีกครั้ง เราสังเกตว่าขอบเขตของลูกบาศก์สองมิติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) คือลูกบาศก์หนึ่งมิติสี่ก้อน (สี่ส่วน) สุดท้าย เราแนะนำมิติที่สาม (แกนประยุกต์) และสร้างในอวกาศสองช่องสี่เหลี่ยมในลักษณะที่หนึ่งในนั้นเป็นเส้นโครงฉากมุมฉากของอีกช่องหนึ่ง (ในกรณีนี้ จุดยอดที่สอดคล้องกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ระยะห่าง 1 จากกันและกัน) เชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกับเซ็กเมนต์ - เราได้ลูกบาศก์สามมิติ เราจะเห็นว่าขอบเขตของลูกบาศก์สามมิติคือลูกบาศก์สองมิติหกอัน (หกสี่เหลี่ยม) โครงสร้างที่อธิบายทำให้สามารถเปิดเผยความสม่ำเสมอดังต่อไปนี้: ในแต่ละขั้นตอนลูกบาศก์มิติ "เคลื่อนที่ทิ้งร่องรอย" ในนี่คือการวัดที่ระยะ 1 ในขณะที่ทิศทางการเคลื่อนที่ตั้งฉากกับลูกบาศก์ มันเป็นความต่อเนื่องอย่างเป็นทางการของกระบวนการนี้ที่ช่วยให้เรามาถึงแนวคิดของลูกบาศก์สี่มิติ กล่าวคือให้ลูกบาศก์สามมิติเคลื่อนที่ไปในทิศทางของมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับลูกบาศก์) ที่ระยะ 1 ทำหน้าที่คล้ายกับก่อนหน้านั่นคือการเชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกันของลูกบาศก์เราจะ รับลูกบาศก์สี่มิติ ควรสังเกตว่าในเชิงเรขาคณิตนั้นการก่อสร้างในพื้นที่ของเราเป็นไปไม่ได้ (เพราะเป็นสามมิติ) แต่ที่นี่เราไม่พบความขัดแย้งใด ๆ จากมุมมองเชิงตรรกะ ตอนนี้ มาดูคำอธิบายเชิงวิเคราะห์ของลูกบาศก์สี่มิติกัน นอกจากนี้ยังได้รับอย่างเป็นทางการด้วยความช่วยเหลือของการเปรียบเทียบ ดังนั้น งานวิเคราะห์ของคิวบ์หน่วยศูนย์มิติจึงมีรูปแบบดังนี้:

งานวิเคราะห์ของคิวบ์หน่วยหนึ่งมิติมีรูปแบบดังนี้:

งานวิเคราะห์ของคิวบ์หน่วยสองมิติมีรูปแบบดังนี้:

งานวิเคราะห์ของลูกบาศก์หน่วยสามมิติมีรูปแบบดังนี้

ตอนนี้มันง่ายมากที่จะให้การวิเคราะห์แทนลูกบาศก์สี่มิติ กล่าวคือ:

อย่างที่คุณเห็น ทั้งวิธีทางเรขาคณิตและการวิเคราะห์ในการระบุลูกบาศก์สี่มิติใช้วิธีการเปรียบเทียบ

ตอนนี้โดยใช้เครื่องมือของเรขาคณิตวิเคราะห์ เราจะหาว่าลูกบาศก์สี่มิติมีโครงสร้างแบบใด อันดับแรก มาดูกันว่ามีองค์ประกอบใดบ้าง ที่นี่อีกครั้ง คุณสามารถใช้การเปรียบเทียบ (เพื่อนำเสนอสมมติฐาน) ขอบเขตของลูกบาศก์หนึ่งมิติคือจุด (ลูกบาศก์ศูนย์) ของลูกบาศก์สองมิติ - ส่วน (ลูกบาศก์หนึ่งมิติ) ของลูกบาศก์สามมิติ - สี่เหลี่ยม (หน้าสองมิติ) สามารถสันนิษฐานได้ว่าขอบเขตของ tesseract เป็นลูกบาศก์สามมิติ เพื่อที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราอธิบายให้ชัดเจนว่าจุดยอด ขอบ และใบหน้าหมายถึงอะไร จุดยอดของลูกบาศก์คือจุดมุม นั่นคือพิกัดของจุดยอดสามารถเป็นศูนย์หรือหนึ่งได้ ดังนั้น จะพบความสัมพันธ์ระหว่างมิติของลูกบาศก์กับจำนวนจุดยอดของมัน เราใช้กฎผลิตภัณฑ์แบบผสมผสาน - ตั้งแต่จุดยอดลูกบาศก์มีตรงพิกัดซึ่งแต่ละอันมีค่าเท่ากับศูนย์หรือหนึ่ง (โดยไม่คำนึงถึงอื่น ๆ ทั้งหมด) แล้วมียอดเขา ดังนั้นที่จุดยอดใดๆ พิกัดทั้งหมดจะคงที่และสามารถเท่ากับหรือ . หากเราแก้ไขพิกัดทั้งหมด (ตั้งค่าให้แต่ละอันมีค่าเท่ากับหรือ โดยไม่ขึ้นกับอย่างอื่น) ยกเว้นอันหนึ่ง จากนั้นเราจะได้เส้นตรงที่มีขอบของลูกบาศก์ ในทำนองเดียวกันกับก่อนหน้านี้เราสามารถนับได้ว่ามีสิ่งของ. และถ้าตอนนี้เราแก้ไขพิกัดทั้งหมดแล้ว (ตั้งค่าให้แต่ละอันมีค่าเท่ากับหรือ โดยไม่ขึ้นกับอย่างอื่น) ยกเว้นบางอัน เราได้รับระนาบที่มีใบหน้าสองมิติของลูกบาศก์ การใช้กฎของ combinatorics เราพบว่ามีสิ่งของ. นอกจากนี้ ในทำนองเดียวกัน - แก้ไขพิกัดทั้งหมด (ตั้งค่าให้แต่ละอันมีค่าเท่ากับหรือ โดยไม่คำนึงถึงสิ่งอื่น) ยกเว้นบางสาม เราได้ไฮเปอร์เพลนที่มีใบหน้าสามมิติของลูกบาศก์ โดยใช้กฎเดียวกัน เราคำนวณจำนวนของพวกเขา - อย่างแน่นอนเป็นต้น นี้จะเพียงพอสำหรับการศึกษาของเรา ให้เรานำผลลัพธ์ที่ได้ไปใช้กับโครงสร้างของลูกบาศก์สี่มิติ กล่าวคือ ในสูตรที่ได้รับทั้งหมดที่เราตั้งค่า. ดังนั้น ลูกบาศก์สี่มิติจึงมีจุดยอด 16 จุด, ขอบ 32 ขอบ, ใบหน้าสองมิติ 24 หน้า และใบหน้าสามมิติ 8 หน้า เพื่อความชัดเจน เรากำหนดองค์ประกอบทั้งหมดในเชิงวิเคราะห์

จุดยอดของลูกบาศก์สี่มิติ:

ขอบของลูกบาศก์สี่มิติ ():

ใบหน้าสองมิติของลูกบาศก์สี่มิติ (ข้อจำกัดที่คล้ายกัน):

ใบหน้าสามมิติของลูกบาศก์สี่มิติ (ข้อจำกัดที่คล้ายกัน):

ตอนนี้โครงสร้างของคิวบ์สี่มิติและวิธีการกำหนดคิวบ์ได้รับการอธิบายด้วยความสมบูรณ์เพียงพอแล้ว เรามาดำเนินการตามเป้าหมายหลัก - เพื่อชี้แจงธรรมชาติของส่วนต่างๆ ของคิวบ์ เริ่มจากกรณีเบื้องต้นเมื่อส่วนของลูกบาศก์ขนานกับใบหน้าสามมิติอันใดอันหนึ่ง ตัวอย่างเช่น พิจารณาส่วนของมันโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับใบหน้าเป็นที่ทราบกันดีจากเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ว่าส่วนดังกล่าวจะได้รับจากสมการให้เราตั้งค่าส่วนที่เกี่ยวข้องในการวิเคราะห์:

อย่างที่คุณเห็น เราได้รับงานวิเคราะห์สำหรับลูกบาศก์หน่วยสามมิติที่วางอยู่บนไฮเปอร์เพลน

เพื่อสร้างการเปรียบเทียบ เราเขียนส่วนของลูกบาศก์สามมิติโดยระนาบเราได้รับ:

นี่คือสี่เหลี่ยมนอนอยู่ในระนาบ. การเปรียบเทียบนั้นชัดเจน

ส่วนของลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนให้ผลลัพธ์เหมือนกันทุกประการ สิ่งเหล่านี้จะเป็นลูกบาศก์สามมิติเดี่ยวที่วางอยู่บนไฮเปอร์เพลนด้วยตามลำดับ

ทีนี้ลองพิจารณาส่วนของลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนที่ตั้งฉากกับแนวทแยงหลัก มาแก้ปัญหานี้สำหรับลูกบาศก์สามมิติกันก่อน โดยใช้วิธีที่อธิบายข้างต้นในการระบุลูกบาศก์สามมิติหน่วย เขาสรุปว่า ตัวอย่างเช่น ส่วนที่มีปลายสามารถใช้เป็นเส้นทแยงมุมหลักได้และ . ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ของเส้นทแยงมุมหลักจะมีพิกัด. ดังนั้น สมการของระนาบใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลักจะเป็นดังนี้

มากำหนดขีดจำกัดของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์กัน. เพราะ จากนั้น เมื่อบวกอสมการเหล่านี้ทีละเทอม เราจะได้:

หรือ .

ถ้า แล้ว (เนื่องจากข้อจำกัด). ในทำนองเดียวกัน ถ้า, แล้ว . ดังนั้น ณ และที่ ระนาบการตัดและลูกบาศก์มีจุดร่วมเพียงจุดเดียว (และ ตามลำดับ) ทีนี้มาดูสิ่งต่อไปนี้กัน ถ้า(อีกครั้งเนื่องจากข้อจำกัดของตัวแปร) ระนาบที่สอดคล้องกันตัดกันสามหน้าในคราวเดียว เพราะไม่เช่นนั้น ระนาบการตัดจะขนานกับหนึ่งในนั้น ซึ่งไม่ใช่กรณีตามเงื่อนไข ถ้าจากนั้นระนาบจะตัดกับทุกด้านของลูกบาศก์ ถ้าแล้วระนาบตัดหน้า. ให้เรานำเสนอการคำนวณที่เกี่ยวข้อง

อนุญาต แล้วเครื่องบินข้ามเส้นเป็นเส้นตรงอีกด้วย ชายแดน ยิ่งกว่านั้น ขอบ เครื่องบินตัดกันเป็นเส้นตรง, นอกจากนี้

อนุญาต แล้วเครื่องบินข้ามขอบ:

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

คราวนี้ได้มาหกส่วนโดยมีจุดสิ้นสุดร่วมกันอย่างต่อเนื่อง:

อนุญาต แล้วเครื่องบินข้ามเส้นเป็นเส้นตรงอีกด้วย ขอบ เครื่องบินตัดกันเป็นเส้นตรง, และ . ขอบ เครื่องบินตัดกันเป็นเส้นตรง, นอกจากนี้ . นั่นคือได้สามส่วนที่มีปลายร่วมเป็นคู่:ดังนั้นสำหรับค่าที่ระบุของพารามิเตอร์เครื่องบินจะตัดกับลูกบาศก์ในรูปสามเหลี่ยมปกติที่มีจุดยอด

นี่คือคำอธิบายโดยละเอียดของตัวเลขแบนที่ได้จากการข้ามลูกบาศก์ด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก แนวคิดหลักมีดังนี้ จำเป็นต้องเข้าใจว่าส่วนใดที่ระนาบตัดกัน สิ่งใดที่มันตัดกัน เซตเหล่านี้เชื่อมต่อถึงกันอย่างไร ตัวอย่างเช่น หากปรากฎว่าระนาบตัดกันตรงทั้งสามด้านตามส่วนที่มีปลายคู่ขนานกัน ส่วนนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า (ซึ่งพิสูจน์โดยการนับความยาวของส่วนโดยตรง) จุดยอดที่เป็นปลายเหล่านี้ ของกลุ่ม

การใช้เครื่องมือเดียวกันและแนวคิดเดียวกันในการตรวจสอบส่วนตัดขวาง ข้อเท็จจริงต่อไปนี้สามารถอนุมานได้ในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

1) เวกเตอร์ของหนึ่งในเส้นทแยงมุมหลักของลูกบาศก์หน่วยสี่มิติมีพิกัด

2) ไฮเปอร์เพลนใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลักของลูกบาศก์สี่มิติสามารถเขียนเป็น.

3) ในสมการของไฮเปอร์เพลนซีแคนต์ พารามิเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตั้งแต่ 0 ถึง 4;

4) ที่และ ไฮเปอร์เพลนซีแคนต์และลูกบาศก์สี่มิติมีจุดร่วมหนึ่งจุด (และ ตามลำดับ);

5) เมื่อ ในส่วนนี้จะได้รับจัตุรมุขปกติ

6) เมื่อ ในส่วนนี้จะได้รับรูปแปดด้าน

7) เมื่อไร จัตุรมุขปกติจะได้รับในส่วน

ดังนั้นที่นี่ไฮเปอร์เพลนตัดกับ tesseract ตามระนาบซึ่งเนื่องจากข้อ จำกัด ของตัวแปรจึงมีการจัดสรรพื้นที่สามเหลี่ยม (การเปรียบเทียบ - เครื่องบินข้ามลูกบาศก์ไปตามเส้นตรงซึ่งเนื่องจากข้อ จำกัด ของ ตัวแปร, ส่วนที่ถูกจัดสรร) กรณีที่ 5) ไฮเปอร์เพลนตัดกับใบหน้า tesseract สามมิติสี่หน้า นั่นคือ ได้สามเหลี่ยมสี่รูปที่มีด้านร่วมเป็นคู่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ก่อตัวเป็นจัตุรมุข (ตามที่คำนวณได้ - ถูกต้อง) ในกรณีที่ 6) ไฮเปอร์เพลนตัดกับใบหน้า tesseract สามมิติแปดหน้า นั่นคือ ได้รูปสามเหลี่ยมแปดรูปที่มีด้านร่วมกันอย่างต่อเนื่อง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ก่อรูปแปดด้าน กรณีที่ 7) คล้ายกับกรณีที่ 5 อย่างสมบูรณ์)

มาอธิบายสิ่งที่พูดกัน ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม. กล่าวคือเราศึกษาส่วนของลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนเนื่องจากข้อจำกัดของตัวแปร ไฮเปอร์เพลนนี้ตัดกับใบหน้า 3 มิติต่อไปนี้:ขอบ ตัดกันในระนาบเนื่องจากข้อจำกัดของตัวแปร เราจึงมี:หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดไกลออกไป,เราได้สามเหลี่ยมที่จุดตัดของไฮเปอร์เพลนที่มีใบหน้าเราได้สามเหลี่ยมที่จุดตัดของไฮเปอร์เพลนที่มีใบหน้าเราได้สามเหลี่ยมดังนั้น จุดยอดของจัตุรมุขจึงมีพิกัดดังนี้. ง่ายต่อการคำนวณ จัตุรมุขนี้ถูกต้องแน่นอน

ข้อสรุป

ดังนั้นในระหว่างการศึกษานี้ ได้ทำการศึกษาข้อเท็จจริงหลักของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติ ศึกษาคุณลักษณะของการสร้างลูกบาศก์ของมิติตั้งแต่ 0 ถึง 3 โครงสร้างของลูกบาศก์สี่มิติถูกศึกษา ลูกบาศก์สี่มิติถูกศึกษา อธิบายเชิงวิเคราะห์และเชิงเรขาคณิต แบบจำลองของการพัฒนาและการฉายภาพศูนย์กลางของลูกบาศก์สามมิติและสี่มิติ ลูกบาศก์สามมิติเป็นวัตถุที่อธิบายเชิงวิเคราะห์ซึ่งเป็นผลมาจากจุดตัดของลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับหนึ่งในสามของลูกบาศก์ ใบหน้าที่มีมิติหรือโดยไฮเปอร์เพลนตั้งฉากกับแนวทแยงหลัก

การศึกษานี้ทำให้สามารถเปิดเผยการเปรียบเทียบเชิงลึกในโครงสร้างและคุณสมบัติของลูกบาศก์ในมิติต่างๆ เทคนิคการเปรียบเทียบที่ใช้สามารถนำไปใช้ในการศึกษาได้ เช่นทรงกลมมิติหรือมิติซิมเพล็กซ์ กล่าวคือทรงกลมมิติสามารถกำหนดเป็นชุดของจุดพื้นที่มิติเท่ากันจาก คะแนนที่กำหนดซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของทรงกลม ไกลออกไป,มิติซิมเพล็กซ์สามารถกำหนดเป็น partพื้นที่มิติ จำกัดด้วยจำนวนขั้นต่ำไฮเปอร์เพลนมิติ ตัวอย่างเช่น ซิมเพล็กซ์หนึ่งมิติคือเซ็กเมนต์ (ส่วนหนึ่งของปริภูมิหนึ่งมิติที่ล้อมรอบด้วยสองจุด) ซิมเพล็กซ์สองมิติคือรูปสามเหลี่ยม (ส่วนหนึ่งของปริภูมิสองมิติที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงสามเส้น) สามมิติ ซิมเพล็กซ์คือจัตุรมุข (ส่วนหนึ่งของอวกาศสามมิติล้อมรอบด้วยระนาบสี่ระนาบ) ในที่สุด,มิติซิมเพล็กซ์ถูกกำหนดให้เป็น partพื้นที่มิติ จำกัดไฮเปอร์เพลนของมิติ.

โปรดทราบว่าถึงแม้จะมีการใช้ tesseract มากมายในบางพื้นที่ของวิทยาศาสตร์ แต่การศึกษานี้ยังคงเป็นงานวิจัยทางคณิตศาสตร์เป็นส่วนใหญ่

บรรณานุกรม

1) Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. คณิตศาสตร์ชั้นสูง, vol. 1 - M.: Bustard, 2005 - 284 p.

2) ควอนตัม ลูกบาศก์สี่มิติ / Duzhin S. , Rubtsov V. , No. 6, 1986

3) ควอนตัม วาดอย่างไร ลูกบาศก์มิติ / Demidovich N.B. , หมายเลข 8, 1974.

จุด (±1, ±1, ±1, ±1). กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันสามารถแสดงเป็นชุดต่อไปนี้:

tesseract นั้นถูกจำกัดด้วยไฮเปอร์เพลนแปดอัน ซึ่งจุดตัดของ tesseract นั้นกำหนดใบหน้าสามมิติของมันเอง (ซึ่งเป็นลูกบาศก์ธรรมดา) ใบหน้า 3 มิติที่ไม่ขนานกันแต่ละคู่ตัดกันเพื่อสร้างใบหน้า 2 มิติ (สี่เหลี่ยม) และอื่นๆ ในที่สุด tesseract มี 8 ใบหน้า 3 มิติ 24 2 มิติ 32 ขอบและ 16 จุดยอด

คำอธิบายยอดนิยม

ลองจินตนาการว่าไฮเปอร์คิวบ์จะมีลักษณะอย่างไรโดยไม่ต้องออกจากพื้นที่สามมิติ

ใน "ช่องว่าง" หนึ่งมิติ - บนเส้น - เราเลือกส่วน AB ที่มีความยาว L บนระนาบสองมิติที่ระยะทาง L จาก AB เราวาดส่วน DC ขนานกับมันและเชื่อมต่อปลายของมัน คุณจะได้ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำซ้ำการดำเนินการนี้กับระนาบ เราได้ลูกบาศก์ CDBAGHFE สามมิติ และด้วยการเลื่อนลูกบาศก์ในมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับสามตัวแรก) ด้วยระยะทาง L เราจะได้ไฮเปอร์คิวบ์ CDBAGHFEKLJIOPNM

การสร้าง tesseract บนเครื่องบิน

ส่วนหนึ่งมิติ AB ทำหน้าที่เป็นด้านของ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือด้านข้างของลูกบาศก์ CDBAGHFE ซึ่งในทางกลับกันจะเป็นด้านข้างของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ส่วนของเส้นตรงมีจุดขอบเขตสองจุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดยอดสี่จุด และลูกบาศก์มีแปดจุด ดังนั้น ในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ จะมีจุดยอด 16 จุด: จุดยอด 8 จุดของลูกบาศก์ดั้งเดิมและจุดยอด 8 จุดขยับในมิติที่สี่ มันมี 32 ขอบ - 12 อันแต่ละอันให้ตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายของลูกบาศก์ดั้งเดิม และอีก 8 ขอบ "วาด" จุดยอดแปดของมันที่ย้ายไปอยู่ในมิติที่สี่ เหตุผลเดียวกันนี้สามารถทำได้สำหรับใบหน้าของไฮเปอร์คิวบ์ ในพื้นที่สองมิติ มันคือหนึ่ง (ตัวสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอง) ลูกบาศก์มี 6 อัน (สองหน้าจากสี่เหลี่ยมที่ย้าย และอีกสี่หน้าจะอธิบายด้านข้างของมัน) ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติมี 24 หน้าสี่เหลี่ยม - 12 สี่เหลี่ยมของลูกบาศก์ดั้งเดิมในสองตำแหน่งและ 12 สี่เหลี่ยมจากขอบสิบสองของมัน

เนื่องจากด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นส่วนหนึ่งมิติ 4 ส่วน และด้านข้าง (ใบหน้า) ของลูกบาศก์คือสี่เหลี่ยมสองมิติ 6 ช่อง ดังนั้นสำหรับ "ลูกบาศก์สี่มิติ" (tesseract) ด้านข้างจึงเป็นลูกบาศก์สามมิติ 8 ลูก ช่องว่างของคู่ตรงข้ามของลูกบาศก์ tesseract (นั่นคือ ช่องว่างสามมิติที่ลูกบาศก์เหล่านี้อยู่) ขนานกัน ในรูปคือลูกบาศก์: CDBAGHFE และ KLJIOPNM, CDBAKLJI และ GHFEOPNM, EFBAMNJI และ GHDCOPLK, CKIAGOME และ DLJBHPNF

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาเหตุผลสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ที่มีมิติจำนวนมากขึ้นต่อไปได้ แต่มันน่าสนใจกว่ามากที่จะเห็นว่าไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะมองหาเราซึ่งอาศัยอยู่ในอวกาศสามมิติได้อย่างไร ให้เราใช้วิธีการเปรียบเทียบที่คุ้นเคยอยู่แล้ว

ลองนำเส้นลวด ABCDHEFG มามองด้วยตาข้างเดียวจากด้านข้างของใบหน้า เราจะเห็นและสามารถวาดสี่เหลี่ยมสองช่องบนระนาบ (ทั้งหน้าใกล้และไกล) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นสี่เส้น - ขอบด้านข้าง ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในปริภูมิสามมิติจะดูเหมือน "กล่อง" สองลูกบาศก์ที่สอดเข้าด้วยกันและเชื่อมต่อกันด้วยขอบแปดด้าน ในกรณีนี้ "กล่อง" เอง - ใบหน้าสามมิติ - จะถูกฉายบนพื้นที่ "ของเรา" และเส้นที่เชื่อมต่อกันจะยืดไปในทิศทางของแกนที่สี่ คุณยังสามารถลองจินตนาการถึงลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ในการฉายภาพ แต่เป็นภาพเชิงพื้นที่

เฉกเช่นที่ลูกบาศก์สามมิติถูกสร้างขึ้นโดยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขยับตามความยาวของใบหน้า ลูกบาศก์ที่ถูกเลื่อนไปยังมิติที่สี่จะก่อตัวเป็นไฮเปอร์คิวบ์ มันถูก จำกัด ด้วยแปดลูกบาศก์ซึ่งในอนาคตจะดูเหมือนร่างที่ค่อนข้างซับซ้อน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิตินั้นประกอบด้วยลูกบาศก์จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติสามารถ "ตัด" เป็นสี่เหลี่ยมแบนจำนวนอนันต์

ด้วยการตัดลูกบาศก์สามมิติหกหน้า คุณสามารถสลายมันให้เป็นรูปแบน - การพัฒนา มันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแต่ละด้านของใบหน้าเดิม บวกอีกหนึ่ง - ใบหน้าตรงข้ามกับมัน การพัฒนาสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะประกอบด้วยลูกบาศก์ดั้งเดิม ลูกบาศก์หกก้อนที่ "เติบโต" จากมัน บวกอีกหนึ่งอัน - "ไฮเปอร์เฟซ" สุดท้าย

คุณสมบัติของ tesseract เป็นส่วนขยายของคุณสมบัติ รูปทรงเรขาคณิตลดมิติลงสู่พื้นที่สี่มิติ

ประมาณการ

สู่อวกาศสองมิติ

โครงสร้างนี้จินตนาการได้ยาก แต่สามารถฉายภาพ tesseract ลงในช่องว่าง 2 มิติหรือ 3 มิติได้ นอกจากนี้ การฉายภาพบนเครื่องบินทำให้ง่ายต่อการเข้าใจตำแหน่งของจุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์ ด้วยวิธีนี้ เป็นไปได้ที่จะได้ภาพที่ไม่ได้สะท้อนความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ภายใน tesseract อีกต่อไป แต่แสดงให้เห็นโครงสร้างการเชื่อมต่อจุดยอด ดังในตัวอย่างต่อไปนี้:

ภาพที่สามแสดง tesseract ในแบบมีมิติเท่ากัน สัมพันธ์กับจุดก่อสร้าง มุมมองนี้น่าสนใจเมื่อใช้ tesseract เป็นพื้นฐานสำหรับเครือข่ายทอพอโลยีเพื่อเชื่อมโยงโปรเซสเซอร์หลายตัวในการคำนวณแบบขนาน

สู่อวกาศสามมิติ

หนึ่งในการคาดการณ์ของ tesseract บนพื้นที่สามมิติคือลูกบาศก์สามมิติที่ซ้อนกันสองอัน จุดยอดที่สอดคล้องกันซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยเซกเมนต์ ลูกบาศก์ด้านในและด้านนอกมีขนาดต่างกันในพื้นที่ 3 มิติ แต่ลูกบาศก์เท่ากันในพื้นที่ 4 มิติ เพื่อให้เข้าใจถึงความเท่าเทียมกันของลูกบาศก์ทั้งหมด tesseract ได้สร้างแบบจำลองการหมุนของ tesseract

• ปิรามิดที่ถูกตัดทอนหกอันตามขอบของ tesseract เป็นรูปภาพที่มีลูกบาศก์เท่ากับหกก้อน อย่างไรก็ตาม ลูกบาศก์เหล่านี้อยู่ที่ tesseract เหมือนสี่เหลี่ยม (ใบหน้า) อยู่ที่ลูกบาศก์ แต่ในความเป็นจริง tesseract สามารถแบ่งออกเป็นลูกบาศก์จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับที่ลูกบาศก์สามารถแบ่งออกเป็นช่องสี่เหลี่ยมจำนวนอนันต์ หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถแบ่งออกเป็นส่วนจำนวนอนันต์

การฉายภาพที่น่าสนใจอีกประการของ tesseract ลงบนพื้นที่สามมิติคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีเส้นทแยงมุมสี่เส้น เชื่อมจุดยอดตรงข้ามคู่กันที่มุมขนาดใหญ่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ในกรณีนี้ จุดยอด 14 จุดจาก 16 จุดของ tesseract ถูกฉายเป็น 14 จุดยอดของ dodecahedron รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และการคาดการณ์ของ 2 จุดที่เหลือจะอยู่ตรงกลาง ในการฉายภาพบนพื้นที่สามมิติดังกล่าว ความเสมอภาคและความขนานกันของด้านหนึ่งมิติ สองมิติ และสามมิติทั้งหมดจะถูกรักษาไว้

คู่สเตอริโอ

Stereopair ของ tesseract ถูกแสดงเป็นภาพสองภาพบนพื้นที่สามมิติ การแสดงภาพของ tesseract นี้ออกแบบมาเพื่อแสดงถึงความลึกเป็นมิติที่สี่ มีการดูคู่สเตอริโอเพื่อให้ตาแต่ละข้างมองเห็นเพียงภาพเดียว ภาพสามมิติจะเกิดขึ้นที่สร้างความลึกของ tesseract

Tesseract แฉ

พื้นผิวของ tesseract สามารถคลี่ออกเป็นแปดลูกบาศก์ (คล้ายกับที่พื้นผิวของลูกบาศก์สามารถกางออกเป็นหกสี่เหลี่ยม) มีการตีแผ่ของ tesseract ที่แตกต่างกัน 261 แบบ การแผ่ออกของ tesseract สามารถคำนวณได้โดยการพล็อตมุมที่เชื่อมต่อกันบนกราฟ

Tesseract ในงานศิลปะ

• ใน New Plain ของ Edwine A. Abbott ไฮเปอร์คิวบ์เป็นผู้บรรยาย
• ในตอนหนึ่งของ The Adventures of Jimmy Neutron จิมมี่ "เด็กอัจฉริยะ" ได้ประดิษฐ์ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ซึ่งเหมือนกับกล่องพับจากนวนิยายเรื่อง Glory Road (1963) ของโรเบิร์ต ไฮน์ไลน์
• Robert E. Heinlein กล่าวถึงไฮเปอร์คิวบ์ในนิยายวิทยาศาสตร์อย่างน้อยสามเรื่อง ในบ้านสี่มิติ (บ้านที่ Teel สร้างขึ้น) เขาอธิบายบ้านที่สร้างขึ้นจากการตีแผ่ของ tesseract และเนื่องจากแผ่นดินไหว "ก่อตัว" ในมิติที่สี่และกลายเป็น "ของจริง" tesseract
• ในนวนิยายเรื่อง Glory Road โดย Heinlein มีการอธิบายกล่องไฮเปอร์มิติที่ด้านในใหญ่กว่าด้านนอก
• เรื่องราวของ Henry Kuttner "All Borog's Tenals" อธิบายของเล่นเพื่อการศึกษาสำหรับเด็กจากอนาคตอันไกลโพ้น ซึ่งมีโครงสร้างคล้ายกับ tesseract
• ในนวนิยายของ Alex Garland ( ) คำว่า "tesseract" ใช้สำหรับการแฉสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ แทนที่จะเป็นไฮเปอร์คิวบ์เอง นี่เป็นคำอุปมาที่ออกแบบมาเพื่อแสดงว่าระบบการรับรู้ควรกว้างกว่าระบบที่รับรู้ได้
• เนื้อเรื่องของ The Cube 2: Hypercube มีศูนย์กลางอยู่ที่คนแปลกหน้าแปดคนที่ติดอยู่ใน "ไฮเปอร์คิวบ์" หรือเครือข่ายของลูกบาศก์ที่เชื่อมโยงกัน
• ละครโทรทัศน์ Andromeda ใช้เครื่องกำเนิด tesseract เป็นอุปกรณ์สมรู้ร่วมคิด พวกมันมีไว้เพื่อควบคุมพื้นที่และเวลาเป็นหลัก
• จิตรกรรม " การตรึงกางเขน"(Corpus Hypercubus) โดย Salvador Dali ()
• หนังสือการ์ตูน Nextwave แสดงให้เห็นยานพาหนะที่มี 5 โซน tesseract
• ในอัลบั้ม Voivod Nothingface หนึ่งในเพลงชื่อ "In my hypercube"
• ในนวนิยาย Route Cube ของ Anthony Pierce หนึ่งในดวงจันทร์โคจรของ IDA เรียกว่า tesseract ที่ถูกบีบอัดเป็น 3 มิติ
• ในซีรีส์ "School" Black Hole "" ในฤดูกาลที่สามมีตอน "Tesseract" ลูคัสกดปุ่มลับและโรงเรียนก็เริ่ม "มีรูปร่างเหมือนเทสเซอแรคท์ทางคณิตศาสตร์"
• คำว่า "tesseract" และคำว่า "tesse" ที่มาจากคำว่า "Wrinkle of Time" ของ Madeleine L'Engle
• TesseracT เป็นชื่อของวงดนตรีอังกฤษ
• ในซีรีส์ภาพยนตร์ Marvel Cinematic Universe Tesseract เป็นองค์ประกอบสำคัญของโครงเรื่อง ซึ่งเป็นสิ่งประดิษฐ์จากจักรวาลรูปทรงไฮเปอร์คิวบ์
• ในเรื่องราวของ Robert Sheckley เรื่อง "Miss Mouse and the Fourth Dimension" นักเขียนลึกลับคนรู้จักของผู้แต่งพยายามที่จะดู tesseract โดยมองหาอุปกรณ์ที่เขาออกแบบเป็นเวลาหลายชั่วโมง: ลูกบอลบนขาที่มีแท่งติดอยู่ ที่ปลูกลูกบาศก์วางทับด้วยสัญลักษณ์ลึกลับทุกประเภท เรื่องนี้กล่าวถึงงานของฮินตัน
• ในภาพยนตร์เรื่อง The First Avenger, The Avengers Tesseract เป็นพลังงานของทั้งจักรวาล

ชื่ออื่น

• Hexadecachoron (อังกฤษ) Hexadecachoron)
• ออคโตโชรอน (อังกฤษ) Octachoron)
• tetracube
• 4-cube
• Hypercube (หากไม่ระบุจำนวนมิติ)

หมายเหตุ

วรรณกรรม

• ชาร์ลส์ เอช. ฮินตัน มิติที่สี่ พ.ศ. 2447 ISBN 0-405-07953-2
• มาร์ติน การ์ดเนอร์, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• เอียน สจ๊วร์ต, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

ลิงค์

ภาษารัสเซีย

• โปรแกรม Transformer4D การก่อตัวของแบบจำลองสามมิติของวัตถุสี่มิติ (รวมถึง Hypercube)
• โปรแกรมที่ใช้การสร้าง tesseract และการแปลงความสัมพันธ์ทั้งหมดด้วยซอร์ส C++

เป็นภาษาอังกฤษ

• Mushware Limited เป็นโปรแกรมเอาท์พุต tesseract ( เทรนเนอร์ Tesseractได้รับอนุญาตภายใต้ GPLv2) และเกมยิงมุมมองบุคคลที่หนึ่ง 4 มิติ ( อดาแนกซิส; กราฟิก ส่วนใหญ่เป็นสามมิติ มีเวอร์ชัน GPL ในที่เก็บ OS)

รูปทรงหลายเหลี่ยม
ถูกต้อง (ของแข็งแพลตโตนิก)
สิบสองเหลี่ยมที่มีดาว รูปหลายเหลี่ยมที่มีดาว รูปแปดด้านที่มีดาว
นูน	ของแข็งอาร์คิมีดีน รูปทรงลูกบาศก์ Icosidodecahedron จัตุรมุขที่ถูกตัดทอน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกตัดทอน รูปแปดด้านที่ถูกตัดออก รูปหลายเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน icosahedron ที่ถูกตัดทอน ร่างกายคาตาลัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน Rhombotriacontahedron Triakistetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoid icositetrahedron Deltoidal hexcontahedron Pentagonal icositetrahedron Pentagonal hexedriacontahedron ไม่มีความสมมาตรเชิงพื้นที่ที่สมบูรณ์ พีระมิด ปริซึม Bipyramid Antiprism Zonohedron Parallelepiped Rhombohedron Prismatoid Truncated Pyramid รูปห้าเหลี่ยม
สูตร ทฤษฎีบท ทฤษฎี
อื่น