Складні функції та їх похідні. Знайти похідну: алгоритм та приклади рішень

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті вирішення завдань про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій визначення похідної як межі відношення прирощення до прирощення аргументу з'явилися таблиця похідних і точно визначені правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згадану вище межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних та правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїта визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твору, суми та частки - у правилах диференціювання. Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікса" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косінус. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

приклад 2.Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюємо як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки що виникають питання, звідки береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних та найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є у виразі функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, тому що потрібно дуже часто
2. Похідна незалежною змінною. Найчастіше "ікса". Завжди дорівнює одиниці. Це також важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. У ступінь під час вирішення завдань необхідно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної у ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенсу
10. Похідна арксинуса
11. Похідна арккосинусу
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифму
15. Похідна логарифмічна функція
16. Похідна експоненти
17. Похідна показової функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми чи різниці
2. Похідна твори
2a. Похідна вирази, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1.Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції

причому

тобто. похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, тобто.

Правило 2Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх добуток

причому

тобто. похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій похідну інший.

Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Наслідок 2. Похідна твори декількох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів похідної кожного з співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3Якщо функції

диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватнеu/v , причому

тобто. похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної твори і частки у реальних завданнях завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - у статті"Виробничі твори та приватні функції".

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У разі доданку її похідна дорівнює нулю, а разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапівивчення похідних, але з розв'язання кількох одно- двухсоставных прикладів середній студент цієї помилки не робить.

А якщо при диференціюванні твору чи приватного у вас з'явився доданок u"v, в якому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок буде дорівнює нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).

Інша часта помилка - механічне рішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , то слідуйте на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями та корінням".

Якщо ж перед Вами завдання начебто , то Вам на заняття "Виробні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

приклад 3.Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники - суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 - на нуль. У другому виразі "ікс" помножено на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікса". Отримуємо такі значення похідних:

Підставляємо знайдені похідні у суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

А перевірити розв'язання задачі на похідну можна на .

приклад 4.Знайти похідну функції

Рішення. Від нас потрібно знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання частки: похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. Отримуємо:

Похідну співмножників у чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником у чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте вирішення таких завдань, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів та ступенів, як, наприклад, , то ласкаво просимо на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями і корінням" .

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричні функції, тобто, коли функція має вигляд начебто , то Вам на урок "Виробні простих тригонометричних функцій" .

Приклад 5.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомились у таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:

Перевірити рішення задачі на похідну можна на калькуляторі похідних онлайн .

Приклад 6.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь із незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на .

Якщо ти зайшов сюди, то вже, напевно, встиг побачити у підручнику цю формулу

і зробити ось таке обличчя:

Друг, не хвилюйся! Насправді все просто до неподобства. Ти обов'язково все зрозумієш. Тільки одне прохання – прочитай статтю не кваплячись, намагайся зрозуміти кожен крок. Я писав максимально просто та наочно, але вникнути в ідею все одно треба. І обов'язково виріши завдання із статті.

Що таке складна функція?

Уяви, що ти переїжджаєш в іншу квартиру і тому збираєш речі у великі коробки. Нехай треба зібрати якісь дрібні предмети, наприклад, шкільне письмове приладдя. Якщо просто скидати їх у величезну коробку, вони загубляться серед інших речей. Щоб цього уникнути, ти спочатку кладеш їх, наприклад, у пакет, який потім вкладаєш у велику коробку, після чого її запечатуєш. Цей "найскладніший" процес представлений на схемі нижче:

Здавалося б, до чого тут математика? Та при тому, що складна функція формується точно таким же способом! Тільки «упаковуємо» ми не зошити і ручки, а (x), при цьому «пакетами» і «коробками» служать різні.

Наприклад, візьмемо x і «запакуємо» його у функцію:

В результаті отримаємо, ясна річ, \(\cos⁡x). Це наш «пакет із речами». А тепер кладемо його в "коробку" - запаковуємо, наприклад, у кубічну функцію.

Що вийде у результаті? Так, мабуть, буде "пакет з речами в коробці", тобто "косинус ікса в кубі".

Конструкція, що вийшла, і є складна функція. Вона відрізняється від простої тим, що до одного ікса застосовується КІЛЬКА «впливів» (упаковок) поспільі виходить як би "функція від функції" - "упаковка в упаковці".

У шкільному курсівидів цих самих «упаковок» зовсім мало, всього чотири:

Давай тепер «упакуємо» ікс спочатку в показову функціюз основою 7, а потім у тригонометричну функцію . Отримаємо:

$x → 7^x → tg⁡(7^x)$

А тепер «упакуємо» ікс двічі на тригонометричні функції, спочатку в , а потім у :

$x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)$

Просто, правда?

Напиши тепер сам функції, де ікс:
- спочатку «упаковується» в косинус, а потім у показову функцію з основою (3);
- спочатку у п'яту ступінь, а потім у тангенс;
- спочатку в логарифм на підставі $4$ потім у ступінь $-2$.

Відповіді на це завдання подивися наприкінці статті.

А чи можемо ми «упакувати» ікс не двічі, а тричі? Да без проблем! І чотири, і п'ять, і двадцять і п'ять разів. Ось, наприклад, функція, в якій ікс «упакований» (4) рази:

$y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))$

Але такі формули у шкільній практиці не зустрінуться (студентам пощастило більше – у них може бути й складніше☺).

«Розпакування» складної функції

Подивися на попередню функцію ще раз. Чи зможеш ти розібратися в послідовності "упаковки"? У що ікс запхали спочатку, а потім і так далі до самого кінця. Тобто – яка функція вкладена у яку? Візьми листок та запиши, як ти вважаєш. Можна зробити це ланцюжком зі стрілками, як ми писали вище або будь-яким іншим способом.

Тепер правильна відповідь: спочатку ікс «упакували» в $4$-ий ступінь, потім результат упаковали в синус, його в свою чергу помістили в логарифм на підставі $2$, і зрештою всю цю конструкцію засунули в ступінь п'ятірки.

Тобто розмотувати послідовність треба в зворотному порядку. І тут підказка як це робити простіше: одразу дивися на ікс – від нього і треба танцювати. Давай розберемо кілька прикладів.

Наприклад, така функція: $y=tg⁡(\log_2⁡x)$. Дивимось на ікс - що з ним відбувається спочатку? Береться від нього. А потім? Береться тангенс від результату. Ось і послідовність буде така сама:

$x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)$

Ще приклад: $y=\cos⁡((x^3))$. Аналізуємо – спочатку ікс звели до куба, а потім від результату взяли косинус. Отже, послідовність буде: $x → x^3 → \cos⁡((x^3))$. Зверніть увагу, функція начебто схожа на першу (там, де з картинками). Але це зовсім інша функція: тут у кубі ікс (тобто $\cos⁡((x·x·x)))$, а там у кубі косинус $x$ (тобто $\cos⁡) x·\cos⁡x·\cos⁡x$). Ця різниця виникає через різні послідовності «упаковки».

Останній приклад (з важливою інформацією у ньому): $y=\sin⁡((2x+5))$. Зрозуміло, що спочатку зробили арифметичні дії з іксом, потім від результату взяли синус: $x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))$. І це важливий момент: незважаючи на те, що арифметичні дії функціями власними силами не є, тут вони теж виступають як спосіб «упаковки». Давай трохи заглибимося в цю тонкість.

Як я вже говорив вище, у простих функціях ікс «упаковується» один раз, а в складних – два і більше. При цьому будь-яка комбінація простих функцій (тобто їх сума, різницю, множення чи поділ) - також проста функція. Наприклад, $x^7$ - проста функція і $ctg x$ - теж. Значить, і всі їх комбінації є простими функціями:

$x^7+ ctg x$ - проста,
$x^7· ctg x$ – проста,
$\frac(x^7)(ctg x)$ - проста і т.д.

Однак, якщо до такої комбінації застосувати ще одну функцію – буде вже складна функція, оскільки «упаковок» стане дві. Дивись схему:

Добре, давай тепер сам. Напиши послідовність «загортання» функцій:
$y=cos(⁡(sin⁡x))$
$y=5^(x^7)$
$y=arctg⁡(11^x)$
$y=log_2⁡(1+x)$
Відповіді знову наприкінці статті.

Внутрішня та зовнішня функції

Навіщо нам потрібно розбиратися у вкладеності функцій? Що це нам дає? Справа в тому, що без такого аналізу ми не зможемо надійно знаходити похідні розібраних вище функцій.

І для того, щоб рухатися далі, нам потрібні ще два поняття: внутрішня та зовнішня функції. Це дуже проста річ, більше того, насправді ми їх уже розібрали вище: якщо згадати нашу аналогію на самому початку, то внутрішня функція – це пакет, а зовнішня – це коробка. Тобто. те, у що ікс "загортають" спочатку - це внутрішня функція, а те, у що "загортають" внутрішню - вже зовнішня. Ну, зрозуміло чому – вона ж зовні, отже, зовнішня.

Ось у цьому прикладі: $y=tg⁡(log_2⁡x)$, функція $\log_2⁡x$ – внутрішня, а
- Зовнішня.

А в цьому: $y=\cos⁡((x^3+2x+1))$, $x^3+2x+1$ - внутрішня, а
- Зовнішня.

Виконай останню практику аналізу складних функцій, і перейдемо, нарешті, до того, заради чого все починалося - знаходитимемо похідні складних функцій:

Заповни пропуски у таблиці:

Похідна складної функції

Браво нам, ми все ж таки дісталися «босу» цієї теми – власне, похідної складної функції, саме, до тієї жахливої формули з початку статьи.☺

$(f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)$

Формула ця читається так:

Похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за незмінною внутрішньою на похідну внутрішньої функції.

І відразу дивися схему розбору "за словами" щоб розуміти, що до чого ставитися:

Сподіваюся, терміни «похідна» та «твор» труднощів не викликають. "Складну функцію" - ми вже розібрали. Загвоздка в «похідній зовнішньої функції за незмінною внутрішньою». Що це таке?

Відповідь: це звичайна похідна зовнішньої функції, коли він змінюється лише зовнішня функція, а внутрішня залишається такою ж. Все одно незрозуміло? Добре, давай на прикладі.

Нехай ми маємо функцію $y=\sin⁡(x^3)$. Зрозуміло, що внутрішня функція тут (x^3), а зовнішня
. Знайдемо тепер похідну зовнішньої за незмінною внутрішньою.

Якщо слідувати визначенню, то похідна функції у точці — це межа відношення збільшення функції Δ yдо збільшення аргументу Δ x:

Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x· sin x. Якщо все робити за визначенням, то через кілька сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші та ефективніші способи.

Спочатку зазначимо, що з усього різноманіття функцій можна назвати звані елементарні функції. Це відносно прості вирази, похідні яких давно обчислені та занесені до таблиці. Такі функції досить просто запам'ятати — разом із їх похідними.

Похідні елементарних функцій

Елементарні функції – це все, що наведено нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше, що завчити їх зовсім нескладно — на те вони й елементарні.

Отже, похідні елементарних функцій:

Назва	Функція	Похідна
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (так-так, нуль!)
Ступінь із раціональним показником	f(x) = x n	n · x n − 1
Сінус	f(x) = sin x	cos x
Косінус	f(x) = cos x	− sin x(мінус синус)
Тангенс	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Натуральний логарифм	f(x) = ln x	1/x
Довільний логарифм	f(x) = log a x	1/(x· ln a)
Показова функція	f(x) = e x	e x(нічого не змінилось)

Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції також легко вважається:

(C · f)’ = C · f ’.

Загалом константи можна виносити за знак похідної. Наприклад:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 · 3 x 2 = 6x 2 .

Очевидно, елементарні функції можна складати одна з одною, множити, ділити і багато іншого. Так з'являться нові функції, не особливо елементарні, але теж диференційовані за певними правилами. Ці правила розглянуті нижче.

Похідна суми та різниці

Нехай дані функції f(x) та g(x), похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми та різниці цих функцій:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго кажучи, в алгебрі немає поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − gможна переписати як суму f+ (−1) · gі тоді залишиться лише одна формула — похідна суми.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cos x;

Аналогічно міркуємо для функції g(x). Тільки там уже три доданки (з погляду алгебри):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Відповідь:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Похідна робота

Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"> дорівнює твору похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула проста, але її часто забувають. І не лише школярі, а й студенти. Результат – неправильно вирішені завдання.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Функція f(x) є твір двох елементарних функцій, тому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)' · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x) = x 2 · (3cos x − x· sin x)

У функції g(x) перший множник трохи складніше, але загальна схема від цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) є багаточлен, і його похідна - це похідна суми. Маємо:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x· sin x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Зверніть увагу, що на останньому етапі похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, проте більшість похідних обчислюються не власними силами, а щоб дослідити функцію. А значить, далі похідна прирівнюватиметься до нуля, з'ясовуватимуться її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладений на множники.

Якщо є дві функції f(x) та g(x), причому g(x) ≠ 0 на цікавій для нас безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції також можна знайти похідну:

Неслабо, так? Звідки взявся мінус? Чому g 2? А ось так! Це одна із найскладніших формул — без пляшки не розберешся. Тому краще вивчати її на конкретні приклади.

Завдання. Знайти похідні функції:

У чисельнику та знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно – це формула похідної частки:

За традицією, розкладемо чисельник на множники — це значно спростить відповідь:

Складна функція - це не обов'язково формула завдовжки півкілометра. Наприклад, достатньо взяти функцію f(x) = sin xта замінити змінну x, скажімо, на x 2 + ln x. Вийде f(x) = sin ( x 2 + ln x) - це і є складна функція. Вона теж має похідну, проте знайти її за правилами, розглянутими вище, не вийде.

Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:

f ’(x) = f ’(t) · t', якщо xзамінюється на t(x).

Як правило, з розумінням цієї формули справа ще сумніше, ніж з похідною приватного. Тому її теж краще пояснити на конкретних прикладах, докладним описомкожного кроку.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = sin ( x 2 + ln x)

Зауважимо, що якщо у функції f(x) замість виразу 2 x+ 3 буде просто x, то вийде елементарна функція f(x) = e x. Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Шукаємо похідну складної функції за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

А тепер – увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x+ 3. Отримаємо:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 · (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 · 2 = 2 · e 2x + 3

Тепер розберемося із функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. Маємо:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Зворотна заміна: t = x 2 + ln x. Тоді:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

От і все! Як очевидно з останнього висловлювання, все завдання звелося до обчислення похідної суми.

Відповідь:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos ( x 2 + ln x).

Дуже часто на своїх уроках замість терміну "похідна" я використовую слово "штрих". Наприклад, штрих від суми дорівнює сумі штрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.

Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення цих самих штрихів за правилами, розглянутими вище. Як останній приклад повернемося до похідного ступеня з раціональним показником:

(x n)’ = n · x n − 1

Мало хто знає, що в ролі nцілком може виступати дрібне число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, коли під корінням стоятиме щось наворочене? Знову вийде складна функція – такі конструкції люблять давати на контрольних робітах та іспитах.

Завдання. Знайти похідну функції:

Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x− 7. Маємо:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Нарешті, повертаємось до коріння:

І теорему про похідну складну функцію, формулювання якої така:

Нехай 1) функція $u=\varphi (x)$ має у певній точці $x_0$ похідну $u_(x)"=\varphi"(x_0)$; 2) функція $y=f(u)$ має у відповідній точці $u_0=\varphi (x_0)$ похідну $y_(u)"=f"(u)$. Тоді складна функція $y=f\left(\varphi (x) \right)$ у згаданій точці також матиме похідну, рівну добутку похідних функцій $f(u)$ і $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

або, у більш короткому записі: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

У прикладах цього розділу всі функції мають вигляд $y=f(x)$ (тобто розглядаємо лише функції однієї змінної $x$). Відповідно, у всіх прикладах похідна $y"$ береться за змінною $x$. Щоб підкреслити те, що похідна береться за змінною $x$, часто замість $y"$ пишуть $y"_x$.

У прикладах №1, №2 та №3 викладено докладний процес знаходження похідної складних функцій. Приклад №4 призначений більш повного розуміння таблиці похідних і з ним має сенс ознайомитися.

Бажано після вивчення матеріалу у прикладах №1-3 перейти до самостійного рішенняприкладів №5, №6 та №7. Приклади №5, №6 та №7 містять коротке рішення, щоб читач міг перевірити правильність свого результату.

Приклад №1

Знайти похідну функції $y=e^(\cos x)$.

Нам потрібно знайти похідну складної функції $y"$. Оскільки $y=e^(\cos x)$, то $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Щоб знайти похідну $ \left(e^(\cos x)\right)"$ використовуємо формулу №6 з таблиці похідних . Щоб використати формулу №6, потрібно врахувати, що в нашому випадку $u=\cos x$. Подальше рішення полягає у банальній підстановці у формулу №6 виразу $\cos x$ замість $u$:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Тепер потрібно знайти значення виразу $(\cos x)"$. Знову звертаємося до таблиці похідних, вибираючи з неї формулу №10. Підставляючи $u=x$ у формулу №10, маємо: $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Тепер продовжимо рівність (1.1), доповнивши його знайденим результатом:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Оскільки $x"=1$, то продовжимо рівність (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Отже, з рівності (1.3) маємо: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Природно, що пояснення та проміжні рівності зазвичай пропускають, записуючи перебування похідної в один рядок, - як у рівності ( 1.3) Отже, похідна складної функції знайдена, залишилося лише записати відповідь.

Відповідь: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Приклад №2

Знайти похідну функції $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Нам необхідно обчислити похідну $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Спочатку відзначимо, що константу (тобто число 9) можна винести за знак похідної:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Тепер звернемося до виразу $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Щоб вибрати потрібну формулу з таблиці похідних було легше, я представлю вираз, що розглядається в такому вигляді: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Тепер видно, що потрібно використовувати формулу №2, тобто. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. У цю формулу підставимо $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ і $\alpha=12$:

Доповнюючи рівність (2.1) отриманим результатом, маємо:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

У цій ситуації часто допускається помилка, коли вирішувач на першому кроці вибирає формулу $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ замість формули $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Справа в тому, що першою повинна бути похідна зовнішньої функції. Щоб зрозуміти, яка саме функція буде зовнішньою для вираження $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, уявіть, що ви вважаєте значення виразу $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ за якогось значення $x$. Спочатку ви порахуєте значення $5^x$, потім помножите результат на 4, отримавши $4\cdot 5^x$. Тепер від цього результату беремо арктангенс, отримавши $ arcctg (4 cdot 5 ^ x) $. Потім зводимо отримане число в дванадцятий ступінь, отримуючи $ arctg (12) (4 cdot 5 x) $. Остання дія, - тобто. зведення у ступінь 12, - і буде зовнішньою функцією. І саме з неї слід починати перебування похідної, що було зроблено рівності (2.2).

Тепер потрібно знайти $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Використовуємо формулу №19 таблиці похідних, підставивши в неї $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Трохи спростимо отриманий вираз, враховуючи $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Рівність (2.2) тепер стане такою:

Залишилося знайти $(4\cdot \ln x)"$. Винесемо константу (тобто 4) за знак похідної: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$. того, щоб знайти $(\ln x)"$ використовуємо формулу №8, підставивши в неї $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"$. Оскільки $x"=1$, то $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x )$.Підставивши отриманий результат у формулу (2.3), отримаємо:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)). $

Нагадаю, що похідна складної функції найчастіше знаходиться в один рядок - як записано в останній рівності. Тому при оформленні типових розрахунків або контрольних робіт зовсім не обов'язково розписувати рішення так само детально.

Відповідь: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Приклад №3

Знайти $y"$ функції $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Для початку трохи змінимо функцію $y$, висловивши радикал (корінь) у вигляді ступеня: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Тепер приступимо до знаходження похідної. Оскільки $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, то:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Використовуємо формулу №2 з таблиці похідних , підставивши до неї $u=\sin(5\cdot 9^x)$ і $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Продовжимо рівність (3.1), використовуючи отриманий результат:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Тепер потрібно знайти $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Використовуємо для цього формулу №9 з похідних таблиці, підставивши в неї $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Доповнивши рівність (3.2) отриманим результатом, маємо:

Залишилося знайти $(5\cdot 9^x)"$. Для початку винесемо константу (число $5$) за знак похідної, тобто $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x) "$. Для знаходження похідної $(9^x)"$ застосуємо формулу №5 таблиці похідних, підставивши до неї $a=9$ і $u=x$: $(9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Оскільки $x"=1$, то $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Тепер можна продовжити рівність (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Можна знову від ступенів повернутися до радикалів (тобто коріння), записавши $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ у вигляді $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Тоді похідна буде записана у такій формі:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Відповідь: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Приклад №4

Показати, що формули №3 і №4 таблиці похідних є окремий випадок формули №2 цієї таблиці.

У формулі №2 таблиці похідних записано похідну функцію $u^\alpha$. Підставляючи $\alpha=-1$ у формулу №2, отримаємо:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Оскільки $u^(-1)=\frac(1)(u)$ і $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, то рівність (4.1) можна переписати так: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Це і є формула №3 таблиці похідних.

Знову звернемося до формули №2 таблиці похідних. Підставимо до неї $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Оскільки $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ і $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, то рівність (4.2) можна переписати в такому вигляді:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Отримана рівність $(sqrt(u))"=\frac(1)(2sqrt(u))cdot u"$ і є формула №4 таблиці похідних. Як бачите, формули №3 та №4 таблиці похідних виходять із формули №2 підстановкою відповідного значення $ alfa $.

Якщо g(x) та f(u) – функції своїх аргументів, що диференціюються відповідно в точках xі u= g(x), то складна функція також диференційована у точці xі знаходиться за формулою

Типова помилка під час вирішення завдань похідні - машинальне перенесення правил диференціювання простих функцій на складні функції. Вчитимемося уникати цієї помилки.

приклад 2.Знайти похідну функції

Неправильне рішення:обчислювати натуральний логарифм кожного складника в дужках та шукати суму похідних:

Правильне рішення:знову визначаємо, де "яблуко", а де "фарш". Тут натуральний логарифм від вираження у дужках - це "яблуко", тобто функція за проміжним аргументом u, а вираз у дужках - "фарш", тобто проміжний аргумент uпо незалежній змінній x.

Тоді (застосовуючи формулу 14 з похідних таблиці)

У багатьох реальних завданнях вираз із логарифмом буває дещо складнішим, тому і є урок

приклад 3.Знайти похідну функції

Неправильне рішення:

Правильне рішення.Вкотре визначаємо, де "яблуко", а де "фарш". Тут косинус від виразу у дужках (формула 7 у таблиці похідних)- це "яблуко", воно готується в режимі 1, що впливає тільки на нього, а вираз у дужках (похідна ступеня - номер 3 у таблиці похідних) - це "фарш", він готується при режимі 2, що впливає лише на нього. І як завжди поєднуємо дві похідні знаком твору. Результат:

Похідна складної логарифмічної функції - часте завдання на контрольних роботах, тому рекомендуємо відвідати урок "Виробна логарифмічна функція".

Перші приклади були складні функції, у яких проміжний аргумент з незалежної змінної був простою функцією. Але в практичних завданнях нерідко потрібно знайти похідну складної функції, де проміжний аргумент або сам є складною функцією або містить таку функцію. Що робити у таких випадках? Знаходити похідні таких функцій за таблицями та правилами диференціювання. Коли знайдено похідна проміжного аргументу, вона просто підставляється у потрібне місце формули. Нижче – два приклади, як це робиться.

Крім того, корисно знати таке. Якщо складна функція може бути представлена у вигляді ланцюжка з трьох функцій

то її похідну слід шукати як добуток похідних кожної з таких функций:

Для вирішення багатьох ваших домашніх завдань може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .

приклад 4.Знайти похідну функції

Застосовуємо правило диференціювання складної функції, не забуваючи, що в отриманому творі похідних проміжний аргумент щодо незалежної змінної xне змінюється:

Готуємо другий співмножник твору та застосовуємо правило диференціювання суми:

Другий доданок - корінь, тому

Таким чином отримали, що проміжний аргумент, що є сумою, як один із доданків містить складну функцію: зведення в ступінь - складна функція, а те, що зводиться в ступінь - проміжний аргумент по незалежній змінній x.

Тому знову застосуємо правило диференціювання складної функції:

Ступінь першого співмножника перетворимо на корінь, а диференціюючи другий співмножник, не забуваємо, що похідна константи дорівнює нулю:

Тепер можемо знайти похідну проміжного аргументу, необхідного для обчислення похідної складної функції, що вимагається в умові завдання. y:

Приклад 5.Знайти похідну функції

Спочатку скористаємося правилом диференціювання суми:

Набули суму похідних двох складних функцій. Знаходимо першу з них:

Тут зведення синуса в ступінь - складна функція, а сам синус - проміжний аргумент щодо незалежної змінної x. Тому скористаємося правилом диференціювання складної функції, принагідно виносячи множник за дужки :

Тепер знаходимо другий доданок з утворюють похідну функції y:

Тут зведення косинуса в ступінь – складна функція f, а сам косинус - проміжний аргумент щодо незалежної змінної x. Знову скористаємося правилом диференціювання складної функції:

Результат - необхідна похідна:

Таблиця похідних деяких складних функцій

Для складних функцій виходячи з правила диференціювання складної функції формула похідної простий функції приймає інший вид.

1. Похідна складної статечної функції, де u x
2. Похідне коріння від виразу
3. Похідна показової функції
4. Окремий випадок показової функції
5. Похідна логарифмічна функція з довільною позитивною основою а
6. Похідна складної логарифмічної функції, де u- Диференційована функція аргументу x
7. Похідна синуса
8. Похідна косинуса
9. Похідна тангенса
10. Похідна котангенсу
11. Похідна арксинусу
12. Похідна арккосинусу
13. Похідна арктангенса
14. Похідна арккотангенса