Електростатичне поле є потенційним. Що таке потенційне поле? Нехай електростатичне поле переміщує заряд між двома точками. Робота сил поля по переміщенню заряду між цими точками залежить від форми шляху, а залежить від положення самих точок. Таке поле і називається потенційним.
Так як електростатичне поле потенційно, то для нього можна ввести поняття потенціалу.
Визначення потенціалу:
Потенціалом даної точки величина, чисельно рівна роботі, яку виробляють сили поля, щоб перемістити одиничний позитивний заряд із цієї точки в нескінченність.
А чому потрібно переміщувати заряд у нескінченність? Вважається, що в нескінченності поле дорівнює нулю та потенціал дорівнює нулю. Якщо ще раз прочитати визначення потенціалу, можна зрозуміти, що переміщуючи заряд у нескінченність, ми переміщаємо їх у точку, у якій потенціал дорівнює нулю. Як крапка з нульовим потенціалом можна було б вибрати будь-яку точку, але зазвичай вибирається нескінченність.
Ще питання: чому важливим для визначення потенціалу є те, що електростатичне поле потенційно? У потенційному полі робота залежить від форми шляху, отже потенціал може характеризувати полі у точці. Адже якби робота поля переміщення заряду в нескінченність залежала від форми шляху, то переміщуючи заряд різними шляхами, ми отримали різні значення потенціалу однієї точки. Але робота у разі електростатичного поля незалежить від форми шляху, значить значення потенціалу в точці буде лише одне, а це означає, що потенціал може характеризувати поле у цій точці.
Для різних точок електростатичного поля ми можемо вказати значення потенціалу. Правда тут є одна тонкість: перед тим як вказувати значення потенціалу для будь-якої точки потрібно значення потенціалу в точці прийняти рівним нулю (або якийсь певній величині). Такий точкою ми вибрали нескінченність. Тут важливо зрозуміти, що коли ми говоримо про потенціал поля в даній точці, то інша точка, куди (або звідки) переміщатимемо заряд, заздалегідь відома.
Формулу можна використовувати для визначення різниці потенціалів між двома точками електричного поляякщо напруженість поля в області між цими точками відома. Звертаючи цю формулу, ми можемо висловити напруженість електричного поля через його потенціал, тобто, знаючи V, ми зможемо визначити Е.
Подивимося, як це робиться.
Рівняння можна переписати у диференційній формі:
dV = -E · dl = -E l dl,
де dV- нескінченно мала різниця потенціалів між точками на відстані dlодин від одного, а E l- складова напруженості електричного поля у напрямку цього нескінченно малого переміщення dl.
Тоді:
Таким чином, складова напруженості електричного поля за будь-яким напрямом дорівнює градієнту потенціалу в цьому напрямку, взятому зі зворотним знаком. Градієнтом величини Vназивається її похідна за певним напрямом dV/dl. Якщо напрямок не вказується, то градієнт відповідає напрямку найбільш швидкої зміни V; це відповідає напрямку вектора Еу цій точці, оскільки саме в такому напрямку складова вектора Езбігається з повною величиною напруженості поля:
Якщо розписати складові вектора Е за координатами х, у, zі як lвзяти напрямки вздовж осей х у, z, то рівняння (24.8) можна записати у вигляді:
Тут dV/dx- приватна похідна Vу напрямку хза умови, що уі zфіксовані.
В останньому прикладі ми вирахували напруженість електричного поля Едиполя у довільній точці простору. Складаючи вектори напруженостей, створюваних кожним зарядом окремо, отримати цей результат було набагато складніше. Взагалі кажучи, для багатьох розподілів зарядів набагато простіше розрахувати потенціал, а потім за формулою (24.9) – напруженість електричного поля Ечим вираховувати за законом Кулона окремо Едля кожного заряду: скалярні величини складати набагато простіше, ніж вектори.
Електростатична потенційна енергія
Припустимо, що точковий заряд qпереміщають у просторі з точки ав точку b, електричні потенціали у яких, обумовлені іншими зарядами, рівні відповідно V aі V b. Зміна електростатичної потенційної енергії заряду qу полі інших зарядів становить:
ΔU = U b - U a = q(V b - V a) = qV ba
Нехай тепер є система кількох точкових зарядів. Чому дорівнює електростатична потенційна енергія системи?
Найзручніше вибрати за нуль потенційну енергію зарядів на дуже великих (в ідеалі нескінченно великих) відстанях один від одного. Потенційна енергія відокремленого точкового заряду Q 1дорівнює нулю, оскільки відсутність інших зарядів на нього не діє жодна сила. Якщо до нього піднести другий точковий заряд, Q 2, потенціал у точці, де знаходиться другий заряд, дорівнюватиме:
Тут r 1 2 – відстань між зарядами. Потенційна енергія двох зарядів дорівнює:
Вона характеризує роботу, необхідну для переміщення заряду Q 2 з нескінченності ( V= 0) на відстань r 1 2 до заряду Q i (або зі знаком мінус роботу, необхідну для рознесення набоїв на нескінченно велику відстань).
Якщо система складається з трьох зарядів, то її повна потенційна енергія дорівнюватиме роботі з переміщення всіх трьох зарядів з нескінченності в місце їх розташування. Робота зі зближення зарядів Q 2 та Q 1 визначається виразом (24.10);
щоб перенести заряд Q 3 з нескінченності в точку на відстані r 1 3 від Q 1 та на відстані r 2 3 від Q 2 , потрібно здійснити роботу:
У цьому випадку потенційна енергія системи трьох точкових зарядів дорівнюватиме:
Для системи чотирьох зарядів вираз для потенційної енергії міститиме шість таких членів тощо. (При складанні подібних сум необхідно стежити за тим, щоб не враховувати одну й ту саму пару двічі). Часто нас цікавить не повна електростатична потенційна енергія, а лише її частина. Наприклад, може виникнути потреба знайти потенційну енергію одного диполя у присутності іншого диполя. У взаємодії беруть участь чотири заряди: Q 1 та -Q 1 першого диполя та Q 2 та -Q 2 другого диполя.
Потенційна енергія одного диполя і в присутності іншого (іноді її називають енергією взаємодії) є роботу зі зближення диполів з нескінченно великої відстані. В цьому випадку нас не цікавить взаємна потенційна енергія зарядів Q 1 та -Q 1 або Q 2 та -Q 2; вираз для потенційної енергії двох диполів міститиме лише чотири члени, що відповідають енергіям взаємодії між зарядами: Q 1 та Q 2 ; Q 1 та -Q 2 ; -Q 1 та Q 2 ; -Q 1 та -Q 2 .
Висновок
Електричний потенціалу будь-якій точці простору визначається як електростатична потенційна енергія одиниці заряду. Різниця потенціалів між двома точками визначається взятою зі зворотним знаком роботою, яка здійснюється полем під час переміщення одиничного електричного заряду між цими точками. Різниця потенціалів вимірюється у вольтах (1 В = 1 Дж/Кл) та іноді називається напругою. Зміна потенційної енергії заряду qпри проходженні ним різниці потенціалів V bаодно ΔU = qV ba.
V bаміж точками bі aв однорідному електричному полі напруженістю Евизначається формулою V = - Ed, де d- Відстань уздовж силової лінії поля між цими точками.
У неоднорідному електричному полі Евідповідний вираз має вигляд.
Таким чином, знаючи Е, завжди можна визначити V bа. Якщо значення Vвідомо, що складові напруженості поля Еможна знайти, звертаючи наведене співвідношення:
Е x = -dV/dх, Е y = -dV/dу, E z = -dV/dz .
Зауваження та пропозиції приймаються та вітаються!
Потенціал електричного поля є відношенням потенційної енергії до заряду. Як відомо, електричне поле є потенційним. Отже, будь-яке тіло, що знаходяться в цьому полі, має потенційну енергію. Будь-яка робота, яка здійснюватиметься полем, відбуватиметься за рахунок зменшення потенційної енергії.
Формула 1 - Потенціал
Потенціал електричного поля – це енергетична характеристика поля. Він являє собою роботу, яку потрібно здійснити проти сил електричного поля для того, щоб перемістити одиничний позитивний точковий заряд, що знаходиться на нескінченності в дану точку поля.
Вимірюється потенціал електричного поля у вольтах.
Якщо поле створюється кількома зарядами, які розташовані в довільному порядку. Потенціал у цій точці такого поля буде алгебраїчною сумою всіх потенціалів, які створюють заряди кожен окремо. Це так званий принцип суперпозиції.
Формула 2 - сумарний потенціал різних зарядів
Припустимо, що в електричному полі заряд переміщається з точки "a" до точки "b". Робота відбувається проти сили електричного поля. Відповідно потенціали у цих точках відрізнятимуться.
Формула 3 - Робота в електричному полі
Рисунок 1 - переміщення заряду в електричному полі
Різниця потенціалів двох точок поля дорівнюватиме одному Вольту, якщо для того щоб перемістити заряд в один кулон між ними необхідно здійснити роботу в один джоуль.
Якщо заряди мають однакові знаки, то потенційна енергія взаємодії з-поміж них буде позитивна. І тут заряди відштовхуються друг від друга.
Для різноїменних зарядів енергія взаємодії буде негативною. Заряди в цьому випадку будуть притягуватися один до одного.
Поняття енергії винятково корисне для вирішення задач механіки. Насамперед енергія зберігається і тому є важливою характеристикою явищ природи. Використовуючи уявлення про енергію, багато завдань вдається вирішити, не маючи детальних відомостей про сили або у разі, коли застосування законів Ньютона вимагало б складних обчислень.
Енергетичним підходом можна скористатися і при вивченні електричних явищ, і тут він виявляється надзвичайно корисним: дозволяє не лише узагальнити закон збереження енергії, а й у новому аспекті побачити електричні явища, а також служить засобом більш просто знаходити рішення, ніж шляхом розгляду сил та електричних полів .
Потенційну енергію можна визначити лише консервативних сил; робота такої сили з переміщення частки між двома точками залежить від обраного шляху.
Легко бачити, що електростатична сила є консервативною: сила, з якою один точковий заряд діє іншою, визначається законом Кулона: F = kQ 1 Q 2 /r 2; тут та ж назад пропорційна залежність від квадрата відстані, що й у законі всесвітнього тяжіння: F = Gm 1 m 2 /r 2. Такі сили є консервативними. Сила, що діє на обраний заряд з боку будь-якого розподілу зарядів, може бути записана у вигляді суми кулонівських сил; отже, і сила, створювана довільним розподілом зарядів, є консервативною. А це дозволяє запровадити потенційну енергію електростатичного поля.
Різниця потенційних енергій точкового заряду qу двох різних точках електричного поля можна визначити як роботу, яку виконують зовнішні сили з переміщення заряду (проти дії електричної сили) з однієї точки в іншу. Це рівнозначно визначенню зміни потенційної енергії заряду в полі як взятої зі зворотним знаком роботи, що здійснюється самим полем переміщення заряду з однієї точки в іншу.
Розглянемо для прикладу електричне поле між двома пластинами з рівним за величиною та протилежним за знаком зарядом. Нехай розміри пластин великі порівняно з відстанню між ними, і тому поле між пластинами можна вважати однорідним (рис. 24.1).
Помістимо в крапку апоблизу позитивно зарядженої пластини точковий позитивний заряд q. Електрична сила, що діє на заряд, намагатиметься перемістити його до негативної пластини (у крапку b), здійснюючи роботу з перенесення заряду. Під дією сили заряд набуде прискорення та його кінетична енергія зросте; при цьому потенційна енергія зменшиться на величину роботи, досконалої електричною силоюпо переміщенню заряду з точки aв точку b. Відповідно до закону збереження енергії потенційна енергія заряду в електричному полі перейде в кінетичну енергію, але повна енергія залишиться незмінною. Зауважимо, що позитивний заряд qмає найбільшу потенційну енергію Uпоблизу позитивної пластини (у цій точці його здатність виконувати роботу над іншим тілом чи системою максимальна). Для негативного заряду справедливо протилежне: його потенційна енергія буде максимальною поблизу негативної пластини.
Напруженість електричного поля ми визначали як силу, що діє на одиничний заряд; аналогічно зручно ввести електричний потенціал(або просто потенціал, якщо це не викликає непорозумінь) як потенційну енергію одиничного заряду. Електричний потенціал позначається символом V; отже, якщо в деякій точці aточковий заряд qмає потенційну енергію U a, то електричний потенціал у цій точці дорівнює V a = U a /q.
Реально ми вимірюємо лише зміну потенційної енергії. Відповідно фактично можна виміряти лише різницю потенціалів між двома точками (наприклад, точками aі bна рис. 24.1). Якщо робота електричних сил з переміщення заряду від точки aв точку bє W ba(а різниця потенційних енергій відповідно дорівнює цій величині зі зворотним знаком), то для різниці потенціалів можна написати
Одиницею електричного потенціалу (і різниці потенціалів) є джоуль на кулон (Дж/Кл); цій одиниці присвоєно найменування вольт (В) на честь Алессандро Вольти (1745-1827) (він відомий як винахідник електричної батареї); 1 В = 1 Дж/Кл. Зауважимо, що, згідно з цим визначенням, позитивно заряджена пластина на рис. 24.1 має вищий потенціал, ніж негативна. Таким чином, позитивно заряджене тіло прагнутиме перейти з точки з більш високим потенціалом у точку з нижчим потенціалом, негативно заряджене тіло – навпаки. Різницю потенціалів часто називають електричною напругою.
Потенціал у цій точці V aзалежить від вибору "нуля" потенціалу; як і у випадку потенційної енергії, нульовий рівень може вибиратися довільно, оскільки можна виміряти лише зміну потенційної енергії (різницю потенціалів). Часто за нульовий приймають потенціал землі чи провідника, з'єднаного із землею, та інші значення потенціалів відраховують щодо «землі». (Наприклад, кажучи, що потенціал у якійсь точці дорівнює 50 В, мають на увазі, що різниця потенціалів між цією точкою та землею дорівнює 50 В.) В інших випадках, як ми побачимо, зручно вважати нульовим потенціал на нескінченності.
Оскільки електричний потенціал визначається як потенційна енергія одиничного заряду, зміна потенційної енергії заряду qпри переміщенні його з точки aв точку bодно
Δ U = U b - U a = qV ba
Іншими словами, коли заряд qпереміщається між точками з різницею потенціалів V ba, його потенційна енергія змінюється на величину qV ba. Якщо, наприклад, різницю потенціалів між пластинами на рис. 24.1 становить 6, то заряд 1 Кл, переміщений (зовнішньої силою) з точки bв точку a, збільшить свою потенційну енергію на (1 Кл) (6 В) = 6 Дж. (переміщаючись з aв b, він втратить потенційну енергію 6 Дж.) Аналогічно енергія заряду 2 Кл збільшиться на 12 Дж тощо. Таким чином, електричний потенціал є мірою зміни потенційної енергії електричного заряду в даній ситуації. А оскільки потенційна енергія - це здатність виконувати роботу, електричний потенціал є мірою тієї роботи, яку може здійснити даний заряд. Кількість роботи залежить від різниці потенціалів, і від величини заряду.
Щоб краще зрозуміти зміст електричного потенціалу, проведемо аналогію з гравітаційним полем. Нехай камінь падає із вершини скелі. Чим вище скеля, тим більше потенційної енергії має камінь і тим більше буде його кінетична енергія, коли він долетить до підніжжя скелі. Величина кінетичної енергії і відповідно робота, яку може зробити камінь, залежить від висоти скелі та від маси каменю. Так само і в електричному полі зміна потенційної енергії (і робота, яку можна здійснити) залежить від різниці потенціалів (еквівалентної висоті скелі) та заряду (еквівалентної маси).
Використовувані практично джерела електроенергії - батареї, електрогенератори - створюють певну різницю потенціалів. Кількість енергії, що відбирається від джерела, залежить від величини заряду, що переноситься.
Розглянемо, наприклад, автомобільну фару, з'єднану з акумулятором, різниця потенціалів на затискачах якого дорівнює 12 В. Кількість енергії, що перетворюється фарою у світло (і, звичайно, в тепло), пропорційно заряду, що протік через фару, що в свою чергу залежить від того , як довго увімкнена фара. Якщо через фару пройшов заряд 5,0 Кл, то перетворена фарою енергія становитиме (5,0 Кл)*(12,0 У) = 60 Дж. Якщо залишити фару включеної вдвічі довше, через неї пройде заряд 10,0 Кл і кількість перетвореної енергії складе (10,0 Кл) * (12,0 В) = 120 Дж.
Ефекти, зумовлені тим чи іншим розподілом зарядів, можна описати як з допомогою напруженості електричного поля, і через електричний потенціал. Між напруженістю поля та потенціалом існує тісний зв'язок. Розглянемо спочатку цей зв'язок для випадку однорідного електричного поля, наприклад, поля між пластинами на рис. 24.1 з різницею потенціалів V ba. Робота електричного поля з переміщення позитивного заряду qз точки aв точку bдорівнює
W = - qV ba
Звернімо увагу на те, що величина V ba = V b - V aнегативна ( V ba a вище, ніж у точці b(і позитивний по відношенню до потенціалу в точці b). Тому робота, що здійснюється полем, позитивна.
З іншого боку, робота дорівнює добутку сили на переміщення, а сила, що діє на заряд q, є F = qE, де Е- Напруженість однорідного електричного поля між пластинами. Таким чином,
W = Fd = qEd
де d- Відстань між точками aі b(Вздовж силової лінії). Прирівнявши ці висловлювання до роботи, отримаємо
- qV ba = qEd
V b - V a = V ba = - Ed(поле Eоднорідно).
Знак мінус у правій частині вказує просто на те, що V a V b, тобто. потенціал позитивної пластини вищий, ніж негативної, як ми казали. Позитивні заряди прагнуть рухатися з області з високим потенціалом область з низьким потенціалом. Звідси можна знайти Е:
Е = - V ba /d .
З останньої рівності видно, що напруженість електричного поля можна вимірювати як у вольтах на метр (В/м), так і в ньютонах на кулон (Н/Кл). Ці одиниці еквівалентні між собою: 1 Н/Кл = 1 Н·м/Кл·м = 1 Дж/Кл·м = 1 В/м.
Щоб перейти до загального випадку неоднорідного електричного поля, згадаймо співвідношення між силою Fта потенційною енергією Uобумовленої цією силою. Різниця потенційних енергій у двох точках простору aі bвизначиться формулою
де dl- нескінченно мале переміщення, а інтеграл береться вздовж довільної траєкторії між точками aі b. У разі електричного поля нас більше цікавить різниця не потенційних енергій, а потенціалів:
V ba = V b - V a = (U b - U a)/q
Напруженість електричного поля Еу будь-якій точці простору визначається ставленням сили до заряду: Е = F/q. Підставляючи ці дві рівності у формулу, отримаємо
Це і є загальне співвідношення, що сполучає напруженість електричного поля з різницею потенціалів.
Коли поле однорідне, наприклад, на рис. 24.1 вздовж траєкторії, паралельної силовим лініям, від точки aу позитивної пластини до точки bу негативної пластини (оскільки напрямки Eі dlвсюди збігаються) маємо
де d- відстань вздовж силової лінії між точками aі b. І знову знак мінус у правій частині свідчить лише про те, що на рис. 24.1 V a > V b .
Далі буде. Коротко про наступну публікацію:
Зауваження та пропозиції приймаються та вітаються!
Електростатичне поле – це потенційне поле. Поняття про потенційні силові поля було введено в курсі механіки. Поле називається потенційним, якщо робота сил цього поля при переміщенні з однієї точки в іншу не залежить від форми траєкторії, а визначається лише початковим та кінцевим положеннями.
Потенційним є будь-яке центральне поле, в якому сила залежить лише від відстані до силового центру та спрямована по радіусу. Доказ цього твердження розглядалося у курсі механіки. Електростатичне поле, яке створюється відокремленим точковим зарядом, описується законом Кулона. Це поле сферично-симетричне і є окремим випадком центрального поля. Звідси випливає потенційний характер електростатичного поля точкового заряду.
Відповідно до принципу суперпозиції напруженість електростатичного поля, створюваного будь-яким, скільки завгодно складним розподілом нерухомих зарядів, являє собою векторну суму напруженостей полів, створюваних кожним зарядом окремо. Сила, що діє на пробний заряд, що переміщається, визначається повною напруженістю поля. Тому робота при переміщенні пробного заряду дорівнює сумі робіт сил, що діють із боку окремих точкових зарядів. Робота кожної такої сили залежить від форми траєкторії. Тому і сумарна робота – робота результуючої сили – також не залежить від траєкторії, що й доводить потенційний характер будь-якого електростатичного поля.
Потенційна енергія.Для заряду в електростатичному полі, як і у разі будь-якого потенційного поля, можна запровадити поняття потенційної енергії. Потенційна енергія заряду в будь-якій точці поля визначається як робота, що здійснюється силами поля при переміщенні заряду з цієї точки в деяку фіксовану точку, потенційна енергія якої прийнята рівною нулю. Можна сказати й інакше: ця потенційна енергія дорівнює роботі, що здійснюється зовнішніми силами при перенесенні заряду з вибраної фіксованої точки дану точку поля. Вибір фіксованої точки нульового значення потенційної енергії довільний. Тому потенційна енергія заряду в полі визначена з точністю до певної адитивної постійної. Така неоднозначність потенційної енергії не позначається на фізичних результатах, оскільки у всіх конкретних розрахунках має значення лише зміна енергії при перенесенні заряду з однієї точки поля в іншу.
Потенціал електричного поля.Сила, що діє на заряд, в електричному полі Е пропорційна заряду: Тому і виконувана при деякому переміщенні заряду робота, і його
Потенційна енергія також пропорційна заряду Внаслідок цього зручно розглядати потенційну енергію з розрахунку на одиницю заряду. Виникає у своїй енергетична характеристика електростатичного поля називається потенціалом.
Потенціал у певній точці поля визначається як відношення роботи А, що здійснюється силами поля при переміщенні пробного заряду з даної точки поля у фіксовану точку, потенціал якої прийнято рівним нулю, до цього заряду:
Фізичний сенс має лише різницю потенціалів між будь-якими точками, а чи не власними силами значення потенціалів цих точок.
Потенціал поля точкового заряду.Для електростатичного поля точкового заряду зручно як точку з нульовим потенціалом вибрати нескінченно віддалену точку. Тоді вираз для потенціалу точки, що віддаляється на відстань від заряду, що створює поле, має вигляд
Нагадаємо, що в системі одиниць СДСЕ та в СІ. Відповідно формула (2) записується в одному з двох видів:
Підкреслимо, що у формулах (2) і (2а) для потенціалу стоїть заряд, що створює поле (а не модуль заряду, як у формулах (4) і (4а) попереднього параграфа для модуля напруженості поля). Потенціал поля, створюваного позитивним зарядом усюди позитивний, оскільки робота сил цього поля при переміщенні позитивного пробного заряду в нескінченність будь-якої точки поля позитивна. Аналогічно, потенціал поля негативного заряду всюди негативний. Усе це, як і формули (2) і (2а), справедливо, зрозуміло, під час виборів точки нульового потенціалу на нескінченності.
Такою ж формулою (2) виражається і потенціал поля зовні рівномірно зарядженої кулі, так як його поле не відрізняється від поля такого ж точкового заряду, поміщеного в центр кулі. У всіх точках усередині такої кулі, де напруженість поля дорівнює нулю, потенціал однаковий і має таке саме значення, як і на поверхні кулі.
Потенційна енергія деякого заряду поміщеного в електростатичне поле дорівнює твору на потенціал тієї точки поля, де знаходиться цей заряд:
Якщо заряд знаходиться в полі, створюваному іншим точковим зарядом, то його потенційна енергія, з урахуванням (2), має вигляд
При однойменних зарядах, тобто при відштовхуванні, потенційна енергія позитивна і зменшується при розведенні зарядів. При різноїменних зарядах, тобто при тяжінні, електростатична потенційна енергія, як і потенційна енергія в гравітаційному полі, негативна і зростає при розведенні зарядів.
Принцип суперпозиції для потенціалу.Відповідно до принципу суперпозиції потенціал довільної точки поля кількох зарядів, як випливає з визначення потенціалу, дорівнює сумі алгебри потенціалів, створюваних у цій точці всіма зарядами:
У цьому точка нульового потенціалу вибирається загальної всім зарядів.
Робота електричного поля. Напруга.Робота, що здійснюється силами електростатичного поля при переміщенні деякого заряду з однієї точки в іншу, дорівнює добутку заряду, що переноситься, на різницю потенціалів між початковою і кінцевою точками:
Вираз (6) випливає з визначення потенціалу.
Різниця потенціалів між двома точками зазвичай називають напругою між точками (або напругою)
Як видно з (6), робота сил поля при переміщенні заряду з однієї точки в іншу дорівнює добутку заряду, що переноситься на напругу:
Потенціал, різниця потенціалів і напруга вимірюються в одних і тих самих одиницях. У СГСЕ ця одиниця не має спеціальної назви, а в СІ одиниця напруги називається вольт. При переміщенні заряду в один кулон між точками з різницею потенціалів один вольт електричні силивиконують роботу один джоуль:
Еквіпотенційні поверхні.Наочне графічне зображення електростатичних полів можливе не лише за допомогою картини силових ліній, що дає уявлення про напруженість у кожній точці поля, а й за допомогою еквіпотенційних поверхонь. Еквіпотенційна поверхня це безліч точок, в яких потенціал має одне й те саме значення.
Рис. 13. Лінії напруженості та еквіпотенційні поверхні електричного поля точкового заряду
Зазвичай зображують переріз цих поверхонь будь-якої площиною (площиною креслення), тому малюнки виглядають лініями. Наприклад, для електростатичного поля точкового заряду еквіпотенційні поверхні являють собою концентричні сфери із загальним центром у точці, де знаходиться заряд, що створює поле. На рис. 13 перерізи цих сфер виглядають як концентричні кола.
Силові лінії електростатичного поля перпендикулярні до еквіпотенційних поверхонь. Дійсно, якщо подумки переміщати пробний заряд еквіпотенційною поверхнею, то робота, як видно з (8), дорівнює нулю. Таким чином, сила електричного поля роботи не здійснює, а це можливо, якщо сила перпендикулярна до переміщення.
Два способи зображення електростатичних полів – силовими лініями та еквіпотенційними поверхнями – еквівалентні: маючи одну з цих картин, можна легко побудувати іншу. Особливо наочними є малюнки, на яких зображені обидві ці картини (рис. 14).
Рис. 14. Лінії напруженості та еквіпотенційні поверхні поля різноіменних (а) та однойменних (б) однакових за модулем точкових зарядів
Зв'язок напруженості та потенціалу.Напруженість електростатичного поля та його потенціал пов'язані один з одним. Цей зв'язок легко знайти, розглядаючи роботу сил поля при такому малому переміщенні пробного заряду, щоб напруженість поля можна вважати постійною. З одного боку, ця робота дорівнює скалярному твору сили на переміщення, тобто. З іншого боку, ця робота, відповідно до (8), дорівнює добутку заряду на різницю потенціалів, тобто знак мінус тут виникає тому, що збільшення потенціалу по визначенню дорівнює різниці значень потенціалу в кінцевій і початковій точках: Прирівнюючи обидва вирази для роботи, отримуємо
Скалярний добуток можна представити як добуток проекції напруженості на напрямок вектора переміщення та модуля цього переміщення
Напрямок переміщення можна вибрати довільно. Вибираючи його вздовж однієї з осей координат, (10) отримуємо вираз для проекції вектора Е на відповідну вісь:
Підкреслимо, що у чисельниках цих виразів, відповідно до (9), стоять збільшення потенціалу при малих переміщеннях вздовж відповідних осей координат.
Енергія системи зарядів.До цього часу ми розглядали потенційну енергію деякого заряду, вміщеного в електростатичне полі, створюване іншими зарядами, розташування яких у просторі вважалося незмінним. Однак за фізичною природою пробні заряди та заряди – джерела поля нічим не відрізняються, а потенційна енергія заряду в полі – це енергія взаємодії цих зарядів. Тому в деяких випадках буває зручно надати виразу для потенційної енергії симетричного вигляду, щоб усі заряди - і джерела поля, і пробні - фігурували як рівноправні. Для двох точкових зарядів, що взаємодіють, такий симетричний вид вираження потенційної енергії вже був знайдений - це формула (4). У ній приймається, що потенційна енергія дорівнює нулю, коли заряди розведені на нескінченно велику відстань.
У складніших випадках, коли розглядається кілька взаємодіючих зарядів, сприймається, що потенційна енергія взаємодії дорівнює нулю при якомусь певному взаємне розташуванняцих зарядів. Зручно (хоч і необов'язково) у
В якості цієї конфігурації вибрати таке розташування, коли всі заряди, що взаємодіють, віддалені один від одного на нескінченні відстані. Потенційна енергія системи в будь-якій іншій конфігурації визначається як робота, що здійснюється всіма силами взаємодії при переході системи з цієї конфігурації в положення з нульовою потенційною енергією. У той самий час ця потенційна енергія дорівнює роботі, здійснюваної зовнішніми силами під час перенесення всіх набоїв із становища з нульової потенційної енергією в задану конфигурацию.
Енергія взаємодії системи нерухомих точкових зарядів виражається формулою
де - потенціал поля, створюваного всіма зарядами, крім тієї точці, де знаходиться заряд:
Тут – відстань між зарядами.
Для підтвердження формули (12) можна використовувати метод математичної індукції. Насамперед зазначимо, що для
2 ця формула збігається з отриманою раніше формулою (4): сума містить два складові:
де відповідно до (13)
Підставляючи ці значення (14), отримуємо формулу (4).
Тепер припустимо, що формула (12) є справедливою для точкових зарядів, і доведемо її справедливість для системи зарядів. При внесенні заряду з нескінченності енергія системи зміниться на величину, рівну роботі, що здійснюється зовнішніми силами:
Тут згідно з припущенням, визначається формулою (12), а робота, що здійснюється зовнішніми силами при переміщенні заряду з нескінченності в точку поля з потенціалом дорівнює де
Потенціал цієї точки поля, створюваний усіма зарядами, крім
Після внесення заряду змінюються потенціали всіх точок поля, крім тієї, де знаходиться заряд. Потенціал точки, в якій знаходиться заряд, тепер дорівнюватиме
Виразимо енергію системи зарядів (15) через нові значення потенціалів за допомогою співвідношень (17):
Сума творів на другий доданок у дужках у правій частині цієї рівності, в силу формули (16), дорівнює Тому
Таким чином, формула (12) для енергії системи точкових набоїв доведена.
Доведіть, що електростатичне поле, що створюється відокремленим точковим зарядом, є потенційним.
Доведіть, що поле, яке створюється будь-яким розподілом нерухомих електричних зарядів, потенційно.
Що означає принцип суперпозиції стосовно енергетичній характеристиціелектростатичного поля – потенціалу?
Доведіть справедливість формули (6), розглядаючи роботу поля при переміщенні заряду з початкової точки I до нескінченності, а потім із нескінченності до точки 2.
Чому дорівнює робота сил електростатичного поля при переміщенні заряду по замкнутому контуру?
Доведіть, що поле є потенційним, якщо робота сил цього поля при переміщенні по будь-якому замкнутому контуру дорівнює нулю.
Намалюйте картину силових ліній та еквіпотенційних поверхонь однорідного електростатичного поля.
Чи може існувати електростатичне поле, силові лініїякого є паралельні прямі зі змінною густотою (рис. 15)?
У чому різниця поняття потенційної енергії пробного заряду, що у електростатичному полі двох зарядів, і поняття потенційної енергії всіх трьох зарядів?
Висновок формули.Доведемо справедливість формули (2) для потенціалу відокремленого точкового заряду. Потенціал у точці Р, що знаходиться на відстані від заряду дорівнює роботі, що здійснюється силами поля при переміщенні одиничного позитивного заряду з точки Р нескінченно віддалену точку. Оскільки сила, що діє на одиничний заряд, дорівнює напруженості поля Е, то вираз для роботи, що цікавить нас, рівної потенціалуу точці Р, запишеться у вигляді
Інтегрування тут може виконуватися вздовж будь-якого шляху, що проходить з точки Р в нескінченність, оскільки робота сил потенційного поля не залежить від форми траєкторії. Виберемо цей шлях вздовж прямої, що проходить із заряду через цю точку Р на нескінченність. Оскільки напруженість поля Е спрямована вздовж цієї прямої (від заряду при і до заряду при цьому скалярний твір можна записати як
якщо початок координат вибрано в точці, де знаходиться заряд Інтегрування (18) тепер виконується в межах від до
Про модель точкового заряду.Звернемо увагу на те, що і напруженість, і потенціал поля точкового заряду необмежено зростають (прагнуть нескінченності) при наближенні точки Р до того місця, де розташований заряд, що створює поле. Фізично це безглуздо, тому що відповідає зверненню в нескінченність та сили, що діє на пробний заряд, та його потенційної енергії. Все це говорить про те, що сама модель точкового заряду має обмежену сферу застосування.
Якою мірою для елементарних частинокли використовувати модель точкового заряду? Експерименти на великих прискорювачах показали, що нуклони мають внутрішню структуру. Заряд у них розподілений деяким чином за обсягом, причому не тільки у протона, але навіть у нейтрона, який в цілому електрично нейтральний. Щодо електронів, то для них модель точкового заряду «працює» аж до відстаней порядку так званого класичного радіусу електрона див.
Напруженість як градієнт потенціалу.Повернемося тепер до формул, що виражають напруженість будь-якого електростатичного поля через його потенціал. З формул (11) випливає, що проекції вектора Е напруженості поля на осі координат можна розглядати як взяті з протилежним знаком похідні за відповідними координатами від потенціалу скалярної функції координат При обчисленні будь-якої з цих похідних, наприклад, x, дві інші змінні, y вважати фіксованими. Такі похідні функції кількох змінних у математиці називають приватними похідними та позначають як вектор, проекції якого рівні приватним похідним скалярної функції за відповідними координатами, називається градієнтом цієї скалярної функції. Таким чином, напруженість Е електричного поля – це взятий зі знаком мінус градієнт потенціалу. Записують це так:
Тут V – символічний вектор, проекції якого на осі координат – операції диференціювання:
Орти декартової системи координат.
Чим швидше змінюється у просторі потенціал, то більше вписувалося модуль його градієнта, т. е. модуль напруженості електричного поля. «Дивиться» вектор напруженості у тому напрямі, у якому потенціал зменшується найшвидше, т. е. перпендикулярно еквіпотенційним поверхням. Побачити, що вектор Е спрямований саме таким чином, можна за допомогою формули (9): якщо з точки, що розглядається, здійснити однакові за модулем переміщення у всіляких напрямках, то найбільша зміна потенціалу відбудеться тоді, коли це переміщення спрямоване вздовж вектора Е.
На якій властивості електростатичного поля ґрунтується вибір шляху інтегрування у формулі (18)?
Чому для поля точкового заряду точку нульового значення потенціалу не можна вибрати там, де знаходиться сам заряд?
Поясніть, чому напруженість електричного поля спрямована у бік найшвидшого зменшення потенціалу.