วิธีคำนวณความแรงของสนามของการชาร์จจุดเดียว ความเข้มของสนามไฟฟ้าสถิต ความแรงของสนามของการประจุแบบจุดและระบบการประจุแบบจุด หลักการซ้อนทับภาคสนาม

สนามไฟฟ้าเกิดขึ้นจากประจุไฟฟ้าหรือวัตถุที่มีประจุเพียงอย่างเดียว และยังกระทำกับวัตถุเหล่านี้ด้วยไม่ว่าจะเคลื่อนที่หรือหยุดนิ่ง หากวัตถุที่มีประจุไฟฟ้าไม่มีการเคลื่อนไหวในหน้าต่างอ้างอิงที่กำหนด ปฏิกิริยาของวัตถุนั้นจะดำเนินการโดยใช้สนามไฟฟ้าสถิต แรงที่กระทำต่อประจุ (อนุภาคที่มีประจุ) จากสนามไฟฟ้าสถิตเรียกว่าแรงไฟฟ้าสถิต

ลักษณะเชิงปริมาณของแรงกระทำ สนามไฟฟ้าบนอนุภาคและวัตถุที่มีประจุเป็นปริมาณเวกเตอร์ E เรียกว่าความแรงของสนามไฟฟ้า

พิจารณาประจุ q เป็น "แหล่งกำเนิด" ของสนามไฟฟ้า ซึ่งประจุทดสอบหน่วย q / =+1 ถูกวางไว้ที่ระยะทาง r กล่าวคือ ค่าธรรมเนียมที่ไม่ก่อให้เกิดการแจกจ่ายซ้ำของค่าธรรมเนียมที่สร้างฟิลด์ จากนั้น ตามกฎหมายของคูลอมบ์ กองกำลังจะดำเนินคดีกับค่าพิจารณาคดี

เพราะเหตุนี้, เวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตณ จุดนี้มีค่าเท่ากับแรง กระทำต่อประจุบวกของหน่วยทดสอบ q / วางไว้ที่จุดนี้ของสนาม

ที่ไหน – รัศมี - เวกเตอร์ที่ดึงจากจุดประจุไปยังจุดที่ตรวจสอบของสนาม หน่วยความตึง = / . ความตึงเครียดจะชี้ไปตามรัศมี - เวกเตอร์ที่ดึงจากจุดที่ประจุนั้นตั้งอยู่ ไปยังจุด A (ห่างจากประจุ ถ้าประจุเป็นบวก และไปทางประจุ - ถ้าประจุเป็นลบ)

สนามไฟฟ้าเรียกว่าเอกพันธ์ ถ้าเวกเตอร์ความเข้มเท่ากันทุกจุดของสนาม กล่าวคือ เกิดขึ้นพร้อมกันทั้งในโมดูลัสและทิศทาง ตัวอย่างของสนามดังกล่าว ได้แก่ สนามไฟฟ้าสถิตของระนาบอนันต์ที่มีประจุสม่ำเสมอและ ตัวเก็บประจุแบบแบนห่างจากขอบจาน สำหรับการแสดงกราฟิกของสนามไฟฟ้าสถิต จะใช้เส้นแรง ( เส้นตึง) - เส้นจินตภาพ แทนเจนต์ที่ตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ความเข้มที่แต่ละจุดของสนาม (รูปที่ 10.4. - แสดงด้วยเส้นทึบ) ความหนาแน่นของเส้นถูกกำหนดโดยโมดูลัสของความตึง ณ จุดที่กำหนดในอวกาศ

เส้นความตึงเครียดเปิดอยู่ - เริ่มด้วยค่าบวกและสิ้นสุดด้วยประจุลบ เส้นแรงอย่าตัดกันที่ใดก็ได้ เนื่องจากในแต่ละจุดของสนาม ความเข้มของมันมีค่าเดียวและทิศทางที่แน่นอน

พิจารณาสนามไฟฟ้าของประจุสองจุด คิว 1และ q2 .

ให้เป็นจุดแข็งของสนาม เอสร้างขึ้นโดยค่าใช้จ่าย คิว 1(โดยไม่คำนึงถึงการชาร์จครั้งที่สอง) และ - ความแรงของสนามของประจุ q 2 (โดยไม่คำนึงถึงการชาร์จครั้งแรก) ความแรงของสนามผลลัพธ์ (ต่อหน้าประจุทั้งสอง) สามารถพบได้โดยกฎการบวกเวกเตอร์ (ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน, รูปที่ 10.5)

ความแรงของสนามไฟฟ้าจากประจุหลายตัวคือ หลักการทับซ้อนของสนามไฟฟ้าสถิตตามความตึงเครียด ของสนามผลลัพธ์ที่สร้างโดยระบบประจุจะเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของความแรงของสนามที่สร้างขึ้น ณ จุดที่กำหนดโดยประจุแต่ละตัวแยกกัน

งานหลักอย่างหนึ่งของไฟฟ้าสถิตคือการประมาณค่าพารามิเตอร์ของสนามสำหรับค่าที่กำหนด คงที่ การกระจายประจุในอวกาศ วิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาดังกล่าวขึ้นอยู่กับ หลักการทับซ้อน . สาระสำคัญของมันมีดังนี้

หากสนามถูกสร้างขึ้นโดยประจุหลายจุด ประจุทดสอบ q จะได้รับผลกระทบจากประจุ qk ราวกับว่าไม่มีประจุอื่นใด แรงที่ได้ถูกกำหนดโดยนิพจน์:

– มันเป็นหลักการของการทับซ้อนหรือความเป็นอิสระของการกระทำของกองกำลัง

เพราะ จากนั้นความแรงของสนามที่เกิด ณ จุดที่ประจุทดสอบตั้งอยู่เช่นกัน ยึดถือหลักการทับซ้อน :

(1.4.1)

อัตราส่วนนี้เป็นการแสดงออกถึงหลักการของการทับซ้อนหรือ การทับซ้อนของสนามไฟฟ้า และแสดงถึงคุณสมบัติที่สำคัญของสนามไฟฟ้า ความเข้มของสนามผลลัพธ์ของระบบจุดประจุเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของความแรงของสนามที่สร้างขึ้น ณ จุดที่กำหนดโดยแต่ละจุดแยกกัน

พิจารณาการประยุกต์ใช้หลักการทับซ้อนในกรณีของสนามที่สร้างขึ้นโดยระบบไฟฟ้าที่มีประจุสองประจุโดยมีระยะห่างระหว่างประจุเท่ากับ l(รูปที่ 1.2).

ข้าว. 1.2

ฟิลด์ที่สร้างโดยประจุที่ต่างกันจะไม่ส่งผลกระทบซึ่งกันและกัน ดังนั้นเวกเตอร์ของสนามผลลัพธ์ของประจุหลายตัวจึงสามารถหาได้โดยกฎของการบวกเวกเตอร์ (กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน)

.

และ เนื่องจากปัญหามีความสมมาตร

ในกรณีนี้

และ

เพราะเหตุนี้,

(1.4.2)

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง หาความแรงของสนามไฟฟ้าสถิต อีเกิดจากประจุบวกสองประจุ คิว 1และ q2ณ จุดนั้น แต่อยู่ห่างๆ r1ตั้งแต่ครั้งแรกและ r2จากการชาร์จครั้งที่สอง (รูปที่ 1.3)

ข้าว. 1.3

; .

ลองใช้ทฤษฎีบทโคไซน์:

(1.4.3)

ที่ไหน .

หากฟิลด์ถูกสร้างขึ้น ไม่ใช่จุดชาร์จจากนั้นจะใช้เทคนิคปกติในกรณีดังกล่าว เนื้อหาถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบเล็กๆ น้อยๆ และกำหนดความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยแต่ละองค์ประกอบ จากนั้นรวมเข้าด้วยกันทั่วทั้งเนื้อหา:

(1.4.4)

ความแรงของสนามอยู่ที่ไหนเนื่องจากองค์ประกอบที่มีประจุ อินทิกรัลอาจเป็นเส้นตรง บนพื้นที่ หรือปริมาตรก็ได้ ขึ้นอยู่กับรูปร่างของร่างกาย ในการแก้ปัญหาดังกล่าว ให้ใช้ค่าความหนาแน่นของประจุที่สอดคล้องกัน:
– ความหนาแน่นของประจุเชิงเส้น วัดเป็น C/m
คือ ความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิว วัดเป็น C/m2
คือความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร วัดเป็น C/m3

หากสนามถูกสร้างขึ้นโดยวัตถุที่มีประจุที่มีรูปร่างซับซ้อนและมีประจุที่ไม่สม่ำเสมอ ดังนั้นการใช้หลักการซ้อนทับกัน เป็นการยากที่จะหาสนามผลลัพธ์

สูตร (1.4.4) เราจะเห็นว่าเป็นปริมาณเวกเตอร์:

(1.4.5)

ดังนั้นการรวมเข้าด้วยกันจึงอาจเป็นเรื่องยาก ดังนั้นจึงมักใช้วิธีอื่นในการคำนวณ ซึ่งเราจะพูดถึงในหัวข้อต่อไปนี้ อย่างไรก็ตาม ในบางกรณีที่ค่อนข้างง่าย สูตรเหล่านี้ทำให้สามารถคำนวณเชิงวิเคราะห์ได้

เป็นตัวอย่างพิจารณา การกระจายประจุเชิงเส้นหรือการกระจายประจุแบบวงกลม.

ให้เรากำหนดความแรงของสนามไฟฟ้าที่จุดนั้น แต่(รูปที่ 1.4) ที่ระยะทาง x จากประจุที่กระจายสม่ำเสมอเป็นเส้นตรงยาวเป็นอนันต์ ให้ λ เป็นประจุต่อความยาวหน่วย

ข้าว. 1.4

เราคิดว่า x นั้นเล็กเมื่อเทียบกับความยาวของตัวนำ มาเลือกระบบพิกัดกันเพื่อให้แกน y ตรงกับตัวนำ องค์ประกอบความยาว dy, แบกประจุ ความแรงของสนามไฟฟ้าที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบนี้ ณ จุดหนึ่ง แต่.

ใดๆ ค่าไฟฟ้าเปลี่ยนคุณสมบัติของพื้นที่โดยรอบในทางใดทางหนึ่ง - มันสร้างสนามไฟฟ้า ฟิลด์นี้แสดงตัวเองในข้อเท็จจริงที่ว่า "การทดลอง" อีกข้อหาหนึ่งซึ่งวางไว้ที่จุดใดจุดหนึ่งนั้นประสบกับการกระทำของกำลัง ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าแรงที่กระทำต่อประจุคงที่ Q สามารถแสดงได้เสมอว่า ความแรงของสนามไฟฟ้าอยู่ที่ไหน ความแรงของสนามแสดงเป็นโวลต์ต่อเมตร (V/m) ข้อเท็จจริงจากการทดลองแสดงให้เห็นว่าความแรงของสนามของระบบประจุคงที่แบบจุดมีค่าเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของความแรงของสนามที่ประจุแต่ละอันจะสร้างแยกจากกัน:

คำสั่งนี้เรียกว่าหลักการทับซ้อนของสนามไฟฟ้า

สมการที่อธิบายสนามไฟฟ้าสถิตในสุญญากาศคือ: (1)

คือเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้า r คือความหนาแน่นประจุ e 0 คือค่าคงที่ทางไฟฟ้า

สำหรับสนามไฟฟ้าสถิต ยกเว้น สมการเชิงอนุพันธ์(1) ความสัมพันธ์เชิงปริพันธ์ที่เรียกว่าทฤษฎีบทเกาส์นั้นถูกต้อง

ทฤษฎีบทเกาส์เวกเตอร์ไหลผ่านพื้นผิวปิดตามอำเภอใจ S เท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของประจุภายในพื้นผิวนี้ หารด้วย e 0

ทฤษฎีบทนี้ใช้ในการคำนวณฟิลด์สำหรับการกระจายประจุแบบสมมาตร ตัวอย่างเช่น ในกรณีของเกลียวอนันต์ที่มีประจุสม่ำเสมอ ทรงกระบอกอนันต์ ทรงกลม ลูกบอล

สนามเวกเตอร์ที่มีโรเตอร์เท่ากับศูนย์เรียกว่าศักย์ สนามไฟฟ้าสถิตมีศักยภาพเพราะ

เส้นความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตเริ่มต้นที่ประจุบวกและสิ้นสุดที่ประจุลบ

โดยอาศัยอำนาจตาม (2) ในสนามไฟฟ้าสถิต การทำงานของสนามแรงเมื่อเคลื่อนที่ประจุจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางที่ทำการเคลื่อนที่นี้ แต่ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของ เส้นทาง. มาพิสูจน์กัน

พิจารณาการเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B ตามเส้นทาง G 1 และเส้นทาง G 2 การทำงานของสนามบังคับเมื่อเคลื่อนที่ประจุบวกเดียวไปตามวงจรปิดที่ประกอบด้วยเส้นทาง Г 1 และ Г 2 เท่ากับ

โดยทฤษฎีบทสโตกส์ อินทิกรัลนี้เท่ากับ โดยที่ S คือพื้นผิวที่ทอดข้ามโดยเส้นชั้นความสูงที่พิจารณา แต่เนื่องจาก (2) ==0 ดังนั้น = ==0 นั่นคือ

.

เนื่องจากเกรเดียนต์ curl จะเป็นศูนย์เสมอ ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการ (2) คือ

เครื่องหมายลบเกิดขึ้นในอดีต ไม่มีนัยสำคัญพื้นฐาน แต่ด้วยเครื่องหมายนี้ เวกเตอร์ความตึงจึงมุ่งไปที่ศักยภาพที่ลดลง ศักย์ไฟฟ้าสถิต j เท่ากับอัตราส่วนของพลังงานศักย์ของปฏิกิริยาของประจุกับสนามต่อขนาดของประจุนี้ ความหมายทางกายภาพโดยตรงคือความต่างศักย์ของจุดสองจุดของสนาม ซึ่งกำหนดการทำงานของสนามไฟฟ้าสถิตในการถ่ายโอนประจุจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

สนามไฟฟ้าสถิตถูกอธิบายโดยสมการ (1) หรือโดยสมการปัวซองสำหรับศักย์สเกลาร์ j:

คำตอบของสมการ (4) มีรูปแบบดังนี้

(5)