Sprendimas. Didžiausi taškai atitinka taškus, kur išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą. Atkarpoje funkcija turi du didžiausius taškus x = 4 ir x = 4. Atsakymas: 2. Paveikslėlyje parodytas intervale (10; 8) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių atkarpoje .
Sprendimas. Paveikslėlyje parodytas intervale (1; 12) apibrėžtos funkcijos y=f(x) grafikas. Nustatykite sveikųjų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Funkcijos išvestinė yra neigiama tuose intervaluose, kuriuose funkcija mažėja, t.y. intervaluose (0,5; 3), (6; 10) ir (11; 12). Juose yra sveikųjų skaičių 1, 2, 7, 8 ir 9. Iš viso yra 5 taškai. Atsakymas: 5.
Paveikslėlyje parodytas intervale (10; 4) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite mažėjančios funkcijos f(x) intervalus. Atsakyme parašykite didžiausio iš jų ilgį. Sprendimas. Mažėjančios funkcijos f(x) intervalai atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama, tai yra 3 ilgio intervalą (9; 6) ir 5 ilgio intervalą (2; 3). didžiausių iš jų yra 5. Atsakymas: 5.
Paveikslėlyje parodytas intervale (7; 14) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių atkarpoje . Sprendimas. Maksimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinės ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą. Atkarpoje funkcija turi vieną didžiausią tašką x = 7. Atsakymas: 1.
Paveikslėlyje parodytas intervale (8; 6) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite didėjančios funkcijos f(x) intervalus. Atsakyme parašykite didžiausio iš jų ilgį. Sprendimas. Didėjančios funkcijos f(x) intervalai atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama, tai yra intervalus (7; 5), (2; 5). Didžiausias iš jų yra intervalas (2; 5), kurio ilgis yra 3.
Paveikslėlyje parodytas intervale (7; 10) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) minimalių taškų skaičių atkarpoje . Sprendimas. Minimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą. Atkarpoje funkcija turi vieną minimalų tašką x = 4. Atsakymas: 1.
Paveikslėlyje parodytas intervale (16; 4) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas. Raskite funkcijos f(x) ekstremalių taškų skaičių atkarpoje . Sprendimas. Ekstremalumo taškai atitinka grafike pavaizduoto išvestinio ženklo kaitos į išvestinės nulius taškus. Išvestinė išnyksta taškuose 13, 11, 9, 7. Funkcija turi 4 kraštutinius segmento taškus. Atsakymas: 4.
Paveikslėlyje parodytas intervale (2; 12) apibrėžtos funkcijos y=f(x) grafikas. Raskite funkcijos f(x) ekstremalių taškų sumą. Sprendimas. Duota funkcija turi maksimumus taškuose 1, 4, 9, 11, o minimumus taškuose 2, 7, 10. Todėl ekstremumo taškų suma yra = 44. Atsakymas: 44.
Paveiksle pavaizduotas funkcijos y \u003d f (x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f (x) išvestinės reikšmę taške x 0. Sprendimas. Išvestinės reikšmė sąlyčio taške yra lygi liestinės nuolydžiui, kuri savo ruožtu yra lygi duotosios liestinės x ašies polinkio kampo liestei. Sukurkime trikampį, kurio viršūnės yra taškuose A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). X ašies liestinės polinkio kampas bus lygus kampui, esančiam šalia kampo ACB
Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė taške, kurio abscisė lygi 3. Raskite šios funkcijos išvestinės reikšmę taške x = 3. Norėdami išspręsti, mes naudokite geometrinę išvestinės reikšmę: funkcijos išvestinės reikšmė taške yra lygi šiame taške nubrėžto šios funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui. Liestinės nuolydis lygus kampo tarp liestinės ir teigiamos x ašies krypties tangentei (tg α). Kampas α = β, kaip kryžminiai gulėjimo kampai su lygiagrečiomis tiesėmis y=0, y=1 ir sekantine liestine. Trikampiui ABC
Paveiksle pavaizduotas funkcijos y \u003d f (x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f (x) išvestinės reikšmę taške x 0. Pagal liestinės savybės, funkcijos f (x) liestinės formulė taške x 0 yra lygi y \u003d f (x 0) x + b, b \u003d const Paveikslėlyje parodyta, kad liestinė funkcija f (x) taške x 0 eina per taškus (-3; 2), (5.4). Todėl galime sudaryti lygčių sistemą
Šaltiniai
Individualios pamokos per SKYPE
apie veiksmingą internetinį mokymąį matematikos egzaminą.
B8 tipo užduotys – tai išvestinių funkcijų taikymo užduotys. Užduočių tikslai:
- rasti išvestinę tam tikrame taške
- nustatyti funkcijos kraštutinumus, didžiausius ir mažiausius taškus
- didėjimo ir mažėjimo laikotarpiai
Pažvelkime į kelis pavyzdžius. Užduotis v8.1: paveiksle pavaizduotas funkcijos y \u003d f (x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0. Raskite funkcijos y=f (x) išvestinės reikšmę taške x0.
Šiek tiek teorijos. Jei liestinė didėja, tada išvestinė bus teigiama, o jei liestinė mažėja, tai išvestinė bus neigiama. Funkcijos y’= tgA išvestinė, kur A yra X ašies liestinės polinkio kampas
Sprendimas: mūsų pavyzdyje liestinė didėja, o tai reiškia, kad išvestinė bus teigiama. Apsvarstykite stačiakampį trikampį ABC ir raskite iš jo tg A \u003d BC / AB, kur BC yra atstumas tarp būdingų taškų išilgai y ašies, AB yra atstumas tarp taškų išilgai x ašies. Charakteristikos taškai diagramoje pažymėti paryškintais taškais ir pažymėti raidėmis A ir C. Būdingi taškai turi būti aiškūs ir sveikieji skaičiai. Diagrama rodo, kad AB = 5 + 3 = 8 ir saulė = 3-1 = 2,
tgα= BC/AB=2/8=1/4=0,25, taigi išvestinė y’=0,25
Atsakymas: 0,25
Užduotis B8.2 Paveikslėlyje parodytas funkcijos y \u003d f (x), apibrėžtos intervale (-9; 4), grafikas. Raskite funkcijų f(x) ekstremalių taškų abscisių sumą
Sprendimas: Pirma, apibrėžkime, kas yra ekstremalūs taškai? Tai taškai, kuriuose vedinys pakeičia savo ženklą į priešingą, kitaip tariant, visos „kalvos“ ir „daubos“. Mūsų pavyzdyje turime 4 „kalvas“ ir 4 „daubeles“. Paimkime visus „kraštovaizdžio“ taškus į X ašį ir suraskime abscisės reikšmę, dabar sudedame visas šių taškų reikšmes išilgai X. ašį
gauname -8-7-5-3-2+0+1+3=-21
Atsakymas: -21
žiūrėkite šios užduoties mokymo vaizdo įrašą
„B8 matematikos egzamine“ – Minimalus balas. Funkcijos išvestinė yra neigiama. Raskite funkcijos išvestinės reikšmę. Raskite sąlyčio taško abscisę. Greitis. Funkcijos išvestinės reikšmė. Darinys. Laikas. Funkcijos išvestinės grafikas. Raskite funkcijos išvestinę. Funkcijų didėjimo intervalai. Užduočių sprendimas B8 NAUDOJIMAS matematikoje.
„B3 matematikoje“ – atmintinė mokiniui. KT įgūdžiai. Darbo prototipas. Užduoties turinys B3. Darbo prototipas B3. Darbo prototipas B3 . Lygtis. Pagrindinės šaknų savybės. Raskite lygties šaknį. Logaritmai. Logaritmai su ta pačia baze. Laipsnis. Pasiruošimas matematikos egzaminui. Užduotys skirtos savarankiškas sprendimas.
„Užduočių sprendimas B11“ – Užduotys. Matematinės analizės pradžia. Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente. Formulės. Raskite didžiausią funkcijos reikšmę. KT įgūdžiai. Užduotys savarankiškam apsisprendimui. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę segmente. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę. Apžiūra. Sprendimas. Pastaba studentui.
„B1 matematikos egzamine“ – mažiausias skaičius. Bandelė. Bilietas. Amerikietiškas automobilis. Elektrinis virdulys. Reklamos kampanija. Diena. Mokėjimo terminalas. Vaistas. Užduotys B1. Klientas. Motorlaivis. Bendras sąsiuvinis. Srauto matuoklis karštas vanduo. Geležinkelio bilietas. Pensininkai.
„Vieningos matematikos valstybinio egzamino užduotys“ – B užduotis 13. Reikia išspręsti dar porą pavyzdžių. Užduotis B 6. Raskite motociklininko greitį. Užduotis B 1. Kiek vandens lygis turėtų pakilti po lietaus? Raskite sritį. Po lietaus vandens lygis šulinyje gali pakilti. Užduotis B 5. Užduotis B 12. Savarankiškas darbas. Pasiruošimas egzaminui. B 3 užduotis.
„B1 matematikoje“ – marmeladas. Reklamos kampanija. Išpardavimo dienos nuolaida. Ampulė. Skalbimo mašina. Autobusas. Pajamų mokestis. Šampūno buteliukas. Užrašų knygelė. Mažiausias skaičius. Mobilusis telefonas. Tarpmiestinio autobuso bilietas. Taksi vairuotojas. Rezultatas. Bilietas. tutu sviesto. Rožė. Užduotys B1 NAUDOJIMAS matematikoje. Sprendimas.
Iš viso temoje 33 pranešimai
Užduočių B8 sprendimas pagal medžiagas atviras bankas NAUDOKITE matematikos uždavinius 2012 Tiesė y \u003d 4x + 11 yra lygiagreti funkcijos y \u003d x2 + 8x + 6 grafiko liestinei. Raskite liestinės taško abscisę Nr. 1 Sprendimas: Jei tiesė yra lygiagreti funkcijos grafiko liestinei tam tikrame taške (pavadinkime ją ho), tada jos nuolydis (mūsų atveju k = 4 iš lygties y = 4x + 11) yra lygus funkcijos išvestinės reikšmei. funkcija taške xo: k = f ′(xo) = 4 Funkcijos f′(x) = (x2 + 8x + 6) išvestinė ′= 2x +8. Taigi, norint rasti norimą prisilietimo tašką, būtina, kad 2хo + 8 = 4, iš kur хо = - 2. Atsakymas: - 2. Tiesė y \u003d 3x + 11 yra grafiko liestinė
funkcijos y = x3−3x2− 6x + 6.Raskite sąlyčio taško abscisę.#2 Sprendimas: Atkreipkite dėmesį, kad jei tiesė yra grafiko liestinė, tai jos nuolydis (k = 3) turi būti lygus funkcijos išvestinei sąlyčio taške, iš kurios gauname Zx2 - 6x - 6 = 3, tai yra, Zx2 - 6x - 9 = 0 arba x2 - 2x - 3 = 0. Tai yra
kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: −1 ir 3. Taigi yra du taškai, kuriuose funkcijos y \u003d x3 - 3x2 - 6x + 6 grafiko liestinė turi nuolydį, lygų 3. Norint nustatyti, kuriame iš jų dviejuose taškuose linija y \u003d 3x + 11 paliečia funkcijos grafiką, šiuose taškuose apskaičiuojame funkcijos reikšmes ir patikriname, ar jos atitinka liestinės lygtį. Funkcijos reikšmė taške −1 yra y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, o reikšmė taške 3 yra y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Atkreipkite dėmesį, kad taškas su koordinatėmis (-1; 8) tenkina liestinės lygtį, nes 8 = -3 + 11. Tačiau taškas (3; -12) netenkina liestinės lygties, nes -12 ≠ 9 + 11. , norima prisilietimo taško abscisė yra −1. Atsakymas: −1. Paveikslėlyje pavaizduotas y = f ′(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta intervale (–10; 8). Kuriame atkarpos taške [–8; –4] funkcija f(x) įgyja mažiausią reikšmę №3 Sprendimas: Atkreipkite dėmesį, kad atkarpoje [–8; -4] funkcijos išvestinė yra neigiama, o tai reiškia, kad pati funkcija mažėja, o tai reiškia, kad ji įgauna mažiausią reikšmę šiame segmente dešiniajame atkarpos gale, tai yra taške -4.y = f ′ (x) f (x) - Atsakymas: -4 . Paveikslėlyje parodytas y grafikas \u003d f ′(x) - funkcijos f (x) išvestinė, apibrėžta intervale (-8; 8) Raskite funkcijos f (x) ekstremalių taškų, priklausančių atkarpai [- 6, skaičių; 6].№4Sprendimas: ekstremumo taške funkcijos išvestinė lygi 0 arba jos nėra. Matyti, kad tokie taškai, priklausantys atkarpai [–6; 6] trys. Tuo pačiu metu kiekviename taške išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „–“ arba iš „–“ į „+“. ′(x) yra funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta intervalas (–8; 10). Raskite funkcijos f (x) ekstremalų tašką intervale (-4; 8) Nr. 5. Sprendimas: Atkreipkite dėmesį, kad intervale (-4; 8) išvestinė taške xo = 4 virsta 0 ir keičia ženklą eidamas per šią taško išvestinę iš „-“ į „+“, 4 taškas yra norimas funkcijos ekstremumo taškas duotame intervale. y \u003d f ′(x) + - Atsakymas: 4. Paveikslėlyje parodytas y \u003d f ′ (x) grafikas – funkcijos f (x) išvestinė, apibrėžta intervale (-8; 8). Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su tiese y = -2x + 2, skaičių. №6 Sprendimas: Jei funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su tiese y = -2x + 2, tada jos nuolydis k =–2, vadinasi, reikia rasti taškų skaičių, kuriame funkcijos f ′(x) išvestinė = –2. Norėdami tai padaryti, išvestinės grafike nubrėžiame tiesią liniją y \u003d -2 ir suskaičiuojame taškų skaičių išvestinės, esančios šioje tiesėje, grafike. Tokių taškų yra 4. y \u003d f ′ (x) y \u003d -2 Atsakymas: 4. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y \u003d f (x), apibrėžtos intervale (-6; 5), grafikas. Nustatykite sveikųjų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama Nr. 7y Sprendimas: Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos išvestinė yra neigiama, jei pati funkcija f (x) mažėja, o tai reiškia, kad reikia rasti sveikųjų skaičių taškų, įtrauktų į mažėjančios funkcijos intervalus. Tokių taškų yra 6: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3. y = f( x) x–6–45–1–20–33 Atsakymas: 6. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y \u003d f (x), apibrėžtos intervale (-6; 6), grafikas. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y \u003d -5. Nr. 8y Sprendimas: Tiesė y \u003d −5 yra horizontali, o tai reiškia, kad jei funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti jai, tada ji taip pat yra horizontali. Todėl nuolydis norimuose taškuose k = f′(х)= 0. Mūsų atveju tai yra ekstremumo taškai. Tokių taškų yra 6.1y = f(x) x06–635642y = –5–5. jį taške su abscise ho. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške xo. №9Sprendimas: Funkcijos f′(хo)= tgα = k išvestinės reikšmė į šios funkcijos grafiką tam tikrame taške nubrėžtos liestinės vienodo kampo koeficientą. Mūsų atveju k > 0, nes α–
aštrus kampas(tgα > 0) Norėdami rasti nuolydį, pasirenkame du taškus A ir B, esančius liestinėje, kurių abscisės ir ordinatės yra sveikieji skaičiai. Dabar apibrėžkime nuolydžio modulį. Norėdami tai padaryti, sukonstruojame trikampį ABC. tgα = ВС: АС = 5: 4 = 1.25 y = f(x) Вα5хαС4А Atsakymas: 1.25.taškas su abscise xo Raskite funkcijos f (x) išvestinės reikšmę taške xo. №10Sprendimas: Funkcijos f′(хo)= tgα = k išvestinės reikšmė į šios funkcijos grafiką tam tikrame taške nubrėžtos liestinės vienodo kampo koeficientą. Mūsų atveju k< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равнаx ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2,x ′(6) = 6 – 2 = 4м/с.Ответ: 4.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?№16Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равнаx ′(to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2,Т.к. по условию, x ′(to) = 4, то to – 2 = 4, откуда to = 4 + 2 = 6м/с.Ответ: 6.На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6).Найдите сумму точек экстремума функции f(x).№17Решение: Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять. Найдем сумму их абсцисс: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) Ответ: 6.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). Найдите промежутки возрастания функцииf(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Решение: Заметим, что функция f(x)возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.Таких точек 7:х = −3, х = −2, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6, х = 7.Их сумма: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357Ответ: 20.Используемые материалы
NAUDOJIMAS 2012. Matematika. Užduotis B8. Išvestinės geometrinė reikšmė. Darbo knyga / Red. A.L. Semenovas ir I. V. Jaščenka. 3 leidimas stereotipas. - M.: MTSNMO, 2012. - 88 p.http://mathege.ru/or/ege/Main− Atvirojo matematikos užduočių banko medžiaga 2012 m.
