บูรณาการตามส่วนต่างๆ ตัวอย่างโซลูชัน
สวัสดีอีกครั้ง. วันนี้ในบทเรียนนี้ เราจะเรียนรู้วิธีบูรณาการตามส่วนต่างๆ วิธีการรวมตามส่วนต่างๆ เป็นหนึ่งในรากฐานที่สำคัญของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ในการทดสอบ การสอบ นักเรียนมักจะได้รับการเสนอให้แก้ปริพันธ์ของประเภทต่อไปนี้: ปริพันธ์ที่ง่ายที่สุด (ดูบทความ)หรืออินทิกรัลเพื่อเปลี่ยนตัวแปร (ดูบทความ)หรืออินทิกรัลเพียงแค่บน วิธีการบูรณาการตามส่วนต่างๆ.
และเช่นเคย ที่ควรจะเป็น: ตารางอินทิกรัลและ ตารางอนุพันธ์. หากคุณยังไม่มี โปรดไปที่ห้องเก็บของของไซต์ของฉัน: สูตรทางคณิตศาสตร์และตาราง. ฉันจะไม่เบื่อที่จะทำซ้ำ - ดีกว่าที่จะพิมพ์ทุกอย่าง ฉันจะพยายามนำเสนอเนื้อหาทั้งหมดในลักษณะที่สอดคล้องกัน เรียบง่าย และเข้าถึงได้ โดยไม่มีปัญหาเฉพาะในการรวมทีละส่วน
การบูรณาการโดยชิ้นส่วนช่วยแก้ปัญหาอะไรได้บ้าง? วิธีการรวมตามส่วนต่างๆ ช่วยแก้ปัญหาที่สำคัญมาก ช่วยให้คุณสามารถรวมฟังก์ชันบางอย่างที่ไม่ได้อยู่ในตารางได้ งานฟังก์ชั่นและในบางกรณี - และส่วนตัว อย่างที่เราจำได้ไม่มีสูตรที่สะดวก: 
. แต่มีสิ่งนี้: 
เป็นสูตรการบูรณาการโดยส่วนต่างๆ ด้วยตนเอง ฉันรู้ ฉันรู้ คุณเป็นคนเดียว - เราจะทำบทเรียนทั้งหมดกับเธอ (ง่ายกว่าแล้ว)
และรายชื่อในสตูดิโอทันที ปริพันธ์ของประเภทต่อไปนี้แยกส่วน:
1) , 
, - ลอการิทึม, ลอการิทึมคูณด้วยพหุนามบางตัว
2) ,
เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังคูณด้วยพหุนามบางตัว ซึ่งรวมถึงอินทิกรัลเช่น - ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคูณด้วยพหุนาม แต่ในทางปฏิบัติ มันคือ 97 เปอร์เซ็นต์ ตัวอักษร "e" ที่สวยงามแสดงอยู่ใต้อินทิกรัล ... บทความกลายเป็นโคลงสั้น ๆ โอ้ใช่ ... ฤดูใบไม้ผลิมาแล้ว
3) , 
เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติคูณด้วยพหุนามบางตัว
4) , - ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ("โค้ง"), "โค้ง" คูณด้วยพหุนามบางตัว
นอกจากนี้ เศษส่วนบางส่วนถูกนำมาเป็นส่วนๆ เราจะพิจารณาตัวอย่างที่เกี่ยวข้องโดยละเอียดด้วย
ปริพันธ์ของลอการิทึม
ตัวอย่าง 1
คลาสสิค. บางครั้งอินทิกรัลนี้สามารถพบได้ในตาราง แต่ไม่ควรใช้คำตอบสำเร็จรูปเนื่องจากครูมีอาการเหน็บชาในฤดูใบไม้ผลิและเขาจะดุมาก เนื่องจากอินทิกรัลที่อยู่ในการพิจารณาไม่ได้เป็นแบบตาราง - มันถูกนำมาเป็นส่วน ๆ เราตัดสินใจ:
เราขัดจังหวะการแก้ปัญหาสำหรับคำอธิบายระดับกลาง
เราใช้สูตรสำหรับการรวมตามส่วนต่างๆ: 
ใช้สูตรจากซ้ายไปขวา
เราดูที่ด้านซ้าย:. แน่นอน ในตัวอย่างของเรา (และในตัวอย่างอื่นๆ ทั้งหมดที่เราจะพิจารณา) ต้องมีบางสิ่งแสดงแทน และบางสิ่งโดย .
ในปริพันธ์ของประเภทที่กำลังพิจารณา เราจะระบุลอการิทึมเสมอ
ในทางเทคนิค การออกแบบโซลูชันจะดำเนินการดังนี้ เราเขียนในคอลัมน์:
นั่นคือสำหรับเราแทนลอการิทึมและสำหรับ - ส่วนที่เหลืออินทิกรัล
ขั้นตอนถัดไป: ค้นหาส่วนต่าง:
ดิฟเฟอเรนเชียลเกือบจะเหมือนกับอนุพันธ์ เราได้คุยกันถึงวิธีหามันในบทเรียนที่แล้ว
ตอนนี้เราพบฟังก์ชัน ในการหาฟังก์ชันจำเป็นต้องบูรณาการ ด้านขวาความเท่าเทียมกันที่ต่ำกว่า :
ตอนนี้เราเปิดโซลูชันของเราและสร้างด้านขวาของสูตร:
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของวิธีแก้ปัญหาขั้นสุดท้ายพร้อมบันทึกย่อ:
ช่วงเวลาเดียวในผลิตภัณฑ์ ฉันจัดเรียงใหม่ทันที และเนื่องจากเป็นเรื่องปกติที่จะเขียนตัวคูณก่อนลอการิทึม
อย่างที่คุณเห็น การใช้สูตรการรวมทีละส่วนได้ลดโซลูชันของเราให้เหลืออินทิกรัลอย่างง่ายสองอัน
โปรดทราบว่าในบางกรณี ทันทีหลังจากที่การประยุกต์ใช้สูตร การทำให้เข้าใจง่ายจำเป็นต้องดำเนินการภายใต้อินทิกรัลที่เหลือ - ในตัวอย่างที่พิจารณา เราลดอินทิกรัลลง "x"
มาทำเช็คกัน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหาอนุพันธ์ของคำตอบ:
ได้รับอินทิกรัลดั้งเดิมซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง
ในระหว่างการตรวจสอบ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์: 
. และนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ
บูรณาการตามสูตรชิ้นส่วน 
และสูตร 
นี่เป็นกฎสองข้อที่ผกผันซึ่งกันและกัน
ตัวอย่าง 2
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
อินทิกรัลเป็นผลคูณของลอการิทึมและพหุนาม
เราตัดสินใจ
ฉันจะอธิบายรายละเอียดขั้นตอนการใช้กฎอีกครั้งโดยละเอียด ในอนาคตจะมีตัวอย่างสั้นๆ เพิ่มเติม และหากคุณมีปัญหาในการแก้ไขด้วยตนเอง คุณต้องกลับไปที่ตัวอย่างสองตัวอย่างแรกของบทเรียน .
ดังที่ได้กล่าวไปแล้วเพราะจำเป็นต้องกำหนดลอการิทึม (ความจริงที่ว่ามันอยู่ในระดับไม่สำคัญ) เราแสดงว่า ส่วนที่เหลืออินทิกรัล
เราเขียนในคอลัมน์:
ก่อนอื่นเราพบส่วนต่าง:
ที่นี่เราใช้กฎแห่งความแตกต่าง ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน 
. ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่บทเรียนแรกของหัวข้อ อินทิกรัลไม่มีกำหนด ตัวอย่างโซลูชันผมเน้นไปที่ข้อเท็จจริงที่ว่าเพื่อที่จะเชี่ยวชาญอินทิกรัล คุณต้อง "ลงมือทำ" กับอนุพันธ์ อนุพันธ์จะต้องเผชิญมากกว่าหนึ่งครั้ง
ตอนนี้เราพบฟังก์ชัน สำหรับสิ่งนี้เรารวมเข้าด้วยกัน ด้านขวาความเท่าเทียมกันที่ต่ำกว่า :
สำหรับการบูรณาการ เราใช้สูตรตารางที่ง่ายที่สุด 
ตอนนี้คุณพร้อมที่จะใช้สูตรแล้ว 
. เราเปิดด้วย "เครื่องหมายดอกจัน" และ "ออกแบบ" โซลูชันตามด้านขวา:
ภายใต้อินทิกรัล เรามีพหุนามบนลอการิทึมอีกครั้ง! ดังนั้น การแก้ปัญหาจึงถูกขัดจังหวะอีกครั้ง และใช้กฎการรวมโดยส่วนต่างๆ เป็นครั้งที่สอง อย่าลืมว่าในกรณีที่คล้ายกัน ลอการิทึมจะแสดงแทนเสมอ
คงจะดีถ้า ณ จุดนี้ คุณสามารถหาอินทิกรัลและอนุพันธ์แบบง่ายที่สุดได้ด้วยวาจา
(1) อย่าสับสนในสัญญาณ! บ่อยครั้งที่เครื่องหมายลบหายไปที่นี่ โปรดทราบด้วยว่าค่าลบมีผล ทั้งหมดวงเล็บ 
และต้องเปิดวงเล็บเหล่านี้อย่างถูกต้อง
(2) ขยายวงเล็บ เราลดความซับซ้อนของอินทิกรัลสุดท้าย
(3) เราหาอินทิกรัลสุดท้าย
(4) “หวี” คำตอบ
ความจำเป็นในการใช้กฎการรวมโดยส่วนต่างๆ สองครั้ง (หรือแม้แต่สามครั้ง) ไม่ใช่เรื่องแปลก
และตอนนี้สองสามตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:
ตัวอย่างที่ 3
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
ตัวอย่างนี้แก้ไขได้โดยการเปลี่ยนวิธีตัวแปร (หรือ subsuming ภายใต้เครื่องหมายส่วนต่าง)! และทำไมไม่ - คุณสามารถลองแยกเป็นส่วน ๆ คุณจะได้เรื่องตลก
ตัวอย่างที่ 4
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
แต่อินทิกรัลนี้ถูกรวมเข้าด้วยกันโดยส่วนต่างๆ (เศษส่วนที่สัญญาไว้)
เหล่านี้คือตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเอง การแก้ปัญหา และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ดูเหมือนว่าในตัวอย่าง 3,4 อินทิกรัลจะคล้ายกัน แต่วิธีการแก้ปัญหาต่างกัน! นี่เป็นปัญหาหลักในการเรียนรู้ปริพันธ์ - หากคุณเลือกวิธีการแก้อินทิกรัลผิดวิธี คุณสามารถเล่นซอกับมันได้เป็นชั่วโมงๆ เหมือนกับการต่อจิ๊กซอว์จริง ๆ ดังนั้น ยิ่งคุณแก้ปริพันธ์ต่างๆ ได้มากเท่าไร การทดสอบและการสอบก็จะยิ่งง่ายขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้ในปีที่สองจะมีสมการเชิงอนุพันธ์ และไม่มีประสบการณ์ในการแก้อินทิกรัลและอนุพันธ์ก็ไม่มีอะไรทำที่นั่น
โดยลอการิทึมอาจมากเกินพอ สำหรับขนม ฉันยังจำได้ว่านักเรียนเทคโนโลยีเรียกลอการิทึมหน้าอกผู้หญิง =) อย่างไรก็ตาม การรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลักด้วยหัวใจ เช่น ไซน์ โคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ เลขชี้กำลัง พหุนามของระดับที่สาม สี่ เป็นต้น ไม่ แน่นอน ถุงยางอนามัยบนโลก
ฉันจะไม่ดึง แต่ตอนนี้คุณจะจำได้มากจากส่วน กราฟและฟังก์ชัน =).
ปริพันธ์ของเลขชี้กำลังคูณด้วยพหุนาม
กฎทั่วไป:
ตัวอย่างที่ 5
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
โดยใช้อัลกอริธึมที่คุ้นเคย เราผสานรวมตามส่วนต่างๆ:
หากคุณมีปัญหาใด ๆ กับอินทิกรัล คุณควรกลับไปที่บทความ วิธีการเปลี่ยนตัวแปรในปริพันธ์ไม่แน่นอน.
สิ่งเดียวที่ต้องทำคือ "หวี" คำตอบ:
แต่ถ้าเทคนิคการคำนวณของคุณไม่ดีนัก ก็ปล่อยให้ตัวเลือกที่ทำกำไรได้มากที่สุดเป็นคำตอบ 
หรือแม้กระทั่ง 
นั่นคือ ตัวอย่างจะถือว่าแก้ไขได้เมื่อนำอินทิกรัลสุดท้ายมาใช้ ไม่ผิดหรอกค่ะ เป็นอีกเรื่องหนึ่งที่ครูอาจขอแก้โจทย์ให้เข้าใจง่ายขึ้น
ตัวอย่างที่ 6
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง อินทิกรัลนี้ถูกรวมเข้าด้วยกันสองครั้งโดยส่วนต่างๆ ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสัญญาณ - มันง่ายที่จะสับสน เรายังจำได้ว่า - ฟังก์ชันที่ซับซ้อน
ไม่มีอะไรจะพูดมากเกี่ยวกับผู้แสดงสินค้า ฉันสามารถเพิ่มเติมได้ว่าเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน นี่คือฉันในหัวข้อของกราฟความบันเทิง คณิตศาสตร์ชั้นสูง=) หยุด หยุด ไม่ต้องห่วง อาจารย์มีสติ
ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติคูณด้วยพหุนาม
กฎทั่วไป: ย่อมาจากพหุนามเสมอ
ตัวอย่าง 7
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
บูรณาการตามส่วนต่างๆ:
อืม... และไม่มีอะไรจะแสดงความคิดเห็น
ตัวอย่างที่ 8
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน 
นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาที่ต้องทำด้วยตัวเอง
ตัวอย่างที่ 9
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีเศษส่วน เช่นเดียวกับในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ พหุนามจะแสดงด้วย
บูรณาการตามส่วนต่างๆ: 
หากคุณมีปัญหาหรือความเข้าใจผิดในการค้นหาอินทิกรัล เราขอแนะนำให้คุณเข้าร่วมบทเรียน ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ.
ตัวอย่าง 10
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน 
นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง
คำแนะนำ: ก่อนใช้วิธีการรวมโดยวิธีชิ้นส่วน คุณควรใช้สูตรตรีโกณมิติที่เปลี่ยนผลคูณของสอง ฟังก์ชันตรีโกณมิติไว้ในฟังก์ชันเดียว สูตรนี้ยังสามารถนำไปใช้ในการใช้วิธีการรวมตามส่วนต่างๆซึ่งสะดวกกว่า
นั่นอาจเป็นทั้งหมดในย่อหน้านี้ ด้วยเหตุผลบางอย่าง ฉันนึกถึงท่อนหนึ่งจากเพลงชาติของภาควิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ “และคลื่นกราฟไซน์ตามคลื่นจะวิ่งไปตามแกน abscissa” ....
ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันคูณด้วยพหุนาม
กฎทั่วไป: แทนฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเสมอ.
ฉันขอเตือนคุณว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ได้แก่ อาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์คแทนเจนต์ และอาร์คโคแทนเจนต์ เพื่อความกระชับ ผมจะเรียกมันว่า "ซุ้มประตู"
อินทิกรัลเชิงซ้อน
บทความนี้จบหัวข้อ ปริพันธ์ไม่แน่นอนและมันรวมอินทิกรัลที่ฉันพบว่าค่อนข้างซับซ้อน บทเรียนถูกสร้างขึ้นตามคำขอซ้ำ ๆ ของผู้เยี่ยมชมที่แสดงความปรารถนาที่จะวิเคราะห์ตัวอย่างที่ยากขึ้นบนเว็บไซต์
สันนิษฐานว่าผู้อ่านข้อความนี้มีการเตรียมการอย่างดีและรู้วิธีใช้เทคนิคพื้นฐานของการรวมเข้าด้วยกัน หุ่นและคนที่ไม่ค่อยมั่นใจในปริพันธ์ควรอ้างถึงบทเรียนแรก - อินทิกรัลไม่มีกำหนด ตัวอย่างโซลูชันที่ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้หัวข้อนี้ได้ตั้งแต่เริ่มต้น นักเรียนที่มีประสบการณ์มากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับเทคนิคและวิธีการบูรณาการ ซึ่งยังไม่เคยพบในบทความของฉัน
อินทิกรัลใดจะได้รับการพิจารณา?
อันดับแรก เราพิจารณาอินทิกรัลที่มีราก สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่เราใช้อย่างต่อเนื่อง การแทนที่ตัวแปรและ บูรณาการตามส่วนต่างๆ. นั่นคือในตัวอย่างเดียว สองวิธีจะรวมกันในครั้งเดียว และมากยิ่งขึ้น
แล้วเราจะได้รู้จักกับสิ่งที่น่าสนใจและเป็นต้นฉบับ วิธีการลดอินทิกรัลให้กับตัวเอง. มีอินทิกรัลไม่กี่ตัวที่แก้ด้วยวิธีนี้
หมายเลขที่สามของโปรแกรมจะเป็นอินทิกรัลของเศษส่วนที่ซับซ้อนซึ่งบินผ่านเครื่องบันทึกเงินสดในบทความก่อนหน้า
ประการที่สี่ อินทิกรัลเพิ่มเติมจากฟังก์ชันตรีโกณมิติจะถูกวิเคราะห์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีวิธีการที่หลีกเลี่ยงการแทนที่ตรีโกณมิติสากลที่ใช้เวลานาน
(2) ในปริพันธ์ เราหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนด้วยเทอม
(3) เราใช้คุณสมบัติของลิเนียริตี้ของอินทิกรัลไม่จำกัด ในอินทิกรัลสุดท้าย ทันที นำฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียล.
(4) เราหาอินทิกรัลที่เหลือ โปรดทราบว่าคุณสามารถใช้วงเล็บในลอการิทึม ไม่ใช่โมดูลัส เพราะ .
(5) เราดำเนินการเปลี่ยนกลับโดยแสดงจากการแทนที่โดยตรง "te":
นักเรียนมาโซคิสต์สามารถแยกแยะคำตอบและรับอินทิกรัลดั้งเดิมได้เหมือนที่ฉันเพิ่งทำ ไม่ ไม่ ฉันตรวจสอบถูกต้องแล้ว =)
อย่างที่คุณเห็น ในระหว่างการแก้ปัญหา ต้องใช้วิธีการแก้ปัญหามากกว่าสองวิธี ดังนั้นในการจัดการกับอินทิกรัลดังกล่าว คุณต้องมีทักษะการบูรณาการที่มั่นใจและไม่ใช่ประสบการณ์น้อยที่สุด
ในทางปฏิบัติ สแควร์รูทเป็นเรื่องธรรมดามากกว่า ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตัวอย่าง 2
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
ตัวอย่างที่ 3
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
ตัวอย่างที่ 4
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
ตัวอย่างเหล่านี้เป็นประเภทเดียวกัน ดังนั้นคำตอบที่สมบูรณ์ในตอนท้ายของบทความจึงเป็นเพียงตัวอย่างที่ 2 ในตัวอย่างที่ 3-4 - หนึ่งคำตอบ ฉันคิดว่าการแทนที่ใดที่จะใช้ในช่วงเริ่มต้นของการตัดสินใจนั้นชัดเจน เหตุใดฉันจึงเลือกตัวอย่างประเภทเดียวกัน มักพบในบทบาทของตน บ่อยขึ้นบางทีแค่บางอย่างเช่น 
.
แต่ไม่เสมอไป เมื่อรูทของฟังก์ชันเชิงเส้นอยู่ภายใต้อาร์กแทนเจนต์ ไซน์ โคไซน์ เลขชี้กำลัง และฟังก์ชันอื่นๆ จะต้องใช้วิธีหลายวิธีพร้อมกัน ในหลายกรณี เป็นไปได้ที่จะ "เลิกง่าย" นั่นคือทันทีหลังจากการแทนที่จะได้รับอินทิกรัลอย่างง่ายซึ่งถูกนำมาใช้ในเบื้องต้น งานที่ง่ายที่สุดที่เสนอข้างต้นคือตัวอย่างที่ 4 ซึ่งหลังจากการแทนที่จะได้อินทิกรัลที่ค่อนข้างง่าย
วิธีการลดอินทิกรัลให้กับตัวเอง
วิธีที่ชาญฉลาดและสวยงาม มาดูความคลาสสิกของประเภทกัน:
ตัวอย่างที่ 5
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
มีทวินามกำลังสองอยู่ใต้รูท และเมื่อพยายามรวมตัวอย่างนี้ กาน้ำชาอาจต้องทนทุกข์ทรมานนานหลายชั่วโมง อินทิกรัลดังกล่าวถูกยึดโดยชิ้นส่วนและลดลงสู่ตัวมันเอง โดยหลักการก็ไม่ยาก ถ้าคุณรู้วิธี
ให้เราแสดงอินทิกรัลที่พิจารณาด้วยตัวอักษรละตินและเริ่มวิธีแก้ปัญหา: 
บูรณาการตามส่วนต่างๆ: 
(1) เราเตรียม integrand สำหรับหารเทอมต่อเทอม
(2) เราแบ่งเทอมอินทิกรัลตามเทอม บางทีอาจไม่ใช่ทุกคนที่เข้าใจฉันจะเขียนรายละเอียดเพิ่มเติม:
(3) เราใช้คุณสมบัติของลิเนียริตี้ของอินทิกรัลไม่จำกัด
(4) เราหาอินทิกรัลสุดท้าย (ลอการิทึม "ยาว")
ทีนี้มาดูที่จุดเริ่มต้นของวิธีแก้ปัญหา: 
และสำหรับตอนจบ: 
เกิดอะไรขึ้น อันเป็นผลมาจากการปรับเปลี่ยนของเรา อินทิกรัลลดลงถึงตัวมันเอง!
เท่ากับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด: 
เราย้ายไปทางด้านซ้ายพร้อมเปลี่ยนเครื่องหมาย: 
และเรารื้อผีออกไปทางด้านขวา ผลที่ตามมา: 
ควรเพิ่มค่าคงที่ที่พูดอย่างเคร่งครัดก่อนหน้านี้ แต่ฉันเพิ่มในตอนท้าย ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้อ่านสิ่งที่เป็นความรุนแรงที่นี่:
บันทึก:
เคร่งครัดยิ่งขึ้น ขั้นตอนสุดท้ายของการแก้ปัญหามีลักษณะดังนี้:
ทางนี้:
ค่าคงที่สามารถเปลี่ยนชื่อเป็น . ทำไมคุณถึงเปลี่ยนชื่อได้? เพราะมันยังคงต้องใช้เวลา ใดๆค่า และในแง่นี้ไม่มีความแตกต่างระหว่างค่าคงที่กับ
ผลที่ตามมา:
เคล็ดลับที่คล้ายกันกับการเปลี่ยนชื่อคงที่ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายใน สมการเชิงอนุพันธ์. และที่นั่นฉันจะเข้มงวด และที่นี่ฉันอนุญาตเสรีภาพดังกล่าวเท่านั้นเพื่อไม่ให้คุณสับสนกับสิ่งที่ไม่จำเป็นและมุ่งเน้นไปที่วิธีการรวมเข้าด้วยกัน
ตัวอย่างที่ 6
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
อินทิกรัลทั่วไปอีกตัวหนึ่งสำหรับโซลูชันอิสระ คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน ความแตกต่างกับคำตอบของตัวอย่างก่อนหน้านี้จะเป็น!
หากมีสแควร์ไทรโนเมียลอยู่ใต้สแควร์รูท ไม่ว่าในกรณีใด สารละลายจะลดเหลือตัวอย่างที่วิเคราะห์แล้วสองตัวอย่าง
ตัวอย่างเช่น พิจารณาปริพันธ์ 
. สิ่งที่คุณต้องทำคือล่วงหน้า เลือกสี่เหลี่ยมเต็ม:
.
ถัดไปดำเนินการเปลี่ยนเชิงเส้นซึ่งจัดการ "โดยไม่มีผลกระทบใด ๆ ":
ส่งผลให้เป็นอินทิกรัล สิ่งที่คุ้นเคยใช่มั้ย?
หรือตัวอย่างนี้ ที่มีทวินามกำลังสอง:
การเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็ม:
และหลังจากการแทนที่เชิงเส้น เราได้อินทิกรัล ซึ่งถูกแก้ไขโดยอัลกอริทึมที่พิจารณาแล้ว
ลองพิจารณาตัวอย่างทั่วไปอีกสองตัวอย่างเกี่ยวกับวิธีการลดอินทิกรัลให้กับตัวเอง:
เป็นอินทิกรัลของเลขชี้กำลังคูณด้วยไซน์
เป็นอินทิกรัลของเลขชี้กำลังคูณด้วยโคไซน์
ในอินทิกรัลตามส่วนต่างๆ คุณจะต้องรวมสองครั้งแล้ว:
ตัวอย่าง 7
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
อินทิกรัลคือเลขชี้กำลังคูณด้วยไซน์
เรารวมโดยส่วนต่างๆ สองครั้งและลดอินทิกรัลให้ตัวเอง: 
อันเป็นผลมาจากการรวมเป็นสองเท่าโดยส่วนต่างๆ อินทิกรัลจะลดลงเป็นตัวเอง เท่ากับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา:
เราย้ายไปทางด้านซ้ายด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายและแสดงอินทิกรัลของเรา: 
พร้อม. ระหว่างทางแนะนำให้หวีด้านขวา กล่าวคือ นำเลขชี้กำลังออกจากวงเล็บ และวางไซน์และโคไซน์ในวงเล็บตามลำดับ "สวยงาม"
ตอนนี้ ให้กลับไปที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่าง หรือมากกว่า เพื่อบูรณาการตามส่วนต่างๆ: 
เพราะเราได้กำหนดให้ผู้แสดงสินค้า เกิดคำถามว่า เลขชี้กำลัง ควรจะเขียนแทนด้วย ? ไม่จำเป็น. อันที่จริงในปริพันธ์ที่พิจารณาแล้ว โดยพื้นฐานแล้ว ไม่เป็นไร, สิ่งที่จะแสดงสำหรับ, หนึ่งสามารถไปในทางอื่น: 
ทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นไปได้? เนื่องจากเลขชี้กำลังกลายเป็นตัวมันเอง (เมื่อสร้างความแตกต่างและรวมเข้าด้วยกัน) ไซน์และโคไซน์จึงกลายเป็นกันและกัน (อีกครั้ง ทั้งเมื่อสร้างความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกัน)
นั่นคือสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติได้เช่นกัน แต่ในตัวอย่างที่พิจารณา นี่เป็นเหตุผลที่น้อยกว่า เนื่องจากเศษส่วนจะปรากฏขึ้น หากคุณต้องการ คุณสามารถลองแก้ตัวอย่างนี้ด้วยวิธีที่สอง คำตอบจะต้องเหมือนกัน
ตัวอย่างที่ 8
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ก่อนตัดสินใจ ให้นึกถึงสิ่งที่ทำกำไรได้มากกว่าในกรณีนี้เพื่อกำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติ คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
และแน่นอน อย่าลืมว่าคำตอบส่วนใหญ่ในบทเรียนนี้ค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบด้วยการสร้างความแตกต่าง!
ตัวอย่างถือว่าไม่ยากที่สุด ในทางปฏิบัติ อินทิกรัลจะพบได้บ่อยกว่า โดยที่ค่าคงที่เป็นทั้งเลขชี้กำลังและในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น . หลายคนจะต้องสับสนในอินทิกรัล และตัวฉันเองมักจะสับสน ความจริงก็คือในการแก้ปัญหามีความเป็นไปได้สูงที่การปรากฏตัวของเศษส่วนและมันง่ายมากที่จะสูญเสียบางสิ่งบางอย่างเนื่องจากการไม่ตั้งใจ นอกจากนี้ มีความเป็นไปได้สูงที่จะเกิดข้อผิดพลาดในเครื่องหมาย โปรดทราบว่ามีเครื่องหมายลบในเลขชี้กำลัง ซึ่งจะทำให้เกิดปัญหาเพิ่มเติม
ในขั้นตอนสุดท้ายมักจะเป็นดังนี้:
แม้แต่ตอนท้ายของการแก้ปัญหา คุณควรระมัดระวังอย่างมากและจัดการกับเศษส่วนอย่างถูกต้อง: 
การรวมเศษส่วนที่ซับซ้อน
เรากำลังเข้าใกล้เส้นศูนย์สูตรของบทเรียนอย่างช้าๆ และเริ่มพิจารณาอินทิกรัลของเศษส่วน อีกครั้ง ไม่ใช่ทุกอันจะซับซ้อนอย่างยิ่ง ด้วยเหตุผลอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างก็ "นอกประเด็น" เล็กน้อยในบทความอื่น
ดำเนินเรื่องต่อจากรากเหง้า
ตัวอย่างที่ 9
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
ในตัวส่วนใต้รูท จะมีไตรนามกำลังสองบวกนอกรูท "ส่วนต่อท้าย" ในรูปของ "x" อินทิกรัลของแบบฟอร์มนี้ได้รับการแก้ไขโดยใช้การแทนที่มาตรฐาน
เราตัดสินใจ: 
การแทนที่ที่นี่ทำได้ง่าย: 
มองชีวิตหลังเปลี่ยน: 
(1) หลังจากการแทนที่ เราจะลดเงื่อนไขภายใต้รูทเป็นตัวส่วนร่วม
(2) เราเอามันออกจากใต้ราก
(3) เราลดตัวเศษและตัวส่วนด้วย ในเวลาเดียวกัน ภายใต้รูท ฉันจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ตามลำดับที่สะดวก ด้วยประสบการณ์บางอย่าง คุณสามารถข้ามขั้นตอน (1), (2) ได้โดยดำเนินการแสดงความคิดเห็นด้วยวาจา
(4) อินทิกรัลที่เป็นผลลัพธ์ตามที่คุณจำได้จากบทเรียน การรวมเศษส่วนบางส่วน, แก้ได้ วิธีการเลือกตารางเต็ม. เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็ม
(5) โดยการรวมเข้าด้วยกัน เราจะได้ลอการิทึม "ยาว" ธรรมดา
(6) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ ถ้าในตอนแรก ให้กลับ: .
(7) การดำเนินการขั้นสุดท้ายมุ่งเป้าไปที่การทำผมผลลัพธ์: ใต้ราก เรานำเงื่อนไขไปยังตัวส่วนร่วมอีกครั้ง และนำออกจากใต้ราก
ตัวอย่าง 10
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน 
นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ในที่นี้ ค่าคงที่จะถูกเพิ่มไปยัง x โลน และการแทนที่เกือบจะเหมือนกัน: 
สิ่งเดียวที่ต้องทำเพิ่มเติมคือการแสดง "x" จากการแทนที่: 
คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
บางครั้งในอินทิกรัลดังกล่าว อาจมีสแควร์ทวินามอยู่ใต้รูท ซึ่งไม่ได้เปลี่ยนวิธีการแก้ปัญหา แต่จะยิ่งง่ายยิ่งขึ้นไปอีก รู้สึกถึงความแตกต่าง:
ตัวอย่าง 11
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
ตัวอย่างที่ 12
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน ควรสังเกตว่าตัวอย่างที่ 11 ตรงกันทุกประการ ปริพันธ์ทวินาม, วิธีการแก้ปัญหาที่ได้รับการพิจารณาในบทเรียน ปริพันธ์ของฟังก์ชันอตรรกยะ.
ปริพันธ์ของพหุนามแยกไม่ออกของดีกรีที่ 2 ถึงดีกรี
(พหุนามในตัวส่วน)
หายากกว่า แต่อย่างไรก็ตามการพบกันใน ตัวอย่างการใช้งานจริงประเภทของอินทิกรัล
ตัวอย่างที่ 13
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
แต่ลองกลับไปดูตัวอย่างเลขเด็ด 13 กัน (บอกตรงๆ ว่าไม่เดา) อินทิกรัลนี้มาจากหมวดหมู่ที่คุณสามารถทนทุกข์ได้หากคุณไม่ทราบวิธีแก้ปัญหา
การแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงประดิษฐ์: 
ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจวิธีการหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนตามเทอมแล้ว
อินทิกรัลที่ได้จะถูกนำมาเป็นส่วน ๆ : 
สำหรับอินทิกรัลของรูปแบบ ( เป็นจำนวนธรรมชาติ) เราได้มา กำเริบสูตรการปรับลดรุ่น:
, ที่ไหน 
เป็นอินทิกรัลของดีกรีที่ต่ำกว่า
ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของสูตรนี้สำหรับอินทิกรัลที่แก้ไขแล้ว
ในกรณีนี้: , , เราใช้สูตร: 
อย่างที่คุณเห็นคำตอบเหมือนกัน
ตัวอย่างที่ 14
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง สารละลายตัวอย่างใช้สูตรข้างต้นสองครั้งติดต่อกัน
ถ้าอยู่ภายใต้ระดับคือ ย่อยสลายไม่ได้ทริโนเมียลกำลังสอง จากนั้นสารละลายจะลดลงเป็นทวินามโดยแยกกำลังสองเต็ม ตัวอย่างเช่น
เกิดอะไรขึ้นถ้ามีพหุนามเพิ่มเติมในตัวเศษ? ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการของสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน และอินทิกรัลจะขยายเป็นผลรวมของเศษส่วน แต่ในการปฏิบัติของฉันของตัวอย่างดังกล่าว ไม่เคยเจอดังนั้นฉันจึงข้ามกรณีนี้ในบทความ ปริพันธ์ของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ, ฉันจะข้ามมันไปเดี๋ยวนี้ หากอินทิกรัลดังกล่าวยังคงเกิดขึ้น ดูหนังสือเรียน - ทุกอย่างนั้นง่ายที่นั่น ฉันไม่เห็นว่าควรรวมเนื้อหา (แม้ง่าย) ความน่าจะเป็นที่จะพบกับซึ่งมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์
การรวมฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ซับซ้อน
คำคุณศัพท์ "ยาก" สำหรับตัวอย่างส่วนใหญ่จะมีเงื่อนไขเป็นส่วนใหญ่อีกครั้ง เริ่มจากแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ที่มีกำลังสูงกันก่อน จากมุมมองของวิธีการที่ใช้ในการแก้แทนเจนต์และโคแทนเจนต์นั้นเกือบจะเหมือนกัน ดังนั้นฉันจะพูดถึงแทนเจนต์มากขึ้น ซึ่งหมายความว่าวิธีการที่แสดงให้เห็นในการแก้ปัญหาอินทิกรัลก็ใช้ได้สำหรับโคแทนเจนต์ด้วย
ในบทเรียนข้างต้น เราดูที่ การแทนที่ตรีโกณมิติสากลสำหรับการแก้อินทิกรัลบางประเภทของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ข้อเสียของการแทนที่ตรีโกณมิติสากลคือการที่แอปพลิเคชันมักนำไปสู่อินทิกรัลที่ยุ่งยากด้วยการคำนวณที่ยาก และในบางกรณีสามารถหลีกเลี่ยงการแทนที่ตรีโกณมิติสากลได้!
ลองพิจารณาตัวอย่างที่เป็นที่ยอมรับอีกอันหนึ่ง ปริพันธ์ของเอกภาพหารด้วยไซน์:
ตัวอย่าง 17
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
คุณสามารถใช้การแทนค่าตรีโกณมิติสากลและรับคำตอบได้ แต่ยังมีวิธีที่มีเหตุผลมากกว่านี้ ฉันจะให้คำตอบที่สมบูรณ์พร้อมความคิดเห็นสำหรับแต่ละขั้นตอน:
(1) เราใช้สูตรตรีโกณมิติสำหรับไซน์ของมุมคู่
(2) เราดำเนินการแปลงประดิษฐ์: ในตัวส่วนเราหารและคูณด้วย .
(3) ตามสูตรที่รู้จักกันดีในตัวส่วน เราเปลี่ยนเศษส่วนให้เป็นแทนเจนต์
(4) เรานำฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียล
(5) เราหาอินทิกรัล
ตัวอย่างง่ายๆสองสามตัวอย่างเพื่อแก้ปัญหาด้วยตัวคุณเอง:
ตัวอย่าง 18
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
คำแนะนำ: ขั้นตอนแรกสุดคือการใช้สูตรลดขนาด 
และดำเนินการอย่างรอบคอบคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้
ตัวอย่าง 19
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก
กรอกคำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ฉันคิดว่าตอนนี้จะไม่มีใครมีปัญหากับอินทิกรัล: 
เป็นต้น
แนวคิดเบื้องหลังวิธีการคืออะไร? แนวคิดคือการใช้การแปลง, สูตรตรีโกณมิติเพื่อจัดระเบียบเฉพาะแทนเจนต์และอนุพันธ์ของแทนเจนต์ในอินทิกรัล นั่นคือเรากำลังพูดถึงการแทนที่: 
. ในตัวอย่างที่ 17-19 เราใช้จริง การแทนที่นี้แต่อินทิกรัลนั้นเรียบง่ายมากจนใช้การกระทำที่เท่าเทียมกัน นำฟังก์ชันมาอยู่ภายใต้เครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียล
การให้เหตุผลที่คล้ายคลึงกันดังที่ได้กล่าวไปแล้วนั้นสามารถทำได้สำหรับโคแทนเจนต์
นอกจากนี้ยังมีข้อกำหนดเบื้องต้นอย่างเป็นทางการสำหรับการใช้การทดแทนข้างต้น:
ผลรวมของยกกำลังของโคไซน์และไซน์เป็นจำนวนเต็มลบ เลขคู่, ตัวอย่างเช่น:
สำหรับอินทิกรัล เป็นจำนวนเต็มลบ EVEN จำนวนเต็ม
! บันทึก : ถ้าอินทิกรัลมีเฉพาะไซน์หรือโคไซน์เท่านั้น อินทิกรัลจะถูกนำมาแม้มีดีกรีเป็นลบ (กรณีที่ง่ายที่สุดอยู่ในตัวอย่างที่ 17, 18)
พิจารณางานที่มีความหมายมากกว่าสองสามอย่างสำหรับกฎนี้:
ตัวอย่าง 20
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
ผลรวมของดีกรีของไซน์และโคไซน์: 2 - 6 \u003d -4 - จำนวนเต็มลบ EVEN ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลสามารถลดลงเป็นแทนเจนต์และอนุพันธ์ได้: 
(1) ลองแปลงตัวส่วนกัน
(2) ตามสูตรที่รู้จักกันดี เราได้รับ .
(3) ลองแปลงตัวส่วนกัน
(4) เราใช้สูตร 
.
(5) เรานำฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายอนุพันธ์
(6) เราดำเนินการเปลี่ยน นักเรียนที่มีประสบการณ์มากกว่าอาจไม่ดำเนินการแทนที่ แต่ก็ยังดีกว่าที่จะแทนที่แทนเจนต์ด้วยตัวอักษรเดียว - มีความเสี่ยงน้อยกว่าที่จะเกิดความสับสน
ตัวอย่าง 21
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน
นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง
เดี๋ยวนะ รอบชิงแชมป์เริ่มแล้ว =)
บ่อยครั้งในจำนวนเต็มมี "ส่วนผสม":
ตัวอย่าง 22
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน 
อินทิกรัลนี้ในขั้นต้นประกอบด้วยแทนเจนต์ ซึ่งแนะนำความคิดที่คุ้นเคยอยู่แล้วในทันที:
ฉันจะทิ้งการเปลี่ยนแปลงเทียมไว้ที่จุดเริ่มต้นและขั้นตอนที่เหลือโดยไม่มีความคิดเห็น เนื่องจากทุกอย่างได้กล่าวไว้ข้างต้นแล้ว
ตัวอย่างความคิดสร้างสรรค์สองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตัวอย่าง 23
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน 
ตัวอย่าง 24
หาอินทิกรัลไม่แน่นอน 
ใช่ แน่นอน คุณสามารถลดระดับของไซน์ โคไซน์ ใช้การแทนที่ตรีโกณมิติสากลได้ แต่การแก้ปัญหาจะมีประสิทธิภาพและสั้นกว่ามากหากวาดผ่านแทนเจนต์ คำตอบและคำตอบที่สมบูรณ์ในตอนท้ายของบทเรียน
ตัวอย่างของการแก้ปัญหาของอินทิกรัลตามส่วนต่างๆ ได้รับการพิจารณาโดยละเอียด โดยอินทิกรัลประกอบด้วยลอการิทึม อาร์กไซน์ อาร์คแทนเจนต์ รวมถึงลอการิทึมของกำลังจำนวนเต็มและลอการิทึมของพหุนาม
เนื้อหาดูสิ่งนี้ด้วย: วิธีการบูรณาการตามส่วนต่างๆ
ตารางปริพันธ์ไม่แน่นอน
วิธีการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด
ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานและคุณสมบัติ
บูรณาการตามสูตรชิ้นส่วน
ด้านล่างนี้ เมื่อแก้ตัวอย่าง จะใช้สูตรการรวมทีละส่วน:
;
.
ตัวอย่างของอินทิกรัลที่มีฟังก์ชันลอการิทึมและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
ต่อไปนี้คือตัวอย่างอินทิกรัลที่รวมตามส่วนต่างๆ:
, , , , , , .
เมื่อทำการรวมเข้าด้วยกัน ส่วนนั้นของอินทิกรัลที่มีลอการิทึมหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจะแสดงโดย u ส่วนที่เหลือ - โดย dv
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างพร้อมคำตอบโดยละเอียดของอินทิกรัลเหล่านี้
ตัวอย่างลอการิทึมอย่างง่าย
เราคำนวณอินทิกรัลที่มีผลคูณของพหุนามและลอการิทึม:
integrand ในที่นี้ประกอบด้วยลอการิทึม การทดแทน
คุณ= ln x, dv = x 2 dx . แล้ว
,
.
เราบูรณาการโดยส่วนต่างๆ
.
.
แล้ว
.
ในตอนท้ายของการคำนวณ เราบวกค่าคงที่ C .
ตัวอย่างลอการิทึมยกกำลัง2
ลองพิจารณาตัวอย่างที่อินทิกรัลรวมลอการิทึมเป็นยกกำลังจำนวนเต็ม อินทิกรัลดังกล่าวสามารถรวมเข้าด้วยกันโดยส่วนต่างๆ
การทดแทน
คุณ= (ln x) 2, dv = x dx . แล้ว
,
.
อินทิกรัลที่เหลือจะคำนวณโดยส่วนต่างๆ ด้วย:
.
ทดแทน
.
ตัวอย่างที่อาร์กิวเมนต์ลอการิทึมเป็นพหุนาม
สามารถคำนวณอินทิกรัลได้บางส่วน ซึ่งอินทิกรัลประกอบด้วยลอการิทึมที่อาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันพหุนาม ตรรกยะ หรืออตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณอินทิกรัลด้วยลอการิทึมที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นพหุนาม
.
การทดแทน
คุณ= บันทึก ( x 2 - 1), dv = x dx .
แล้ว
,
.
เราคำนวณอินทิกรัลที่เหลือ:
.
เราไม่ได้เขียนเครื่องหมายโมดูลัสที่นี่ ln | x 2 - 1|เนื่องจากอินทิกรัลถูกกำหนดไว้สำหรับ x 2 - 1 > 0
. ทดแทน
.
ตัวอย่าง Arcsine
ลองพิจารณาตัวอย่างอินทิกรัลที่มีอินทิกรัลรวมอาร์กไซน์ด้วย
.
การทดแทน
คุณ= อาร์คซิน x,
.
แล้ว
,
.
นอกจากนี้ เราสังเกตว่าอินทิกรัลถูกกำหนดไว้สำหรับ |x|< 1 . เราขยายเครื่องหมายของโมดูลัสภายใต้ลอการิทึมโดยคำนึงถึงสิ่งนั้น 1 - x > 0และ 1 + x > 0.
ตัวอย่างอาร์คแทนเจนต์
ลองแก้ตัวอย่างด้วยอาร์คแทนเจนต์:
.
เราบูรณาการโดยส่วนต่างๆ
.
ลองใช้ส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วน:
x 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1)(x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
เรารวม:
.
ในที่สุดเราก็มี
แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัล
1. แอนติเดริเวทีฟ ฟังก์ชัน F (x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f (x) ในช่วงเวลา X ถ้าสำหรับ x ใด ๆ จาก X ความเท่าเทียมกัน F "(x) \u003d f (x)
ต.7.13 (ถ้า F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลา X ดังนั้นฟังก์ชัน f(x) จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนมากเป็นอนันต์ และแอนติเดริเวทีฟเหล่านี้ทั้งหมดมีรูปแบบ F (x) + С โดยที่ С เป็นค่าคงที่โดยพลการ (คุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ)
2. ตารางของแอนติเดริเวทีฟ โดยพิจารณาว่าการหาแอนติเดริเวทีฟเป็นการดำเนินการผกผันกับดิฟเฟอเรนติเอชัน และเริ่มจากตารางอนุพันธ์ เราได้รับตารางของแอนติเดริเวทีฟต่อไปนี้ (เพื่อความเรียบง่าย ตารางจะแสดงหนึ่งแอนติเดริเวทีฟ F(x) และไม่ใช่รูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟ F (x) + C):
|
แอนติเดริเวทีฟ |
แอนติเดริเวทีฟ |
||
ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟและลอการิทึม
ฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันผกผันกับ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง. แอล.เอฟ. หมายถึง
ค่า y ซึ่งสอดคล้องกับค่าของอาร์กิวเมนต์ x เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติของจำนวน x ตามนิยาม ความสัมพันธ์ (1) เทียบเท่ากับ
(e เป็นจำนวนที่ไม่ใช่เพียร์) เนื่องจาก ey > 0 สำหรับ y จริงใดๆ แล้ว L. f. ถูกกำหนดไว้สำหรับ x > 0 เท่านั้น โดยทั่วไปแล้ว L. f. เรียกใช้ฟังก์ชัน
ลอการิทึมปริพันธ์ระดับแอนติเดริเวทีฟ
โดยที่ a > 0 (a? 1) เป็นฐานของลอการิทึมโดยพลการ อย่างไรก็ตาม ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน InX มีความสำคัญเป็นพิเศษ ฟังก์ชัน logaX ลดลงตามสูตร:
โดยที่ M = 1/ใน แอล.เอฟ. - หนึ่งในฟังก์ชั่นพื้นฐานหลัก กราฟของมัน (รูปที่ 1) เรียกว่าลอการิทึม คุณสมบัติหลักของ L.f. ติดตามจากคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม ตัวอย่างเช่น L.f. เป็นไปตามสมการเชิงฟังก์ชัน
สำหรับ - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:
อินทิกรัลจำนวนมากแสดงในรูปของ L. f.; ตัวอย่างเช่น
แอล.เอฟ. เกิดขึ้นบ่อยครั้งในแคลคูลัสและการประยุกต์ใช้
แอล.เอฟ. เป็นที่รู้จักกันดีในหมู่นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 เป็นครั้งแรกที่ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่แสดงโดย L. f. ได้รับการพิจารณาโดย J. Napier (1614) เขานำเสนอความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขและลอการิทึมโดยใช้จุดสองจุดที่เคลื่อนที่ตามเส้นตรงคู่ขนาน (รูปที่ 2) หนึ่งในนั้น (Y) เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอโดยเริ่มจาก C และอีกอัน (X) โดยเริ่มจาก A เคลื่อนที่ด้วยความเร็วตามสัดส่วนกับระยะห่างจาก B ถ้าเราใส่ SU = y, XB = x แล้วตาม คำจำกัดความนี้
dx/dy = - kx มาจากไหน
แอล.เอฟ. บนระนาบที่ซับซ้อนเป็นฟังก์ชันหลายค่า (ค่าอนันต์) ที่กำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ z ? 0 แสดงว่า Lnz สาขาที่ชัดเจนของฟังก์ชันนี้ นิยามเป็น
Inz \u003d In?z? + ฉัน arg z,
โดยที่ arg z คืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z เรียกว่าค่าหลักของ L. f เรามี
Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...
ค่าทั้งหมดของ L.f. สำหรับค่าลบ: real z เป็นจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีที่น่าพอใจข้อแรกของ L.f. ในระนาบเชิงซ้อนได้รับโดย L. Euler (1749) ซึ่งมาจากคำจำกัดความ
