IKTIB ITA SFU
คอร์สเรียนคณิตศาสตร์
บทที่ 5 แคลคูลัสปริพันธ์
หน้าที่ของตัวแปรเดียว
การบรรยายครั้งที่ 21 แอนติเดริเวทีฟ อินทิกรัลไม่จำกัด
แผนการบรรยาย
แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัด คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด การรวมตาราง คุณสมบัติของค่าคงที่ของสูตรการรวม นำภายใต้เครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียล การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในปริพันธ์ไม่แน่นอน บูรณาการตามส่วนต่างๆ การแยกตัวประกอบของพหุนาม การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย การรวมเศษส่วนแบบง่ายและมีเหตุมีผล บูรณาการ ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการแสดงออกที่ไม่ลงตัวบางอย่าง
แนวคิดของอินทิกรัลแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัด
อินทิกรัลคืออะไร? จริงหรือไม่ที่การบูรณาการเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการสร้างความแตกต่าง? มาตอบคำถามเหล่านี้และคำถามอื่น ๆ
คำจำกัดความ 1 . แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันคือฟังก์ชันที่
ดังนั้น แอนติเดริเวทีฟคือฟังก์ชัน ซึ่งอนุพันธ์นั้นเท่ากับฟังก์ชันที่กำหนด โปรดทราบว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับฟังก์ชัน ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน แต่ท้ายที่สุด อนุพันธ์ของฟังก์ชันก็เท่ากับฟังก์ชันด้วย ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน เช่นเดียวกับฟังก์ชัน โดยที่ค่าคงที่ตามอำเภอใจ
ทฤษฎีบท 1 . (รูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด) ให้ฟังก์ชันนั้นเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันนั้นๆ จากนั้นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันใดๆ จะถูกแสดงเป็น โดยที่ ค่าคงที่ตามอำเภอใจ และในทางกลับกัน สำหรับฟังก์ชันใดๆ จะเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน
การพิสูจน์
. ส่วนที่สองของทฤษฎีบทนั้นชัดเจน เนื่องจากเป็นที่ชัดเจนว่า . ทีนี้ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าถ้าอนุพันธ์ของสองฟังก์ชันเท่ากัน ฟังก์ชันเหล่านี้จะต่างกันด้วยค่าคงที่ อันที่จริง ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ว่าหากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (ผลต่างของฟังก์ชันที่กล่าวถึง) เท่ากับ 0 แสดงว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่ แต่นี่เป็นความจริง เอาสองจุดใดก็ได้ ความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ตามสูตรการเพิ่มขีด จำกัด ของ Lagrange เท่ากับอนุพันธ์ที่จุดกึ่งกลางบางจุดคูณด้วยความแตกต่างของอาร์กิวเมนต์ ( 
). แต่ท้ายที่สุด อนุพันธ์นั้นมีค่าเท่ากับ 0 ทุกที่ ดังนั้น การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะเท่ากับ 0 เสมอ นั่นคือ ฟังก์ชันจะเท่ากับค่าคงที่ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
คำจำกัดความ 2 . เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันหนึ่งเรียกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันและแสดงด้วยสัญลักษณ์
ดังนั้น ในการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดหมายถึงการดำเนินการที่ตรงกันข้ามกับการคำนวณอนุพันธ์ นอกจากนี้เมื่อคำนึงถึงทฤษฎีบท 1 สูตรการคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด นั้นถูกต้อง 
, (1)
โดยที่แอนติเดริเวทีฟตัวใดตัวหนึ่งของฟังก์ชันที่เรียกว่าภายใต้ สฟังก์ชันอินทิกรัล
เรารู้แล้วว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีการใช้งานมากมาย แน่นอนว่าคำพูดในแอปพลิเคชันนั้นเกี่ยวกับคุณค่าของอนุพันธ์ในแต่ละจุดนั่นคือเกี่ยวกับตัวเลข โปรดทราบว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด คือชุดของฟังก์ชัน ดังนั้น การประยุกต์ใช้อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนโดยตรงจึงมีจำกัดมาก ในการประยุกต์ใช้งาน มีอินทิกรัลประเภทอื่นๆ โดยที่ผลลัพธ์เป็นตัวเลข และในทางเทคนิคแล้ว การคำนวณจะลดลงเพื่อหาฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะเรียนรู้วิธีคำนวณอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน
1. คำนวณจากฟังก์ชันอะไร
ปริพันธ์ไม่แน่นอน
เรารู้ว่าสามารถคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานใด ๆ โดยใช้ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานและกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ (อนุพันธ์ของผลรวม ผลต่าง ผลิตภัณฑ์ ผลหาร ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน).
จากที่นี่ คุณสามารถเขียนตารางของแอนติเดริเวทีฟโดยการอ่านตารางอนุพันธ์ "จากขวาไปซ้าย" นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดกฎที่สอดคล้องกับกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ ด้วยผลรวม ความแตกต่าง การแสดงผลของชุดตัวเลข กฎสำหรับการสร้างความแตกต่างและการรวมจะเหมือนกัน แต่ด้วยผลคูณ ผลหาร และการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน สถานการณ์จึงซับซ้อนกว่า ท้ายที่สุด อนุพันธ์ของ พูด ผลิตภัณฑ์ไม่เท่ากับ "ผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์" ดังนั้น ตารางของแอนติเดริเวทีฟและกฎสำหรับการคำนวณแอนติเดริเวทีฟจึงไม่อนุญาตให้ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันพื้นฐานใดๆ มีอินทิกรัลที่เรียกว่า "ไม่ได้รับ" ของฟังก์ชันพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนว่าอินทิกรัลธรรมดาไม่สามารถคำนวณได้ในความเข้าใจของเรา เพราะในฟังก์ชันพื้นฐานไม่มีฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับ . แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องมักมีอยู่เสมอ แต่ในกรณีนี้ แอนติเดริเวทีฟไม่รวมอยู่ในฟังก์ชันพื้นฐาน ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าพิเศษ หลายคนมีความจำเป็นในการใช้งานและมีการศึกษาแยกกัน
ดังนั้น ไม่เหมือนกับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราไม่จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลไม่แน่นอนของฟังก์ชันพื้นฐานใดๆ เราจะศึกษาฟังก์ชันพื้นฐานบางประเภทซึ่งเราต้องเรียนรู้การคำนวณอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน
ตารางปริพันธ์ไม่แน่นอนอย่างง่าย
ลองนึกถึงตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานหลัก:
| 1) | 2) | 3) | 4)  |
| 5) | 6)  | 7) | 8)  |
9)  | 10)  | 11)  | 12)  |
มันสร้างตารางของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนที่ง่ายที่สุดในหลาย ๆ ด้าน มีอินทิกรัลอื่น ๆ ที่นี่เช่นกัน ทั้งหมดสามารถตรวจสอบได้โดยง่ายโดยการคำนวณอนุพันธ์ทางขวามือ
| 1) | 2) | 3)  |
| 4) | 5)  | 6)  |
7)  | 8)  | 9)  |
10)  | 11)  | 12)  |
13)  | 14)  | 15)  |
| | | บรรยายต่อไป ==> | |
| | |
การทำงาน เอฟ(x ) เรียกว่า ดั้งเดิม สำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x) ในช่วงเวลาที่กำหนด ถ้าเพื่อทั้งหมด x จากช่วงเวลานี้ความเท่าเทียมกัน
เอฟ"(x ) = ฉ(x ) .
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน F(x) = x 2 ฉ(x ) = 2X , เพราะ
F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = ฉ(x). ◄
คุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ
ถ้า เอฟ(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน เอฟ(x) ในช่วงเวลาที่กำหนด ตามด้วยฟังก์ชัน เอฟ(x) มีแอนติเดริเวทีฟมากมายไม่จำกัด และแอนติเดริเวทีฟเหล่านี้ทั้งหมดสามารถเขียนเป็น F(x) + C, ที่ไหน จาก เป็นค่าคงที่โดยพลการ
ตัวอย่างเช่น. การทำงาน F(x) = x 2 + 1 เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x ) = 2X , เพราะ F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x = ฉ(x); การทำงาน F(x) = x 2 - 1 เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x ) = 2X , เพราะ F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x = ฉ(x) ; การทำงาน F(x) = x 2 - 3 เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x) = 2X , เพราะ F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x = ฉ(x); ฟังก์ชั่นใด ๆ F(x) = x 2 + จาก , ที่ไหน จาก เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ และมีเพียงฟังก์ชันดังกล่าวเท่านั้นที่เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ฉ(x) = 2X . ◄ |
กฎการคำนวณแอนติเดริเวทีฟ
- ถ้า เอฟ(x) - ต้นฉบับสำหรับ เอฟ(x) , แ จี(x) - ต้นฉบับสำหรับ กรัม(x) , แล้ว เอฟ(x) + จี(x) - ต้นฉบับสำหรับ ฉ(x) + ก.(x) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ .
- ถ้า เอฟ(x) - ต้นฉบับสำหรับ เอฟ(x) , และ k เป็นค่าคงที่ ดังนั้น k · เอฟ(x) - ต้นฉบับสำหรับ k · เอฟ(x) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ .
- ถ้า เอฟ(x) - ต้นฉบับสำหรับ เอฟ(x) , และ k,ข- ถาวรและ k ≠ 0 , แล้ว 1 / k เอฟ( k x +ข ) - ต้นฉบับสำหรับ ฉ(k x + ข) .
ปริพันธ์ไม่แน่นอน
ไม่ ปริพันธ์ที่แน่นอน จากฟังก์ชัน เอฟ(x) เรียกว่านิพจน์ F(x) + Cนั่นคือ เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด เอฟ(x) . อินทิกรัลไม่แน่นอนแสดงดังนี้:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
เอฟ(x)- เรียกว่า integrand ;
f(x) dx- เรียกว่า integrand ;
x - เรียกว่า ตัวแปรอินทิเกรต ;
เอฟ(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน เอฟ(x) ;
จาก เป็นค่าคงที่โดยพลการ
ตัวอย่างเช่น, ∫ 2 x dx =X 2 + จาก , ∫ cosx dx =บาป X + จาก และอื่นๆ ◄
คำว่า "อินทิกรัล" มาจากคำภาษาละติน จำนวนเต็ม ซึ่งหมายถึง "ฟื้นฟู" พิจารณาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของ 2 x, เราจัดเรียงการคืนค่าฟังก์ชัน X 2 ซึ่งอนุพันธ์คือ 2 x. การคืนค่าฟังก์ชันจากอนุพันธ์ของมัน หรือสิ่งที่เหมือนกัน การหาอินทิกรัลไม่แน่นอนบนอินทิกรัลที่กำหนด เรียกว่า บูรณาการ ฟังก์ชันนี้ Integration คือการดำเนินการผกผันของ differentiation เพื่อตรวจสอบว่าการรวมถูกต้องหรือไม่ก็เพียงพอที่จะแยกความแตกต่างของผลลัพธ์และรับอินทิกรัล
คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่ จำกัด
- อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับอินทิกรัล:
- ปัจจัยคงที่ของอินทิกรัลสามารถนำออกจากเครื่องหมายปริพันธ์ได้:
- อินทิกรัลของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้:
- ถ้า k,ข- ถาวรและ k ≠ 0 , แล้ว
(∫ f(x) dx )" = ฉ(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( ฉ(x) ± ก.(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ กรัม(x ) dx .
∫ ฉ( k x + ข) dx = 1 / k เอฟ( k x +ข ) + C .
ตารางอินทิกรัลแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่แน่นอน
| เอฟ(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| ฉัน. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| ครั้งที่สอง | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| สาม. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| วี | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| หก. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| แปด. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| ทรงเครื่อง | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| x | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| จิน | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| สิบสอง | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| สิบสาม | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| สิบสี่ | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| เจ้าพระยา | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| สิบแปด | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| สิบเก้า | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| ปริพันธ์ดั้งเดิมและไม่แน่นอนที่กำหนดในตารางนี้มักจะเรียกว่า พื้นฐานตาราง
และ ปริพันธ์ของตาราง
. |
|||
ปริพันธ์ที่แน่นอน
ให้อยู่ระหว่าง [เอ; ข] ให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง y = ฉ(x) , แล้ว อินทิกรัลที่แน่นอนจาก a ถึง b ฟังก์ชั่น เอฟ(x) เรียกว่า ปรินิพพาน เอฟ(x) ฟังก์ชันนี้ นั่นคือ
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
ตัวเลข เอและ ขเรียกว่าตามลำดับ ต่ำกว่า และ สูงสุด ขีดจำกัดการรวม
กฎพื้นฐานสำหรับการคำนวณอินทิกรัลแน่นอน
1. \(\int_(อันหนึ่ง)^(อันหนึ่ง)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) โดยที่ k - คงที่;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) ก.(x) dx \);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\) โดยที่ เอฟ(x) เป็นฟังก์ชันคู่
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\) โดยที่ เอฟ(x) เป็นฟังก์ชันคี่
ความคิดเห็น . ในทุกกรณี จะถือว่าอินทิกรัลสามารถอินทิเกรตได้ในช่วงเวลาที่เป็นตัวเลขซึ่งมีขอบเขตเป็นขีดจำกัดของการรวมกัน
ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของปริพันธ์แน่นอน
| ความรู้สึกทางเรขาคณิต ปริพันธ์ที่แน่นอน | ความหมายทางกายภาพ
ปริพันธ์ที่แน่นอน |
 |  |
สี่เหลี่ยม สสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (รูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟบวกอย่างต่อเนื่องในช่วงเวลา [เอ; ข] ฟังก์ชั่น เอฟ(x) , แกน วัว และกำกับ x=a , x=b ) คำนวณโดยสูตร $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | เส้นทาง สที่ได้เอาชนะ จุดวัสดุ, เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วที่แตกต่างกันไปตามกฎหมาย วี(ท)
, สำหรับช่วงเวลา a ;
ข] จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรง x = เป็
, x = ข
, คำนวณโดยสูตร $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | ตัวอย่างเช่น. คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y=x 2 และ y= 2-x . เราจะแสดงแผนผังของกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเน้นรูปที่ต้องการหาพื้นที่ในสีที่ต่างกัน ในการหาขีดจำกัดของการบูรณาการ เราแก้สมการ: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
ปริมาณของร่างกายของการปฏิวัติ
 | ถ้าร่างกายได้มาจากการหมุนรอบแกน วัว สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยกราฟต่อเนื่องและไม่เป็นลบในช่วงเวลา [เอ; ข] ฟังก์ชั่น y = ฉ(x) และกำกับ x = เป็และ x = ข แล้วเรียกว่า คณะปฏิวัติ . ปริมาตรของการปฏิวัติคำนวณโดยสูตร $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ ถ้าร่างของการปฏิวัติได้มาจากการหมุนของร่างที่ล้อมรอบด้านบนและด้านล่างโดยกราฟฟังก์ชัน y = ฉ(x) และ y = ก.(x) ตามลำดับ แล้ว $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | ตัวอย่างเช่น. คำนวณปริมาตรของกรวยด้วยรัศมี r
และส่วนสูง ชม.
. ให้เราวางกรวยในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเพื่อให้แกนตรงกับแกน วัว
และศูนย์กลางของฐานตั้งอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด การหมุนของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ABกำหนดกรวย เนื่องจากสมการ AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| และสำหรับปริมาตรของกรวยที่เรามี $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(ซ))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
นิยามของแอนติเดริเวทีฟ
ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ f(x) บนช่วง (a; b) เป็นฟังก์ชันดังกล่าว F(x) ที่ความเสมอภาคคงไว้สำหรับ x ใดๆ จากช่วงที่กำหนด
หากเราคำนึงถึงความจริงที่ว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่ C เท่ากับศูนย์ ความเท่าเทียมกัน 
. ดังนั้น ฟังก์ชัน f(x) มีเซตของแอนติเดริเวทีฟ F(x)+C สำหรับค่าคงที่อาร์ติเมนต์ C และแอนติเดริเวทีฟเหล่านี้ต่างกันด้วยค่าคงที่โดยพลการ
คำจำกัดความของอินทิกรัลไม่ จำกัด
แอนติเดริเวทีฟทั้งชุดของฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันนี้ และแสดงแทน 
.
นิพจน์นี้เรียกว่า integrand, และ f(x) integrand. integrand คือค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน f(x)
การกระทำของการค้นหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จักโดยค่าดิฟเฟอเรนเชียลที่กำหนดให้เรียกว่า ไม่แน่นอนการรวมเข้าด้วยกัน เนื่องจากผลลัพธ์ของการรวมไม่ใช่ฟังก์ชันเดียว F(x) แต่เป็นเซตของแอนติเดริเวทีฟ F(x)+C
จากคุณสมบัติของอนุพันธ์เราสามารถกำหนดและพิสูจน์ได้ คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด(คุณสมบัติของแอนติเดริเวทีฟ).
ความเท่าเทียมกันขั้นกลางของคุณสมบัติที่หนึ่งและที่สองของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนนั้นมีไว้สำหรับการชี้แจง
เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติที่สามและสี่ ก็เพียงพอที่จะหาอนุพันธ์ของด้านขวาของความเท่าเทียมกัน: 
อนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากับอินทิกรัลซึ่งเป็นข้อพิสูจน์โดยอาศัยคุณสมบัติแรก นอกจากนี้ยังใช้ในการเปลี่ยนครั้งสุดท้าย
ดังนั้น ปัญหาการรวมเป็นปัญหาผกผันของการสร้างความแตกต่าง และมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดระหว่างปัญหาเหล่านี้:
- คุณสมบัติแรกช่วยให้ตรวจสอบการรวม เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการรวมที่ดำเนินการก็เพียงพอที่จะคำนวณอนุพันธ์ของผลลัพธ์ที่ได้รับ หากฟังก์ชันที่ได้รับจากการแยกความแตกต่างกลายเป็นเท่ากับอินทิกรัล นั่นหมายความว่าการรวมได้ดำเนินการอย่างถูกต้อง
- คุณสมบัติที่สองของอินทิกรัลไม่จำกัดช่วยให้เราสามารถหาแอนติเดริเวทีฟของมันได้จากดิฟเฟอเรนเชียลที่ทราบของฟังก์ชัน การคำนวณโดยตรงของอินทิกรัลไม่ จำกัด ขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้
ขอพิจารณาตัวอย่าง.
ตัวอย่าง.
ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับหนึ่งที่ x = 1
วิธีการแก้.
เรารู้จากแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ว่า 
(ดูตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน) ทางนี้, 
. โดยคุณสมบัติที่สอง 
. นั่นคือ เรามีชุดของแอนติเดริเวทีฟ สำหรับ x = 1 เราจะได้ค่า ตามเงื่อนไข ค่านี้ต้องเท่ากับหนึ่ง ดังนั้น С = 1 แอนติเดริเวทีฟที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ
ตัวอย่าง.
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน 
และตรวจสอบผลลัพธ์โดยแยกความแตกต่าง
วิธีการแก้.
ตามสูตรของไซน์ของมุมสองเท่าจากตรีโกณมิติ 
นั่นเป็นเหตุผลที่ 
จากตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะได้ 
นั่นคือ, 
ตามคุณสมบัติที่สามของอินทิกรัลไม่ จำกัด เราสามารถเขียน 
หันไปทางอสังหาที่สองจะได้ 
.
เพราะเหตุนี้, 
การตรวจสอบ.
ในการตรวจสอบผลลัพธ์ เราแยกความแตกต่างของนิพจน์ผลลัพธ์:
เป็นผลให้เราได้รับ integrand ซึ่งหมายความว่าการรวมได้ดำเนินการอย่างถูกต้อง ในการเปลี่ยนภาพครั้งล่าสุด ใช้สูตรสำหรับไซน์ของมุมสองเท่า
หากตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานถูกเขียนใหม่ในรูปแบบของดิฟเฟอเรนเชียล จากนั้นตามคุณสมบัติที่สองของอินทิกรัลไม่จำกัด ก็เป็นไปได้ที่จะรวบรวมตารางของแอนติเดริเวทีฟ
ปริพันธ์ไม่แน่นอน
เราเริ่มศึกษาอินทิกรัลซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในหลาย ๆ ด้านของเทคโนโลยี เริ่มจากอินทิกรัลไม่แน่นอนกันก่อน
แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่แน่นอน
งานหลักของดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัสคือการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเหล่านี้ กล่าวคือ ภารกิจในการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่กำหนด ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมากมายนำไปสู่การกำหนดปัญหาผกผัน: สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด f (x) ให้คืนค่าฟังก์ชัน F(x) ซึ่ง f (x) จะเป็นอนุพันธ์: F ¢ (x) = f ( x).
คำนิยาม. ฟังก์ชัน F(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับ f (x) if
F ¢ (x) = f (x) หรือ dF(x) = f (x) dx
ตัวอย่าง. 1) f (x) \u003d 3x 2, F (x) \u003d x 3;
2) f(x) = cosx, F(x) = sinx
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าฟังก์ชันนี้ f (x) = 3x 2 ไม่สอดคล้องกับแอนติเดริเวทีฟตัวเดียว แต่กับเซต: x 3 ; x 3 + 1; x 3 - 1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + ค.
แน่นอน (x 3) ¢ \u003d 3x 2; (x 3 + 1)¢ = 3x 2; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2; . . . . (x 3 + C) ¢ \u003d 3x 2
โดยทั่วไป ถ้า F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่กำหนด f (x) ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟก็จะเป็นฟังก์ชัน F(x) + c "СнR เนื่องจาก:
¢ = F¢(x) = f (x)
เซตของแอนติเดริเวทีฟ f(x) หมดโดยการแสดงออกของรูปแบบ F(x) + C หรือมีแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันนี้ที่ไม่เป็นผลจาก F(x) + C สำหรับค่าใดๆ ของ C หรือไม่ ปรากฎว่าข้อความนี้เป็นความจริง: ไม่มีแอนติเดริเวทีฟอื่นของฟังก์ชัน f (x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า F 1 (x) และ F 2 (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสองตัวสำหรับ f (x) ดังนั้น F 1 (x) = F 2 (x) + C
โดยที่ C คือค่าคงที่
แท้จริงแล้วตั้งแต่ F 1 (x) และ F 2 (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ f (x) แล้ว
พิจารณาความแตกต่าง 
สำหรับ x ทั้งหมด
ให้ x 0 เป็นค่าคงที่ของอาร์กิวเมนต์
x เป็นค่าอื่นตามอำเภอใจ
ตามสูตรลากรองจ์
โดยที่ตัวเลขอยู่ระหว่าง x 0 ถึง x เพราะ:
ทุกฟังก์ชัน f(x) มีแอนติเดริเวทีฟหรือไม่?
ทฤษฎีบท.หากฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่ง แสดงว่ามีแอนติเดริเวทีฟอยู่บนฟังก์ชันนั้น (โดยไม่มีการพิสูจน์)
คำนิยาม.ถ้า F (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟบางชนิดสำหรับ f (x) ดังนั้นนิพจน์ F (x) + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ จะเรียกว่าอินทิกรัลไม่แน่นอนและแสดงแทน: ในขณะที่ f (x) ถูกเรียก integrand และนิพจน์ f (x) dx - integrand:
การกระทำของการค้นหาอินทิกรัลไม่แน่นอน มิฉะนั้น การค้นหาแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด เรียกว่า บูรณาการฟังก์ชันนี้ เห็นได้ชัดว่าการดำเนินการสร้างความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกันนั้นผกผันกัน
การบวกและการลบ การยกกำลังและการถอนราก การคูณและการหารเป็นตัวอย่างของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งกันและกัน