Рішення. Точки максимуму відповідають точкам зміни похідної знака з плюсу на мінус. На відрізку функція має дві точки максимуму x = 4 та x = 4. Відповідь: 2. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (10; 8). Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x) на відрізку .
Рішення. На малюнку зображено графік функції y = f (x), визначеної на інтервалі (1; 12). Визначте кількість цілих точок, де похідна функції негативна. Похідна функції негативна тих інтервалах, у яких функція зменшується, т. е. на інтервалах (0,5; 3), (6; 10) і (11; 12). Вони містяться цілі точки 1, 2, 7, 8 і 9. Усього 5 точок. Відповідь: 5.
На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (10; 4). Знайдіть проміжки зменшення функції f(x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх. Рішення. Проміжки зменшення функції f(x) відповідають проміжкам, на яких похідна функції негативна, тобто інтервалу (9; 6) довжиною 3 і інтервалу (2; 3) довжиною 5. Довжина найбільшого з них дорівнює 5. Відповідь: 5.
На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (7; 14). Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x) на відрізку . Рішення. Точки максимуму відповідають точкам зміни похідної знака з позитивного на негативний. На відрізку функція має одну точку максимуму x = 7. Відповідь: 1.
На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (8; 6). Знайдіть проміжки зростання функції f(x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх. Рішення. Проміжки зростання функції f(x) відповідають проміжкам, у яких похідна функції позитивна, тобто інтервалам (7; 5), (2; 5). Найбільший їх інтервал (2; 5), довжина якого 3.
На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (7; 10). Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(x) на відрізку . Рішення. Точки мінімуму відповідають точкам зміни похідної знака з мінуса на плюс. На відрізку функція має одну точку мінімуму x = 4. Відповідь: 1.
На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (16; 4). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(x) на відрізку . Рішення. Крапки екстремуму відповідають точкам зміни знака похідної зображеним на графіку нуля похідної. Похідна перетворюється на нуль у точках 13, 11, 9, 7. На відрізку функція має 4 точки екстремуму. Відповідь: 4.
На малюнку зображено графік функції y = f (x), визначеної на інтервалі (2; 12). Знайдіть суму точок екстремуму функції f(x). Рішення. Задана функція має максимуми у точках 1, 4, 9, 11 та мінімуми у точках 2, 7, 10. Тому сума точок екстремуму дорівнює = 44. Відповідь: 44.
На малюнку зображено графік функції y=f(x) та дотичну до нього в точці з абсцисою x 0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0. Рішення. Значення похідної в точці торкання дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, що у свою чергу дорівнює тангенсу кута нахилу даної до осі абсцис. Побудуємо трикутник з вершинами в точках A(2; 2), B(2; 0), C(6; 0). Кут нахилу дотичної до осі абсцис дорівнюватиме куту, суміжному з кутом ACB
На малюнку зображено графік функції y = f(x) і дотична до цього графіка в точці абсцисою, що дорівнює 3. Знайдіть значення похідної цієї функції в точці x = 3. Для вирішення використовуємо геометричний сенс похідної: значення похідної функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка цієї функції, проведеної у цій точці. Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює тангенсу кута між дотичним та позитивним напрямом осі х (tg α). Кут α = β, як навхрест лежачі кути при паралельних прямих y=0, y=1 і січній-дотичній. Для трикутника ABC
На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до нього в точці з абсцисою x 0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0. За властивостями дотичної, формула дотичної до функції f(x) у точці x 0 дорівнює y = f (x 0) x + b, b = const По рисунку видно, що до функції f (x) в точці x 0 проходить через точки (-3; 2), (5,4). Отже, можна скласти систему рівнянь
Джерела
Індивідуальні заняття з SKYPE
з ефективної онлайн підготовкидо ЄДІ з математики.
Завдання типу В8 - це завдання на додаток до похідних функцій. Цілі у завданнях:
- знайти похідну у певній точці
- визначити екстремуми функції, точки maximum та minimum
- проміжки зростання та спадання
Розглянемо кілька прикладів. Завдання в8.1: малюнку зображено графік функції y=f (x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою х0. Знайдіть значення похідної функції y=f(x) у точці х0.
Трохи теорії. Якщо дотична зростаюча, то похідна буде позитивною, а якщо дотична спадна, то похідна негативна. Похідна функції y'= tgА, де А -кут нахилу дотичної до осі Х
Рішення: у нашому прикладі дотична -зростаюча, значить похідна буде позитивною. Розглянемо прямокутний трикутник АВС і знайдемо з нього tg А = ВС/АВ, де ВС-катет-відстань між характерними точками по осі у, АВ-катет-відстань між точками по осі х. Характерні точки на графіці виділені жирними точками та позначені літерами А і С. Характерні точки мають бути явними та цілими. З графіка видно, що АВ = 5 + 3 = 8, а вс = 3-1 = 2,
tgα= ВС/АВ=2/8=1/4=0,25 , звідси похідна у=0,25
Відповідь: 0,25
Завдання В8.2 На малюнку зображено графік функції у = f (x), визначеної на інтервалі (-9; 4). Знайдіть суму абсцис точок екстремуму функцій f(x)
Рішення: Для початку визначимося, що таке точки екстремуму? Це такі точки, в яких похідна змінює свій знак на протилежний, простіше кажучи всі "гірки" та "впадини". У нашому прикладі маємо 4 «гірки» і 4 «впадини». Знесемо всі «ландшафтні» точки на вісь Х і знайдемо значення абсцис, тепер складемо все значення цих точок по осі
отримаємо -8-7-5-3-2+0+1+3=-21
Відповідь: -21
переглянути відеоурок вирішення цього завдання
«В8 у ЄДІ з математики» - Точки мінімуму. Похідна функції негативна. Знайдіть значення похідної функції. Знайдіть абсцис точки торкання. Швидкість. Значення похідної функції. Похідна. Час. Графік похідної функції. Знайти похідну функцію. Проміжки зростання функції. Розв'язання завдань В8 ЄДІ з математики.
«B3 з математики» - Пам'ятка учню. Вміння з КТ. Прототип завдання. Зміст завдання В3. Прототип завдання B3. Прототип завдання B3. Рівняння. Основні властивості коріння. Знайдіть корінь рівняння. Логарифми. Логарифми з однаковими основами. Ступінь. Підготовка до ЄДІ з математики. Завдання для самостійного рішення.
"Рішення завдань В11" - Завдання. Початок математичного аналізу. Знайдіть найбільше значення функції на відрізку. Формули. Знайдіть найбільше значення функції. Вміння з КТ. Завдання для самостійного вирішення. Знайдіть найменше значення функції на відрізку. Знайдіть найменше значення функції. Перевірка. Рішення. Пам'ятка учню.
"В1 в ЄДІ з математики" - Найменша кількість. Булочка. Проїзний квиток. Американський автомобіль. Електричний чайник. Рекламна акція. День. Платіжний термінал. Ліки. Завдання В1. Клієнт. Теплохід. Загальний зошит. Прилад обліку витрати гарячої води. Залізничний квиток. Пенсіонери.
«Завдання ЄДІ з математики» - Завдання 13. Треба вирішити ще кілька прикладів. Завдання 6. Знайдіть швидкість мотоцикліста. Завдання 1. На скільки має піднятися рівень води після дощу? Знайдіть площу. Після дощу рівень води в колодязі може збільшитися. Завдання У 5. Завдання У 12. Самостійна робота. Підготовка до ЄДІ. Завдання 3.
"В1 з математики" - Мармелад. Рекламна акція. Знижка на день розпродажу. Ампул. Пральна машина. Автобус. Податок на прибуток. Флакон шампуню. Блокнот. Найменше число. Мобільний телефон. Квиток на міжміський автобус. Таксист. Магазин. Проїзний квиток. Пачка вершкового масла. Троянда. Завдання В1 ЄДІ з математики. Рішення.
Всього у темі 33 презентації
Розв'язання завдань В8 за матеріалами відкритого банкузадач ЄДІ з математики 2012 рокуПряма у = 4х + 11 паралельна дотичній до графіка функції у = х2+8х + 6. Знайдіть абсцису точки дотику. то її кутовий коефіцієнт (у нашому випадку k = 4 з рівняння у = 4х +11) дорівнює значенню похідної функції в точці хо: k = f ′(xo) = 4Виробна функції f′(x) = (х2+8х + 6) ′= 2x +8. Отже, для знаходження потрібної точки дотику необхідно, щоб 2хo+ 8 = 4, звідки хо = – 2. Відповідь: – 2. Пряма у = 3х + 11 є дотичною до графіка
функції у = x3-3x2-6x + 6.Знайдіть абсцис точки торкання.№2Рішення: Зауважимо, що якщо пряма є дотичною до графіка, то її кутовий коефіцієнт (k = 3) має дорівнювати похідній функції в точці дотику, звідки маємо Зх2 − 6х − 6 = 3, тобто Зх2 − 6х − 9 = 0 або х2 − 2х − 3 = 0. Це
квадратне рівняння має два корені: −1 і 3. Таким чином є дві точки, в яких дотична до графіка функції у = х3 − Зх2 − 6х + 6має кутовий коефіцієнт, що дорівнює 3. Для того щоб визначити, в якій із цих двох точок пряма у = 3х + 11 стосується графіка функції, обчислимо значення функції в цих точках і перевіримо, чи задовольняють вони рівняння дотичної. Значення функції в точці −1 дорівнює у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, а значення у точці 3 дорівнює у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Зауважимо, що точка з координатами (−1; 8) задовольняє рівняння дотичної, оскільки 8= −3 + 11. А ось точка (3; −12) рівняння дотичної не задовольняє, оскільки −12 ≠ 9 + 11. абсцис точки дотику дорівнює −1. Відповідь: −1.На малюнку зображено графік у = f′(x) – похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (–10; 8). У якій точці відрізка [-8; –4] функція f(x) набуває найменшого значення.№3Рішення: Зауважимо, що у відрізку [–8; –4] похідна функції негативна, отже, сама функція зменшується, отже, найменше значення у цьому відрізку вона приймає правому кінці відрізка, тобто у точці –4.у = f ′(x) f(x) –Ответ:–4 .На малюнку зображено графік у = f ′(x) – похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (–8; 8).Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(x), що належать відрізку[– 6; 6].№4Решение: У точці екстремуму похідна функції дорівнює 0 чи немає. Видно, що таких точок, що належать відрізку [-6; 6] три. При цьому в кожній точці похідна змінює знак або з "+" на "-", або з "-" на "+". ′(x) – похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (–8; 10). Знайдіть точку екстремуму функції f(x) на інтервалі (– 4; 8). похідною з «–» на «+», точка 4 і є потрібна точка екстремуму функції на заданому інтервалі. у = f ′(x) +–Відповідь: 4. На малюнку зображено графік у = f ′(x) – похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (–8; 8). Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції f(x) паралельна до прямої у = –2х + 2 або збігається з нею. то її кутовий коефіцієнт k = -2, а значить нам потрібно знайти кількість точок, в яких похідна функції f '(x) = -2. Для цього на графіці похідної проведемо пряму у = -2, і порахуємо кількість точок графіка похідної, що лежать на цій лінії. Таких точок 4. у = f ′(x) у = –2 Відповідь: 4. На малюнку зображено графік функції у = f(x), визначеної на інтервалі (–6; 5). Визначте кількість цілих точок, в яких похідна функції від'ємна. = −4, х = −3, х = −2, х = −1, х = 0, х = 3.у = f(x) х–6–45–1–20–33 Відповідь: 6. графік функції у = f(x), визначеної на інтервалі (–6; 6).Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої у = –5. №8уРішення: Пряма у = −5 горизонтальна, отже, якщо дотична до графіка функції їй паралельна, вона теж горизонтальна. Отже, кутовий коефіцієнт у точках k = f′(х)= 0. У нашому випадку – це точки екстремуму. Таких точок 6.1у = f(x) х06–635642у = –5–5Відповідь: 6.На малюнку зображено графік у = f(x) – похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (–7; 5) та дотична до йому в точці з абсцисою хо. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці хо. №9Рішення: Значення похідної функції f′(хo)= tgα = k рівнокутному коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка цієї функції у цій точці. У нашому випадку k > 0, оскільки α–
гострий кут(tgα > 0). Щоб знайти кутовий коефіцієнт, виберемо дві точки А і В, що лежать на дотичній, абсциси та ординати яких – цілі числа. Тепер визначимо модуль кутового коефіцієнта. Для цього збудуємо трикутник ABC. tgα =ВС: АС = 5: 4 = 1,25 у = f(x) Вα5хоαС4АТвідповідь: 1,25. точці з абсцисою хо.Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці хо. №10Рішення: Значення похідної функції f′(хo)= tgα = k рівнокутному коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка цієї функції у цій точці. У нашому випадку k< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равнаx ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2,x ′(6) = 6 – 2 = 4м/с.Ответ: 4.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?№16Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равнаx ′(to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2,Т.к. по условию, x ′(to) = 4, то to – 2 = 4, откуда to = 4 + 2 = 6м/с.Ответ: 6.На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6).Найдите сумму точек экстремума функции f(x).№17Решение: Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять. Найдем сумму их абсцисс: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) Ответ: 6.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). Найдите промежутки возрастания функцииf(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Решение: Заметим, что функция f(x)возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.Таких точек 7:х = −3, х = −2, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6, х = 7.Их сумма: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357Ответ: 20.Используемые материалы
ЄДІ 2012. Математика. Завдання В8. Геометричний зміст похідної. Робочий зошит/За ред. О.Л. Семенова та І.В. Ященко. 3-тє вид. стереотип. − М.: МЦНМО, 2012. − 88 с.http://mathege.ru/or/ege/Main− Матеріали відкритого банку завдань з математики 2012 року
