Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir visu tā iespējamo vērtību un to varbūtību produktu summa:
Piemērs.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Risinājums: matemātiskā cerība ir vienāda ar visu iespējamo X vērtību un to varbūtību reizinājumu summu:
M (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Lai aprēķinātu matemātiskās cerības ir ērti veikt aprēķinus programmā Excel (īpaši, ja ir daudz datu), mēs iesakām izmantot gatavu veidni ().
Piemērs priekš neatkarīgs lēmums(varat izmantot kalkulatoru).
Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma X matemātisko cerību sadalījuma likumā:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Matemātiskajai cerībai ir šādas īpašības.
Īpašība 1. Pastāvīgās vērtības matemātiskā sagaidāmā vērtība ir vienāda ar pašu konstanti: М(С)=С.
Īpašība 2. No gaidīšanas zīmes var izņemt nemainīgu faktoru: М(СХ)=СМ(Х).
Īpašība 3. Savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar faktoru matemātisko gaidu reizinājumu: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
Īpašība 4. Gadījuma lielumu summas matemātiskā sagaidāmā vērtība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).
189. uzdevums. Atrodiet gadījuma lieluma Z matemātisko cerību, ja ir zināmas matemātiskās gaidas X un Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Risinājums: Izmantojot matemātiskās gaidas īpašības (summas matemātiskā gaida ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu; konstanto koeficientu var izņemt no gaidīšanas zīmes), iegūstam M(Z)=M (X + 2Y) = M (X) + M (2Y) = M (X) + 2M (Y) = 5 + 2 * 3 = 11.
190. Izmantojot matemātiskās gaidas īpašības, pierādiet, ka: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) novirzes X-M(X) matemātiskā sagaidāmā vērtība ir nulle.
191. Diskrētajam gadījuma lielumam X ir trīs iespējamās vērtības: x1= 4 Ar varbūtību p1 = 0,5; x3 = 6 Ar varbūtību P2 = 0,3 un x3 ar varbūtību p3. Atrodiet: x3 un p3, zinot, ka M(X)=8.
192. Dots diskrētā gadījuma lieluma X iespējamo vērtību saraksts: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, ir zināmas arī šī lieluma un tā kvadrāta matemātiskās cerības: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0,9. Atrodiet varbūtības p1, p2, p3, kas atbilst iespējamām vērtībām xi
194. 10 daļu partija satur trīs nestandarta daļas. Divi vienumi tika atlasīti pēc nejaušības principa. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma X matemātisko cerību - nestandarta daļu skaitu starp divām atlasītajām.
196. Atrodiet matemātisko cerību diskrētam gadījuma lielumam X-skaits šādiem pieciem kauliņiem, kuros katrā uz diviem kauliņiem parādīsies viens punkts, ja kopējais metienu skaits ir divdesmit.
Paredzamā vērtība binomiālais sadalījums ir vienāds ar izmēģinājumu skaita un notikuma varbūtības reizinājumu vienā izmēģinājumā:
Kā jau zināms, sadalījuma likums pilnībā raksturo gadījuma lielumu. Tomēr izplatīšanas likums bieži nav zināms, un ir jāierobežo sevi ar mazāku informāciju. Dažkārt pat izdevīgāk ir izmantot skaitļus, kas kopumā apraksta nejaušu lielumu; tādus numurus sauc nejauša lieluma skaitliskās īpašības.
Matemātiskās cerības ir viens no svarīgākajiem skaitliskiem raksturlielumiem.
Matemātiskā cerība ir aptuveni vienāda ar nejauša lieluma vidējo vērtību.
Diskrēta gadījuma mainīgā matemātiskā cerība ir visu iespējamo vērtību un to varbūtību produktu summa.
Ja gadījuma lielumu raksturo ierobežota sadalījuma sērija:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | 1. lpp | 2. lpp | 3. lpp | … | r p |
tad matemātiskās cerības M(X) nosaka pēc formulas:
Nepārtraukta gadījuma mainīgā matemātisko cerību nosaka vienādība:
kur ir nejaušā lieluma varbūtības blīvums X.
Piemērs 4.7. Atrodiet matemātisko sagaidāmo punktu skaitu, kas izkrīt, metot kauliņu.
Risinājums:
Izlases vērtība Xņem vērtības 1, 2, 3, 4, 5, 6. Izveidosim tā sadalījuma likumu:
| X | ||||||
| R |
Tad matemātiskā cerība ir:
Matemātiskās cerības īpašības:
1. Konstantas vērtības matemātiskā cerība ir vienāda ar pašu konstanti:
M(S)=S.
2. Pastāvīgo faktoru var izņemt no gaidīšanas zīmes:
M(CX) = CM(X).
3. Divu neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu:
M(XY) = M(X)M(Y).
Piemērs 4.8. Neatkarīgi nejauši mainīgie X un Y nosaka šādi izplatīšanas likumi:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Atrodiet nejauša lieluma XY matemātisko cerību.
Risinājums.
Atradīsim katra no šiem lielumiem matemātiskās cerības:
nejaušie mainīgie X un Y neatkarīga, tātad vēlamā matemātiskā cerība:
M(XY) = M(X) M(Y) =
Sekas. Vairāku savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu.
4. Divu gadījuma lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Sekas. Vairāku gadījuma lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu.
Piemērs 4.9. Tiek raidīti 3 šāvieni ar varbūtību trāpīt mērķī 1. lpp = 0,4; p2= 0,3 un 3. lpp= 0,6. Atrodiet kopējā trāpījumu skaita matemātisko cerību.
Risinājums.
Rezultātu skaits pirmajā šāvienā ir nejaušs lielums X 1, kam var būt tikai divas vērtības: 1 (trāpījums) ar varbūtību 1. lpp= 0,4 un 0 (neatbilst) ar varbūtību q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matemātiskā sagaidāmais sitienu skaits pirmajā šāvienā ir vienāds ar sitiena varbūtību:
Līdzīgi mēs atrodam trāpījumu skaita matemātiskās cerības otrajā un trešajā šāvienā:
M(X 2)= 0,3 un M (X 3) \u003d 0,6.
Kopējais trāpījumu skaits ir arī nejaušs lielums, kas sastāv no trāpījumu summas katrā no trim kadriem:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
Vēlamā matemātiskā cerība X mēs atrodam ar matemātikas teorēmu, summas gaidīšanu.
DSW raksturojums un to īpašības. Matemātiskās cerības, dispersija, standartnovirze
Sadales likums pilnībā raksturo gadījuma lielumu. Taču, ja nav iespējams atrast sadalījuma likumu vai tas nav nepieciešams, var aprobežoties ar vērtību atrašanu, ko sauc par gadījuma lieluma skaitliskiem raksturlielumiem. Šie lielumi nosaka kādu vidējo vērtību, ap kuru tiek grupētas nejaušā lieluma vērtības, un to izkliedes pakāpi ap šo vidējo vērtību.
matemātiskās cerības Diskrēts gadījuma lielums ir nejauša lieluma visu iespējamo vērtību un to varbūtību reizinājumu summa.
Matemātiskās cerības pastāv, ja rindas vienādības labajā pusē pilnībā saplūst.
No varbūtības viedokļa mēs varam teikt, ka matemātiskā cerība ir aptuveni vienāda ar nejaušā lieluma novēroto vērtību vidējo aritmētisko.
Piemērs. Ir zināms diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums. Atrodiet matemātisko cerību.
| X | ||||
| lpp | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Risinājums:
9.2. Gaidījumu īpašības
1. Pastāvīgās vērtības matemātiskā cerība ir vienāda ar pašu konstanti.
2. No gaidīšanas zīmes var izņemt nemainīgu faktoru.
3. Divu neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu.
Šis īpašums ir derīgs patvaļīgam skaitam nejaušo mainīgo.
4. Divu gadījuma lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu.
Šī īpašība attiecas arī uz patvaļīgu skaitu nejaušo mainīgo.
Veiksim n neatkarīgus izmēģinājumus, kuros notikuma A iestāšanās varbūtība ir vienāda ar p.
Teorēma. Matemātiskā prognoze M(X) no notikuma A atgadījumu skaita n neatkarīgos izmēģinājumos ir vienāda ar izmēģinājumu skaita un notikuma iestāšanās iespējamības reizinājumu katrā izmēģinājumā.
Piemērs. Atrodiet nejauša lieluma Z matemātisko cerību, ja ir zināmas X un Y matemātiskās cerības: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Risinājums:
9.3. Diskrētā gadījuma lieluma izkliede
Tomēr matemātiskās cerības nevar pilnībā raksturot nejaušu procesu. Papildus matemātiskajai cerībai ir jāievieš vērtība, kas raksturo nejaušā lieluma vērtību novirzi no matemātiskās cerības.
Šī novirze ir vienāda ar starpību starp nejaušo mainīgo lielumu un tā matemātisko cerību. Šajā gadījumā novirzes matemātiskā cerība ir nulle. Tas ir saistīts ar faktu, ka viens iespējamās novirzes ir pozitīvi, citi ir negatīvi, un to savstarpējās atcelšanas rezultātā tiek iegūta nulle.
Izkliede (izkliede) Diskrētu gadījuma lielumu sauc par nejaušā mainīgā lieluma kvadrātiskās novirzes no tā matemātiskās cerības matemātisko cerību.
Praksē šī dispersijas aprēķināšanas metode ir neērta, jo noved pie apgrūtinošiem aprēķiniem lielam skaitam nejauša lieluma vērtību.
Tāpēc tiek izmantota cita metode.
Teorēma. Dispersija ir vienāda ar starpību starp nejaušā lieluma X kvadrāta matemātisko cerību un tā matemātiskās cerības kvadrātu.
Pierādījums. Ņemot vērā to, ka matemātiskā cerība M (X) un matemātiskās cerības M 2 (X) kvadrāts ir nemainīgas vērtības, mēs varam rakstīt:
Piemērs. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma dispersiju, ko nosaka sadalījuma likums.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Risinājums:.
9.4. Izkliedes īpašības
1. Konstantas vērtības izkliede ir nulle. .
2. No izkliedes zīmes var izņemt konstantu koeficientu, sadalot to kvadrātā. .
3. Divu neatkarīgu gadījuma lielumu summas dispersija ir vienāda ar šo mainīgo dispersiju summu. .
4. Divu neatkarīgu gadījuma lielumu starpības dispersija ir vienāda ar šo mainīgo dispersiju summu. .
Teorēma. Notikuma A iestāšanās gadījumu skaita dispersija n neatkarīgos izmēģinājumos, kuros katrā notikuma iestāšanās varbūtība p ir nemainīga, ir vienāda ar mēģinājumu skaita un iestāšanās un nenotikšanas varbūtības reizinājumu. notikuma katrā izmēģinājumā.
9.5. Diskrēta gadījuma lieluma standartnovirze
Standarta novirze gadījuma lielumu X sauc par dispersijas kvadrātsakni.
Teorēma. Standartnovirze no galīga skaita savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu summas ir vienāda ar kvadrātsakni no šo mainīgo standartnoviržu summas kvadrātā.
1. Pastāvīgās vērtības matemātiskā cerība ir vienāda ar pašu konstanti M(S)=S
.
2. No gaidīšanas zīmes var izņemt nemainīgu faktoru: M(CX)=CM(X)
3. Divu neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Divu gadījuma lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar terminu matemātisko gaidu summu: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Teorēma. Matemātiskā cerība M(x) notikumu A gadījumu skaitam n neatkarīgos izmēģinājumos ir vienāda ar šo izmēģinājumu reizinājumu ar notikumu rašanās varbūtību katrā izmēģinājumā: M(x) = np.
Ļaujiet X ir nejaušs mainīgais un M(X) ir tā matemātiskā cerība. Apsveriet atšķirību kā jaunu gadījuma lielumu X — M(X).
Novirze ir atšķirība starp nejaušu mainīgo lielumu un tā matemātisko cerību.
Novirzei ir šāds sadalījuma likums:
Risinājums: atrodiet matemātisko cerību:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Uzrakstīsim novirzes kvadrātā sadalījuma likumu:
Risinājums: atrodiet paredzamo vērtību M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Uzrakstīsim gadījuma lieluma X 2 sadalījuma likumu
| x2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Atradīsim matemātisko cerību M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Vēlamā dispersija D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05
Izkliedes īpašības:
1. Pastāvīgas vērtības izkliede NO
vienāds ar nulli: D(C)=0
2. No izkliedes zīmes var izņemt konstantu koeficientu, sadalot to kvadrātā. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Neatkarīgo gadījuma lielumu summas dispersija ir vienāda ar šo mainīgo dispersiju summu. D(X1+X2+...+Xn)=D(X1)+D(X2)+...+D(X n)
4. Binomiālā sadalījuma dispersija ir vienāda ar mēģinājumu skaita un notikuma iestāšanās un nenotikšanas varbūtības reizinājumu vienā izmēģinājumā. D(X)=npq
Lai novērtētu nejaušā lieluma iespējamo vērtību izkliedi ap tā vidējo vērtību, papildus dispersijai kalpo arī daži citi raksturlielumi. Starp tiem ir standarta novirze.
Gadījuma lieluma standartnovirze X sauc par dispersijas kvadrātsakni:
σ(X) = √D(X) (4)
Piemērs. Nejaušais lielums X ir dots sadalījuma likumā
| X | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Atrodiet standarta novirzi σ(x)
Risinājums: Atrodiet matemātisko cerību X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Atradīsim X 2 matemātisko cerību: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Atrodiet dispersiju: D(x)=M(x2)=M(x2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Vēlamā standartnovirze σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61
Teorēma. Standartnovirze no ierobežota skaita savstarpēji neatkarīgu gadījuma lielumu summas ir vienāda ar kvadrātsakni no šo mainīgo standartnoviržu summas kvadrātā:
Piemērs. Plauktā ar 6 grāmatām ir 3 grāmatas par matemātiku un 3 par fiziku. Trīs grāmatas tiek izvēlētas pēc nejaušības principa. Atrodiet matemātikas grāmatu skaita sadalījuma likumu starp atlasītajām grāmatām. Atrodiet šī nejaušā mainīgā matemātisko cerību un dispersiju.
D (X) \u003d M (X 2) - M (X) 2 = 2,7 - 1,5 2 = 0,45
Katru atsevišķu vērtību pilnībā nosaka tās sadalījuma funkcija. Tāpat, lai atrisinātu praktiskus uzdevumus, pietiek zināt vairākus skaitliskos raksturlielumus, pateicoties kuriem kļūst iespējams kodolīgā veidā uzrādīt gadījuma lieluma galvenās pazīmes.
Šie daudzumi galvenokārt ir paredzamā vērtība un dispersija .
Paredzamā vērtība- gadījuma lieluma vidējā vērtība varbūtības teorijā. Apzīmēts kā .
visvairāk vienkāršā veidā gadījuma mainīgā matemātiskā cerība X(w), ir atrodami kā neatņemamaLebesgue attiecībā uz varbūtības mēru R oriģināls varbūtības telpa
Varat arī atrast matemātisko paredzamo vērtību kā Lēbesga integrālis no X pēc varbūtības sadalījuma R X daudzumus X:
kur ir visu iespējamo vērtību kopa X.
Funkciju matemātiskā sagaidīšana no nejauša lieluma X notiek caur izplatīšanu R X. Piemēram, ja X- nejaušs mainīgais ar vērtībām un f(x)- viennozīmīgi Borelfunkciju X , tad:
Ja F(x)- sadales funkcija X, tad matemātiskā cerība ir reprezentējama neatņemamaLebesgue — Stieltjes (vai Riemann — Stieltjes):
savukārt integrējamība X kādā ziņā ( * ) atbilst integrāļa galīgumam
Konkrētos gadījumos, ja X Tā ir diskrēts sadalījums ar iespējamām vērtībām x k, k = 1, 2, . , un varbūtības , tad
ja X ir absolūti nepārtraukts sadalījums ar varbūtības blīvumu p(x), tad
šajā gadījumā matemātiskās gaidas esamība ir līdzvērtīga atbilstošās rindas vai integrāļa absolūtajai konverģencei.
Gadījuma lieluma matemātiskās cerības īpašības.
- Konstantas vērtības matemātiskā cerība ir vienāda ar šo vērtību:
C- nemainīgs;
- M=C.M[X]
- Nejauši ņemto vērtību summas matemātiskās cerības ir vienādas ar to matemātisko gaidu summu:
- Neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība = to matemātisko gaidu reizinājums:
M=M[X]+M[Y]
ja X un Y neatkarīgs.
ja sērijas saplūst:
Matemātiskās cerības aprēķināšanas algoritms.
Diskrētu gadījuma lielumu īpašības: visas to vērtības var pārnumurēt ar naturāliem skaitļiem; pielīdziniet katru vērtību ar varbūtību, kas nav nulle.
1. Reiziniet pārus pēc kārtas: x i uz pi.
2. Pievienojiet katra pāra reizinājumu x i p i.
Piemēram, priekš n = 4 :
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija pakāpeniski tas strauji palielinās tajos punktos, kuru varbūtībai ir pozitīva zīme.
Piemērs: Atrodiet matemātisko cerību pēc formulas.