การคำนวณการคาดหมายทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัว ความน่าจะเป็นและสถิติ - ข้อเท็จจริงพื้นฐาน

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น:

ตัวอย่าง.

X-4 6 10
หน้า 0.2 0.3 0.5

วิธีแก้ไข: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่า X ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น:

M (X) \u003d 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 \u003d 6

ในการคำนวณ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สะดวกในการคำนวณใน Excel (โดยเฉพาะเมื่อมีข้อมูลจำนวนมาก) เราขอแนะนำให้ใช้เทมเพลตสำเร็จรูป ()

ตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ(คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขได้)
ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ที่กำหนดโดยกฎหมายการกระจาย:

X 0.21 0.54 0.61
หน้า 0.1 0.5 0.4

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

คุณสมบัติ 1 การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นั้นเอง: М(С)=С

คุณสมบัติ 2 ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวัง: М(СХ)=СМ(Х)

คุณสมบัติ 3 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันนั้นเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปัจจัย: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) * ..*M(Xn)

คุณสมบัติ 4 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).

ปัญหาที่ 189 ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ X และ Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

วิธีแก้ไข: ใช้คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ (การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเทอมนั้นๆ ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหมายได้) เราจะได้ M(Z)=M (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11

190. ใช้คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ พิสูจน์ว่า: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของส่วนเบี่ยงเบน X-M(X) เป็นศูนย์

191. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ใช้ค่าที่เป็นไปได้สามค่า: x1= 4 ด้วยความน่าจะเป็น p1 = 0.5; x3 = 6 ด้วยความน่าจะเป็น P2 = 0.3 และ x3 ที่มีความน่าจะเป็น p3 ค้นหา: x3 และ p3 โดยรู้ว่า M(X)=8

192. รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ได้รับ: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณนี้และกำลังสองเป็นที่รู้จักกัน: M (X ) \u003d 0.1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. ค้นหาความน่าจะเป็น p1, p2, p3 ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ xi

194. ชุดละ 10 ชิ้นประกอบด้วยชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานสามชิ้น สองรายการถูกสุ่มเลือก ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานจากสองส่วนที่เลือก

196. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X-number ของการโยนลูกเต๋าห้าลูกดังกล่าว โดยแต่ละจุดจะปรากฏบนลูกเต๋าสองลูก ถ้าจำนวนการโยนทั้งหมดคือยี่สิบ

มูลค่าที่คาดหวัง การกระจายทวินามเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง:

อย่างที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ากฎการแจกจ่ายได้กำหนดลักษณะตัวแปรสุ่มอย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม กฎหมายการจัดจำหน่ายมักไม่เป็นที่รู้จักและต้องจำกัดตัวเองให้มีข้อมูลน้อยกว่า ในบางครั้ง การใช้ตัวเลขที่อธิบายตัวแปรสุ่มโดยรวมนั้นมีประโยชน์มากกว่า ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม.

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์เป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขที่สำคัญอย่างหนึ่ง

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มโดยประมาณ

การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น

หากตัวแปรสุ่มมีลักษณะเฉพาะด้วยอนุกรมการแจกแจงแบบจำกัดขอบเขต:

X	x 1	x2	x 3	…	x น
R	หน้า 1	หน้า 2	หน้า 3	…	r p

แล้วการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ เอ็ม(เอ็กซ์)ถูกกำหนดโดยสูตร:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มอยู่ที่ไหน X.

ตัวอย่างที่ 4.7หาความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของจำนวนแต้มที่หลุดออกมาเมื่อโยนลูกเต๋า

วิธีการแก้:

ค่าสุ่ม Xรับค่า 1, 2, 3, 4, 5, 6 มาสร้างกฎของการแจกแจงกัน:

X
R

จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ:

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

1. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่เอง:

M(S)=ส.

2. ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวัง:

M(CX) = ซม.(X)

3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวนั้นเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน:

M(XY) = ม.(X)ม.(Y).

ตัวอย่าง 4.8. ตัวแปรสุ่มอิสระ Xและ Yกำหนดโดยกฎหมายการจำหน่ายดังต่อไปนี้:

X					Y
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม XY

วิธีการแก้.

มาหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณเหล่านี้กัน:

ตัวแปรสุ่ม Xและ Yอิสระ ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการ:

M(XY) = M(X)M(Y)=

ผลที่ตามมาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มหลายตัวที่ไม่ขึ้นต่อกันมีค่าเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน

4. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว เท่ากับผลรวมของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข:

M(X + Y) = M(X) + M(Y)

ผลที่ตามมาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มหลายตัวจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 4.9ยิง 3 นัด มีโอกาสยิงโดนเป้าหมายเท่ากับ หน้า 1 = 0,4; p2= 0.3 และ หน้า 3= 0.6. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวน Hit ทั้งหมด

วิธีการแก้.

จำนวนการยิงนัดแรกเป็นตัวแปรสุ่ม X 1ซึ่งสามารถรับได้เพียงสองค่า: 1 (hit) ด้วยความน่าจะเป็น หน้า 1= 0.4 และ 0 (พลาด) ด้วยความน่าจะเป็น คิว 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนครั้งที่ยิงนัดแรกเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะตี:

ในทำนองเดียวกัน เราพบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนการเข้าชมในช็อตที่สองและสาม:

เอ็ม(X 2)= 0.3 และ M (X 3) \u003d 0,6.

จำนวน Hit ทั้งหมดยังเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งประกอบด้วยผลรวมของ Hit ในแต่ละช็อตจากสามช็อต:

X \u003d X 1 + X 2 + X 3

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการ Xเราหาได้จากทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ การคาดหวังผลรวม

ลักษณะของ DSW และคุณสมบัติของมัน การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

กฎหมายการจัดจำหน่ายกำหนดลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่ม อย่างไรก็ตาม เมื่อไม่สามารถหากฎการแจกแจงได้ หรือไม่จำเป็น เราสามารถจำกัดตัวเองให้ค้นหาค่า ซึ่งเรียกว่าคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม ปริมาณเหล่านี้กำหนดค่าเฉลี่ยบางส่วนซึ่งค่าของตัวแปรสุ่มถูกจัดกลุ่มและระดับของการกระจายรอบค่าเฉลี่ยนี้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของพวกมัน

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเกิดขึ้นหากอนุกรมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง

จากมุมมองของความน่าจะเป็น เราสามารถพูดได้ว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์มีค่าประมาณเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่าง. กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเป็นที่รู้จักกัน ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

X
พี	0.2	0.3	0.1	0.4

วิธีการแก้:

9.2 คุณสมบัติที่คาดหวัง

1. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นั้นเอง

2. ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวังได้

3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวนั้นเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน

คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับตัวแปรสุ่มจำนวนหนึ่ง

4. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลรวมของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข

คุณสมบัตินี้ยังเป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนตามอำเภอใจ

ให้ดำเนินการทดลองอิสระ n ครั้ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งเท่ากับ p

ทฤษฎีบท.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) ของจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n ครั้ง เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

ตัวอย่าง. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y

วิธีการแก้:

9.3 การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

อย่างไรก็ตาม การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถอธิบายลักษณะเฉพาะของกระบวนการสุ่มได้อย่างเต็มที่ นอกเหนือจากการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์แล้ว ยังจำเป็นต้องแนะนำค่าที่กำหนดลักษณะความเบี่ยงเบนของค่าตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ส่วนเบี่ยงเบนนี้เท่ากับผลต่างระหว่างตัวแปรสุ่มกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้ ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของส่วนเบี่ยงเบนจะเป็นศูนย์ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าหนึ่ง ความเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้เป็นบวกส่วนอื่น ๆ เป็นลบและเป็นผลมาจากการยกเลิกร่วมกันจะได้ศูนย์

การกระจาย (กระเจิง)ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ในทางปฏิบัติ วิธีการคำนวณความแปรปรวนนี้ไม่สะดวกเพราะ นำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยากสำหรับค่าตัวแปรสุ่มจำนวนมาก

ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่น

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนเท่ากับผลต่างระหว่างความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม X และกำลังสองของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์.

การพิสูจน์. โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M (X) และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M 2 (X) เป็นค่าคงที่ เราสามารถเขียนได้ดังนี้

ตัวอย่าง. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดโดยกฎหมายการแจกจ่าย

X
X2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

วิธีการแก้: .

9.4 คุณสมบัติการกระจายตัว

1. การกระจายตัวของค่าคงที่เป็นศูนย์ .

2. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายโดยการยกกำลังสองมัน .

3. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ .

4. ความแปรปรวนของผลต่างของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ .

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนของจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n การทดลอง โดยแต่ละครั้งความน่าจะเป็น p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์เป็นค่าคงที่ เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นและการไม่เกิดขึ้น ของเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

9.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า รากที่สองของความแปรปรวน

ทฤษฎีบท. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวมของจำนวนจำกัดของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันจะเท่ากับสแควร์รูทของผลรวมของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสองของตัวแปรเหล่านี้

1. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นั้นเอง M(S)=ส .
2. ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวัง: ม.(CX)=ซม.(X)
3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน: M(XY)=ม.(X) ม.(Y).
4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

ทฤษฎีบท. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(x) ของจำนวนเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n ฉบับ เท่ากับผลคูณของการทดลองเหล่านี้โดยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละการทดลอง: M(x) = np

อนุญาต X เป็นตัวแปรสุ่มและ เอ็ม(เอ็กซ์) คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ พิจารณาเป็นตัวแปรสุ่มใหม่ ความแตกต่าง X - ม(X).

ความเบี่ยงเบนคือความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ส่วนเบี่ยงเบนมีกฎการกระจายดังต่อไปนี้:

วิธีแก้ไข: ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

ลองเขียนกฎการกระจายของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง:

วิธีแก้ไข: ค้นหาความคาดหวัง M(x): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5

ลองเขียนกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X 2

x2
พี	0.1	0.6	0.3

มาหาความคาดหมายทางคณิตศาสตร์กัน ม(x2):ม(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

การกระจายที่ต้องการ D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05

คุณสมบัติการกระจายตัว:

1. การกระจายตัวของค่าคงที่ จาก เท่ากับศูนย์: D(C)=0
2. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายโดยการยกกำลังสองมัน D(Cx)=C 2 D(x)
3. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. ความแปรปรวนของการแจกแจงทวินามเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นและการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ในการทดลองหนึ่ง D(X)=npq

ในการประมาณการกระจายของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มรอบๆ ค่ากลางของมัน นอกเหนือจากความแปรปรวนแล้ว ยังมีคุณลักษณะอื่นๆ บางส่วนอีกด้วย ในหมู่พวกเขาคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม Xเรียกว่ารากที่สองของความแปรปรวน:

σ(X) = √D(X) (4)

ตัวอย่าง. ตัวแปรสุ่ม X ถูกกำหนดโดยกฎการกระจาย

X
พี	0.1	0.4	0.5

หาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(x)

วิธีแก้ไข: ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ X: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
หาค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของ X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
ค้นหาการกระจาย: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ต้องการ σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

ทฤษฎีบท. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวมของจำนวนจำกัดของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกัน เท่ากับรากที่สองของผลรวมของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสองของตัวแปรเหล่านี้:

ตัวอย่าง. มีหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม และฟิสิกส์ 3 เล่มบนชั้นหนังสือ 6 เล่ม หนังสือสามเล่มถูกสุ่มเลือก ค้นหากฎการกระจายของจำนวนหนังสือในวิชาคณิตศาสตร์จากหนังสือที่เลือก ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้

D (X) \u003d M (X 2) - M (X) 2 \u003d 2.7 - 1.5 2 \u003d 0.45

แต่ละค่าจะถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการกระจายของมันอย่างสมบูรณ์ นอกจากนี้ เพื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบลักษณะเชิงตัวเลขหลายประการ ซึ่งทำให้สามารถนำเสนอคุณสมบัติหลักของตัวแปรสุ่มในรูปแบบที่กระชับได้

ปริมาณเหล่านี้เป็นหลัก มูลค่าที่คาดหวังและ การกระจายตัว .

มูลค่าที่คาดหวัง- ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น กำหนดให้เป็น .

โดยมากที่สุด ด้วยวิธีง่ายๆการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์(ญ), จะพบเป็น อินทิกรัลLebesgueเกี่ยวกับการวัดความน่าจะเป็น R อักษรย่อ ช่องว่างความน่าจะเป็น

คุณยังสามารถหาค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าเป็น ปริพันธ์ Lebesgueจาก Xโดยการแจกแจงความน่าจะเป็น อาร์เอ็กซ์ปริมาณ X:

เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดอยู่ที่ไหน X.

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันจากตัวแปรสุ่ม Xคือผ่านการจัดจำหน่าย อาร์เอ็กซ์. ตัวอย่างเช่น, ถ้า X- ตัวแปรสุ่มที่มีค่าในและ เอฟ(x)- ชัดเจน โบเรลการทำงาน X , แล้ว:

ถ้า เอฟ(x)- ฟังก์ชั่นการกระจาย Xแล้วการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ก็แทนค่าได้ อินทิกรัลLebesgue - Stieltjes (หรือ Riemann - Stieltjes):

ในขณะที่บูรณาการ Xในสิ่งที่รู้สึก ( * ) สอดคล้องกับความจำกัดของปริพันธ์

ในบางกรณี if Xมันมี การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องด้วยค่าที่น่าจะเป็นไปได้ x k, k=1, 2, . , และความน่าจะเป็น แล้ว

ถ้า Xมีการแจกแจงต่อเนื่องอย่างแน่นอนโดยมีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(x), แล้ว

ในกรณีนี้ การมีอยู่ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเทียบเท่ากับการบรรจบกันแบบสัมบูรณ์ของอนุกรมหรืออินทิกรัลที่สอดคล้องกัน

คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

• การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่านี้:

ค- คงที่;

• M=C.M[X]

• ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของค่าที่สุ่มมานั้นเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

• ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระ = ผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

M=M[X]+M[Y]

ถ้า Xและ Yเป็นอิสระ.

ถ้าชุดมาบรรจบกัน:

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง: ค่าทั้งหมดสามารถเรียงลำดับใหม่ด้วยตัวเลขธรรมชาติ เปรียบแต่ละค่าด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์

1. คูณคู่ในทางกลับกัน: x ฉันบน ปี่.

2.เพิ่มสินค้าแต่ละคู่ x ฉัน พี ฉัน.

ตัวอย่างเช่น, สำหรับ น = 4 :

ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเพิ่มขึ้นอย่างกะทันหัน ณ จุดที่มีความน่าจะเป็นเป็นบวก

ตัวอย่าง:หาความคาดหมายทางคณิตศาสตร์จากสูตร