Ми вже знаємо, по-перше, що провідник зі струмом створює навколо себе магнітне поле, по-друге, що провідник зі струмом, перебуваючи в магнітному полі, піддається впливу сили.
З цього випливає таке наслідок: два дроти зі струмом мають впливати один на інший. Справді, розглянемо два паралельні дроти, струми у яких мають протилежні напрямки (рис. 2.16).
Струм першого з них створює навколо себе магнітне поле, показане на рис. 2.36 однією круговою лінією. Ця лінія проходить через другий провід. Застосовуючи правило лівої руки до другого дроту, легко переконатися, що він відштовхується від першого.
Сила, з якою перший струм, спрямований на нас, діє на другий, дорівнює за величиною і протилежна у напрямку тієї сили, з якою другий струм діє на перший.
Рис. 2.16. Проводи із протилежно спрямованими струмами взаємно відштовхуються. На малюнку зображено переріз проводів площиною креслення. Напрямок струмів схематично зображено точкою (вістря стрілки, спрямованої до нас) і хрестиком (хвіст стрілки, спрямованої від нас). Кільцева лінія показує магнітне поле першого струму. Застосовуючи правило лівої руки визначення сили, що діє другий провід, потрібно розмістити ліву руку долонею вниз і витягнути чотири пальці убік креслення. Відігнутий великий палецьпокаже, що сила спрямована праворуч
між спрямованими в протилежні сторониструмами існують сили відштовхування. Між струмами однакового напрямку існують сили тяжіння.
Доказ цього надаємо читачеві (рис. 2.17).
Рис. 2.17. Проводи з однаково спрямованими струмами взаємно притягуються
Обчислення сили взаємодії прямолінійних паралельних дротів.
Покажемо, як обчислюється сила взаємодії двох прямолінійних паралельних проводів, що обтікають струмами. Навколо прямолінійного дроту зі струмом I створюється магнітне поле, індукція якого дорівнює
Тут d – відстань від осі дроту до тієї точки поля, індукцію в якій ми шукаємо; ; Вочевидь, що більше це відстань, тим менше відповідне значення магнітної індукції.
Вимірюючи струм в амперах, а відстань d – у метрах, отримуємо значення магнітної індукції у теслах.
Якщо в магнітному полі, створеному струмом I, знаходиться інший провід із струмом Г, то сила, що діє на нього, дорівнює (див. формулу § 2.5)
Розрахуємо силу взаємодії між двома проводами, відстань між якими дорівнює 20 см, в умовах короткого замикання, тобто при дуже великому струмі, наприклад 30 000 А. Перший провід створює поле, індукція якого на відстані 20 см виявляється рівною
Якщо довжина проводів дорівнює 1 м, то сила взаємодії проводів
Якщо близько один до одного розташовані провідники зі струмами одного напрямку, то магнітні лінії цих провідників, що охоплюють обидва провідники, володіючи властивістю поздовжнього натягу і прагнучи скоротитися, будуть примушувати провідники (рис. 90, а).
Магнітні лінії двох провідників із струмами різних напрямків у просторі між провідниками спрямовані в один бік. Магнітні лінії, які мають однаковий напрямок, взаємно відштовхуватимуться. Тому провідники зі струмами протилежного напрямку відштовхуються один від одного (рис. 90, б).
Розглянемо взаємодію двох паралельних провідників із струмами, розташованими на відстані а один від одного. Нехай довжина провідників дорівнює l.
Магнітна індукція, створена струмом I 1 лінії розташування другого провідника, дорівнює
На другий провідник діятиме електромагнітна сила
Магнітна індукція, створена струмом I 2 на лінії розташування першого провідника, дорівнюватиме
і перший провідник діє електромагнітна сила
рівна за величиною силою F 2
Силу, що діє з боку магнітного поляна заряди, що рухаються в ньому, називають силою Лоренца.
Сила Лоренца визначається співвідношенням:
F л = q·V·B·sina
де q - величина заряду, що рухається;
V – модуль його швидкості;
B – модуль вектора індукції магнітного поля;
a - кут між вектором швидкості заряду та вектором магнітної індукції.
Зверніть увагу, що сила Лоренца перпендикулярна швидкості і тому вона не виконує роботи, не змінює модуль швидкості заряду та його кінетичної енергії. Але напрямок швидкості змінюється безперервно
Сила Лоренца перпендикулярна векторам В і v і її напрям визначається за допомогою того ж правила лівої руки, що і напрям сили Ампера: якщо ліву руку розташувати так, щоб складова магнітної індукції, перпендикулярна швидкості заряду, входила в долоню, а чотири пальці були спрямовані на рух позитивного заряду (проти руху негативного), то відігнутий на 90 градусів великий палець покаже напрямок чинної на заряд сили Лоренца F л.
Сила Лоренца залежить від модулів швидкості частки та індукції магнітного поля. Ця сила перпендикулярна швидкості і, отже, визначає доцентрове прискорення частки. Частка рівномірно рухається по колу радіусу r
Ефект Хо́ла- явище виникнення поперечної різниці потенціалів (називається також холловською напругою) при приміщенні провідника з постійним струмом в магнітне поле. Відкритий Едвіном Холлом у 1879 році у тонких платівках золота.
У найпростішому розгляді ефект Холла виглядає так. Нехай через металевий брус у слабкому магнітному полі B тече електричний струмпід дією напруженості E. Магнітне поле відхилятиме носії заряду (для певності електрони) від їх руху вздовж або проти електричного полядо однієї із граней бруса. При цьому критерієм небагато буде умова, що при цьому електрон не почне рухатися по циклоїді.
Таким чином, сила Лоренца призведе до накопичення негативного заряду біля однієї грані бруска та позитивного протилежної. Накопичення заряду триватиме до тих пір, поки електричне поле зарядів E1, що виникло, не компенсує магнітну складову сили Лоренца:
Швидкість електронів v можна виразити через густину струму:
де n – концентрація носіїв заряду. Тоді
Коефіцієнт пропорційності між E1 та jB називається коефіцієнтом (або константою) Холла. У цьому наближенні знак постійної Холла залежить від знака носіїв заряду, що дозволяє визначати їх тип великого числа металів. Для деяких металів (наприклад, таких, як алюміній, цинк, залізо, кобальт), у сильних полях спостерігається позитивний знак RH, що пояснюється напівкласичною і квантової теоріїтвердого тіла.
Електромагнітна індукція- явище виникнення електричного струму в замкнутому контурі за зміни магнітного потоку через нього.
Електромагнітна індукція була відкрита Майклом Фарадеєм у 1831 році. Він виявив, що електрорушійна сила, що виникає в замкненому провідному контурі, пропорційна швидкості зміни магнітного потоку через поверхню, обмежену цим контуром. Величина е.р.с. не залежить від того, що є причиною зміни потоку - зміна магнітного поля або рух контуру (або його частини) в магнітному полі. Електричний струм, викликаний цією е.р.с. називається індукційним струмом.
Закон Фарадея
Відповідно до закону електромагнітної індукції Фарадея:
Де -електрорушійна сила, що діє вздовж довільно обраного контуру,
Магнітний потік через поверхню, натягнуту цей контур.
Знак «мінус» у формулі відбиває правило Ленца,
Правило Ленца, правило для визначення напрямку індукційного струму: Індукційний струм, що виникає при відносному русі провідного контуру та джерела магнітного поля, завжди має такий напрям, що його власний магнітний потік компенсує зміни зовнішнього магнітного потоку, що викликав цей струм. Сформульовано 1833 р. Е. Х. Ленцем.
Якщо струм збільшується, то магнітний потік збільшується.
Якщо 
індукційний струм спрямований проти основного струму.
Якщо індукційний струм спрямований у тому напрямі, що й основний струм.
Індукційний струм завжди спрямований так, щоб зменшити дію причини, що його викликає.
Для котушки, що знаходиться в змінному магнітному полі, закон Фарадея можна записати так:
Де - електрорушійна сила,
Число витків,
Магнітний потік через один виток,
Потокосчеплення котушки.
Векторна форма
У диференціальній формі закон Фарадея можна записати у такому вигляді:
Самоіндукція- Явлення виникнення ЕРС індукції у провідному контурі при зміні струму, що протікає через контур.
При зміні струму контурі змінюється магнітний потік через поверхню, обмежену цим контуром, зміна потоку магнітної індукції призводить до збудження ЕРС самоіндукції. Напрямок ЕРС виявляється таким, що при збільшенні струму в ланцюзі ЕРС перешкоджає зростанню струму, а при зменшенні струму - спадання.
Величина ЕРС пропорційна швидкості зміни сили струму I та індуктивності контуру L:
За рахунок явища самоіндукції в електричного ланцюгаз джерелом ЕРСпри замиканні ланцюга струм встановлюється не миттєво, а через якийсь час. Аналогічні процеси відбуваються і при розмиканні ланцюга, причому величина ЕРС самоіндукції може значно перевищувати ЕРС джерела.
Індуктивність соленоїда
Соленоїд - довга, тонка котушка, тобто котушка, довжина якої набагато більша, ніж її діаметр. За цих умов і без використання магнітного матеріалу щільність магнітного потоку B усередині котушки є фактично постійною та дорівнює
де μ0 – проникність вакууму, N – число витків, i – струм і l – довжина котушки. Нехтуючи крайовими ефектами на кінцях соленоїда, отримаємо, що потокозчеплення через котушку дорівнює щільності потоку B, помноженому на площу поперечного перерізу Sі число витків N:
Звідси випливає формула для індуктивності соленоїда
Енергії магнітного поля
Збільшення щільності енергії магнітного поля дорівнює:
В ізотропному лінійному магнетиці:
де: μ - відносна магнітна проникність
У вакуумі μ = 1 і:
Енергію магнітного поля в котушці індуктивності можна знайти за формулою:
Φ - магнітний потік,
L - індуктивність котушки або витка зі струмом.
Струми усунення
Для опису та пояснення «проходження» змінного струму через конденсатор (розрив по постійному струму) Максвел ввів поняття струму усунення.
Струм усунення існує й у провідниках якими тече змінний струмпровідності, проте в даному випадку він зневажливо малий у порівнянні зі струмом провідності. Наявність струмів зміщення підтверджено експериментально радянським фізиком А. А. Ейхенвальдом, який вивчив магнітне поле струму поляризації, який є частиною зміщення. У загальному випадку, струми провідності та зміщення в просторі не розділені, вони знаходяться в тому самому обсязі. Тому Максвел ввів поняття повного струму, рівного сумі струмів провідності (а також конвекційних струмів) та усунення. Щільність повного струму:
Для відмінності струм провідності та струм усунення прийнято позначати різними символами – i та j.
У діелектриці (наприклад, діелектрику конденсатора) і у вакуумі немає струмів провідності. Тому рівняння Максвелла пишеться так -
Цим відновлюється історична справедливість Максвелла, коли він визначив, що світло є електромагнітною хвилею з векторами. Н і Е -
Рівняння Максвелла- система диференціальних рівнянь, що описують електромагнітне поле та його зв'язок з електричними зарядами та струмами у вакуумі та суцільних середовищах. Разом із виразом для сили Лоренца утворюють повну систему рівнянь класичної електродинаміки. Рівняння, сформульовані Джеймсом Клерком Максвеллом на основі накопичених до середини XIX століття експериментальних результатів, відіграли важливу роль у появі спеціальної теорії відносності
Диференційна форма
Закон Гауса
Електричний заряд є джерелом електричної індукції. Закон Гауса для магнітного поля
Немає магнітних зарядов.[~ 1] Закон індукції Фарадея
Зміна магнітної індукції породжує вихрове електричне поле.[~ 1] Закон Ампера - Максвелла
Електричний струм та зміна електричної індукції породжують вихрове магнітне поле
Інтегральна форма
За допомогою формул Остроградського-Гаусса та Стокса диференціальним рівняннямМаксвелла можна надати форму інтегральних рівнянь:
Закон Гауса
Потік електричної індукції через замкнуту поверхню s пропорційний величині вільного заряду, що знаходиться в об'ємі v, що оточує поверхню s. Закон Гауса для магнітного поля
Потік магнітної індукції через замкнуту поверхню дорівнює нулю (магнітні заряди немає). Закон індукції Фарадея
Зміна потоку магнітної індукції, що проходить через незамкнуту поверхню s, взяте зі зворотним знаком, пропорційно циркуляції електричного поля на замкнутому контурі l, який є межею поверхні s. Закон Ампера - Максвелла
Повний електричний струм вільних зарядів та зміна потоку електричної індукції через незамкнуту поверхню s пропорційні циркуляції магнітного поля на замкнутому контурі l, який є межею поверхні s.
- двовимірна замкнута у разі теореми Гауса поверхня, що обмежує об'єм, і відкрита поверхня у разі законів Фарадея та Ампера - Максвелла (її кордоном є замкнутий контур).
- електричний заряд, ув'язнений в об'ємі, обмеженому поверхнею
- електричний струм, що проходить через поверхню
Матеріальні рівняння
Матеріальні рівняння встановлюють зв'язок між і . У цьому враховуються індивідуальні властивості середовища. На практиці в матеріальних рівняннях зазвичай використовуються експериментально обумовлені коефіцієнти (залежать у загальному випадку від частоти електромагнітного поля), які зібрані у різних довідниках фізичних величин
Граничні умовивиходять із рівнянь Максвелла граничним переходом. Для цього найпростіше скористатися рівняннями Максвелла в інтегральній формі.
Вибираючи у другій парі рівнянь контур інтегрування у вигляді прямокутної рамки нескінченно малої висоти, що перетинає межу розділу двох середовищ, можна отримати наступний зв'язок між компонентами поля у двох областях, що примикають до кордону
де - одиничний вектор нормалі до поверхні, спрямований із середовища 1 в середу 2 - щільність поверхневих струмів уздовж кордону. Першу граничну умову можна інтерпретувати як безперервність на межі областей тангенціальних компонентів напруженостей електричного поля (з другого випливає, що тангенціальні компоненти напруженості магнітного поля неперервні лише за відсутності поверхневих струмів на кордоні).
Аналогічним чином, вибираючи область інтегрування в першій парі інтегральних рівнянь у вигляді циліндра нескінченно малої висоти, що перетинає межу розділу так, що його утворюють перпендикулярні межі розділу, можна отримати:
де - Поверхнева щільність зарядів.
Ці граничні умови показують безперервність нормальної компоненти вектора магнітної індукції (нормальна компонента електричної індукції безперервна лише за відсутності на межі поверхневих зарядів).
З рівняння безперервності можна отримати граничну умову для струмів:
,
Важливим окремим випадком є межа розділу діелектрика та ідеального провідника. Оскільки ідеальний провідник має нескінченну провідність, електричне поле всередині нього дорівнює нулю (інакше воно породжувало б нескінченну густину струму). Тоді у випадку змінних полів з рівнянь Максвелла слід, як і магнітне полі у провіднику дорівнює нулю. В результаті тангенціальна компонента електричного та нормальна магнітного поля на кордоні з ідеальним провідником дорівнюють нулю:
Синусоїдальний струм,змінний струм, що є синусоїдальною функцією часу виду: i = Im sin (wt + j), де i - миттєве значення струму, Im - його амплітуда, w - кутова частота j - початкова фаза. синусоїдальна функція має собі подібну похідну, то у всіх частинах лінійного ланцюга Синусоїдальний струмнапруги, струми та індуковані ЕДС також є синусоїдальними. Доцільність застосування Синусоїдальний струму техніці пов'язана зі спрощенням електричних пристроївта ланцюгів (як і їх розрахунків).
Самостійна робота
Магнітне поле
1 варіант
2. Електрон влітає в магнітне поле з індукцією 1,4 * 10-3 Тл вакуумізі швидкістю 500 км/с перпендикулярно до ліній магнітної індукції. Визначте силу, що діє на електрон, і радіус кола, яким він рухається.
Самостійна робота
Магнітне поле
2 варіант
2. 
Самостійна робота
Магнітне поле
1 варіант
1. Яка сила діє на провідник завдовжки 0,1 м в однорідному магнітному полі з магнітною індукцією 2 Тл, якщо струм у провіднику 5 А, а кут між напрямком струму та лініями індукції 300?
3. Визначте величину та напрямок сили Лоренца, що діє на протон у зображеному на малюнку випадку. = 80 мТл, = 200 км/год.
4. Чи можна транспортувати розпечені сталеві болванки в цеху металургійного заводуза допомогою електромагніту?
5. Прискорений в електричному полі різницею потенціалів 1,5*105 В протон влітає в однорідне магнітне поле перпендикулярно до ліній магнітної індукції і рухається рівномірно по колу радіусом 0,6 м. визначте швидкість протона, модуль вектора магнітної індукції та силу, з якою діє на протон.
Самостійна робота
Магнітне поле
3 варіант
1. Обчисліть індукцію магнітного поля, в якому на провідник завдовжки 0,3 м за струму 0,5 А діє максимальна сила 10 мН.
2. 
В однорідному магнітному полі з індукцією 1 Тл протон рухається зі швидкістю 108 м/с перпендикулярно до ліній індукції. Визначте силу, що діє на протон, і радіус кола, яким він рухається.
3. Визначте силу та напрямок струму у зображеному на малюнку випадку. У = 50 мТл, FА = 40 мН.
4. Чому два паралельні дроти, якими проходять струми в протилежних напрямках, відштовхуються?
5. Прискорений в електричному полі з різницею потенціалів 4,5*103 В електрон влітає в однорідне магнітне поле і рухається гвинтовою лінією, радіус якої 30 см і крок 8 см. Визначте індукцію магнітного поля.
Самостійна робота
Магнітне поле
1 варіант
1. Яка сила діє на провідник завдовжки 0,1 м в однорідному магнітному полі з магнітною індукцією 2 Тл, якщо струм у провіднику 5 А, а кут між напрямком струму та лініями індукції 300?
2. Електрон влітає в магнітне поле з індукцією 1,4*10-3 Тл у вакуумі зі швидкістю 500 км/с перпендикулярно до ліній магнітної індукції. Визначте силу, що діє на електрон, і радіус кола, яким він рухається.
3. Визначте величину та напрямок сили Лоренца, що діє на протон у зображеному на малюнку випадку. = 80 мТл, = 200 км/год.
4. Чи можна транспортувати розпечені сталеві болванки в цеху металургійного заводу за допомогою електромагніту?
5. Прискорений в електричному полі різницею потенціалів 1,5*105 В протон влітає в однорідне магнітне поле перпендикулярно до ліній магнітної індукції і рухається рівномірно по колу радіусом 0,6 м. визначте швидкість протона, модуль вектора магнітної індукції та силу, з якою діє на протон.
Самостійна робота
Магнітне поле
2 варіант
1. Обчисліть силу Лоренца, що діє на протон, що рухається зі швидкістю 106 м/с в однорідному магнітному полі з індукцією 0,3 Тл перпендикулярно до ліній індукції.
2. В однорідному магнітному полі з індукцією 0,8 Тл на провідник зі струмом 30 А, довжина активної частини якого 10 см діє сила 1,5 Н. під яким кутом до вектора магнітної індукції розміщений провідник?
3. Визначте величину та напрямок вектора магнітної індукції у зображеному на малюнку випадку. Υ = 10 Мм/с, FЛ = 0,5 пН.
4. Чому сила Лоренца не виконує роботи?
5. Заряджена частка рухається в магнітному полі з індукцією 3 Тл по колу радіусом 4 см зі швидкістю 106 м/с. Знайдіть заряд частки, якщо її енергія 12000 еВ.