Matematinė diskretiškojo atsitiktinio dydžio viltis yra visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma:
Pavyzdys.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Sprendimas: matematinis lūkestis yra lygus visų galimų X reikšmių ir jų tikimybių sandaugų sumai:
M (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Suskaičiuoti matematinis lūkestis patogu atlikti skaičiavimus "Excel" (ypač kai yra daug duomenų), siūlome naudoti paruoštą šabloną ().
Pavyzdys skirtas nepriklausomas sprendimas(galite naudoti skaičiuotuvą).
Raskite diskretiškojo atsitiktinio dydžio X matematinį tikėjimą, pateiktą skirstymo dėsnio:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Matematinis lūkestis turi šias savybes.
Savybė 1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai: М(С)=С.
Savybė 2. Iš lūkesčio ženklo galima išimti pastovų koeficientą: М(СХ)=СМ(Х).
Savybė 3. Matematinė viena kitai nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandauga yra lygi faktorių matematinių lūkesčių sandaugai: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
Savybė 4. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).
189 uždavinys. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi matematiniai lūkesčiai X ir Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Sprendimas: Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis (matematinė sumos lūkesčiai lygi dėmenų matematinių lūkesčių sumai; pastovų koeficientą galima išimti iš lūkesčio ženklo), gauname M(Z)=M (X + 2Y) = M (X) + M (2Y) = M (X) + 2M (Y) = 5 + 2 * 3 = 11.
190. Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis, įrodykite, kad: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) nuokrypio X-M(X) matematinė lūkestis lygi nuliui.
191. Diskretusis atsitiktinis dydis X įgyja tris galimas reikšmes: x1= 4 Su tikimybe p1 = 0,5; x3 = 6 Su tikimybe P2 = 0,3 ir x3 su tikimybe p3. Raskite: x3 ir p3, žinant, kad M(X)=8.
192. Pateikiamas galimų diskretinio atsitiktinio dydžio X reikšmių sąrašas: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, taip pat žinomi šio dydžio ir jo kvadrato matematiniai lūkesčiai: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. Raskite tikimybes p1, p2, p3, atitinkančias galimas reikšmes xi
194. 10 dalių partijoje yra trys nestandartinės dalys. Atsitiktinai buvo atrinkti du elementai. Raskite matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio X lūkestį – nestandartinių dalių skaičių tarp dviejų pasirinktų.
196. Raskite tokių penkių kauliukų metimų, kurių kiekviename ant dviejų kauliukų atsiras po vieną tašką, diskretinio atsitiktinio dydžio X skaičiaus matematinį tikėjimą, jei bendras metimų skaičius yra dvidešimt.
Tikėtina vertė binominis skirstinys yra lygus bandymų skaičiaus ir įvykio, kuris įvyks viename bandyme, sandaugai:
Kaip jau žinoma, pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Tačiau platinimo dėsnis dažnai nežinomas ir tenka apsiriboti mažesne informacija. Kartais netgi labiau apsimoka naudoti skaičius, apibūdinančius atsitiktinį kintamąjį sumoje; tokie numeriai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos.
Matematinis lūkestis yra viena iš svarbių skaitinių charakteristikų.
Matematinis lūkestis yra maždaug lygus vidutinei atsitiktinio dydžio reikšmei.
Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų galimų jo verčių ir jų tikimybių sandaugų suma.
Jei atsitiktiniam dydžiui būdinga baigtinė skirstinio seka:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | 1 p | 2 p | 3 p | … | r p |
tada matematinis lūkestis M(X) nustatoma pagal formulę:
Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį lemia lygybė:
kur yra atsitiktinio dydžio tikimybės tankis X.
4.7 pavyzdys. Raskite matematinį taškų, kurie iškrenta metant kauliuką, skaičių.
Sprendimas:
Atsitiktinė vertė X ima reikšmes 1, 2, 3, 4, 5, 6. Padarykime jo pasiskirstymo dėsnį:
| X | ||||||
| R |
Tada matematinė viltis yra tokia:
Matematinės lūkesčių savybės:
1. Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus pačiai konstantai:
M(S) = S.
2. Pastovus veiksnys gali būti pašalintas iš lūkesčio ženklo:
M(CX) = CM(X).
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:
M(XY) = M(X)M(Y).
4.8 pavyzdys. Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X ir Y pateikiami šiais platinimo dėsniais:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Raskite atsitiktinio dydžio XY matematinį tikėjimą.
Sprendimas.
Raskime kiekvieno iš šių dydžių matematinius lūkesčius:
atsitiktiniai dydžiai X ir Y nepriklausomas, taigi norimas matematinis lūkestis:
M(XY) = M(X)M(Y) =
Pasekmė. Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Pasekmė. Kelių atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai.
4.9 pavyzdys. Paleidžiami 3 šūviai, kurių tikimybė pataikyti į taikinį yra lygi 1 p = 0,4; p2= 0,3 ir 3 p= 0,6. Raskite matematinį viso paspaudimų skaičiaus lūkestį.
Sprendimas.
Pirmojo šūvio smūgių skaičius yra atsitiktinis dydis X 1, kuri gali turėti tik dvi reikšmes: 1 (patikimas) su tikimybe 1 p= 0,4 ir 0 (netaikoma) su tikimybe q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematinė pirmojo šūvio smūgių skaičiaus prognozė yra lygi pataikymo tikimybei:
Panašiai randame matematinius lūkesčius dėl antrojo ir trečiojo smūgių skaičiaus:
M(X 2)= 0,3 ir M (X 3) \u003d 0,6.
Bendras įvykių skaičius taip pat yra atsitiktinis dydis, sudarytas iš kiekvieno iš trijų kadrų įvykių sumos:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
Norimas matematinis lūkestis X randame pagal matematikos teoremą, sumos lūkestį.
DSW charakteristikos ir jų savybės. Matematinis lūkestis, dispersija, standartinis nuokrypis
Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Tačiau kai paskirstymo dėsnio rasti neįmanoma arba to nereikia, galima apsiriboti dydžių, vadinamų atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis, paieška. Šie dydžiai nustato tam tikrą vidutinę reikšmę, aplink kurią sugrupuojamos atsitiktinio dydžio reikšmės, ir jų sklaidos laipsnį aplink šią vidutinę vertę.
matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra visų galimų atsitiktinio dydžio dydžių ir jų tikimybių sandaugų suma.
Matematinis lūkestis egzistuoja, jei eilutės dešinėje lygybės pusėje absoliučiai suartėja.
Tikimybės požiūriu galime teigti, kad matematinis lūkestis yra maždaug lygus atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetiniam vidurkiui.
Pavyzdys. Yra žinomas diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis. Raskite matematinį lūkestį.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Sprendimas:
9.2 Tikėjimo savybės
1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai.
2. Iš lūkesčio ženklo galima išimti pastovų veiksnį.
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Ši savybė galioja bet kokiam atsitiktinių dydžių skaičiui.
4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai.
Ši savybė galioja ir savavališkam atsitiktinių dydžių skaičiui.
Tegu bus atlikta n nepriklausomų bandymų, kurių tikimybė, kad įvyks įvykis A, lygi p.
Teorema.Įvykio A atvejų skaičiaus matematinė prognozė M(X) n nepriklausomų bandymų yra lygi bandymų skaičiaus ir įvykio pasireiškimo tikimybės sandaugai kiekviename bandyme.
Pavyzdys. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Sprendimas:
9.3 Diskretaus atsitiktinio dydžio sklaida
Tačiau matematinis lūkestis negali visiškai apibūdinti atsitiktinio proceso. Be matematinio lūkesčio, būtina įvesti reikšmę, kuri apibūdina atsitiktinio dydžio reikšmių nuokrypį nuo matematinio lūkesčio.
Šis nuokrypis yra lygus skirtumui tarp atsitiktinio dydžio ir jo matematinio lūkesčio. Šiuo atveju matematinis nuokrypio lūkestis yra lygus nuliui. Taip yra dėl to, kad vienas galimi nukrypimai yra teigiami, kiti – neigiami ir dėl jų abipusio panaikinimo gaunamas nulis.
Sklaida (sklaidymas) Diskrečiasis atsitiktinis dydis vadinamas atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematiniu lūkesčiu.
Praktiškai toks dispersijos apskaičiavimo būdas yra nepatogus, nes dėl to reikia atlikti sudėtingus daugelio atsitiktinio dydžių verčių skaičiavimus.
Todėl naudojamas kitas metodas.
Teorema. Dispersija yra lygi skirtumui tarp atsitiktinio dydžio X kvadrato matematinio lūkesčio ir jo matematinio lūkesčio kvadrato.
Įrodymas. Atsižvelgiant į tai, kad matematinis lūkestis M (X) ir matematinio lūkesčio kvadratas M 2 (X) yra pastovios reikšmės, galime rašyti:
Pavyzdys. Raskite pasiskirstymo dėsniu pateiktą diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Sprendimas:.
9.4 Dispersijos savybės
1. Pastovios reikšmės sklaida lygi nuliui. .
2. Pastovų koeficientą galima paimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu. .
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi šių dydžių dispersijų sumai. .
4. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija yra lygi šių dydžių dispersijų sumai. .
Teorema. Įvykio A atvejų skaičiaus dispersija n nepriklausomų bandymų, kurių kiekviename įvykio įvykio tikimybė p yra pastovi, yra lygi bandymų skaičiaus ir įvykio bei neįvykimo tikimybės sandaugai įvykį kiekviename bandyme.
9.5 Standartinis diskretinio atsitiktinio dydžio nuokrypis
Standartinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis X vadinamas dispersijos kvadratine šaknimi.
Teorema. Baigtinio skaičiaus vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos standartinis nuokrypis yra lygus šių kintamųjų standartinių nuokrypių kvadrato sumos kvadratinei šakniai.
1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai M(S) = S
.
2. Iš lūkesčio ženklo galima išimti pastovų veiksnį: M(CX) = CM(X)
3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Teorema. Įvykių A atvejų skaičiaus matematinė prognozė M(x) n nepriklausomų bandymų yra lygi šių bandymų sandaugai pagal įvykių tikimybę kiekviename bandyme: M(x) = np.
Leisti X yra atsitiktinis dydis ir M(X) yra jo matematinis lūkestis. Apsvarstykite skirtumą kaip naują atsitiktinį kintamąjį X – M(X).
Nuokrypis yra skirtumas tarp atsitiktinio dydžio ir jo matematinio lūkesčio.
Nuokrypis turi tokį paskirstymo dėsnį:
Sprendimas: Raskite matematinį lūkestį:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Parašykime kvadratinio nuokrypio pasiskirstymo dėsnį:
Sprendimas: Raskite lūkestį M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Parašykime atsitiktinio dydžio X 2 pasiskirstymo dėsnį
| x2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Raskime matematinį lūkestį M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Norima dispersija D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05
Dispersijos savybės:
1. Pastovios reikšmės sklaida NUO
lygus nuliui: D(C)=0
2. Pastovų koeficientą galima paimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu. D(Cx) = C 2 D(x)
3. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi šių dydžių dispersijų sumai. D(X 1 +X 2 +...+X n) = D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Binominio skirstinio dispersija yra lygi bandymų skaičiaus ir įvykio atsiradimo ir neįvykimo tikimybės sandaugai viename bandyme D(X)=npq
Norint įvertinti galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo vidutinę vertę, be dispersijos, taip pat naudojamos kai kurios kitos charakteristikos. Tarp jų yra standartinis nuokrypis.
Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis X vadinama dispersijos kvadratine šaknimi:
σ(X) = √D(X) (4)
Pavyzdys. Atsitiktinis dydis X pateikiamas skirstymo dėsniu
| X | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Raskite standartinį nuokrypį σ(x)
Sprendimas: Raskite matematinį lūkestį X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Raskime X 2 matematinį lūkestį: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Raskite dispersiją: D(x)=M(x2)=M(x2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Norimas standartinis nuokrypis σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61
Teorema. Baigtinio skaičiaus vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos standartinis nuokrypis yra lygus šių kintamųjų standartinių nuokrypių kvadratų sumos kvadratinei šakniai:
Pavyzdys. 6 knygų lentynoje yra 3 matematikos ir 3 fizikos knygos. Atsitiktinai išrenkamos trys knygos. Raskite matematikos knygų skaičiaus pasiskirstymo tarp pasirinktų knygų dėsnį. Raskite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją.
D (X) \u003d M (X 2) - M (X) 2 = 2,7 - 1,5 2 = 0,45
Kiekvieną atskirą reikšmę visiškai lemia jos paskirstymo funkcija. Taip pat, norint išspręsti praktines problemas, pakanka žinoti keletą skaitinių charakteristikų, kurių dėka galima glaustai pateikti pagrindinius atsitiktinio dydžio požymius.
Šie kiekiai pirmiausia yra tikėtina vertė ir dispersija .
Tikėtina vertė- tikimybių teorijos atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė. Paskirtas kaip.
daugiausia paprastu būdu matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis X(w), randami kaip integralasLebesgue tikimybės mato atžvilgiu R pradinė tikimybių erdvė
Taip pat galite rasti matematinį vertės as lūkestį Lebesgue integralas iš X pagal tikimybių pasiskirstymą R X kiekiai X:
kur yra visų galimų reikšmių rinkinys X.
Matematinis funkcijų tikėjimasis iš atsitiktinio dydžio X yra per platinimą R X. Pavyzdžiui, jei X- atsitiktinis kintamasis su reikšmėmis ir f(x)- vienareikšmiškai Borelisfunkcija X , tada:
Jeigu F(x)- paskirstymo funkcija X, tada matematinis lūkestis yra reprezentatyvus integralasLebesgue – Stieltjes (arba Riemann – Stieltjes):
o integruojamumas X kokia prasme ( * ) atitinka integralo baigtinumą
Ypatingais atvejais, jei X Tai turi diskretiškas paskirstymas su tikėtinomis vertybėmis x k, k = 1, 2, . , ir tikimybės , tada
jeigu X turi absoliučiai nenutrūkstamą pasiskirstymą su tikimybių tankiu p(x), tada
šiuo atveju matematinio lūkesčio egzistavimas yra tolygus absoliučiai atitinkamos eilutės arba integralo konvergencijai.
Atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio savybės.
- Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus šiai reikšmei:
C- pastovus;
- M=C.M[X]
- Atsitiktinai paimtų verčių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai:
- Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis = jų matematinių lūkesčių sandauga:
M = M[X] + M[Y]
jeigu X ir Y nepriklausomas.
jei serija susilieja:
Matematinės lūkesčių skaičiavimo algoritmas.
Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių savybės: visas jų reikšmes galima pernumeruoti natūraliaisiais skaičiais; kiekvieną reikšmę prilyginkite nulinei tikimybei.
1. Padauginkite poras paeiliui: x i ant pi.
2. Sudėkite kiekvienos poros sandaugą x i p i.
Pavyzdžiui, dėl n = 4 :
Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija laipsniškai jis staigiai didėja tuose taškuose, kurių tikimybės turi teigiamą ženklą.
Pavyzdys: Pagal formulę raskite matematinį lūkestį.