Risinājums.
Varbūtība, ka neviens ģerbonis neizkrita: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Varbūtība, ka izkrita trīs ģerboņi: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125
Gadījuma lieluma X sadalījuma likums:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
2. piemērs. Varbūtība trāpīt mērķī vienam šāvējam ar vienu šāvienu pirmajam šāvējam ir 0,8, otrajam šāvējam - 0,85. Šāvēji izšāva vienu šāvienu mērķī. Pieņemot trāpījumu mērķī atsevišķiem šāvējiem kā neatkarīgus notikumus, atrodiet notikuma A varbūtību - tieši viens trāpījums mērķī.
Risinājums.
Apsveriet notikumu A — viens trāpījums mērķī. Iespējamie variantišī notikuma rašanās ir šāda:
- Pirmais šāvēja sitiens, otrais šāvējs garām: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Pirmais šāvējs netrāpīja, otrais šāvējs trāpīja mērķī: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Pirmais un otrais šāvējs neatkarīgi trāpīja mērķī: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
Definīcija.Izkliede (izkliede) tiek saukts diskrētais gadījuma mainīgais paredzamā vērtība nejauša lieluma novirze kvadrātā no tā matemātiskās cerības:
Piemērs. Iepriekš minētajā piemērā mēs atrodam
Gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir:
Iespējamās novirzes kvadrātā vērtības:
; 
;
Izkliede ir:
Tomēr praksē šī dispersijas aprēķināšanas metode ir neērta, jo noved pie apgrūtinošiem aprēķiniem lielam skaitam nejauša lieluma vērtību. Tāpēc tiek izmantota cita metode.
Distances aprēķins
Teorēma. Dispersija ir vienāda ar starpību starp nejaušā lieluma X kvadrāta matemātisko cerību un tā matemātiskās cerības kvadrātu:
Pierādījums.Ņemot vērā to, ka matemātiskā gaida un matemātiskās gaidas kvadrāts ir nemainīgas vērtības, varam rakstīt:
Piemērosim šo formulu iepriekšminētajam piemēram:
| X | ||||||
| x2 | ||||||
| lpp | 0,0778 | 0,2592 | 0,3456 | 0,2304 | 0,0768 | 0,0102 |
Izkliedes īpašības
1) Izkliede nemainīga vērtība vienāds ar nulli:
2) Pastāvīgo koeficientu var izņemt no dispersijas zīmes, sadalot to kvadrātā:
.
3) Divu neatkarīgu gadījuma lielumu summas dispersija ir vienāda ar šo mainīgo dispersiju summu:
4) Divu neatkarīgu gadījuma lielumu starpības dispersija ir vienāda ar šo mainīgo dispersiju summu:
Šīs vienlīdzības spēkā esamība izriet no 2. īpašības.
Teorēma. Notikuma A gadījumu skaita dispersija n neatkarīgos izmēģinājumos, kuros katrā notikuma iestāšanās varbūtība ir nemainīga, ir vienāda ar mēģinājumu skaita reizinājumu ar iestāšanās varbūtību un notikuma varbūtību nenotiek katrā izmēģinājumā:
Piemērs. Rūpnīcā tiek ražoti 96% pirmās šķiras produkcijas un 4% otrās šķiras produkcijas. 1000 preces ir izvēlētas nejauši. Ļaujiet X- pirmās šķiras produktu skaits šajā paraugā. Atrodiet nejauša lieluma sadalījuma likumu, matemātisko cerību un dispersiju.
Tādējādi sadales likumu var uzskatīt par binomiālu.
Piemērs. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma dispersiju X– notikuma reižu skaits A divos neatkarīgos izmēģinājumos, ja šī notikuma iestāšanās iespējamības katrā izmēģinājumā ir vienādas un ir zināms, ka
Jo nejauša vērtība X sadalīts pēc binoma likuma, tad
Piemērs. Neatkarīgi testi tiek veikti ar tādu pašu notikuma iestāšanās varbūtību A katrā testā. Atrodiet notikuma varbūtību A ja notikuma atgadījumu skaita dispersija trīs neatkarīgos izmēģinājumos ir 0,63.
Saskaņā ar binoma likuma dispersijas formulu mēs iegūstam:
;
Piemērs. Tiek testēta ierīce, kas sastāv no četrām neatkarīgi strādājošām ierīcēm. Katras ierīces atteices varbūtība ir attiecīgi vienāda ; ; . Atrodiet bojāto ierīču skaita matemātisko cerību un dispersiju.
Ņemot par nejaušu mainīgo neveiksmīgo ierīču skaitu, mēs redzam, ka šis nejaušais mainīgais var iegūt vērtības 0, 1, 2, 3 vai 4.
Lai sastādītu šī gadījuma lieluma sadalījuma likumu, ir jānosaka atbilstošās varbūtības. Pieņemsim.
1) Neviena ierīce neizdevās:
2) Viena no ierīcēm neizdevās.
Problēmu risināšanas piemēri par tēmu "Nejaušie mainīgie".
Uzdevums 1 . Izlozē ir izdotas 100 biļetes. Izspēlēta viena 50 USD uzvara. un desmit uzvaras pa 10 USD katram. Atrodiet vērtības X sadalījuma likumu - iespējamā ieguvuma izmaksas.
Risinājums. Iespējamās X vērtības: x 1 = 0; x 2 = 10 un x 3 = 50. Tā kā “tukšas” biļetes ir 89, tad p 1 = 0,89, laimesta iespējamība ir 10 c.u. (10 biļetes) – lpp 2 = 0,10 un par uzvaru 50 c.u. – lpp 3 = 0,01. Tādējādi:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Viegli vadāms: .
Uzdevums 2. Varbūtība, ka pircējs ir iepriekš iepazinies ar preces reklāmu, ir 0,6 (p = 0,6). Reklāmas selektīvā kvalitātes kontrole tiek veikta, aptaujājot pircējus pirms pirmā, kurš sludinājumu iepriekš ir izpētījis. Izveidojiet intervēto pircēju skaita sadalījuma sēriju.
Risinājums. Atbilstoši uzdevuma nosacījumam p = 0,6. No: q=1 -p = 0,4. Aizstājot šīs vērtības, mēs iegūstam: un izveidojiet izplatīšanas sēriju:
|
pi |
0,24 |
Uzdevums 3. Dators sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem: sistēmas bloka, monitora un tastatūras. Ar vienu strauju sprieguma pieaugumu katra elementa atteices varbūtība ir 0,1. Pamatojoties uz Bernulli sadalījumu, izveidojiet sadales likumu bojāto elementu skaitam tīkla jaudas pārsprieguma laikā.
Risinājums. Apsveriet Bernulli izplatība(vai binomiāls): varbūtība, ka in n testos, notikums A parādīsies precīzi k vienreiz: 
vai:
|
q n |
lpp n |
IN atgriezīsimies pie uzdevuma.
Iespējamās X vērtības (atteices skaits):
x 0 =0 - neviens no elementiem neizdevās;
x 1 =1 - viena elementa atteice;
x 2 =2 - divu elementu atteice;
x 3 =3 - visu elementu atteice.
Tā kā pēc nosacījuma p = 0,1, tad q = 1 – p = 0,9. Izmantojot Bernulli formulu, mēs iegūstam
, ,
, .
Kontrole: .
Tāpēc vēlamais izplatīšanas likums:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
4. uzdevums. Izgatavoti 5000 patronu. Varbūtība, ka viena kasetne ir bojāta 
. Kāda ir iespējamība, ka visā partijā būs tieši 3 bojātas kasetnes?
Risinājums. Piemērojams Poisson sadalījums: šo sadalījumu izmanto, lai noteiktu varbūtību, ka, ņemot vērā ļoti lielu
izmēģinājumu skaits (masu izmēģinājumi), kuros katrā notikuma A varbūtība ir ļoti maza, notikums A notiks k reizes: 
, Kur.
Šeit n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Mēs atrodam , tad vēlamo varbūtību: 
.
5. uzdevums. Šaujot pirms pirmā sitiena ar varbūtību trāpīt p = 0,6 sitienam, jums jāatrod iespējamība, ka trāpījums notiks trešajā šāvienā.
Risinājums. Pielietosim ģeometrisko sadalījumu: veiks neatkarīgus izmēģinājumus, kuros katrā notikumam A ir iestāšanās varbūtība p (un nenotikšanās q = 1 - p). Izmēģinājumi beidzas, tiklīdz notiek notikums A.
Šādos apstākļos varbūtību, ka notikums A notiks k-tajā testā, nosaka pēc formulas: . Šeit p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Tāpēc .
6. uzdevums. Dots gadījuma lieluma X sadalījuma likums:
Atrodiet matemātisko cerību.
Risinājums. .
Ņemiet vērā, ka matemātiskās cerības varbūtiskā nozīme ir nejaušā mainīgā lieluma vidējā vērtība.
7. uzdevums. Atrodiet nejauša lieluma X dispersiju ar šādu sadalījuma likumu:
Risinājums. Šeit .
X kvadrāta sadalījuma likums 2 :
|
X 2 |
|||
Nepieciešamā dispersija: .
Izkliede raksturo nejauša lieluma novirzes (izkliedes) pakāpi no tā matemātiskās cerības.
8. uzdevums. Ļaujiet nejaušo mainīgo dot ar sadalījumu:
|
10 m |
|||
Atrodiet tā skaitliskos raksturlielumus.
Risinājums: m, m 2 ,
M 2 , m.
Par nejaušu lielumu X var teikt vai nu - tā matemātiskā cerība ir 6,4 m ar dispersiju 13,04 m 2 , vai - tā matemātiskā cerība ir 6,4 m ar novirzi m. Otrais formulējums ir acīmredzami skaidrāks.
Uzdevums 9.
Izlases vērtība X ko nosaka sadales funkcija: 
.
Atrodiet varbūtību, ka testa rezultātā vērtība X iegūs vērtību, kas ietverta intervālā 
.
Risinājums. Varbūtība, ka X ņems vērtību no dotā intervāla, ir vienāda ar integrālfunkcijas pieaugumu šajā intervālā, t.i. . Mūsu gadījumā un tādēļ
.
Uzdevums 10. Diskrēts nejaušības lielums X ko nosaka izplatīšanas likums:
Atrodiet izplatīšanas funkciju F(x ) un izveidojiet tā grafiku.
Risinājums. Kopš sadales funkcijas
Priekš 
, Tas
pie ;
pie ;
pie ;
pie ;
Attiecīgā diagramma:
11. uzdevums. Nepārtraukts gadījuma mainīgais X ko nosaka diferenciālā sadalījuma funkcija: 
.
Atrodiet sitiena varbūtību X uz intervālu
Risinājums. Ņemiet vērā, ka šis ir īpašs eksponenciālā sadalījuma likuma gadījums.
Izmantosim formulu: 
.
Uzdevums 12. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma X skaitliskos raksturlielumus, ko nosaka sadalījuma likums:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
ir Laplasa funkcija.Nejaušs mainīgais Par lielumu sauc lielumu, kas vienādos apstākļos veiktu pārbaužu rezultātā iegūst dažādas, vispārīgi runājot, vērtības atkarībā no nejaušiem faktoriem, kas netiek ņemti vērā. Gadījuma lielumu piemēri: uz kauliņa nomesto punktu skaits, bojāto priekšmetu skaits partijā, šāviņa trieciena punkta novirze no mērķa, ierīces darbības laiks utt. Atšķiriet diskrētu un nepārtrauktu. nejaušie mainīgie. Diskrēts Tiek izsaukts nejaušs mainīgais, kura iespējamās vērtības veido saskaitāmu kopu, galīgu vai bezgalīgu (t.i., kopu, kuras elementus var numurēt).
nepārtraukts Tiek izsaukts gadījuma lielums, kura iespējamās vērtības nepārtraukti aizpilda kādu galīgu vai bezgalīgu skaitliskās ass intervālu. Nepārtraukta gadījuma lieluma vērtību skaits vienmēr ir bezgalīgs.
Nejaušie mainīgie tiks apzīmēti ar latīņu alfabēta beigu lielajiem burtiem: X, Y, . ; nejauša lieluma vērtības - ar mazajiem burtiem: X, y. . Tādējādi X Apzīmē visu nejaušā mainīgā iespējamo vērtību kopu un X - Kāda konkrēta nozīme.
sadales likums Diskrēts gadījuma lielums ir jebkura veida atbilstība starp iespējamām nejaušā lieluma vērtībām un to varbūtībām.
Ļaujiet gadījuma lieluma iespējamām vērtībām X Vai . Pārbaudes rezultātā nejaušais lielums iegūs vienu no šīm vērtībām, t.i. Notiks viens notikums no visas pāros nesaderīgu notikumu grupas.
Lai zināmas arī šo notikumu varbūtības:
Gadījuma lieluma sadalījuma likums X To var uzrakstīt tabulas veidā, ko sauc Blakus izplatīšanai Diskrēts gadījuma mainīgais:
nejaušie mainīgie. Diskrēts nejaušības lielums.
Paredzamā vērtība
Otrā sadaļa tālāk varbūtības teorija veltīta nejaušie mainīgie , kas mūs nemanāmi pavadīja burtiski katrā rakstā par tēmu. Un ir pienācis laiks skaidri formulēt, kas tas ir:
Nejauši sauca vērtību, kas testa rezultātā tiks viens un vienīgais skaitliska vērtība, kas ir atkarīga no nejaušiem faktoriem un nav iepriekš paredzama.
Nejaušie mainīgie parasti ir iecelt cauri * , un to vērtības atbilstošajos mazajos burtos ar apakšindeksiem, piemēram, .
* Dažkārt lietoti, kā arī grieķu burti
Mēs saskārāmies ar piemēru pirmā nodarbība varbūtības teorijā, kur mēs faktiski ņēmām vērā šādu nejaušo mainīgo:
- punktu skaits, kas izkritīs pēc kauliņa mešanas.
Šī testa rezultāts būs viens vienīgais līnija, kura nav paredzama (triki netiek ņemti vērā); šajā gadījumā nejaušajam mainīgajam var būt viena no šīm vērtībām:
- zēnu skaits starp 10 jaundzimušajiem.
Ir pilnīgi skaidrs, ka šis skaitlis nav iepriekš zināms, un nākamajos desmit bērni var piedzimt:
Vai zēni - viens un vienīgais no uzskaitītajām iespējām.
Un, lai uzturētu formu, neliela fiziskā audzināšana:
- tāllēkšanas distance (dažās vienībās).
Pat sporta meistars to nespēj paredzēt 🙂
Tomēr kādas ir jūsu hipotēzes?
Tiklīdz reālo skaitļu kopa bezgalīgs, tad nejaušais mainīgais var ņemt bezgala daudz vērtības no kāda intervāla. Un šī ir tā būtiskā atšķirība no iepriekšējiem piemēriem.
Tādējādi gadījuma lielumus vēlams sadalīt 2 lielās grupās:
1) Diskrēts (ar pārtraukumiem) gadījuma mainīgais - ņem atsevišķi ņemtas, izolētas vērtības. Šo vērtību skaits Noteikti vai bezgalīgs, bet saskaitāms.
... tika savilkti nesaprotami termini? Steidzami atkārtojiet algebras pamati!
2) Nepārtraukts gadījuma mainīgais - ņem Visi skaitliskās vērtības no kāda ierobežota vai bezgalīga intervāla.
Piezīme : mācību literatūrā populāri ir saīsinājumi DSV un NSV
Vispirms analizēsim diskrētu gadījuma mainīgo, tad - nepārtraukts.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums
-Šo sarakste starp iespējamām šī daudzuma vērtībām un to varbūtībām. Visbiežāk likums ir rakstīts tabulā:
Termins ir diezgan izplatīts rinda
izplatīšana, bet dažās situācijās izklausās neviennozīmīgi, un tāpēc pieturēšos pie "likuma".
Un tagad Ļoti svarīgs punkts
: kopš nejaušā mainīgā lieluma Obligāti pieņems viena no vērtībām, tad veidojas atbilstošie notikumi pilna grupa un to rašanās varbūtību summa ir vienāda ar vienu:
vai, ja rakstīts salocīts:
Tā, piemēram, likumam par punktu varbūtību sadalījumu uz kauliņa ir šāda forma:
Jums var rasties iespaids, ka diskrēts gadījuma mainīgais var iegūt tikai "labas" veselas vērtības. Kliedēsim ilūziju – tās var būt jebkas:
Dažām spēlēm ir šāds izmaksu sadales likums:
…droši vien jau sen sapņoji par šādiem uzdevumiem 🙂 Atklāšu noslēpumu - es arī. Īpaši pēc darba pabeigšanas lauka teorija.
Risinājums: tā kā nejaušam mainīgajam var būt tikai viena no trim vērtībām, veidojas attiecīgie notikumi pilna grupa, kas nozīmē, ka to varbūtību summa ir vienāda ar vienu:
Mēs atklājam "partizānu":
– tātad varbūtība laimēt nosacītās vienības ir 0,4.
Kontrole: kas jums jāpārliecinās.
Atbilde:
Tas nav nekas neparasts, kad sadales likums ir jāsastāda neatkarīgi. Šim lietojumam klasiskā varbūtības definīcija, reizināšanas / saskaitīšanas teorēmas notikumu varbūtībām un citi čipsi tervera:
Kastītē ir 50 loterijas biļetes, no kurām 12 laimē, un 2 no tām laimē 1000 rubļus, bet pārējās - 100 rubļus. Sastādiet nejaušā lieluma sadalījuma likumu - laimesta lielumu, ja no kastes nejauši tiek izvilkta viena biļete.
Risinājums: kā jūs pamanījāt, ir ierasts ievietot nejauša lieluma vērtības augoša secība. Tāpēc mēs sākam ar mazākajiem laimestiem, proti, rubļiem.
Kopumā ir 50 - 12 = 38 šādas biļetes, un saskaņā ar klasiskā definīcija:
ir iespējamība, ka nejauši izlozēta biļete neuzvarēs.
Pārējie gadījumi ir vienkārši. Rubļu laimēšanas varbūtība ir:
Un priekš:
Pārbauda: - un šis ir īpaši patīkams šādu uzdevumu brīdis!
Atbilde: nepieciešamais izmaksu sadales likums:
Neatkarīgam lēmumam šāds uzdevums:
Varbūtība, ka šāvējs trāpīs mērķī, ir . Izveidojiet sadalījuma likumu nejaušam mainīgajam - sitienu skaitam pēc 2 kadriem.
... Es zināju, ka tev viņa pietrūkst 🙂 Mēs atceramies reizināšanas un saskaitīšanas teorēmas. Risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Sadales likums pilnībā apraksta gadījuma lielumu, taču praksē ir lietderīgi (un dažreiz arī lietderīgāk) zināt tikai daļu no tā. skaitliskās īpašības .
Diskrēta gadījuma mainīgā matemātiskā cerība
Vienkāršā izteiksmē šis vidējā paredzamā vērtība ar atkārtotu pārbaudi. Ļaujiet nejaušam mainīgajam attiecīgi iegūt vērtības ar varbūtībām. Tad šī nejaušā mainīgā matemātiskā cerība ir vienāda ar darbu summa visas tā vērtības ar atbilstošām varbūtībām:
vai salocītā veidā:
Aprēķināsim, piemēram, nejauša lieluma matemātisko cerību - uz kauliņa nomesto punktu skaitu:
Kāda ir iegūtā rezultāta varbūtības nozīme? Ja metīsi kauliņu pietiekami daudz reižu, tad vidējā vērtība kritušie punkti būs tuvu 3,5 - un jo vairāk testu veiksi, jo tuvāk. Patiesībā es jau detalizēti runāju par šo efektu nodarbībā par statistiskā varbūtība.
Tagad atcerēsimies mūsu hipotētisko spēli:
Rodas jautājums: vai vispār ir izdevīgi spēlēt šo spēli? ... kam ir iespaidi? Tātad jūs nevarat teikt "no rokas"! Bet uz šo jautājumu var viegli atbildēt, aprēķinot matemātisko cerību, būtībā - vidējais svērtais laimesta iespējamība:
Tādējādi šīs spēles matemātiskās cerības zaudēšana.
Neticiet iespaidiem - uzticieties skaitļiem!
Jā, šeit var uzvarēt 10 vai pat 20-30 reizes pēc kārtas, bet ilgtermiņā mēs neizbēgami tiksim izpostīti. Un es tev neieteiktu tādas spēles spēlēt 🙂 Nu, varbūt tikai prieka pēc.
No visa iepriekš minētā izriet, ka matemātiskā cerība NAV NEJAUŠA vērtība.
Radošs uzdevums patstāvīgam pētījumam:
X kungs spēlē Eiropas ruleti pēc šādas sistēmas: viņš pastāvīgi liek 100 rubļus uz sarkano. Sastādiet gadījuma lieluma sadalījuma likumu - tā atlīdzību. Aprēķiniet laimesta matemātisko cerību un noapaļojiet to līdz kapeikām. Cik daudz vidēji vai spēlētājs zaudē par katru simts likmi?
Atsauce : Eiropas rulete satur 18 sarkanus, 18 melnus un 1 zaļu sektoru ("nulle"). “sarkanā” izkrišanas gadījumā spēlētājam tiek izmaksāta dubultā likme, pretējā gadījumā tā tiek novirzīta kazino ienākumiem
Ir daudzas citas ruletes sistēmas, kurām varat izveidot savas varbūtības tabulas. Bet tas ir tas gadījums, kad mums nav vajadzīgi nekādi sadales likumi un tabulas, jo noteikti ir noteikts, ka spēlētāja matemātiskās cerības būs tieši tādas pašas. Tikai izmaiņas no sistēmas uz sistēmu dispersija, par ko uzzināsim nodarbības 2. daļā.
Bet pirms tam būs noderīgi izstiept pirkstus uz kalkulatora taustiņiem:
Nejaušais lielums tiek noteikts ar savu varbūtības sadalījuma likumu:
Uzziniet, vai tas ir zināms. Palaidiet pārbaudi.
Tad mēs pievēršamies pētījumam diskrēta gadījuma lieluma izkliede un, ja iespējams, TIEŠI TAGAD!!- lai nepazaudētu tēmas pavedienu.
Risinājumi un atbildes:
3. piemērs Risinājums: pēc nosacījuma - varbūtība trāpīt mērķī. Pēc tam:
ir garām palaišanas iespējamība.
Izstrādāsim - trāpījumu sadalījuma likumu pie diviem šāvieniem:
- neviena trāpījuma. Autors neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanas teorēma:
- viens sitiens. Autors nesaderīgu notikumu varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas teorēmas:
- divi sitieni. Saskaņā ar neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanas teorēmu:
Pārbaudiet: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1
Atbilde :
Piezīme : bija iespējams izmantot apzīmējumus - tas nav svarīgi.
4. piemērs Risinājums: spēlētājs laimē 100 rubļus 18 gadījumos no 37, un tāpēc viņa laimestu sadales likumam ir šāda forma:
Aprēķināsim matemātisko cerību:
Tādējādi uz katriem simts liktajiem spēlētājiem zaudē vidēji 2,7 rubļus.
5. piemērs Risinājums: pēc matemātiskās gaidas definīcijas:
Apmainīsim detaļas un veiksim vienkāršojumus:
Tādējādi:
Pārbaudīsim:
, kas bija jāpārbauda.
Atbilde :
(Doties uz galveno lapu)
Kvalitatīvs darbs bez plaģiāta - Zaochnik.com
www.mathprofi.ru
Diskrēti nejauši mainīgie
Nejaušs mainīgais tiek izsaukts mainīgais, kas katra testa rezultātā atkarībā no nejaušiem cēloņiem iegūst vienu iepriekš nezināmu vērtību. Nejaušie mainīgie tiek apzīmēti ar lielajiem latīņu burtiem: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Pēc to veida nejaušie mainīgie var būt diskrēts Un nepārtraukts.
Diskrēts nejaušības lielums- tas ir tāds gadījuma lielums, kura vērtības var būt ne vairāk kā saskaitāmas, tas ir, ierobežotas vai saskaitāmas. Saskaitāmība nozīmē, ka gadījuma lieluma vērtības var uzskaitīt.
1. piemērs . Sniegsim diskrēto gadījuma mainīgo piemērus:
a) sitienu skaits mērķī ar $n$ šāvienu, šeit iespējamās vērtības ir $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) ģerboņu skaits, kas izkrita, metot monētu, šeit iespējamās vērtības ir $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) uz kuģa ienākušo kuģu skaits (skaitāma vērtību kopa).
d) centrālē ienākošo zvanu skaits (skaitāma vērtību kopa).
1. Diskrēta gadījuma lieluma varbūtības sadalījuma likums.
Diskrēts gadījuma mainīgais $X$ var iegūt vērtības $x_1,\dots ,\ x_n$ ar varbūtībām $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Tiek saukta atbilstība starp šīm vērtībām un to varbūtībām diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums. Parasti šī atbilstība tiek norādīta, izmantojot tabulu, kuras pirmajā rindā ir norādītas vērtības $x_1,\dots ,\ x_n$, bet otrajā rindā šīm vērtībām atbilstošās varbūtības ir $ p_1,\punkti ,\ p_n$.
$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \punkti & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \punkti & p_n \\
\hline
\end$
2. piemērs . Lai nejaušais lielums $X$ ir izmesto punktu skaits, metot kauliņu. Šādam nejaušam mainīgajam $X$ var būt šādas vērtības $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Visu šo vērtību varbūtība ir vienāda ar USD 1/6 USD. Tad varbūtības sadalījuma likums nejaušajam mainīgajam $X$:
$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
komentēt. Tā kā diskrētā gadījuma lieluma $X$ sadalījuma likumā notikumi $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ veido pilnīgu notikumu grupu, tad varbūtību summai jābūt vienādai ar vienu, t.i., $\sum.
2. Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība.
Gadījuma mainīgā matemātiskā gaidīšana norāda tās "centrālo" vērtību. Diskrētam gadījuma mainīgajam matemātiskā sagaidāmā vērtība tiek aprēķināta kā vērtību $x_1,\dots ,\ x_n$ un šīm vērtībām atbilstošo varbūtību $p_1,\dots ,\ p_n$ reizinājumu summa, t.i.: $M\left(X\right)=\summa ^n_
Gaidāmās īpašības$M\left(X\right)$:
- $M\left(X\right)$ ir starp mazāko un lielāko nejaušā mainīgā $X$ vērtību.
- Konstantes matemātiskā cerība ir vienāda ar pašu konstanti, t.i. $M\left(C\right)=C$.
- Pastāvīgo koeficientu var izņemt no gaidīšanas zīmes: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Nejaušo lielumu summas matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu summu: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Neatkarīgu gadījuma lielumu reizinājuma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko gaidu reizinājumu: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
3. piemērs . Atradīsim nejaušā lieluma $X$ matemātisko cerību no piemēra $2$.
Varam pamanīt, ka $M\left(X\right)$ ir starp mazāko ($1$) un lielāko ($6$) nejaušā mainīgā $X$ vērtībām.
4. piemērs . Ir zināms, ka gadījuma lieluma $X$ matemātiskā cerība ir vienāda ar $M\left(X\right)=2$. Atrodiet nejaušā lieluma $3X+5$ matemātisko cerību.
Izmantojot iepriekš minētās īpašības, mēs iegūstam $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
5. piemērs . Ir zināms, ka gadījuma lieluma $X$ matemātiskā cerība ir vienāda ar $M\left(X\right)=4$. Atrodiet nejaušā lieluma $2X-9$ matemātisko cerību.
Izmantojot iepriekš minētās īpašības, mēs iegūstam $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Diskrētā gadījuma lieluma izkliede.
Iespējamās nejaušo mainīgo vērtības ar vienādām matemātiskām cerībām var atšķirīgi izkliedēties ap to vidējām vērtībām. Piemēram, divās skolēnu grupās vidējais eksāmena rezultāts varbūtību teorijā izrādījās 4, bet vienā grupā visi izrādījās labi skolēni, bet otrā grupā - tikai C studenti un teicamnieki. Tāpēc ir nepieciešams tāds gadījuma lieluma skaitlisks raksturlielums, kas parādītu gadījuma lieluma vērtību izplatību ap tā matemātisko cerību. Šī īpašība ir dispersija.
Diskrēta gadījuma lieluma izkliede$X$ ir:
Angļu literatūrā tiek lietots apzīmējums $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Ļoti bieži dispersiju $D\left(X\right)$ aprēķina, izmantojot formulu $D\left(X\right)=\sum^n_
Izkliedes īpašības$D\left(X\right)$:
- Izkliede vienmēr ir lielāka vai vienāda ar nulli, t.i. $D\left(X\right)\ge 0$.
- Izkliede no konstantes ir vienāda ar nulli, t.i. $D\left(C\right)=0$.
- Pastāvīgo koeficientu var izņemt no dispersijas zīmes, ja tas ir kvadrātā, t.i. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Neatkarīgo gadījuma lielumu summas dispersija ir vienāda ar to dispersiju summu, t.i. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- Neatkarīgo gadījuma lielumu starpības dispersija ir vienāda ar to dispersiju summu, t.i. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
6. piemērs . Aprēķināsim nejaušā lieluma $X$ dispersiju no piemēra $2$.
7. piemērs . Ir zināms, ka nejaušā lieluma $X$ dispersija ir vienāda ar $D\left(X\right)=2$. Atrodiet nejaušā lieluma $4X+1$ dispersiju.
Izmantojot iepriekš minētās īpašības, mēs atrodam $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kreisais(X\labais)=16\cdot 2=32$.
8. piemērs . Ir zināms, ka $X$ dispersija ir vienāda ar $D\left(X\right)=3$. Atrodiet nejaušā lieluma $3-2X$ dispersiju.
Izmantojot iepriekš minētās īpašības, mēs atrodam $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ kreisais (X\labais)=4\cdot 3=12$.
4. Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma funkcija.
Metode diskrēta gadījuma lieluma attēlošanai sadalījuma sērijas veidā nav vienīgā, un, pats galvenais, tā nav universāla, jo nepārtrauktu gadījuma lielumu nevar norādīt, izmantojot sadalījuma sēriju. Ir vēl viens veids, kā attēlot gadījuma lielumu - sadalījuma funkcija.
sadales funkcija nejaušais mainīgais $X$ ir funkcija $F\left(x\right)$, kas nosaka varbūtību, ka nejaušajam mainīgajam $X$ ir vērtība, kas ir mazāka par kādu fiksētu vērtību $x$, t.i., $F\left(x\ pa labi)$ )=P\left(X 6$, tad $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left( X=3 \labais)+P\kreisais(X=4\labais)+P\kreisais(X=5\labais)+P\kreisais(X=6\labais)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.
Sadales funkcijas $F\left(x\right)$ diagramma:
Izplatīšanas pamatlikumi
1. Binomiālā sadalījuma likums.
Binomiālā sadalījuma likums apraksta notikuma A m iestāšanās varbūtību n neatkarīgos izmēģinājumos ar nosacījumu, ka notikuma A iestāšanās varbūtība p katrā izmēģinājumā ir nemainīga.
Piemēram, veikala pārdošanas nodaļa mājsaimniecības ierīces saņem vidēji vienu pasūtījumu televizoru iegādei no 10 zvaniem. Uzrakstiet varbūtības sadalījuma likumu m televizoru iegādei. Izveidojiet varbūtības sadalījuma daudzstūri.
Tabulā m ir uzņēmuma saņemto pasūtījumu skaits televizora iegādei. C n m ir m televizoru kombināciju skaits ar n, p ir notikuma A iestāšanās varbūtība, t.i. pasūtot televizoru, q ir varbūtība, ka notikums A nenotiks, t.i. nepasūtot televizoru, P m,n ir varbūtība, ka pasūtīs m TV no n. 1. attēlā parādīts varbūtības sadalījuma daudzstūris.
2.Ģeometriskais sadalījums.
Gadījuma lieluma ģeometriskajam sadalījumam ir šāda forma:
P m ir notikuma A iestāšanās varbūtība izmēģinājuma numurā m.
p ir notikuma A iestāšanās varbūtība vienā izmēģinājumā.
q = 1 - p
Piemērs. Sadzīves tehnikas remonta uzņēmums saņēma 10 nomaiņas vienību partiju par veļas mašīnas. Ir gadījumi, kad partijā ir 1 bojāts bloks. Pārbaude tiek veikta, līdz tiek atrasts bojāts bloks. Nepieciešams sastādīt sadales likumu pārbaudīto bloku skaitam. Varbūtība, ka bloks var būt bojāts, ir 0,1. Izveidojiet varbūtības sadalījuma daudzstūri.
No tabulas var redzēt, ka, palielinoties skaitlim m, samazinās varbūtība, ka tiks atklāts bojāts bloks. Pēdējā rindā (m=10) ir apvienotas divas varbūtības: 1 - ka desmitais bloks izrādījās bojāts - 0,038742049, 2 - ka visi pārbaudītie bloki izrādījās izmantojami - 0,34867844. Tā kā bloka neveiksmes iespējamība ir salīdzinoši zema (p=0,1), tad pēdējā notikuma P m varbūtība (10 pārbaudītie bloki) ir salīdzinoši augsta. 2. att.
3. Hiperģeometriskais sadalījums.
Gadījuma lieluma hiperģeometriskajam sadalījumam ir šāda forma:
Piemēram, lai sastādītu sadalījuma likumu 7 uzminētiem skaitļiem no 49. Šajā piemērā tika izņemti kopējie skaitļi N=49, n=7 skaitļi, M ir kopējie skaitļi, kuriem ir dotā īpašība, t.i. pareizi uzminētie skaitļi, m ir pareizi uzminēto skaitļu skaits starp izņemtajiem.
Tabulā redzams, ka varbūtība uzminēt vienu skaitli m=1 ir lielāka nekā tad, ja m=0. Tomēr tad varbūtība sāk strauji samazināties. Tādējādi varbūtība uzminēt 4 skaitļus jau ir mazāka par 0,005, un 5 ir niecīga.
4. Puasona sadalījuma likums.
Gadījuma lieluma X ir Puasona sadalījums, ja tā sadalījuma likumam ir šāda forma:
Np = konst
n ir izmēģinājumu skaits, kas tiecas līdz bezgalībai
p ir notikuma varbūtība, kas tiecas uz nulli
m ir notikuma A gadījumu skaits
Piemēram, vidēji TV kompānija saņem aptuveni 100 zvanu dienā. A zīmola televizora pasūtīšanas iespējamība ir 0,08; B - 0,06 un C - 0,04. Sastādiet televizoru iegādes pasūtījumu sadales likumu A, B klases un C. Izveidojiet varbūtības sadalījuma daudzstūri.
No nosacījuma mums ir: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 = 4 (? 10)
(tabula nav pilnīga)
Ja n ir pietiekami liels, lai nonāktu līdz bezgalībai, un p vērtība ir nulle, lai reizinājums np būtu konstants skaitlis, tad šis likums ir tuvinājums binomiālā sadalījuma likumam. No grafika var redzēt, ka jo lielāka varbūtība p, jo tuvāk līkne atrodas m asij, t.i. maigāks. (4. att.)
Jāņem vērā, ka binomiālais, ģeometriskais, hiperģeometriskais un Puasona sadalījuma likumi izsaka diskrēta gadījuma lieluma varbūtības sadalījumu.
5. Vienots sadales likums.
Ja varbūtības blīvums? (x) ir nemainīga vērtība noteiktā intervālā, tad sadalījuma likumu sauc par vienotu. 5. attēlā parādīti vienmērīgā sadalījuma likuma varbūtības sadalījuma funkcijas un varbūtības blīvuma grafiki.
6. Normālās sadales likums (Gausa likums).
Starp nepārtrauktu gadījuma lielumu sadalījuma likumiem visizplatītākais ir normāls likums izplatīšana. Nejaušais lielums tiek sadalīts saskaņā ar normālā sadalījuma likumu, ja tā varbūtības blīvumam ir šāda forma:
Kur
a ir nejauša lieluma matemātiskā sagaidāmā vērtība
? - standarta novirze
Gadījuma lieluma varbūtības blīvuma grafiks ar normālā sadalījuma likumu ir simetrisks attiecībā pret taisni x=a, t.i., x vienāds ar matemātisko cerību. Tādējādi, ja x=a, tad līknes maksimums ir vienāds ar:
Mainoties matemātiskās cerības vērtībai, līkne nobīdīsies pa Vērša asi. Grafikā (6. att.) redzams, ka pie x=3 līknei ir maksimums, jo matemātiskā gaida ir 3. Ja matemātiskā gaida iegūst citu vērtību, piemēram, a=6, tad līknes maksimums būs pie x=6. Runājot par standarta novirzi, kā redzams no grafika, jo lielāka ir standarta novirze, jo mazāka ir nejauša lieluma varbūtības blīvuma maksimālā vērtība.
Funkciju, kas izsaka gadījuma lieluma sadalījumu intervālā (-?, x) un kurai ir normāls sadalījuma likums, izsaka ar Laplasa funkciju saskaņā ar šādu formulu:
Tie. nejaušā lieluma X varbūtība sastāv no divām daļām: varbūtība, kur x ņem vērtības no mīnus bezgalības līdz a, kas vienāda ar 0,5, un otrā daļa ir no a līdz x. (7. att.)
Mācīšanās Kopā
Noderīgi materiāli studentiem, diplomdarbi un kursa darbi pēc pasūtījuma
Nodarbība: diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums ir atbilstība starp iespējamām vērtībām un to varbūtībām. To var norādīt tabulas veidā, grafiski un analītiski.
Šajā nodarbībā ir apspriests, kas ir nejaušs mainīgais.
Izmantojot tabulas iestatīšanas veidu, tabulas pirmajā rindā ir iespējamās vērtības, bet otrajā - to varbūtības, tas ir
Šo lielumu sauc par sadalījuma sēriju. diskrētais gadījuma mainīgais.
X=x1, X=x2, X=xn veido pilnu grupu, jo vienā izmēģinājumā nejaušajam mainīgajam būs viena un tikai viena iespējamā vērtība. Tāpēc to varbūtību summa ir vienāda ar vienu, tas ir, p1 + p2 + pn = 1 vai
Ja X vērtību kopa ir bezgalīga, tad 
Piemērs 1. Naudas loterijā ir izdotas 100 biļetes. Tiek izspēlēts viens laimests 1000 rubļu apmērā un 10 no 100 rubļiem. Atrodiet nejauša lieluma X sadalījuma likumu - vienas loterijas biļetes īpašnieka iespējamā laimesta izmaksas.
Vēlamajam izplatīšanas likumam ir šāda forma:
Kontrole; 0,01+0,1+0,89=1.
Ar grafisko sadalījuma likuma iestatīšanas metodi punkti tiek uzbūvēti uz koordinātu plaknes (Xi: Pi), un pēc tam tie tiek savienoti ar taisnu līniju segmentiem. Iegūto pārtraukto līniju sauc sadales daudzstūris. Piemēram, 1, sadalījuma daudzstūris ir parādīts 1. attēlā.
Sadalījuma likuma noteikšanas analītiskajā metodē ir norādīta formula, kas saista nejauša lieluma varbūtības ar tā iespējamajām vērtībām.
Diskrētu sadalījumu piemēri
Binomiālais sadalījums
Veiksim n mēģinājumus, kuros katrā notikums A notiek ar pastāvīgu varbūtību p, tātad nenotiek ar nemainīgu varbūtību q = 1- lpp. Apsveriet nejaušu mainīgo X- notikuma A gadījumu skaits šajos n izmēģinājumos. Iespējamās X vērtības ir x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n . To iespējamība
Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma likumu sauc par Windows XP Word 2003 Excel 2003 Diskrētu gadījuma lielumu sadalījuma likumi Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums ir jebkura sakarība, kas nosaka sakarību starp nejaušā lieluma iespējamām vērtībām. un […]
Kā zināms, nejaušais mainīgais tiek saukts par mainīgo, kas var iegūt noteiktas vērtības atkarībā no gadījuma. Nejaušie mainīgie tiek apzīmēti ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem (X, Y, Z), un to vērtības - ar atbilstošajiem mazajiem burtiem (x, y, z). Nejaušie mainīgie tiek sadalīti nepārtrauktos (diskrētos) un nepārtrauktos.
Diskrēts nejaušības lielums sauc par nejaušu mainīgo, kas ņem tikai ierobežotu vai bezgalīgu (skaitāmu) vērtību kopu ar noteiktām varbūtībām, kas nav nulles.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums ir funkcija, kas savieno nejauša lieluma vērtības ar tām atbilstošajām varbūtībām. Izplatīšanas likumu var precizēt vienā no šiem veidiem.
1 . Sadales likumu var norādīt tabulā:
kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) izmantojot sadalījuma funkcija F(x) , kas katrai vērtībai x nosaka varbūtību, ka gadījuma lielums X pieņem vērtību, kas mazāka par x, t.i. F(x) = P(X< x).
Funkcijas F(x) īpašības
3 . Izplatīšanas likumu var iestatīt grafiski – sadalījuma daudzstūris (daudzstūris) (skat. 3. uzdevumu).
Ņemiet vērā, ka, lai atrisinātu dažas problēmas, nav nepieciešams zināt sadales likumu. Dažos gadījumos pietiek zināt vienu vai vairākus skaitļus, kas atspoguļo sadales likuma svarīgākās iezīmes. Tas var būt skaitlis, kam ir nejauša mainīgā lieluma "vidējā vērtība", vai skaitlis, kas parāda vidējais izmērs nejauša lieluma novirze no tā vidējās vērtības. Šāda veida skaitļus sauc par nejauša lieluma skaitliskiem raksturlielumiem.
Diskrēta gadījuma lieluma skaitliskās pamatraksturības :
- Matemātiskās cerības
diskrēta gadījuma lieluma (vidējā vērtība). M(X)=Σ x i p i.
Binomiālajam sadalījumam M(X)=np, Puasona sadalījumam M(X)=λ - Izkliede
diskrētais gadījuma mainīgais D(X)=M2 vai D(X) = M(X 2) – 2. Atšķirību X–M(X) sauc par nejauša lieluma novirzi no tā matemātiskās cerības.
Binomiālajam sadalījumam D(X)=npq, Puasona sadalījumam D(X)=λ - Standarta novirze (standarta novirze) σ(X)=√D(X).
Problēmu risināšanas piemēri par tēmu "Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma likums"
1. uzdevums.
Izdotas 1000 loterijas biļetes: 5 no tām laimēs 500 rubļus, 10 laimēs 100 rubļus, 20 laimēs 50 rubļus, bet 50 laimēs 10 rubļus. Noteikt nejaušā lieluma X varbūtības sadalījuma likumu - laimests uz vienu biļeti.
Risinājums. Atkarībā no problēmas stāvokļa ir iespējamas šādas nejaušā lieluma X vērtības: 0, 10, 50, 100 un 500.
Biļešu skaits bez laimesta ir 1000 - (5+10+20+50) = 915, tad P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Līdzīgi mēs atrodam visas pārējās varbūtības: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Mēs piedāvājam iegūto likumu tabulas veidā:
Atrodiet X matemātisko paredzamo vērtību: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
3. uzdevums.
Ierīce sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem. Katra elementa atteices varbūtība vienā eksperimentā ir 0,1. Sastādiet sadalījuma likumu neveiksmīgo elementu skaitam vienā eksperimentā, izveidojiet sadalījuma daudzstūri. Atrodiet sadalījuma funkciju F(x) un uzzīmējiet to. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību, dispersiju un standartnovirzi.
Risinājums. 1. Diskrētajam gadījuma mainīgajam X= (neizdevušos elementu skaits vienā eksperimentā) ir šādas iespējamās vērtības: x 1 =0 (neviens no ierīces elementiem neizdevās), x 2 =1 (viens elements neizdevās), x 3 =2 ( divi elementi neizdevās ) un x 4 \u003d 3 (trīs elementi neizdevās).
Elementu atteices ir neatkarīgas viena no otras, katra elementa atteices varbūtības ir vienādas viena ar otru, tāpēc ir piemērojams Bernulli formula
. Ņemot vērā, ka pēc nosacījuma n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, mēs nosakām vērtību varbūtības:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Pārbaudiet: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Tādējādi vēlamajam binominālā sadalījuma likumam X ir šāda forma:
Uz abscisu ass mēs attēlojam iespējamās vērtības x i, bet uz ordinātu ass - atbilstošās varbūtības p i . Konstruēsim punktus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Savienojot šos punktus ar līniju segmentiem, mēs iegūstam vēlamo sadalījuma daudzstūri.
3. Atrodiet sadalījuma funkciju F(x) = P(X
Ja x ≤ 0, mums ir F(x) = P(X<0) = 0;par 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
par 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
par 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
ja x > 3 tas būs F(x) = 1, jo notikums ir skaidrs.
 |
Funkcijas F(x) grafiks
4.
Binomiālajam sadalījumam X:
- matemātiskā cerība М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standartnovirze σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.