Jei sveikieji skaičiai n didesni už 2, lygtis x n + y n = z n neturi nulinių natūraliųjų skaičių sprendinių.
Tikriausiai prisimenate iš savo mokyklos laikų Pitagoro teorema: stačiojo trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai. Taip pat galite prisiminti klasikinį stačiakampį trikampį su kraštinėmis, kurių ilgiai yra susiję kaip 3: 4: 5. Pitagoro teorema jam atrodo taip:
Tai pavyzdys, kaip išspręsti apibendrintą Pitagoro lygtį, kai sveikieji skaičiai nėra nuliniai n= 2. Paskutinė Fermato teorema (taip pat vadinama „paskutine Fermato teorema“ ir „paskutine Fermato teorema“) yra teiginys, kad vertėms n> 2 formos lygtys x n + y n = z n neturi natūraliųjų skaičių nulinių sprendinių.
Paskutinės Ferma teoremos istorija yra labai įdomi ir pamokanti, ir ne tik matematikams. Pierre'as de Fermat prisidėjo prie įvairių matematikos sričių kūrimo, tačiau pagrindinė jo mokslinio paveldo dalis buvo paskelbta tik po mirties. Faktas yra tas, kad Ferma matematika buvo kažkas panašaus į pomėgį, o ne profesinį užsiėmimą. Jis susirašinėjo su pagrindiniais savo laiko matematikais, bet nesiekė publikuoti savo darbų. Ferma moksliniai raštai dažniausiai randami privačios korespondencijos ir fragmentinių užrašų pavidalu, dažnai daromi įvairių knygų paraštėse. Jis yra paraštėse (antrojo Diofanto senovės graikų aritmetikos tomo). Pastaba. vertėjas) netrukus po matematiko mirties palikuonys atrado garsiosios teoremos formuluotę ir postscript:
« Radau tikrai nuostabų to įrodymą, bet šios paraštės jam per siauros.».
Deja, matyt, Fermatas niekada nesivargino užrašyti rasto „stebuklingo įrodymo“, o palikuonys nesėkmingai jo ieškojo daugiau nei tris šimtmečius. Iš viso Ferma skirtingo mokslinio paveldo, kuriame yra daug stebinančių teiginių, būtent Didžioji teorema atkakliai priešinosi sprendimui.
Kas nepasiėmė paskutinės Ferma teoremos įrodymo – viskas veltui! Kitas puikus prancūzų matematikas Renė Dekartas (René Descartes, 1596–1650) pavadino Fermat „pagyruokliu“, o anglų matematikas Johnas Wallisas (John Wallis, 1616–1703) – „prakeiktu prancūzu“. Tačiau pats Fermatas vis dėlto paliko savo teoremos įrodymą šiam atvejui n= 4. Su įrodymu už n= 3 išsprendė didysis XVIII amžiaus šveicarų-rusų matematikas Leonardas Euleris (1707–1783), po kurio nepavyko rasti įrodymų n> 4, juokaudamas pasiūlė atlikti kratą Fermato namuose, kad surastų pamestų įkalčių raktą. XIX amžiuje nauji skaičių teorijos metodai leido įrodyti teiginį daugeliui sveikųjų skaičių 200 ribose, bet vėlgi – ne visiems.
1908 m. už šią užduotį buvo įsteigta 100 000 DM premija. Prizinis fondas buvo paliktas vokiečių pramonininkui Pauliui Wolfskehlui, kuris, pasak legendos, ruošėsi nusižudyti, bet buvo taip nuviliotas paskutinės Ferma teoremos, kad apsigalvojo apie mirtį. Atsiradus pridedant mašinas, o vėliau ir kompiuterius, vertybių juosta nėmė kilti vis aukščiau – iki 617 iki Antrojo pasaulinio karo pradžios, iki 4001 1954 m., iki 125 000 1976 m. pabaigoje galingiausi karinių laboratorijų kompiuteriai Los Alamose (Naujoji Meksika, JAV) buvo užprogramuoti Fermato problemai išspręsti fone (panašiai kaip ekrano užsklandos režimas). Asmeninis kompiuteris). Taigi buvo galima parodyti, kad teorema yra teisinga neįtikėtinai didelėms reikšmėms x, y, z ir n, tačiau tai negali būti griežtas įrodymas, nes bet kuri iš toliau nurodytų reikšmių n arba natūraliųjų skaičių trigubai galėtų paneigti visą teoremą.
Galiausiai, 1994 m., anglų matematikas Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, g. 1953), dirbdamas Prinstone, paskelbė paskutinės Ferma teoremos įrodymą, kuris po kai kurių modifikacijų buvo laikomas baigtiniu. Įrodymas užėmė daugiau nei šimtą žurnalo puslapių ir buvo pagrįstas moderniu aparatu. aukštoji matematika, kuris nebuvo sukurtas Fermato laikais. Taigi, ką Fermatas norėjo pasakyti knygos paraštėse palikdamas pranešimą, kad rado įrodymą? Dauguma matematikų, su kuriais kalbėjausi šia tema, pažymėjo, kad per šimtmečius buvo daugiau nei pakankamai neteisingų paskutinės Ferma teoremos įrodymų ir kad tikėtina, kad pats Fermatas rado panašų įrodymą, bet neįžvelgė klaidos. tai. Tačiau gali būti, kad vis dar yra trumpas ir elegantiškas paskutinės Ferma teoremos įrodymas, kurio dar niekas nerado. Tikrai galima pasakyti tik viena: šiandien mes tikrai žinome, kad teorema yra teisinga. Manau, kad dauguma matematikų be išlygų sutiktų su Andrew Wiles'u, kuris apie savo įrodymą pažymėjo: „Dabar pagaliau mano protas yra ramus“.
Pavydūs žmonės tvirtina, kad prancūzų matematikas Pierre'as Fermat savo vardą į istoriją įrašė tik viena fraze. Rankraščio paraštėje su garsiosios teoremos formulavimu 1637 m. jis padarė pastabą: „Radau nuostabų sprendimą, bet neužtenka vietos jam įdėti“. Tada prasidėjo nuostabios matematinės lenktynės, į kurias kartu su puikiais mokslininkais prisijungė ir mėgėjų armija.
Koks yra Fermato problemos klastingumas? Iš pirmo žvilgsnio tai aišku net moksleiviui.
Jis pagrįstas gerai žinoma Pitagoro teorema: stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: x 2 + y 2 \u003d z 2. Fermatas teigė, kad lygtis, kurios galios yra didesnės nei dvi, neturi sveikųjų skaičių sprendimo.
Atrodytų paprasta. Ištieskite ranką ir štai atsakymas. Nenuostabu, kad akademijos skirtingos salys, mokslo institutai, net laikraščių redakcijas užplūdo dešimtys tūkstančių įrodymų. Jų skaičius yra precedento neturintis, nusileidžia tik „amžinųjų judesių mašinų“ projektams. Bet jei rimtas mokslas ilgą laiką nesvarstė šių beprotiškų idėjų, tai „fermistų“ darbai sąžiningai ir susidomėję studijuoja. Ir, deja, randa klaidų. Teigiama, kad daugiau nei tris šimtmečius susidarė ištisos matematinės teoremos sprendinių kapinės.
Nenuostabu, kad sako: alkūnė arti, bet neįkąsi. Bėgo metai, dešimtmečiai, šimtmečiai, o Fermato problema atrodė vis labiau stebinanti ir viliojanti. Atrodo, nepretenzingas, pasirodė per sunkus sparčiai raumenis auginančiai pažangai. Žmogus jau suskaldė atomą, pasiekė geną, įkėlė koją į Mėnulį, bet Fermatas nepasidavė, toliau viliodamas savo palikuonis klaidingomis viltimis.
Tačiau bandymai įveikti mokslinę viršūnę nenuėjo veltui. Pirmąjį žingsnį žengė didysis Euleris, įrodydamas teoremą ketvirtam laipsniui, paskui trečiajam. 19 amžiaus pabaigoje vokietis Ernstas Kummeris laipsnių skaičių padidino iki šimto. Galiausiai, apsiginklavę kompiuteriais, mokslininkai padidino šį skaičių iki 100 000. Tačiau Fermatas kalbėjo apie bet kokius laipsnius. Tai buvo visa esmė.
Žinoma, mokslininkus užduotis kankino ne dėl sportinio susidomėjimo. Garsus matematikas Davidas Hilbertas teigė, kad teorema yra pavyzdys, kaip iš pažiūros nereikšminga problema gali turėti didžiulę įtaką mokslui. Juo dirbdami mokslininkai atvėrė visiškai naujus matematinius horizontus, pavyzdžiui, buvo padėti skaičių teorijos, algebros, funkcijų teorijos pagrindai.
Ir vis dėlto Didžioji teorema buvo nuslopinta 1995 m. Jos sprendimą pristatė amerikietis iš Prinstono universiteto Andrew Wilesas ir jį oficialiai pripažino mokslo bendruomenė. Jis atidavė daugiau nei septynerius savo gyvenimo metus, kad surastų įrodymus. Pasak mokslininkų, tai išskirtinis darbas sujungė daugelio matematikų darbus, atkurdami prarastus ryšius tarp skirtingų jos skyrių.
Taigi, viršūnė buvo užimta, o mokslas gavo atsakymą“, – RG korespondentui sakė Rusijos mokslų akademijos Matematikos katedros mokslinis sekretorius, technikos mokslų daktaras Jurijus Višniakovas. – Teorema įrodyta, nors ir ne pačiu paprasčiausiu būdu, kaip reikalavo pats Fermatas. O dabar norintys gali atsispausdinti savo versijas.
Tačiau „fermistų“ šeima visiškai nesiruošia priimti Wileso įrodymų. Ne, jie nepaneigia amerikiečio sprendimo, nes jis labai sudėtingas, todėl suprantamas tik siauram specialistų ratui. Tačiau nepraeina nė savaitė, kad internete nepasirodytų naujas entuziastas, „pagaliau padaręs tašką ilgalaikei epopėjai“.
Beje, kaip tik vakar į „RG“ redakciją paskambino vienas seniausių mūsų šalies „fermistų“ Vsevolodas Jarošas: „Ar žinote, kad Fermato teoremą įrodžiau dar prieš Wilesą. Be to, vėliau radau klaidą. jame, apie kurį rašiau mūsų išskirtiniam matematikui akademikui Arnoldui su prašymu paskelbti apie tai m. mokslinis žurnalas. Dabar laukiu atsakymo. Ta proga susirašinėju su Prancūzijos mokslų akademija.
Ir kaip tik dabar, kaip buvo pranešta daugelyje žiniasklaidos priemonių, „lengva malonė“, atskleidė jis puiki paslaptis Matematika“, kitas entuziastas yra buvęs generalinis „Polet“ programinės įrangos dizaineris iš Omsko, technikos mokslų daktaras Aleksandras Iljinas. Sprendimas pasirodė toks paprastas ir trumpas, kad tilpo į nedidelę vieno iš laikraščio srities dalį. centriniai leidiniai.
„RG“ redaktoriai kreipėsi į pirmaujantį šalyje Matematikos institutą. Steklov RAS su prašymu įvertinti šį sprendimą. Mokslininkai buvo kategoriški: jūs negalite komentuoti laikraščio publikacijos. Tačiau po ilgų įtikinėjimų ir atsižvelgę į išaugusį susidomėjimą garsia problema, jie sutiko. Jų teigimu, paskelbtame įrodyme buvo padarytos kelios esminės klaidos. Beje, juos galėjo pastebėti net Matematikos fakulteto studentas.
Ir vis dėlto redaktoriai norėjo gauti informaciją iš pirmų lūpų. Be to, vakar Aviacijos ir aeronautikos akademijoje Iljinas turėjo pateikti savo įrodymą. Tačiau paaiškėjo, kad apie tokią akademiją mažai kas žino net iš specialistų. Ir kai vis dėlto su didžiausiais sunkumais pavyko rasti šios organizacijos mokslinio sekretoriaus telefono numerį, tada, kaip paaiškėjo, jis net neįtarė, kad ten turi įvykti toks istorinis įvykis. Žodžiu, „RG“ korespondentui nepasisekė tapti pasaulinės sensacijos liudininku.
MOKSLO IR TECHNOLOGIJOS NAUJIENOS
UDC 51:37;517.958
A.V. Konovko, mokslų daktaras
Rusijos valstybinės priešgaisrinės tarnybos EMERCOM akademija DIDYSIS TEOREMOS ŪKIS ĮRODYTA. ARBA NE?
Jau kelis šimtmečius nebuvo įmanoma įrodyti, kad lygtis xn+yn=zn, kai n>2 yra neišsprendžiama racionaliuose, taigi ir sveikuosiuose skaičiuose. Ši problema gimė vadovaujant prancūzų teisininkui Pierre'ui Fermat'ui, kuris tuo pat metu profesionaliai užsiėmė matematika. Jos sprendimas priskiriamas amerikiečių matematikos mokytojui Andrew Wilesui. Šis pripažinimas truko 1993–1995 m.
ĮRODYTA DIDŽIOJI FERMO TEOREMA. AR NE?
Nagrinėjama dramatiška paskutinės Ferma teoremos įrodinėjimo istorija. Prireikė beveik keturių šimtų metų. Pierre'as Fermatas rašė mažai. Rašė suspaustu stiliumi. Be to, savo tyrimų nepublikavo. Teiginys, kad lygtis xn+yn=zn yra neišsprendžiama aibėse. racionaliųjų skaičių ir sveikųjų skaičių, jei n> 2 dalyvavo Ferma komentaras, kad jis iš tikrųjų rado puikų šio teiginio įrodymą. Palikuonių šis įrodinėjimas nepasiekė. Vėliau šis teiginys buvo pavadintas paskutine Ferma teorema. Geriausi pasaulio matematikai peržengė šią teoremą be rezultato. Aštuntajame dešimtmetyje prancūzų matematikas, Paryžiaus mokslų akademijos narys Andre Veilas išdėstė naujus sprendimo būdus. 1993 m. birželio 23 d. Skaičių teorijos konferencijoje Kembridže Prinstono universiteto matematikas Andrew Whilesas paskelbė, kad paskutinė Ferma teorema įrodoma. Tačiau triumfuoti buvo anksti.
1621 m. prancūzų rašytojas ir matematikas Claude'as Gaspardas Basche de Meziriacas išleido Diofanto graikų traktatą „Aritmetika“ su vertimu į lotynų kalbą ir komentarais. Prabangus, neįprastai plačiomis paraštėmis, „Aritmetika“ pateko į dvidešimtmečio Fermato rankas ir ilgus metus tapo jo stalo knyga. Jo paraštėse jis paliko 48 pastabas su jo atrastais faktais apie skaičių savybes. Čia, aritmetikos paraštėse, buvo suformuluota didžioji Ferma teorema: „Neįmanoma išskaidyti kubo į du kubus arba bi-kvadrato į du bi-kvadratus, arba apskritai laipsnį, didesnį už du, į dvi laipsnius su tas pats eksponentas; Man tai buvo tikrai nuostabus įrodymas, kuris dėl vietos stokos negali tilpti į šiuos laukus. Beje, lotyniškai tai atrodo taip: „Cubum autem in duos cubos, autato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Didysis prancūzų matematikas Pierre'as Fermat (1601-1665) sukūrė plotų ir tūrių nustatymo metodą, sukūrė naują liestinių ir ekstremalių metodą. Kartu su Dekartu jis tapo analitinės geometrijos kūrėju, kartu su Paskaliu stovėjo prie tikimybių teorijos ištakų, begalinio mažumo metodo srityje davė bendrąją diferenciacijos taisyklę ir bendrais bruožais įrodė galios funkcijos integravimo taisyklę. ... Bet, svarbiausia, viena iš svarbiausių paslaptingų ir dramatiškų istorijų, kada nors šokiravusių matematiką – paskutinės Ferma teoremos įrodymo istorija. Dabar ši teorema išreiškiama paprasto teiginio forma: lygtis xn + yn = zn, kai n>2 yra neišsprendžiama racionaliuoju, taigi ir sveikaisiais skaičiais. Beje, atveju n = 3 Centrinės Azijos matematikas Al-Khojandi bandė įrodyti šią teoremą 10 amžiuje, tačiau jo įrodymas nebuvo išsaugotas.
Pierre'as Fermat'as, kilęs iš Pietų Prancūzijos, įgijo teisininko laipsnį ir nuo 1631 m. buvo Tulūzos miesto parlamento (tai yra aukščiausio teismo) patarėjas. Po darbo dienos tarp Parlamento sienų jis ėmėsi matematikos ir iškart pasinėrė į visiškai kitokį pasaulį. Pinigai, prestižas, visuomenės pripažinimas – visa tai jam nebuvo svarbu. Mokslas jam niekada netapo pajamomis, nevirto amatu, visada likdavo tik jaudinantis proto žaidimas, suprantamas tik nedaugeliui. Su jais jis susirašinėjo.
Ūkis niekada nerašė mokslo darbai mums įprasta prasme. O jo susirašinėjime su draugais visada yra kažkoks iššūkis, netgi savotiška provokacija ir jokiu būdu ne akademinis problemos ir jos sprendimo pristatymas. Todėl daugelis jo laiškų vėliau tapo žinomi kaip: iššūkis.
Galbūt todėl jis niekada nesuvokė savo ketinimo parašyti specialų esė apie skaičių teoriją. O tuo tarpu tai buvo jo mėgstamiausia matematikos sritis. Būtent jai Fermatas skyrė labiausiai įkvėptas savo laiškų eilutes. „Aritmetika, – rašė jis, – turi savo sritį – sveikųjų skaičių teoriją. Šią teoriją Euklidas palietė tik šiek tiek, o jo pasekėjai jos nebuvo pakankamai išplėtotos (nebent ji buvo tuose Diofanto darbuose, kuriuos mes ištyrėme). atimta laiko niokojimu). Todėl aritmetika turi ją plėtoti ir atnaujinti".
Kodėl pats Fermatas nebijojo laiko niokojamo? Jis rašė mažai ir visada labai glaustai. Bet, svarbiausia, jis nepublikavo savo darbų. Jo gyvenimo metu jie buvo platinami tik rankraščiu. Todėl nenuostabu, kad Fermat skaičių teorijos rezultatai mums pasirodė fragmentiškai. Bet Bulgakovas tikriausiai buvo teisus: puikūs rankraščiai nedega! Fermato darbas liko. Jie liko jo laiškuose draugams: Liono matematikos mokytojui Jacques'ui de Billy, monetų kalyklos darbuotojui Bernardui Frenickeliui de Bessy, Marsennisui, Descartes'ui, Blaise'ui Pascaliui... Diofanto „Aritmetika“ liko su jo pastabomis paraštėse, kuri po Ferma mirties. , įtrauktas kartu su Basche komentarais naujame Diofanto leidime, kurį 1670 metais išleido vyriausias sūnus Samuelis. Tik pats įrodymas neišsaugotas.
Likus dvejiems metams iki mirties, Fermatas išsiuntė savo draugui Karkavy testamentinį laišką, kuris pateko į matematikos istoriją pavadinimu „Naujų skaičių mokslo rezultatų santrauka“. Šiame laiške Fermatas įrodė savo garsųjį teiginį atvejui n = 4. Tačiau tada, greičiausiai, jį domino ne pats tvirtinimas, o jo atrastas įrodinėjimo būdas, paties Ferma vadinamas begaliniu ar neapibrėžtu kilme.
Rankraščiai nedega. Tačiau jei ne Samuelio, kuris po tėvo mirties surinko visus savo matematinius eskizus ir nedidelius traktatus, o 1679 m. paskelbė juos pavadinimu „Įvairūs matematiniai darbai“, pasišventimas, išmokti matematikai būtų turėję atrasti ir daug ką atrasti iš naujo. Tačiau net ir po jų paskelbimo didžiojo matematiko iškeltos problemos snaudė daugiau nei septyniasdešimt metų. Ir tai nenuostabu. Tokia forma, kokia jie pasirodė spaudoje, P. Fermat skaičių teoriniai rezultatai specialistams pasirodė rimtų, amžininkams toli gražu ne visada aiškių problemų pavidalu, beveik be jokių įrodymų ir vidinių loginių sąsajų tarp jų požymių. Galbūt, nesant nuoseklios, gerai apgalvotos teorijos, slypi atsakymas į klausimą, kodėl pats Fermatas neketino išleisti knygos apie skaičių teoriją. Po septyniasdešimties metų L. Euleris susidomėjo šiais kūriniais ir tai buvo tikrai antras jų gimimas...
Matematika brangiai sumokėjo už savotišką Fermato rezultatų pateikimo būdą, tarsi tyčia praleisdama jų įrodymus. Bet jei Fermatas jau teigė, kad įrodė tą ar kitą teoremą, tai vėliau ši teorema buvo būtinai įrodyta. Tačiau su didžiąja teorema iškilo kliūtis.
Paslaptis visada sužadina vaizduotę. Ištisus žemynus užkariavo paslaptinga Monos Lizos šypsena; reliatyvumo teorija, kaip raktas į erdvės ir laiko ryšių paslaptį, tapo populiariausia fizinė teorija amžiaus. Ir galime drąsiai teigti, kad nebuvo kitos tokios matematinės problemos, kuri būtų tokia populiari __93
Civilinės saugos mokslinės ir edukacinės problemos
kuri Ferma teorema. Bandymai tai įrodyti paskatino sukurti plačią matematikos šaką – algebrinių skaičių teoriją, tačiau (deja!) Pati teorema liko neįrodyta. 1908 metais vokiečių matematikas Volfskelis testamentu paliko 100 000 markių kiekvienam, kuris galėjo įrodyti Fermato teoremą. Tais laikais tai buvo didžiulė suma! Per vieną akimirką buvo galima tapti ne tik žinomu, bet ir pasakiškai turtingu! Todėl nenuostabu, kad net Rusijos, toli nuo Vokietijos, besivaržantys moksleiviai puolė įrodinėti didžiąją teoremą. Ką galime pasakyti apie profesionalius matematikus! Bet... veltui! Po Pirmojo pasaulinio karo pinigai nuvertėjo, laiškų srautas su pseudoįrodymais ėmė džiūti, nors, žinoma, visiškai nesustojo. Teigiama, kad žymus vokiečių matematikas Edmundas Landau paruošė spausdintas formas, skirtas išplatinti Ferma teoremos įrodymų autoriams: „Puslapyje yra klaida..., eilutėje... yra klaida“. (Klaidą surasti buvo patikėta docentui.) Su šios teoremos įrodinėjimu susijusių kuriozų ir anekdotų buvo tiek daug, kad iš jų buvo galima padaryti knygą. Paskutinis anekdotas atrodo kaip detektyvo A. Marininos „Sutapimas“, nufilmuotas ir per šalies televizijos ekranus perduotas 2000-ųjų sausį. Jame mūsų tautietis įrodo visų savo didžiųjų pirmtakų neįrodytą teoremą ir pretenduoja už tai gauti Nobelio premiją. Kaip žinia, dinamito išradėjas savo testamente nepaisė matematikų, todėl įrodymo autorius tegalėjo pretenduoti į Fields Gold medalį – aukščiausią tarptautinį apdovanojimą, patvirtintą pačių matematikų 1936 m.
Klasikiniame iškilaus rusų matematiko A.Ya darbe. Khinchinas, atsidavęs Didžiajai Ferma teoremai, pateikia informacijos apie šios problemos istoriją ir atkreipia dėmesį į metodą, kurį Fermatas galėtų panaudoti įrodinėdamas savo teoremą. Pateiktas įrodymas atvejui n = 4 ir trumpa apžvalga kitus svarbius rezultatus.
Tačiau tuo metu, kai buvo parašytas detektyvas, o tuo labiau, kol buvo nufilmuotas, bendras teoremos įrodymas jau buvo rastas. 1993 m. birželio 23 d. Kembridže vykusioje konferencijoje apie skaičių teoriją Prinstono matematikas Andrew Wilesas paskelbė, kad buvo gautas paskutinės Ferma teoremos įrodymas. Bet visai ne taip, kaip „žadėjo“ pats Fermat. Kelias, kuriuo pasirinko Andrew Wiles, nebuvo pagrįstas elementariosios matematikos metodais. Jis užsiėmė vadinamąja elipsinių kreivių teorija.
Norint susidaryti supratimą apie elipsines kreives, reikia atsižvelgti į plokštumos kreivę, kurią pateikia trečiojo laipsnio lygtis
Y(x, y) = a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 = 0. (1)
Visos tokios kreivės skirstomos į dvi klases. Į pirmąją klasę įeina tos kreivės, kuriose yra taškiniai taškai (pvz., puskubinė parabolė y2 = a2-X su smaigalio tašku (0; 0)), savaiminio susikirtimo taškai (kaip Dekarto lapas x3 + y3-3axy = 0, ties taškas (0; 0)), taip pat kreivės, kurioms daugianomas Ax, y) pavaizduotas forma
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
kur ^(x, y) ir ^(x, y) yra mažesnio laipsnio daugianariai. Šios klasės kreivės vadinamos išsigimusiomis trečiojo laipsnio kreivėmis. Antrąją kreivių klasę sudaro neišsigimusios kreivės; vadinsime juos elipsiniais. Tai apima, pavyzdžiui, Curl Agnesi (x2 + a2)y - a3 = 0). Jei polinomo (1) koeficientai yra racionalieji skaičiai, tai elipsinė kreivė gali būti transformuota į vadinamąją kanoninę formą
y2 = x3 + ax + b. (2)
1955 metais japonų matematikas Y. Taniyama (1927-1958) elipsinių kreivių teorijos rėmuose sugebėjo suformuluoti spėjimą, kuris atvėrė kelią Ferma teoremos įrodymui. Bet tada nei Taniyama, nei jo kolegos to neįtarė. Beveik dvidešimt metų ši hipotezė nesulaukė rimto dėmesio ir išpopuliarėjo tik aštuntojo dešimtmečio viduryje. Remiantis Taniyamos spėjimu, bet kokia elipsė
kreivė su racionaliais koeficientais yra modulinė. Tačiau iki šiol hipotezės formulavimas smulkmeniškam skaitytojui mažai ką pasako. Todėl reikia kai kurių apibrėžimų.
Kiekviena elipsinė kreivė gali būti susieta su svarbia skaitinė charakteristika yra jos diskriminatorius. Kreivės, pateiktos kanonine forma (2), diskriminantas A nustatomas pagal formulę
A \u003d - (4a + 27b2).
Tegu E yra kokia nors elipsinė kreivė, pateikta pagal (2) lygtį, kur a ir b yra sveikieji skaičiai.
Apsvarstykite pirminio skaičiaus p palyginimą
y2 = x3 + ax + b (mod p), (3)
kur a ir b yra likučiai, padalijus sveikuosius skaičius a ir b iš p, ir pažymėkite np šios kongruencijos sprendinių skaičių. Skaičiai pr labai naudingi nagrinėjant (2) formos lygčių sprendžiamumo sveikaisiais skaičiais klausimą: jei koks nors pr lygus nuliui, tai (2) lygtis neturi sveikųjų skaičių sprendinių. Tačiau skaičius pr galima apskaičiuoti tik retais atvejais. (Tuo pačiu metu žinoma, kad p-n|< 2Vp (теоремаХассе)).
Apsvarstykite tuos pirminius skaičius p, kurie dalija elipsinės kreivės (2) diskriminantą A. Galima įrodyti, kad tokio p daugianario x3 + ax + b galima parašyti vienu iš dviejų būdų:
x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß) (mod P)
x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),
kur a, ß, y yra kai kurios liekanos padalijus iš p. Jei visiems pirminiams p dalijantiems kreivės diskriminantą įgyvendinama pirmoji iš dviejų nurodytų galimybių, vadinasi, elipsinė kreivė yra pusiausvyrinė.
Pirminiai skaičiai, dalijantys diskriminantą, gali būti sujungti į vadinamąjį elipsinės kreivės laidininką. Jei E yra pusiau stabili kreivė, tai jos laidininkas N pateikiamas pagal formulę
kur visų pirminių skaičių p > 5, dalijančių A, rodiklis eP lygus 1. Rodikliai 82 ir 83 apskaičiuojami naudojant specialų algoritmą.
Iš esmės tai yra viskas, ko reikia norint suprasti įrodymo esmę. Tačiau Taniyamos spėlionėje yra sudėtinga ir, mūsų atveju, pagrindinė moduliškumo samprata. Todėl kuriam laikui pamirškime elipsines kreives ir apsvarstykime kompleksinio argumento z, pateikto viršutinėje pusplokštumoje, analitinę funkciją f (tai yra funkciją, kurią galima pavaizduoti laipsnio seka).
Žymėkite H viršutinę kompleksinę pusplokštumą. Tegu N yra natūralusis skaičius, o k – sveikasis skaičius. N lygio svorio k modulinė parabolinė forma yra analitinė funkcija f(z), apibrėžta viršutinėje pusplokštumoje ir tenkinanti ryšį
f = (cz + d)kf (z) (5)
bet kokiems sveikiesiems skaičiams a, b, c, d, kad ae - bc = 1 ir c dalytųsi iš N. Be to, daroma prielaida, kad
lim f (r + it) = 0,
kur r yra racionalus skaičius, ir tai
N lygmens k svorio modulinių smailių formų erdvė žymima Sk(N). Galima parodyti, kad jis turi baigtinį matmenį.
Toliau mus ypač domins 2 svorio modulinės smailės formos. Mažo N erdvės matmenys S2(N) pateikti 1 lentelėje. 1. Visų pirma,
Erdvės S2(N) matmenys
1 lentelė
N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
Iš (5) sąlygos išplaukia, kad % + 1) = kiekvienai formai f ∈ S2(N). Todėl f yra periodinė funkcija. Tokia funkcija gali būti pavaizduota kaip
Modulinę smailės formą A^) vadiname S2(N), jei jos koeficientai yra sveikieji skaičiai, atitinkantys santykius:
a r ■ a = a r+1 ■ p ■ c r_1 paprastam p, kuris nedalina skaičiaus N; (aštuonios)
(ap) pirminiam p, dalijančiam N;
atp = esant jei (m, n) = 1.
Dabar suformuluojame apibrėžimą, kuris vaidina pagrindinį vaidmenį įrodant Ferma teoremą. Elipsinė kreivė su racionaliais koeficientais ir laidininku N vadinama moduline, jei yra tokia savoji forma
f(z) = ^anq" g S2(N),
kad ap = p - pr beveik visiems pirminiams p. Čia np yra palyginimo sprendinių skaičius (3).
Sunku patikėti, kad egzistuoja bent viena tokia kreivė. Gana sunku įsivaizduoti, kad yra funkcija A(r), atitinkanti išvardintus griežtus apribojimus (5) ir (8), kuri išsiplės į eilutę (7), kurios koeficientai būtų susieti su praktiškai neapskaičiuojamais skaičiais Pr, yra gana sunku. Tačiau drąsi Taniyamos hipotezė jokiu būdu nekėlė abejonių jų egzistavimo faktu, o laikui bėgant sukaupta empirinė medžiaga puikiai patvirtino jos pagrįstumą. Po dviejų dešimtmečių beveik visiškos užmaršties Taniyamos hipotezė sulaukė antrojo vėjo prancūzų matematiko, Paryžiaus mokslų akademijos nario Andre Weilo darbuose.
1906 metais gimęs A. Weyl ilgainiui tapo vienu iš matematikų grupės, veikusios N. Bourbaki pseudonimu, įkūrėjų. Nuo 1958 metų A. Weilas yra Prinstono pažangių studijų instituto profesorius. Ir jo susidomėjimo abstrakčiąja algebrine geometrija atsiradimas priklauso tam pačiam laikotarpiui. Aštuntajame dešimtmetyje jis kreipėsi į elipsines funkcijas ir Taniyamos spėjimą. Elipsinėms funkcijoms skirta monografija buvo išversta čia, Rusijoje. Jis nėra vienas su savo aistra. 1985 m. vokiečių matematikas Gerhardas Frei pasiūlė, kad jei Ferma teorema yra klaidinga, tai yra, jei yra sveikųjų skaičių a, b, c trigubas, kad a " + bn = c" (n > 3), tada elipsinė kreivė.
y2 \u003d x (x - a") - (x - cn)
negali būti modulinis, o tai prieštarauja Taniyamos spėjimui. Pats Frey nesugebėjo įrodyti šio teiginio, tačiau įrodymą netrukus gavo amerikiečių matematikas Kennethas Ribetas. Kitaip tariant, Ribetas parodė, kad Fermato teorema yra Taniyamos spėjimo pasekmė.
Jis suformulavo ir įrodė tokią teoremą:
1 teorema (Ribet). Tegul E yra elipsinė kreivė su racionaliais koeficientais, turinčiais diskriminantą
ir dirigentas
Tarkime, E yra modulinis ir tegul
/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)
yra atitinkama lygmens savoji forma N. Fiksuojame pirminį skaičių £, ir
p: eP \u003d 1; - "8 p
Tada yra parabolinė forma
/(r) = 2 dnqn e N)
su sveikųjų skaičių koeficientais, kad skirtumai ir -dn dalijasi iš I visiems 1< п<ад.
Akivaizdu, kad jei ši teorema įrodoma tam tikram rodikliui, tai ji įrodoma visiems eksponentams, kurie yra n kartotiniai. Kadangi kiekvienas sveikas skaičius n > 2 dalijasi arba iš 4, arba iš nelyginio pirminio skaičiaus, todėl galime apsiriboti tik atvejis, kai eksponentas yra 4 arba nelyginis pirminis skaičius. Jei n = 4, elementarų Ferma teoremos įrodymą pirmiausia gavo pats Ferma, o paskui Euleris. Taigi, pakanka ištirti lygtį
a1 + b1 = c1, (12)
kurioje eksponentas I yra nelyginis pirminis skaičius.
Dabar Ferma teoremą galima gauti paprastais skaičiavimais (2).
2 teorema. Taniyamos spėjimas dėl pusiau skaičiuojamų elipsinių kreivių reiškia paskutinę Ferma teoremą.
Įrodymas. Tarkime, kad Ferma teorema yra klaidinga, ir tegul yra atitinkamas priešinis pavyzdys (kaip aukščiau, čia I yra nelyginis pirminis skaičius). Elipsinei kreivei pritaikykime 1 teoremą
y2 = x (x - ae) (x - c1).
Paprasti skaičiavimai rodo, kad šios kreivės laidininkas pateikiamas pagal formulę
Palyginus (11) ir (13) formules, matome, kad N = 2. Todėl pagal 1 teoremą yra parabolinė forma
gulėti erdvėje 82(2). Tačiau dėl ryšio (6) ši erdvė yra lygi nuliui. Todėl dn = 0 visiems n. Tuo pačiu metu a^ = 1. Todėl skirtumas ar - dl = 1 nesidalija iš I ir gauname prieštaravimą. Taigi teorema įrodyta.
Ši teorema suteikė raktą į paskutinės Ferma teoremos įrodymą. Ir vis dėlto pati hipotezė liko neįrodyta.
1993 m. birželio 23 d. paskelbęs Taniyamos spėlionių pusiausvyrinių elipsinių kreivių, apimančių (8) formos kreives, įrodymą, Andrew Wilesas suskubo. Matematikams buvo per anksti švęsti pergalę.
Greitai baigėsi šilta vasara, liko lietingas ruduo, atėjo žiema. Wilesas parašė ir perrašė galutinę savo įrodymo versiją, tačiau kruopštūs kolegos jo darbe rado vis daugiau netikslumų. Taigi, 1993 m. gruodžio pradžioje, likus kelioms dienoms iki Wileso rankraščio išleidimo į spaudą, jo įrodyme vėl buvo rasta rimtų spragų. Ir tada Wilesas suprato, kad per dieną ar dvi nebegali nieko sutvarkyti. Tam reikėjo kapitalinio remonto. Kūrinio publikavimą teko atidėti. Wilesas kreipėsi pagalbos į Teilorą. „Darbas su klaidomis“ užtruko daugiau nei metus. Galutinė Taniyamos spėliojimo įrodymo versija, kurią Wiles parašė bendradarbiaudamas su Taylor, pasirodė tik 1995 m. vasarą.
Skirtingai nei herojus A. Marinina, Wilesas nepretendavo į Nobelio premiją, bet vis dėlto... jis turėjo būti pažymėtas kokiu nors apdovanojimu. Tai tik ką? Wilesas tuo metu jau buvo įkopęs į penktą dešimtį, o Fieldso aukso medaliai įteikiami griežtai iki keturiasdešimties metų, o kūrybinės veiklos pikas dar neįveiktas. Ir tada jie nusprendė įsteigti specialų apdovanojimą Wilesui - Sidabrinį Laukų komiteto ženklelį. Šis ženklelis jam buvo įteiktas kitame matematikos kongrese Berlyne.
Iš visų problemų, kurios daugiau ar mažiau gali užimti paskutinės Ferma teoremos vietą, didžiausią galimybę turi artimiausio rutulių supakavimo problema. Arčiausiai rutuliukų pakavimo problemą galima suformuluoti kaip problemą, kaip ekonomiškiausiai sukrauti apelsinų piramidę. Jaunieji matematikai šią problemą paveldėjo iš Johanneso Keplerio. Problema gimė 1611 m., kai Kepleris parašė trumpą esė „Apie šešiakampes snaiges“. Keplerio susidomėjimas materijos dalelių išsidėstymu ir savaiminiu organizavimu paskatino jį aptarti kitą klausimą – tankiausią dalelių tarą, kurioje jos užima mažiausią tūrį. Jei darysime prielaidą, kad dalelės yra sferų pavidalo, tada aišku, kad ir kaip jos išsidėsčiusios erdvėje, tarp jų neišvengiamai liks tarpai, o klausimas – kuo labiau sumažinti tarpų tūrį. Pavyzdžiui, darbe teigiama (bet neįrodyta), kad tokia figūra yra tetraedras, kurio viduje esančios koordinačių ašys lemia pagrindinį stačiakampio kampą 109o28", o ne 90o. Ši problema yra labai svarbi elementariai dalelei. fizika, kristalografija ir kitos gamtos mokslų dalys.
Literatūra
1. Weil A. Elipsinės funkcijos pagal Eizenšteiną ir Kroneckerį. - M., 1978 m.
2. Solovjovas Yu.P. Taniyamos spėjimas ir paskutinė Fermato teorema // Soros Educational Journal. - Nr. 2. - 1998. - S. 78-95.
3. Singh S. Fermat paskutinė teorema. Paslapties, kuri 358 metus okupavo geriausius pasaulio protus, istorija / Per. iš anglų kalbos. Yu.A. Danilova. Maskva: MTsNMO. 2000. - 260 p.
4. Mirmovičius E.G., Ušačeva T.V. Ketvirtinių ir trimačių sukimų algebra // Dabartinis Žurnalas Nr. 1(1), 2008. - P. 75-80.
DIDŽIOSIOS FERMAT TEOREMOS ISTORIJADidysis reikalas
Kartą naujametiniame adresatų sąraše, kaip gaminti tostus, atsainiai užsiminiau, kad XX amžiaus pabaigoje įvyko vienas grandiozinis įvykis, kurio daugelis nepastebėjo – pagaliau buvo įrodyta vadinamoji paskutinė Ferma teorema. Ta proga tarp gautų laiškų radau du atsakymus iš merginų (viena iš jų, kiek pamenu, yra devintokė iš Zelenogrado Vika), kurias šis faktas nustebino.
Ir mane nustebino, kaip aktyviai merginos domisi šiuolaikinės matematikos problemomis. Todėl manau, kad Didžiosios teoremos istoriją susidomės ne tik merginos, bet ir įvairaus amžiaus vaikinai – nuo gimnazistų iki pensininkų.
Ferma teoremos įrodymas yra puikus įvykis. Ir nuo tada nėra įprasta juokauti su žodžiu „puiku“, tada man atrodo, kad kiekvienas save gerbiantis kalbėtojas (ir mes visi, kai sakome kalbėtojai) tiesiog privalo žinoti teoremos istoriją.
Jei taip atsitiko, kad matematika jums nepatinka taip, kaip aš ją myliu, tada paviršutiniškai pažiūrėkite į kai kuriuos gilinimus. Suprasdamas, kad ne visiems mūsų adresų sąrašo skaitytojams įdomu klaidžioti matematinėse džiunglėse, stengiausi nepateikti jokių formulių (išskyrus Ferma teoremos lygtį ir keletą hipotezių) ir kiek supaprastinti kai kurių konkrečių klausimų aprėptį. kaip įmanoma.
Kaip Fermatas virė košę
Prancūzų teisininkas ir ne visą darbo dieną dirbantis didysis XVII amžiaus matematikas Pierre'as Fermat (1601–1665) pateikė vieną keistą teiginį iš skaičių teorijos srities, kuri vėliau tapo žinoma kaip Didžioji (arba Didžioji) Ferma teorema. Tai viena žinomiausių ir fenomenaliausių matematinių teoremų. Tikriausiai jaudulys aplink jį nebūtų buvęs toks stiprus, jei Diofanto Aleksandriečio (III a. po Kr.) knygoje „Aritmetika“, kurią Fermatas dažnai studijavo plačiose paraštėse ir kurią jo sūnus Samuelis maloniai išsaugojo palikuonims. , nerastas maždaug toks didžiojo matematiko įrašas:
„Turiu labai stulbinantį įrodymą, bet jis per didelis, kad tilptų į paraštes.
Būtent šis įrašas sukėlė vėlesnę grandiozinę sumaištį dėl teoremos.
Taigi, žinomas mokslininkas teigė, kad įrodė savo teoremą. Užduokime sau klausimą: ar jis tikrai tai įrodė, ar melavo kvailai? O gal yra kitų versijų, paaiškinančių to kraštinio įrašo atsiradimą, kuris daugeliui ateinančių kartų matematikų neleido ramiai miegoti?
Didžiosios teoremos istorija žavi kaip nuotykis laiku. Fermatas 1636 metais pareiškė, kad formos lygtis x n + y n =z n neturi sveikųjų skaičių sprendinių, kurių rodiklis n>2. Tai iš tikrųjų yra paskutinė Ferma teorema. Šia iš pažiūros paprasta matematine formule Visata užmaskavo neįtikėtiną sudėtingumą. Škotijoje gimęs amerikiečių matematikas Ericas Temple'as Bellas savo knygoje „Galutinė problema“ (1961 m.) netgi užsiminė, kad galbūt žmonija nustos egzistuoti anksčiau, nei galės įrodyti Paskutinę Ferma teoremą.
Šiek tiek keista, kad teorema kažkodėl pavėlavo gimti, nes situacija buvo seniai pavėluota, nes jos ypatingas atvejis, kai n = 2 - kita garsi matematinė formulė - Pitagoro teorema, atsirado dvidešimt dviem šimtmečiais anksčiau. Skirtingai nei Ferma teorema, Pitagoro teorema turi begalinį sveikųjų skaičių sprendinių skaičių, pavyzdžiui, tokius Pitagoro trikampius: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Didžiosios teoremos sindromas
Kas tiesiog nebandė įrodyti Ferma teoremos. Bet kuris jaunas studentas laikė savo pareiga taikyti Didžiąją teoremą, bet niekas negalėjo to įrodyti. Iš pradžių tai neveikė šimtą metų. Tada dar šimtas. Ir toliau. Tarp matematikų pradėjo vystytis masinis sindromas: "Kaip yra? Fermatas tai įrodė, o jei aš negaliu, ar kaip?" - ir kai kurie iš jų išprotėjo šiuo pagrindu visa to žodžio prasme.
Kad ir kiek teorema buvo patikrinta, ji visada pasirodė teisinga. Pažinojau vieną energingą programuotoją, kuris buvo apsėstas minties paneigti Didžiąją teoremą, bandydamas rasti bent vieną jos sprendimą (kontrpavyzdį), kartodamas sveikuosius skaičius naudojant greitą kompiuterį (tuo metu dažniau vadinamą kompiuteriu). Jis tikėjo savo įmonės sėkme ir mėgo sakyti: „Dar truputį – ir prasidės sensacija! Manau, kad įvairiose mūsų planetos vietose buvo nemažai tokių drąsių ieškotojų. Žinoma, jis nerado jokio sprendimo. Ir jokie kompiuteriai, net ir su nuostabiu greičiu, niekada negalėtų patikrinti teoremos, nes visi šios lygties kintamieji (įskaitant eksponentus) gali padidėti iki begalybės.
Teorema reikalauja įrodymo
Matematikai žino, kad jei teorema neįrodyta, iš jos gali išplaukti bet kas (tiesa arba klaidinga), kaip ir kai kurių kitų hipotezių atveju. Pavyzdžiui, viename iš savo laiškų Pierre'as Fermat pasiūlė, kad 2 n +1 formos skaičiai (vadinamieji Ferma skaičiai) būtinai yra pirminiai (ty jie neturi sveikųjų skaičių ir dalijasi tik iš savęs ir iš vienas be liekanos), jei n yra dviejų laipsnis (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ir kt.). Fermato hipotezė gyvavo daugiau nei šimtą metų – kol Leonhardas Euleris 1732 m.
2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641
Tada, beveik po 150 metų (1880 m.), Fortune Landry atsižvelgė į šį Fermato skaičių:
2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721
Kaip jie galėjo rasti šių didelių skaičių daliklius be kompiuterių pagalbos – Dievas težino. Savo ruožtu Euleris iškėlė hipotezę, kad lygtis x 4 + y 4 + z 4 =u 4 neturi sveikųjų skaičių sprendinių. Tačiau maždaug po 250 metų, 1988 m., Naumas Elkis iš Harvardo sugebėjo atrasti (jau naudodamas kompiuterinę programą), kad
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4
Todėl paskutinei Ferma teoremai reikėjo įrodymų, antraip tai tebuvo hipotezė ir gali būti, kad kažkur begaliniuose skaitiniuose laukuose buvo pamestas Didžiosios teoremos lygties sprendimas.
Virtuoziškiausias ir produktyviausias XVIII amžiaus matematikas Leonhardas Euleris, kurio įrašų archyvą žmonija tvarkė beveik šimtmetį, įrodė Ferma 3 ir 4 galių teoremą (tiksliau, pakartojo paties Pierre'o Fermato prarastus įrodymus). ; jo pasekėjas skaičių teorijoje Legendre (ir nepriklausomai Dirichlet) – už 5 laipsnį; Šlubas – 7 laipsniui. Bet apskritai teorema liko neįrodyta.
1847 m. kovo 1 d. Paryžiaus mokslų akademijos posėdyje du puikūs matematikai - Gabrielis Lame'as ir Augustinas Koši - paskelbė, kad pasiekė Didžiosios teoremos įrodymo pabaigą ir surengė lenktynes, paskelbdami savo. įrodymai dalimis. Tačiau dvikova tarp jų nutrūko, nes jų įrodymuose buvo aptikta ta pati klaida, į kurią atkreipė dėmesį vokiečių matematikas Ernstas Kummeris.
XX amžiaus pradžioje (1908 m.) turtingas vokiečių verslininkas, filantropas ir mokslininkas Paulas Wolfskelis testamentu paliko šimtą tūkstančių markių kiekvienam, kuris pateiks pilną Ferma teoremos įrodymą. Jau pirmaisiais metais po Wolfskello testamento paskelbimo Getingeno mokslų akademijoje, jį užplūdo tūkstančiai matematikos mylėtojų įrodymų, ir šis srautas nesiliovė dešimtmečius, tačiau, kaip galite įsivaizduoti, visuose buvo klaidų. . Jie sako, kad akademija parengė tokio turinio formas:
Gerbiamas _______________________________!
Jūsų Fermato teoremos įrodyme ____ puslapio ____ eilutėje nuo viršaus
Formulėje rasta tokia klaida:______________________________:,
Kurie buvo išsiųsti nelaimingiems pretendentams į apdovanojimą.
Tuo metu matematikų rate atsirado pusiau niekinantis slapyvardis - fermistas. Taip buvo vadinamas kiekvienas savimi pasitikintis aukštaūgis, kuriam trūko žinių, bet daugiau nei turėjo ambicijų skubotai išbandyti savo jėgas įrodant Didžiąją teoremą, o paskui, nepastebėdamas savo klaidų, išdidžiai trinktelėdamas į krūtinę, garsiai pareiškia: „Įrodžiau. Pirmoji Ferma teorema! Kiekvienas ūkininkas, net jei jis buvo dešimttūkstantinis, laikė save pirmuoju - tai buvo juokinga. Paprasta Didžiosios teoremos išvaizda fermistams taip priminė lengvą grobį, kad jiems nė kiek nebuvo gėda, kad net Euleris ir Gaussas negalėjo su tuo susidoroti.
(Fermistų, kaip bebūtų keista, tebeegzistuoja ir šiandien. Nors vienas netikėjo, kad įrodė teoremą kaip klasikinis fermistas, bet dar visai neseniai jis bandė – atsisakė patikėti, kai pasakiau, kad Ferma teorema jau buvo įgyvendinta. įrodytas).
Galingiausi matematikai, ko gero, tylėdami savo kabinetuose, taip pat bandė atsargiai priartėti prie šios nepakeliamos lazdos, bet garsiai apie tai nekalbėjo, kad nebūtų įvardijami kaip fermistai ir taip nepakenktų savo aukštam autoritetui.
Iki to laiko pasirodė veiksnio n teoremos įrodymas<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.
Keista hipotezė
Iki XX amžiaus vidurio Didžiosios teoremos istorijoje didelių pažangų nepastebėta. Tačiau netrukus matematiniame gyvenime įvyko įdomus įvykis. 1955 m. 28 metų japonų matematikas Yutaka Taniyama pateikė teiginį iš visiškai kitos matematikos srities, vadinamos Taniyama hipoteze (taip pat žinoma kaip Taniyama-Shimura-Weil hipotezė), kuri, priešingai nei pavėluota Ferma teorema, aplenkė jau laikas.
Taniyamos spėjimas teigia: „kiekvieną elipsinę kreivę atitinka tam tikra modulinė forma“. Šis teiginys to meto matematikams skambėjo maždaug taip pat absurdiškai, kaip mums skamba teiginys: „kiekvieną medį atitinka tam tikras metalas“. Nesunku atspėti, kaip normalus žmogus gali susitaikyti su tokiu teiginiu – jis paprasčiausiai to nepriims rimtai, kas atsitiko: matematikai vienbalsiai ignoravo hipotezę.
Mažas paaiškinimas. Elipsinės kreivės, žinomos ilgą laiką, turi dvimatę formą (esančios plokštumoje). Modulinės funkcijos, atrastos XIX amžiuje, turi keturmatę formą, todėl savo trimatėmis smegenimis jų net neįsivaizduojame, tačiau galime jas apibūdinti matematiškai; be to, modulinės formos stebina tuo, kad turi didžiausią įmanomą simetriją – jas galima versti (slinkti) bet kuria kryptimi, atspindėti, fragmentus galima sukeisti, pasukti be galo daug – ir jų išvaizda nesikeičia. Kaip matote, elipsinės kreivės ir modulinės formos turi mažai bendro. Taniyamos hipotezė teigia, kad šių dviejų visiškai skirtingų matematinių objektų, atitinkančių vienas kitą, aprašomosios lygtys gali būti išplėstos į tą pačią matematinę eilutę.
Taniyamos hipotezė buvo pernelyg paradoksali: ji apjungė visiškai skirtingas sąvokas – gana paprastas plokščias kreives ir neįsivaizduojamas keturmates formas. Tai niekam neatėjo į galvą. Kai 1955 m. rugsėjo mėn. Tokijuje vykusiame tarptautiniame matematikos simpoziume Taniyama pademonstravo keletą elipsinių kreivių ir modulinių formų atitikmenų, visi tai suprato kaip tik juokingą sutapimą. Į kuklų Taniyamos klausimą: ar įmanoma kiekvienai elipsinei kreivei rasti atitinkamą modulinę funkciją, garbusis prancūzas Andre Weilas, tuo metu buvęs vienas geriausių skaičių teorijos specialistų pasaulyje, gana diplomatiškai atsakė, ką jie sako. , jei smalsus Taniyama nepaliks entuziazmo, galbūt jam pasiseks ir jo neįtikėtina hipotezė pasitvirtins, tačiau tai neturi įvykti greitai. Apskritai, kaip ir daugelis kitų iškilių atradimų, iš pradžių Taniyamos hipotezė buvo ignoruojama, nes jie dar nebuvo iki jos subrendę – beveik niekas to nesuprato. Tik vienas Taniyamos kolega Goro Shimura, gerai pažinodamas savo gabų draugą, intuityviai jautė, kad jo hipotezė teisinga.
Po trejų metų (1958 m.) Yutaka Taniyama nusižudė (tačiau samurajų tradicijos Japonijoje stiprios). Sveiko proto požiūriu – nesuprantamas poelgis, ypač kai pagalvoji, kad labai greitai jis ketino tuoktis. Jaunųjų japonų matematikų lyderis savo savižudybės užrašą pradėjo taip: „Vakar aš negalvojau apie savižudybę. Pastaruoju metu dažnai iš kitų išgirsdavau, kad pavargau protiškai ir fiziškai. Tiesą sakant, iki šiol nesuprantu, kodėl tai darau. tai ...“ ir taip toliau trijuose lapuose. Gaila, žinoma, kad toks buvo įdomaus žmogaus likimas, bet visi genijai yra šiek tiek keisti – štai kodėl jie genijai (kažkodėl į galvą atėjo Arthuro Schopenhauerio žodžiai: „įprastame gyvenime, a. genialumas yra toks pat naudingas kaip teleskopas teatre“). Hipotezė buvo atsisakyta. Niekas nežinojo, kaip tai įrodyti.
Dešimt metų Taniyamos hipotezė beveik nebuvo prisiminta. Tačiau aštuntojo dešimtmečio pradžioje jis išpopuliarėjo - jį reguliariai tikrino visi, kas galėjo suprasti - ir tai visada buvo patvirtinta (kaip, tiesą sakant, Fermato teorema), tačiau, kaip ir anksčiau, niekas negalėjo to įrodyti.
Nuostabus ryšys tarp dviejų hipotezių
Praėjo dar 15 metų. 1984 m. matematikos gyvenime įvyko vienas esminis įvykis, sujungęs ekstravagantišką japonų spėjimą su paskutine Ferma teorema. Vokietis Gerhardas Frey pateikė keistą teiginį, panašų į teoremą: „Jei Taniyamos spėjimas bus įrodytas, vadinasi, paskutinė Ferma teorema bus įrodyta“. Kitaip tariant, Ferma teorema yra Taniyamos spėjimo pasekmė. (Frey, pasitelkęs genialias matematines transformacijas, sumažino Fermato lygtį iki elipsės kreivės lygties (tos pačios, kuri pasirodo Taniyamos hipotezėje), daugiau ar mažiau pagrindė savo prielaidą, bet negalėjo jos įrodyti). Ir tik po pusantrų metų (1986 m.) Kalifornijos universiteto profesorius Kennethas Ribetas aiškiai įrodė Frey teoremą.
Kas atsitiko dabar? Dabar paaiškėjo, kad kadangi Ferma teorema jau yra būtent Taniyamos spėjimo pasekmė, tereikia pastarąją įrodyti, kad būtų nulaužti legendinės Ferma teoremos užkariautojo laurai. Tačiau hipotezė pasirodė sunki. Be to, bėgant amžiams matematikai tapo alergiški Fermato teoremai, ir daugelis jų nusprendė, kad taip pat bus beveik neįmanoma susidoroti su Taniyamos spėjimu.
Fermato hipotezės mirtis. Teoremos gimimas
Praėjo dar 8 metai. Vienas progresyvus anglų matematikos profesorius iš Prinstono universiteto (Naujasis Džersis, JAV) Andrew Wilesas manė radęs Taniyamos spėlionių įrodymą. Jei genijus nėra nuplikęs, tada, kaip taisyklė, pasišiaušęs. Wilesas yra sutrikęs, todėl atrodo kaip genijus. Įeiti į istoriją, žinoma, yra viliojanti ir labai pageidautina, tačiau Wilesas, kaip ir tikras mokslininkas, nepagailėjo savęs, suprasdamas, kad tūkstančiai fermistų prieš jį taip pat matė vaiduokliškus įrodymus. Todėl prieš pateikdamas savo įrodymą pasauliui, jis pats atidžiai jį patikrino, tačiau suprasdamas, kad gali turėti subjektyvų šališkumą, į patikrinimus įtraukė ir kitus, pavyzdžiui, prisidengdamas eilinėmis matematinėmis užduotimis, kartais mesdavo įvairias nuotrupas. jo įrodymas protingiems magistrantams. Vėliau Wilesas prisipažino, kad niekas, išskyrus jo žmoną, nežinojo, kad jis stengiasi įrodyti Didžiąją teoremą.
Ir štai po ilgų patikrinimų ir skausmingų apmąstymų Wilesas pagaliau pasisėmė drąsos, o gal, kaip pats manė, įžūlumo ir 1993 metų birželio 23 dieną matematikos konferencijoje apie skaičių teoriją Kembridže paskelbė apie savo didelį pasiekimą.
Žinoma, tai buvo sensacija. Niekas nesitikėjo tokio vikrumo iš mažai žinomo matematiko. Tada atėjo spauda. Visus kankino degantis susidomėjimas. Lieknos formulės, tarsi gražaus paveikslo potėpiai, iškilo prieš smalsias publikos akis. Tikri matematikai juk tokie yra - žiūri į visokias lygtis ir mato jose ne skaičius, konstantas ir kintamuosius, o girdi muziką, kaip Mocartas žiūri į muzikinę lazdą. Kaip ir skaitydami knygą, žiūrime į raides, bet tarsi jų nepastebime, o iškart suvokiame teksto prasmę.
Atrodė, kad įrodymo pateikimas pavyko – klaidų jame nerasta – niekas negirdėjo nė vieno klaidingo užrašo (nors dauguma matematikų tiesiog spoksojo į jį kaip į integralą pirmokai ir nieko nesuprato). Visi nusprendė, kad įvyko didelio masto įvykis: buvo įrodyta Taniyamos hipotezė, taigi ir paskutinė Ferma teorema. Tačiau praėjus maždaug dviem mėnesiams, likus kelioms dienoms iki Wileso įrodymo rankraščio išleidimo į apyvartą, buvo nustatyta, kad jis nenuoseklus (Katzas, Wileso kolega, pažymėjo, kad vienas samprotavimas buvo pagrįstas „Eulerio sistema“, bet kas. pastatyta Wileso, tokia sistema nebuvo), nors apskritai Wileso metodai buvo laikomi įdomiais, elegantiškais ir naujoviškais.
Wilesas išanalizavo situaciją ir nusprendė, kad pralaimėjo. Galima įsivaizduoti, kaip jis visa savo esybe jautė, ką reiškia „nuo didžiojo iki juokingo vieno žingsnio“. „Norėjau stoti į Istoriją, bet vietoj to prisijungiau prie klounų ir komikų – įžūlių ūkininkų komandos“ – maždaug tokios mintys jį išsekino tuo skaudžiu gyvenimo laikotarpiu. Jam, rimtam matematikui, tai buvo tragedija, ir jis metė savo įrodymus ant nugaros.
Tačiau po kiek daugiau nei metų, 1994 m. rugsėjį, kartu su kolega Taylor iš Oksfordo galvodamas apie tą įrodymo kliūtį, pastarajam staiga kilo mintis, kad „Eulerio sistemą“ galima pakeisti į Iwasawa teoriją (skyrius skaičių teorija). Tada jie bandė panaudoti Iwasawa teoriją, apsieidami be „Eulerio sistemos“, ir visi susibūrė. Patikslinta įrodymo versija buvo pateikta patikrinti, o po metų paskelbta, kad jame viskas absoliučiai aišku, be nė vienos klaidos. 1995 metų vasarą viename iš pirmaujančių matematikos žurnalų – „Matematikos metraščiai“ – buvo paskelbtas pilnas Taniyamos spėlionių (taigi ir Fermato Didžioji (didžioji) teorema) įrodymas, kuris užėmė visą numerį – per šimtą puslapių. Įrodymas yra toks sudėtingas, kad tik kelios dešimtys žmonių visame pasaulyje galėtų jį suprasti.
Taigi XX amžiaus pabaigoje visas pasaulis pripažino, kad 360-aisiais savo gyvavimo metais paskutinė Ferma teorema, kuri iš tikrųjų visą tą laiką buvo hipotezė, tapo įrodyta teorema. Andrew Wilesas įrodė Didžiąją (didžiąją) Fermato teoremą ir įstojo į istoriją.
Manote, kad įrodėte teoremą...
Atradėjo laimė visada tenka kažkam vienam – būtent jis paskutiniu plaktuko smūgiu perskelia kietą žinių riešutą. Tačiau negalima ignoruoti daugybės ankstesnių smūgių, kurie šimtmečius sudarė plyšį Didžiojoje teoremoje: Euleris ir Gaussas (jų laikų matematikos karaliai), Evariste Galois (kuris sugebėjo įtvirtinti grupių ir laukų teoriją savo trumpame 21 m. - metų gyvenimą, kurio darbai buvo pripažinti puikiais tik po jo mirties), Henri Poincaré (ne tik keistų modulinių formų, bet ir konvencionalizmo - filosofinės krypties įkūrėjas), Davidas Gilbertas (vienas stipriausių XX amžiaus matematikų) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor ir kt. tikri mokslininkai(Aš nebijau šių žodžių).
Paskutinės Ferma teoremos įrodymas gali būti prilyginamas tokiems XX amžiaus pasiekimams kaip kompiuterio išradimas, branduolinė bomba ir skrydis į kosmosą. Nors apie tai ne taip plačiai žinoma, nes ji nesiveržia į mūsų momentinių interesų zoną, pavyzdžiui, televizorių ar elektros lemputę, tai buvo supernovos blyksnis, kuris, kaip ir visos nekintamos tiesos, visada nušvis žmoniją. .
Galite pasakyti: „Tik pagalvok, tu įrodei kažkokią teoremą, kam to reikia?". Teisingas klausimas. Deivido Gilberto atsakymas tiks būtent čia. Kada į klausimą: "kokia dabar svarbiausia mokslo užduotis?" Jis atsakė: "pagauti musę tolimoje mėnulio pusėje" jo pagrįstai paklausė: „Bet kam to reikia?“, jis atsakė taip: „Niekam to nereikia. Tačiau pagalvokite, kiek svarbių ir sudėtingų problemų reikia išspręsti, kad tai įvykdytumėte. "Pagalvokite, kiek problemų žmonija sugebėjo išspręsti per 360 metų prieš įrodant Ferma teoremą. Ieškodama jos įrodymo, beveik pusė šiuolaikinės matematikos Taip pat turime atsižvelgti į tai, kad matematika yra mokslo avangardas (ir, beje, vienintelis iš mokslų, kuris sukurtas be vienos klaidos), ir čia prasideda bet kokie mokslo pasiekimai ir išradimai. .
* * *
O dabar grįžkime į savo istorijos pradžią, prisiminkime Pierre'o Fermat įrašą Diofanto vadovėlio paraštėse ir dar kartą paklauskime savęs: ar tikrai Fermatas įrodė savo teoremą? Žinoma, mes negalime to tiksliai žinoti, ir, kaip ir bet kuriuo atveju, čia kyla įvairių versijų:
1 versija: Fermatas įrodė savo teoremą. (Į klausimą: „Ar Fermatas turėjo lygiai tokį patį savo teoremos įrodymą?“, Andrew Wilesas pastebėjo: „Fermatas negalėjo taipįrodymas. Tai – XX amžiaus įrodymas.“ Suprantame, kad XVII amžiuje matematika, žinoma, nebuvo tokia pati, kaip XX amžiaus pabaigoje – toje epochoje d, mokslų karalienė Artanjanas. tačiau turi tuos atradimus (modulines formas, Taniyamos teoremas, Frey'us ir kt.), kurie tik leido įrodyti paskutinę Ferma teoremą. Žinoma, galima daryti prielaidą: koks velnias nejuokauja – o jei Fermatas atspėtų kitaip Ši versija, nors ir tikėtina, daugelio matematikų nuomone, praktiškai neįmanoma);
2 versija: Pjerui de Ferma atrodė, kad jis įrodė savo teoremą, tačiau jo įrodyme buvo klaidų. (Tai yra, pats Fermatas taip pat buvo pirmasis fermatistas);
3 versija: Fermatas neįrodė savo teoremos, o tiesiog melavo paraštėse.
Jei viena iš dviejų paskutinių versijų yra teisinga, o tai greičiausiai, galima padaryti paprastą išvadą: puikūs žmonės, nors ir puikūs, jie taip pat gali klysti arba kartais neprieštarauja meluoti(iš esmės ši išvada bus naudinga tiems, kurie linkę visiškai pasitikėti savo stabais ir kitais minčių valdovais). Todėl skaitydami autoritetingų žmonijos sūnų kūrinius ar klausydami apgailėtinų jų kalbų, turite teisę abejoti jų teiginiais. (Prašau Pasižymėk tai abejoti – tai ne atmesti).
Perspausdinti straipsnių medžiagą galima tik turint privalomas nuorodas į svetainę (internete – hipersaitas) ir autoriui
FERMAT GREAT TEOREM – Pierre'o Fermat (prancūzų teisininko ir neakivaizdinio matematiko) teiginys, kad Diofanto lygtis X n + Y n = Z n , kurios rodiklis n>2, kur n = sveikas skaičius, neturi teigiamų sprendinių. sveikieji skaičiai . Autoriaus tekstas: „Neįmanoma išskaidyti kubo į du kubus arba dvigubo kvadrato į du bi-kvadratus, arba apskritai didesnės nei dvi galios į dvi laipsnius su tuo pačiu eksponentu.
„Fermatas ir jo teorema“, Amadeo Modigliani, 1920 m
Pierre'as sugalvojo šią teoremą 1636 m. kovo 29 d. Ir po kokių 29 metų jis mirė. Bet nuo to viskas ir prasidėjo. Juk turtingas vokiečių matematikas, vardu Volfskelis, paliko šimtą tūkstančių markių tam, kuris pateiks pilną Ferma teoremos įrodymą! Tačiau jaudulys aplink teoremą buvo susijęs ne tik su šiuo, bet ir su profesionaliu matematiniu jauduliu. Pats Fermatas matematikų bendruomenei užsiminė žinantis įrodymą – prieš pat savo mirtį, 1665 m., knygos Diofantas Aleksandrietis „Aritmetika“ paraštėse jis paliko tokį įrašą: „Turiu labai nuostabų įrodymą, bet jis yra. per didelis, kad būtų galima dėti ant laukų.
Būtent ši užuomina (be abejo, piniginis prizas) privertė matematikus nesėkmingai išleisti geriausi metai(Amerikos mokslininkų skaičiavimais, tik profesionalūs matematikai tam iš viso skyrė 543 metus).
Tam tikru momentu (1901 m.) darbas su Ferma teorema įgijo abejotinos šlovės „darbas, panašus į amžinojo varymo mašinos paieškas“ (buvo netgi menkinantis terminas – „fermatistai“). Ir staiga, 1993 m. birželio 23 d., matematikos konferencijoje apie skaičių teoriją Kembridže, anglų matematikos profesorius iš Prinstono universiteto (Naujasis Džersis, JAV) Andrew Wilesas paskelbė, kad pagaliau įrodė Fermat!
Tačiau įrodymas buvo ne tik sudėtingas, bet ir akivaizdžiai klaidingas, kaip Wilesą nurodė jo kolegos. Tačiau profesorius Wilesas visą gyvenimą svajojo įrodyti teoremą, todėl nenuostabu, kad 1994-ųjų gegužę jis mokslo bendruomenei pristatė naują, patobulintą įrodymo versiją. Jame nebuvo harmonijos, grožio ir vis tiek buvo labai komplikuota – tai, kad matematikai šį įrodymą analizuoja ištisus metus (!) Suprasti, ar jis neklysta, kalba pats už save!
Tačiau galiausiai Wileso įrodymas buvo teisingas. Tačiau matematikai neatleido Pierre'ui Fermat'o užuominų į aritmetiką ir iš tikrųjų pradėjo jį laikyti melagiu. Tiesą sakant, pirmasis asmuo, suabejojęs Ferma moraliniu sąžiningumu, buvo pats Andrew Wilesas, kuris pažymėjo, kad "Fermatas negalėjo turėti tokio įrodymo. Tai yra dvidešimtojo amžiaus įrodymas". Tada, tarp kitų mokslininkų, sustiprėjo nuomonė, kad Fermatas „negalėjo įrodyti savo teoremos kitu būdu, o Fermatas negalėjo įrodyti jos taip, kaip tai padarė Wilesas, dėl objektyvių priežasčių“.
Tiesą sakant, Fermatas, žinoma, galėtų tai įrodyti, o kiek vėliau šį įrodymą atkurs Naujosios analitinės enciklopedijos analitikai. Bet – kokios tos „objektyvios priežastys“?
Tiesą sakant, tokia priežastis yra tik viena: tais metais, kai gyveno Fermatas, negalėjo atsirasti Taniyamos spėjimas, kuriuo remdamasis Andrew Wiles'as pastatė savo įrodymą, nes modulinės funkcijos, kuriomis veikia Taniyamos spėjimas, buvo atrastos tik XIX amžiaus pabaigoje. .
Kaip pats Wilesas įrodė teoremą? Klausimas nėra tuščias – tai svarbu norint suprasti, kaip pats Fermatas galėtų įrodyti savo teoremą. Wilesas savo įrodymą pastatė remdamasis Taniyamos spėliojimu, kurį 1955 metais pateikė 28 metų japonų matematikas Yutaka Taniyama.
Spėjimas skamba taip: „kiekviena elipsinė kreivė atitinka tam tikrą modulinę formą“. Elipsinės kreivės, žinomos nuo seno, turi dvimatę formą (esančios plokštumoje), o modulinės funkcijos – keturmatę. Tai yra, Taniyamos hipotezė apjungė visiškai skirtingas sąvokas – paprastas plokščias kreives ir neįsivaizduojamas keturių dimensijų formas. Pats faktas apie skirtingų matmenų figūrų sujungimą hipotezėje mokslininkams atrodė absurdiškas, todėl 1955 metais jam nebuvo suteikta jokios reikšmės.
Tačiau 1984 metų rudenį „Tanijamos hipotezė“ staiga vėl buvo prisiminta ir ne tik prisiminta, bet ir galimas jos įrodymas buvo susietas su Ferma teoremos įrodymu! Tai padarė Sarbriukeno matematikas Gerhardas Frey, kuris informavo mokslo bendruomenę, kad „jei kas nors galėtų įrodyti Taniyamos spėjimą, tada paskutinė Ferma teorema būtų įrodyta“.
Ką padarė Frey? Jis pavertė Fermato lygtį į kubinę, tada atkreipė dėmesį į tai, kad elipsinė kreivė, gauta konvertuojant Ferma lygtį į kubinę, negali būti modulinė. Tačiau Taniyamos spėjimas teigė, kad bet kokia elipsinė kreivė gali būti modulinė! Atitinkamai, elipsinė kreivė, sudaryta iš Ferma lygties, negali egzistuoti, o tai reiškia, kad negali būti ištisų sprendinių ir Ferma teoremos, o tai reiškia, kad tai tiesa. Na, 1993 m. Andrew Wilesas tiesiog įrodė Taniyamos spėjimą, taigi ir Fermato teoremą.
Tačiau Ferma teoremą galima įrodyti daug paprasčiau, remiantis tuo pačiu daugiamatiškumu, kurį operavo ir Taniyama, ir Frey.
Pirmiausia atkreipkime dėmesį į paties Pierre'o Fermato sąlygą – n>2. Kodėl ši sąlyga buvo reikalinga? Taip, tik dėl to, kad n=2 įprasta Pitagoro teorema X 2 +Y 2 =Z 2 tampa specialiu Ferma teoremos atveju, turinčiu begalinį sveikųjų skaičių sprendinių skaičių - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51 140 149 ir pan. Taigi Pitagoro teorema yra Ferma teoremos išimtis.
Bet kodėl būtent n=2 atveju atsiranda tokia išimtis? Viskas stoja į savo vietas, jei matai ryšį tarp laipsnio (n=2) ir pačios figūros matmens. Pitagoro trikampis yra dvimatė figūra. Nenuostabu, kad Z (ty hipotenuzė) gali būti išreikštas kojelėmis (X ir Y), kurios gali būti sveikieji skaičiai. Kampo dydis (90) leidžia laikyti hipotenuzą vektoriumi, o kojos yra vektoriai, esantys ant ašių ir ateinantys iš pradžios. Atitinkamai, galima išreikšti dvimatį vektorių, kuris nėra ant nė vienos ašies, atsižvelgiant į vektorius, kurie yra ant jų.
Dabar, jei eisime į trečią dimensiją, taigi į n=3, norėdami išreikšti trimatį vektorių, nebus pakankamai informacijos apie du vektorius, todėl Z bus galima išreikšti Ferma lygtimi bent trys nariai (trys vektoriai, esantys atitinkamai trijose koordinačių sistemos ašyse).
Jei n=4, tai turi būti 4, jei n=5, tai turėtų būti 5 terminai ir t.t. Tokiu atveju bus daugiau nei pakankamai visapusių sprendimų. Pavyzdžiui, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 ir taip toliau (galite pasirinkti kitus pavyzdžius, kai n=3, n=4 ir pan.).
Kas iš viso to seka? Iš to išplaukia, kad Ferma teorema iš tikrųjų neturi sveikųjų skaičių n>2, bet tik todėl, kad pati lygtis yra neteisinga! Lygiai taip pat sėkmingai būtų galima pabandyti išreikšti gretasienio tūrį jo dviejų kraštų ilgiais – žinoma, tai neįmanoma (visų sprendimų niekada nepavyks rasti), bet tik todėl, kad reikia rasti gretasienio tūrį. , reikia žinoti visų trijų jo kraštų ilgius.
Kai garsaus matematiko Davido Gilberto paklausė, kokia dabar yra svarbiausia mokslo užduotis, jis atsakė „pagauti musę tolimoje mėnulio pusėje“. Į pagrįstą klausimą "Kam to reikia?" jis atsakė taip: "Niekam to nereikia. Bet pagalvokite, kiek svarbių ir sunkių užduočių turite išspręsti, kad tai padarytumėte."
Kitaip tariant, Fermatas (visų pirma teisininkas!) suvaidino šmaikštų teisinį pokštą visam matematiniam pasauliui, remdamasis neteisinga problemos formuluote. Jis, tiesą sakant, siūlė matematikams rasti atsakymą, kodėl musė negali gyventi kitoje Mėnulio pusėje, o „Aritmetikos“ paraštėse norėjo parašyti tik tiek, kad Mėnulyje tiesiog nėra oro, t.y. negali būti sveikųjų jo teoremos sprendinių n>2 vien todėl, kad kiekviena n reikšmė turi atitikti tam tikrą skaičių narių kairėje lygties pusėje.
Bet ar tai tik pokštas? Visai ne. Ferma genialumas slypi būtent tame, kad jis iš tikrųjų pirmasis pamatė ryšį tarp laipsnio ir matematinės figūros matmens – tai yra absoliučiai lygiavertis terminų skaičius kairėje lygties pusėje. Jo garsiosios teoremos prasmė buvo būtent ne tik pastūmėti matematinį pasaulį į šio santykio idėją, bet ir inicijuoti šio santykio egzistavimo įrodymą – intuityviai suprantamą, bet matematiškai dar nepatvirtintą.
Fermatas, kaip niekas kitas, suprato, kad santykių tarp iš pažiūros skirtingų objektų užmezgimas yra nepaprastai vaisingas ne tik matematikoje, bet ir bet kuriame moksle. Toks ryšys rodo tam tikrą gilų principą, kuriuo grindžiami abu objektai, ir leidžia juos giliau suprasti.
Pavyzdžiui, iš pradžių fizikai elektrą ir magnetizmą laikė visiškai nesusijusiais reiškiniais, o XIX amžiuje teoretikai ir eksperimentuotojai suprato, kad elektra ir magnetizmas yra glaudžiai susiję. Rezultatas buvo gilesnis elektros ir magnetizmo supratimas. Elektros srovės generuoti magnetiniai laukai, o magnetai gali sukelti elektros srovę šalia magnetų esančiuose laiduose. Tai paskatino dinamo ir elektros variklių išradimą. Galiausiai buvo nustatyta, kad šviesa yra suderintų harmoninių magnetinių ir elektrinių laukų virpesių rezultatas.
Fermato laikų matematiką sudarė žinių salos nežinojimo jūroje. Geometrai tyrė formas vienoje saloje, o matematikai – tikimybę ir atsitiktinumą kitoje saloje. Geometrijos kalba labai skyrėsi nuo tikimybių teorijos kalbos, o algebrinė terminija buvo svetima tiems, kurie kalbėjo tik apie statistiką. Deja, mūsų laikų matematika susideda iš maždaug tų pačių salų.
Ūkis pirmasis suprato, kad visos šios salos yra tarpusavyje susijusios. Ir jo garsioji teorema – DIDŽIOJI Ferma teorema – puikiai tai patvirtina.