สำหรับจำนวนเต็ม n ที่มากกว่า 2 สมการ x n + y n = z n ไม่มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ในจำนวนธรรมชาติ
คงจำได้ตั้งแต่สมัยเรียน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา คุณอาจจำสามเหลี่ยมมุมฉากแบบคลาสสิกที่มีด้านที่มีความยาวสัมพันธ์กันเป็น 3: 4: 5 สำหรับมัน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะมีลักษณะดังนี้:
นี่คือตัวอย่างของการแก้สมการพีทาโกรัสทั่วไปในจำนวนเต็มไม่เป็นศูนย์สำหรับ น= 2 Fermat's Last Theorem (เรียกอีกอย่างว่า "Fermat's Last Theorem" และ "Fermat's Last Theorem") เป็นข้อความที่สำหรับค่า น> 2 สมการของแบบฟอร์ม x น + y n = z nไม่มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ในจำนวนธรรมชาติ
ประวัติของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นให้ความบันเทิงและให้ความรู้อย่างมาก ไม่เพียงแต่สำหรับนักคณิตศาสตร์เท่านั้น ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์มีส่วนในการพัฒนาด้านคณิตศาสตร์ในด้านต่างๆ แต่ส่วนหลักของมรดกทางวิทยาศาสตร์ของเขาได้รับการตีพิมพ์เมื่อมรณกรรมเท่านั้น ความจริงก็คือคณิตศาสตร์สำหรับแฟร์มาต์เป็นเหมือนงานอดิเรก ไม่ใช่อาชีพ เขาติดต่อกับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำในยุคของเขา แต่ไม่ได้พยายามเผยแพร่ผลงานของเขา งานเขียนทางวิทยาศาสตร์ของแฟร์มาต์ส่วนใหญ่จะพบในรูปแบบของจดหมายโต้ตอบส่วนตัวและบันทึกที่ไม่เป็นชิ้นเป็นอัน ซึ่งมักทำขึ้นที่ขอบของหนังสือหลายเล่ม มันอยู่บนขอบ (ของเล่มที่สองของเลขคณิตกรีกโบราณโดย Diophantus - บันทึก. นักแปล) ไม่นานหลังจากการตายของนักคณิตศาสตร์ ลูกหลานได้ค้นพบสูตรของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงและคำลงท้าย:
« ฉันพบข้อพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริงเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ระยะขอบเหล่านี้แคบเกินไปสำหรับเขา».
อนิจจา แฟร์มาต์ไม่เคยสนใจที่จะจด “ข้อพิสูจน์อันน่าอัศจรรย์” ที่เขาพบ และลูกหลานค้นหาไม่ประสบผลสำเร็จมานานกว่าสามศตวรรษ จากมรดกทางวิทยาศาสตร์ที่แตกต่างกันของแฟร์มาต์ ซึ่งประกอบด้วยข้อความที่น่าประหลาดใจมากมาย ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่นี้เองที่ต่อต้านการแก้ปัญหาอย่างดื้อรั้น
ใครก็ตามที่ไม่ยอมรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ - ทั้งหมดนี้ไร้ประโยชน์! นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่อีกคนหนึ่ง René Descartes (René Descartes, 1596-1650) เรียกแฟร์มาต์ว่า "แบร็กการ์ต" และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ จอห์น วาลลิส (John Wallis, 1616-1703) เรียกเขาว่า "ชาวฝรั่งเศสที่เลวทราม" อย่างไรก็ตาม Fermat เองยังคงทิ้งหลักฐานทฤษฎีบทของเขาไว้สำหรับกรณีนี้ น= 4. พร้อมหลักฐานสำหรับ น= 3 ได้รับการแก้ไขโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส - รัสเซียผู้ยิ่งใหญ่แห่งศตวรรษที่ 18 Leonard Euler (1707–83) หลังจากนั้นไม่สามารถหาข้อพิสูจน์ได้ น> 4 แกล้งเสนอให้ค้นบ้านแฟร์มาต์เพื่อหากุญแจไขหลักฐานที่สูญหาย ในศตวรรษที่ 19 วิธีการใหม่ของทฤษฎีจำนวนทำให้สามารถพิสูจน์ข้อความสำหรับจำนวนเต็มจำนวนมากภายใน 200 ได้ แต่ไม่ใช่สำหรับทุกคน
ในปี 1908 มีการจัดตั้งรางวัล DM 100,000 สำหรับงานนี้ กองทุนรางวัลนี้ตกเป็นของ Paul Wolfskehl นักอุตสาหกรรมชาวเยอรมัน ผู้ซึ่งตามตำนานเล่าว่ากำลังจะฆ่าตัวตาย แต่ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ถูกพาตัวไปจนทำให้เขาเปลี่ยนใจเกี่ยวกับการตาย ด้วยการถือกำเนิดของการเพิ่มเครื่องจักร และคอมพิวเตอร์ แถบของค่า นเริ่มสูงขึ้นเรื่อย ๆ - มากถึง 617 เมื่อเริ่มสงครามโลกครั้งที่สองมากถึง 4001 ในปี 1954 สูงถึง 125,000 ในปี 1976 ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 20 คอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังที่สุดของห้องปฏิบัติการทางทหารในลอสอาลามอส (นิวเม็กซิโก, สหรัฐอเมริกา) ได้รับการตั้งโปรแกรมเพื่อแก้ปัญหาแฟร์มาต์ในพื้นหลัง (คล้ายกับโหมดรักษาหน้าจอ คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล). ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับค่าที่มีขนาดใหญ่อย่างไม่น่าเชื่อ x, y, zและ นแต่นี่ไม่สามารถเป็นข้อพิสูจน์ที่เข้มงวดได้ เนื่องจากค่าใดค่าหนึ่งดังต่อไปนี้ นหรือสามเท่าของจำนวนธรรมชาติสามารถหักล้างทฤษฎีบทโดยรวมได้
ในที่สุดในปี 1994 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, b. 1953) ขณะทำงานที่ Princeton ได้ตีพิมพ์หลักฐานของทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ซึ่งหลังจากการปรับเปลี่ยนบางอย่างถือว่าครบถ้วนสมบูรณ์ หลักฐานดังกล่าวครอบคลุมหน้านิตยสารกว่าร้อยหน้าและใช้อุปกรณ์ที่ทันสมัย คณิตศาสตร์ชั้นสูงซึ่งไม่ได้รับการพัฒนาในสมัยของแฟร์มาต์ แล้วแฟร์มาต์หมายความว่าอย่างไรโดยทิ้งข้อความไว้ตรงขอบหนังสือที่เขาพบข้อพิสูจน์ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่ฉันคุยด้วยในเรื่องนี้ได้ชี้ให้เห็นว่าตลอดหลายศตวรรษที่ผ่านมา มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ที่ไม่ถูกต้องมากพอ และมีแนวโน้มว่าแฟร์มาต์เองก็พบข้อพิสูจน์ที่คล้ายกันแต่ไม่เห็นข้อผิดพลาดใน มัน. อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ว่ายังมีข้อพิสูจน์ที่สั้นและสง่างามของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งยังไม่มีใครค้นพบ มีเพียงสิ่งเดียวเท่านั้นที่สามารถพูดได้อย่างมั่นใจ: วันนี้เรารู้แน่ว่าทฤษฎีบทนี้เป็นความจริง ฉันคิดว่านักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะเห็นด้วยกับแอนดรูว์ ไวลส์ ผู้ซึ่งตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับข้อพิสูจน์ของเขาว่า "ในที่สุด จิตใจฉันก็สงบแล้ว"
คนอิจฉาอ้างว่านักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Pierre Fermat ป้อนชื่อของเขาในประวัติศาสตร์ด้วยวลีเพียงคำเดียว ที่ขอบของต้นฉบับที่มีการกำหนดทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงในปี 1637 เขาจดบันทึก: "ฉันพบวิธีแก้ปัญหาที่น่าอัศจรรย์ แต่ไม่มีที่ว่างพอที่จะใส่มัน" จากนั้นการแข่งขันทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งก็เริ่มต้นขึ้นพร้อมกับนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นกองทัพมือสมัครเล่นเข้าร่วม
ความร้ายกาจของปัญหาของแฟร์มาต์คืออะไร? เมื่อมองแวบแรก แม้แต่เด็กนักเรียนก็ชัดเจน
มันขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดี: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา: x 2 + y 2 \u003d z 2 แฟร์มาต์แย้งว่าสมการที่มีกำลังมากกว่าสองไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
มันจะดูเหมือนง่าย ยื่นมือออกไปและนี่คือคำตอบ ไม่น่าแปลกใจที่สถานศึกษา ประเทศต่างๆ, สถาบันวิทยาศาสตร์แม้แต่กองบรรณาธิการหนังสือพิมพ์ก็ยังเต็มไปด้วยหลักฐานนับหมื่น จำนวนของพวกเขาไม่เคยปรากฏมาก่อน รองจากโครงการ "เครื่องจักรเคลื่อนที่ถาวร" เท่านั้น แต่ถ้าวิทยาศาสตร์จริงจังไม่ได้พิจารณาความคิดบ้าๆ เหล่านี้มาเป็นเวลานาน ผลงานของ "นักปฏิรูป" ก็กำลังศึกษาอย่างตรงไปตรงมาและสนใจ และอนิจจาพบข้อผิดพลาด ว่ากันว่าเป็นเวลานานกว่าสามศตวรรษแล้วที่สุสานทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดของการแก้ปัญหาของทฤษฎีบทได้ถูกสร้างขึ้น
ไม่น่าแปลกใจที่พวกเขาพูดว่า: ข้อศอกอยู่ใกล้ แต่คุณจะไม่กัด หลายปี หลายสิบปี หลายศตวรรษผ่านไป และปัญหาของแฟร์มาต์ก็ดูน่าประหลาดใจและน่าดึงดูดมากขึ้นเรื่อยๆ ดูเหมือนว่าจะไม่โอ้อวด แต่กลับกลายเป็นว่ายากเกินไปสำหรับความก้าวหน้าที่สร้างกล้ามเนื้ออย่างรวดเร็ว มนุษย์ได้แยกอะตอม ไปถึงยีน เหยียบดวงจันทร์ แต่แฟร์มาต์ไม่ยอมแพ้ ยังคงกวักมือเรียกลูกหลานของเขาต่อไปด้วยความหวังที่ผิดๆ
อย่างไรก็ตาม ความพยายามที่จะเอาชนะจุดสุดยอดทางวิทยาศาสตร์ไม่ได้ไร้ประโยชน์ ขั้นตอนแรกดำเนินการโดยออยเลอร์ผู้ยิ่งใหญ่เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทในระดับที่สี่จากนั้นเป็นขั้นที่สาม ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 Ernst Kummer ชาวเยอรมันทำให้จำนวนองศาเป็นหนึ่งร้อย ในที่สุด นักวิทยาศาสตร์ติดอาวุธด้วยคอมพิวเตอร์ ได้เพิ่มตัวเลขนี้เป็น 100,000 แต่แฟร์มาต์พูดถึงทุกองศา นั่นคือประเด็นทั้งหมด
แน่นอน นักวิทยาศาสตร์ต้องทนทุกข์ทรมานจากงานนี้ ไม่ใช่เพราะความสนใจด้านกีฬา นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง David Hilbert กล่าวว่าทฤษฎีบทเป็นตัวอย่างของปัญหาที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญสามารถส่งผลกระทบอย่างใหญ่หลวงต่อวิทยาศาสตร์ได้อย่างไร นักวิทยาศาสตร์ได้เปิดขอบเขตทางคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น วางรากฐานของทฤษฎีจำนวน พีชคณิต และทฤษฎีฟังก์ชัน
แต่ทว่าทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ก็ถูกทำให้สงบลงในปี 1995 วิธีแก้ปัญหาของเธอถูกนำเสนอโดยชาวอเมริกันจากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน แอนดรูว์ ไวลส์ และเป็นที่ยอมรับอย่างเป็นทางการจากชุมชนวิทยาศาสตร์ เขาสละชีวิตมากกว่าเจ็ดปีเพื่อค้นหาข้อพิสูจน์ นักวิทยาศาสตร์กล่าวว่าสิ่งนี้ ผลงานเด่นรวบรวมผลงานของนักคณิตศาสตร์หลายคน ฟื้นฟูความเชื่อมโยงที่หายไประหว่างส่วนต่างๆ
ดังนั้นการประชุมสุดยอดจึงเกิดขึ้นและวิทยาศาสตร์ได้รับคำตอบ - เลขานุการวิทยาศาสตร์ของภาควิชาคณิตศาสตร์ของ Russian Academy of Sciences ดุษฎีบัณฑิตสาขาวิทยาศาสตร์เทคนิค Yuri Vishnyakov บอกกับผู้สื่อข่าว RG - ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว แม้ว่าจะไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด ตามที่แฟร์มาต์เองก็ยืนยัน และตอนนี้ผู้ที่ต้องการสามารถพิมพ์เวอร์ชันของตนเองได้
อย่างไรก็ตาม ตระกูล "fermist" จะไม่ยอมรับการพิสูจน์ของ Wiles เลย ไม่ พวกเขาไม่ได้หักล้างการตัดสินใจของชาวอเมริกัน เพราะมันซับซ้อนมาก ดังนั้นจึงเข้าใจได้เฉพาะกับผู้เชี่ยวชาญในวงแคบเท่านั้น แต่ไม่มีสัปดาห์ใดที่ผ่านไปโดยปราศจากการเปิดเผยครั้งใหม่ของผู้สนใจคนอื่นที่ปรากฎบนอินเทอร์เน็ต "ในที่สุดก็ยุติมหากาพย์ระยะยาว"
เมื่อวานนี้ Vsevolod Yarosh หนึ่งใน "fermists" ที่เก่าแก่ที่สุดในประเทศของเราเรียกว่ากองบรรณาธิการของ "RG": "คุณรู้หรือไม่ว่าฉันพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ก่อน Wiles ยิ่งกว่านั้นในภายหลังฉันพบข้อผิดพลาด ในตัวเขาซึ่งฉันเขียนถึงนักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นของเราถึงนักวิชาการ Arnold พร้อมขอให้เผยแพร่เกี่ยวกับเรื่องนี้ใน วารสารวิทยาศาสตร์. ตอนนี้ฉันกำลังรอคำตอบ ฉันตอบข้อความในโอกาสนี้กับ French Academy of Sciences
และตอนนี้ตามรายงานของสื่อหลายสำนักว่าด้วย "พระคุณแสง ทรงเผย ความลับสุดยอดคณิตศาสตร์" ผู้ที่ชื่นชอบอีกคนหนึ่งคืออดีตนักออกแบบทั่วไปของซอฟต์แวร์ Polet จาก Omsk, Doctor of Technical Sciences Alexander Ilyin วิธีแก้ปัญหานั้นง่ายและสั้นมากจนพอดีกับส่วนเล็ก ๆ ของพื้นที่หนังสือพิมพ์ของหนึ่งใน สิ่งพิมพ์กลาง
บรรณาธิการของ "RG" หันไปหาสถาบันคณิตศาสตร์ชั้นนำของประเทศ Steklov RAS พร้อมคำขอเพื่อประเมินโซลูชันนี้ นักวิทยาศาสตร์ถูกจัดหมวดหมู่: คุณไม่สามารถแสดงความคิดเห็นในสิ่งพิมพ์ทางหนังสือพิมพ์ แต่หลังจากโน้มน้าวใจกันมากและคำนึงถึงความสนใจที่เพิ่มขึ้นในปัญหาที่มีชื่อเสียง พวกเขาก็เห็นด้วย ตามรายงานดังกล่าว มีข้อผิดพลาดพื้นฐานหลายประการในหลักฐานที่เผยแพร่ อีกอย่าง แม้แต่นักศึกษาคณะคณิตศาสตร์ก็ยังสังเกตได้
และบรรณาธิการต้องการรับข้อมูลโดยตรง นอกจากนี้ เมื่อวานนี้ที่ Academy of Aviation and Aeronautics Ilyin ควรจะนำเสนอหลักฐานของเขา อย่างไรก็ตาม ปรากฏว่ามีคนเพียงไม่กี่คนที่รู้เกี่ยวกับสถาบันการศึกษาดังกล่าว และเมื่อถึงกระนั้นด้วยความยากลำบากอย่างมากก็สามารถหาหมายเลขโทรศัพท์ของเลขานุการวิทยาศาสตร์ขององค์กรนี้ได้แล้วเมื่อปรากฏว่าเขาไม่สงสัยด้วยซ้ำว่าจะมีเหตุการณ์ทางประวัติศาสตร์เกิดขึ้นที่นั่น กล่าวโดยสรุป ผู้สื่อข่าวของ "อาร์จี" ไม่ประสบความสำเร็จในการเป็นสักขีพยานต่อความรู้สึกของโลก
ข่าววิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
UDC 51:37;517.958
เอ.วี. โคนอฟโก, Ph.D.
Academy of the State Fire Service EMERCOM แห่งรัสเซีย ฟาร์มทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ได้รับการพิสูจน์แล้ว หรือไม่?
เป็นเวลาหลายศตวรรษมาแล้วที่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าสมการ xn+yn=zn สำหรับ n>2 ไม่สามารถแก้ไขได้ในเชิงตรรกยะ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นจำนวนเต็ม ปัญหานี้เกิดขึ้นภายใต้การประพันธ์ของนักกฎหมายชาวฝรั่งเศส Pierre Fermat ซึ่งในขณะเดียวกันก็ทำงานด้านคณิตศาสตร์อย่างมืออาชีพ วิธีแก้ปัญหาของเธอมอบให้กับครูสอนคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน แอนดรูว์ ไวลส์ การรับรู้นี้กินเวลาตั้งแต่ปี 2536 ถึง 2538
ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ของ FERMA ได้รับการพิสูจน์แล้ว หรือไม่?
พิจารณาประวัติศาสตร์อันน่าทึ่งของการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แล้ว ใช้เวลาเกือบสี่ร้อยปี ปิแอร์ แฟร์มาต์เขียนเพียงเล็กน้อย เขาเขียนในรูปแบบบีบอัด นอกจากนี้ เขาไม่ได้ตีพิมพ์งานวิจัยของเขา ประโยคที่ว่า xn+yn=zn แก้ไม่ได้ในชุด ของจำนวนตรรกยะและจำนวนเต็มถ้า n>2 ถูกเข้าร่วมโดยความเห็นของแฟร์มาต์ ว่าเขาได้พบการพิสูจน์ข้อความนี้ที่น่าทึ่งจริงๆ ลูกหลานไม่สามารถเข้าถึงได้โดยการพิสูจน์นี้ ภายหลังข้อความนี้ถูกเรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ นักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดของโลกได้ทำลายทวนเหนือทฤษฎีบทนี้โดยไม่มีผลลัพธ์ ในช่วงอายุเจ็ดสิบ Andre Veil นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสของ Paris Academy of Sciences Andre Veil ได้วางแนวทางใหม่ในการแก้ปัญหาดังกล่าว เมื่อวันที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 ที่การประชุมทฤษฎีตัวเลขในเคมบริดจ์ นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน แอนดรูว์ ไวต์ส ประกาศว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้ว อย่างไรก็ตาม มันเป็นช่วงเริ่มต้นของชัยชนะ
ในปี ค.ศ. 1621 นักเขียนและนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Claude Gaspard Basche de Meziriac ได้ตีพิมพ์บทความภาษากรีกของ Diophantus' Arithmetic พร้อมการแปลภาษาละตินและข้อคิดเห็น หรูหราด้วยระยะขอบกว้างผิดปกติ "เลขคณิต" ตกไปอยู่ในมือของแฟร์มาต์อายุยี่สิบปีและเป็นเวลาหลายปีที่กลายเป็นของเขา หนังสือโต๊ะ. ที่ขอบกระดาษ เขาได้ทิ้งข้อสังเกต 48 เรื่องซึ่งมีข้อเท็จจริงที่เขาค้นพบเกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลข ที่นี่ บนขอบของเลขคณิต ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ได้รับการกำหนดขึ้น: "เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกลูกบาศก์ออกเป็นสองลูกบาศก์ หรือรูปสี่เหลี่ยมสองส่วนเป็นสองส่วนที่มีสองส่วน หรือโดยทั่วไปแล้ว กำลังที่มากกว่าสอง ให้เป็นสองกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน ฉันพบว่านี่เป็นข้อพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริง เนื่องจากพื้นที่ไม่เพียงพอจึงไม่สามารถเข้ากับสาขาเหล่านี้ได้ อย่างไรก็ตามในภาษาละตินดูเหมือนว่า: "Cubum autem ใน duos cubos, auto-quadratum ใน duos quadrato-quadratos และอื่น ๆ nullam ใน infinitum ultra quadratum potestatem ใน duas ejusdem nominis fas est dividere; คูจุส เรย์ สาธิตเอม มิราบิเลม มีเหตุผล เดเทซี Hanc marginis exiguitas non caperet.
นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ ปิแอร์ แฟร์มาต์ (ค.ศ. 1601-1665) ได้พัฒนาวิธีการกำหนดพื้นที่และปริมาตร สร้างวิธีการใหม่ของแทนเจนต์และเอ็กซ์เทรมา ร่วมกับ Descartes เขากลายเป็นผู้สร้างเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ร่วมกับ Pascal เขายืนอยู่ที่จุดกำเนิดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ในด้านของวิธีการที่น้อยที่สุด เขาได้ให้กฎทั่วไปสำหรับการสร้างความแตกต่างและพิสูจน์ในแง่ทั่วไปกฎสำหรับการรวมฟังก์ชันกำลัง ... แต่ที่สำคัญที่สุด เรื่องลึกลับและน่าทึ่งเรื่องหนึ่งที่สำคัญที่สุดที่เคยทำให้คณิตศาสตร์ตกตะลึง นั่นคือเรื่องราวการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ตอนนี้ทฤษฎีบทนี้แสดงในรูปแบบของคำสั่งง่ายๆ: สมการ xn + yn = zn สำหรับ n>2 ไม่สามารถแก้ไขได้ในเชิงเหตุผลและเป็นจำนวนเต็มด้วยเหตุนี้ อย่างไรก็ตาม สำหรับกรณีที่ n = 3 นักคณิตศาสตร์ชาวเอเชียกลาง Al-Khojandi พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในศตวรรษที่ 10 แต่หลักฐานของเขายังไม่ได้รับการเก็บรักษาไว้
ปิแอร์ แฟร์มาต์เป็นชาวฝรั่งเศสทางตอนใต้ ได้รับปริญญาด้านกฎหมาย และตั้งแต่ปี ค.ศ. 1631 เป็นที่ปรึกษารัฐสภาของเมืองตูลูส (กล่าวคือ ศาลสูงสุด) หลังจากวันทำงานภายในกำแพงรัฐสภา เขาเริ่มเรียนวิชาคณิตศาสตร์และกระโจนเข้าสู่โลกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงในทันที เงิน, ศักดิ์ศรี, การยอมรับจากสาธารณชน - ทั้งหมดนี้ไม่สำคัญสำหรับเขา วิทยาศาสตร์ไม่เคยกลายเป็นรายได้สำหรับเขา ไม่กลายเป็นงานฝีมือ เหลือเพียงเกมที่น่าตื่นเต้นในใจเสมอ เข้าใจได้เฉพาะกับคนไม่กี่คนเท่านั้น กับพวกเขาเขาดำเนินการในจดหมายของเขา
ฟาร์มไม่เคยเขียน งานวิทยาศาสตร์ในความรู้สึกปกติของเรา และในการติดต่อกับเพื่อนๆ มักมีความท้าทายอยู่เสมอ แม้แต่การยั่วยุแบบใดแบบหนึ่ง และไม่เคยนำเสนอปัญหาทางวิชาการเกี่ยวกับปัญหาและแนวทางแก้ไขเลย ดังนั้น จดหมายหลายฉบับของเขาจึงกลายเป็นที่รู้จักในนาม: ความท้าทาย
บางทีนั่นอาจเป็นเหตุผลว่าทำไมเขาถึงไม่เคยตระหนักถึงความตั้งใจที่จะเขียนบทความพิเศษเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน และในขณะเดียวกันก็เป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่เขาโปรดปราน สำหรับเธอแล้ว Fermat ได้อุทิศจดหมายที่ได้รับแรงบันดาลใจมากที่สุด เขาเขียนว่า “เลขคณิต” เขาเขียนว่า “มีสนามเป็นของตัวเอง ทฤษฎีจำนวนเต็ม ทฤษฎีนี้ถูก Euclid สัมผัสได้เพียงเล็กน้อยเท่านั้นและไม่ได้พัฒนาอย่างเพียงพอโดยผู้ติดตามของเขา (เว้นแต่จะมีอยู่ในผลงานของ Diophantus ซึ่งเรามี ถูกลิดรอนไปตามกาลเวลา) เลขคณิตจึงต้องพัฒนาใหม่"
ทำไมแฟร์มาต์เองก็ไม่กลัวการทำลายล้างของเวลา? เขาเขียนเพียงเล็กน้อยและกระชับมากเสมอ แต่ที่สำคัญที่สุด เขาไม่ได้เผยแพร่ผลงานของเขา ในช่วงชีวิตของเขา พวกเขาเผยแพร่ในรูปแบบต้นฉบับเท่านั้น จึงไม่น่าแปลกใจที่ผลลัพธ์ของแฟร์มาต์เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนได้ลงมาสู่เราในรูปแบบที่กระจัดกระจาย แต่ Bulgakov อาจพูดถูก: ต้นฉบับที่ยอดเยี่ยมไม่ไหม้! งานของแฟร์มาต์ยังคงอยู่ พวกเขายังคงอยู่ในจดหมายของเขาถึงเพื่อนของเขา: ครูสอนคณิตศาสตร์ลียง Jacques de Billy พนักงานมินต์ Bernard Frenickel de Bessy, Marsennis, Descartes, Blaise Pascal ... "เลขคณิต" ของ Diophantus ยังคงอยู่กับคำพูดของเขาที่ระยะขอบซึ่งหลังจากการตายของ Fermat ร่วมกับความคิดเห็นของ Basche ใน Diophantus ฉบับใหม่ ซึ่งจัดพิมพ์โดย Samuel ลูกชายคนโตในปี 1670 เฉพาะหลักฐานเท่านั้นที่ไม่ได้รับการเก็บรักษาไว้
สองปีก่อนที่เขาจะเสียชีวิต Fermat ส่งจดหมายพินัยกรรมให้เพื่อนของเขา Karkavy ซึ่งเข้าสู่ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ภายใต้ชื่อ "บทสรุปของผลลัพธ์ใหม่ในศาสตร์แห่งตัวเลข" ในจดหมายฉบับนี้ แฟร์มาต์ได้พิสูจน์คำกล่าวที่มีชื่อเสียงของเขาสำหรับกรณีที่ n = 4 แต่แล้วเขาก็มักจะไม่สนใจในคำแถลงนั้นเอง แต่ในวิธีการพิสูจน์ที่ค้นพบโดยตัวเขาเอง ซึ่งแฟร์มาต์เรียกตัวเองว่าไม่มีขอบเขตหรือสืบเชื้อสายไม่แน่นอน
ต้นฉบับไม่ไหม้ แต่ถ้าไม่ใช่เพื่อการอุทิศของซามูเอล ผู้ซึ่งรวบรวมภาพสเก็ตช์ทางคณิตศาสตร์และบทความเล็กๆ น้อยๆ ทั้งหมดหลังจากการตายของพ่อของเขา แล้วจึงตีพิมพ์ในปี 1679 ภายใต้ชื่อ “งานคณิตศาสตร์เบ็ดเตล็ด” นักคณิตศาสตร์ที่เรียนรู้คงจะต้องค้นพบ และค้นพบใหม่มากมาย แต่แม้กระทั่งหลังจากตีพิมพ์ ปัญหาของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ก็อยู่เฉยๆ นานกว่าเจ็ดสิบปี และนี่ก็ไม่น่าแปลกใจ ในรูปแบบที่พวกเขาปรากฏในสื่อ ผลลัพธ์ทางทฤษฎีจำนวน P. Fermat ปรากฏขึ้นต่อหน้าผู้เชี่ยวชาญในรูปแบบของปัญหาร้ายแรง ห่างไกลจากความชัดเจนเสมอไปจนถึงโคตรโดยแทบไม่มีหลักฐานและข้อบ่งชี้ถึงความเชื่อมโยงเชิงตรรกะภายในระหว่างพวกเขา บางทีหากไม่มีทฤษฎีที่คิดร่วมกันและคิดมาอย่างดี อาจเป็นคำตอบสำหรับคำถามที่ว่าทำไมแฟร์มาต์เองก็ไม่ได้ตั้งใจจะตีพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน เจ็ดสิบปีต่อมา แอล. ออยเลอร์เริ่มสนใจงานเหล่านี้ และนี่เป็นการกำเนิดครั้งที่สองของพวกเขาอย่างแท้จริง...
คณิตศาสตร์ได้จ่ายเงินมหาศาลสำหรับลักษณะพิเศษของแฟร์มาต์ในการนำเสนอผลงานของเขา ราวกับว่าจงใจละเลยการพิสูจน์ของพวกเขา แต่ถ้าแฟร์มาต์อ้างว่าเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้หรือทฤษฎีบทนั้นแล้ว ต่อมาก็จำเป็นต้องพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในภายหลัง อย่างไรก็ตาม มีการผูกปมกับทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่
ความลึกลับมักจะกระตุ้นจินตนาการ ทั้งทวีปถูกพิชิตด้วยรอยยิ้มอันลึกลับของโมนาลิซ่า ทฤษฎีสัมพัทธภาพซึ่งเป็นกุญแจสู่ความลึกลับของการเชื่อมต่อระหว่างกาลอวกาศได้กลายเป็นที่นิยมมากที่สุด ทฤษฎีฟิสิกส์ศตวรรษ. และเราสามารถพูดได้อย่างปลอดภัยว่าไม่มีปัญหาทางคณิตศาสตร์อื่นใดที่จะได้รับความนิยมเท่ากับที่เคยเป็น __93
ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และการศึกษาของการคุ้มครองทางแพ่ง
ซึ่งทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ความพยายามที่จะพิสูจน์มันนำไปสู่การสร้างสาขาคณิตศาสตร์ที่กว้างขวาง - ทฤษฎีของตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต แต่ (อนิจจา!) ทฤษฎีบทเองยังไม่ได้รับการพิสูจน์ ในปี 1908 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Wolfskel มอบคะแนน 100,000 คะแนนให้กับทุกคนที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ มันเป็นผลรวมมหาศาลสำหรับครั้งนั้น! ในช่วงเวลาหนึ่งมันเป็นไปได้ที่จะกลายเป็นไม่เพียง แต่มีชื่อเสียง แต่ยังร่ำรวยอย่างเหลือเชื่อ! จึงไม่น่าแปลกใจที่เด็กนักเรียนในรัสเซียซึ่งอยู่ห่างไกลจากเยอรมนีซึ่งแข่งขันกันเร่งรีบเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับนักคณิตศาสตร์มืออาชีพได้บ้าง! แต่ ... เปล่าประโยชน์! หลังสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง เงินก็อ่อนค่าลง และกระแสจดหมายที่มีหลักฐานหลอกเริ่มแห้งเหือด แม้ว่าแน่นอนว่าไม่เคยหยุดนิ่งเลย ว่ากันว่านักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้โด่งดัง Edmund Landau ได้เตรียมแบบฟอร์มการพิมพ์เพื่อแจกจ่ายให้กับผู้เขียนการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: "มีข้อผิดพลาดในหน้า ... ในบรรทัด ... มีข้อผิดพลาด" (ได้รับมอบหมายให้ผู้ช่วยศาสตราจารย์ค้นหาข้อผิดพลาด) มีความอยากรู้อยากเห็นและเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยมากมายที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ที่ใคร ๆ ก็สามารถสร้างหนังสือจากพวกเขาได้ เกร็ดเล็กเกร็ดน้อยล่าสุดดูเหมือน "ความบังเอิญ" ของนักสืบ A. Marinina ซึ่งถ่ายทำและส่งต่อทางจอโทรทัศน์ของประเทศเมื่อเดือนมกราคม 2000 ในนั้น เพื่อนร่วมชาติของเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ผู้บุกเบิกรุ่นก่อนๆ ของเขาไม่ได้พิสูจน์ และอ้างว่าได้รับรางวัลโนเบลสำหรับทฤษฎีบทนี้ อย่างที่คุณทราบ ผู้ประดิษฐ์ไดนาไมต์ไม่สนใจนักคณิตศาสตร์ในความประสงค์ของเขา ดังนั้นผู้เขียนการพิสูจน์จึงสามารถอ้างสิทธิ์ได้เพียงเหรียญทอง Fields ซึ่งเป็นรางวัลระดับนานาชาติสูงสุดที่นักคณิตศาสตร์รับรองในปี 1936
ในงานคลาสสิกของ A.Ya นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียที่โดดเด่น Khinchin อุทิศให้กับทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ ให้ข้อมูลเกี่ยวกับประวัติของปัญหานี้ และให้ความสนใจกับวิธีการที่แฟร์มาต์สามารถใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขา มีหลักฐานสำหรับกรณี n = 4 และ รีวิวสั้นๆผลลัพธ์ที่สำคัญอื่นๆ
แต่เมื่อถึงเวลาที่เรื่องราวนักสืบถูกเขียนขึ้น และยิ่งกว่านั้น เมื่อถึงเวลาถ่ายทำ หลักฐานทั่วไปของทฤษฎีบทก็ถูกค้นพบแล้ว เมื่อวันที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 แอนดรูว์ ไวลส์ นักคณิตศาสตร์ของพรินซ์ตัน ที่การประชุมเรื่องทฤษฎีจำนวนในเมืองเคมบริดจ์ ได้ประกาศว่าได้รับข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แล้ว แต่ไม่ใช่อย่างที่ "สัญญา" โดยแฟร์มาต์เอง เส้นทางที่แอนดรูว์ ไวลส์ใช้นั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการทางคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา เขามีส่วนร่วมในทฤษฎีที่เรียกว่าเส้นโค้งวงรี
เพื่อให้ได้แนวคิดของเส้นโค้งวงรี จำเป็นต้องพิจารณาเส้นโค้งระนาบที่กำหนดโดยสมการของดีกรีที่สาม
Y(x, y) = a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 = 0. (1)
เส้นโค้งดังกล่าวทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองคลาส ชั้นหนึ่งรวมถึงเส้นโค้งเหล่านั้นที่มียอด (เช่น พาราโบลาเซมิคิวบิก y2 = a2-X ที่มีจุดยอด (0; 0)) จุดตัดกัน (เช่น ชีตคาร์ทีเซียน x3 + y3-3axy = 0 ที่จุด (0; 0)) เช่นเดียวกับเส้นโค้งที่พหุนามขวาน y) ถูกแสดงในรูปแบบ
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
โดยที่ ^(x, y) และ ^(x, y) เป็นพหุนามที่มีองศาน้อยกว่า เส้นโค้งของชั้นนี้เรียกว่าเส้นโค้งที่เสื่อมโทรมของดีกรีที่สาม เส้นโค้งชั้นที่สองเกิดขึ้นจากเส้นโค้งที่ไม่เสื่อมสภาพ เราจะเรียกพวกมันว่าวงรี ซึ่งรวมถึงตัวอย่างเช่น Curl Agnesi (x2 + a2)y - a3 = 0) หากสัมประสิทธิ์ของพหุนาม (1) เป็นจำนวนตรรกยะ เส้นโค้งวงรีสามารถเปลี่ยนเป็นรูปแบบบัญญัติที่เรียกว่ารูปแบบบัญญัติได้
y2 = x3 + ขวาน + b (2)
ในปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น Y. Taniyama (1927-1958) ภายใต้กรอบของทฤษฎีเส้นโค้งวงรี ประสบความสำเร็จในการกำหนดสมมติฐานที่ปูทางสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ แต่แล้วทั้งทานิยามะและเพื่อนร่วมงานก็ไม่สงสัยในเรื่องนี้ เกือบยี่สิบปีที่ผ่านมาสมมติฐานนี้ไม่ได้รับความสนใจอย่างจริงจังและกลายเป็นที่นิยมในช่วงกลางทศวรรษ 1970 เท่านั้น ตามการคาดเดาของทานิยามะ วงรีใดๆ ก็ตาม
เส้นโค้งที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นตรรกยะเป็นแบบแยกส่วน อย่างไรก็ตาม จนถึงตอนนี้ การกำหนดสมมติฐานไม่ได้บอกผู้อ่านที่พิถีพิถันเพียงเล็กน้อย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีคำจำกัดความบางประการ
เส้นโค้งวงรีแต่ละเส้นสามารถเชื่อมโยงกับค่าสำคัญได้ ลักษณะเชิงตัวเลขเป็นการเลือกปฏิบัติ สำหรับเส้นโค้งที่กำหนดในรูปแบบบัญญัติ (2) การเลือกปฏิบัติ A ถูกกำหนดโดยสูตร
A \u003d - (4a + 27b2)
ให้ E เป็นเส้นโค้งวงรีที่กำหนดโดยสมการ (2) โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม
สำหรับจำนวนเฉพาะ p ให้พิจารณาการเปรียบเทียบ
y2 = x3 + ขวาน + b(mod p), (3)
โดยที่ a และ b คือเศษที่เหลือหลังจากการหารจำนวนเต็ม a และ b ด้วย p และแสดงด้วย np จำนวนของคำตอบของความสอดคล้องนี้ ตัวเลข pr มีประโยชน์มากในการศึกษาคำถามเกี่ยวกับการแก้สมการของรูปแบบ (2) ในจำนวนเต็ม: ถ้า pr บางตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ สมการ (2) จะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม สามารถคำนวณตัวเลข pr ได้เฉพาะในกรณีที่หายากที่สุดเท่านั้น (ในขณะเดียวกันก็รู้ว่า p-n|< 2Vp (теоремаХассе)).
พิจารณาจำนวนเฉพาะ p เหล่านั้นที่แบ่งการจำแนก A ของเส้นโค้งวงรี (2) สามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับ p ดังกล่าว พหุนาม x3 + ax + b สามารถเขียนได้สองวิธี:
x3 + ขวาน + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)
x3 + ขวาน + b = (x + y)3 (mod p),
โดยที่ a, ß, y คือเศษที่เหลือหลังจากหารด้วย p ถ้าสำหรับไพรม์ p ทั้งหมดที่หารดิสคริมิแนนต์ของเส้นโค้ง ความเป็นไปได้ข้อแรกจากสองค่าที่ระบุได้เกิดขึ้นแล้ว เส้นโค้งวงรีจะถือว่ากึ่งเสถียร
จำนวนเฉพาะที่แบ่งตัวจำแนกประเภทสามารถรวมกันเป็นตัวนำเส้นโค้งวงรีที่เรียกว่า ถ้า E เป็นเส้นโค้งกึ่งเสถียร ตัวนำ N จะได้รับจากสูตร
โดยที่สำหรับจำนวนเฉพาะทั้งหมด p > 5 การหาร A เลขชี้กำลัง eP เท่ากับ 1 เลขชี้กำลัง 82 และ 83 คำนวณโดยใช้อัลกอริธึมพิเศษ
โดยพื้นฐานแล้ว นี่คือทั้งหมดที่จำเป็นในการทำความเข้าใจแก่นแท้ของการพิสูจน์ อย่างไรก็ตาม การคาดเดาของทานิยามะประกอบด้วยความยาก และในกรณีของเรา แนวคิดหลักของโมดูลาร์ ดังนั้น ให้ลืมเกี่ยวกับเส้นโค้งวงรีไปชั่วขณะหนึ่งแล้วพิจารณาฟังก์ชันวิเคราะห์ f (นั่นคือ ฟังก์ชันที่สามารถแทนด้วยอนุกรมกำลังได้) ของอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน z ที่ให้ไว้ในระนาบครึ่งบน
แทนด้วย H ระนาบครึ่งบนที่ซับซ้อน ให้ N เป็นจำนวนธรรมชาติ และ k เป็นจำนวนเต็ม รูปแบบพาราโบลาแบบโมดูลของน้ำหนัก k ของระดับ N คือฟังก์ชันการวิเคราะห์ f(z) ที่กำหนดไว้ในระนาบครึ่งบนและเป็นไปตามความสัมพันธ์
f = (cz + d)kf (z) (5)
สำหรับจำนวนเต็ม a, b, c, d ใด ๆ ที่ ae - bc = 1 และ c หารด้วย N ลงตัว นอกจากนี้ยังถือว่า
ลิม f (r + มัน) = 0,
โดยที่ r เป็นจำนวนตรรกยะ และว่า
ช่องว่างของรูปแบบ cusp แบบแยกส่วนของน้ำหนัก k ของระดับ N แสดงด้วย Sk(N) แสดงว่ามีมิติจำกัด
ต่อไปนี้ เราจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับน้ำหนักแบบแยกส่วนแบบแยกส่วน 2 สำหรับ N ขนาดเล็ก ขนาดของช่องว่าง S2(N) จะแสดงในตารางที่ 1 1. โดยเฉพาะ
ขนาดพื้นที่ S2(N)
ตารางที่ 1
นู๋<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
เป็นไปตามเงื่อนไข (5) ที่ % + 1) = สำหรับแต่ละรูปแบบ f ∈ S2(N) ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันคาบ ฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงเป็น
เราเรียกรูปแบบ cusp แบบแยกส่วน A^) ใน S2(N) ที่เหมาะสมหากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มที่ตอบสนองความสัมพันธ์:
a r ■ a = a r+1 ■ p ■ c r_1 สำหรับ p ธรรมดาที่ไม่หารจำนวน N; (แปด)
(ap) สำหรับไพรม์ p หาร N;
atp = ที่ a if (m, n) = 1
ตอนนี้เรากำหนดนิยามที่มีบทบาทสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ เส้นโค้งวงรีที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นเหตุเป็นผลและตัวนำ N เรียกว่าโมดูลาร์ถ้ามีรูปแบบลักษณะเฉพาะดังกล่าว
f(z) = ^anq" ก. S2(N),
นั่น ap = p - pr สำหรับไพรม์เกือบทั้งหมด p โดยที่ np คือจำนวนคำตอบของการเปรียบเทียบ (3)
เป็นการยากที่จะเชื่อในการมีอยู่ของเส้นโค้งดังกล่าวอย่างน้อยหนึ่งเส้น ค่อนข้างยากที่จะจินตนาการว่ามีฟังก์ชัน A(r) ที่ตรงตามข้อจำกัดที่เข้มงวดที่ระบุไว้ (5) และ (8) ซึ่งจะขยายเป็นอนุกรม (7) ซึ่งสัมประสิทธิ์จะสัมพันธ์กับตัวเลข Pr ที่คำนวณไม่ได้ในทางปฏิบัติ ค่อนข้างยาก แต่สมมติฐานที่ชัดเจนของทานิยามะไม่ได้ทำให้เกิดคำถามถึงข้อเท็จจริงของการมีอยู่ของมัน และวัสดุเชิงประจักษ์ที่สะสมตามเวลาก็ยืนยันความถูกต้องได้อย่างยอดเยี่ยม หลังจากการลืมเลือนเกือบสมบูรณ์เกือบสองทศวรรษ สมมติฐานของทานิยามะได้รับกระแสตอบรับครั้งที่สองในผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อังเดร ไวล์ สมาชิกของ Paris Academy of Sciences
เกิดในปี 1906 ในที่สุด A. Weyl ก็กลายเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งกลุ่มนักคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการภายใต้นามแฝง N. Bourbaki ตั้งแต่ปี 1958 A. Weil เป็นศาสตราจารย์ที่ Princeton Institute for Advanced Study และการเกิดขึ้นของความสนใจของเขาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตนามธรรมอยู่ในช่วงเวลาเดียวกัน ในวัยเจ็ดสิบ เขาหันไปใช้ฟังก์ชันวงรีและการคาดเดาของทานิยามะ เอกสารเกี่ยวกับฟังก์ชันวงรีได้รับการแปลที่นี่ในรัสเซีย เขาไม่ได้อยู่คนเดียวในความหลงใหลของเขา ในปี 1985 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Gerhard Frei แนะนำว่าหากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นเท็จ นั่นคือหากมีจำนวนเต็มสามเท่า a, b, c ที่ a "+ bn = c" (n > 3) แล้วเส้นโค้งวงรี
y2 \u003d x (x - a") - (x - cn)
ไม่สามารถเป็นแบบแยกส่วนได้ ซึ่งขัดแย้งกับการคาดเดาของทานิยามะ ตัว Frey เองล้มเหลวในการพิสูจน์คำกล่าวนี้ แต่ในไม่ช้านักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Kenneth Ribet ก็ได้รับหลักฐานดังกล่าว กล่าวอีกนัยหนึ่ง Ribet แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นผลมาจากการคาดเดาของทานิยามะ
เขากำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้:
ทฤษฎีบท 1 (ริเบต). ให้ E เป็นเส้นโค้งวงรีโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะที่มีการเลือกปฏิบัติ
และตัวนำ
สมมติว่า E เป็นโมดูลและให้
/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)
คือ eigenform N ระดับที่สอดคล้องกัน เราแก้ไขจำนวนเฉพาะ £ และ
p: eP \u003d 1; - "8 p
แล้วมีรูปพาราโบลา
/(r) = 2 dnqn อี N)
ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มซึ่งความแตกต่างและ - dn หารด้วย I สำหรับ 1 . ทั้งหมด< п<ад.
เป็นที่แน่ชัดว่าหากทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์สำหรับเลขชี้กำลังบางตัว มันก็พิสูจน์แล้วสำหรับเลขชี้กำลังทั้งหมดที่เป็นผลคูณของ n เนื่องจากทุกจำนวนเต็ม n > 2 หารด้วย 4 หรือด้วยจำนวนเฉพาะคี่ เราจึงสามารถจำกัดตัวเองให้อยู่ใน กรณีที่เลขชี้กำลังเป็น 4 หรือเลขจำนวนเฉพาะคี่ สำหรับ n = 4 การพิสูจน์เบื้องต้นของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์นั้นได้มาโดยแฟร์มาต์เองก่อน และจากนั้นโดยออยเลอร์ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะศึกษาสมการ
a1 + b1 = c1, (12)
โดยที่เลขชี้กำลัง I เป็นจำนวนเฉพาะคี่
ตอนนี้สามารถรับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้โดยการคำนวณอย่างง่าย (2)
ทฤษฎีบทที่ 2 การคาดเดาของทานิยามะสำหรับเส้นโค้งวงรีกึ่งเสถียรแสดงถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์
การพิสูจน์. สมมติว่าทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นเท็จ และปล่อยให้มีตัวอย่างแย้งที่สอดคล้องกัน (ดังที่กล่าวข้างต้น ผมเป็นจำนวนเฉพาะคี่) ให้เราใช้ทฤษฎีบท 1 กับเส้นโค้งวงรี
y2 = x (x - ae) (x - c1)
การคำนวณอย่างง่ายแสดงว่าตัวนำของเส้นโค้งนี้ถูกกำหนดโดยสูตร
เปรียบเทียบสูตร (11) และ (13) เราจะเห็นว่า N = 2 ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 จึงมีรูปแบบพาราโบลา
นอนอยู่ในพื้นที่ 82(2). แต่เนื่องจากความสัมพันธ์ (6) พื้นที่นี้จึงเป็นศูนย์ ดังนั้น dn = 0 สำหรับ n ทั้งหมด ในเวลาเดียวกัน a^ = 1 ดังนั้นความแตกต่าง ar - dl = 1 จึงไม่หารด้วย I และเรามาถึงข้อขัดแย้ง ดังนั้นทฤษฎีบทจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบทนี้เป็นกุญแจสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และถึงกระนั้นสมมติฐานก็ยังไม่ได้รับการพิสูจน์
หลังจากประกาศเมื่อวันที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 หลักฐานการคาดเดาของทานิยามะสำหรับเส้นโค้งรูปไข่กึ่งเสถียร ซึ่งรวมถึงเส้นโค้งของแบบฟอร์ม (8) แอนดรูว์ ไวลส์จึงรีบเร่ง นักคณิตศาสตร์ยังเร็วเกินไปที่จะฉลองชัยชนะ
ฤดูร้อนอันอบอุ่นสิ้นสุดลงอย่างรวดเร็ว ฤดูใบไม้ร่วงที่ฝนตกก็ถูกทิ้งไว้ข้างหลัง ฤดูหนาวก็มาถึง Wiles เขียนและเขียนหลักฐานฉบับสุดท้ายใหม่ แต่เพื่อนร่วมงานที่พิถีพิถันพบว่างานของเขามีความไม่ถูกต้องมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น ในต้นเดือนธันวาคม 1993 สองสามวันก่อนที่ต้นฉบับของ Wiles จะออกสู่สื่อ มีการพบช่องว่างร้ายแรงอีกครั้งในหลักฐานของเขา จากนั้นไวลส์ก็ตระหนักว่าในหนึ่งหรือสองวันเขาไม่สามารถแก้ไขอะไรได้อีก สิ่งนี้จำเป็นต้องมีการยกเครื่องครั้งใหญ่ ต้องเลื่อนการตีพิมพ์ผลงานออกไป ไวล์สหันไปขอความช่วยเหลือจากเทย์เลอร์ “งานแก้จุดบกพร่อง” ใช้เวลากว่าหนึ่งปี หลักฐานการคาดเดาของทานิยามะฉบับสุดท้ายที่เขียนโดยไวลส์ร่วมกับเทย์เลอร์ไม่ปรากฏจนกว่าจะถึงฤดูร้อนปี 2538
Wiles ไม่ได้อ้างสิทธิ์ในรางวัลโนเบลซึ่งแตกต่างจากฮีโร่ A. Marinina แต่ถึงกระนั้น ... เขาควรได้รับรางวัลบางอย่าง แค่นั้นเองเหรอ? ในเวลานั้น Wiles อยู่ในวัยห้าสิบแล้วและเหรียญทองของ Fields ได้รับรางวัลอย่างเคร่งครัดจนถึงอายุสี่สิบในขณะที่ยังไม่ผ่านจุดสูงสุดของกิจกรรมสร้างสรรค์ จากนั้นพวกเขาก็ตัดสินใจสร้างรางวัลพิเศษสำหรับ Wiles - Silver Badge of the Fields Committee ป้ายนี้ถูกนำเสนอแก่เขาในการประชุมครั้งต่อไปทางคณิตศาสตร์ในกรุงเบอร์ลิน
ในบรรดาปัญหาทั้งหมดที่มีโอกาสเกิดขึ้นแทน Fermat's Last Theorem ปัญหาการบรรจุลูกบอลที่ใกล้ที่สุดมีโอกาสมากที่สุด ปัญหาของการบรรจุลูกที่ใกล้เคียงที่สุดสามารถกำหนดได้ว่าเป็นปัญหาของวิธีการกองส้มปิรามิดอย่างประหยัดที่สุด นักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์สืบทอดปัญหานี้มาจากโยฮันเนส เคปเลอร์ ปัญหาเกิดขึ้นในปี 1611 เมื่อเคปเลอร์เขียนเรียงความสั้นเรื่อง "On Hexagonal Snowflakes" ความสนใจของเคปเลอร์ในการจัดเรียงและการจัดระเบียบตัวเองของอนุภาคของสสารทำให้เขาต้องหารือเกี่ยวกับปัญหาอื่น - การบรรจุอนุภาคที่หนาแน่นที่สุด ซึ่งพวกมันใช้ปริมาตรที่เล็กที่สุด หากเราคิดว่าอนุภาคอยู่ในรูปทรงกลม ย่อมเป็นที่ชัดเจนว่าไม่ว่าพวกมันจะตั้งอยู่ในอวกาศอย่างไร ช่องว่างก็จะยังคงอยู่ระหว่างกันอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ และคำถามก็คือการลดปริมาตรของช่องว่างให้เหลือน้อยที่สุด ตัวอย่างเช่น ในงานมีการระบุไว้ (แต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์) ว่ารูปร่างดังกล่าวเป็นจัตุรมุข ซึ่งเป็นแกนพิกัดภายในที่กำหนดมุมฉากพื้นฐานที่ 109o28" ไม่ใช่ 90o ปัญหานี้มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับอนุภาคมูลฐาน ฟิสิกส์ ผลึกศาสตร์ และส่วนอื่นๆ ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ
วรรณกรรม
1. Weil A. ฟังก์ชันวงรีตาม Eisenstein และ Kronecker - ม., 2521.
2. Solovyov Yu.P. การคาดเดาของทานิยามะและทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ // วารสารการศึกษาโซรอส - ลำดับที่ 2 - 1998. - ส. 78-95.
3. ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Singh S. Fermat ประวัติความลึกลับที่ครองจิตใจดีที่สุดในโลก 358 ปี / ต่อ จากอังกฤษ. ยูเอ ดานิโลวา. มอสโก: MTsNMO. 2000. - 260 น.
4. Mirmovich E.G. , Usacheva T.V. พีชคณิตของ quaternions และการหมุนสามมิติ // ปัจจุบันวารสารหมายเลข 1(1), 2008. - หน้า 75-80
ประวัติทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์เรื่องใหญ่
ครั้งหนึ่งในรายชื่อผู้รับจดหมายเกี่ยวกับวิธีการทำขนมปังปิ้งฉบับปีใหม่ ฉันได้พูดลวกๆ ว่าเมื่อสิ้นสุดศตวรรษที่ 20 มีเหตุการณ์ยิ่งใหญ่ที่หลายคนไม่สังเกตเห็น - ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็ได้รับการพิสูจน์ในที่สุด ในโอกาสนี้ ท่ามกลางจดหมายที่ฉันได้รับ ฉันพบคำตอบจากเด็กผู้หญิงสองคน (เท่าที่ฉันจำได้ หนึ่งในนั้นคือ Vika นักเรียนป. 9 จาก Zelenograd) ซึ่งรู้สึกประหลาดใจกับข้อเท็จจริงนี้
และฉันรู้สึกประหลาดใจที่สาวๆ สนใจปัญหาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่มากเพียงใด ดังนั้น ฉันคิดว่าไม่เพียงแค่เด็กผู้หญิงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเด็กผู้ชายทุกวัย ตั้งแต่นักเรียนมัธยมไปจนถึงผู้รับบำนาญ ก็จะสนใจที่จะเรียนรู้ประวัติศาสตร์ของทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ด้วยเช่นกัน
การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นเหตุการณ์ที่ยอดเยี่ยม และตั้งแต่ ไม่ใช่เรื่องปกติที่จะล้อเล่นกับคำว่า "ยอดเยี่ยม" สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าผู้พูดที่เคารพตนเองทุกคน (และพวกเราทุกคนเมื่อเราพูดนักพูด) จำเป็นต้องรู้ประวัติของทฤษฎีบท
หากมันเกิดขึ้นโดยที่คุณไม่ชอบคณิตศาสตร์มากเท่าที่ฉันชอบ ให้มองลึกลงไปในรายละเอียดด้วยการชำเลืองมองคร่าวๆ ด้วยความเข้าใจว่าไม่ใช่ผู้อ่านในรายชื่อผู้รับจดหมายของเราทุกคนที่สนใจที่จะท่องไปในโลกแห่งคณิตศาสตร์ ฉันพยายามไม่ให้สูตรใดๆ (ยกเว้นสมการของทฤษฎีบทแฟร์มาต์และสมมติฐานสองสามข้อ) และเพื่อทำให้การครอบคลุมของประเด็นเฉพาะบางประเด็นง่ายขึ้น เช่น ให้มากที่สุด
Fermat ต้มโจ๊กอย่างไร
ทนายชาวฝรั่งเศสและนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่นอกเวลาแห่งศตวรรษที่ 17 ปิแอร์ แฟร์มาต์ (1601-1665) หยิบยกคำกล่าวที่น่าสงสัยอย่างหนึ่งจากสาขาทฤษฎีจำนวน ซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ นี่เป็นหนึ่งในทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงและเป็นปรากฎการณ์มากที่สุด อาจเป็นไปได้ว่าความตื่นเต้นรอบ ๆ ตัวมันจะไม่รุนแรงนักหากในหนังสือ "เลขคณิต" ในหนังสือ Diophantus of Alexandria (คริสต์ศตวรรษที่ 3) ซึ่งแฟร์มาต์มักจะศึกษาโดยจดบันทึกที่ขอบกว้างและซึ่งซามูเอลลูกชายของเขากรุณาเก็บไว้เพื่อลูกหลาน ไม่พบรายการของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่โดยประมาณต่อไปนี้:
"ฉันมีหลักฐานที่น่าตกใจมาก แต่มันใหญ่เกินไปที่จะพอดีกับระยะขอบ"
รายการนี้ทำให้เกิดความสับสนวุ่นวายรอบ ๆ ทฤษฎีบทที่ตามมา
ดังนั้น นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงกล่าวว่าเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาแล้ว ลองถามตัวเองว่า: เขาพิสูจน์ได้จริงหรือว่าเขาโกหก? หรือมีเวอร์ชันอื่นที่อธิบายลักษณะที่ปรากฏของรายการชายขอบที่ไม่อนุญาตให้นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อ ๆ มานอนหลับอย่างสงบสุขหรือไม่?
ประวัติของทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่นั้นน่าหลงใหลราวกับการผจญภัยไปตามกาลเวลา แฟร์มาต์กล่าวไว้ในปี ค.ศ. 1636 ว่าสมการของรูปแบบ x n + y n = z nไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มที่มีเลขชี้กำลัง n>2 นี่คือทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ในสูตรทางคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนง่ายนี้ จักรวาลได้ปิดบังความซับซ้อนที่น่าเหลือเชื่อ Eric Temple Bell นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตชาวสก็อตในหนังสือของเขา The Final Problem (1961) ถึงกับแนะนำว่าบางทีมนุษยชาติอาจจะหยุดดำรงอยู่ก่อนที่มันจะสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้
ค่อนข้างแปลกที่ด้วยเหตุผลบางอย่างทฤษฎีบทมาช้ากว่าปกติเนื่องจากสถานการณ์เกินกำหนดเป็นเวลานานเพราะกรณีพิเศษสำหรับ n = 2 - สูตรทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงอีกสูตรหนึ่ง - ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเกิดขึ้นเมื่อยี่สิบสองศตวรรษก่อนหน้านี้ ต่างจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีคำตอบจำนวนเต็มจำนวนนับไม่ถ้วน ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมพีทาโกรัสเช่น (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15 ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
แกรนด์ทฤษฎีบทซินโดรม
ที่ไม่ได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ นักเรียนที่เพิ่งเกิดใหม่คนใดคิดว่าเป็นหน้าที่ของเขาที่จะนำไปใช้กับทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ แต่ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ ตอนแรกมันไม่ได้ผลเป็นเวลาร้อยปี แล้วอีกร้อย. และต่อไป. นักคณิตศาสตร์เริ่มมีอาการเป็นกลุ่มอาการ: "เป็นอย่างไรบ้าง แฟร์มาต์พิสูจน์แล้ว แต่ถ้าฉันไม่สามารถหรืออะไรได้" - และบางคนก็คลั่งไคล้เรื่องนี้ในความหมายที่สมบูรณ์ของคำ
ไม่ว่าจะทดสอบทฤษฎีบทมากแค่ไหน มันก็กลายเป็นความจริงเสมอ ฉันรู้จักโปรแกรมเมอร์ที่กระตือรือร้นคนหนึ่งซึ่งหมกมุ่นอยู่กับความคิดที่จะหักล้างทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่โดยพยายามหาวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี (ตัวอย่างที่ขัดแย้งกัน) โดยการวนซ้ำจำนวนเต็มโดยใช้คอมพิวเตอร์ที่รวดเร็ว (ในขณะนั้นมักเรียกว่าคอมพิวเตอร์) เขาเชื่อในความสำเร็จขององค์กรของเขาและชอบพูดว่า: "อีกหน่อย - และความรู้สึกจะแตกออก!" ฉันคิดว่าในส่วนต่าง ๆ ของโลกของเรามีผู้แสวงหาที่กล้าหาญประเภทนี้จำนวนมาก แน่นอนว่าเขาไม่พบวิธีแก้ไขใดๆ และไม่มีคอมพิวเตอร์เครื่องใดที่มีความเร็วเหลือเชื่อที่จะทดสอบทฤษฎีบทได้ เพราะตัวแปรทั้งหมดของสมการนี้ (รวมถึงเลขชี้กำลัง) สามารถเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ได้
ทฤษฎีบทต้องมีการพิสูจน์
นักคณิตศาสตร์รู้ว่าถ้าไม่มีการพิสูจน์ทฤษฎีบท สิ่งใดก็ตาม (ไม่ว่าจะจริงหรือเท็จ) ก็สามารถทำตามได้ เช่นเดียวกับสมมติฐานอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ในจดหมายฉบับหนึ่งของเขา ปิแอร์ แฟร์มาต์แนะนำว่าตัวเลขในรูปแบบ 2 n +1 (ที่เรียกว่าตัวเลขแฟร์มาต์) จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ (นั่นคือ พวกมันไม่มีตัวหารจำนวนเต็มและสามารถหารโดยไม่มีเศษเหลือได้ด้วยตัวเองเท่านั้น และทีละหนึ่ง) ถ้า n เป็นกำลังสอง (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 เป็นต้น) สมมติฐานของแฟร์มาต์มีอายุมากกว่าร้อยปี - จนกระทั่งลีออนฮาร์ด ออยเลอร์แสดงให้เห็นในปี ค.ศ. 1732 ว่า
2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641
จากนั้นเกือบ 150 ปีต่อมา (1880) Fortune Landry แยกตัวประกอบหมายเลข Fermat ต่อไปนี้:
2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721
พวกเขาจะหาตัวหารของจำนวนมหาศาลเหล่านี้ได้อย่างไรโดยไม่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ - พระเจ้าเท่านั้นที่รู้ ในทางกลับกัน ออยเลอร์เสนอสมมติฐานว่าสมการ x 4 + y 4 + z 4 =u 4 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม ประมาณ 250 ปีต่อมา ในปี 1988 Naum Elkis จาก Harvard ได้ค้นพบ (ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์อยู่แล้ว) ว่า
2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4
ดังนั้น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จึงจำเป็นต้องมีการพิสูจน์ มิฉะนั้น มันก็เป็นเพียงสมมติฐาน และอาจเป็นไปได้ว่าที่ใดที่หนึ่งในฟิลด์ตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด คำตอบของสมการของทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่หายไป
Leonhard Euler นักคณิตศาสตร์ที่เก่งกาจและเก่งที่สุดแห่งศตวรรษที่ 18 ซึ่งเก็บบันทึกของมนุษยชาติมาเกือบศตวรรษ ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์สำหรับกำลัง 3 และ 4 (หรือมากกว่านั้น เขาได้ย้ำหลักฐานที่สูญเสียไปของปิแอร์ แฟร์มาต์ด้วยตัวเขาเอง) ; ผู้ติดตามของเขาในทฤษฎีจำนวน, Legendre (และอิสระ Dirichlet) - สำหรับระดับ 5; อ่อนแอ - สำหรับระดับ 7 แต่โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทยังไม่ได้รับการพิสูจน์
เมื่อวันที่ 1 มีนาคม พ.ศ. 2390 ในการประชุมของ Paris Academy of Sciences นักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นสองคน - Gabriel Lame และ Augustin Cauchy - ประกาศว่าพวกเขามาถึงจุดสิ้นสุดของการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่และจัดการแข่งขันโดยตีพิมพ์ หลักฐานในส่วนต่างๆ อย่างไรก็ตาม การดวลกันระหว่างพวกเขาถูกขัดจังหวะ เนื่องจากมีการค้นพบข้อผิดพลาดเดียวกันในข้อพิสูจน์ ซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Ernst Kummer ชี้ให้เห็น
ในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 (1908) Paul Wolfskel นักธุรกิจผู้มั่งคั่งชาวเยอรมัน ผู้ใจบุญ และนักวิทยาศาสตร์ ได้มอบคะแนนหนึ่งแสนคะแนนให้กับผู้ใดก็ตามที่จะนำเสนอข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ในปีแรกหลังจากการตีพิมพ์เจตจำนงของ Wolfskell โดยGöttingen Academy of Sciences มันถูกน้ำท่วมด้วยข้อพิสูจน์นับพันจากผู้ชื่นชอบคณิตศาสตร์และกระแสนี้ไม่ได้หยุดมานานหลายทศวรรษ แต่อย่างที่คุณสามารถจินตนาการได้พวกเขาทั้งหมดมีข้อผิดพลาด . พวกเขาบอกว่าทางโรงเรียนเตรียมแบบฟอร์มโดยมีเนื้อหาดังนี้
ที่รัก __________________________!
ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ของคุณในหน้า ____ บรรทัด ____ จากด้านบน
พบข้อผิดพลาดต่อไปนี้ในสูตร:__________________________:,
ซึ่งถูกส่งไปยังผู้เคราะห์ร้ายเพื่อรับรางวัล
ในเวลานั้นชื่อเล่นกึ่งดูถูกปรากฏในวงกลมของนักคณิตศาสตร์ - เฟร์มิสต์. นี่คือชื่อที่มอบให้กับผู้ที่มั่นใจในตนเองซึ่งขาดความรู้ แต่มีความทะเยอทะยานเกินกว่าจะลองพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่อย่างเร่งรีบแล้วไม่สังเกตเห็นความผิดพลาดของตัวเองตบหน้าอกอย่างภาคภูมิใจและประกาศเสียงดัง: "ฉัน พิสูจน์ทฤษฎีบทแฟร์มาต์ครั้งแรก! ชาวนาทุกคนแม้ว่าเขาจะมีจำนวนหนึ่งหมื่น แต่ถือว่าตัวเองเป็นคนแรก - นี่มันไร้สาระ รูปลักษณ์ที่เรียบง่ายของทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ทำให้ Fermists นึกถึงเหยื่อง่าย ๆ มากจนพวกเขาไม่อายเลยที่แม้แต่ออยเลอร์และเกาส์ก็ไม่สามารถรับมือได้
(Fermists แปลกพอสมควรที่ยังคงมีอยู่จนถึงทุกวันนี้ แม้ว่าหนึ่งในนั้นจะไม่เชื่อว่าเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทแล้วเหมือน Fermist แบบคลาสสิก แต่จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้เขาได้พยายาม - เขาปฏิเสธที่จะเชื่อฉันเมื่อฉันบอกเขาว่าทฤษฎีบทของ Fermat เป็นไปแล้ว พิสูจน์แล้ว)
นักคณิตศาสตร์ที่มีอำนาจมากที่สุดอาจอยู่ในที่เงียบๆ ในสำนักงาน พยายามเข้าใกล้บาร์เบลล์หนักๆ นี้ด้วยความระมัดระวัง แต่ไม่ได้พูดถึงเรื่องนี้ดังๆ เพื่อไม่ให้ถูกตราหน้าว่าเป็นพวก Fermists และด้วยเหตุนี้ จึงไม่ทำอันตรายผู้มีอำนาจระดับสูงของพวกเขา
เมื่อถึงเวลานั้น หลักฐานของทฤษฎีบทสำหรับเลขชี้กำลัง n ก็ปรากฏขึ้น<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.
สมมุติฐานแปลกๆ
จนถึงกลางศตวรรษที่ 20 ไม่พบความก้าวหน้าครั้งสำคัญในประวัติศาสตร์ของทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ แต่ในไม่ช้า เหตุการณ์ที่น่าสนใจก็เกิดขึ้นในชีวิตทางคณิตศาสตร์ ในปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น Yutaka Taniyama วัย 28 ปี ได้เสนอคำกล่าวจากสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงที่เรียกว่า Taniyama Hypothesis (หรือที่รู้จักว่า Taniyama-Shimura-Weil Hypothesis) ซึ่งต่างจากทฤษฎีบทที่ล่าช้าของ Fermat มาก่อน ได้เวลา.
การคาดเดาของ Taniyama กล่าวว่า "เส้นโค้งวงรีทุกเส้นจะมีรูปแบบโมดูลาร์ที่แน่นอน" คำกล่าวนี้สำหรับนักคณิตศาสตร์ในสมัยนั้นฟังดูไร้สาระพอๆ กับคำกล่าวที่ฟังดูไร้สาระสำหรับเรา: "โลหะบางชนิดสอดคล้องกับต้นไม้แต่ละต้น" ไม่ยากเลยที่จะเดาว่าคนปกติสามารถเชื่อมโยงกับข้อความดังกล่าวได้อย่างไร - เขาจะไม่เอาจริงเอาจังซึ่งเกิดขึ้น: นักคณิตศาสตร์มีมติเป็นเอกฉันท์เพิกเฉยต่อสมมติฐาน
คำอธิบายเล็กน้อย เส้นโค้งวงรีที่รู้จักกันมาช้านานมีรูปแบบสองมิติ (ตั้งอยู่บนระนาบ) ฟังก์ชันโมดูลาร์ที่ค้นพบในศตวรรษที่ 19 มีรูปแบบสี่มิติ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถจินตนาการถึงมันด้วยสมองสามมิติของเราได้ แต่เราสามารถอธิบายพวกมันทางคณิตศาสตร์ได้ นอกจากนี้ รูปแบบโมดูลาร์นั้นน่าทึ่งเพราะมีความสมมาตรสูงสุด - สามารถแปล (เปลี่ยน) ไปในทิศทางใดก็ได้ มิร์เรอร์ สามารถเปลี่ยนชิ้นส่วน หมุนได้หลายวิธี - และรูปลักษณ์ของพวกเขาไม่เปลี่ยนแปลง อย่างที่คุณเห็น เส้นโค้งวงรีและรูปแบบโมดูลาร์มีความเหมือนกันเพียงเล็กน้อย สมมติฐานของทานิยามะระบุว่าสมการพรรณนาของวัตถุทางคณิตศาสตร์สองชิ้นที่ต่างกันโดยสิ้นเชิงซึ่งสอดคล้องกันสามารถขยายเป็นอนุกรมทางคณิตศาสตร์ชุดเดียวกันได้
สมมติฐานของทานิยามะนั้นขัดแย้งกันเกินไป มันรวมแนวคิดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง - ค่อนข้างโค้งเรียบและรูปทรงสี่มิติที่จินตนาการไม่ถึง สิ่งนี้ไม่เคยเกิดขึ้นกับใคร เมื่อในการประชุมสัมมนาทางคณิตศาสตร์ระดับนานาชาติที่กรุงโตเกียวในเดือนกันยายน พ.ศ. 2498 ทานิยามะได้แสดงให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งวงรีและรูปแบบโมดูลาร์หลายครั้ง ทุกคนมองว่าเรื่องนี้เป็นเพียงเรื่องบังเอิญที่ตลกเท่านั้น สำหรับคำถามง่ายๆ ของทานิยามะ: เป็นไปได้ไหมที่จะหาฟังก์ชันโมดูลาร์ที่สอดคล้องกันสำหรับเส้นโค้งวงรีแต่ละเส้น อังเดร ไวล์ชาวฝรั่งเศสผู้มีชื่อเสียงซึ่งในเวลานั้นเป็นหนึ่งในผู้เชี่ยวชาญที่ดีที่สุดในโลกในทฤษฎีตัวเลข ได้ให้คำตอบทางการฑูตทีเดียว พวกเขาพูดอะไร หาก Taniyama ผู้อยากรู้อยากเห็นไม่ทิ้งความกระตือรือร้น บางทีเขาอาจจะโชคดีและสมมติฐานอันเหลือเชื่อของเขาจะได้รับการยืนยัน แต่สิ่งนี้จะต้องไม่เกิดขึ้นในไม่ช้า โดยทั่วไปแล้ว เช่นเดียวกับการค้นพบที่โดดเด่นอื่นๆ ในตอนแรก สมมติฐานของทานิยามะถูกเพิกเฉย เพราะพวกเขายังไม่โตมากับมัน - แทบไม่มีใครเข้าใจสมมติฐานนี้ โกโระ ชิมูระ เพื่อนร่วมงานคนหนึ่งของทานิยามะที่รู้จักเพื่อนที่มีพรสวรรค์สูงของเขาเป็นอย่างดี รู้สึกโดยสัญชาตญาณว่าสมมติฐานของเขาถูกต้อง
สามปีต่อมา (1958) Yutaka Taniyama ฆ่าตัวตาย (อย่างไรก็ตามประเพณีของซามูไรมีความเข้มแข็งในญี่ปุ่น) จากมุมมองของสามัญสำนึก - การกระทำที่เข้าใจยากโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณพิจารณาว่าในไม่ช้าเขาจะแต่งงาน หัวหน้านักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นอายุน้อยเริ่มบันทึกการฆ่าตัวตายดังนี้ “เมื่อวานไม่ได้คิดฆ่าตัวตาย ล่าสุด ได้ยินจากคนอื่นบ่อยว่าเหนื่อยทั้งกายและใจ จริงๆ แล้วผมยังไม่เข้าใจว่าทำไมถึงทำ นี่ ... ” และอื่น ๆ ในสามแผ่น น่าเสียดายที่นี่คือชะตากรรมของคนที่น่าสนใจ แต่อัจฉริยะทั้งหมดนั้นแปลกเล็กน้อย - นั่นเป็นสาเหตุที่พวกเขาเป็นอัจฉริยะ (ด้วยเหตุผลบางอย่างคำพูดของ Arthur Schopenhauer เข้ามาในใจ:“ ในชีวิตปกติ อัจฉริยภาพมีประโยชน์พอๆ กับกล้องโทรทรรศน์ในโรงละคร”) . สมมติฐานถูกละทิ้ง ไม่มีใครรู้วิธีพิสูจน์
สมมติฐานของทานิยามะนั้นแทบไม่มีการกล่าวถึงมาเป็นเวลาสิบปี แต่ในช่วงต้นทศวรรษ 70 มันกลายเป็นที่นิยม - มีการตรวจสอบอย่างสม่ำเสมอโดยทุกคนที่เข้าใจมัน - และได้รับการยืนยันเสมอ (ตามจริงแล้วทฤษฎีบทของแฟร์มาต์) แต่เหมือนเมื่อก่อนไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้
ความเชื่อมโยงที่น่าทึ่งระหว่างสองสมมติฐาน
ผ่านไปอีก 15 ปี ในปี 1984 มีเหตุการณ์สำคัญอย่างหนึ่งในชีวิตของคณิตศาสตร์ที่ผสมผสานการคาดเดาของญี่ปุ่นที่ฟุ่มเฟือยเข้ากับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ชาวเยอรมัน Gerhard Frey เสนอข้อความแปลก ๆ คล้ายกับทฤษฎีบท: "ถ้าการคาดเดาของ Taniyama ได้รับการพิสูจน์แล้วดังนั้นทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat จะได้รับการพิสูจน์" กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นผลมาจากการคาดเดาของทานิยามะ (เฟรย์ใช้การแปลงทางคณิตศาสตร์ที่แยบยล ลดสมการแฟร์มาต์ให้อยู่ในรูปสมการเส้นโค้งวงรี (อันเดียวกับที่ปรากฏในสมมติฐานของทานิยามะ) ยืนยันสมมติฐานของเขาไม่มากก็น้อย แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้) และหนึ่งปีครึ่งต่อมา (1986) ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เคนเนธ ริเบต์ ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเฟรย์อย่างชัดเจน
เกิดอะไรขึ้นตอนนี้? ตอนนี้ปรากฎว่าเนื่องจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นผลมาจากการคาดเดาของทานิยามะแล้ว ทั้งหมดที่จำเป็นคือการพิสูจน์ทฤษฎีหลังเพื่อที่จะทำลายเกียรติยศของผู้พิชิตทฤษฎีบทแฟร์มาต์ในตำนาน แต่สมมติฐานกลับกลายเป็นว่ายาก นอกจากนี้ ตลอดหลายศตวรรษที่ผ่านมา นักคณิตศาสตร์แพ้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ และหลายคนตัดสินใจว่าแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะรับมือกับการคาดเดาของทานิยามะ
การตายของสมมติฐานของแฟร์มาต์ กำเนิดทฤษฎีบท
ผ่านไปอีก 8 ปี Andrew Wiles ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษก้าวหน้าคนหนึ่งจากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (นิวเจอร์ซีย์ สหรัฐอเมริกา) คิดว่าเขาได้พบข้อพิสูจน์ของการคาดเดาของทานิยามะแล้ว หากอัจฉริยะไม่หัวล้านตามกฎแล้วไม่เรียบร้อย Wiles ไม่เรียบร้อยจึงดูเหมือนอัจฉริยะ แน่นอนว่าการเข้าสู่ประวัติศาสตร์เป็นสิ่งที่น่าดึงดูดและเป็นที่ต้องการอย่างมาก แต่ Wiles ก็เหมือนกับนักวิทยาศาสตร์ตัวจริง ไม่ได้ประจบประแจงตัวเอง โดยตระหนักว่า Fermists หลายพันคนก่อนหน้าเขาเห็นหลักฐานที่น่ากลัวเช่นกัน ดังนั้นก่อนที่จะนำเสนอข้อพิสูจน์ของเขาให้โลกรู้ เขาได้ตรวจสอบด้วยตนเองอย่างถี่ถ้วน แต่ตระหนักว่าเขาอาจมีอคติเชิงอัตวิสัย เขาก็มีส่วนร่วมกับคนอื่นๆ ในการตรวจสอบด้วย เช่น ภายใต้หน้ากากของงานคณิตศาสตร์ทั่วไป บางครั้งเขาก็โยนชิ้นส่วนต่างๆ จากการพิสูจน์ของเขาต่อนักศึกษาบัณฑิตที่ฉลาด ไวลส์ยอมรับในภายหลังว่าไม่มีใครนอกจากภรรยาของเขารู้ว่าเขากำลังพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่
ดังนั้น หลังจากตรวจสอบอย่างถี่ถ้วนและไตร่ตรองอย่างเจ็บปวด ในที่สุด Wiles ก็ได้รวบรวมความกล้า หรือบางทีในขณะที่เขาคิดด้วยความเย่อหยิ่ง และในวันที่ 23 มิถุนายน 1993 ที่การประชุมทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนในเคมบริดจ์ เขาได้ประกาศความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ของเขา
แน่นอนว่ามันเป็นความรู้สึก ไม่มีใครคาดหวังความคล่องตัวเช่นนี้จากนักคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันน้อย แล้วสื่อมวลชนก็มา ทุกคนถูกทรมานด้วยความสนใจที่ลุกโชน สูตรที่เพรียวบางเช่นจังหวะของภาพที่สวยงามปรากฏขึ้นต่อหน้าต่อตาผู้ชมที่อยากรู้อยากเห็น นักคณิตศาสตร์ตัวจริง พวกเขาเป็นแบบนั้น พวกเขาดูสมการทุกประเภทและไม่เห็นตัวเลข ค่าคงที่ และตัวแปรในนั้น แต่ได้ยินเสียงดนตรี เหมือนกับโมสาร์ทมองดูพนักงานดนตรี เช่นเดียวกับเมื่อเราอ่านหนังสือ เราดูตัวอักษร แต่ดูเหมือนเราจะไม่ได้สังเกต แต่รับรู้ความหมายของข้อความในทันที
การนำเสนอการพิสูจน์ดูเหมือนจะประสบความสำเร็จ - ไม่พบข้อผิดพลาดในนั้น - ไม่มีใครได้ยินบันทึกเท็จแม้แต่ครั้งเดียว ทุกคนตัดสินใจว่ามีเหตุการณ์ขนาดใหญ่เกิดขึ้น: สมมติฐานของทานิยามะได้รับการพิสูจน์แล้ว และด้วยเหตุนี้จึงเป็นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ แต่ราวๆ สองเดือนต่อมา สองสามวันก่อนที่ต้นฉบับของหลักฐานของ Wiles จะถูกตีพิมพ์ก็พบว่าไม่สอดคล้องกัน (Katz เพื่อนร่วมงานของ Wiles ตั้งข้อสังเกตว่าการให้เหตุผลชิ้นหนึ่งอาศัย "ระบบของออยเลอร์" แต่อะไร สร้างขึ้นโดย Wiles ไม่ใช่ระบบดังกล่าว) แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วเทคนิคของ Wiles ถือว่าน่าสนใจสง่างามและเป็นนวัตกรรมใหม่
ไวล์สวิเคราะห์สถานการณ์และตัดสินใจว่าเขาแพ้ ใครๆ ก็นึกภาพออกว่าเขารู้สึกอย่างไรกับสิ่งที่เป็นอยู่ว่า "จากผู้ยิ่งใหญ่สู่ก้าวเดียวที่ไร้สาระ" "ฉันต้องการเข้าสู่ประวัติศาสตร์ แต่ฉันกลับเข้าร่วมทีมของตัวตลกและนักแสดงตลก - เกษตรกรผู้หยิ่งผยอง" - ความคิดประมาณดังกล่าวทำให้เขาหมดแรงในช่วงเวลาที่เจ็บปวดในชีวิตของเขา สำหรับเขา นักคณิตศาสตร์ที่จริงจัง มันคือโศกนาฏกรรม และเขาได้โยนข้อพิสูจน์ของเขาไปที่กองไฟด้านหลัง
แต่อีกหนึ่งปีต่อมา ในเดือนกันยายน 1994 ขณะที่กำลังคิดเกี่ยวกับคอขวดของการพิสูจน์ ร่วมกับเพื่อนร่วมงานของเขา Taylor จากอ็อกซ์ฟอร์ด จู่ๆ ก็เกิดความคิดว่า “ระบบออยเลอร์” สามารถเปลี่ยนเป็นทฤษฎีอิวาซาวะได้ (หมวด ของทฤษฎีจำนวน) จากนั้นพวกเขาก็พยายามใช้ทฤษฎีอิวาซาวะ โดยไม่ใช้ "ระบบออยเลอร์" และพวกเขาทั้งหมดมารวมกัน เวอร์ชันที่แก้ไขแล้วของหลักฐานถูกส่งเพื่อตรวจสอบ และอีกหนึ่งปีต่อมาได้มีการประกาศว่าทุกอย่างชัดเจนในนั้นโดยไม่มีข้อผิดพลาดแม้แต่ครั้งเดียว ในฤดูร้อนปี 1995 ในวารสารคณิตศาสตร์ชั้นนำเรื่องหนึ่ง - "Annals of Mathematics" - หลักฐานที่สมบูรณ์ของการคาดเดาของ Taniyama (ด้วยเหตุนี้ Fermat's Great (ใหญ่) Theorem) ได้รับการตีพิมพ์ซึ่งครอบครองปัญหาทั้งหมด - มากกว่าหนึ่งร้อยแผ่น การพิสูจน์นั้นซับซ้อนมากจนมีเพียงไม่กี่โหลคนทั่วโลกที่สามารถเข้าใจมันได้อย่างครบถ้วน
ดังนั้น เมื่อสิ้นสุดศตวรรษที่ 20 คนทั้งโลกยอมรับว่าในปีที่ 360 ของชีวิต ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งอันที่จริงเคยเป็นสมมติฐานมาโดยตลอด ได้กลายเป็นทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว Andrew Wiles พิสูจน์ทฤษฎีบท Great (Great) ของ Fermat และเข้าสู่ประวัติศาสตร์
คิดว่าคุณได้พิสูจน์ทฤษฎีบทแล้ว...
ความสุขของผู้ค้นพบมักตกอยู่ที่คนๆ หนึ่งเสมอ - เขาเป็นคนที่ใช้ค้อนทุบครั้งสุดท้ายเพื่อทำลายความรู้ที่แข็งกระด้าง แต่เราไม่สามารถละเลยการระเบิดครั้งก่อนๆ ที่ก่อตัวเป็นรอยร้าวในทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่มานานหลายศตวรรษ: ออยเลอร์และเกาส์ (ราชาแห่งคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น) เอวาริสเต กาโลอิส (ผู้สามารถสร้างทฤษฎีของกลุ่มและทุ่งนาได้ในเวลาอันสั้น 21 -ชีวิตปีซึ่งผลงานได้รับการยอมรับว่ายอดเยี่ยมหลังจากการตายของเขา), Henri Poincaré (ผู้ก่อตั้งไม่เพียง แต่รูปแบบโมดูลาร์ที่แปลกประหลาดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลัทธินิยมนิยม - แนวโน้มทางปรัชญา), David Gilbert (หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งที่สุดของศตวรรษที่ยี่สิบ) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor และคนอื่นๆ นักวิทยาศาสตร์ตัวจริง(ฉันไม่กลัวคำเหล่านี้)
การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สามารถเทียบได้กับความสำเร็จของศตวรรษที่ 20 เช่น การประดิษฐ์คอมพิวเตอร์ ระเบิดนิวเคลียร์ และการบินในอวกาศ แม้ว่าจะไม่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางนัก เพราะมันไม่ได้บุกรุกพื้นที่ที่เราสนใจชั่วขณะหนึ่ง เช่น ทีวีหรือหลอดไฟฟ้า มันเป็นแสงวาบของซุปเปอร์โนวา ซึ่งเฉกเช่นความจริงที่ไม่เปลี่ยนรูปทั้งหมด จะส่องแสงอยู่เสมอ มนุษยชาติ.
คุณสามารถพูดว่า: "ลองคิดดู คุณพิสูจน์ทฤษฎีบทบางอย่างแล้ว ใครต้องการมัน?". คำถามที่ยุติธรรม คำตอบของ David Gilbert จะพอดีที่นี่ เมื่อใดสำหรับคำถาม: "ตอนนี้งานที่สำคัญที่สุดสำหรับวิทยาศาสตร์คืออะไร" เขาตอบว่า: "เพื่อจับแมลงวันบนด้านไกลของดวงจันทร์", เขาถูกถามอย่างมีเหตุผลว่า: "แต่ ใครต้องการมัน?", เขาตอบแบบนี้:" ไม่มีใครต้องการมัน. แต่ลองคิดดูว่าปัญหาสำคัญและยากแค่ไหนที่ต้องแก้ไขจึงจะสำเร็จ "ลองคิดดูว่า ปัญหาที่มนุษย์แก้ไขได้มากเพียงใดใน 360 ปีก่อนจะพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ เพื่อค้นหาข้อพิสูจน์ เกือบครึ่งหนึ่งของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ถูกค้นพบ เราต้องคำนึงด้วยว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ล้ำหน้า .
* * *
ตอนนี้กลับไปที่จุดเริ่มต้นของเรื่องราวของเรา จำการเข้ามาของ Pierre Fermat ที่ขอบหนังสือเรียนของ Diophantus และถามตัวเองอีกครั้งว่า Fermat ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาหรือไม่? แน่นอนว่าเราไม่สามารถทราบสิ่งนี้ได้อย่างแน่นอน และในกรณีใด ๆ เวอร์ชันต่างๆ ก็เกิดขึ้นที่นี่:
เวอร์ชัน 1: Fermat พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขา (สำหรับคำถาม: "แฟร์มาต์มีหลักฐานยืนยันทฤษฎีบทของเขาเหมือนกันทุกประการหรือไม่" แอนดรูว์ ไวลส์ตั้งข้อสังเกตว่า: "แฟร์มาต์ไม่มี ดังนั้นการพิสูจน์. นี่คือข้อพิสูจน์ของศตวรรษที่ 20 "เราเข้าใจว่าในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 17 แน่นอนว่าไม่เหมือนกับตอนปลายศตวรรษที่ 20 - ในยุคนั้น d, Artagnan ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ไม่ได้ ยังมีการค้นพบเหล่านั้น (รูปแบบโมดูลาร์ ทฤษฎีบทของ Taniyama , Frey ฯลฯ ) ซึ่งทำให้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ได้เท่านั้น แน่นอนว่าใคร ๆ ก็คิดได้: อะไรวะไม่ได้ล้อเล่น - ถ้าแฟร์มาต์เดาด้วยวิธีที่ต่างออกไป เวอร์ชันนี้แม้ว่าจะเป็นไปได้แต่แทบจะเป็นไปไม่ได้ตามนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่);
เวอร์ชัน 2:ดูเหมือนว่าปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาแล้ว แต่มีข้อผิดพลาดในการพิสูจน์ของเขา (นั่นคือแฟร์มาต์เองก็เป็นแฟร์มาติสต์คนแรกด้วย);
เวอร์ชัน 3:แฟร์มาต์ไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขา แต่แค่โกหกที่ขอบ
หากหนึ่งในสองเวอร์ชันล่าสุดถูกต้อง ซึ่งเป็นไปได้มากที่สุด ก็สามารถสรุปง่ายๆ ได้: คนยิ่งใหญ่ถึงแม้จะยิ่งใหญ่ แต่ก็ทำผิดพลาดได้ หรือบางครั้งก็ไม่คิดที่จะโกหก(โดยพื้นฐานแล้ว ข้อสรุปนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่มีแนวโน้มว่าจะไว้วางใจรูปเคารพและผู้ปกครองความคิดอื่นๆ ของตนอย่างสมบูรณ์) ดังนั้นเมื่ออ่านผลงานของบุตรธิดาผู้มีอำนาจของมนุษยชาติหรือฟังสุนทรพจน์ที่น่าสมเพชของพวกเขา คุณมีสิทธิทุกประการที่จะสงสัยในคำพูดของพวกเขา (โปรดทราบว่า สงสัยไม่ปฏิเสธ).
การพิมพ์ซ้ำของเนื้อหาบทความสามารถทำได้เฉพาะกับลิงก์บังคับไปยังไซต์ (บนอินเทอร์เน็ต - ไฮเปอร์ลิงก์) และถึงผู้เขียน
ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ของ FERMAT - คำแถลงของปิแอร์ แฟร์มาต์ (นักกฎหมายชาวฝรั่งเศสและนักคณิตศาสตร์นอกเวลา) ว่าสมการไดโอแฟนไทน์ X n + Y n \u003d Z n โดยมีเลขชี้กำลัง n>2 โดยที่ n = จำนวนเต็ม ไม่มีคำตอบเป็นบวก จำนวนเต็ม ข้อความของผู้เขียน: “เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกลูกบาศก์ออกเป็นสองก้อน หรือไบสแควร์เป็นสองสี่เหลี่ยมไบสแควร์ หรือโดยทั่วไปแล้ว กำลังที่มากกว่าสองเป็นสองยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน”
"แฟร์มาต์และทฤษฎีบทของเขา", Amadeo Modigliani, 1920
ปิแอร์คิดทฤษฎีบทนี้ขึ้นเมื่อวันที่ 29 มีนาคม ค.ศ. 1636 และหลังจากนั้น 29 ปี เขาก็เสียชีวิต แต่นั่นคือจุดเริ่มต้นทั้งหมด ท้ายที่สุด นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้มั่งคั่งชื่อ Wolfskel ได้มอบคะแนนหนึ่งแสนคะแนนให้กับผู้ที่นำเสนอข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์! แต่ความตื่นเต้นรอบ ๆ ทฤษฎีบทไม่ได้เชื่อมโยงกับสิ่งนี้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงความตื่นเต้นทางคณิตศาสตร์อย่างมืออาชีพด้วย แฟร์มาต์เองก็พูดเป็นนัยกับชุมชนคณิตศาสตร์ว่าเขารู้ข้อพิสูจน์ - ไม่นานก่อนที่เขาจะเสียชีวิตในปี ค.ศ. 1665 เขาได้ทิ้งข้อความต่อไปนี้ไว้ที่ขอบหนังสือ "เลขคณิต" ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรีย: "ฉันมีข้อพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์มาก แต่มันคือ ใหญ่เกินกว่าจะลงสนามได้"
มันเป็นคำใบ้นี้ (บวกกับรางวัลเงินสดแน่นอน) ที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ใช้เงินของพวกเขาไม่สำเร็จ ปีที่ดีที่สุด(จากการคำนวณของนักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกัน มีเพียงนักคณิตศาสตร์มืออาชีพเท่านั้นที่ใช้เวลาทั้งหมด 543 ปีในเรื่องนี้)
เมื่อถึงจุดหนึ่ง (ในปี ค.ศ. 1901) การทำงานเกี่ยวกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้รับชื่อเสียงที่น่าสงสัยของ "การทำงานที่คล้ายกับการค้นหาเครื่องจักรเคลื่อนที่ถาวร" (มีแม้กระทั่งคำว่า "fermatists") ที่เสื่อมเสีย และทันใดนั้น เมื่อวันที่ 23 มิถุนายน 1993 ที่การประชุมทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนในเคมบริดจ์ ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (นิวเจอร์ซีย์ สหรัฐอเมริกา) แอนดรูว์ ไวลส์ ประกาศว่าในที่สุดเขาก็พิสูจน์แฟร์มาต์แล้ว!
อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ไม่เพียงแต่ซับซ้อน แต่ยังผิดพลาดอย่างเห็นได้ชัด ตามที่ Wiles ถูกเพื่อนร่วมงานของเขาชี้ให้เห็น แต่ศาสตราจารย์ Wiles ใฝ่ฝันที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้มาตลอดชีวิต จึงไม่น่าแปลกใจที่ในเดือนพฤษภาคม 1994 เขาได้นำเสนอข้อพิสูจน์ฉบับปรับปรุงใหม่ให้กับชุมชนวิทยาศาสตร์ มันไม่มีความสามัคคีความงามและยังคงซับซ้อนมาก - นักคณิตศาสตร์ได้วิเคราะห์ข้อพิสูจน์นี้มาตลอดทั้งปี (!) เพื่อทำความเข้าใจว่าไม่ผิดหรือไม่พูดเพื่อตัวเอง!
แต่ในท้ายที่สุด หลักฐานของไวลส์ก็ถูกพบว่าถูกต้อง แต่นักคณิตศาสตร์ไม่ยกโทษให้ปิแอร์ แฟร์มาต์สำหรับคำใบ้ของเขาในวิชาเลขคณิต และที่จริงแล้ว พวกเขาเริ่มคิดว่าเขาเป็นคนโกหก อันที่จริง คนแรกที่ตั้งคำถามเกี่ยวกับศีลธรรมอันดีของแฟร์มาต์คือแอนดรูว์ ไวลส์ ซึ่งตั้งข้อสังเกตว่า "แฟร์มาต์ไม่สามารถมีหลักฐานเช่นนี้ได้ นี่เป็นข้อพิสูจน์ในศตวรรษที่ยี่สิบ" จากนั้นในหมู่นักวิทยาศาสตร์คนอื่น ๆ ความคิดเห็นก็แข็งแกร่งขึ้นว่าแฟร์มาต์ "ไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในอีกทางหนึ่งได้และแฟร์มาต์ก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในแบบที่ Wiles ดำเนินไปด้วยเหตุผลที่เป็นรูปธรรม"
ในความเป็นจริง แฟร์มาต์สามารถพิสูจน์ได้ และหลังจากนั้นไม่นาน บทพิสูจน์นี้จะถูกสร้างขึ้นใหม่โดยนักวิเคราะห์ของสารานุกรมการวิเคราะห์ใหม่ แต่ อะไรคือ "เหตุผลเชิงวัตถุประสงค์" เหล่านี้?
อันที่จริง มีเหตุผลเพียงข้อเดียวเท่านั้น: ในช่วงหลายปีที่แฟร์มาต์อาศัยอยู่ การคาดเดาของทานิยามะก็ไม่ปรากฏ ซึ่งแอนดรูว์ ไวลส์สร้างข้อพิสูจน์ของเขาขึ้นมา เพราะฟังก์ชันแบบแยกส่วนซึ่งการคาดเดาของทานิยามะทำงานอยู่นั้นถูกค้นพบเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 เท่านั้น .
Wiles เองพิสูจน์ทฤษฎีบทอย่างไร? คำถามไม่ได้ใช้งาน - นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการทำความเข้าใจว่าแฟร์มาต์สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาได้อย่างไร Wiles สร้างข้อพิสูจน์ของเขาเกี่ยวกับข้อพิสูจน์การคาดเดาของ Taniyama ที่เสนอในปี 1955 โดย Yutaka Taniyama นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นวัย 28 ปี
การคาดเดาดูเหมือนดังนี้: "เส้นโค้งวงรีทุกเส้นสอดคล้องกับรูปแบบโมดูลาร์บางอย่าง" เส้นโค้งวงรีที่รู้จักกันมาช้านาน มีรูปแบบสองมิติ (ตั้งอยู่บนระนาบ) ในขณะที่ฟังก์ชันโมดูลาร์มีรูปแบบสี่มิติ นั่นคือ สมมติฐานของทานิยามะได้รวมเอาแนวคิดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง นั่นคือ เส้นโค้งแบนเรียบๆ และรูปแบบสี่มิติที่เหนือจินตนาการ ความจริงของการเชื่อมโยงร่างที่มีมิติต่างกันในสมมติฐานนั้นดูไร้สาระสำหรับนักวิทยาศาสตร์ ซึ่งเป็นเหตุว่าทำไมในปี 1955 จึงไม่มีความสำคัญใดๆ
อย่างไรก็ตาม ในฤดูใบไม้ร่วงปี 1984 จู่ๆ "สมมติฐานทานิยามะ" ก็ถูกจดจำอีกครั้ง และไม่เพียงแต่จำได้เท่านั้น แต่ข้อพิสูจน์ที่เป็นไปได้นั้นเชื่อมโยงกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์! สิ่งนี้ทำโดยนักคณิตศาสตร์ของซาร์บรึคเค่น Gerhard Frey ผู้แจ้งชุมชนวิทยาศาสตร์ว่า "ถ้าใครสามารถพิสูจน์การคาดเดาของ Taniyama ได้ ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ก็จะได้รับการพิสูจน์"
เฟรย์ทำอะไร? เขาแปลงสมการของแฟร์มาต์เป็นลูกบาศก์หนึ่ง จากนั้นจึงให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเส้นโค้งวงรีที่ได้จากการแปลงสมการของแฟร์มาต์เป็นลูกบาศก์หนึ่งไม่สามารถแยกส่วนได้ อย่างไรก็ตาม การคาดคะเนของทานิยามะระบุว่าเส้นโค้งวงรีใดๆ สามารถเป็นแบบแยกส่วนได้! ดังนั้น เส้นโค้งวงรีที่สร้างจากสมการของแฟร์มาต์จึงไม่มีอยู่จริง ซึ่งหมายความว่าไม่มีคำตอบทั้งหมดและทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ซึ่งหมายความว่าเป็นความจริง ในปี 1993 แอนดรูว์ ไวลส์ได้พิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ และด้วยเหตุนี้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์
อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์สามารถพิสูจน์ได้ง่ายกว่ามาก โดยอาศัยพหุมิติเดียวกันกับที่ทานิยามะและเฟรย์ดำเนินการ
เริ่มต้นด้วยการให้ความสนใจกับเงื่อนไขที่กำหนดโดยปิแอร์แฟร์มาต์เอง - n>2. ทำไมเงื่อนไขนี้จึงจำเป็น? ใช่ เพียงเพราะว่าสำหรับ n=2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสธรรมดา X 2 +Y 2 =Z 2 กลายเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทแฟร์มาต์ซึ่งมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มเป็นอนันต์ - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 เป็นต้น ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงเป็นข้อยกเว้นของทฤษฎีบทแฟร์มาต์
แต่ทำไมในกรณีของ n=2 ถึงมีข้อยกเว้นดังกล่าว? ทุกอย่างเข้าที่ถ้าคุณเห็นความสัมพันธ์ระหว่างดีกรี (n=2) และมิติของตัวเลขเอง สามเหลี่ยมพีทาโกรัสเป็นรูปสองมิติ ไม่น่าแปลกใจที่ Z (นั่นคือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก) สามารถแสดงในรูปของขา (X และ Y) ซึ่งสามารถเป็นจำนวนเต็มได้ ขนาดของมุม (90) ทำให้สามารถพิจารณาด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นเวกเตอร์ และขาเป็นเวกเตอร์ที่ตั้งอยู่บนแกนและมาจากจุดกำเนิด ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแสดงเวกเตอร์สองมิติที่ไม่อยู่บนแกนใด ๆ ในแง่ของเวกเตอร์ที่วางอยู่บนพวกมัน
ทีนี้ ถ้าเราไปที่มิติที่สาม และด้วยเหตุนี้ n=3 เพื่อแสดงเวกเตอร์สามมิติ จะไม่มีข้อมูลเพียงพอเกี่ยวกับเวกเตอร์สองตัว ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแสดง Z ในสมการของแฟร์มาต์ผ่าน อย่างน้อยสามเทอม (เวกเตอร์สามตัววางอยู่บนแกนสามแกนของระบบพิกัดตามลำดับ)
ถ้า n=4 ก็ควรจะมี 4 พจน์ ถ้า n=5 ก็ควรจะมี 5 พจน์ เป็นต้น ในกรณีนี้ จะมีวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดมากเกินพอ ตัวอย่างเช่น 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 เป็นต้น (คุณสามารถเลือกตัวอย่างอื่นๆ สำหรับ n=3, n=4 และอื่นๆ ได้)
สิ่งที่ตามมาจากทั้งหมดนี้? จากนี้ไปว่าทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ไม่มีคำตอบทั้งหมดสำหรับ n>2 - แต่เพียงเพราะสมการนั้นไม่ถูกต้อง! ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราอาจพยายามแสดงปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในแง่ของความยาวของขอบทั้งสอง - แน่นอนว่าเป็นไปไม่ได้ (จะไม่มีทางหาคำตอบทั้งหมดได้) แต่เพียงเพราะจะหาปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คุณจำเป็นต้องรู้ความยาวของขอบทั้งสามของมัน
เมื่อนักคณิตศาสตร์ชื่อดัง เดวิด กิลเบิร์ต ถูกถามว่าอะไรคือภารกิจที่สำคัญที่สุดสำหรับวิทยาศาสตร์ในตอนนี้ เขาตอบว่า "จับแมลงวันที่อยู่อีกฟากหนึ่งของดวงจันทร์" สำหรับคำถามที่สมเหตุสมผล "ใครต้องการมัน" เขาตอบแบบนี้: "ไม่มีใครต้องการมัน แต่ลองคิดดูว่าคุณต้องแก้ปัญหาที่สำคัญและซับซ้อนกี่งานจึงจะสำเร็จ"
กล่าวอีกนัยหนึ่ง Fermat (ทนายความในตอนแรก!) เล่นเรื่องตลกทางกฎหมายที่มีไหวพริบในโลกคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยอิงจากการกำหนดปัญหาที่ไม่ถูกต้อง อันที่จริง เขาแนะนำว่านักคณิตศาสตร์หาคำตอบว่าทำไมแมลงวันถึงไม่สามารถอาศัยอยู่อีกฟากหนึ่งของดวงจันทร์ได้ และที่ขอบของเลขคณิต เขาเพียงต้องการเขียนว่าไม่มีอากาศบนดวงจันทร์ นั่นคือ จะไม่มีทางแก้จำนวนเต็มของทฤษฎีบทของเขาสำหรับ n>2 เท่านั้น เพราะแต่ละค่าของ n ต้องสอดคล้องกับจำนวนพจน์ที่ด้านซ้ายของสมการจำนวนหนึ่ง
แต่มันเป็นเพียงเรื่องตลก? ไม่เลย. อัจฉริยะของแฟร์มาต์อยู่ตรงที่ว่าเขาเป็นคนแรกที่เห็นความสัมพันธ์ระหว่างดีกรีและมิติของตัวเลขทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเท่ากับจำนวนเทอมทางด้านซ้ายของสมการ ความหมายของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขาไม่เพียงแต่จะผลักดันให้โลกทางคณิตศาสตร์มีแนวคิดเกี่ยวกับความสัมพันธ์นี้เท่านั้น แต่ยังเป็นการเริ่มการพิสูจน์การมีอยู่ของความสัมพันธ์นี้ด้วย ซึ่งเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ แต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์
แฟร์มาต์ ไม่เหมือนใคร เข้าใจว่าการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุที่ดูเหมือนต่างกันนั้นมีผลอย่างมาก ไม่เพียงแต่ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิทยาศาสตร์ใดๆ ด้วย ความสัมพันธ์ดังกล่าวชี้ให้เห็นถึงหลักการที่ลึกซึ้งบางประการซึ่งอยู่ภายใต้วัตถุทั้งสองและช่วยให้เข้าใจวัตถุเหล่านี้อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น
ตัวอย่างเช่น นักฟิสิกส์ในขั้นต้นถือว่าไฟฟ้าและแม่เหล็กเป็นปรากฏการณ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันโดยสิ้นเชิง และในศตวรรษที่ 19 นักทฤษฎีและนักทดลองตระหนักว่าไฟฟ้าและแม่เหล็กมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ผลที่ได้คือความเข้าใจอย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับไฟฟ้าและแม่เหล็ก กระแสไฟฟ้าสร้าง สนามแม่เหล็กและแม่เหล็กสามารถเหนี่ยวนำไฟฟ้าในตัวนำใกล้กับแม่เหล็กได้ สิ่งนี้นำไปสู่การประดิษฐ์ไดนาโมและมอเตอร์ไฟฟ้า ในที่สุดก็พบว่าแสงเป็นผลมาจากการสั่นที่ประสานกันของสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้า
คณิตศาสตร์ของเวลาแฟร์มาต์ประกอบด้วยเกาะแห่งความรู้ในทะเลแห่งความไม่รู้ เรขาคณิตศึกษารูปร่างบนเกาะแห่งหนึ่ง และนักคณิตศาสตร์ศึกษาความน่าจะเป็นและโอกาสในอีกเกาะ ภาษาของเรขาคณิตนั้นแตกต่างจากภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างมาก และคำศัพท์เกี่ยวกับพีชคณิตนั้นต่างจากผู้ที่พูดเกี่ยวกับสถิติเท่านั้น น่าเสียดายที่คณิตศาสตร์ในยุคของเราประกอบด้วยเกาะเดียวกันโดยประมาณ
ฟาร์มเป็นคนแรกที่ตระหนักว่าเกาะเหล่านี้เชื่อมต่อถึงกัน และทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขา - GREAT THEOREM ของแฟร์มาต์ - เป็นข้อยืนยันที่ยอดเยี่ยมในเรื่องนี้