Veseliem skaitļiem n, kas lielāki par 2, vienādojumam x n + y n = z n naturālajos skaitļos nav atrisinājumu, kas atšķiras no nulles.
Jūs droši vien atceraties no skolas laikiem Pitagora teorēma: taisnleņķa trijstūra hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Varat arī atcerēties klasisko taisnleņķa trīsstūri ar malām, kuru garumi ir saistīti kā 3: 4: 5. Tam Pitagora teorēma izskatās šādi:
Šis ir piemērs vispārinātā Pitagora vienādojuma atrisināšanai veselos skaitļos, kas nav nulle n= 2. Fermā pēdējā teorēma (saukta arī par "Fermā pēdējo teorēmu" un "Fermā pēdējo teorēmu") ir apgalvojums, ka vērtībām n> 2 formas vienādojumi x n + g n = z n nav nulles atrisinājumu naturālajos skaitļos.
Fermā pēdējās teorēmas vēsture ir ļoti izklaidējoša un pamācoša, turklāt ne tikai matemātiķiem. Pjērs de Fermā veicināja dažādu matemātikas jomu attīstību, taču viņa zinātniskā mantojuma galvenā daļa tika publicēta tikai pēcnāves laikā. Fakts ir tāds, ka matemātika Fermā bija kaut kas līdzīgs hobijam, nevis profesionālai nodarbei. Viņš sarakstījās ar sava laika vadošajiem matemātiķiem, bet necentās publicēt savus darbus. Fermā zinātniskie raksti pārsvarā ir atrodami privātas sarakstes un fragmentāru piezīmju veidā, kas bieži ir tapušas dažādu grāmatu malās. Tas atrodas uz malām (Diofanta sengrieķu aritmētikas otrajam sējumam. - Piezīme. tulkotājs) neilgi pēc matemātiķa nāves pēcnācēji atklāja slavenās teorēmas un pēcraksta formulējumu:
« Es atradu tam patiesi brīnišķīgu pierādījumu, taču šīs robežas viņam ir par šauru.».
Diemžēl Fermā nekad neuztraucās pierakstīt atrasto “brīnumaino pierādījumu”, un pēcnācēji to neveiksmīgi meklēja vairāk nekā trīs gadsimtus. No visa Fermā atšķirīgā zinātniskā mantojuma, kas satur daudzus pārsteidzošus apgalvojumus, Lielā teorēma bija tā, kas spītīgi pretojās risinājumam.
Kurš nepieņēma Fermā pēdējās teorēmas pierādījumus, tas viss velti! Cits izcils franču matemātiķis Renē Dekarts (Renē Dekarts, 1596-1650) nosauca Fermā par "lielīšanos", bet angļu matemātiķis Džons Voliss (Džons Voliss, 1616-1703) viņu nosauca par "sasodītu francūzi". Tomēr pats Fermā tomēr atstāja aiz sevis savas teorēmas pierādījumu šim gadījumam n= 4. Ar pierādījumu par n= 3 atrisināja izcilais 18. gadsimta Šveices-krievu matemātiķis Leonards Eilers (1707–83), pēc kura, nespējot atrast pierādījumus n> 4, jokojot piedāvāja pārmeklēt Fermā māju, lai atrastu pazaudēto pierādījumu atslēgu. 19. gadsimtā jaunas skaitļu teorijas metodes ļāva pierādīt apgalvojumu daudziem veseliem skaitļiem 200 robežās, bet, atkal, ne visiem.
1908. gadā šim uzdevumam tika nodibināta prēmija DM 100 000 apmērā. Balvu fonds tika novēlēts vācu rūpniekam Polam Volfskelam, kurš, pēc leģendas, grasījās izdarīt pašnāvību, taču viņu tik ļoti aizrāva Fermā pēdējā teorēma, ka viņš mainīja savas domas par nāvi. Līdz ar mašīnu un pēc tam datoru pievienošanu vērtību josla n sāka celties arvien augstāk – līdz 2. pasaules kara sākumam līdz 617, 1954. gadā līdz 4001, 1976. gadā līdz 125 000. 20. gadsimta beigās Losalamos (Ņūmeksika, ASV) militāro laboratoriju jaudīgākie datori tika ieprogrammēti, lai fonā atrisinātu Fermā problēmu (līdzīgi kā ekrānsaudzētāja režīmā). personālais dators). Tādējādi bija iespējams parādīt, ka teorēma ir patiesa neticami lielām vērtībām x, y, z un n, taču tas nevarētu kalpot kā stingrs pierādījums, jo kāda no tālāk norādītajām vērtībām n vai naturālu skaitļu trīskārši varētu atspēkot teorēmu kopumā.
Visbeidzot, 1994. gadā angļu matemātiķis Endrjū Džons Vilss (Andrew John Wiles, dz. 1953), strādājot Prinstonā, publicēja Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu, kas pēc dažām modifikācijām tika uzskatīts par izsmeļošu. Pierādīšana aizņēma vairāk nekā simts žurnāla lappušu un tika balstīta uz moderna aparāta izmantošanu. augstākā matemātika, kas netika izstrādāts Fermā laikmetā. Ko tad Fermā domāja, grāmatas malās atstājot ziņu, ka ir atradis pierādījumu? Lielākā daļa matemātiķu, ar kuriem esmu runājis par šo tēmu, ir norādījuši, ka gadsimtu gaitā ir bijis vairāk nekā pietiekami daudz nepareizu Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu un ka ir iespējams, ka pats Fermā atrada līdzīgu pierādījumu, bet nav pamanījis kļūdu. tajā. Tomēr iespējams, ka joprojām ir kāds īss un elegants Fermā pēdējās teorēmas pierādījums, kuru neviens vēl nav atradis. Droši var teikt tikai vienu: šodien mēs noteikti zinām, ka teorēma ir patiesa. Manuprāt, lielākā daļa matemātiķu bez ierunām piekristu Endrjū Vilsam, kurš par savu pierādījumu atzīmēja: "Tagad beidzot mans prāts ir mierīgs."
Skaudīgi cilvēki apgalvo, ka franču matemātiķis Pjērs Fermā ierakstīja viņa vārdu vēsturē tikai ar vienu frāzi. Manuskripta malā ar slavenās teorēmas formulējumu 1637. gadā viņš izdarīja piezīmi: "Es atradu pārsteidzošu risinājumu, bet nav pietiekami daudz vietas, lai to ievietotu." Tad sākās pārsteidzošas matemātikas sacīkstes, kurās kopā ar izciliem zinātniekiem pievienojās amatieru armija.
Kāda ir Fermā problēmas viltība? No pirmā acu uzmetiena tas ir skaidrs pat skolēnam.
Tas ir balstīts uz labi zināmo Pitagora teorēmu: taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu: x 2 + y 2 \u003d z 2. Fermā apgalvoja, ka vienādojumam, kura pilnvaras ir lielākas par diviem, nav atrisinājuma veselos skaitļos.
Šķiet vienkārši. Izstiep savu roku, un šeit ir atbilde. Nav pārsteidzoši, ka akadēmijas dažādas valstis, zinātniskie institūti, pat laikrakstu redakcijas tika pārpludinātas ar desmitiem tūkstošu pierādījumu. To skaits ir bezprecedenta, otrajā vietā aiz "mūžīgo kustību mašīnu" projektiem. Bet, ja nopietna zinātne jau sen šīs trakās idejas nav apsvērusi, tad "fermistu" darbi godprātīgi un ieinteresēti studē. Un diemžēl atrod kļūdas. Runā, ka vairāk nekā trīs gadsimtus veidojusies vesela teorēmas atrisinājumu matemātiska kapsēta.
Nav brīnums, ka saka: elkonis ir tuvu, bet tu nekodīsi. Pagāja gadi, gadu desmiti, gadsimti, un Fermā problēma šķita arvien pārsteidzošāka un vilinošāka. Šķiet, ka tas ir nepretenciozs, tas izrādījās pārāk grūts progresam, kas strauji veido muskuļus. Cilvēks jau ir sadalījis atomu, ticis pie gēna, spēris kāju uz Mēness, taču Fermā nepadevās, turpinot vilināt savus pēcnācējus ar maldīgām cerībām.
Tomēr mēģinājumi pārvarēt zinātnisko virsotni nebija veltīgi. Pirmo soli spēra lielais Eilers, pierādot teorēmu ceturtajai pakāpei, pēc tam trešajai. 19. gadsimta beigās vācietis Ernsts Kummers palielināja grādu skaitu līdz simtam. Visbeidzot, bruņojušies ar datoriem, zinātnieki palielināja šo skaitli līdz 100 000. Bet Fermā runāja par jebkādiem grādiem. Tā bija visa būtība.
Protams, zinātniekus mocīja uzdevums ne sporta intereses dēļ. Slavenais matemātiķis Deivids Hilberts teica, ka teorēma ir piemērs tam, kā šķietami nenozīmīga problēma var ļoti ietekmēt zinātni. Pie tā strādājot, zinātnieki pavēra pilnīgi jaunus matemātiskus apvāršņus, piemēram, tika likti pamati skaitļu teorijai, algebrai un funkciju teorijai.
Un tomēr Lielā teorēma tika vājināta 1995. gadā. Viņas risinājumu prezentēja amerikānis no Prinstonas universitātes Endrjū Vilss, un to oficiāli atzinusi zinātnieku sabiedrība. Viņš veltīja vairāk nekā septiņus gadus no savas dzīves, lai atrastu pierādījumus. Pēc zinātnieku domām, šī izcils darbs apvienoja daudzu matemātiķu darbus, atjaunojot zaudētās saites starp tās dažādajām sadaļām.
Tātad samits ir uzņemts, un zinātne ir saņēmusi atbildi, - RG korespondentam sacīja Krievijas Zinātņu akadēmijas Matemātikas nodaļas zinātniskais sekretārs, tehnisko zinātņu doktors Jurijs Višņakovs. – Teorēma ir pierādīta, lai arī ne vienkāršākajā veidā, kā to uzstāja pats Fermā. Un tagad tie, kas vēlas, var izdrukāt savas versijas.
Tomēr "fermistu" ģimene nemaz negrasās pieņemt Vilsa pierādījumus. Nē, viņi neatspēko amerikāņa lēmumu, jo tas ir ļoti sarežģīts, tāpēc saprotams tikai šauram speciālistu lokam. Taču nepaiet ne nedēļa, kad internetā neparādās kāds cits entuziasts, "beidzot pieliekot punktu ilgstošai epopejai".
Starp citu, tieši vakar uz "RG" redakciju piezvanīja viens no mūsu valsts vecākajiem "fermistiem" Vsevolods Jarošs: "Vai jūs zināt, ka es pierādīju Fermā teorēmu vēl pirms Vilsa. Turklāt vēlāk atradu kļūdu. viņā, par ko mūsu izcilajam matemātiķim rakstīju akadēmiķim Arnoldam ar lūgumu publicēt par to plkst. zinātniskais žurnāls. Tagad gaidu atbildi. Šajā gadījumā es sarakstos ar Francijas Zinātņu akadēmiju.
Un tikai tagad, kā ziņots vairākos plašsaziņas līdzekļos, "ar vieglu pieklājību, viņš atklāja liels noslēpums Matemātika", cits entuziasts ir bijušais programmatūras Polet galvenais dizaineris no Omskas, tehnisko zinātņu doktors Aleksandrs Iļjins. Risinājums izrādījās tik vienkāršs un īss, ka ietilpa nelielā avīžu apgabalā vienā no centrālās publikācijas.
"RG" redaktori vērsās pie valsts vadošā matemātikas institūta. Steklov RAS ar lūgumu izvērtēt šo risinājumu. Zinātnieki bija kategoriski: jūs nevarat komentēt laikraksta publikāciju. Bet pēc ilgas pārliecināšanas un ņemot vērā pieaugošo interesi par slaveno problēmu, viņi vienojās. Viņuprāt, publicētajā pierādījumā pieļautas vairākas principiālas kļūdas. Starp citu, tos varēja pamanīt pat matemātikas fakultātes students.
Un tomēr redaktori vēlējās iegūt informāciju no pirmavotiem. Turklāt vakar Aviācijas un aeronautikas akadēmijā Iļjinam vajadzēja prezentēt savu pierādījumu. Taču izrādījās, ka par šādu akadēmiju zina tikai daži cilvēki pat speciālistu vidū. Un, kad tomēr ar lielām grūtībām izdevās atrast šīs organizācijas zinātniskā sekretāra tālruņa numuru, tad, kā izrādījās, viņš pat nenojauta, ka viņu vietā notiks šāds vēsturisks notikums. Vārdu sakot, "RG" korespondentam neizdevās kļūt par pasaules sensācijas liecinieku.
ZINĀTNES UN TEHNOLOĢIJAS JAUNUMI
UDK 51:37;517.958
A.V. Konovko, Ph.D.
Krievijas Valsts ugunsdzēsības dienesta akadēmija EMERCOM IR PIERĀDĪTA LIELĀ TEORĒMAS SAIMNIECĪBA. VAI NĒ?
Vairākus gadsimtus nav bijis iespējams pierādīt, ka vienādojums xn+yn=zn n>2 ir neatrisināms racionālos un līdz ar to veselos skaitļos. Šī problēma radās franču jurista Pjēra Fermā autoritātē, kurš tajā pašā laikā profesionāli nodarbojās ar matemātiku. Viņas risinājums ir piešķirts amerikāņu matemātikas skolotājam Endrjū Vilsam. Šī atzinība ilga no 1993. līdz 1995. gadam.
IR PIERĀDĀTA LIELĀ FERMAS TEORĒMA. VAI NĒ?
Tiek aplūkota Fermā pēdējās teorēmas pierādīšanas dramatiskā vēsture. Pagāja gandrīz četri simti gadu. Pjērs Fermā rakstīja maz. Viņš rakstīja saspiestā stilā. Turklāt viņš nepublicēja savus pētījumus. Apgalvojums, ka vienādojums xn+yn=zn ir neatrisināms kopās racionālie skaitļi un veseli skaitļi, ja n>2 piedalījās Fermā komentārs, ka viņš patiešām ir atradis ievērojamu pierādījumu šim apgalvojumam. Pēcnācējus šis pierādījums nesasniedza. Vēlāk šo apgalvojumu nosauca par Fermā pēdējo teorēmu. Pasaules labākie matemātiķi šo teorēmu pārkāpa bez rezultāta. Septiņdesmitajos gados franču matemātiķis, Parīzes Zinātņu akadēmijas loceklis Andrē Veils izstrādāja jaunas pieejas risinājumam. 1993. gada 23. jūnijā skaitļu teorijas konferencē Kembridžā Prinstonas universitātes matemātiķis Endrjū Norss paziņoja, ka Fermā pēdējā teorēma ir iegūta. Tomēr triumfēt bija agri.
1621. gadā franču rakstnieks un matemātiķis Klods Gaspards Bašs de Meziriaks publicēja Diofanta grieķu traktātu Aritmētika ar tulkojumu latīņu valodā un komentāriem. Greznais, ar neparasti platām malām, "Aritmētika" nonāca divdesmit gadus vecā Fermā rokās un ilgus gadus kļuva par viņa galda grāmata. Tā malās viņš atstāja 48 piezīmes, kurās bija viņa atklātie fakti par skaitļu īpašībām. Šeit, uz aritmētikas robežas, tika formulēta Fermā lielā teorēma: "Nav iespējams sadalīt kubu divos kubos vai bi-kvadrātu divos divos kvadrātos vai vispār jaudu, kas lielāka par diviem, divās pakāpēs ar tas pats eksponents; Tam atradu patiesi brīnišķīgu pierādījumu, kas vietas trūkuma dēļ nevar ietilpt šajos laukos. Starp citu, latīņu valodā tas izskatās šādi: “Cubum autem in duos cubos, autato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Lielais franču matemātiķis Pjērs Fermā (1601-1665) izstrādāja laukumu un tilpumu noteikšanas metodi, radīja jaunu pieskares un ekstrēmu metodi. Kopā ar Dekartu viņš kļuva par analītiskās ģeometrijas radītāju, kopā ar Paskālu viņš stāvēja pie varbūtību teorijas pirmsākumiem, bezgalīgi mazās metodes jomā sniedza vispārīgu diferenciācijas noteikumu un vispārīgi pierādīja jaudas funkcijas integrēšanas likumu. ... Bet, pats galvenais, šis nosaukums ir saistīts ar vienu no noslēpumainākajiem un dramatiskākajiem stāstiem, kas jebkad šokējis matemātiku – stāstu par Fermā pēdējās teorēmas pierādīšanu. Tagad šī teorēma ir izteikta vienkārša apgalvojuma veidā: vienādojums xn + yn = zn n>2 nav atrisināms racionāli un līdz ar to veselos skaitļos. Starp citu, gadījumam n = 3 Vidusāzijas matemātiķis Al-Hojandi 10. gadsimtā mēģināja pierādīt šo teorēmu, taču viņa pierādījums nav saglabājies.
Pjērs Fermā, kas dzimis Francijas dienvidos, ieguva jurista grādu un no 1631. gada bija Tulūzas pilsētas parlamenta (ti, augstākās tiesas) padomnieks. Pēc darba dienas parlamenta sienās viņš apguva matemātiku un uzreiz ienira pavisam citā pasaulē. Nauda, prestižs, sabiedrības atzinība - tas viss viņam nebija svarīgi. Zinātne viņam nekad nekļuva par ienākumiem, nepārvērsās par amatu, vienmēr paliekot tikai aizraujoša prāta spēle, saprotama tikai retajam. Ar viņiem viņš turpināja savu saraksti.
Farm nekad nav rakstījis zinātniskie darbi mūsu parastajā izpratnē. Un viņa sarakstē ar draugiem vienmēr ir kāds izaicinājums, pat sava veida provokācija un nekādā gadījumā ne akadēmiska problēmas un tās risinājuma izklāsta. Tāpēc daudzas viņa vēstules vēlāk kļuva pazīstamas kā: izaicinājums.
Varbūt tāpēc viņš nekad nav sapratis savu nodomu uzrakstīt īpašu eseju par skaitļu teoriju. Un tikmēr tā bija viņa iecienītākā matemātikas joma. Tieši viņai Fermā veltīja visvairāk iedvesmotās vēstuļu rindas. "Aritmētikai," viņš rakstīja, "ir savs lauks, veselo skaitļu teorija. Šo teoriju tikai nedaudz skāra Eiklīds, un viņa sekotāji to nebija pietiekami attīstījuši (ja vien tā nebija ietverta tajos Diofanta darbos, par kuriem mēs esam bijuši atņemta laika zoba). Tāpēc aritmētikai tā ir jāattīsta un jāatjauno."
Kāpēc pats Fermā nebaidījās no laika zoba? Viņš rakstīja maz un vienmēr ļoti kodolīgi. Bet, pats galvenais, viņš savu darbu nepublicēja. Viņa dzīves laikā tie izplatījās tikai manuskriptu veidā. Tāpēc nav pārsteidzoši, ka Fermā skaitļu teorijas rezultāti mums ir nonākuši sadrumstalotā veidā. Bet Bulgakovam droši vien bija taisnība: lieliski rokraksti nedeg! Fermata darbs palika. Tie palika viņa vēstulēs draugiem: Lionas matemātikas skolotājam Žakam de Billijam, naudas kaltuves darbiniekam Bernāram Frenikelam de Besī, Marsenisam, Dekartam, Blēzam Paskālam... Diofanta "Aritmētika" palika ar viņa piezīmēm pie malām, kuras pēc Fermā nāves. , kas iekļauts kopā ar Basche komentāriem jaunajā Diophantus izdevumā, ko izdeva vecākais dēls Samuels 1670. gadā. Tikai pats pierādījums nav saglabājies.
Divus gadus pirms viņa nāves Fermats nosūtīja savam draugam Karkavi testamenta vēstuli, kas ienāca matemātikas vēsturē ar nosaukumu "Jaunu rezultātu kopsavilkums skaitļu zinātnē". Šajā vēstulē Fermā pierādīja savu slaveno apgalvojumu gadījumam n = 4. Taču tad, visticamāk, viņu interesēja nevis pats apgalvojums, bet gan viņa atklātā pierādīšanas metode, ko pats Fermā nodēvējis par bezgalīgu vai nenoteiktu nolaišanos.
Rokraksti nedeg. Bet, ja tas nebūtu Samuela veltījums, kurš pēc tēva nāves savāca visas savas matemātiskās skices un mazos traktātus un pēc tam publicēja tos 1679. gadā ar nosaukumu “Dažādi matemātikas darbi”, mācītiem matemātiķiem būtu nācies atklāt. un daudz ko atklāt no jauna. Bet pat pēc to publicēšanas lielā matemātiķa radītās problēmas snauda vairāk nekā septiņdesmit gadus. Un tas nav pārsteidzoši. Tādā formā, kādā tie parādījās drukātā veidā, P. Fermā skaitļu teorētiskie rezultāti speciālistu priekšā parādījās nopietnu problēmu veidā, kas ne vienmēr ir skaidras laikabiedriem, gandrīz bez pierādījumiem un norādēm uz iekšējām loģiskām saiknēm starp tiem. Iespējams, sakarīgas, pārdomātas teorijas trūkuma dēļ slēpjas atbilde uz jautājumu, kāpēc pats Fermā nedomāja izdot grāmatu par skaitļu teoriju. Septiņdesmit gadus vēlāk L. Eilers sāka interesēties par šiem darbiem, un šī patiešām bija viņu otrā dzimšana...
Matemātika ir dārgi samaksājusi par Fermā savdabīgo veidu, kā pasniegt savus rezultātus, it kā apzināti izlaižot to pierādījumus. Bet, ja jau Fermā apgalvoja, ka ir pierādījis šo vai citu teorēmu, tad vēlāk šī teorēma noteikti tika pierādīta. Tomēr ar lielo teorēmu radās aizķeršanās.
Noslēpums vienmēr aizrauj iztēli. Veselus kontinentus iekaroja Monas Lizas noslēpumainais smaids; Relativitātes teorija kā telpas un laika savienojumu noslēpuma atslēga ir kļuvusi par populārāko fizikālā teorija gadsimtā. Un mēs varam droši teikt, ka nebija nevienas citas šādas matemātiskas problēmas, kas būtu tik populāras kā tās bija __93
Civilās aizsardzības zinātniskās un izglītības problēmas
kura Fermā teorēma. Mēģinājumi to pierādīt noveda pie plašas matemātikas nozares - algebrisko skaitļu teorijas izveidošanas, taču (ak!) Pati teorēma palika nepierādīta. 1908. gadā vācu matemātiķis Volfskels novēlēja 100 000 marku ikvienam, kurš varēja pierādīt Fermā teorēmu. Par tiem laikiem tā bija milzīga summa! Vienā mirklī bija iespējams kļūt ne tikai slavenam, bet arī pasakaini bagātam! Tāpēc nav pārsteidzoši, ka pat Krievijas, tālu no Vācijas, skolēni, kas sacenšas savā starpā, steidzās pierādīt lielisko teorēmu. Ko lai saka par profesionāliem matemātiķiem! Bet... velti! Pēc Pirmā pasaules kara nauda nolietojās, vēstuļu plūsma ar pseidopierādījumiem sāka izsīkt, lai gan, protams, tā pilnībā neapstājās. Runā, ka slavenais vācu matemātiķis Edmunds Landau sagatavojis drukātas veidlapas izplatīšanai Fermā teorēmas pierādījumu autoriem: "Lapas ..., rindā ... ir kļūda." (Kļūdas atrašana bija uzticēta docentam.) Ar šīs teorēmas pierādīšanu bija saistīts tik daudz kuriozu un anekdošu, ka no tiem varēja izveidot grāmatu. Pēdējā anekdote izskatās pēc detektīva A. Marininas "Sakritība", kas filmēta un nodota valsts televīzijas ekrānos 2000. gada janvārī. Tajā mūsu tautietis pierāda teorēmu, ko nav pierādījuši visi viņa lielie priekšteči, un pretendē par to uz Nobela prēmiju. Kā zināms, dinamīta izgudrotājs savā testamentā ignorēja matemātiķus, tāpēc pierādījuma autors varēja pretendēt tikai uz Fīldsas zelta medaļu – augstāko starptautisko apbalvojumu, ko paši matemātiķi apstiprināja 1936. gadā.
Izcilā krievu matemātiķa A.Ya klasiskajā darbā. Khinchin, kas veltīts lieliskajai Fermā teorēmai, sniedz informāciju par šīs problēmas vēsturi un pievērš uzmanību metodei, kuru Fermā varētu izmantot, lai pierādītu savu teorēmu. Pierādījums dots gadījumam n = 4 un īss apskats citi svarīgi rezultāti.
Taču līdz detektīvstāsta rakstīšanas brīdim un vēl jo vairāk – līdz filmēšanas brīdim teorēmas vispārējais pierādījums jau bija atrasts. 1993. gada 23. jūnijā Kembridžā notikušajā konferencē par skaitļu teoriju Prinstonas matemātiķis Endrjū Vilss paziņoja, ka ir iegūts Fermā pēdējās teorēmas pierādījums. Bet nepavisam ne tā, kā to "solīja" pats Fermā. Endrjū Vilza ceļš nekādā gadījumā nebija balstīts uz elementārās matemātikas metodēm. Viņš nodarbojās ar tā saukto elipses līkņu teoriju.
Lai iegūtu priekšstatu par eliptiskajām līknēm, ir jāņem vērā plaknes līkne, kas dota ar trešās pakāpes vienādojumu
Y(x, y) = a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 = 0. (1)
Visas šādas līknes ir sadalītas divās klasēs. Pirmajā klasē ietilpst tās līknes, kurām ir smailes punkti (piemēram, puskubiskā parabola y2 = a2-X ar smailes punktu (0; 0)), paškrustošanās punkti (piemēram, Dekarta loksne x3 + y3-3axy = 0, plkst. punkts (0; 0)), kā arī līknes, kurām polinoms Ax, y) ir attēlots formā
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
kur ^(x, y) un ^(x, y) ir mazāku pakāpju polinomi. Šīs klases līknes sauc par trešās pakāpes deģenerētām līknēm. Otro līkņu klasi veido nedeģenerētas līknes; mēs tos sauksim par eliptiskiem. Tie ietver, piemēram, Curl Agnesi (x2 + a2)y - a3 = 0). Ja polinoma (1) koeficienti ir racionāli skaitļi, tad eliptisko līkni var pārveidot tā sauktajā kanoniskajā formā
y2 = x3 + ax + b. (2)
1955. gadā japāņu matemātiķis Y. Taniyama (1927-1958) eliptisku līkņu teorijas ietvaros paspēja formulēt minējumu, kas pavēra ceļu Fermā teorēmas pierādīšanai. Bet tad ne Tanijai, ne viņa kolēģiem par to nebija aizdomas. Gandrīz divdesmit gadus šī hipotēze nepiesaistīja nopietnu uzmanību un kļuva populāra tikai 70. gadu vidū. Saskaņā ar Taniyama minējumu jebkura eliptiska
līkne ar racionāliem koeficientiem ir modulāra. Tomēr līdz šim hipotēzes formulējums sīkumainajam lasītājam neko nepasaka. Tāpēc ir vajadzīgas dažas definīcijas.
Katru eliptisku līkni var saistīt ar svarīgu skaitliskais raksturlielums ir tās diskriminējošais. Līknei, kas dota kanoniskā formā (2), diskriminantu A nosaka pēc formulas
A \u003d - (4a + 27b2).
Lai E ir kāda eliptiska līkne, kas dota ar vienādojumu (2), kur a un b ir veseli skaitļi.
Lai iegūtu pirmskaitli p, apsveriet salīdzinājumu
y2 = x3 + ax + b (mod p), (3)
kur a un b ir atlikumi pēc veselo skaitļu a un b dalīšanas ar p, un šīs kongruences atrisinājumu skaitu apzīmē ar np. Skaitļi pr ir ļoti noderīgi, pētot jautājumu par (2) formas vienādojumu atrisināmību veselos skaitļos: ja kāds pr ir vienāds ar nulli, tad vienādojumam (2) nav veselu skaitļu atrisinājumu. Taču skaitļus pr ir iespējams aprēķināt tikai retākajos gadījumos. (Tajā pašā laikā ir zināms, ka p-n|< 2Vp (теоремаХассе)).
Aplūkosim tos pirmskaitļus p, kas dala eliptiskās līknes (2) diskriminantu A. Var pierādīt, ka šādam p polinomu x3 + ax + b var uzrakstīt vienā no diviem veidiem:
x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß) (mod P)
x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),
kur a, ß, y ir dažas atliekas pēc dalīšanas ar p. Ja visiem pirmskaitļiem p, kas sadala līknes diskriminantu, tiek realizēta pirmā no divām norādītajām iespējām, tad eliptiskā līkne tiek uzskatīta par puslīdzīgu.
Pirmskaitļus, kas sadala diskriminantu, var apvienot tā sauktajā eliptiskās līknes vadītājā. Ja E ir daļēji stabila līkne, tad tās vadītājs N ir norādīts pēc formulas
kur visiem pirmskaitļiem p > 5, kas dala A, eksponents eP ir vienāds ar 1. Eksponenti 82 un 83 tiek aprēķināti, izmantojot īpašu algoritmu.
Būtībā tas ir viss, kas nepieciešams, lai saprastu pierādījuma būtību. Tomēr Taniyama minējums satur sarežģīto un mūsu gadījumā galveno modularitātes jēdzienu. Tāpēc kādu laiku aizmirsīsim par eliptiskām līknēm un apskatīsim augšējā pusplaknē norādītā kompleksa argumenta z analītisko funkciju f (tas ir, funkciju, ko var attēlot ar pakāpju sēriju).
Apzīmē ar H augšējo komplekso pusplakni. Lai N ir naturāls skaitlis un k ir vesels skaitlis. N līmeņa svara k moduļu paraboliskā forma ir analītiskā funkcija f(z), kas definēta augšējā pusplaknē un apmierina sakarību
f = (cz + d) kf (z) (5)
jebkuriem veseliem skaitļiem a, b, c, d, lai ae - bc = 1 un c dalās ar N. Turklāt tiek pieņemts, ka
lim f (r + it) = 0,
kur r ir racionāls skaitlis, un tas
N līmeņa moduļu smailo formu telpu ar svaru k apzīmē ar Sk(N). Var parādīt, ka tai ir ierobežota dimensija.
Turpinājumā mūs īpaši interesēs 2. svara moduļu smailes formas. Mazam N telpas izmērs S2(N) ir parādīts 1. tabulā. 1. Jo īpaši
Telpas izmēri S2(N)
1. tabula
N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
No nosacījuma (5) izriet, ka % + 1) = katrai formai f ∈ S2(N). Tāpēc f ir periodiska funkcija. Šādu funkciju var attēlot kā
Mēs saucam par modulāro smail formu A^) S2(N), ja tās koeficienti ir veseli skaitļi, kas atbilst attiecībām:
a r ■ a = a r+1 ■ p ■ c r_1 vienkāršam p, kas nedala skaitli N; (astoņi)
(ap) pirmskaitļam p, kas dala N;
atp = pie ja (m, n) = 1.
Tagad mēs formulējam definīciju, kurai ir galvenā loma Fermā teorēmas pierādīšanā. Eliptisku līkni ar racionāliem koeficientiem un vadītāju N sauc par modulāru, ja pastāv šāda īpašforma
f(z) = ^anq" g S2(N),
ka ap = p - pr gandrīz visiem pirmskaitļiem p. Šeit np ir salīdzinājuma risinājumu skaits (3).
Ir grūti noticēt, ka pastāv vismaz viena šāda līkne. Diezgan grūti iedomāties, ka pastāv funkcija A(r), kas apmierina uzskaitītos stingros ierobežojumus (5) un (8), kas izvērstos virknē (7), kuras koeficienti būtu saistīti ar praktiski neaprēķināmiem skaitļiem Pr, ir diezgan grūti. Taču Tanijamas drosmīgā hipotēze nekādā ziņā neapšaubīja to pastāvēšanas faktu, un laika gaitā uzkrātais empīriskais materiāls izcili apstiprināja tās pamatotību. Pēc divu desmitgažu gandrīz pilnīgas aizmirstības Tanijas hipotēze saņēma otro elpu franču matemātiķa, Parīzes Zinātņu akadēmijas locekļa Andrē Veila darbos.
1906. gadā dzimušais A. Veils galu galā kļuva par vienu no matemātiķu grupas dibinātājiem, kas darbojās ar pseidonīmu N. Burbaki. Kopš 1958. gada A. Veils ir Prinstonas Padziļināto studiju institūta profesors. Un viņa intereses parādīšanās par abstrakto algebrisko ģeometriju attiecas uz to pašu periodu. Septiņdesmitajos gados viņš pievērsās eliptiskajām funkcijām un Taniyama minējumiem. Eliptiskajām funkcijām veltītā monogrāfija tika tulkota šeit, Krievijā. Viņš nav viens savā aizraušanās. 1985. gadā vācu matemātiķis Gerhards Frei ierosināja, ka, ja Fermā teorēma ir nepatiesa, tas ir, ja ir veselu skaitļu trīskāršs a, b, c tāds, ka a " + bn = c" (n > 3), tad eliptiskā līkne.
y2 \u003d x (x - a") - (x - cn)
nevar būt modulāra, kas ir pretrunā ar Taniyama minējumu. Pašam Freijam šo apgalvojumu pierādīt neizdevās, taču drīz vien pierādījumu ieguva amerikāņu matemātiķis Kenets Ribets. Citiem vārdiem sakot, Ribets parādīja, ka Fermā teorēma ir Tanijas pieņēmuma sekas.
Viņš formulēja un pierādīja šādu teorēmu:
1. teorēma (Ribet). Apzīmēsim E eliptisku līkni ar racionāliem koeficientiem ar diskriminantu
un diriģents
Pieņemsim, ka E ir modulārs un ļauj
/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)
ir atbilstošā līmeņa īpašforma N. Nofiksējam pirmskaitli £ un
p: eP \u003d 1; - "8 p
Tad ir paraboliska forma
/(r) = 2 dnqn e N)
ar veselu skaitļu koeficientiem, ka starpības un - dn dalās ar I visiem 1< п<ад.
Ir skaidrs, ka, ja šī teorēma ir pierādīta kādam eksponentam, tad tā ir pierādīta visiem eksponentiem, kas ir n daudzkārtņi. Tā kā katrs vesels skaitlis n > 2 dalās vai nu ar 4, vai ar nepāra pirmskaitli, mēs varam aprobežoties ar gadījums, kad eksponents ir 4 vai nepāra pirmskaitlis. Ja n = 4, Fermā teorēmas elementāru pierādījumu vispirms ieguva pats Fermā un pēc tam Eilers. Tādējādi ir pietiekami izpētīt vienādojumu
a1 + b1 = c1, (12)
kurā eksponents I ir nepāra pirmskaitlis.
Tagad Fermā teorēmu var iegūt ar vienkāršiem aprēķiniem (2).
2. teorēma. Tanijamas pieņēmums puslīdzināmām eliptiskām līknēm ietver Fermā pēdējo teorēmu.
Pierādījums. Pieņemsim, ka Fermā teorēma ir nepatiesa, un lai ir atbilstošs pretpiemērs (kā iepriekš, šeit I ir nepāra pirmskaitlis). Eliptiskajai līknei piemērosim 1. teorēmu
y2 = x (x - ae) (x - c1).
Vienkārši aprēķini parāda, ka šīs līknes vadītājs ir norādīts pēc formulas
Salīdzinot formulas (11) un (13), redzam, ka N = 2. Tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu pastāv paraboliskā forma
guļus telpā 82(2). Taču sakarības (6) dēļ šī atstarpe ir nulle. Tāpēc visiem n dn = 0. Tajā pašā laikā a^ = 1. Tāpēc starpība ar - dl = 1 nedalās ar I, un mēs nonākam pie pretrunas. Tādējādi teorēma ir pierādīta.
Šī teorēma sniedza atslēgu Fermā pēdējās teorēmas pierādījumam. Un tomēr pati hipotēze joprojām palika nepierādīta.
1993. gada 23. jūnijā paziņojis par pierādījumu Tanijamas pieņēmumam puslīdz eliptiskām līknēm, kas ietver formas (8) līknes, Endrjū Vilzs steidzās. Matemātiķiem bija par agru svinēt uzvaru.
Siltā vasara ātri beidzās, lietainais rudens palika aiz muguras, pienāca ziema. Villss rakstīja un pārrakstīja sava pierādījuma galīgo versiju, taču skrupulozi kolēģi viņa darbā atrada arvien jaunas neprecizitātes. Un tā 1993. gada decembra sākumā, dažas dienas pirms Wiles manuskripta publicēšanas, viņa pierādījumos atkal tika atklātas nopietnas nepilnības. Un tad Villss saprata, ka vienas vai divu dienu laikā vairs neko nevarēs izlabot. Tas prasīja pamatīgu remontu. Darba izdošanu nācās atlikt. Villss vērsās pie Teilores pēc palīdzības. "Darbs pie kļūdām" aizņēma vairāk nekā gadu. Tanijamas minējuma pierādījuma galīgā versija, ko Villss uzrakstīja sadarbībā ar Teilori, parādījās tikai 1995. gada vasarā.
Atšķirībā no varoņa A. Marininas, Vilss nepretendēja uz Nobela prēmiju, bet, neskatoties uz to... viņam vajadzēja būt atzīmētam ar kādu balvu. Tas ir tikai kas? Vilsam tolaik jau bija piecdesmit, un Fīldsa zelta medaļas tiek piešķirtas stingri līdz četrdesmit gadu vecumam, kamēr radošās darbības virsotne vēl nav pārvarēta. Un tad viņi nolēma izveidot īpašu balvu Vilsam - Lauku komitejas sudraba nozīmīti. Šī nozīmīte viņam tika pasniegta nākamajā matemātikas kongresā Berlīnē.
No visām problēmām, kas vairāk vai mazāk varētu aizstāt Fermā pēdējo teorēmu, vislielākā iespēja ir problēmai par tuvāko bumbiņu iesaiņošanu. Tuvākās bumbiņu iesaiņošanas problēmu var formulēt kā problēmu, kā visekonomiskāk sakraut apelsīnu piramīdu. Jaunie matemātiķi šo problēmu mantoja no Johannesa Keplera. Problēma radās 1611. gadā, kad Keplers uzrakstīja īsu eseju "Par sešstūra sniegpārslām". Keplera interese par matērijas daļiņu izvietojumu un pašorganizēšanos lika viņam apspriest citu jautājumu - blīvāko daļiņu iepakojumu, kurā tās aizņem vismazāko tilpumu. Ja pieņemam, ka daļiņas ir sfēru formā, tad ir skaidrs, ka neatkarīgi no tā, kā tās atrodas telpā, starp tām neizbēgami paliks spraugas, un jautājums ir par atstarpju apjoma samazināšanu. Darbā, piemēram, ir norādīts (bet nav pierādīts), ka šāda forma ir tetraedrs, kura iekšpusē esošās koordinātu asis nosaka ortogonalitātes pamata leņķi 109o28", nevis 90o. Šī problēma ir ļoti svarīga elementārdaļiņai. fizika, kristalogrāfija un citas dabaszinātņu sadaļas.
Literatūra
1. Veils A. Eliptiskās funkcijas pēc Eizenšteina un Kronekera. - M., 1978. gads.
2. Solovjovs Yu.P. Tanijamas minējums un Fermā pēdējā teorēma // Sorosa izglītības žurnāls. - Nr. 2. - 1998. - S. 78-95.
3. Singh S. Fermat pēdējā teorēma. Noslēpuma vēsture, kas 358 gadus nodarbinājusi pasaules labākos prātus / Per. no angļu valodas. Yu.A. Daņilova. Maskava: MTsNMO. 2000. - 260 lpp.
4. Mirmovičs E.G., Ušačeva T.V. Kvarterniju algebra un trīsdimensiju rotācijas // Pašreizējais Žurnāls Nr. 1(1), 2008. - 75.-80.lpp.
FERMATA LIELĀS TEORĒMAS VĒSTURELieliska afēra
Reiz adresātu saraksta Jaungada numurā par tostu gatavošanu nejauši pieminēju, ka 20. gadsimta beigās bija viens grandiozs notikums, ko daudzi nepamanīja – beidzot tika pierādīta tā dēvētā Fermā pēdējā teorēma. Šajā gadījumā starp saņemtajām vēstulēm atradu divas atbildes no meitenēm (viena no viņām, cik atceros, ir Zeļenogradas devītās klases skolniece Vika), kuras bija pārsteigtas par šo faktu.
Un mani pārsteidza tas, cik ļoti meitenes interesējas par mūsdienu matemātikas problēmām. Tāpēc domāju, ka ne tikai meitenes, bet arī visu vecumu zēni - no vidusskolēniem līdz pensionāriem, arī būs ieinteresēti apgūt Lielās teorēmas vēsturi.
Fermā teorēmas pierādījums ir lielisks notikums. Un kopš tā laika nav pieņemts jokot ar vārdu "lieliski", tad man liekas, ka katram sevi cienošam runātājam (un mums visiem, kad sakām runātāji) vienkārši ir pienākums zināt teorēmas vēsturi.
Ja ir gadījies, ka jums matemātika nepatīk tik ļoti kā man, tad apskatiet dažus padziļinājumus detalizēti ar paviršu skatienu. Saprotot, ka ne visi mūsu adresātu saraksta lasītāji ir ieinteresēti klaiņot matemātikas mežonībās, es centos nedot nekādas formulas (izņemot Fermā teorēmas vienādojumu un pāris hipotēzes) un vienkāršot dažu specifisku jautājumu aptvērumu kā cik vien iespējams.
Kā Fermats vārīja putru
Franču jurists un 17. gadsimta izcilais matemātiķis Pjērs Fermā (1601-1665) izvirzīja vienu dīvainu apgalvojumu no skaitļu teorijas jomas, kas vēlāk kļuva pazīstama kā Fermā Lielā (vai Lielā) teorēma. Šī ir viena no slavenākajām un fenomenālākajām matemātiskajām teorēmām. Iespējams, satraukums ap to nebūtu bijis tik spēcīgs, ja Aleksandrijas Diofanta grāmatā (3. gs. p.m.ē.) "Aritmētika", kuru Fermā bieži pētīja, veicot piezīmes uz tās platajām malām, un kuru viņa dēls Samuels laipni saglabāja pēcnācējiem. , netika atrasts aptuveni šāds izcilā matemātiķa ieraksts:
"Man ir ļoti pārsteidzošs pierādījums, bet tas ir pārāk liels, lai ietilptu malās."
Tieši šis ieraksts izraisīja sekojošo grandiozo satricinājumu ap teorēmu.
Tātad slavenais zinātnieks teica, ka ir pierādījis savu teorēmu. Uzdosim sev jautājumu: vai viņš tiešām to pierādīja, vai arī melojis rupjš? Vai arī ir citas versijas, kas izskaidro šī marginālā ieraksta parādīšanos, kas daudziem nākamo paaudžu matemātiķiem neļāva mierīgi gulēt?
Lielās teorēmas vēsture ir tikpat aizraujoša kā piedzīvojums laikā. Fermā 1636. gadā paziņoja, ka formas vienādojums x n + y n =z n nav atrisinājumu veselos skaitļos ar eksponentu n>2. Šī patiesībā ir Fermā pēdējā teorēma. Šajā šķietami vienkāršajā matemātiskajā formulā Visums ir maskējis neticamu sarežģītību. Skotijā dzimušais amerikāņu matemātiķis Ēriks Templs Bells savā grāmatā The Final Problem (1961) pat izteica domu, ka, iespējams, cilvēce beigs pastāvēt, pirms tā varēs pierādīt Fermā pēdējo teorēmu.
Nedaudz dīvaini, ka teorēma nez kāpēc aizkavējās ar savu dzimšanu, jo situācija jau sen bija nokavēta, jo tās īpašais gadījums n = 2 - cita slavenā matemātiskā formula - Pitagora teorēma, radās divdesmit divus gadsimtus agrāk. Atšķirībā no Fermā teorēmas, Pitagora teorēmai ir bezgalīgs veselu skaitļu atrisinājumu skaits, piemēram, tādi Pitagora trijstūri: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Lielās teorēmas sindroms
Kurš vienkārši nemēģināja pierādīt Fermā teorēmu. Jebkurš jauns students uzskatīja par savu pienākumu piemērot Lielo teorēmu, taču neviens to nespēja pierādīt. Sākumā simts gadus tas nedarbojās. Tad vēl simts. Un tālāk. Matemātiķu vidū sāka veidoties masu sindroms: "Kā ir? Fermā to pierādīja, bet ja es nevaru, vai kā?" - un daži no viņiem kļuva traki uz šī pamata vārda pilnā nozīmē.
Neatkarīgi no tā, cik daudz teorēma tika pārbaudīta, tā vienmēr izrādījās patiesa. Es pazinu vienu enerģisku programmētāju, kurš bija apsēsts ar ideju atspēkot Lielo teorēmu, mēģinot atrast vismaz vienu no tās risinājumiem (pretpiemēru), atkārtojot veselus skaitļus, izmantojot ātru datoru (tolaik biežāk sauktu par datoru). Viņš ticēja sava uzņēmuma panākumiem un mīlēja teikt: "Vēl nedaudz - un sensācija izcelsies!" Es domāju, ka dažādās mūsu planētas vietās bija ievērojams skaits šāda veida drosmīgu meklētāju. Protams, viņš neatrada nekādu risinājumu. Un neviens dators, pat ar pasakainu ātrumu, nekad nevarētu pārbaudīt teorēmu, jo visi šī vienādojuma mainīgie (ieskaitot eksponentus) var palielināties līdz bezgalībai.
Teorēma prasa pierādījumus
Matemātiķi zina, ka, ja teorēma nav pierādīta, no tās var izrietēt jebkas (patiess vai nepatiess), kā tas notika ar dažām citām hipotēzēm. Piemēram, vienā no savām vēstulēm Pjērs Fermā ierosināja, ka skaitļi formā 2 n +1 (tā sauktie Fermā skaitļi) noteikti ir pirmskaitļi (tas ir, tiem nav veselu skaitļu dalītāju un tie dalās tikai paši bez atlikuma). un ar vienu), ja n ir divnieks (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 utt.). Fermā hipotēze pastāvēja vairāk nekā simts gadus – līdz Leonhards Eilers 1732. gadā parādīja, ka
2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641
Pēc tam, gandrīz 150 gadus vēlāk (1880. g.), Fortūna Lendrija aprēķināja šādu Fermā skaitli:
2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721
Kā viņi varēja atrast šo lielo skaitļu dalītājus bez datoru palīdzības - Dievs vien zina. Savukārt Eilers izvirzīja hipotēzi, ka vienādojumam x 4 + y 4 + z 4 =u 4 nav atrisinājumu veselos skaitļos. Tomēr aptuveni 250 gadus vēlāk, 1988. gadā, Naumam Elkisam no Hārvardas izdevās atklāt (jau izmantojot datorprogrammu), ka
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4
Tāpēc Fermā pēdējā teorēma prasīja pierādījumus, pretējā gadījumā tā bija tikai hipotēze, un varētu būt, ka kaut kur bezgalīgos skaitļu laukos ir pazudis Lielās teorēmas vienādojuma risinājums.
18. gadsimta virtuozākais un ražīgākais matemātiķis Leonhards Eilers, kura ierakstu arhīvu cilvēce ir kārtojusi gandrīz gadsimtu, pierādīja Fermā teorēmu 3. un 4. pakāpēm (pareizāk sakot, viņš atkārtoja paša Pjēra Fermā zaudētos pierādījumus). ; viņa sekotājs skaitļu teorijā Leģendre (un neatkarīgi Dirihlets) - par 5. pakāpi; Klibs - par 7. pakāpi. Bet kopumā teorēma palika nepierādīta.
1847. gada 1. martā Parīzes Zinātņu akadēmijas sanāksmē uzreiz divi izcili matemātiķi - Gabriels Lams un Augustins Košī - paziņoja, ka ir nonākuši līdz Lielās teorēmas pierādīšanas beigām un sarīkoja sacīkstes, publicējot savu pierādījumi pa daļām. Tomēr duelis starp viņiem tika pārtraukts, jo viņu pierādījumos tika atklāta tā pati kļūda, uz ko norādīja vācu matemātiķis Ernsts Kummers.
20. gadsimta sākumā (1908) bagāts vācu uzņēmējs, filantrops un zinātnieks Pols Volfskels novēlēja simts tūkstošus marku ikvienam, kurš uzrādīs pilnīgu Fermā teorēmas pierādījumu. Jau pirmajā gadā pēc Volfskela testamenta publicēšanas Getingenes Zinātņu akadēmijā tas tika pārpludināts ar tūkstošiem matemātikas cienītāju pierādījumu, un šī plūsma neapstājās gadu desmitiem, taču, kā jūs varat iedomāties, tie visi saturēja kļūdas. . Viņi saka, ka akadēmija sagatavoja veidlapas ar šādu saturu:
Dārgs __________________________!
Jūsu Fermā teorēmas pierādījumā ____ lapas ____ rindā no augšas
Formulā tika atrasta šāda kļūda:_______________________________:,
Kuras tika nosūtītas nelaimīgajiem pretendentiem uz balvu.
Tajā laikā matemātiķu lokā parādījās pusniecīgs segvārds - fermists. Tā sauca ikvienu pašpārliecinātu jaundzimušo, kuram pietrūka zināšanu, bet vairāk nekā bija ambīcijas steigšus izmēģināt spēkus Lielās teorēmas pierādīšanā, un tad, nepamanot paša kļūdas, lepni sitot pa krūtīm, skaļi paziņo: "Es pierādīju pirmā Fermā teorēma! Katrs zemnieks, pat ja viņš bija desmittūkstošais, uzskatīja sevi par pirmo - tas bija smieklīgi. Vienkāršais Lielās teorēmas izskats fermistiem tik ļoti atgādināja vieglu laupījumu, ka viņi nemaz nebija apmulsuši, ka pat Eilers un Gauss nevarēja ar to tikt galā.
(Fermisti, dīvainā kārtā, pastāv arī šodien. Lai gan viens no viņiem neticēja, ka ir pierādījis teorēmu kā klasisks fermists, taču vēl nesen viņš mēģināja - viņš atteicās man ticēt, kad es viņam pateicu, ka Fermā teorēma jau ir izpildīta. pierādīts).
Spēcīgākie matemātiķi, iespējams, sava kabineta klusumā, arī centās piesardzīgi tuvoties šim neizturamajam stienim, taču par to skaļi nerunāja, lai netiktu apzīmēti kā fermisti un tādējādi nekaitētu savai augstajai autoritātei.
Līdz tam laikam parādījās teorēmas pierādījums eksponentam n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.
Dīvaina hipotēze
Līdz divdesmitā gadsimta vidum nekādi lieli sasniegumi Lielās teorēmas vēsturē netika novēroti. Taču drīz vien matemātikas dzīvē notika interesants notikums. 1955. gadā 28 gadus vecais japāņu matemātiķis Jutaka Tanijama izvirzīja apgalvojumu no pavisam citas matemātikas jomas, ko sauca par Tanijamas hipotēzi (pazīstama arī kā Tanijama-Šimura-Veila hipotēze), kas atšķirībā no Fermā novēlotās teorēmas bija priekšā. sava laika.
Taniyama minējums saka: "katrai eliptiskajai līknei atbilst noteikta modulāra forma." Šis apgalvojums tā laika matemātiķiem izklausījās apmēram tikpat absurdi, cik mums izklausās apgalvojums: "katram kokam atbilst noteikts metāls." Ir viegli uzminēt, kā normāls cilvēks var attiekties pret šādu apgalvojumu - viņš to vienkārši neuztvers nopietni, kas arī notika: matemātiķi vienbalsīgi ignorēja hipotēzi.
Neliels skaidrojums. Eliptiskām līknēm, kas pazīstamas jau ilgu laiku, ir divdimensiju forma (atrodas plaknē). 19. gadsimtā atklātajām moduļu funkcijām ir četrdimensiju forma, tāpēc mēs tās pat nevaram iedomāties ar savām trīsdimensiju smadzenēm, taču varam tās aprakstīt matemātiski; turklāt moduļu formas ir pārsteidzošas ar to, ka tām ir maksimāli iespējamā simetrija - tās var tulkot (pārbīdīt) jebkurā virzienā, spoguļot, fragmentus var apmainīt, pagriezt bezgalīgi daudzos veidos - un to izskats nemainās. Kā redzat, eliptiskām līknēm un moduļu formām ir maz kopīga. Taniyama hipotēze apgalvo, ka šo divu absolūti atšķirīgo matemātisko objektu aprakstošos vienādojumus, kas atbilst viens otram, var izvērst vienā matemātiskajā sērijā.
Taniyama hipotēze bija pārāk paradoksāla: tā apvienoja pilnīgi dažādus jēdzienus - diezgan vienkāršas plakanas līknes un neiedomājamas četrdimensiju formas. Tas nevienam nav ienācis prātā. Kad starptautiskā matemātikas simpozijā Tokijā 1955. gada septembrī Tanijama demonstrēja vairākas eliptiskās līknes un moduļu formas atbilstības, visi to uzskatīja tikai par smieklīgu sakritību. Uz Tanijamas pieticīgo jautājumu: vai katrai eliptiskajai līknei ir iespējams atrast atbilstošo modulāro funkciju, cienījamais francūzis Andrē Veils, kurš tolaik bija viens no pasaules labākajiem skaitļu teorijas speciālistiem, sniedza visai diplomātisku atbildi, ko viņi saka. , ja zinātkārais Tanijama nepamet entuziasmu, tad varbūt viņam paveiksies un viņa neticamā hipotēze apstiprināsies, taču tas nedrīkst notikt drīz. Kopumā, tāpat kā daudzi citi izcili atklājumi, sākumā Tanijamas hipotēze tika ignorēta, jo viņi vēl nebija tai izauguši – gandrīz neviens to nesaprata. Tikai viens Tanijamas kolēģis Goro Šimura, labi pazīstot savu ļoti apdāvināto draugu, intuitīvi juta, ka viņa hipotēze ir pareiza.
Trīs gadus vēlāk (1958. gadā) Yutaka Taniyama izdarīja pašnāvību (tomēr samuraju tradīcijas Japānā ir spēcīgas). No veselā saprāta viedokļa – neizprotama rīcība, it īpaši, ja ņem vērā, ka pavisam drīz viņš grasījās precēties. Jauno japāņu matemātiķu līderis savu pašnāvības piezīmi iesāka šādi: "Vakar es nedomāju par pašnāvību. Pēdējā laikā bieži dzirdēju no citiem, ka esmu garīgi un fiziski noguris. Patiesībā pat tagad es nesaprotu, kāpēc es esmu darot to ...” un tā tālāk uz trim lapām. Žēl, protams, ka tāds bija interesanta cilvēka liktenis, bet visi ģēniji ir nedaudz dīvaini - tāpēc viņi ir ģēniji (nez kāpēc prātā ienāca Artura Šopenhauera vārdi: “parastajā dzīvē a. ģenialitāte ir tikpat noderīga kā teleskops teātrī”). Hipotēze ir atmesta. Neviens nezināja, kā to pierādīt.
Desmit gadus Tanijamas hipotēze gandrīz netika pieminēta. Bet 70. gadu sākumā tas kļuva populārs - to regulāri pārbaudīja visi, kas to varēja saprast - un tas vienmēr tika apstiprināts (kā, patiesībā, Fermā teorēma), bet, tāpat kā iepriekš, neviens to nevarēja pierādīt.
Apbrīnojamā saikne starp abām hipotēzēm
Ir pagājuši vēl 15 gadi. 1984. gadā matemātikas dzīvē bija viens no svarīgākajiem notikumiem, kas apvienoja ekstravagantos japāņu minējumus ar Fermā pēdējo teorēmu. Vācietis Gerhards Frejs izvirzīja kuriozu apgalvojumu, līdzīgu teorēmai: "Ja tiks pierādīts Tanijas minējums, tad līdz ar to tiks pierādīta arī Fermā pēdējā teorēma." Citiem vārdiem sakot, Fermā teorēma ir Tanijamas pieņēmuma sekas. (Frejs, izmantojot ģeniālas matemātiskas pārvērtības, reducēja Fermā vienādojumu līdz eliptiskās līknes vienādojuma formā (tas pats, kas parādās Tanijamas hipotēzē), vairāk vai mazāk pamatoja savu pieņēmumu, bet nevarēja to pierādīt). Un tikai pusotru gadu vēlāk (1986) Kalifornijas universitātes profesors Kenets Ribets skaidri pierādīja Freja teorēmu.
Kas tagad notika? Tagad izrādījās, ka, tā kā Fermā teorēma jau ir tieši Tanijamas minējuma sekas, atliek tikai pierādīt pēdējo, lai plēstu leģendārās Fermā teorēmas uzvarētāja laurus. Taču hipotēze izrādījās grūta. Turklāt gadsimtu gaitā matemātiķiem kļuva alerģija pret Fermā teorēmu, un daudzi no viņiem nolēma, ka arī ar Tanijas pieņēmumiem būs gandrīz neiespējami tikt galā.
Fermā hipotēzes nāve. Teorēmas dzimšana
Ir pagājuši vēl 8 gadi. Viens progresīvs angļu matemātikas profesors no Prinstonas universitātes (Ņūdžersija, ASV) Endrjū Vilss domāja, ka ir atradis pierādījumus Tanijamas minējumiem. Ja ģēnijs nav plikpauris, tad, kā likums, izspūris. Villss ir izjaukts, tāpēc izskatās pēc ģēnija. Ieiešana vēsturē, protams, ir vilinoša un ļoti vēlama, taču Vilss, tāpat kā īsts zinātnieks, neglaimoja sev, saprotot, ka tūkstošiem fermistu pirms viņa redz arī spokainus pierādījumus. Tāpēc, pirms iepazīstināja pasauli ar savu pierādījumu, viņš pats to rūpīgi pārbaudīja, bet, saprotot, ka viņam var būt subjektīva neobjektivitāte, pārbaudēs iesaistīja arī citus, piemēram, parastu matemātisko uzdevumu aizsegā dažkārt iemeta dažādus fragmentus. viņa pierādījums gudriem absolventiem. Vēlāk Villss atzina, ka neviens cits, izņemot viņa sievu, nezināja, ka viņš strādā pie Lielās teorēmas pierādīšanas.
Un tā, pēc ilgām pārbaudēm un sāpīgām pārdomām, Villss beidzot savāca drosmi un, iespējams, kā viņš pats domāja, arī augstprātību, un 1993. gada 23. jūnijā matemātikas konferencē par skaitļu teoriju Kembridžā paziņoja par savu lielo sasniegumu.
Tā, protams, bija sensācija. Neviens nebija gaidījis tādu veiklību no mazpazīstama matemātiķa. Tad parādījās prese. Visus mocīja dedzinoša interese. Slaidas formulas, kā skaista attēla triepiens, parādījās ziņkārīgo skatītāju acu priekšā. Īsti matemātiķi galu galā tādi ir - skatās visādus vienādojumus un tajos redz nevis skaitļus, konstantes un mainīgos, bet gan dzird mūziku, kā Mocarts skatās uz muzikālo spieķi. Tāpat kā lasot grāmatu, mēs skatāmies uz burtiem, bet it kā tos nepamanām, bet uzreiz uztveram teksta nozīmi.
Šķita, ka pierādījuma noformējums izdevās - kļūdas tajā netika atrastas - neviens nedzirdēja nevienu nepatiesu piezīmi (lai gan lielākā daļa matemātiķu vienkārši skatījās uz viņu kā pirmklasnieki uz integrāli un neko nesaprata). Visi nolēma, ka noticis liela mēroga notikums: tika pierādīta Tanijamas hipotēze un līdz ar to arī Fermā pēdējā teorēma. Bet apmēram divus mēnešus vēlāk, dažas dienas pirms Villsa pierādījumu manuskripta nonākšanas apgrozībā, tika konstatēts, ka tas nav konsekvents (Katzs, Vilsa kolēģis, atzīmēja, ka viens no argumentiem balstījās uz "Eilera sistēmu", bet kas uzbūvēja Vilsa, nebija tāda sistēma), lai gan kopumā Vilsa paņēmieni tika uzskatīti par interesantām, elegantām un novatoriskām.
Vills analizēja situāciju un nolēma, ka ir zaudējis. Var iedomāties, kā viņš ar visu savu būtību juta, ko tas nozīmē "no lielā līdz smieklīgajam viens solis". "Gribēju iestāties Vēsturē, bet tā vietā pievienojos klaunu un komiķu komandai - augstprātīgiem zemniekiem" - apmēram šādas domas viņu tajā sāpīgajā dzīves posmā nogurdināja. Viņam, nopietnam matemātiķim, tā bija traģēdija, un viņš iemeta savus pierādījumus aizmugurē.
Taču nedaudz vairāk nekā gadu vēlāk, 1994. gada septembrī, domājot par šo pierādījumu sašaurinājumu kopā ar savu kolēģi Teiloru no Oksfordas, pēdējam pēkšņi radās doma, ka "Eilera sistēmu" varētu mainīt uz Ivasavas teoriju (nodaļa skaitļu teorija). Tad viņi mēģināja izmantot Ivasavas teoriju, iztiekot bez "Eilera sistēmas", un viņi visi sanāca. Pierādījuma labotā versija tika iesniegta pārbaudei, un pēc gada tika paziņots, ka tajā viss ir pilnīgi skaidrs, bez nevienas kļūdas. 1995. gada vasarā vienā no vadošajiem matemātikas žurnāliem - "Matemātikas gadagrāmatā" - tika publicēts pilnīgs Tanijamas minējuma (tātad Fermā Lielā (lielā) teorēma) pierādījums, kas aizņēma visu numuru - vairāk nekā simts loksnes. Pierādījums ir tik sarežģīts, ka tikai daži desmiti cilvēku visā pasaulē to varētu saprast pilnībā.
Tā 20. gadsimta beigās visa pasaule atzina, ka 360. dzīves gadā Fermā pēdējā teorēma, kas faktiski visu šo laiku bija bijusi hipotēze, ir kļuvusi par pārbaudītu teorēmu. Endrjū Villss pierādīja Fermā Lielo (Lielo) teorēmu un iegāja vēsturē.
Domā, ka esi pierādījis teorēmu...
Atklājēja laime vienmēr pienākas kādam vienam – tas ir tas, kurš ar pēdējo āmura sitienu pāršķeļ zināšanu cieto riekstu. Taču nevar ignorēt daudzos iepriekšējos sitienus, kas gadsimtiem ilgi radījuši plaisu Lielajā teorēmā: Eilers un Gauss (sava laika matemātikas karaļi), Evariste Galuā (kuram izdevās izveidot grupu un lauku teoriju savā īsajā 21. -gadu mūžs, kura darbi tika atzīti par izciliem tikai pēc viņa nāves), Anrī Puankarē (ne tikai dīvainu moduļu formu, bet arī konvencionālisma dibinātājs - filozofisks virziens), Deivids Gilberts (viens no divdesmitā gadsimta spēcīgākajiem matemātiķiem) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor un citi īsti zinātnieki(Es nebaidos no šiem vārdiem).
Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu var pielīdzināt tādiem divdesmitā gadsimta sasniegumiem kā datora izgudrojums, kodolbumba un lidojums kosmosā. Lai gan par to nav tik plaši zināms, jo tas neiebrūk mūsu mirkļa interešu zonā, piemēram, TV vai elektriskā spuldze, taču tas bija supernovas uzplaiksnījums, kas, tāpat kā visas nemainīgās patiesības, vienmēr spīdēs cilvēce.
Jūs varat teikt: "Padomājiet, jūs pierādījāt kaut kādu teorēmu, kam to vajag?". Taisnīgs jautājums. Deivida Gilberta atbilde iederēsies tieši šeit. Kad uz jautājumu: "kas tagad ir zinātnei svarīgākais uzdevums?", Viņš atbildēja: "noķert mušu mēness tālākajā pusē" viņam pamatoti jautāja: "Bet kam to vajag?", viņš atbildēja šādi:" Tas nevienam nav vajadzīgs. Bet padomājiet par to, cik daudz svarīgu un sarežģītu problēmu ir jāatrisina, lai to paveiktu." Padomājiet par to, cik daudz problēmu cilvēce ir spējusi atrisināt 360 gadu laikā, pirms pierāda Fermā teorēmu. Meklējot tās pierādījumu, gandrīz puse mūsdienu matemātikas Jāņem vērā arī tas, ka matemātika ir zinātnes avangards (un, starp citu, vienīgā no zinātnēm, kas tiek veidota bez nevienas kļūdas), un šeit sākas jebkuri zinātnes sasniegumi un izgudrojumi. .
* * *
Un tagad atgriezīsimies pie mūsu stāsta sākuma, atcerēsimies Pjēra Fermā ierakstu Diofanta mācību grāmatas malās un vēlreiz pajautāsim sev: vai Fermā tiešām pierādīja savu teorēmu? Protams, mēs to nevaram droši zināt, un tāpat kā jebkurā gadījumā šeit rodas dažādas versijas:
1. versija: Fermā pierādīja savu teorēmu. (Uz jautājumu: "Vai Fermā bija tieši tāds pats pierādījums savai teorēmai?" Endrjū Vilss atzīmēja: "Fermā nevarēja būt tātad pierādījums. Tas ir 20. gadsimta pierādījums.«Mēs saprotam, ka 17. gadsimtā matemātika, protams, nebija tāda pati kā 20. gadsimta beigās – tajā laikmetā zinātņu karaliene d Artanjana nebija. tomēr viņiem ir tie atklājumi (modulārās formas, Tanijamas teorēmas, Frejs u.c.), kas tikai ļāva pierādīt Fermā pēdējo teorēmu. Protams, var pieņemt: kāda velna pēc nejoko – kas būtu, ja Fermā uzminētu savādāk Šī versija, lai arī tā ir iespējama, pēc lielākās daļas matemātiķu domām, ir praktiski neiespējama);
2. versija: Pjēram de Fermā šķita, ka viņš ir pierādījis savu teorēmu, taču viņa pierādījumos bija kļūdas. (Tas ir, pats Fermā bija arī pirmais fermatists);
3. versija: Fermā nepierādīja savu teorēmu, bet vienkārši meloja malā.
Ja viena no pēdējām divām versijām ir pareiza, kas, visticamāk, ir, tad var izdarīt vienkāršu secinājumu: lieliski cilvēki, lai gan viņi ir lieliski, viņi var arī kļūdīties vai dažreiz neiebilst pret meliem(pamatā šis secinājums noderēs tiem, kas sliecas pilnībā uzticēties saviem elkiem un citiem domu valdniekiem). Tāpēc, lasot autoritatīvu cilvēces dēlu darbus vai klausoties viņu nožēlojamās runas, jums ir visas tiesības apšaubīt viņu apgalvojumus. (Lūdzu, ņemiet vērā, ka šaubīties nav noraidīt).
Rakstu materiālu pārdrukāšana iespējama tikai ar obligātajām saitēm uz vietni (internetā - hipersaite) un autoram
FERMĀTA LIELĀ TEORĒMA - Pjēra Fermā (franču jurista un nepilna laika matemātiķa) apgalvojums, ka Diofantīna vienādojumam X n + Y n = Z n ar eksponentu n>2, kur n = vesels skaitlis, nav pozitīvu atrisinājumu. veseli skaitļi . Autora teksts: "Nav iespējams sadalīt kubu divos kubos vai bi-kvadrātu divos divos kvadrātos vai vispār jaudu, kas ir lielāka par diviem, divās pakāpēs ar vienādu eksponentu."
"Fermats un viņa teorēma", Amadeo Modiljāni, 1920
Pjērs nāca klajā ar šo teorēmu 1636. gada 29. martā. Un pēc kādiem 29 gadiem viņš nomira. Bet ar to viss sākās. Galu galā, bagāts vācu matemātiķis, vārdā Volfskels, novēlēja simts tūkstošus marku tam, kurš uzrāda pilnīgu Fermā teorēmas pierādījumu! Taču uztraukums ap teorēmu bija saistīts ne tikai ar šo, bet arī ar profesionālu matemātisko aizrautību. Pats Fermā deva mājienu matemātikas aprindām, ka viņš zina pierādījumu – īsi pirms savas nāves, 1665. gadā, viņš grāmatas Diofants no Aleksandrijas "Aritmētika" malās atstāja šādu ierakstu: "Man ir ļoti pārsteidzošs pierādījums, bet tas ir pārāk liels, lai to novietotu uz laukiem."
Tieši šis mājiens (plus, protams, naudas balva) lika matemātiķiem neveiksmīgi iztērēt labākie gadi(Saskaņā ar amerikāņu zinātnieku aprēķiniem, tikai profesionāli matemātiķi tam kopā veltīja 543 gadus).
Kādā brīdī (1901. gadā) darbs pie Fermā teorēmas ieguva apšaubāmu slavu "darbs, kas līdzinās mūžīgās kustības mašīnas meklējumiem" (bija pat nievājošs termins - "fermatiķi"). Un pēkšņi 1993. gada 23. jūnijā matemātikas konferencē par skaitļu teoriju Kembridžā angļu matemātikas profesors no Prinstonas universitātes (Ņūdžersija, ASV) Endrjū Vilss paziņoja, ka beidzot ir pierādījis Fermā!
Tomēr pierādījums bija ne tikai sarežģīts, bet arī acīmredzami kļūdains, kā Wiles norādīja viņa kolēģi. Taču profesors Vills visu mūžu sapņoja par teorēmas pierādīšanu, tāpēc nav pārsteidzoši, ka 1994. gada maijā viņš zinātnieku aprindām iepazīstināja ar jaunu, uzlabotu pierādījumu versiju. Tajā nebija harmonijas, skaistuma, un tas joprojām bija ļoti sarežģīti - tas, ka matemātiķi jau veselu gadu (!) analizē šo pierādījumu, lai saprastu, vai tas nav kļūdains, runā pats par sevi!
Bet galu galā Vilsa pierādījums tika atzīts par pareizu. Bet matemātiķi nepiedeva Pjēram Fermā par viņa mājienu aritmētikā, un patiesībā viņi sāka uzskatīt viņu par meli. Faktiski pirmā persona, kas apšaubīja Fermā morālo godīgumu, bija pats Endrjū Vilss, kurš atzīmēja, ka "Fermā nevarētu būt šāds pierādījums. Tas ir divdesmitā gadsimta pierādījums." Tad, starp citiem zinātniekiem, nostiprinājās viedoklis, ka Fermā "nevarēja pierādīt savu teorēmu citā veidā, un Fermā objektīvu iemeslu dēļ nevarēja to pierādīt tā, kā to darīja Vilss".
Faktiski Fermā, protams, to varētu pierādīt, un nedaudz vēlāk šo pierādījumu atjaunos New Analytical Encyclopedia analītiķi. Bet - kas ir šie "objektīvie iemesli"?
Faktiski ir tikai viens šāds iemesls: tajos gados, kad dzīvoja Fermā, nevarēja parādīties Tanijamas minējums, uz kura pamata Endrjū Vilss izveidoja savu pierādījumu, jo modulārās funkcijas, ar kurām darbojas Tanijamas minējums, tika atklātas tikai 19. gadsimta beigās. .
Kā pats Vilss pierādīja teorēmu? Jautājums nav tukšs - tas ir svarīgi, lai saprastu, kā pats Fermā varētu pierādīt savu teorēmu. Villss balstīja savu pierādījumu uz Tanijas pieņēmuma pierādījumu, ko 1955. gadā izvirzīja 28 gadus vecais japāņu matemātiķis Jutaka Tanijama.
Minējums izklausās šādi: "katra eliptiska līkne atbilst noteiktai modulārai formai." Eliptiskām līknēm, kas pazīstamas jau ilgu laiku, ir divdimensiju forma (atrodas plaknē), savukārt moduļu funkcijām ir četrdimensiju forma. Tas ir, Taniyama hipotēze apvienoja pilnīgi dažādus jēdzienus - vienkāršas plakanas līknes un neiedomājamas četrdimensiju formas. Pats fakts par dažādu dimensiju figūru savienošanu hipotēzē zinātniekiem šķita absurds, tāpēc 1955. gadā tam netika piešķirta nekāda nozīme.
Taču 1984. gada rudenī pēkšņi atkal atcerējās "Tanijamas hipotēzi", un ne tikai atcerējās, bet tās iespējamais pierādījums tika saistīts ar Fermā teorēmas pierādījumu! To paveica Zārbrikenes matemātiķis Gerhards Frejs, kurš zinātnieku aprindām teica, ka "ja kāds varētu pierādīt Tanijamas minējumu, tad Fermā pēdējā teorēma tiktu pierādīta".
Ko Frejs izdarīja? Viņš pārveidoja Fermā vienādojumu par kubisku, pēc tam vērsa uzmanību uz to, ka eliptiskā līkne, kas iegūta, pārvēršot Fermā vienādojumu kubiskā, nevar būt modulāra. Tomēr Taniyama minējums norādīja, ka jebkura eliptiska līkne varētu būt modulāra! Attiecīgi, eliptiska līkne, kas veidota no Fermā vienādojuma, nevar pastāvēt, kas nozīmē, ka nevar pastāvēt veseli risinājumi un Fermā teorēma, kas nozīmē, ka tā ir patiesa. Nu, 1993. gadā Endrjū Vilss vienkārši pierādīja Tanijamas minējumu un līdz ar to arī Fermā teorēmu.
Tomēr Fermā teorēmu var pierādīt daudz vienkāršāk, pamatojoties uz to pašu daudzdimensionalitāti, ar kuru darbojās gan Tanijama, gan Frejs.
Sākumā pievērsīsim uzmanību paša Pjēra Fermā izvirzītajam nosacījumam - n>2. Kāpēc šis nosacījums bija vajadzīgs? Jā, tikai par to, ka pie n=2 parastā Pitagora teorēma X 2 +Y 2 =Z 2 kļūst par Fermā teorēmas īpašu gadījumu, kurā ir bezgalīgi daudz veselu atrisinājumu - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51 140 149 un tā tālāk. Tādējādi Pitagora teorēma ir izņēmums no Fermā teorēmas.
Bet kāpēc tieši n=2 gadījumā notiek šāds izņēmums? Viss nostājas savās vietās, ja redzat attiecības starp pakāpi (n=2) un pašas figūras dimensiju. Pitagora trīsstūris ir divdimensiju figūra. Nav pārsteidzoši, ka Z (tas ir, hipotenūzu) var izteikt kājās (X un Y), kas var būt veseli skaitļi. Leņķa izmērs (90) ļauj uzskatīt hipotenūzu par vektoru, un kājas ir vektori, kas atrodas uz asīm un nāk no sākuma. Attiecīgi ir iespējams izteikt divdimensiju vektoru, kas neatrodas uz nevienas no asīm, attiecībā uz vektoriem, kas atrodas uz tām.
Tagad, ja mēs ejam uz trešo dimensiju un līdz ar to n=3, lai izteiktu trīsdimensiju vektoru, nebūs pietiekami daudz informācijas par diviem vektoriem, un tāpēc būs iespējams izteikt Z Fermā vienādojumā vismaz trīs termini (trīs vektori, kas atrodas attiecīgi uz trim koordinātu sistēmas asīm).
Ja n=4, tad jābūt 4 vārdiem, ja n=5, tad jābūt 5 terminiem utt. Šajā gadījumā veselu risinājumu būs vairāk nekā pietiekami. Piemēram, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 un tā tālāk (varat izvēlēties citus piemērus n=3, n=4 un tā tālāk).
Kas no tā visa izriet? No tā izriet, ka Fermā teorēmai patiešām nav pilnu atrisinājumu n>2, bet tikai tāpēc, ka pats vienādojums ir nepareizs! Ar tādiem pašiem panākumiem varētu mēģināt izteikt paralēlskaldņa tilpumu tā divu šķautņu garumos - protams, tas nav iespējams (veseli risinājumi nekad netiks atrasti), bet tikai tāpēc, ka atrast paralēlskaldņa tilpumu , jums jāzina visu trīs tā malu garumi.
Kad slavenajam matemātiķim Deividam Gilbertam jautāja, kas šobrīd ir vissvarīgākais zinātnes uzdevums, viņš atbildēja "noķert mušu Mēness tālākajā pusē". Uz pamatotu jautājumu "Kam tas vajadzīgs?" viņš atbildēja šādi: "Nevienam tas nav vajadzīgs. Bet padomājiet, cik daudz svarīgu un sarežģītu uzdevumu jums jāatrisina, lai to paveiktu."
Citiem vārdiem sakot, Fermā (pirmkārt jurists!) izspēlēja asprātīgu juridisku joku par visu matemātisko pasauli, pamatojoties uz nepareizu problēmas formulējumu. Viņš patiesībā ieteica matemātiķiem rast atbildi, kāpēc muša nevar dzīvot otrpus Mēness, un Aritmētikas malās gribēja tikai ierakstīt, ka uz Mēness vienkārši nav gaisa, t.i. viņa teorēmai nevar būt veselu skaitļu atrisinājumi n>2 tikai tāpēc, ka katrai n vērtībai ir jāatbilst noteiktam vienību skaitam viņa vienādojuma kreisajā pusē.
Bet vai tas bija tikai joks? Nepavisam. Fermā ģēnijs slēpjas tieši tajā apstāklī, ka patiesībā viņš pirmais ieraudzīja attiecības starp pakāpi un matemātiskas figūras dimensiju – tas ir, kas ir absolūti līdzvērtīgs, vārdu skaitu vienādojuma kreisajā pusē. Viņa slavenās teorēmas jēga bija tieši ne tikai virzīt matemātisko pasauli uz šo attiecību ideju, bet arī ierosināt šo attiecību esamības pierādījumu - intuitīvi saprotamu, bet matemātiski vēl nepamatotu.
Fermā, tāpat kā neviens cits, saprata, ka attiecību nodibināšana starp šķietami atšķirīgiem objektiem ir ārkārtīgi auglīga ne tikai matemātikā, bet arī jebkurā zinātnē. Šādas attiecības norāda uz kādu dziļu principu, kas ir abu objektu pamatā un ļauj tos dziļāk izprast.
Piemēram, sākotnēji fiziķi uzskatīja elektrību un magnētismu par pilnīgi nesaistītām parādībām, un 19. gadsimtā teorētiķi un eksperimentētāji saprata, ka elektrība un magnētisms ir cieši saistīti. Rezultāts bija dziļāka izpratne gan par elektrību, gan par magnētismu. Elektriskās strāvasģenerēt magnētiskie lauki, un magnēti var izraisīt elektrību vadītājos, kas atrodas netālu no magnētiem. Tas noveda pie dinamo un elektromotoru izgudrošanas. Galu galā tika atklāts, ka gaisma ir magnētisko un elektrisko lauku koordinētu harmonisku svārstību rezultāts.
Fermā laika matemātika sastāvēja no zināšanu salām neziņas jūrā. Ģeometri pētīja formas vienā salā, bet matemātiķi - varbūtību un nejaušību uz otras salas. Ģeometrijas valoda ļoti atšķīrās no varbūtību teorijas valodas, un algebriskā terminoloģija bija sveša tiem, kas runāja tikai par statistiku. Diemžēl mūsu laika matemātika sastāv no aptuveni vienādām salām.
Farm bija pirmā, kas saprata, ka visas šīs salas ir savstarpēji saistītas. Un viņa slavenā teorēma - Fermā LIELĀ TEORĒMA - ir lielisks apstiprinājums tam.