Пружинний маятник та його період коливань. Коливання вантажу на пружині

Пружинний маятник є матеріальною точкою масою, прикріплену до абсолютно пружної невагомої пружини з жорсткістю. . Розрізняють два найпростіші випадки: горизонтальний (рис.15, а) і вертикальний (рис.15, б) маятники.

а) Горизонтальний маятник(Рис. 15, а). При зміщенні вантажу
із положення рівноваги на величину на нього діє у горизонтальному напрямку повертаюча пружна сила
(Закон Гука).

Передбачається, що горизонтальна опора, по якій ковзає вантаж
при своїх коливаннях абсолютно гладка (тертя немає).

б) Вертикальний маятник(Рис.15, б). Положення рівноваги у разі характеризується умовою:

де - величина пружної сили, що діє на вантаж
при статичному розтягуванні пружини на під дією сили тяжіння вантажу
.

а

Рис.15. Пружинний маятник: а– горизонтальний та б– вертикальний

Якщо розтягнути пружину і відпустити вантаж, він почне здійснювати вертикальні коливання. Якщо усунення в якийсь момент часу буде
, то сила пружності запишеться тепер як
.

В обох розглянутих випадках пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з періодом

(27)

та циклічною частотою

. (28)

На прикладі розгляду пружинного маятника можна дійти невтішного висновку у тому, що гармонійні коливання – це рух, викликане силою, що зростає пропорційно зміщенню . Таким чином, якщо повертаюча сила на вигляд нагадує закон Гука
(вона отримала назвуквазіпружної сили ), то система повинна здійснювати гармонійні коливання.У момент проходження положення рівноваги на тіло не діє сила, що повертає, проте, тіло за інерцією проскакує положення рівноваги і повертає сила змінює напрямок на протилежне.

Математичний маятник

Рис.16. Математичний маятник

Математичний маятникє ідеалізованою системою у вигляді матеріальної точки, підвішеною на невагомій нерозтяжній нитці завдовжки , що робить малі коливання під впливом сили тяжіння (рис. 16).

Коливання такого маятника при малих кутах відхилення
(не перевищують 5º) можна вважати гармонійними, і циклічна частота математичного маятника:

, (29)

а період:

. (30)

2.3. Енергія тіла при гармонійних коливаннях

Енергія, повідомлена коливальній системі при початковому поштовху, буде періодично перетворюватися: потенційна енергія деформованої пружини переходитиме в кінетичну енергію вантажу, що рухається, і назад.

Нехай пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з початковою фазою
, тобто.
(Рис.17).

Рис.17. Закон збереження механічної енергії

при коливаннях пружинного маятника

При максимальному відхиленні вантажу від рівноваги повна механічна енергія маятника (енергія деформованої пружини з жорсткістю ) дорівнює
. При проходженні положення рівноваги (
) потенційна енергія пружини стане рівною нулю, і повна механічна енергія коливальної системи визначиться як
.

На рис.18 представлені графіки залежностей кінетичної, потенційної та повної енергії у випадках, коли гармонійні коливання описуються тригонометричними функціями синуса (пунктирна лінія) або косинуса (суцільна лінія).

Рис.18. Графіки тимчасової кінетичної залежності

та потенційної енергії при гармонійних коливаннях

З графіків (рис.18) випливає, що частота зміни кінетичної та потенційної енергії вдвічі вища за власну частоту гармонійних коливань.

Коливальним називається будь-який рух, що періодично повторюється. Тому залежності координати та швидкості тіла від часу при коливаннях описуються періодичними функціями часу. У шкільному курсіфізики розглядаються такі коливання, в яких залежності та швидкості тіла являють собою тригонометричні функції , або їхню комбінацію, де - деяке число. Такі коливання називаються гармонійними (функції і часто називають гармонійними функціями). Для вирішення завдань на коливання, що входять до програми єдиного державного іспитуз фізики, потрібно знати визначення основних характеристик коливального руху: амплітуди, періоду, частоти, кругової (або циклічної) частоти та фази коливань. Дамо ці визначення і зв'яжемо перераховані величини з параметрами залежності координати тіла від часу, яка у разі гармонійних коливань завжди може бути представлена ​​у вигляді

де , І - деякі числа.

Амплітудою коливань називається максимальне відхилення тіла, що коливається, від положення рівноваги. Оскільки максимальне і мінімальне значення косинуса (11.1) дорівнює ±1, то амплітуда коливань тіла, що робить коливання (11.1), дорівнює величині . Період коливань – це мінімальний час, через який рух тіла повторюється. Для залежності (11.1) період можна встановити з таких міркувань. Косинус - періодична функція з періодом. Тому рух повністю повторюється через таке значення, що. Звідси отримуємо

Круговою (або циклічною) частотою коливань називається кількість коливань, що здійснюються за одиниць часу. З формули (11.3) укладаємо, що круговою частотою є величина формули (11.1).

Фазою коливань називається аргумент тригонометричної функції, що описує залежність координати від часу. З формули (11.1) бачимо, що фаза коливань тіла, рух якого описується залежністю (11.1), дорівнює . Значення фази коливань у час = 0 називається початкової фазою. Для залежності (11.1) початкова фаза коливань дорівнює величині. Очевидно, початкова фаза коливань залежить від вибору початку відліку часу (моменту = 0), який є умовним. Зміною початку відліку часу початкова фаза коливань завжди може бути «зроблена» рівною нулю, а синус у формулі (11.1) «перетворений» на косинус або навпаки.

До програми єдиного державного іспиту входить також знання формул для частоти коливань пружинного та математичного маятників. Пружинним маятником прийнято називати тіло, яке може коливати на гладкій горизонтальній поверхні під дією пружини, другий кінець якої закріплений (лівий малюнок). Математичним маятником називається масивне тіло, розмірами якого можна знехтувати, що робить коливання на довгій, невагомій та нерозтяжній нитці (правий малюнок). Назва цієї системи – «математичний маятник» пов'язана з тим, що вона є абстрактною. математичнумодель реального ( фізичного) маятника. Необхідно пам'ятати формули для періоду (або частоти) коливань пружинного та математичного маятників. Для пружинного маятника

де - Довжина нитки, - прискорення вільного падіння. Розглянемо застосування цих термінів і законів з прикладу розв'язання задач.

Щоб знайти циклічну частоту коливань вантажу в Завдання 11.1.1знайдемо спочатку період коливань, та був скористаємося формулою (11.2). Оскільки 10 м 28 с – це 628 с, і за цей час вантаж здійснює 100 коливань, період коливань вантажу дорівнює 6,28 с. Тому циклічна частота коливань дорівнює 1 c -1 (відповідь 2 ). У задачі 11.1.2вантаж за 600 с здійснив 60 коливань, тому частота коливань - 0,1 с -1 (відповідь 1 ).

Щоб зрозуміти, який шлях пройдевантаж за 2,5 періоду ( Завдання 11.1.3), простежимо за його рухом. Через період вантаж повернеться назад до точки максимального відхилення, здійснивши повне коливання. Тому за цей час вантаж пройде відстань, що дорівнює чотирьом амплітудам: до положення рівноваги - одна амплітуда, від положення рівноваги до точки максимального відхилення в інший бік - друга, назад у положення рівноваги - третя, положення рівноваги в початкову точку - четверта. За другий період вантаж знову пройде чотири амплітуди, а за половину періоду, що залишилися, - дві амплітуди. Тому пройдений шлях дорівнює десяти амплітудам (відповідь 4 ).

Величина переміщення тіла – відстань від початкової точки до кінцевої. За 2,5 періоду в задачі 11.1.4тіло встигне здійснити два повні і половину повного коливання, тобто. виявиться на максимальному відхиленні, але з іншого боку положення рівноваги. Тому величина переміщення дорівнює двом амплітудам (відповідь 3 ).

За визначенням фаза коливань - це аргумент тригонометричної функції, якою описується залежність координати тіла, що коливається від часу. Тому правильна відповідь у задачі 11.1.5 - 3 .

Період – це час повного коливання. Це означає, що повернення тіла назад у ту ж точку, з якої тіло почало рух, ще не означає, що пройшов період: тіло має повернутися в ту саму точку з тією ж швидкістю. Наприклад, тіло, почавши коливання з положення рівноваги, за період встигне відхилитися на максимальну величину в один бік, повернутися назад, відхилиться на максимум в іншу сторону і знову повернутися назад. Тому за період тіло встигне двічі відхилитися на максимальну величину від положення рівноваги та повернутися назад. Отже, проходження від положення рівноваги до точки максимального відхилення ( завдання 11.1.6) тіло витрачає четверту частину періоду (відповідь 3 ).

Гармонічними називаються такі коливання, при яких залежність координати тіла, що коливається, від часу описується тригонометричною (синус або косинус) функцією часу. У задачі 11.1.7такими є функції і , незважаючи на те, що параметри, що входять до них, позначені як 2 і 2 . Функція ж – тригонометрична функція квадрата часу. Тому гармонійними є коливання тільки величин і (відповідь 4 ).

При гармонійних коливаннях швидкість тіла змінюється згідно із законом , де - Амплітуда коливань швидкості (початок відліку часу обрано так, щоб початкова фаза коливань дорівнювала б нулю). Звідси знаходимо залежність кінетичної енергії тіла від часу
(Завдання 11.1.8). Використовуючи далі відому тригонометричну формулу, отримуємо

З цієї формули випливає, що кінетична енергія тіла змінюється при гармонійних коливаннях також за гармонійним законом, але з подвоєною частотою (відповідь 2 ).

За співвідношенням між кінетичною енергією вантажу та потенційною енергією пружини ( Завдання 11.1.9) легко простежити з таких міркувань. Коли тіло відхилено на максимальну величину від положення рівноваги, швидкість тіла дорівнює нулю, і, отже, потенційна енергія пружини більша за кінетичну енергію вантажу. Навпаки, коли тіло проходить положення рівноваги, потенційна енергія пружини дорівнює нулю, і, отже, кінетична енергія більша за потенційну. Тому між проходженням положення рівноваги та максимальним відхиленням кінетична та потенційна енергія один раз порівнюються. А оскільки за період тіло чотири рази проходить від положення рівноваги до максимального відхилення або назад, то за період кінетична енергія вантажу та потенційна енергія пружини порівнюються один з одним чотири рази (відповідь 2 ).

Амплітуду коливань швидкості ( завдання 11.1.10) Найпростіше знайти за законом збереження енергії. У точці максимального відхилення енергія коливальної системи дорівнює потенційній енергії пружини , де - Коефіцієнт жорсткості пружини, - Амплітуда коливань. При проходженні положення рівноваги енергія тіла дорівнює кінетичній енергії , де - маса тіла, - швидкість тіла при проходженні положення рівноваги, яка є максимальною швидкістютіла в процесі коливань і, отже, є амплітудою коливань швидкості. Прирівнюючи ці енергії, знаходимо

(відповідь 4 ).

З формули (11.5) укладаємо ( Завдання 11.2.2), що від маси математичного маятника його період не залежить, а при збільшенні довжини в 4 рази період коливань збільшується в 2 рази (відповідь 1 ).

Годинник - це коливальний процес, який використовується для вимірювання інтервалів часу ( Завдання 11.2.3). Слова годинник «поспішають» означає, що період цього процесу менший від того, яким він має бути. Тому для уточнення ходу цього годинника необхідно збільшити період процесу. Згідно з формулою (11.5) для збільшення періоду коливань математичного маятника необхідно збільшити його довжину (відповідь 3 ).

Щоб знайти амплітуду коливань у задачі 11.2.4необхідно уявити залежність координати тіла від часу у вигляді однієї тригонометричної функції. Для цієї функції це можна зробити за допомогою введення додаткового кута. Помножуючи і поділяючи цю функцію на і використовуючи формулу складання тригонометричних функцій, отримаємо

де - такий кут, що . З цієї формули випливає, що амплітуда коливань тіла - (відповідь 4 ).

Робота більшості механізмів ґрунтується на найпростіших законах фізики та математики. Досить велике поширення набуло поняття пружинного маятника. Подібний механізм набув дуже широкого поширення, так як пружина забезпечує необхідну функціональність, може бути елементом автоматичних пристроїв. Розглянемо докладніше такий пристрій, принцип дії та багато інших моментів докладніше.

Визначення пружинного маятника

Як раніше було зазначено, пружинний маятник набув вельми широкого поширення. Серед особливостей можна відзначити таке:

  1. Пристрій представлений поєднанням вантажу та пружини, маса якої може не враховуватися. Як вантаж може виступати найрізноманітніший об'єкт. При цьому на нього може впливати з боку зовнішньої сили. Поширеним прикладом можна назвати створення запобіжного клапана, що встановлюється у системі трубопроводу. Кріплення вантажу до пружини проводиться різним чином. При цьому використовується виключно класичний гвинтовий варіант виконання, який набув найбільш широкого поширення. Основні властивості багато в чому залежать від типу матеріалу при виготовленні, діаметра витка, правильності центрування і багатьох інших моментів. Крайні витки часто виготовляються таким чином, щоб могли сприймати велике навантаженняпід час експлуатації.
  2. До початку деформації повна механічна енергіяВідсутнє. При цьому на тіло не впливає сила пружності. Кожна пружина має вихідне положення, яке зберігає протягом тривалого періоду. Однак, за рахунок певної жорсткості відбувається фіксація тіла у початковому положенні. Має значення те, як прикладається зусилля. Прикладом назвемо те, що вона має бути спрямована вздовж осі пружини, тому що в іншому випадку є ймовірність появи деформації та багатьох інших проблем. Кожна пружина має свій певний боковий вівтар стиснення і розтягування. При цьому максимальний стиск представлений відсутністю зазору між окремими витками, при розтягуванні є момент, коли відбувається неповоротна деформація виробу. При надто сильному подовженні дроту відбувається зміна основних властивостей, після чого виріб не повертається до свого початкового положення.
  3. У разі коливання відбуваються з допомогою дії сили пружності. Вона характеризується досить великою кількістю особливостей, які повинні враховуватися. Вплив пружності досягається за рахунок певного розташування витків і типу матеріалу, що застосовується при виготовленні. При цьому сила пружності може діяти обидві сторони. Найчастіше відбувається стиск, але може проводитися розтягування – все залежить від особливостей конкретного випадку.
  4. Швидкість переміщення тіла може варіювати в досить великому діапазоні, все залежить від того, який вплив. Наприклад, пружинний маятник може переміщати підвішений вантаж у горизонтальній та вертикальній площині. Дія спрямованого зусилля багато в чому залежить від вертикальної чи горизонтальної установки.

Загалом можна сказати, що пружинний маятник визначення досить узагальнене. У цьому швидкість переміщення об'єкта залежить від різних параметрів, наприклад, величини прикладеного зусилля та інших моментів. Перед безпосереднім проведенням розрахунків проводиться створення схеми:

  1. Вказується опора, до якої кріпиться пружина. Найчастіше для її відображення малюється лінія зі зворотним штрихуванням.
  2. Схематично відображається пружина. Вона часто представлена ​​хвилястою лінією. При схематичному відображенні немає значення довжина і діаметральний показник.
  3. Також зображується тіло. Воно має відповідати розмірам, проте має значення місце безпосереднього кріплення.

Схема потрібна для схематичного відображення всіх сил, які впливають на пристрій. Тільки в цьому випадку можна врахувати все, що впливає на швидкість переміщення, інерцію та багато інших моментів.

Пружинні маятники застосовуються не тільки при розрахунках або вирішенні різних завдань, але також і на практиці. Проте, в повному обсязі властивості такого механізму застосовні.

Прикладом можна назвати випадок, коли коливальні рухи не потрібні:

  1. Створення запірних елементів.
  2. Пружинні механізми, пов'язані з транспортуванням різних матеріалів та об'єктів.

Розрахунки пружинного маятника, що проводяться, дозволяють підібрати найбільш підходящу вагу тіла, а також тип пружини. Вона характеризується такими особливостями:

  1. Діаметр витків. Він може бути різним. Від показника діаметра багато в чому залежить те, скільки потрібно матеріалу для виробництва. Діаметр витків також визначає те, яке зусилля має додаватися для повного стиснення або часткового розтягування. Однак збільшення розмірів може створити суттєві труднощі з установкою виробу.
  2. Діаметр дроту. Ще одним важливим параметром можна назвати діаметральний розмір дроту. Він може варіювати в широкому діапазоні, залежить міцність та ступінь пружності.
  3. Довжина виробу. Цей показник визначає те, яке зусилля потрібно для повного стиснення, а також якою пружністю може мати виріб.
  4. Тип матеріалу також визначає основні властивості. Найчастіше пружина виготовляється при застосуванні спеціального сплаву, який має відповідні властивості.

При математичних розрахунках багато моментів не враховуються. Зусилля пружності та багато інших показників виявляються шляхом розрахунку.

Види пружинного маятника

Вирізняють кілька різних видів пружинного маятника. Варто враховувати, що класифікація може проводиться за типом пружини, що встановлюється. Серед особливостей відзначимо:

  1. Досить велике поширення набули вертикальні коливання, тому що в цьому випадку на вантаж не виявляється сила тертя та інший вплив. При вертикальному розташуванні вантажу значно збільшується ступінь впливу сили тяжіння. Поширений цей варіант виконання при проведенні різних розрахунків. За рахунок сили тяжіння є ймовірність того, що тіло у вихідній точці здійснюватиме велику кількість інерційних рухів. Цьому також сприяє пружність та інерція руху тіла наприкінці ходу.
  2. Також застосовується горизонтальний пружинний маятник. У цьому випадку вантаж знаходиться на опорній поверхні і на момент переміщення виникає тертя. При горизонтальному розташуванні сила тяжіння працює дещо інакше. Горизонтальне розташування тіла набуло широкого поширення у різних завданнях.

Розраховується рух пружинного маятника можна при використанні досить великої кількості різних формул, які повинні враховувати вплив усіх сил. Найчастіше встановлюється класична пружина. Серед особливостей відзначимо таке:

  1. Класична кручена пружина стиснення сьогодні набула досить широкого поширення. У цьому випадку між витками є простір, який називається кроком. Пружина стиснення може розтягуватися, але найчастіше вона цього не встановлюється. Відмінною особливістю можна назвати те, що останні витки виконані у вигляді площини, за рахунок чого забезпечується рівномірний розподіл зусилля.
  2. Може встановлюватися варіант виконання розтягування. Він розрахований на встановлення у разі, коли прикладене зусилля стає причиною збільшення довжини. Для кріплення проводиться розміщення гачків.

Внаслідок цього виникає коливання, яке може тривати протягом тривалого періоду. Наведена вище формула дозволяє здійснити розрахунок з урахуванням усіх моментів.

Формули періоду та частоти коливань пружинного маятника

При проектуванні та обчисленні основних показників також приділяється досить багато уваги частоті та періоду коливання. Косинус – періодична функція, у якій застосовується значення, незмінне через певний проміжок часу. Саме цей показник називають період коливань пружинного маятника. Для позначення цього показника застосовується буква Т, також часто використовується поняття, що характеризує значення, зворотне період коливання (v). Найчастіше при розрахунках застосовується формула T=1/v.

Період коливань обчислюється за дещо ускладненою формулою. Вона така: T=2п√m/k. Для визначення частоти коливання використовується формула: v=1/2п√k/m.

Циклічна частота коливань пружинного маятника, що розглядається, залежить від наступних моментів:

  1. Маса вантажу, що прикріплена до пружини. Цей показник вважається найбільш важливим, оскільки впливає на різні параметри. Від маси залежить сила інерції, швидкість та багато інших показників. Крім цього, маса вантажу – величина, з виміром якої немає проблем через наявність спеціального вимірювального устаткування.
  2. Коефіцієнт пружності. Для кожної пружини цей показник суттєво відрізняється. Коефіцієнт пружності вказується визначення основних параметрів пружини. Залежить цей параметр від кількості витків, довжини виробу, відстань між витками, їх діаметра та багато іншого. Визначається він різним чином, найчастіше при застосуванні спеціального обладнання.

Не слід забувати про те, що при сильному розтягуванні пружини закон Гука припиняє діяти. У цьому період пружинного коливання починає залежати від амплітуди.

Для вимірювання періоду застосовується всесвітня одиниця часу, найчастіше секунди. Найчастіше амплітуда коливань обчислюється під час вирішення найрізноманітніших завдань. Для спрощення процесу проводиться побудова спрощеної схеми, де відображаються основні сили.

Формули амплітуди та початкової фази пружинного маятника

Визначившись з особливостями прохідних процесів та знаючи рівняння коливань пружинного маятника, а також початкові значення можна провести розрахунок амплітуди та початкової фази пружинного маятника. Для визначення початкової фази застосовується значення f амплітуда позначається символом A.

Для визначення амплітуди може використовуватися формула: А = x 2 + v 2 / w 2 . Початкова фаза обчислюється за такою формулою: tgf=-v/xw.

Застосовуючи ці формули, можна провести визначення основних параметрів, які застосовуються при розрахунках.

Енергія коливань пружинного маятника

Розглядаючи коливання вантажу на пружині потрібно враховувати той момент, що рух маятника може описуватися двома точками, тобто воно носить прямолінійний характер. Цей момент визначає виконання умов, що стосуються сили, що розглядається. Можна сміливо сказати, що повна енергія потенційна.

Провести розрахунок енергії коливань пружинного маятника можна з урахуванням всіх особливостей. Основними моментами назвемо наступне:

  1. Коливання можуть проходити у горизонтальній та вертикальній площині.
  2. Нуль потенційної енергії вибирається як положення рівноваги. Саме тут встановлюється початок координат. Як правило, у цьому положенні пружина зберігає свою форму за умови відсутності сили, що деформує.
  3. У даному випадку енергія пружинного маятника, що розраховується, не враховує силу тертя. При вертикальному розташуванні вантажу сила тертя неістотна, при горизонтальному тіло знаходиться на поверхні і при русі може виникнути тертя.
  4. Для розрахунку енергії коливання застосовується така формула: E=-dF/dx.

Наведена вище інформація вказують на те, що закон збереження енергії має такий вигляд: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Застосовувана формула свідчить про таке:

Провести визначення енергії коливання пружинного маятника можна при вирішенні найрізноманітніших завдань.

Вільні коливання пружинного маятника

Розглядаючи те, чим викликані вільні коливання пружинного маятника, слід приділити увагу дії внутрішніх сил. Вони починають формуватися практично відразу після того, як тілу було передано рух. Особливості гармонійних коливань полягають у наведених нижче моментах:

  1. Можуть також виникати інші типи сил впливового характеру, який задовольняють усі норми закону, називаються квазіпругкими.
  2. Основними причинами дії закону можуть бути внутрішні сили, які формуються безпосередньо на момент зміни положення тіла у просторі. При цьому вантаж має певну масу, зусилля створюється за рахунок фіксації одного кінця за нерухомий об'єкт з достатньою міцністю, другого за сам вантаж. За умови відсутності тертя тіло може здійснювати коливальні рухи. І тут закріплений вантаж називається лінійним.

Не варто забувати про те, що існує просто безліч різних видів систем, в яких здійснюється рух коливального характеру. Вони також виникає пружна деформація, що стає причиною застосування виконання будь-якої роботи.

де k- Коефіцієнт пружності тіла, m- маса вантажу

Математичним маятникомназивається система, що складається з матеріальної точки масою m, підвішеною на невагомій нерозтяжній нитці, що здійснює коливання під дією сили тяжіння (рис.5.13 б).

Період коливань математичного маятника

де l- Довжина математичного маятника, g - Прискорення вільного падіння.

Фізичним маятникомназивається тверде тіло, Яке здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо горизонтальної осі підвісу, що не проходить через центр ваги тіла (рис.5.13,в).

,

де J - момент інерції тіла, що коливається відносно осі коливань; d – відстань центру мас маятника від осі коливань; - Наведена довжина фізичного маятника.

При додаванні двох однаково спрямованих гармонійних коливань однакового періоду виходить гармонійне коливання того ж періоду з амплітудою

Результуюча початкова фаза, одержувана при додаванні двох коливань, :

, (5.50)

де A 1 і A 2 - амплітуди доданків, φ 1 і φ 2 - їх початкові фази.

При додаванні двох взаємно перпендикулярних коливань однакового періоду рівняння траєкторії результуючого рухумає вигляд:

Якщо на матеріальну точкуКрім пружної сили діє сила тертя, то коливання будуть загасаючими, і рівняння такого коливання матиме вигляд

, (5.52)

де називається коефіцієнтом згасання ( r- Коефіцієнт опору).

Називається відношення двох амплітуд, що віддаляються один від одного за часом, рівним періоду


Серед різних електричних явищ особливе місце займають електромагнітні коливання, у яких електричні величини періодично змінюються і супроводжуються взаємними перетвореннями електричного та магнітного полів. Для збудження та підтримки електромагнітних коливань використовується коливальний контур- Ланцюг, що складається з включених послідовно котушки індуктивності L, конденсатора ємністю C і резистора опором R (рис.5.14).

Період T електромагнітних коливаньу коливальному контурі

. (5.54)

Якщо опір коливального контуру мало, тобто.<<1/LC, то период колебаний колебательного контура определяется формулою Томсона

Якщо опір контуру R не дорівнює нулю, то коливання будуть загасаючими. При цьому різницю потенціалів на обкладинках конденсаторазмінюється згодом згідно із законом

, (5.56)

де - коефіцієнт загасання, U 0 - амплітудне значення напруги.

Коефіцієнт згасанняколивань у коливальному контурі

де L – індуктивність контуру, R – опір.

Логарифмічним декрементом згасанняназивається відношення двох амплітуд, що віддаляються один від одного за часом, рівне періоду


Резонансомназивається явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти змушує сили ω до частоти, що дорівнює або близька власної частоти ω 0 коливальної системи (рис.5.15.).

Умова отримання резонансу:

. (5.59)

Проміжок часу, протягом якого амплітуда загасаючих коливань зменшиться в eраз, називається часом релаксації

Для характеристики згасання коливальних контурів часто користуються величиною, яка називається добротністю контуру. Добротністю контуру Qназивається число повних коливань N, помножене на число π, після яких амплітуда зменшується в eраз

. (5.61)

Якщо коефіцієнт загасання дорівнює нулю, то коливання будуть незатухаючими, напругазмінюватиметься за законом

. (5.62)

У разі постійного струму відношення напруги до сили струму називають опором провідника. Подібно до цього при змінному струмі відношення амплітуди активної складової напруги U адо амплітуди струму i 0 називається активним опоромланцюга X

У аналізованому ланцюгу воно дорівнює опору постійного струму. Активний опір завжди призводить до виділення тепла.

Ставлення

. (5.64)

називається реактивним опором ланцюга.

Наявність реактивного опору ланцюга не супроводжується виділенням тепла.

Повним опоромназивається геометрична сума активного та реактивного опору

, (5.65)

Ємнісним опором ланцюга змінного струму X c називається співвідношення

Індуктивний опір

Закон Ома для змінного струмузаписується у вигляді

де I еф і U еф - ефективні значення сили струму та напругипов'язані з їх амплітудними значеннями I 0 і U 0 співвідношеннями

Якщо ланцюг містить активний опір R, ємність C та індуктивність L, з'єднані послідовно, то зсув фаз між напругою та силою струмувизначається формулою

. (5.70)

Якщо активний опір R та індуктивність включені паралельно до ланцюга змінного струму, то повний опір ланцюгавизначається формулою

, (5.71)

і зсув фаз між напругою та струмомвизначається наступним співвідношенням

, (5.72)

де - частота коливань.

Потужність змінного струмувизначається наступним співвідношенням

. (5.73)

Довжина хвиліпов'язана з періодом наступним співвідношенням

де c = 3 · 10 8 м / с - швидкість поширення звуку.


Приклади розв'язання задач

Завдання 5.1.По відрізку прямого дроту завдовжки l= 80 см тече струм I = 50 А. Визначити магнітну індукцію B поля, створюваного цим струмом, у точці А, рівновіддаленій від кінців відрізка дроту і знаходиться на відстані r 0 = 30 см від його середини.

де dB – магнітна індукція, створювана елементом дроту завдовжки d lзі струмом I у точці, що визначається радіус-вектором r; μ 0 - магнітна постійна, μ - магнітна проникність середовища, в якому знаходиться провід (у нашому випадку, оскільки середовищем є повітря, μ = 1).

Вектори від різних елементів струму спрямовані (рис.), тому вираз (1) можна переписати у скалярній формі:

де α – кут між радіус-вектором та елементом струму dl.

Підставляючи вираз (4) у (3), отримаємо

Зауважимо, що при симетричному розташуванні точки А щодо відрізка дроту cos α 2 = - cos α 1 .

З урахуванням цього формула (7) набуде вигляду

Підставляючи формулу (9) до (8), отримаємо


Завдання 5.2.Два паралельні нескінченно довгі дроти D і C, якими течуть струми в одному напрямку електричні струми силою I = 60 А, розташовані на відстані d = 10 см один від одного. Визначити магнітну індукцію поля, створюваного провідниками зі струмом у точці А (рис.), що віддаляється від осі одного провідника з відривом r 1 = 5 див, від іншого – r 2 = 12 див.

Модуль вектора магнітної індукції знайдемо за теоремою косінусів:

де - кут між векторами B 1 і B 2 .

Магнітні індукції B 1 і B 2 виражаються відповідно через силу струму I відстані r 1 і r 2 від проводів до точки А:

З малюнка видно, що α = DAC (як кути з відповідно перпендикулярними сторонами).

З трикутника DAC з теореми косінусів, знайдемо cosα

Перевіримо, чи дає права частина отриманої рівності одиницю індукції магнітного поля (Тл)

Обчислення:

Відповідь: B = 3,08 · 10 -4 Тл.

Завдання 5.3.По тонкому радіусом, що проводить кільця R = 10 см тече струм I = 80 А. Знайти магнітну індукцію в точці А, рівновіддаленої від усіх точок кільця на відстань r = 20 см.

визначається радіус-вектором .

де інтегрування ведеться за всіма елементами d lкільця.

Розкладемо вектор dB на дві складові dB ┴ , перпендикулярну площині кільця, і dB|| , паралельну площині кільця, тобто.

де і (оскільки d lперпендикулярний r і, отже, sinα = 1).

З урахуванням цього формула (3) набуде вигляду

Перевіримо, чи дає права частина рівності (5) одиницю магнітної індукції

Обчислення:

Тл.

Відповідь: B = 6,28 · 10 -5 Тл.

Завдання 5.4.Довгий провід із струмом I = 50 А вигнутий під кутом α = 2π/3. Визначити магнітну індукцію у точці А (рис. до задачі 5.4., а). Відстань d = 5 див.

Вектор сонаправлен з вектором і визначається правилом правого гвинта. На малюнку 5.4. б цей напрямок відзначено хрестиком в кружечку (тобто перпендикулярно площині креслення, від нас).

Обчислення:

Тл.

Відповідь: B = 3,46 · 10 -5 Тл.


Завдання 5.5.Два нескінченно довгі дроти схрещені під прямим кутом (рис. до задачі 5.5., а). По проводах течуть струми I 1 = 80 А і I 2 = 60 А. Відстань d між проводами дорівнює 10 см. Визначити магнітну індукцію B у точці А, що однаково віддалена від обох проводів.
Дано: I 1 = 80 А I 2 = 60 А d = 10 см = 0,1 м Рішення: Відповідно до принципу суперпозиції магнітних полів магнітна індукція в точці А дорівнюватиме геометричній сумі магнітних індукцій і , створюваних струмами I 1 і I 2 .
Знайти: B -?

З рисунка випливає, що вектори B 1 і B 2 взаємно перпендикулярні (їх напрямки перебувають за правилом свердла і зображені у двох проекціях на рис. до задачі 5.5.,б).

Напруженість магнітного поля, згідно (5.8), створеного нескінченно довгим прямолінійним провідником,

де μ - відносна магнітна проникність середовища (у нашому випадку μ = 1).

Підставляючи формулу (2) (3), знайдемо магнітні індукцій B 1 і B 2 , створюваних струмами I 1 і I 2

Підставляючи формулу (4) до (1), отримаємо

Перевіримо, чи дає права частина отриманої рівності одиницю магнітної індукції (Тл):

Обчислення:

Тл.

Відповідь: B = 4 · 10 -6 Тл.

Завдання 5.6.Нескінченно довгий провід вигнутий так, як це зображено на малюнку до задачі 5.6, а. Радіус Rдуги кола дорівнює 10 см. Визначити магнітну індукцію поля, створюваного в точці Прострумом I = 80 A, поточним із цього дроту.

У нашому випадку провід можна розбити на три частини (рис. до задачі 5.6, б): два прямолінійних дроти (1 і 3), одним кінцем, що йдуть в нескінченність, і дугу півкола (2) радіуса R.

Враховуючи, що вектори спрямовані відповідно до правила свердла перпендикулярно площині креслення від нас, то геометричне підсумовування можна замінити алгебраїчним:

У нашому випадку магнітне поле в точці О створюється лише половиною такого кругового струму, тому

У нашому випадку r 0 = R, α 1 = π/2 (cos α 1 = 0), α 2 → π (cos α 2 = -1).

Перевіримо, чи дає права частина отриманої рівності одиницю магнітної індукції (Тл):

Обчислення:

Тл.

Відповідь: B = 3,31 · 10 -4 Тл.

Завдання 5.7.За двома паралельними прямими проводами завдовжки l= 2,5 см кожен, що знаходиться на відстані d= 20 см один від одного, течуть однакові струми I = 1 кА. Обчислити силу взаємодії струмів.

Струм I 1 створює у місці розташування другого дроту (зі струмом I 2) магнітне поле. Проведемо лінію магнітної індукції (пунктир на рис.) через другий провід і щодо до неї – вектор магнітної індукції B 1 .

Малюнок завдання 5.7

Модуль магнітної індукції B1 визначається співвідношенням

Так як вектор d lперпендикулярний вектору B 1 , sin(d l, B) = 1 і тоді

Силу F взаємодії проводів із струмом знайдемо інтегруванням:

Перевіримо, чи дає права частина отриманої рівності одиницю сили (Н):

Обчислення:

н.

Відповідь: F = 2,5 н.

Оскільки сила Лоренца перпендикулярна вектору швидкості , вона повідомить частинці (протону) нормальне прискорення a n.

Згідно з другим законом Ньютона,

, (1)

де m - Маса протона.

На малюнку поєднана траєкторія протона з площиною креслення і дано (довільно) напрям вектора. Силу Лоренца направимо перпендикулярно вектору до центру кола. a n та F л сонаправлены). Використовуючи правило лівої руки, визначимо напрямок магнітних силових ліній (напрямок вектора).

Дослідження коливань маятника проводиться на установці, схему якої наведено на рис.5. Установка складається з пружинного маятника, системи реєстрації коливань на основі п'єзоелектричного датчика, системи збудження вимушених коливань, а також системи обробки інформації на персональному комп'ютері. Досліджуваний пружинний маятник складається із сталевої пружини з коефіцієнтом жорсткості kта тіла маятника m, у центрі якого вмонтовано постійний магніт. Рух маятника відбувається у рідини і за невеликих швидкостях коливань виникає сила тертя то, можливо з достатньої точністю апроксимована лінійним законом, тобто.

Рис.5 Блок-схема експериментальної установки

Для збільшення сили опору під час руху в рідині, тіло маятника виготовлене у вигляді шайби з отворами. Для реєстрації коливань використовується п'єзоелектричний датчик, до якого підвішено пружину маятника. Під час руху маятника сила пружності пропорційна зсуву. х,
Так як ЕРС, що виникає в п'єзодатчику в свою чергу пропорційна силі тиску, сигнал, що отримується з датчика буде пропорційний зміщення тіла маятника від положення рівноваги.
Порушення коливань здійснюється за допомогою магнітного поля. Гармонічний сигнал, що створюється ПК, посилюється і подається на котушку збудження, розташовану під тілом маятника. У результаті цього котушки утворюється змінне в часі і неоднорідне в просторі магнітне поле. Це поле діє на постійний магніт, вмонтований у тіло маятника та створює зовнішню періодичну силу. При русі тіла примусову силу можна як суперпозиції гармонійних функцій , і коливання маятника будуть суперпозицією коливань із частотами mw. Однак помітний вплив на рух маятника надаватиме лише складова сили на частоті wтому що вона найбільш близька до резонансної частоти. Тому амплітуди складових коливань маятника на частотах mwбудуть малі. Тобто у разі довільного періодичного впливу коливання з великим ступенем точності можна вважати гармонійними на частоті w.
Система обробки інформації складається з аналого-цифрового перетворювача та персонального комп'ютера. Аналоговий сигнал з п'єзоелектричного датчика за допомогою аналого-цифрового перетворювача подається в цифровому вигляді та подається на персональному комп'ютері.

Управління експериментальною установкою за допомогою ЕОМ
Після ввімкнення комп'ютера та завантаження програми на екрані монітора з'являється основне меню, загальний вигляд якого показано на рис.5. Використовуючи клавіші керування курсором , , , , можна вибрати один із пунктів меню. Після натискання кнопки ENTERкомп'ютер приступає до виконання вибраного режиму роботи. Найпростіші підказки щодо вибраного режиму роботи містяться у виділеному рядку внизу екрана.
Розглянемо можливі режими роботи програми:
Статика- цей пункт меню використовується для обробки результатів першої вправи (див. рис.5). Після натискання на кнопку ENTERкомп'ютер запитує масу вантажу маятника. Після наступного натискання кнопки ENTERна екрані з'являється нова картинка з миготливим курсором. Послідовно записують на екрані масу вантажу в грамах і після натискання пробілу величину розтягування пружини. Натиснувши на ENTERпереходять на новий рядок і знову записують масу вантажу та величину розтягування пружини. Дозволяється редагування даних у межах останнього рядка. Для цього натиснувши клавішу Backspaseвидаляють неправильне значення маси або розтягування пружини та записують нове значення. Для зміни даних в інших рядках необхідно послідовно натиснути Escі ENTER, а потім повторити набір результатів.
Після набору даних натискають функціональну клавішу F2. На екрані з'являються розраховані методом найменших квадратів значення коефіцієнта жорсткості пружини і частоти вільних коливань маятника. Після натискання на ENTERна екрані монітора з'являється графік залежності пружної сили від розтягування пружини. Повернення в головне меню відбувається після натискання будь-якої кнопки.
Експеримент- Цей пункт має кілька підпунктів (рис.6). Розглянемо особливості роботи кожного їх.
Частота- у цьому режимі за допомогою клавіш керування курсором здійснюється завдання частоти сили, що змушує. У разі, якщо проводиться експеримент із вільними коливаннями, необхідно встановити значення частоти рівне 0 .
Старт- у цьому режимі після натискання кнопки ENTERПрограма починає знімати експериментальну залежність відхилення маятника від часу. У тому випадку, коли частота сили, що змушує, дорівнює нулю, на екрані з'являється картина загасаючих коливань. В окремому віконці записуються значення частоти коливань та постійної згасання. Якщо частота збудливої ​​сили не дорівнює нулю, то поряд з графіками залежностей відхилення маятника та вимушальної сили від часу на екрані в окремих віконцях записуються значення частоти вимушальної сили та її амплітуди, а також вимірюваних частоти та амплітуди коливань маятника. Натиснувши клавішу Escможна вийти в головне меню.
Зберегти- якщо результат експерименту задовільний, його можна зберегти, натиснувши на відповідну клавішу меню.
Нов. Серія- цей пункт меню використовується у разі, якщо виникла потреба відмовитися від даних поточного експерименту. Після натискання клавіші ENTERу цьому режимі з пам'яті машини стираються результати всіх попередніх експериментів, і можна розпочати нову серію вимірів.
Після проведення експерименту переходять у режим Вимірювання. Цей пункт меню має кілька підпунктів.
Графік АЧХ- цей пункт меню використовується після закінчення експерименту вивчення вимушених коливань. На екрані монітора будується амлітудно-частотна характеристика вимушених коливань.
Графік ФЧХ- У цьому режимі після закінчення експерименту вивчення вимушених коливань на екрані монітора будується фазочастотна характеристика.
Таблиця- цей пункт меню дозволяє видати на екран монітора значення амплітуди та фази коливань залежно від частоти сили, що змушує. Ці дані переписуються в зошит для звіту з цієї роботи.
Пункт меню комп'ютера Вихід- Закінчення роботи програми (див. наприклад, рис. 7)

Вправа 1. Визначення коефіцієнта жорсткості пружини статичним методом.

Вимірювання проводять шляхом визначення подовження пружини під дією вантажів з відомими масами. Рекомендується провести не менше 7-10 вимірювань подовження пружини поступово підвішуючи вантажі і змінюючи цим навантаження від 20 до 150 м. Використовуючи пункт меню роботи програми Статистикарезультати цих вимірів заносять у пам'ять комп'ютера визначають коефіцієнт жорсткості пружини використовуючи метод найменших квадратів. У ході виконання вправи необхідно розрахувати значення власної частоти коливань маятника