Розглянемо тверде тіло, що обертається навколо нерухомої осі. Тоді окремі точки цього тіла описуватимуть кола різних радіусів, центри яких лежать на осі обертання. Нехай деяка точка рухається по колу радіусу R(Рис.6). Її положення через проміжок часу tзадаємо кутом . Елементарні (нескінченно малі) кути повороту розглядають як вектори. Модуль вектора d дорівнює куту повороту, яке напрям збігається з напрямом поступального руху вістря гвинта, головка якого обертається у напрямі руху точки по колу, т. е. підпорядковується правилу правого, гвинта(Рис.6). Вектори, напрями яких пов'язуються з напрямком обертання, називаються псевдовекторамиабо аксіальних векторів.Ці вектори не мають певних точок застосування: вони можуть відкладатися з будь-якої точки осі обертання.
Кутовою швидкістюназивається векторна величина, що дорівнює першій похідній кута повороту тіла за часом:
Вектор «в напрямку вздовж осі обертання за правилом правого гвинта, тобто так само, як і вектор d (рис. 7). Розмірність кутової швидкості dim = T -1 , a . її одиниця - радіан за секунду (рад/с).
Лінійна швидкість точки (див. рис. 6)
У векторному вигляді формулу для лінійної швидкості можна написати як векторний добуток:
При цьому модуль векторного твору, за визначенням, дорівнює 
А напрямок збігається знапрямом поступального руху правого гвинта при його обертанні від до R.
Якщо =const, то обертання рівномірне і його можна характеризувати періодом обертанняТ- часом, протягом якого точка робить один повний оборот, т. е. повертається на кут 2. Оскільки проміжок часу t=T відповідає =2, то = 2/Т, звідки
Число повних оборотів, що здійснюються тілом при рівномірному його русі по колу, в одиницю часу називається частотою обертання:
Кутовим прискореннямназивається векторна величина, що дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом:
При обертанні тіла навколо нерухомої осі вектор кутового прискорення спрямований вздовж осі обертання у бік елементарного вектора збільшення кутової швидкості. При прискореному русі вектор
сонаправлений вектору (рис.8), при уповільненому - протиспрямований йому (рис. 9).
Тангенційна складова прискорення
Нормальна складова прискорення
Таким чином, зв'язок між лінійними (довжина шляху s, пройденого точкою по дузі кола радіусу R,лінійна швидкість v,тангенціальне прискорення а , нормальне прискорення а n) та кутовими величинами (кут повороту , кутова швидкість(о, кутове прискорення ) виражається такими формулами:
У разі рівнозмінного руху точки по колу (=const)
де 0 – початкова кутова швидкість.
Контрольні питання
Що називається матеріальною точкою? Чому в механіці запроваджують таку модель?
Що таке система відліку?
Що таке вектор переміщення? Чи завжди модуль вектора переміщення дорівнює відрізку шляху,
пройденому точкою?
Який рух називається поступальним? обертальним?
Дати визначення векторів середньої швидкості та середнього прискорення, миттєвої швидкості
та миттєвого прискорення. Які їхні напрямки?
Що характеризує тангенційна складова прискорення? нормальна складова
прискорення? Які їхні модулі?
Чи можливі рухи, при яких відсутня нормальне прискорення? тангенціальне
прискорення? Наведіть приклади.
Що називається кутовою швидкістю? кутовим прискоренням? Як визначаються їхні напрямки?
Який зв'язок між лінійними та кутовими величинами?
Завдання
1.1. Залежність пройденого тілом шляху іноді задається рівнянням s = A+Уt+Сt 2 + Dt 3 (З= 0,1 м/с 2 D= 0,03 м/с 3). Визначити: 1) через якийсь час після початку руху прискорення а тіла дорівнюватиме 2 м/с 2 ; 2) середнє прискорення<а>тіла за цей проміжок часу. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с 2 ]
1.2. Нехтуючи опором повітря, визначити кут, під яким тіло кинуто до горизонту, якщо максимальна висота підйому тіла дорівнює 1/4 дальності його польоту.
1.3. Колесо радіусу R= 0,1 м обертається так, що залежність кутової швидкості від часу визначається рівнянням = 2At+5Вt 4 (A=2 рад/с 2 і B=1 рад/с 5). Визначити повне прискорення точок обода колеса через t= 1 з після початку обертання та кількість обертів, зроблених колесом за цей час. [а = 8,5 м/с 2; N = 0,48]
1.4. Нормальне прискорення точки, що рухається по колу радіуса r = 4 м, задається рівнянням а n =А+-Bt+Ct 2 (A=1 м/с 2 У=6 м/с 3 З=3 м/с 4). Визначити: 1) тангенційне прискорення крапки; 2) шлях, пройдений точкою за час t 1 =5 після початку руху; 3) повне прискорення на момент часу t 2 =1 з. [1) 6 м/с 2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с 2 ]
1.5. Частота обертання колеса при рівносповільненому русі за t=1 хв зменшилася від 300 до 180 хв -1. Визначити: 1) кутове прискорення колеса; 2) число повних оборотів, зроблених колесом цей час.
1.6. Диск радіусом R=10 см обертається навколо нерухомої осі так, що залежність кута повороту радіуса диска іноді задається рівнянням = A+Bt+Ct 2 +Dt 3 (B= l рад/с, З=1 рад/с 2 , D=l рад/с 3). Визначити для точок на обід колеса до кінця другої секунди після початку руху: 1) тангенціальне прискорення а ; 2) нормальне прискорення а n; 3) повне прискорення а. [1) 0,14 м/с 2; 2) 28,9 м/с 2; 3) 28,9 м/с 2 ]
Похідною за часом, взятою від вектора кутової швидкості (або ω). Це також означає, що кутове прискоренняє другою похідною, взятою за часом t від кута повороту. Кутове прискоренняможна записати в наступному вигляді: β = d → ω / dt. Таким чином, знайти середнє кутове прискоренняможна з відношення збільшення кутової швидкості до збільшення часу руху: β порівн. = Δω/Δt.
Знайдіть середню кутову швидкість для того, щоб обчислити кутове прискорення. Припустимо, що обертання тіла навколо нерухомої осі описується рівнянням φ=f(t), а φ – кут у момент часу t. Тоді через певний проміжок часу t з моменту t зміна кута складе Δφ. Кутова швидкість є ставленням Δφ та Δt. Визначте кутову швидкість.
Знайдіть середнє кутове прискоренняза формулою β порівн. = Δω/Δt. Тобто зміну кутової швидкості Δω поділіть за допомогою калькулятора на відомий проміжок часу, за який рух відбувався. Приватне поділу є шуканої величиною. Запишіть знайдене значення, висловивши його в рад/с.
Зверніть увагу, якщо завдання потрібно знайти прискоренняточки тіла, що обертається. Швидкість руху будь-якої точки такого тіла дорівнює добутку кутової швидкості та відстані від точки до осі обертання. При цьому прискоренняданої точки складається з двох складових: дотичної та нормальної. Відносна направлена по прямій зі швидкістю при позитивному прискоренні і назад спрямована при негативному прискоренні. Нехай відстань від точки до осі обертання буде позначено R. А кутова швидкість буде знайдена за формулою: = v/t, де v - лінійна швидкість руху тіла. Щоб знайти кутове прискорення, розділіть кутову швидкість на відстань між точкою та віссю обертання.
Кутове прискоренняпоказує: як змінилася кутова швидкість тіла, що рухається коло, за одиницю часу. Тому для його визначення знайдіть початкову та кінцеву кутові швидкості за даний проміжок часу та зробіть розрахунок. Крім того, кутове прискоренняпов'язано з лінійним (тангенціальним) прискоренням.
Вам знадобиться
- секундомір, лінійка, прилад для виміру миттєвої швидкості.
Інструкція
Візьміть початкову та кінцеву кутові швидкості руху по колу. Виміряйте час, за який змінювалася швидкість у секундах. Потім від кінцевої кутової швидкості відніміть початкову швидкістьі поділіть це значення на час ξ=(ω-ω0)/t. Результатом буде кутове прискореннятіла. Для того щоб виміряти миттєву кутову швидкість тіла, що рухається по колу, за допомогою спідометра або радара виміряйте його лінійну швидкість і поділіть її на радіус кола, по якому рухається тіло.
Якщо з розрахунку значення кутового прискорення позитивне, тіло збільшує свою кутову швидкість, якщо негативне – зменшує.
Якщо тіло рухається по колу з кутовим. прискоренням, обов'язково присутній і лінійне прискорення, Яке називається тангенціальним. Його можна виміряти будь-яким із відомих методів для лінійного прискорення. Наприклад, виміряти миттєву лінійну швидкістьв деякій точці кола і потім у тій же тузі після одного обороту. Потім, різницю квадратів другої та першої виміряної швидкості і поділіть послідовно на числа 4 і 3,14, а також радіус кола aτ(v²-v0²)/(4 3.14 R).
Кутове прискорення
величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості твердого тіла. При обертанні тіла навколо нерухомої осі, коли його кутова швидкість ω
зростає (або зменшується) рівномірно, чисельно У. в. ε
= Δ ω
/Δ t, де Δ ω
- приріст, який отримує за проміжок часу Δ t, а загалом при обертанні навколо нерухомої осі ε = dω /dt = d 2φ /dt 2 ,де φ
- Кут повороту тіла. Вектор В. в. ε
спрямований уздовж осі обертання (убік ω
при прискореному обертанні та протилежно ω
- При уповільненому). При обертанні навколо нерухомої точки вектор У. в. визначається як перша похідна від вектора кутової швидкості ω
за часом, тобто. ε
= dω /dt,і направлений по дотичній до Годограф у вектора ω
у відповідній його точці. Розмірність У. в. Т-2.
Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .
Дивитись що таке "Кутове прискорення" в інших словниках:
Розмірність T−2 Одиниці виміру СІ рад*с−2 СГС … Вікіпедія
Кутове прискорення, ступінь зміни кутової швидкості. Середня величина кутового прискорення предмета, кутова швидкість якого змінюється від q1 до q2 за час t виражається як (q1 q2)/t. Миттєвим кутовим прискоренням називається величина, … Науково-технічний енциклопедичний словник
Сучасна енциклопедія
Векторна величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості твердого тіла. При обертанні тіла навколо нерухомої осі, коли його кутова швидкість? зростає (або зменшується) рівномірно, абсолютна величина кутового прискорення? = ??/? T, де ... ... Великий Енциклопедичний словник
Величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості твердого тіла. При обертанні тіла навколо нерухомої осі, коли його кутова швидкість w росте (або зменшується) рівномірно, чисельно У. у. e=Dw/Dt, де Dw приріст, до рої отримує w за… … Фізична енциклопедія
Розмір, що характеризує швидкість зміни кут. швидкість твердого тіла. При обертанні тіла навколо нерухомої осі, коли його кут. швидкість w росте (або зменшується) рівномірно, чисельно У. в. e = dw/dt, де dw приріст, до рої отримує w за… … Фізична енциклопедія
кутове прискорення- міра зміни кутової швидкості тіла, що дорівнює похідній від кутової швидкості за часом. [Збірник термінів, що рекомендуються. Випуск 102. Теоретична механіка. Академія наук СРСР. Комітет науково-технічної термінології. 1984 р.] Тематики… … Довідник технічного перекладача
Кутове прискорення- Кутове прискорення, величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості твердого тіла. При обертанні тіла навколо нерухомої осі, коли його кутова швидкість w росте (або зменшується) рівномірно, абсолютна величина кутового прискорення e=Dw/Dt … Ілюстрований енциклопедичний словник
Векторна величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості твердого тіла. При обертанні тіла навколо нерухомої осі, коли його кутова швидкість ω росте (або зменшується) рівномірно, абсолютна величина кутового прискорення ε = Δω/Δt, де… Енциклопедичний словник
кутове прискорення- kampinis pagreitis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. angular acceleration vok. Winkelbeschleunigung, f rus. кутове прискорення, n pranc. accélération angulaire, f … Automatikos terminų žodynas
кутове прискорення- kampinis pagreitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus kampinio greicio pokyčiui per véetinį laiko tarpą, t. y. α = dω/dt; čia dω – kampinio greičio pokytis, dt – laiko tarpas. atitikmenys: angl. Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas