Elektrostatinis laukas yra potencialus. Kas yra potencialus laukas? Tegul elektrostatinis laukas perkelia krūvį tarp dviejų taškų. Lauko jėgų darbas perkelti krūvį tarp šių taškų nepriklauso nuo kelio formos, o priklauso tik nuo pačių taškų padėties. Toks laukas vadinamas potencialu.
Kadangi elektrostatinis laukas yra potencialas, galima įvesti jo potencialo sąvoką.
Potencialus apibrėžimas:
Tam tikro taško potencialas yra dydis, skaitiniu požiūriu lygus darbui, kurį atlieka lauko jėgos, perkeldamos vienetinį teigiamą krūvį iš tam tikro taško į begalybę.
Ir kodėl reikia perkelti krūvį į begalybę? Manoma, kad begalybėje laukas lygus nuliui, o potencialas lygus nuliui. Jei dar kartą perskaitysime potencialo apibrėžimą, suprastume, kad perkeldami krūvį į begalybę, perkeliame jį iki taško, kur potencialas yra lygus nuliui. Nulinio potencialo tašku galima pasirinkti bet kurį tašką, tačiau dažniausiai pasirenkama begalybė.
Kitas klausimas: kodėl norint nustatyti potencialą svarbu, kad elektrostatinis laukas yra potencialas? Potencialiame lauke darbas nepriklauso nuo kelio formos, o tai reiškia, kad potencialas gali apibūdinti lauką taške. Juk jei lauko darbas perkeliant krūvį į begalybę priklausytų nuo tako formos, tai perkeliant krūvį įvairiais būdais gautume skirtingas vieno taško potencialo reikšmes. Bet dirbk tuo atveju elektrostatinis laukas ne priklauso nuo kelio formos, o tai reiškia, kad potencialo reikšmė taške bus tik viena, o tai reiškia, kad potencialas gali apibūdinti lauką tam tikrame taške.
Įvairiuose elektrostatinio lauko taškuose galime vienareikšmiškai nurodyti potencialo reikšmę. Tiesa, čia yra viena subtilybė: prieš nurodant bet kurio taško potencialo vertę, tam tikrame taške reikia paimti potencialo vertę, lygią nuliui (arba kokiai nors konkrečiai vertei). Mes pasirinkome begalybę kaip tokį tašką. Čia svarbu suprasti, kad kai kalbame apie lauko potencialą tam tikrame taške, tada iš anksto žinomas kitas taškas, kur (arba iš kur) judėsime krūvį.
Formulė gali būti naudojama potencialų skirtumui tarp dviejų taškų nustatyti elektrinis laukas, jei žinomas lauko stiprumas srityje tarp šių taškų. Apversdami šią formulę, elektrinio lauko stiprumą galime išreikšti jo potencialu, t.y. V, galime nustatyti E.
Pažiūrėkime, kaip tai daroma.
Lygtį galima perrašyti diferencine forma:
dV = -E dl = -E l dl,
kur dV- be galo mažas potencialų skirtumas tarp taškų, esančių atstumu dl vienas nuo kito ir E l yra elektrinio lauko stiprumo komponentas šio be galo mažo poslinkio kryptimi dl.
Tada:
Taigi elektrinio lauko stiprumo komponentas bet kuria kryptimi yra lygus potencialo gradientui šia kryptimi, paimtam su priešingu ženklu. dydžio gradientas V vadinamas jo išvestiniu tam tikra kryptimi dV/dl. Jei kryptis nenurodyta, gradientas atitinka sparčiausio pokyčio kryptį. V; tai atitinka vektoriaus kryptį E tam tikrame taške, nes būtent šia kryptimi vektoriaus komponentas E sutampa su visa lauko stiprumo verte:
Jeigu vektoriaus E dedamąsias užrašysime koordinatėmis x, y, z ir kaip l imti kryptis išilgai ašių x y, z, tada lygtį (24.8) galima parašyti taip:
Čia dV/dx- dalinė išvestinė V link X su sąlyga, kad adresu ir z fiksuotas.
Paskutiniame pavyzdyje apskaičiavome elektrinio lauko stiprumą E dipolis savavališkame erdvės taške. Susumavus kiekvieno krūvio sukuriamų įtampų vektorius atskirai, gauti šį rezultatą būtų daug sunkiau. Paprastai tariant, daugeliui krūvių pasiskirstymo daug lengviau apskaičiuoti potencialą, o tada, naudojant (24.9) formulę, elektrinio lauko stiprumą. E nei skaičiuoti pagal Kulono dėsnį atskirai E kiekvienam įkrovimui: skaliarus pridėti daug lengviau nei vektorius.
Elektrostatinė potencinė energija
Manome, kad taško mokestis q judėti erdvėje iš taško a tiksliai b, elektriniai potencialai, kuriuose dėl kitų krūvių yra atitinkamai lygūs Va ir Vb. Krūvio elektrostatinės potencinės energijos pokytis q kitų mokesčių srityje yra:
ΔU \u003d U b - U a \u003d q (V b - V a) \u003d qV ba
Tegu dabar yra kelių taškų mokesčių sistema. Kokia yra sistemos elektrostatinė potencialinė energija?
Patogiausia kaip nulį pasirinkti krūvių potencinę energiją labai dideliais (idealiu atveju be galo dideliais) atstumais vienas nuo kito. Vienišo taško krūvio potenciali energija Q1 yra nulis, nes nesant kitų krūvių jo neveikia jokia jėga. Jei jai paimamas antras taškas, Q2, potencialas taške, kuriame yra antrasis krūvis, bus lygus:
Čia r 1 2 - atstumas tarp įkrovimų. Dviejų krūvių potenciali energija yra:
Jis apibūdina darbą, reikalingą krūviui perkelti. K 2 iš begalybės ( V= 0) iki atstumo r 1 2 prieš įkrovimą K i (arba su minuso ženklu – darbas, reikalingas krūviams paskleisti begaliniu atstumu).
Jei sistema susideda iš trijų krūvių, tai jos bendra potenciali energija bus lygi visų trijų krūvių perkėlimo iš begalybės į jų vietą darbui. Mokesčių konvergencijos darbas K 2 ir K 1 nustatomas pagal išraišką (24.10);
pervesti mokestį K 3 nuo begalybės iki taško tolumoje r 1 3 nuolaida K 1 ir per atstumą r 2 3 nuolaida K 2, būtina atlikti darbą:
Šiuo atveju trijų taškų krūvių sistemos potenciali energija bus lygi:
Keturių krūvių sistemoje potencialios energijos išraiškoje bus šeši tokie terminai ir pan. (Sudarant tokias sumas reikia pasirūpinti, kad tos pačios poros nebūtų skaičiuojamos du kartus.) Dažnai mus domina ne visa elektrostatinė potencinė energija, o tik jos dalis. Pavyzdžiui, gali prireikti rasti vieno dipolio potencialią energiją esant kitam dipoliui. Sąveikoje dalyvauja keturi mokesčiai: K 1 ir -K 1 pirmasis dipolis ir K 2 ir -K 2 antrasis dipolis.
Potenciali vieno dipolio energija ir esant kitam (kartais vadinama sąveikos energija) yra dipolių suartinimas iš begalinio atstumo. Šiuo atveju mūsų nedomina krūvių abipusė potenciali energija K 1 ir -K 1 arba K 2 ir -K 2; dviejų dipolių potencialios energijos išraiškoje bus tik keturi terminai, atitinkantys krūvių sąveikos energijas: K 1 ir K 2 ; K 1 ir -K 2 ; -K 1 ir K 2 ; -K 1 ir -K 2 .
Išvada
Elektrinis potencialas bet kuriame erdvės taške apibrėžiama kaip vienetinio krūvio elektrostatinė potenciali energija. Potencialų skirtumą tarp dviejų taškų lemia priešingu ženklu atliktas darbas, kurį atlieka laukas, kai tarp šių taškų juda vienetinis elektros krūvis. Potencialų skirtumas matuojamas voltais (1 V = 1 J/C) ir kartais vadinamas įtampa. Krūvio potencinės energijos pokytis q kai praeina per potencialų skirtumą Vba lygus ∆U = qVba.
Vba tarp taškų b ir a vienodame elektriniame lauke su intensyvumu E nustatoma pagal formulę V = -Red, kur d yra atstumas išilgai lauko linijos tarp šių taškų.
Nehomogeniškame elektriniame lauke E atitinkama išraiška turi formą .
Taigi, žinant E, visada galite apibrėžti Vba. Jei vertė V yra žinomas, tada lauko stiprumo komponentai E galima rasti apvertus pateiktą santykį:
E x \u003d -dV / dx, E y \u003d -dV / dy, E z \u003d -dV / dz .
Komentarai ir pasiūlymai priimami ir laukiami!
Elektrinio lauko potencialas yra potencialios energijos ir krūvio santykis. Kaip žinote, elektrinis laukas yra potencialus. Todėl bet kuris kūnas, esantis šiame lauke, turi potencialią energiją. Bet koks darbas, kurį atliks laukas, bus susijęs su potencialios energijos sumažėjimu.
Formulė 1 – potencialas
Elektrinio lauko potencialas yra lauko energinė charakteristika. Tai reiškia darbą, kuris turi būti atliktas prieš elektrinio lauko jėgas, norint perkelti vienetinį teigiamą taškinį krūvį, esantį begalybėje, į tam tikrą lauko tašką.
Elektrinio lauko potencialas matuojamas voltais.
Jei lauką sudaro keli mokesčiai, kurie yra išdėstyti atsitiktine tvarka. Potencialas tam tikrame tokio lauko taške bus algebrinė visų potencialų, kurie sukuria krūvius kiekvieną atskirai, suma. Tai yra vadinamasis superpozicijos principas.
Formulė 2 – bendras skirtingų krūvių potencialas
Tarkime, kad elektriniame lauke krūvis juda iš taško „a“ į tašką „b“. Darbas atliekamas prieš elektrinio lauko stiprumą. Atitinkamai, potencialai šiuose taškuose skirsis.
Formulė 3 – darbas elektriniame lauke
1 pav. – krūvio judėjimas elektriniame lauke
Potencialų skirtumas tarp dviejų lauko taškų bus lygus vienam voltui, jei norint perkelti vieno pakabuko krūvį tarp jų, reikia atlikti vieno džaulio darbą.
Jei krūviai turi tuos pačius ženklus, tada potenciali jų sąveikos energija bus teigiama. Šiuo atveju krūviai atstumia vienas kitą.
Priešingų krūvių sąveikos energija bus neigiama. Mokesčiai šiuo atveju bus pritraukti vienas į kitą.
Energijos sąvoka itin naudinga sprendžiant mechanikos problemas. Visų pirma, energija išsaugoma, todėl ji yra svarbi gamtos reiškinių savybė. Pasitelkus idėjas apie energiją, daug problemų gali būti išspręstos neturint detalių žinių apie jėgas arba tuo atveju, kai Niutono dėsnių taikymas pareikalautų sudėtingų skaičiavimų.
Energijos metodas gali būti naudojamas ir tiriant elektrinius reiškinius, ir čia jis pasirodo itin naudingas: leidžia ne tik apibendrinti energijos tvermės dėsnį, bet ir pažvelgti į elektros reiškinius nauju aspektu, tarnauja kaip priemonė ieškant sprendimų paprasčiau, nei atsižvelgiant į jėgas ir elektrinius laukus.
Potencialią energiją galima nustatyti tik konservatyvioms jėgoms; tokios jėgos darbas judant dalelei tarp dviejų taškų nepriklauso nuo pasirinkto kelio.
Nesunku pastebėti, kad elektrostatinė jėga yra konservatyvi: jėga, kuria vienas taškinis krūvis veikia kitą, nustatoma pagal Kulono dėsnį: F = kQ 1 Q 2 /r 2; čia ta pati atvirkščiai proporcinga priklausomybė nuo atstumo kvadrato kaip ir įstatyme gravitacija: F \u003d Gm 1 m 2 / r 2. Tokios jėgos yra konservatyvios. Jėga, veikianti pasirinktą krūvį iš bet kurio krūvių pasiskirstymo, gali būti užrašoma kaip Kulono jėgų suma; vadinasi, savavališko krūvių paskirstymo sukuriama jėga yra konservatyvi. Ir tai leidžia mums įvesti potencialią elektrostatinio lauko energiją.
Taškinio krūvio potencialus energijos skirtumas q dviejuose skirtinguose taškuose elektrinį lauką galima apibrėžti kaip darbą, kurį atlieka išorinės jėgos, perkeldamos krūvį (prieš elektrinės jėgos veikimą) iš vieno taško į kitą. Tai prilygsta krūvio potencialios energijos pasikeitimui lauke apibrėžti kaip paties lauko atliekamą darbą perkeliant krūvį iš vieno taško į kitą, paimtą su priešingu ženklu.
Apsvarstykite, pavyzdžiui, elektrinį lauką tarp dviejų plokščių, turinčių vienodą ir priešingą krūvį. Tegul plokščių matmenys būna dideli, lyginant su atstumu tarp jų, ir todėl lauką tarp plokščių galima laikyti vienodu (24.1 pav.).
Padėkime tai į tašką ašalia teigiamai įkrautos plokštės, taškinis teigiamas krūvis q. Elektrinė jėga, veikianti krūvį, linkusi perkelti jį į neigiamą plokštę (į tašką b) atlieka kaltinimo perkėlimo darbus. Veikiant jėgai, krūvis įgis pagreitį ir padidės jo kinetinė energija; šiuo atveju potenciali energija sumažės atlikto darbo kiekiu elektrinė jėga apie krūvio judėjimą iš taško a tiksliai b. Pagal energijos tvermės dėsnį, potenciali krūvio energija elektriniame lauke virs kinetine energija, tačiau bendra energija išliks nepakitusi. Atkreipkite dėmesį, kad teigiamas krūvis q turi didžiausią potencialią energiją Ušalia teigiamos plokštės (šiuo metu jos gebėjimas dirbti kitam kūnui ar sistemai yra didžiausias). Neigiamo krūvio atveju yra atvirkščiai: jo potenciali energija bus didžiausia šalia neigiamos plokštės.
Elektrinio lauko stiprumą apibrėžėme kaip jėgą, veikiančią vienetinį krūvį; panašiai patogu įvesti elektrinis potencialas(arba tiesiog potencialas, jei tai nesukelia painiavos) kaip vienetinio krūvio potenciali energija. Elektrinis potencialas pažymėtas simboliu V; taigi jei tam tikru momentu a taškinis mokestis q turi potencialią energiją U a, tada elektrinis potencialas šiame taške yra lygus V a = U a /q.
Iš tikrųjų mes matuojame tik potencialios energijos pokytį. Atitinkamai, iš tikrųjų galima išmatuoti tik potencialų skirtumą tarp dviejų taškų (pavyzdžiui, taškų a ir b pav. 24.1). Jei elektrinių jėgų darbas perkelti krūvį iš taško a tiksliai b yra Wba(o potencialios energijos skirtumas atitinkamai yra lygus šiai reikšmei su priešingu ženklu), tada potencialų skirtumą galime parašyti
Elektrinio potencialo (ir potencialų skirtumo) vienetas yra džaulis vienam pakabučiui (J/C); šiam įrenginiui buvo suteiktas volto (V) pavadinimas Alessandro Voltos (1745-1827) garbei (jis žinomas kaip elektros baterijos išradėjas); 1 V = 1 J/C. Atkreipkite dėmesį, kad pagal šį apibrėžimą teigiamai įkrauta plokštė Fig. 24.1 potencialas yra didesnis nei neigiamas. Taigi teigiamai įkrautas kūnas bus linkęs judėti iš didesnio potencialo taško į tašką su mažesniu potencialu, neigiamai įkrautas kūnas – atvirkščiai. Potencialų skirtumas dažnai vadinamas elektros įtampa.
Potencialas tam tikrame taške Va priklauso nuo „nulinio“ potencialo pasirinkimo; kaip ir potencialios energijos atveju, nulinis lygis gali būti pasirinktas savavališkai, nes galima išmatuoti tik potencialios energijos pokytį (potencialų skirtumą). Dažnai žemės ar laidininko, prijungto prie žemės, potencialas laikomas nuliu, o likusios potencialo vertės skaičiuojamos „žemės“ atžvilgiu. (Pavyzdžiui, kai sakome, kad potencialas taške yra 50 V, turime omenyje, kad potencialų skirtumas tarp to taško ir žemės yra 50 V.) Kitais atvejais, kaip matysime, patogu atsižvelgti į potencialą ties tašku. begalybė būti nuliui.
Kadangi elektrinis potencialas apibrėžiamas kaip vienetinio krūvio potencinė energija, tai krūvio potencinės energijos pokytis q perkeliant jį iš taško a tiksliai b lygus
Δ U = U b - U a = qV ba
Kitaip tariant, kai mokestis q juda tarp taškų su potencialų skirtumu Vba, jo potenciali energija keičiasi dydžiu qVba. Jei, pavyzdžiui, potencialų skirtumas tarp plokščių pav. 24.1 yra 6 V, tada 1 C krūvis, išstumtas (išorinės jėgos) iš taško b tiksliai a, padidins savo potencialią energiją (1 C) (6 V) = 6 J. (Judėdama nuo a in b, jis praras 6 J potencinę energiją.) Panašiai 2 C krūvio energija padidės 12 J ir tt Taigi elektrinis potencialas yra elektros krūvio potencinės energijos kitimo matas situacija. Kadangi potenciali energija yra gebėjimas atlikti darbą, elektrinis potencialas yra darbo, kurį gali atlikti tam tikras krūvis, matas. Darbo kiekis priklauso ir nuo potencialų skirtumo, ir nuo krūvio dydžio.
Norėdami geriau suprasti elektrinio potencialo reikšmę, nubrėžkime analogiją su gravitaciniu lauku. Tegul akmuo nukrenta nuo uolos viršaus. Kuo aukštesnė uoliena, tuo akmuo turi daugiau potencialios energijos ir tuo didesnė bus jo kinetinė energija, kai jis pasieks uolos dugną. Kinetinės energijos kiekis ir, atitinkamai, darbas, kurį gali atlikti akmuo, priklauso nuo uolos aukščio ir akmens masės. Panašiai elektriniame lauke potencinės energijos pokytis (ir darbas, kurį galima atlikti) priklauso nuo potencialų skirtumo (atitinka uolienos aukštį) ir krūvio (atitinka masę).
Praktiškai naudojami elektros energijos šaltiniai – baterijos, elektros generatoriai – sukuria tam tikrą potencialų skirtumą. Energijos kiekis, paimtas iš šaltinio, priklauso nuo perduodamo krūvio dydžio.
Apsvarstykite, pavyzdžiui, automobilio priekinį žibintą, prijungtą prie akumuliatoriaus, kurio potencialų skirtumas tarp gnybtų yra 12 V. Energijos kiekis, kurį žibintas paverčia šviesa (ir, žinoma, šiluma) yra proporcingas per priekinį žibintą tekėjusiam krūviui, t. o tai savo ruožtu priklauso nuo to, kiek laiko įjungtas priekinis žibintas. Jei tam tikrą laiką pro priekinį žibintą praėjo 5,0 C įkrova, tada žibinto konvertuojama energija bus (5,0 C) * (12,0 V) \u003d 60 J. Jei paliksite žibintą įjungtą dvigubai ilgiau, tada įkrovimas per jį praeis 10,0 C, o konvertuojamos energijos kiekis bus (10,0 C) * (12,0 V) = 120 J.
Vienokio ar kitokio krūvių pasiskirstymo sukeliamus padarinius galima apibūdinti tiek elektrinio lauko stiprio pagalba, tiek per elektrinį potencialą. Tarp lauko stiprumo ir potencialo yra glaudus ryšys. Pirmiausia panagrinėkime šį ryšį vienodo elektrinio lauko atveju, pavyzdžiui, lauką tarp plokščių 1 pav. 24.1 su potencialų skirtumu Vba. Elektrinio lauko darbas perkelti teigiamą krūvį q iš taško a tiksliai b yra lygus
W = - qV ba
Atkreipkime dėmesį, kad vertė Vba = Vb - Va neigiamas ( Vba a yra didesnis nei taške b(ir teigiamas potencialo taško atžvilgiu b). Todėl lauko atliktas darbas yra teigiamas.
Kita vertus, darbas lygus jėgos ir poslinkio sandaugai, veikiančiai krūvį q, yra F = qE, kur E- vienodo elektrinio lauko tarp plokščių intensyvumas. Šiuo būdu,
W = Fd = qEd
kur d- atstumas tarp taškų a ir b(palei jėgos liniją). Prilyginę šiuos posakius darbui, gauname
- qVba = qEd
V b - V a \u003d V ba \u003d - Red(laukas E vienalytis).
Dešinėje pusėje esantis minuso ženklas tiesiog tai rodo V a V b, t.y. teigiamos plokštės potencialas yra didesnis nei neigiamos, kaip minėjome. Teigiami krūviai linkę pereiti iš didelio potencialo srities į mažo potencialo sritį. Iš čia galite rasti E:
E \u003d - V ba / d .
Iš paskutinės lygybės matyti, kad elektrinio lauko stipris gali būti matuojamas tiek voltais vienam metrui (V/m), tiek niutonais pakabučiui (N/C). Šie vienetai yra lygiaverčiai vienas kitam: 1 N/C = 1 N m/C m = 1 J/C m = 1 V/m.
Norėdami pereiti prie bendro nehomogeninio elektrinio lauko atvejo, primename jėgos santykį F ir potenciali energija U dėl šios jėgos. Potencialių energijų skirtumas dviejuose erdvės taškuose a ir b nustatoma pagal formulę
kur dl- be galo mažas poslinkis, o integralas imamas savavališka trajektorija tarp taškų a ir b. Elektrinio lauko atveju mus labiau domina ne potencialių energijų, o potencialų skirtumas:
V ba = V b - V a = (U b - U a)/q
Elektrinio lauko stiprumas E bet kuriame erdvės taške nustatoma pagal jėgos ir krūvio santykį: E = F/q. Pakeitę šias dvi lygybes į formulę, gauname
Tai yra bendras ryšys, siejantis elektrinio lauko stiprumą su potencialų skirtumu.
Kai laukas yra vienodas, pavyzdžiui, pav. 24.1 išilgai trajektorijos, lygiagrečios jėgos linijoms, iš taško a prie teigiamos plokštės iki taško b prie neigiamos plokštės (nes nurodymai E ir dl visur sutampa) turime
kur d- atstumas išilgai lauko linijos tarp taškų a ir b. Ir vėl minuso ženklas dešinėje tik rodo, kad pav. 24.1 V a > V b .
Tęsinys. Trumpai apie šį leidinį:
Komentarai ir pasiūlymai priimami ir laukiami!
Elektrostatinis laukas yra potencialus laukas. Potencialių jėgos laukų sąvoka buvo pristatyta mechanikos kurse. Laukas vadinamas potencialu, jeigu šio lauko jėgų darbas judant iš vieno taško į kitą nepriklauso nuo trajektorijos formos, o yra nulemtas tik pradinės ir galutinės padėties.
Potencialas yra bet koks centrinis laukas, kuriame jėga priklauso tik nuo atstumo iki jėgos centro ir yra nukreipta išilgai spindulio. Šio teiginio įrodymas buvo svarstomas mechanikos metu. Vienišo taškinio krūvio sukuriamas elektrostatinis laukas apibūdinamas Kulono dėsniu. Šis laukas yra sferiškai simetriškas ir yra ypatingas centrinio lauko atvejis. Tai reiškia potencialų taškinio krūvio elektrostatinio lauko pobūdį.
Pagal superpozicijos principą elektrostatinio lauko stiprumas, kurį sukuria bet koks savavališkai sudėtingas fiksuotų krūvių pasiskirstymas, yra kiekvieno krūvio atskirai sukuriamų lauko stiprių vektorinė suma. Jėga, veikianti judinamą bandomąjį krūvį, nustatoma pagal bendrą lauko stiprumą. Todėl darbas bandomojo krūvio judėjimo metu yra lygus jėgų, veikiančių iš atskirų taškinių krūvių, darbo sumai. Kiekvienos tokios jėgos darbas nepriklauso nuo trajektorijos formos. Todėl bendras darbas – susidarančios jėgos darbas – taip pat nepriklauso nuo trajektorijos, o tai įrodo bet kurio elektrostatinio lauko potencialų pobūdį.
Potencinė energija. Krūviui elektrostatiniame lauke, kaip ir bet kurio potencialaus lauko atveju, galima įvesti potencialios energijos sąvoką. Krūvio potenciali energija bet kuriame lauko taške apibrėžiama kaip lauko jėgų atliktas darbas, perkeliant krūvį iš šio taško į kokį nors fiksuotą tašką, kurio potenciali energija laikoma lygi nuliui. Galima sakyti ir kitaip: ši potenciali energija lygi išorinių jėgų atliekamam darbui perkeliant krūvį iš pasirinkto fiksuoto taško į tam tikrą lauko tašką. Potencialios energijos nulinės vertės fiksuoto taško pasirinkimas yra savavališkas. Todėl potenciali krūvio energija lauke nustatoma iki kokios nors adityvinės konstantos. Toks potencialios energijos dviprasmiškumas neturi jokios įtakos fizikiniams rezultatams, nes visuose konkrečiuose skaičiavimuose svarbus tik energijos pokytis perkeliant krūvį iš vieno lauko taško į kitą.
Elektrinio lauko potencialas. Jėga, veikianti krūvį elektriniame lauke E, yra proporcinga krūviui: Todėl tiek darbas, atliktas su tam tikru krūvio judėjimu, tiek jo
Potenciali energija taip pat yra proporcinga krūviui.Dėl to patogu atsižvelgti į krūvio vieneto potencialią energiją. Gauta elektrostatinio lauko energijos charakteristika vadinama potencialu.
Potencialas tam tikrame lauko taške apibrėžiamas kaip darbo A santykis, kurį atlieka lauko jėgos, kai bandomasis krūvis perkeliamas iš tam tikro lauko taško į fiksuotą tašką, kurio potencialas laikomas nulis, iki šio mokesčio:
Fizinę reikšmę turi tik potencialų skirtumas tarp bet kurių taškų, o ne pačių šių taškų potencialų vertės.
Taškinio krūvio lauko potencialas. Taškinio krūvio elektrostatiniam laukui patogu pasirinkti be galo tolimą tašką kaip nulinio potencialo tašką. Tada taško, esančio per atstumą nuo lauką sukuriančio krūvio, potencialo išraiška turi tokią formą
Prisiminkite, kad CGSE vienetų sistemoje ir SI. Atitinkamai, formulė (2) parašyta viena iš dviejų formų:
Pabrėžiame, kad (2) ir (2a) potencialo formulėse yra krūvis, sukuriantis lauką (o ne krūvio modulis, kaip ankstesnės pastraipos (4) ir (4a) formulėse lauko stiprumo moduliui). . Teigiamo krūvio sukuriamo lauko potencialas visur yra teigiamas, nes šio lauko jėgų darbas perkeliant teigiamą bandomąjį krūvį į begalybę iš bet kurio lauko taško yra teigiamas. Panašiai neigiamo krūvio lauko potencialas visur yra neigiamas. Visa tai, kaip ir pačios (2) ir (2a) formulės, žinoma, galioja renkantis nulinio potencialo tašką begalybėje.
Ta pati formulė (2) išreiškia lauko potencialą už vienodai įkrauto rutulio ribų, nes jo laukas nesiskiria nuo to paties taškinio krūvio lauko, esančio rutulio centre. Visuose taškuose tokio rutulio viduje, kur lauko stiprumas lygus nuliui, potencialas yra toks pat ir turi tokią pat reikšmę kaip ir rutulio paviršiuje.
Elektrostatiniame lauke esančio krūvio potenciali energija yra lygi lauko taško, kuriame yra šis krūvis, potencialo sandaugai:
Jei krūvis yra kito taško krūvio sukurtame lauke, tai jo potenciali energija, atsižvelgiant į (2), turi formą
Esant vienodiems krūviams, t.y., atstumiant, potenciali energija yra teigiama ir mažėja, kai krūviai yra atskirti. Esant priešingiems krūviams, ty esant traukai, elektrostatinė potencinė energija, kaip ir potenciali energija gravitaciniame lauke, yra neigiama ir didėja, kai krūviai atsiskiria.
Potencialo superpozicijos principas. Pagal superpozicijos principą, kelių krūvių lauko savavališko taško potencialas, kaip matyti iš potencialo apibrėžimo, yra lygus visų krūvių šiame taške sukuriamų potencialų algebrinei sumai:
Šiuo atveju nulinio potencialo taškas pasirenkamas bendras visiems įkrovimams.
Elektrinio lauko darbas. Įtampa. Elektrostatinio lauko jėgų atliktas darbas perkeliant tam tikrą krūvį iš vieno taško į kitą yra lygus perkelto krūvio ir potencialų skirtumo tarp pradžios ir pabaigos taškų sandaugai:
Išraiška (6) išplaukia iš potencialo apibrėžimo.
Potencialų skirtumas tarp dviejų taškų paprastai vadinamas įtampa nuo taško iki taško (arba tiesiog įtampa).
Kaip matyti iš (6), lauko jėgų darbas perkeliant krūvį iš vieno taško į kitą yra lygus perkelto krūvio ir įtampos sandaugai:
Potencialas, potencialų skirtumas ir įtampa matuojami tais pačiais vienetais. CGSE šis vienetas neturi specialaus pavadinimo, o SI įtampos vienetas vadinamas voltu, kai vieno pakabuko krūvis juda tarp taškų, kurių potencialų skirtumas yra vienas voltas. elektros jėgos atlikite vieno džaulio darbą:
ekvipotencialūs paviršiai. Elektrostatinių laukų vizualinis grafinis atvaizdavimas galimas ne tik naudojant jėgos linijų paveikslėlį, kuris leidžia susidaryti vaizdą apie intensyvumą kiekviename lauko taške, bet ir naudojant ekvipotencinius paviršius. Ekvipotencialų paviršius yra taškų, kuriuose potencialas turi tą pačią vertę, rinkinys.
Ryžiai. 13. Taškinio krūvio elektros ugnies įtempimo linijos ir potencialų išlyginimo paviršiai
Dažniausiai šių paviršių pjūvis yra pavaizduotas kokia nors plokštuma (brėžinio plokštuma), todėl paveiksluose jie atrodo kaip linijos. Pavyzdžiui, taškinio krūvio elektrostatinio lauko ekvipotencialūs paviršiai yra koncentrinės sferos, turinčios bendrą centrą toje vietoje, kur yra lauką sukuriantis krūvis. Ant pav. 13 šių sferų dalių atrodo kaip koncentriniai apskritimai.
Elektrostatinio lauko jėgos linijos yra statmenos ekvipotencialiems paviršiams. Iš tiesų, jei mintyse perkeliate bandomąjį krūvį išilgai potencialo išlyginimo paviršiaus, tada darbas, kaip matyti iš (8), yra lygus nuliui. Taigi elektrinio lauko jėga neveikia, ir tai įmanoma, jei jėga yra statmena poslinkiui.
Du elektrostatinių laukų vaizdavimo būdai – jėgos linijos ir ekvipotencialūs paviršiai – yra lygiaverčiai: turėdami vieną iš šių paveikslėlių, galite lengvai sukurti kitą. Ypač aiškūs piešiniai, kuriuose vaizduojami abu šie paveikslai (14 pav.).
Ryžiai. 14. Skirtingų (a) ir panašių (b) taškinių to paties modulio krūvių lauko įtempimo linijos ir ekvipotencialūs paviršiai
Ryšys tarp įtampos ir potencialo. Elektrostatinio lauko stiprumas ir jo potencialas yra susiję vienas su kitu. Šį ryšį nesunku rasti įvertinus lauko jėgų darbą su tokiu mažu bandomojo krūvio poslinkiu, kad lauko stiprumą galima laikyti pastoviu. Viena vertus, šis darbas lygus jėgos ir poslinkio skaliarinei sandaugai, t.y. Kita vertus, šis darbas pagal (8) yra lygus krūvio ir potencialų skirtumo sandaugai, ty minuso ženklas čia atsiranda todėl, kad potencialo prieaugis pagal apibrėžimą yra lygus skirtumui potencialo reikšmės pabaigoje ir pradiniame taške: Sulyginę abi darbo išraiškas, gauname
Skaliarinė sandauga gali būti pavaizduota kaip įtempimo projekcijos poslinkio vektoriaus kryptimi ir šio poslinkio modulio sandauga
Judėjimo kryptį galima pasirinkti savavališkai. Pasirinkę jį išilgai vienos iš koordinačių ašių, iš (10) gauname vektoriaus E projekcijos į atitinkamą ašį išraišką:
Pabrėžiame, kad šių išraiškų skaitikliuose pagal (9) yra galimi mažų poslinkių prieaugiai išilgai atitinkamų koordinačių ašių.
Krūvių sistemos energija. Iki šiol tam tikro krūvio, patalpinto į kitų krūvių sukuriamą elektrostatinį lauką, potencialią energiją laikėme nepakitusia, kurios vieta erdvėje. Tačiau pagal fizinę prigimtį tikrinami krūviai ir krūviai – lauko šaltiniai niekuo nesiskiria, o potenciali krūvio energija lauke yra šių krūvių sąveikos energija. Todėl kai kuriais atvejais patogu potencialios energijos išraiškai suteikti simetrišką formą, kad visi krūviai – ir lauko šaltiniai, ir bandomieji krūviai – atrodytų lygūs. Dviem tarpusavyje sąveikaujantiems taškiniams krūviams tokia simetriška potencialios energijos išraiška jau rasta – tai formulė (4). Daroma prielaida, kad potenciali energija lygi nuliui, kai krūvius skiria begalinis atstumas.
Sudėtingesniais atvejais, kai atsižvelgiama į kelis sąveikaujančius krūvius, daroma prielaida, kad bet kurio tam tikro sąveikos potenciali energija yra lygi nuliui. santykinė padėtisšiuos mokesčius. Patogu (nors ir neprivaloma)
Kaip šią konfigūraciją pasirinkite tokį išdėstymą, kai visi sąveikaujantys krūviai yra pašalinami vienas nuo kito begaliniais atstumais. Bet kurios kitos konfigūracijos sistemos potenciali energija apibrėžiama kaip darbas, kurį atlieka visos sąveikos jėgos sistemos pereinant iš šios konfigūracijos į padėtį, kurioje potenciali energija nulinė. Tuo pačiu metu ši potenciali energija yra lygi išorinių jėgų darbui perkeliant visus krūvius iš nulinės potencialios energijos padėties į tam tikrą konfigūraciją.
Fiksuotų taškinių krūvių sistemos sąveikos energija išreiškiama formule
kur yra visų krūvių sukuriamo lauko potencialas, išskyrus tašką, kuriame yra krūvis:
Čia yra atstumas tarp įkrovimų.
Norint įrodyti (12) formulę, galima naudoti matematinės indukcijos metodą. Visų pirma atkreipiame dėmesį, kad dėl
2, ši formulė sutampa su anksčiau gauta formule (4): sumoje yra du terminai:
kur pagal (13)
Pakeitę šias reikšmes į (14), gauname formulę (4).
Dabar darome prielaidą, kad (12) formulė galioja taškiniams mokesčiams, ir įrodysime jos galiojimą mokesčių sistemai. Kai krūvis įvedamas iš begalybės, sistemos energija pasikeis tokiu dydžiu, kuris lygus išorinių jėgų darbui:
Čia, remiantis prielaida, nustatoma pagal (12) formulę, o išorinių jėgų atliktas darbas perkeliant krūvį iš begalybės į lauko su potencialu tašką yra kur
Šio lauko taško potencialas, sukurtas visų krūvių, išskyrus
Įvedus krūvį, pasikeičia visų lauko taškų potencialai, išskyrus tą, kuriame yra šis krūvis. Taško, kuriame yra krūvis, potencialas dabar bus lygus
Krūvių sistemos (15) energiją išreikškime naujomis potencialių reikšmėmis, naudodami ryšius (17):
Produktų suma antruoju nariu skliausteliuose dešinėje šios lygybės pusėje dėl (16) formulės yra
Taigi įrodyta taškinių krūvių sistemos energijos formulė (12).
Įrodykite, kad elektrostatinis laukas, sukurtas vieno taško krūvio, yra potencialus.
Įrodykite, kad laukas, kurį sukuria bet koks pasiskirstymas fiksuotas elektros krūviai, potencialiai.
Ką reiškia superpozicijos principas energetinė charakteristika elektrostatinis laukas – potencialas?
Įrodykite (6) formulės pagrįstumą, atsižvelgdami į lauko darbą perkeliant krūvį iš pradinio taško I į begalybę, o po to iš begalybės į tašką 2.
Koks yra elektrostatinio lauko jėgų darbas judant įkrovą uždaroje grandinėje?
Įrodykite, kad laukas yra potencialus, jei šio lauko jėgų darbas judant bet kuriuo uždaru kontūru yra lygus nuliui.
Nubraižykite vienodo elektrostatinio lauko jėgos linijų ir potencialų išlyginimo paviršių paveikslą.
Ar gali egzistuoti elektrostatinis laukas jėgos linijos kurios yra lygiagrečios tiesės su kintamu tankiu (15 pav.)?
Kuo skiriasi bandomojo krūvio, esančio dviejų krūvių elektrostatiniame lauke, potencialios energijos samprata nuo visų trijų krūvių potencialios energijos sampratos?
Formulės išvedimas.Įrodykime formulės (2) pagrįstumą pavienio taško krūvio potencialui. Potencialas taške P, esančiame atstumu nuo krūvio prilygsta darbui atliekami lauko jėgų, perkeliant vienetinį teigiamą krūvį iš taško P į tašką begalybėje. Kadangi vienetinį krūvį veikianti jėga yra lygi lauko stipriui E, tai mus dominančio darbo išraiška, lygus potencialui taške P, bus rašoma forma
Integracija čia gali būti atliekama bet kuriuo keliu, einančiu nuo taško P iki begalybės, nes potencialių lauko jėgų darbas nepriklauso nuo trajektorijos formos. Mes pasirenkame šį kelią išilgai tiesės, einančios nuo krūvio per nurodytą tašką P iki begalybės. Kadangi lauko stiprumas E nukreiptas išilgai šios tiesės (nuo krūvio ties ir iki krūvio ties tada skaliarinė sandauga gali būti užrašoma kaip
jei koordinačių pradžia pasirinkta taške, kur yra krūvis Integracija į (18) dabar atliekama diapazone nuo iki
Dėl taško įkrovimo modelio. Atkreipkime dėmesį į tai, kad taškinio krūvio lauko intensyvumas ir potencialas didėja neribotai (linkęs į begalybę), kai taškas P artėja prie vietos, kurioje yra lauką sukuriantis krūvis. Fiziškai tai yra beprasmiška, nes atitinka jėgos, veikiančios bandomąjį krūvį, ir jo potencialios energijos begalybę. Visa tai rodo, kad pats taškinio įkrovimo modelis turi ribotą taikymo sritį.
Kokiu mastu už elementariosios dalelės ar galima naudoti taškinio įkrovimo modelį? Eksperimentai su dideliais greitintuvais parodė, kad nukleonai turi vidinę struktūrą. Juose esantis krūvis tam tikru būdu pasiskirsto per tūrį ir ne tik protonui, bet netgi neutronui, kuris paprastai yra elektriškai neutralus. Kalbant apie elektronus, taškinio krūvio modelis jiems „veikia“ iki vadinamojo klasikinio elektrono spindulio eilės atstumų, žr.
Įtampa kaip potencialus gradientas. Dabar grįžkime prie formulių, išreiškiančių bet kurio elektrostatinio lauko intensyvumą per jo potencialą. Iš (11) formulių seka, kad lauko stiprumo vektoriaus E projekcijos į koordinačių ašis gali būti laikomos išvestinėmis, paimtomis su priešingu ženklu atitinkamų koordinačių atžvilgiu iš koordinačių skaliarinės funkcijos potencialo Skaičiuojant bet kokį iš šių išvestinių, pavyzdžiui, atsižvelgiant į x, du kiti kintamieji y ir turi būti laikomi fiksuotais. Tokios keleto kintamųjų funkcijos išvestinės matematikoje vadinamos dalinėmis išvestinėmis ir žymimos Vektoriumi, kurio projekcijos yra lygios dalinėms skaliarinės funkcijos išvestinėms atitinkamų koordinačių atžvilgiu, vadinamos šios skaliarinės funkcijos gradientu. Taigi elektrinio lauko stipris E yra potencialo gradientas, paimtas su minuso ženklu. Užsirašykite taip:
Čia V yra simbolinis vektorius, kurio projekcijos koordinačių ašyse yra diferenciacijos operacijos:
Dekarto koordinačių sistemos ortai.
Kuo sparčiau kinta potencialas erdvėje, tuo didesnis jo gradiento modulis, t.y. elektrinio lauko stiprumo modulis. Intensyvumo vektorius „žiūri“ ta kryptimi, kuria potencialas mažėja greičiausiai, t.y., statmenai ekvipotencialiems paviršiams. Galima pastebėti, kad vektorius E nukreiptas tokiu būdu naudojant (9) formulę: jei iš nagrinėjamo taško darome vienodo dydžio judesius visomis įmanomomis kryptimis, tai didžiausias potencialo pokytis įvyks tada, kai šis judėjimas. yra nukreiptas išilgai vektoriaus E.
Kokia elektrostatinio lauko savybe pagrįstas integravimo kelio pasirinkimas formulėje (18)?
Kodėl taškinio krūvio laukui potencialo nulinės vertės taško negalima pasirinkti toje vietoje, kur yra pats krūvis?
Paaiškinkite, kodėl elektrinio lauko stiprumas nukreiptas greičiausio potencialo mažėjimo kryptimi.