Точки числового кола на якому. Наочний посібник із тригонометрії. Тип уроку: Комбінований

Тема:«Числове коло»

Мета уроку:

• сприяти формуванню вміння записувати безліч чисел, відповідних на числовому колі точці;
• сприяти формуванню вміння знаходити на числовому колі точку, що відповідає даному числу.
• сприяти формуванню навичок працювати у колективі сприяти розвитку комунікативних компетенцій.
• сприяти розвитку креативних здібностейучнів
• сприятиме формуванню елементів інформаційної культури.
• сприяти самореалізації учнів.

Тип уроку: Комбінований

Вік учнів: 10 клас

Навчальні завдання:

• познайомитися з числовим колом;
• навчитися знаходити на числовому колі точки, що відповідають заданому числу.
• навчитися переходити від градусної системи числення до радіанної та навпаки.
• навчитися виділяти на числовому колі дугу, що відповідає заданому інтервалу.
• навчитися за заданою дугою записувати аналітичний вираз.
• зробити самоаналіз уроку.

Розвиваючі завдання:

• сприяти формуванню навичок працювати у колективі і під час групових завдань;
• сприяти розвитку комунікативних компетенцій під час роботи у групах;(під час виконання у групах практичного завдання)
• сприяти розвитку креативних здібностей учнів під час вирішення нестандартних завдань;
• сприяти вдосконаленню аналітичних навичок учнів під час вирішення завдань;
• сприяти формуванню навичок та умінь використовувати різні способи вирішення завдань.
• сприяти розвитку просторової уяви, вмінню працювати з інтерактивною дошкою,
• розвивати логічне мислення, обчислювальні навички, пам'ять, увага, підвищення мотивації до вивчення математики

Виховні завдання:

• виховувати відповідальність за свої дії.

Обладнання та методичні матеріали:комп'ютер, проектор, екран, демонстраційне коло, мотузка, маркер.

Етапи уроку:

1. Організаційний момент.

2. Актуалізація знань учнів.

3. Вивчення нового матеріалу.

4. Закріплення знань, умінь та навичок.

5. Домашнє завдання.

6. Підбиття підсумків уроку.

7. Рефлексія.

Хід уроку

1. Організаційний момент

1) Вчитель вітає учнів.

2) Вчитель виявляє відсутніх, з'ясовує причину відсутності.

3) Перевірка готовності учнів до уроку (зовнішній вигляд, робоча поза, стан робочого місця).

4) Перевірка підготовленості класного приміщення до уроку (чиста дошка, крейда, ганчірка, порядок у класі).

5) Організація уваги.

Вчитель: Хлопці, сьогодні ми з вами починаємо вивчати великий розділ у математиці — тригонометричні функції Поставтеся до її вивчення дуже уважно, оскільки, як показує досвід, які навчаються, добре оволодів поняттям «числове коло», досить впевнено поводиться і з тригонометричними функціями.

Навіщо нам потрібна тригонометрія? (Слайди №1-8)

Схід і захід сонця, зміна фаз місяця, чергування пори року, биття серця, цикли в життєдіяльності організму, обертання колеса, морські припливи та відливи - моделі цих різноманітних процесів описуються тригонометричними функціями.

Звук, електричний струм, радіохвилі так само являють собою коливання різної частоти та амплітуди.

Якби зір людей мав здатність бачити звукові, електромагнітні та радіохвилі, то ми бачили б навколо численні синусоїди різних видів.

Таким чином багато процесів відбуваються в природі та технічні системиописуються тригонометричними функціями, які є основою їх математичних моделей.

2. Актуалізація знань учнів

Вчитель: Увага, на дошці позначені питання для повторення, вони допоможуть вам у вивченні нового матеріалу. Учням дається кілька хвилин на обмірковування відповіді. Потім до дошки викликається один із учнів та відповідає на них. Правильність відповіді контролюють учні, вони можуть поставити додаткові питання, якщо не згодні з відповіддю або вважають, що відповідь неповна. Вчитель контролює всіх. Наприкінці опитування виставляється оцінка відповіді. Слайд №9,10.

Усна робота.

Вчитель:Що називається числовою прямою?

Учні:Це пряма, де задані початкова точка О, масштаб (поодинокий відрізок) і позитивний напрямок.

Вчитель:Скільки дійсних чисел можна поставити у відповідність кожній точці числової прямої?

Учні:Кожній точці відповідає лише одне дійсне число.

ВчительТобто числова пряма - це взаємно однозначна відповідність між усіма точками прямої та всіма дійсними числами.

ВчительЩо називається коло?

Учні:Колом називається безліч точок площини, що знаходяться на однаковій відстані від цієї точки.

Вчитель:Як знайти довжину кола?

Учні:Довжина кола дорівнює: L = 2 пr.

Вчитель:А що таке пі?

Учні:Пі - математична константа, що виражає відношення довжини кола до довжини її діаметра. Ця константа приблизно дорівнює 3,14.

Вчитель:Чому буде рівна Lпри R=1.

Учні:L=2Пабо 6,28.

Вчитель:Позначте на числовій прямій точці П і 2П. (Слайд №9,10,11)

3. Вивчення нового матеріалу.

Вчитель:У реального життядоводиться рухатися не тільки по прямій, а й по колу.

У принципі будь-яке коло можна розглядати як числове, але найзручніше використовувати для цієї мети одиничне коло - коло радіусом 1. Виходячи з основної формули довжини кола при радіусі рівному 1 отримуємо довжину одиничного кола рівного 2Пщо становить приблизно 6,28. Відповідно половина довжини кола дорівнює Пчверть П/2і три чверті кола рівні 3П/2. (Слайд № 12)

На числовому колі прийнято умовно називати дугу від 0 до П/2першою чвертю, дугу від П/2до П- другою чвертю, від Пдо 3П/2 3 чвертю та від 3П/2до 2П 4-й чвертю. У цьому, зазвичай, йдеться про відкриті дуги, тобто. про дуги без їх кінців: наприклад, перша чверть - це дуга від 0 до П/2, без крапок 0 і П/2.

Розглянемо таке визначення.

Вчитель:Числове коло - це одиничне коло, точки якого відповідають певним дійсним числам.

І найголовніше необхідно запам'ятати що позитивне значення відкладається проти годинникової стрілки, а негативне за годинниковою стрілкою

(Слайд 12,13).

Будь-якому дійсному числу можна порівняти єдину точку на прямій і навпаки (будь-яка точка прямої відповідає однині).

Число 0 відповідає початкова точка О.

Якщо t>0, то, рухаючись прямою з точки Про в позитивному напрямку, необхідно пройти шлях довжиною t.

Якщо t<0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, необходимо пройти путь длиной |t|.

Проведемо горизонтальний та вертикальний діаметри CA та BD. (Слайд №14)

Вчитель: Розділимо першу чверть на три рівні частини Чому рани довжини отриманих дуг? (Слайд № 14)

Учні: П/6

Вчитель:А якщо візьмемо дві частини?

Учні: П/3

Вчитель:Знайдіть на числовому колі точки симетричні точкам П/6 та П/3щодо діаметрів . Чому вони рівні?

Учні: П/6, 5П/6, 7П/6, 11П/6. П/3, 2П/3,4П/3, 5П/3.(Слайди №15,16)

Вчитель: Розділимо першу чверть на дві рівні частини Чому рани довжини одержаних дуг? (Слайд №17)

Учні: П/4

Вчитель:Знайдіть на числовому колі точки симетричні точці П/4щодо діаметрів . Чому вони рівні?

Учні: П/4, 3П/4, 5П/4, 7П/4.

Вчитель:Подумайте як знайти точки : 21П/4, 13П/6, 19П/6.(Слайд№18) Використовувати демонстраційне коло, мотузка, маркер

Учні:

4. . Закріплення знань, умінь та навичок.

Вчитель: Позначте на числовому колі точку, яка

відповідає даному числу:

Учні: Наголошую в зошиті задані точки, результат звіряють по

слайду №20.

Вчитель: Якій чверті числового кола належить точка, що відповідає числу: 2; 5; -5; -9; -17; 31; -95.?

Учні: Виробляють необхідні розрахунки у зошиті відповідають питанням.(Слайд№21)

Вчитель:Як розташовані на координатному прямому і на числовому колі точки, що відповідають числам: a) t і -t; б) t та t+2πk, kÎZ;

в) t та t+π; г) t+π та t-π.

Учні: Виконують завдання у зошиті, результат звіряють за Слайдом №22.

Вчитель: Побудуйте геометричну модель дуги числового кола, всі точки якої задовольняють нерівності.

Учні: Виконують завдання у зошиті, результат звіряють за Слайдом №23.

Вчитель: Знайдіть усі числа t, яким на числовому колі відповідають точки, що належать відкритій дузі АВ,DC, PR . (Слайд №24)

Учні: Виконують завдання у зошиті, результат звіряють по Слайду

Вчитель: Виконаємо самостійну роботу. (Слайд № 25)

Учні самостійно виконують роботу з подальшою перевіркою та відміткою за урок. На початковому етапі виконання завдання вчитель контролює та консультує учнів. Потім у ролі консультантів виступають учні, що впоралися із завданням раніше.

Додаткове завдання (якщо залишиться час): Додаток №1.

Слайд №26,27,28.

5. Домашнє завдання.

П2. 9-13(в, г) – 24.25(в, г).

6. Підбиття підсумків уроку.

Вчитель: Молодці хлопці, дуже добре попрацювали, добре вирішували завдання, уважно слухали та брали активну участь

Давайте підіб'ємо підсумки. На початку уроку ми поставили такі запитання.

1) Що називається числовим колом?

2)Як знайти точки на числовому колі, що відповідають заданим числам?

3) Як виділяти на числовому колі дугу, що відповідає заданому інтервалу.

4) Як за заданою дугою записувати аналітичний вираз.

Тепер ви можете відповісти на них.

7. Рефлексія.

Продовжіть фрази:

Сьогодні на уроці я дізнався…

Сьогодні на уроці я навчився.

Сьогодні на уроці я повторив...

Сьогодні на уроці я познайомився.

Сьогодні на уроці мені сподобалося

>> Числове коло

Вивчаючи курс алгебри 7-9-го класів, досі мали справу з алгебраїчними функціями, тобто. функціями, заданими аналітично виразами, в записі яких використовувалися алгебраїчні операції над числами та змінною (додавання, віднімання, множення, поділ, зведення у ступінь, витяг квадратного кореня). Але математичні моделі реальних ситуацій часто бувають пов'язані з функціями іншого типу, не алгебраїчними. З першими представниками класу неалгебраїчних функцій – тригонометричними функціями – ми познайомимося у цьому розділі. Більш детально вивчати тригонометричні функції та інші види неалгебраїчних функцій (показові та логарифмічні) вам належить у старших класах.
Для введення тригонометричних функційнам знадобиться нова математична модель- Чисельне коло, з яким ви досі не зустрічалися, зате добре знайомі з числовою прямою. Нагадаємо, що числова пряма - це пряма, на якій задані початкова точка О, масштаб (поодинокий відрізок) та позитивний напрямок. Будь-яке дійсне число ми можемо зіставити з точкою на прямій та назад.

Як за кількістю х знайти на прямій відповідну точку М? Число 0 відповідає початкова точка О. Якщо х > 0, то, рухаючись по прямій з точки 0 в позитивному напрямку, потрібно пройти п'ять довжиною х; кінець цього шляху буде шуканою точкою М(х). Якщо х< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

Як ми вирішували зворотне завдання, тобто. як шукали координату х заданої точки М на числовій прямій? Знаходили довжину відрізка ОМ і брали її зі знаком «+» або * - » залежно від того, з якого боку від точки розташована на прямій точка М.

Але в реальному житті рухатися доводиться не тільки прямою. Досить часто розглядається рух по кола. Ось конкретний приклад. Вважатимемо бігову доріжку стадіону колом (насправді це, звичайно, не коло, але згадайте, як зазвичай кажуть спортивні коментатори: «бігун пробіг коло», «до фінішу залишилося пробігти півкола» і т.д.), її довжина дорівнює 400 м. Відзначено старт - точка А (рис. 97). Бігун із точки А рухається по колу проти годинникової стрілки. Де він буде за 200 м? через 400 м? через 800 м? через 1500 м? А де провести фінішну межу, якщо він біжить марафонську дистанцію 42 км 195 м?

Через 200 м він перебуватиме в точці С, діаметрально протилежній точці А (200 м - це довжина половини бігової доріжки, тобто довжина половини кола). Пробігши 400 м (тобто «одне коло», як кажуть спортсмени), він повернеться до точки А. Пробігши 800 м (тобто «два кола»), він знову опиниться в точці А. А що таке 1500 м ? Це «три кола» (1200 м) плюс 300 м, тобто. 3

Бігова доріжка - фініш цієї дистанції буде в точці 2) (рис. 97).

Нам лишилося розібратися з марафоном. Пробігши 105 кіл, спортсмен подолає шлях 105-400 = 42 000 м, тобто. 42 км. До фінішу залишається 195 м, це на 5 м менше від половини довжини кола. Отже, фініш марафонської дистанції буде у точці М, розташованій біля точки С (рис. 97).

Зауваження. Ви, ясна річ, розумієте умовність останнього прикладу. Марафонську дистанцію стадіону ніхто не бігає, максимум становить 10 000 м, тобто. 25 кіл.

По біговій доріжці стадіону можна пробігти чи пройти шлях будь-якої довжини. Отже, будь-якому позитивному числу відповідає якась точка – «фініш дистанції». Понад те, можна й будь-якому негативному числу поставити у відповідність точку кола: просто треба змусити спортсмена бігти протилежному напрямі, тобто. стартувати з точки А не в напрямку проти, а в напрямку за годинниковою стрілкою. Тоді бігову доріжку стадіону можна розглядати як числове коло.

В принципі, будь-яке коло можна розглядати як числове, але в математиці умовилися використовувати для цієї мети одиничне коло - коло з радіусом 1. Це буде наша «бігова доріжка». Довжина Ь кола з радіусом К обчислюється за формулою Довжина половини кола дорівнює n, а довжина чверті кола - АВ, ПС, СБ, ДА на рис. 98 - дорівнює Умовимося називати дугу АВ першою чвертю одиничного кола, дугу ВС - другою чвертю, дугу СB - третьою чвертю, дугу DA - четвертою чвертю (рис. 98). У цьому зазвичай йдеться про Відкриту дугу, тобто. про дугу без її кінців (щось на зразок інтервалу на числовій прямій).

Визначення.Дано одиничне коло, на ньому відзначено початкову точку А - правий кінець горизонтального діаметра (рис. 98). Поставимо у відповідність кожному дійсному числу I точку кола за наступним правилом:

1) якщо x > 0, то, рухаючись з точки А в напрямку проти годинникової стрілки (позитивний напрямок обходу кола), опишемо по колу шлях довжиною і кінцева точка М цього шляху і буде точкою: М = М(x);

2) якщо x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 поставимо у відповідність точку А: А = А(0).

Одиничне коло з встановленим відповідністю (між дійсними числами і точками кола) називатимемо числовим колом.
приклад 1.Знайти на числовому колі
Так як перші шість із заданих семи чисел позитивні, то для відшукання відповідних їм точок на колі потрібно пройти колом шлях заданої довжини, рухаючись з точки А в позитивному напрямку. Врахуємо при цьому, що

Число 2 відповідає точка А, оскільки, пройшовши по колу шлях довжиною 2, тобто. рівно одне коло, ми знову потрапимо до початкової точки А Отже, А = А(2).
Що таке Отже, рухаючись з точки А в позитивному напрямку, потрібно пройти ціле коло.

Зауваження.Коли ми у 7-8-му класах працювализ числовою прямою, то умовилися, заради стислості, не говорити «точка прямої, що відповідає числу х», а говорити «точка х». Такої ж домовленості будемо дотримуватися і при роботі з числовим колом: «точка f» - це означає, що йдеться про точку кола, що відповідає числу
приклад 2.
Розділивши першу чверть АВ на три рівні частини точками К і Р, отримаємо:

приклад 3.Знайти на числовому колі точки, що відповідають числам
Побудови робитимемо, користуючись рис. 99. Відклавши дугу АМ (її довжина дорівнює -) від точки А п'ять разів у негативному напрямку, отримаємо точку! - середину дуги ВС. Отже,

Зауваження.Зверніть увагу на деяку вільність, яку дозволяємо собі у використанні математичної мови. Зрозуміло, що дуга АК і довжина дуги АК - різні речі (перше поняття - геометрична фігура, а друге поняття – число). Але позначається і те й інше однаково: АК. Понад те, якщо точки А і До з'єднати відрізком, те й отриманий відрізок, та її довжина позначаються як і: АК. Зазвичай із контексту буває ясно, який сенс вкладається в позначення (дуга, довжина дуги, відрізок чи довжина відрізка).

Тому нам дуже знадобляться два макети числового кола.

ПЕРШИЙ МАКЕТ
Кожна з чотирьох чвертей числового кола розділена на дві рівні частини, і біля кожної з восьми точок записані їх «імена» (рис. 100).

ДРУГИЙ МАКЕТКожна з чотирьох чвертей числового кола розділена на три рівні частини, і біля кожної з наявних дванадцяти точок записані їхні «імена» (рис. 101).

Врахуйте, що на обох макетах ми могли б заданим точкамприсвоїти та інші «імена».
Чи ви помітили, що у всіх розібраних прикладах довжини дуг
висловлювалися деякими частками числа п? Це не дивно: адже довжина одиничного кола дорівнює 2п, і якщо ми коло або її чверть ділимо на рівні частини, то виходять дуги, довжини яких виражаються частками числа і. А як ви думаєте, чи можна знайти на одиничному колі таку точку Е, що довжина дуги АЕ дорівнюватиме 1? Давайте прикинемо:

Розмірковуючи аналогічним чином, робимо висновок, що на одиничному колі можна знайти і точку Ег, для якої АЕ = 1, і точку Е2, для якої АЕг = 2, і точку Е3, для якої АЕ3 = 3, і точку Е4, для якої АЕ4 = 4, і точку Еь, на яку АЕЪ = 5, і точку Е6, на яку АЕ6 = 6. На рис. 102 відзначені (приблизно) відповідні точки (причому для орієнтування кожна з чвертей одиничного кола розділена рисками на три рівні частини).

приклад 4.Знайти на числовому колі точку, що відповідає числу -7.

Нам потрібно, вирушаючи з точки А(0) і рухаючись у негативному напрямку (у напрямку за годинниковою стрілкою), пройти колом шлях довжиною 7. Якщо пройти одне коло, то отримаємо (наближено) 6,28, значить, потрібно ще пройти ( у тому напрямі) шлях довжиною 0,72. Що це за дуга? Трохи менше половини чверті кола, тобто. її довжина менше від числа -.

Отже, начислового кола, як і начисловий прямий, кожному дійсному числу відповідає одна точка (тільки, зрозуміло, на прямій її знайти легше, ніж на кола). Але для прямої вірно і зворотне: кожна точка відповідає однині. Для числового кола таке твердження неправильне, ми неодноразово переконувалися в цьому. Для числового кола справедливе таке твердження.
Якщо точка М числової кола відповідає числу I, вона відповідає і числу виду I + 2як, де до - будь-яке ціле число (к е 2).

Справді, 2п - довжина числової (одиничного) кола, а ціле число | й | можна розглядати як кількість повних обходів кола в той чи інший бік. Якщо, наприклад, до = 3, це означає, що ми робимо три обходу кола в позитивному напрямку; якщо до = -7, це означає, що ми робимо сім (| до | = | -71 = 7) обходів кола у негативному напрямі. Але якщо ми у точці М(1), то, виконавши ще | до | повних обходів кола, ми знову опинимося у точці М.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки