สารละลาย.
ความน่าจะเป็นที่ไม่มีแขนเสื้อหลุดออกมา: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
ความน่าจะเป็นที่เสื้อแขนสามตัวหลุดออกมา: P(3) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X:
| เอ็กซ์ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| พี | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
ตัวอย่าง #2 ความน่าจะเป็นที่จะยิงเข้าเป้าโดยมือปืนหนึ่งนัดสำหรับผู้ยิงคนแรกคือ 0.8 สำหรับผู้ยิงคนที่สอง - 0.85 ผู้ยิงยิงปืนไปที่เป้าหมายหนึ่งนัด สมมติว่าการยิงเข้าเป้าสำหรับผู้ยิงแต่ละคนเป็นเหตุการณ์อิสระ ให้หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A - ยิงเข้าเป้าหนึ่งครั้ง
สารละลาย.
พิจารณาเหตุการณ์ A - โจมตีเป้าหมายหนึ่งครั้ง ตัวเลือกที่เป็นไปได้เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นมีดังนี้
- คนยิงคนแรกโดน คนที่สองพลาด: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- คนยิงคนแรกพลาด คนที่สองยิงเข้าเป้า: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- ผู้ยิงคนแรกและคนที่สองเข้าเป้าโดยอิสระ: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
คำนิยาม.การกระจาย (กระจาย)เรียกว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง มูลค่าที่คาดหวังค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
ตัวอย่าง. สำหรับตัวอย่างข้างต้น เราพบว่า
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือ:
ค่าที่เป็นไปได้ของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง:
; 
;
การกระจายคือ:
อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติวิธีการคำนวณความแปรปรวนนี้ไม่สะดวกเพราะ นำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยากสำหรับค่าจำนวนมากของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่น
การคำนวณผลต่าง
ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนเท่ากับความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม X และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
การพิสูจน์.โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นค่าคงที่ เราสามารถเขียน:
ลองใช้สูตรนี้กับตัวอย่างด้านบน:
| เอ็กซ์ | ||||||
| x2 | ||||||
| หน้า | 0,0778 | 0,2592 | 0,3456 | 0,2304 | 0,0768 | 0,0102 |
คุณสมบัติการกระจายตัว
1) การกระจายตัว ค่าคงที่เท่ากับศูนย์:
2) สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายการกระจายได้โดยการยกกำลังสอง:
.
3) ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้:
4) ความแปรปรวนของผลต่างของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้:
ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้ตามมาจากคุณสมบัติ 2
ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนของจำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ n ครั้ง ซึ่งแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์คงที่ เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองโดยความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ไม่เกิดขึ้นในการพิจารณาคดีแต่ละครั้ง:
ตัวอย่าง.โรงงานแห่งนี้ผลิตผลิตภัณฑ์ชั้นหนึ่ง 96% และผลิตภัณฑ์ชั้นสอง 4% 1,000 รายการจะถูกสุ่มเลือก อนุญาต เอ็กซ์- จำนวนผลิตภัณฑ์ของเกรดแรกในตัวอย่างนี้ ค้นหากฎการกระจาย ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม
ดังนั้นกฎการกระจายสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นทวินาม
ตัวอย่าง.ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์- จำนวนครั้งที่เกิดเหตุการณ์ กในการทดลองอิสระสองครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์นี้ในแต่ละการทดลองเท่ากัน และเป็นที่ทราบกันว่า
เพราะ ค่าสุ่ม เอ็กซ์กระจายตามกฎทวินามแล้ว
ตัวอย่าง.การทดสอบอิสระดำเนินการโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากันที่จะเกิดเหตุการณ์ กในทุกการทดสอบ ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กหากความแปรปรวนของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระสามครั้งเท่ากับ 0.63
ตามสูตรการกระจายของกฎทวินาม เราได้รับ:
;
ตัวอย่าง.กำลังทดสอบอุปกรณ์ที่ประกอบด้วยอุปกรณ์ที่ทำงานแยกกันสี่ตัว ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของอุปกรณ์แต่ละตัวมีค่าเท่ากันตามลำดับ ; ; . ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของจำนวนอุปกรณ์ที่ล้มเหลว
โดยพิจารณาจากจำนวนอุปกรณ์ที่ล้มเหลวเป็นตัวแปรสุ่ม เราจะเห็นว่าตัวแปรสุ่มนี้สามารถรับค่า 0, 1, 2, 3 หรือ 4
ในการจัดทำกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่มนี้ จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ยอมรับกันเถอะ
1) ไม่มีอุปกรณ์ใดล้มเหลว:
2) หนึ่งในอุปกรณ์ล้มเหลว
ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ "ตัวแปรสุ่ม"
งาน 1 . ลอตเตอรี่ออก 100 ใบ มีการเล่นการชนะหนึ่งครั้งจาก 50 USD และชนะสิบครั้ง ๆ ละ $10 ค้นหากฎการกระจายของค่า X - ต้นทุนของกำไรที่เป็นไปได้
สารละลาย. ค่าที่เป็นไปได้ของ X: x 1 = 0; x 2 = 10 และ x 3 = 50 เนื่องจากมีตั๋ว "ว่าง" 89 ใบ ดังนั้นหน้า 1 = 0.89 ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 10 c.u. (10 ใบ) – หน้า 2 = 0.10 และสำหรับการชนะ 50 c.u. – หน้า 3 = 0.01. ดังนั้น:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
ควบคุมง่าย: .
งาน 2. ความน่าจะเป็นที่ผู้ซื้อคุ้นเคยกับการโฆษณาผลิตภัณฑ์ล่วงหน้าคือ 0.6 (p = 0.6) การควบคุมคุณภาพของการโฆษณาแบบคัดเลือกนั้นดำเนินการโดยผู้ซื้อแบบสำรวจก่อนผู้ซื้อรายแรกที่ศึกษาโฆษณาล่วงหน้า จัดทำชุดการกระจายจำนวนผู้ซื้อที่สัมภาษณ์
สารละลาย. ตามเงื่อนไขของปัญหา p = 0.6. จาก: q=1 -p = 0.4 แทนค่าเหล่านี้ เราจะได้:และสร้างชุดการกระจาย:
|
ปี่ |
0,24 |
งาน 3. คอมพิวเตอร์ประกอบด้วยองค์ประกอบการทำงานอิสระ 3 ส่วน ได้แก่ ยูนิตระบบ จอภาพ และแป้นพิมพ์ ด้วยแรงดันไฟฟ้าที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบคือ 0.1 จากการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี ให้ร่างกฎหมายการกระจายสำหรับจำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวระหว่างไฟกระชากในเครือข่าย
สารละลาย. พิจารณา การกระจายเบอร์นูลลี(หรือทวินาม): ความน่าจะเป็นที่ในน การทดสอบเหตุการณ์ A จะปรากฏขึ้นอย่างแน่นอนเค ครั้งหนึ่ง: 
, หรือ:
|
ถาม น |
หน้า น |
ใน กลับไปที่งานกันเถอะ
ค่าที่เป็นไปได้ของ X (จำนวนความล้มเหลว):
x 0 =0 - ไม่มีองค์ประกอบใดล้มเหลว
x 1 =1 - ความล้มเหลวขององค์ประกอบหนึ่ง
x 2 =2 - ความล้มเหลวของสององค์ประกอบ
x 3 =3 - ความล้มเหลวขององค์ประกอบทั้งหมด
เนื่องจากตามเงื่อนไข p = 0.1 ดังนั้น q = 1 – p = 0.9 เราได้รับโดยใช้สูตรเบอร์นูลลี
, ,
, .
ควบคุม: .
ดังนั้น กฎหมายการกระจายที่ต้องการ:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
ภารกิจที่ 4. ผลิตจำนวน 5,000 รอบ ความน่าจะเป็นที่ตลับหมึกหนึ่งตลับเสีย 
. ความน่าจะเป็นที่จะมีคาร์ทริดจ์ที่ชำรุด 3 ตลับในชุดทั้งหมดคือเท่าใด
สารละลาย. ใช้บังคับ การกระจายปัวซอง: การแจกแจงนี้ใช้เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่กำหนดให้มีขนาดใหญ่มาก
จำนวนการทดลอง (การทดลองจำนวนมาก) ซึ่งแต่ละครั้งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A นั้นน้อยมาก เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้ง: 
, ที่ไหน .
ที่นี่ n \u003d 5,000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3 เราพบ แล้วความน่าจะเป็นที่ต้องการ: 
.
ภารกิจที่ 5. เมื่อทำการยิงก่อนการโจมตีครั้งแรกด้วยความน่าจะเป็นของการกดปุ่ม p = 0.6 สำหรับการยิง คุณต้องหาความน่าจะเป็นที่การยิงนัดที่สามจะเกิดขึ้น
สารละลาย. ให้เราใช้การแจกแจงทางเรขาคณิต: ให้ทำการทดลองอิสระ ซึ่งแต่ละเหตุการณ์ A มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น p (และไม่เกิดขึ้น q = 1 - p) การทดลองสิ้นสุดลงทันทีที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น
ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดสอบ k จะถูกกำหนดโดยสูตร: ที่นี่ p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3 ดังนั้น .
ภารกิจที่ 6. ให้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X ได้รับ:
ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
สารละลาย. .
โปรดทราบว่าความหมายเชิงความน่าจะเป็นของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม
ภารกิจที่ 7. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X ด้วยกฎการกระจายต่อไปนี้:
สารละลาย. ที่นี่ .
กฎการกระจายกำลังสองของ X 2 :
|
เอ็กซ์ 2 |
|||
ความแปรปรวนที่ต้องการ: .
การกระจายเป็นลักษณะระดับของการเบี่ยงเบน (การกระเจิง) ของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
ภารกิจที่ 8. ให้ตัวแปรสุ่มได้รับจากการแจกแจง:
|
10 ม |
|||
ค้นหาลักษณะที่เป็นตัวเลข
วิธีแก้ปัญหา: ม., ม 2 ,
ม 2 , ม.
เกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม X เราสามารถพูดได้ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันคือ 6.4 ม. โดยมีความแปรปรวน 13.04 ม. 2 หรือ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ 6.4 ม. โดยมีค่าเบี่ยงเบนเป็น ม. สูตรที่สองชัดเจนกว่าอย่างเห็นได้ชัด
งาน 9.
ค่าสุ่มเอ็กซ์ กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย: 
.
ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทดสอบ ค่า X จะเท่ากับค่าที่อยู่ในช่วงเวลา 
.
สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่ X จะใช้ค่าจากช่วงเวลาที่กำหนดให้เท่ากับการเพิ่มของฟังก์ชันอินทิกรัลในช่วงเวลานี้ เช่น . ในกรณีของเรา และ ดังนั้น
.
งาน 10. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเอ็กซ์ กำหนดโดยกฎหมายการกระจาย:
ค้นหาฟังก์ชันการกระจายฉ(x ) และสร้างกราฟ
สารละลาย. ตั้งแต่ฟังก์ชันการกระจาย
สำหรับ 
, ที่
ที่ ;
ที่ ;
ที่ ;
ที่ ;
แผนภูมิที่เกี่ยวข้อง:
ภารกิจที่ 11.ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเอ็กซ์ กำหนดโดยฟังก์ชันการแจกแจงส่วนต่าง: 
.
ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะตี X ถึงช่วงเวลา
สารละลาย. โปรดทราบว่านี่เป็นกรณีพิเศษของกฎหมายการกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล
ลองใช้สูตร: 
.
งาน 12. ค้นหาลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม X ที่กำหนดโดยกฎการกระจาย:
|
–5 |
|||||||||
|
เอ็กซ์ 2 :
|
คือฟังก์ชันลาปลาซตัวแปรสุ่มปริมาณเรียกว่าเป็นผลจากการทดสอบที่ดำเนินการภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน โดยพิจารณาค่าที่แตกต่างกัน โดยทั่วไปขึ้นอยู่กับปัจจัยสุ่มที่ไม่ได้นำมาพิจารณา ตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม: จำนวนแต้มที่ทิ้งบนลูกเต๋า จำนวนของรายการที่มีข้อบกพร่องในชุด การเบี่ยงเบนของจุดที่กระทบของโพรเจกไทล์จากเป้าหมาย เวลาทำงานของอุปกรณ์ ฯลฯ แยกแยะความแตกต่างระหว่างแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่ม ไม่ต่อเนื่องตัวแปรสุ่มเรียกว่าค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นชุดที่นับได้, จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด (เช่นชุดที่สามารถกำหนดหมายเลของค์ประกอบได้)
ต่อเนื่องตัวแปรสุ่มเรียกว่าค่าที่เป็นไปได้ซึ่งจะเติมช่วงเวลาที่แน่นอนหรือไม่มีที่สิ้นสุดของแกนตัวเลขอย่างต่อเนื่อง จำนวนค่าของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนั้นมีค่าเป็นอนันต์เสมอ
ตัวแปรสุ่มจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ที่ส่วนท้ายของอักษรละติน: เอ็กซ์, วาย, . ; ค่าของตัวแปรสุ่ม - เป็นตัวพิมพ์เล็ก: เอ็กซ์, วาย. . ดังนั้น, เอ็กซ์หมายถึงชุดค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและ เอ็กซ์ -ความหมายเฉพาะบางอย่าง
กฎหมายการกระจายตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือความสอดคล้องที่กำหนดในรูปแบบใด ๆ ระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็น
ให้ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เป็น . จากผลการทดสอบ ตัวแปรสุ่มจะรับหนึ่งในค่าเหล่านี้ เช่น เหตุการณ์หนึ่งจากกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมดจะเกิดขึ้น
ให้ทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ด้วย:
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์สามารถเขียนในรูปของตารางที่เรียกว่า ใกล้กระจายตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:
ตัวแปรสุ่ม ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
มูลค่าที่คาดหวัง
ส่วนที่สองบน ทฤษฎีความน่าจะเป็นอุทิศ ตัวแปรสุ่ม ซึ่งมาพร้อมกับเราอย่างสุดลูกหูลูกตาในทุกบทความในหัวข้อ และถึงเวลาที่จะต้องอธิบายอย่างชัดเจนว่ามันคืออะไร:
สุ่ม เรียกว่า ค่าซึ่งจากผลการทดสอบจะใช้เวลา หนึ่งเดียวเท่านั้นค่าตัวเลขที่ขึ้นอยู่กับปัจจัยสุ่มและไม่สามารถคาดเดาได้ล่วงหน้า
ตัวแปรสุ่มมักจะเป็น กำหนดผ่าน * และค่าในตัวอักษรขนาดเล็กที่สอดคล้องกันพร้อมตัวห้อย ตัวอย่างเช่น .
* บางครั้งใช้เช่นเดียวกับอักษรกรีก
เราเจอตัวอย่างเกี่ยวกับ บทเรียนแรกในทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งเราพิจารณาตัวแปรสุ่มต่อไปนี้:
- จำนวนแต้มที่จะหลุดหลังจากทอยลูกเต๋า
การทดสอบนี้จะส่งผลให้ หนึ่งเดียวเท่านั้นเส้นไหนคาดเดาไม่ได้ (ไม่พิจารณากลอุบาย); ในกรณีนี้ ตัวแปรสุ่มสามารถใช้หนึ่งในค่าต่อไปนี้:
- จำนวนเด็กผู้ชายในทารกแรกเกิด 10 คน
เป็นที่แน่ชัดว่าไม่ทราบจำนวนนี้ล่วงหน้า และในเด็กอีก 10 คนที่เกิดมาอาจมี:
หรือเด็กผู้ชาย - หนึ่งเดียวเท่านั้นของตัวเลือกที่ระบุไว้
และเพื่อรักษารูปร่างพลศึกษาเล็กน้อย:
- กระโดดไกล (ในบางยูนิต).
แม้แต่ผู้เชี่ยวชาญด้านกีฬาก็ไม่สามารถทำนายได้🙂
อย่างไรก็ตาม สมมติฐานของคุณคืออะไร?
เร็ว ๆ นี้ ชุดของจำนวนจริงไม่มีที่สิ้นสุด จากนั้นตัวแปรสุ่มสามารถรับได้ มากมายเหลือคณานับค่าจากบางช่วงเวลา และนี่คือความแตกต่างพื้นฐานจากตัวอย่างก่อนหน้า
ดังนั้น, แนะนำให้แบ่งตัวแปรสุ่มออกเป็น 2 กลุ่มใหญ่ๆ:
1) ไม่ต่อเนื่อง (เป็นระยะ)ตัวแปรสุ่ม - แยกค่าที่แยกออกมา จำนวนของค่าเหล่านี้ แน่นอนหรือ ไม่มีที่สิ้นสุด แต่นับได้.
... คำศัพท์ที่เข้าใจยากถูกดึงออกมา? ทำซ้ำอย่างเร่งด่วน พื้นฐานของพีชคณิต!
2) ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง - ใช้เวลา ทั้งหมด ค่าตัวเลขจากช่วงเวลาที่แน่นอนหรือไม่มีที่สิ้นสุด
บันทึก : ตัวย่อ DSV และ NSV เป็นที่นิยมในวรรณกรรมเพื่อการศึกษา
อันดับแรก มาวิเคราะห์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง จากนั้น - ต่อเนื่อง.
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
- นี้ การติดต่อระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณนี้กับความน่าจะเป็น บ่อยครั้งที่กฎหมายเขียนไว้ในตาราง:
คำนี้ค่อนข้างธรรมดา แถว
การกระจายแต่ในบางสถานการณ์อาจฟังดูไม่ชัดเจน ดังนั้นฉันจะปฏิบัติตาม "กฎหมาย"
และตอนนี้ มาก จุดสำคัญ
: ตั้งแต่ตัวแปรสุ่ม อย่างจำเป็นจะยอมรับ ค่าใดค่าหนึ่งจากนั้นแบบฟอร์มเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้อง เต็มกลุ่มและผลรวมของความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นเท่ากับหนึ่ง:
หรือถ้าเขียนพับ:
ตัวอย่างเช่น กฎการกระจายความน่าจะเป็นของแต้มบนลูกเต๋ามีรูปแบบดังต่อไปนี้:
คุณอาจรู้สึกว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสามารถรับได้เฉพาะค่าจำนวนเต็ม "ดี" เท่านั้น มาปัดเป่าภาพลวงตากันเถอะ - มันสามารถเป็นอะไรก็ได้:
เกมบางเกมมีกฎหมายการจ่ายผลตอบแทนดังต่อไปนี้:
…บางทีคุณคงฝันถึงงานแบบนี้มานานแล้ว 🙂 ฉันจะบอกความลับให้คุณฟัง - ฉันเองก็เช่นกัน โดยเฉพาะหลังเลิกงาน ทฤษฎีสนาม.
สารละลาย: เนื่องจากตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าได้เพียงหนึ่งในสามค่า รูปแบบเหตุการณ์ที่สอดคล้องกัน เต็มกลุ่มซึ่งหมายความว่าผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง:
เราเปิดเผย "พรรคพวก":
– ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะหน่วยทั่วไปคือ 0.4
การควบคุม: สิ่งที่คุณต้องแน่ใจ
คำตอบ:
ไม่ใช่เรื่องแปลกเมื่อจำเป็นต้องรวบรวมกฎหมายการกระจายอย่างอิสระ สำหรับการใช้งานนี้ คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น, ทฤษฎีบทการคูณ/การบวกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และชิปอื่นๆ เทอร์เวร่า:
มีลอตเตอรี 50 ใบในกล่องซึ่งถูกรางวัล 12 ใบและ 2 ใบถูกรางวัลละ 1,000 รูเบิลและที่เหลือ - ใบละ 100 รูเบิล วาดกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม - ขนาดของเงินรางวัลหากสุ่มจับสลากหนึ่งใบจากกล่อง
สารละลาย: ตามที่คุณสังเกตเห็นเป็นเรื่องปกติที่จะใส่ค่าของตัวแปรสุ่ม ลำดับจากน้อยไปหามาก. ดังนั้นเราจึงเริ่มต้นด้วยการชนะที่น้อยที่สุดและคือรูเบิล
โดยรวมแล้วมีตั๋วดังกล่าว 50 - 12 = 38 ใบและตาม คำนิยามคลาสสิก:
คือความน่าจะเป็นที่ตั๋วสุ่มจะไม่ชนะ
กรณีที่เหลือนั้นง่าย ความน่าจะเป็นที่จะชนะรูเบิลคือ:
และสำหรับ :
การตรวจสอบ: - และนี่คือช่วงเวลาที่น่ายินดีอย่างยิ่งของงานดังกล่าว!
คำตอบ: กฎหมายการกระจายผลตอบแทนที่จำเป็น:
งานต่อไปนี้สำหรับการตัดสินใจโดยอิสระ:
ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะโดนเป้าหมายคือ สร้างกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม - จำนวนครั้งหลังจาก 2 นัด
... ฉันรู้ว่าคุณคิดถึงเขา 🙂 เราจำได้ ทฤษฎีบทการคูณและการบวก. เฉลยและเฉลยท้ายบทเรียน.
กฎการกระจายอธิบายตัวแปรสุ่มได้อย่างสมบูรณ์ แต่ในทางปฏิบัติจะมีประโยชน์ (และบางครั้งก็มีประโยชน์มากกว่า) ที่จะทราบเพียงบางส่วนเท่านั้น ลักษณะที่เป็นตัวเลข .
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
พูดง่ายๆ แบบนี้ ค่าเฉลี่ยที่คาดหวังด้วยการทดสอบซ้ำๆ ให้ตัวแปรสุ่มรับค่าด้วยความน่าจะเป็นตามลำดับ จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนี้เท่ากับ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ค่าทั้งหมดตามความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:
หรือในรูปแบบพับ:
ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม - จำนวนแต้มที่ทิ้งบนลูกเต๋า:
ความหมายความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ได้คืออะไร? หากคุณทอยลูกเต๋ามากพอ ค่าเฉลี่ยคะแนนที่ลดลงจะใกล้เคียงกับ 3.5 - และยิ่งคุณทำการทดสอบมากเท่าไหร่ก็ยิ่งใกล้มากขึ้นเท่านั้น อันที่จริงฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับเอฟเฟกต์นี้โดยละเอียดแล้วในบทเรียนเกี่ยวกับ ความน่าจะเป็นทางสถิติ.
ตอนนี้เรามานึกถึงเกมสมมุติของเรา:
คำถามเกิดขึ้น: การเล่นเกมนี้ได้กำไรหรือไม่? ...ใครมีความประทับใจอะไร ดังนั้นคุณไม่สามารถพูดว่า "ทันที"! แต่คำถามนี้สามารถตอบได้อย่างง่ายดายโดยการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ โดยพื้นฐานแล้ว - ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นที่จะชนะ:
ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเกมนี้ การสูญเสีย.
อย่าเชื่อความประทับใจ - เชื่อตัวเลข!
ใช่ ที่นี่คุณสามารถชนะ 10 หรือ 20-30 ครั้งติดต่อกัน แต่ในระยะยาว เราจะเจ๊งอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ และฉันจะไม่แนะนำให้คุณเล่นเกมดังกล่าว 🙂 อาจจะเท่านั้น เพื่อความสนุก.
จากทั้งหมดข้างต้น เป็นไปตามที่คาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ค่า RANDOM
งานสร้างสรรค์สำหรับการค้นคว้าอิสระ:
Mr X เล่น European Roulette ตามระบบต่อไปนี้: เขาวางเดิมพันสีแดง 100 รูเบิลอย่างต่อเนื่อง เขียนกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม - ผลตอบแทนของมัน คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการชนะและปัดเศษขึ้นเป็น kopecks เท่าไหร่ เฉลี่ยผู้เล่นเสียเดิมพันทุก ๆ ร้อยหรือไม่?
อ้างอิง : European Roulette ประกอบด้วย 18 สีแดง, 18 สีดำ และ 1 สีเขียว ("ศูนย์") ในกรณีที่มี "สีแดง" หลุดออกมา ผู้เล่นจะได้รับเงินเดิมพันสองเท่า มิฉะนั้นจะเป็นรายได้ของคาสิโน
มีระบบรูเล็ตอื่น ๆ อีกมากมายที่คุณสามารถสร้างตารางความน่าจะเป็นของคุณเองได้ แต่นี่เป็นกรณีที่เราไม่ต้องการกฎการกระจายและตารางใด ๆ เนื่องจากมีการกำหนดไว้แล้วว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผู้เล่นจะเหมือนกันทุกประการ เปลี่ยนจากระบบสู่ระบบเท่านั้น การกระจายตัวซึ่งเราจะได้เรียนรู้ในส่วนที่ 2 ของบทเรียน
แต่ก่อนหน้านั้นการเหยียดนิ้วบนแป้นเครื่องคิดเลขจะเป็นประโยชน์:
ตัวแปรสุ่มถูกกำหนดโดยกฎการแจกแจงความน่าจะเป็นของมันเอง:
ค้นหาว่าเป็นที่รู้จักกันว่า เรียกใช้การตรวจสอบ
จากนั้นเราหันไปศึกษา การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและถ้าเป็นไปได้ ตอนนี้!!- เพื่อไม่ให้เสียอรรถรสของกระทู้
แนวทางแก้ไขและคำตอบ:
ตัวอย่างที่ 3 สารละลาย: ตามเงื่อนไข - ความน่าจะเป็นที่จะชนเป้าหมาย แล้ว:
คือความน่าจะเป็นที่จะพลาด
มาทำกันเถอะ - กฎของการกระจายการยิงสองนัด:
- ไม่โดนแม้แต่นัดเดียว โดย ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
- ตีหนึ่ง โดย ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นที่เข้ากันไม่ได้และการคูณของเหตุการณ์อิสระ:
- ตีสอง ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
ตรวจสอบ: 0.09 + 0.42 + 0.49 = 1
คำตอบ :
บันทึก : เป็นไปได้ที่จะใช้การกำหนด - สิ่งนี้ไม่สำคัญ
ตัวอย่างที่ 4 สารละลาย: ผู้เล่นชนะ 100 รูเบิลใน 18 กรณีจาก 37 ดังนั้นกฎการกระจายการชนะของเขาจึงมีรูปแบบดังต่อไปนี้:
ลองคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
ดังนั้นสำหรับการเดิมพันทุกๆ 100 ครั้ง ผู้เล่นจะเสียเงินเฉลี่ย 2.7 รูเบิล
ตัวอย่างที่ 5 สารละลาย: ตามนิยามของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:
มาเปลี่ยนชิ้นส่วนและทำให้ง่ายขึ้น:
ดังนั้น:
ตรวจสอบ:
ซึ่งจะต้องมีการตรวจสอบ
คำตอบ :
(ไปที่หน้าหลัก)
งานคุณภาพไม่ลอกเลียนแบบ - Zaochnik.com
www.mathprofi.ru
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ตัวแปรสุ่มตัวแปรถูกเรียกซึ่งเป็นผลมาจากการทดสอบแต่ละครั้ง รับค่าที่ไม่รู้จักก่อนหน้านี้หนึ่งค่า ขึ้นอยู่กับสาเหตุที่สุ่ม ตัวแปรสุ่มจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ ตามประเภทของตัวแปร ตัวแปรสุ่มสามารถเป็นได้ ไม่ต่อเนื่องและ ต่อเนื่อง.
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง- นี่คือตัวแปรสุ่มค่าที่ไม่สามารถนับได้นั่นคือ จำกัด หรือนับได้ ความสามารถในการนับหมายความว่าสามารถแจกแจงค่าของตัวแปรสุ่มได้
ตัวอย่างที่ 1 . ให้เรายกตัวอย่างตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:
ก) จำนวนการโจมตีเป้าหมายด้วยการยิง $n$ ค่าที่เป็นไปได้คือ $0,\ 1,\ \dots ,\ n$
b) จำนวนแขนเสื้อที่หลุดออกเมื่อโยนเหรียญ ค่าที่เป็นไปได้คือ $0,\ 1,\ \จุด ,\ n$
c) จำนวนเรือที่มาถึงบนเรือ (ชุดค่าที่นับได้)
d) จำนวนสายที่มาถึงการแลกเปลี่ยน (ชุดของค่าที่นับได้)
1. กฎของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ สามารถรับค่า $x_1,\dots ,\ x_n$ ที่มีความน่าจะเป็น $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ ความสอดคล้องระหว่างค่าเหล่านี้และความน่าจะเป็นเรียกว่า กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง. ตามกฎแล้วการติดต่อนี้ระบุโดยใช้ตารางในบรรทัดแรกซึ่งระบุค่าของ $x_1,\dots ,\ x_n$ และในบรรทัดที่สองความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับค่าเหล่านี้คือ $ p_1,\จุด ,\ p_n$
$\เริ่มต้น
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \จุด & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \จุด & p_n \\
\hline
\end$
ตัวอย่างที่ 2 . ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนแต้มที่ทอยเมื่อทอยลูกเต๋า ตัวแปรสุ่ม $X$ สามารถรับค่าต่อไปนี้ $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ ความน่าจะเป็นของค่าทั้งหมดนี้เท่ากับ $1/6$ จากนั้นกฎการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับตัวแปรสุ่ม $X$:
$\เริ่มต้น
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
ความคิดเห็น. เนื่องจากเหตุการณ์ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ก่อตัวเป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ในกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$ แบบแยกส่วน ผลรวมของความน่าจะเป็นจะต้องเท่ากับหนึ่ง นั่นคือ $\sum
2. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มระบุค่า "กลาง" สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะคำนวณเป็นผลรวมของผลคูณของค่า $x_1,\dots ,\ x_n$ และความน่าจะเป็น $p_1,\dots ,\ p_n$ ที่สอดคล้องกับค่าเหล่านี้ เช่น: $M\left(X\right)=\sum ^n_
คุณสมบัติความคาดหวัง$M\left(X\right)$:
- $M\left(X\right)$ อยู่ระหว่างค่าที่น้อยที่สุดและมากที่สุดของตัวแปรสุ่ม $X$
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่เอง เช่น $M\left(C\right)=C$
- สามารถนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายคาดหมายได้: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลคูณของตัวแปรสุ่มอิสระจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$
ตัวอย่างที่ 3 . มาหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ จากตัวอย่าง $2$
เราจะสังเกตได้ว่า $M\left(X\right)$ อยู่ระหว่างค่าที่เล็กที่สุด ($1$) และใหญ่ที่สุด ($6$) ของตัวแปรสุ่ม $X$
ตัวอย่างที่ 4 . เป็นที่ทราบกันว่าค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $M\left(X\right)=2$ ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $3X+5$
จากการใช้คุณสมบัติข้างต้น เราจะได้ $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ ซีดีดอท 2 +5=11$
ตัวอย่างที่ 5 . เป็นที่ทราบกันว่าค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $M\left(X\right)=4$ ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $2X-9$
จากการใช้คุณสมบัติข้างต้น เราจะได้ $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ ซีดี 4 -9=-1$
3. การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากันสามารถกระจายต่างกันรอบๆ ค่าเฉลี่ย ตัวอย่างเช่นในนักเรียนสองกลุ่มคะแนนเฉลี่ยสำหรับการสอบในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือ 4 แต่ในกลุ่มหนึ่งทุกคนกลายเป็นนักเรียนที่ดีและในกลุ่มอื่น - เฉพาะนักเรียน C และนักเรียนที่ยอดเยี่ยม ดังนั้นจึงมีความจำเป็นสำหรับคุณลักษณะที่เป็นตัวเลขของตัวแปรสุ่ม ซึ่งจะแสดงการแพร่กระจายของค่าของตัวแปรสุ่มตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน ลักษณะนี้คือการกระจายตัว
การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง$X$ คือ:
ในวรรณคดีอังกฤษ จะใช้สัญกรณ์ $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ บ่อยครั้งที่ความแปรปรวน $D\left(X\right)$ ถูกคำนวณโดยใช้สูตร $D\left(X\right)=\sum^n_
คุณสมบัติการกระจายตัว$D\left(X\right)$:
- การกระจายตัวจะมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ นั่นคือ $D\left(X\right)\ge 0$
- การกระจายตัวจากค่าคงที่เท่ากับศูนย์ เช่น $D\left(C\right)=0$
- สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายการกระจายได้ โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องยกกำลังสอง นั่นคือ $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$
- ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน เช่น $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$
- ความแปรปรวนของผลต่างของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน นั่นคือ $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$
ตัวอย่างที่ 6 . ให้เราคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ จากตัวอย่าง $2$
ตัวอย่างที่ 7 . เป็นที่ทราบกันว่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $D\left(X\right)=2$ ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $4X+1$
จากการใช้คุณสมบัติข้างต้น เราพบว่า $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2=32$
ตัวอย่างที่ 8 . เป็นที่ทราบกันว่าความแปรปรวนของ $X$ เท่ากับ $D\left(X\right)=3$ ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $3-2X$
จากการใช้คุณสมบัติข้างต้น เราพบว่า $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$
4. ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
วิธีการแสดงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องในรูปแบบของชุดการแจกแจงนั้นไม่ได้มีเพียงวิธีเดียว และที่สำคัญที่สุดคือไม่เป็นสากล เนื่องจากไม่สามารถระบุตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องโดยใช้ชุดการแจกแจงได้ มีอีกวิธีหนึ่งในการแสดงตัวแปรสุ่ม นั่นคือ ฟังก์ชันการกระจาย
ฟังก์ชันการกระจายตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นฟังก์ชัน $F\left(x\right)$ ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม $X$ รับค่าน้อยกว่าค่าคงที่ $x$ เช่น $F\left(x\ right)$ )=P\left(X 6$ จากนั้น $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left( X=3 \right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$
กราฟของฟังก์ชันการกระจาย $F\left(x\right)$:
กฎพื้นฐานของการกระจาย
1. กฎการกระจายทวินาม
กฎการกระจายทวินามอธิบายความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A m ครั้งในการทดลองอิสระ n ครั้ง โดยมีเงื่อนไขว่าความน่าจะเป็น p ของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งมีค่าคงที่
เช่น ฝ่ายขายของร้านค้า เครื่องใช้ในครัวเรือนได้รับคำสั่งซื้อทีวีโดยเฉลี่ยหนึ่งรายการจากการโทร 10 ครั้ง เขียนกฎการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับการซื้อเครื่องรับโทรทัศน์ สร้างรูปหลายเหลี่ยมของการแจกแจงความน่าจะเป็น
ในตาราง m คือจำนวนคำสั่งซื้อที่บริษัทได้รับสำหรับการซื้อเครื่องรับโทรทัศน์ C n m คือจำนวนการรวมกันของ m ทีวีโดย n, p คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A, เช่น สั่งซื้อทีวี q คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะไม่เกิดขึ้น เช่น ไม่สั่งซื้อทีวี, P m,n คือความน่าจะเป็นที่จะสั่งซื้อทีวี m จาก n รูปที่ 1 แสดงรูปหลายเหลี่ยมของการแจกแจงความน่าจะเป็น
2. การกระจายทางเรขาคณิต
การแจกแจงทางเรขาคณิตของตัวแปรสุ่มมีรูปแบบดังนี้
P m คือความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A ในหมายเลขทดลอง m
p คือความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองหนึ่งครั้ง
คิว = 1 - หน้า
ตัวอย่าง. บริษัทซ่อมเครื่องใช้ในบ้านได้รับชุดอุปกรณ์ทดแทนจำนวน 10 ชุดสำหรับ เครื่องซักผ้า. มีหลายกรณีที่แบทช์มี 1 บล็อกที่ชำรุด มีการตรวจสอบจนกว่าจะพบบล็อกที่มีข้อบกพร่อง มีความจำเป็นต้องจัดทำกฎหมายการกระจายสำหรับจำนวนบล็อกที่ตรวจสอบ ความน่าจะเป็นที่บล็อกอาจมีข้อบกพร่องคือ 0.1 สร้างรูปหลายเหลี่ยมของการแจกแจงความน่าจะเป็น
จะเห็นได้จากตารางว่าเมื่อเพิ่มจำนวน m ความน่าจะเป็นที่ตรวจพบบล็อกที่มีข้อบกพร่องจะลดลง บรรทัดสุดท้าย (m=10) รวมความน่าจะเป็นสองอย่างเข้าด้วยกัน: 1 - บล็อกที่สิบผิดพลาด - 0.038742049, 2 - บล็อกที่ตรวจสอบทั้งหมดใช้งานได้ - 0.34867844 เนื่องจากความน่าจะเป็นของบล็อกที่ล้มเหลวนั้นค่อนข้างต่ำ (p=0.1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุดท้าย P m (บล็อกที่ทดสอบ 10 บล็อก) จึงค่อนข้างสูง รูปที่ 2
3. การกระจาย Hypergeometric
การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกของตัวแปรสุ่มมีรูปแบบดังนี้
ตัวอย่างเช่น ในการร่างกฎการกระจายของตัวเลขที่เดาได้ 7 ตัวจาก 49 ตัว ในตัวอย่างนี้ จำนวนทั้งหมด N=49, n=7 ตัวเลขจะถูกลบออก M คือจำนวนทั้งหมดที่มีคุณสมบัติที่กำหนด เช่น ตัวเลขที่เดาถูก m คือจำนวนของตัวเลขที่เดาถูกในบรรดาตัวเลขที่ถอนออก
ตารางแสดงว่าความน่าจะเป็นของการเดาตัวเลขหนึ่งหมายเลข m=1 นั้นสูงกว่าเมื่อ m=0 อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นก็เริ่มลดลงอย่างรวดเร็ว ดังนั้นความน่าจะเป็นในการเดาตัวเลข 4 ตัวจึงน้อยกว่า 0.005 และ 5 นั้นเล็กน้อย
4. กฎการกระจายของปัวซอง
ตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงแบบปัวซอง ถ้ากฎหมายการกระจายมีรูปแบบ:
Np = คงที่
n คือจำนวนของการทดลองที่พุ่งไปสู่อนันต์
p คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์
m คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A
ตัวอย่างเช่น โดยเฉลี่ยแล้ว บริษัททีวีรับสายประมาณ 100 สายต่อวัน ความน่าจะเป็นที่จะสั่งซื้อทีวียี่ห้อ A คือ 0.08; B - 0.06 และ C - 0.04 จัดทำกฎหมายการกระจายคำสั่งซื้อทีวี เกรด A, Bและ C. สร้างรูปหลายเหลี่ยมของการแจกแจงความน่าจะเป็น
จากเงื่อนไขจะได้ m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 = 4 (?10)
(ตารางไม่ครบ)
ถ้า n มากพอที่จะไปที่ค่าอนันต์ และค่าของ p มีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นผลคูณของ np จะเป็นจำนวนคงที่ ดังนั้นกฎนี้จึงเป็นค่าประมาณของกฎการกระจายทวินาม จะเห็นได้จากกราฟว่ายิ่งความน่าจะเป็น p มากขึ้น เส้นโค้งจะเข้าใกล้แกน m มากขึ้น นั่นคือ อ่อนโยนมากขึ้น (รูปที่ 4)
ควรสังเกตว่ากฎการแจกแจงทวินาม เรขาคณิต ไฮเปอร์จีโอเมตริก และปัวซองแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
5. กฎหมายการกระจายเครื่องแบบ
ถ้าความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (x) เป็นค่าคงที่ในช่วงเวลาหนึ่ง กฎการกระจายจะเรียกว่ายูนิฟอร์ม รูปที่ 5 แสดงกราฟของฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นและความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของกฎการกระจายแบบสม่ำเสมอ
6. กฎการแจกแจงแบบปกติ (กฎเกาส์)
ในบรรดากฎของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่พบมากที่สุดคือ กฎหมายปกติการกระจาย. ตัวแปรสุ่มถูกแจกจ่ายตามกฎการแจกแจงแบบปกติหากความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมีรูปแบบ:
ที่ไหน
a คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม
? - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
กราฟของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีกฎการแจกแจงแบบปกตินั้นมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง x=a นั่นคือ x เท่ากับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น ถ้า x=a แล้วเส้นโค้งจะมีค่าสูงสุดเท่ากับ:
เมื่อค่าของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เปลี่ยนไป เส้นโค้งจะเลื่อนไปตามแกน Ox กราฟ (รูปที่ 6) แสดงว่าที่ x=3 เส้นโค้งมีค่าสูงสุด เนื่องจาก ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ 3 ถ้าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ใช้ค่าอื่น เช่น a=6 ดังนั้นเส้นโค้งจะมีค่าสูงสุดที่ x=6 เมื่อพูดถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ดังที่คุณเห็นจากกราฟ ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่ามากเท่าใด ค่าสูงสุดของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น
ฟังก์ชันที่แสดงการแจกแจงของตัวแปรสุ่มในช่วงเวลา (-?, x) และมีกฎการแจกแจงแบบปกติ แสดงผ่านฟังก์ชัน Laplace ตามสูตรต่อไปนี้:
เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ประกอบด้วยสองส่วน: ความน่าจะเป็นที่ x รับค่าจากลบอนันต์ถึง a เท่ากับ 0.5 และส่วนที่สองมาจาก a ถึง x (รูปที่ 7)
เรียนรู้ร่วมกัน
สั่งซื้อเอกสารที่เป็นประโยชน์สำหรับนักศึกษา อนุปริญญาและภาคนิพนธ์
บทเรียน: กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือความสอดคล้องระหว่างค่าที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็น สามารถระบุเป็นตาราง แบบกราฟิก และแบบวิเคราะห์ได้
ตัวแปรสุ่มคืออะไรจะกล่าวถึงในบทเรียนนี้
ด้วยวิธีการตั้งค่าแบบตาราง แถวแรกของตารางมีค่าที่เป็นไปได้ และแถวที่สองมีค่าความน่าจะเป็น นั่นคือ
ปริมาณนี้เรียกว่าชุดการกระจาย ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง.
X=x1, X=x2, X=xn สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ เนื่องจากในการทดลองหนึ่งครั้ง ตัวแปรสุ่มจะใช้ค่าที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น ดังนั้น ผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง นั่นคือ p1 + p2 + pn = 1 หรือ
หากเซตของค่า X เป็นอนันต์ ดังนั้น 
ตัวอย่างที่ 1 มีการออกสลากเงินสด 100 ใบ มีการเล่นการชนะหนึ่งครั้งจาก 1,000 รูเบิลและ 10 จาก 100 รูเบิล ค้นหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X - ต้นทุนของการชนะที่เป็นไปได้สำหรับเจ้าของสลากกินแบ่งใบเดียว
กฎหมายการกระจายที่ต้องการมีรูปแบบ:
ควบคุม; 0.01+0.1+0.89=1.
ด้วยวิธีกราฟิกในการตั้งค่ากฎการกระจาย จุดจะถูกสร้างขึ้นบนระนาบพิกัด (Xi: Pi) จากนั้นจึงเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรง เส้นแตกที่เกิดขึ้นเรียกว่า รูปหลายเหลี่ยมการกระจายตัวอย่างที่ 1 รูปหลายเหลี่ยมการกระจายแสดงในรูปที่ 1
ในวิธีการวิเคราะห์ของการตั้งค่ากฎการกระจาย มีการระบุสูตรที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มด้วยค่าที่เป็นไปได้
ตัวอย่างของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง
การกระจายทวินาม
ให้ทำการทดลอง n ครั้ง ซึ่งแต่ละเหตุการณ์ A เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นคงที่ p จึงไม่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นคงที่ ถาม = 1- หน้า. พิจารณาตัวแปรสุ่ม X-จำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลอง n ครั้งเหล่านี้ ค่าที่เป็นไปได้ของ X คือ x1 = 0 , x2 = 1,…, xn+1 = n . ความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้เหล่านี้
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่า Windows XP Word 2003 Excel 2003 กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือความสัมพันธ์ใดๆ ที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม และ […]
อย่างที่ทราบกันดีว่า ตัวแปรสุ่ม เรียกว่าเป็นตัวแปรที่สามารถรับค่าบางอย่างได้แล้วแต่กรณี ตัวแปรสุ่มจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน (X, Y, Z) และค่าของมัน - ด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็กที่สอดคล้องกัน (x, y, z) ตัวแปรสุ่มแบ่งออกเป็นไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง) และต่อเนื่อง
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เรียกว่าตัวแปรสุ่มที่ใช้เฉพาะชุดค่าที่จำกัดหรืออนันต์ (นับได้) ที่มีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์
กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เป็นฟังก์ชันที่เชื่อมต่อค่าของตัวแปรสุ่มกับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน กฎการกระจายสามารถระบุได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้
1 . ตารางกฎการกระจายสามารถกำหนดได้:
โดยที่ λ>0, k = 0, 1, 2, ….
วี)โดยใช้ ฟังก์ชันการกระจาย F(x) ซึ่งกำหนดสำหรับแต่ละค่า x ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X รับค่าน้อยกว่า x เช่น F(x) = P(X< x).
คุณสมบัติของฟังก์ชัน F(x)
3 . กฎการกระจายสามารถตั้งค่าแบบกราฟิกได้ – รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (รูปหลายเหลี่ยม) (ดูปัญหา 3)
โปรดทราบว่าเพื่อแก้ปัญหาบางอย่าง ไม่จำเป็นต้องรู้กฎการกระจาย ในบางกรณี ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัวที่สะท้อนถึงคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของกฎการกระจาย อาจเป็นตัวเลขที่มีความหมายเป็น "ค่าเฉลี่ย" ของตัวแปรสุ่ม หรือตัวเลขที่แสดง ขนาดเฉลี่ยส่วนเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากค่าเฉลี่ย จำนวนประเภทนี้เรียกว่าลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม
ลักษณะตัวเลขพื้นฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง :
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
(ค่าเฉลี่ย) ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง M(X)=Σ x i p ผม.
สำหรับการแจกแจงแบบทวินาม M(X)=np สำหรับการแจกแจงปัวซอง M(X)=λ - การกระจายตัว
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง D(X)=M2หรือ D(X) = M(X 2) − 2. ความแตกต่าง X–M(X) เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์
สำหรับการแจกแจงแบบทวินาม D(X)=npq สำหรับการแจกแจงปัวซอง D(X)=λ - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) σ(X)=√D(X).
ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ "กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง"
ภารกิจที่ 1
มีการออกสลากกินแบ่ง 1,000 ใบ: 5 ใบจะถูกรางวัล 500 รูเบิล 10 ใบจะได้ 100 รูเบิล 20 ใบจะได้ 50 รูเบิล และ 50 ใบจะได้ 10 รูเบิล กำหนดกฎของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X - เงินรางวัลต่อตั๋ว
สารละลาย. ตามเงื่อนไขของปัญหา ค่าต่อไปนี้ของตัวแปรสุ่ม X เป็นไปได้: 0, 10, 50, 100 และ 500
จำนวนตั๋วที่ไม่ชนะคือ 1,000 - (5+10+20+50) = 915 จากนั้น P(X=0) = 915/1000 = 0.915
ในทำนองเดียวกัน เราพบความน่าจะเป็นอื่นๆ ทั้งหมด: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. เรานำเสนอกฎหมายผลลัพธ์ในรูปแบบของตาราง:
ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
ภารกิจที่ 3
อุปกรณ์ประกอบด้วยองค์ประกอบการทำงานอิสระสามส่วน ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบในการทดลองหนึ่งครั้งคือ 0.1 สร้างกฎการกระจายสำหรับจำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวในการทดลองหนึ่ง สร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x) แล้วพล็อต ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
สารละลาย. 1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X=(จำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวในการทดลองหนึ่งรายการ) มีค่าที่เป็นไปได้ต่อไปนี้: x 1 =0 (ไม่มีองค์ประกอบใดของอุปกรณ์ที่ล้มเหลว), x 2 =1 (องค์ประกอบหนึ่งล้มเหลว), x 3 =2 ( สององค์ประกอบล้มเหลว ) และ x 4 \u003d 3 (สามองค์ประกอบล้มเหลว)
ความล้มเหลวขององค์ประกอบไม่ขึ้นกับแต่ละอื่น ๆ ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากันดังนั้นจึงสามารถใช้ได้ สูตรของแบร์นูลลี
. ตามเงื่อนไข n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 เราจะกำหนดความน่าจะเป็นของค่าต่างๆ:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 คิว 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
ตรวจสอบ: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1
ดังนั้น กฎการกระจายทวินาม X ที่ต้องการจึงมีรูปแบบ:
บนแกน abscissa เราวางแผนค่าที่เป็นไปได้ x ผม และบนแกนกำหนดความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน р ผม . มาสร้างจุด M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) การเชื่อมต่อจุดเหล่านี้กับส่วนของเส้น เราได้รูปหลายเหลี่ยมการกระจายที่ต้องการ
3. ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x) = P(X
สำหรับ x ≤ 0 เราได้ F(x) = P(X<0) = 0;สำหรับ 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
สำหรับ 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
สำหรับ 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
สำหรับ x > 3 จะเป็น F(x) = 1 เนื่องจาก เหตุการณ์เป็นที่แน่นอน
 |
กราฟของฟังก์ชัน F(x)
4.
สำหรับการแจกแจงแบบทวินาม X:
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- การกระจาย D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52