Піфагорові штани на всі боки рівні. Проект на тему: Піфагорові штани на всі боки рівні

Теорема Піфагора всім відома зі шкільної доби. Видатний математик довів велику гіпотезу, якою нині користуються багато людей. Звучить правило так: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. За багато десятиліть жоден математик не зумів переперечити це правило. Адже Піфагор довго йшов до своєї мети, щоб у результаті креслення мали місце у повсякденному житті.

  1. Невеликий вірш до цієї теореми, який вигадали невдовзі після доказу, безпосередньо доводить властивості гіпотези: «Піфагорові штани на всі боки рівні». Це двострочко відклалося у пам'яті у багатьох – до цього дня вірш згадують при обчисленнях.
  2. Ця теорема отримала назву «Піфагорові штани» внаслідок того, що при кресленні посередині виходив прямокутний трикутник, з боків якого розташовувалися квадрати. На вигляд це креслення нагадувало штани - звідси і назва гіпотези.
  3. Піфагор пишався розробленою теоремою, адже ця гіпотеза відрізняється від нею подібних до максимальної кількості доказів. Важливо: рівняння було занесено до книги рекордів Гіннеса внаслідок 370 правдивих доказів.
  4. Гіпотезу доводило безліч математиків і професорів з різних країнбагатьма способами. Англійський математик Джонс невдовзі оголошення гіпотези довів її за допомогою диференціального рівняння.
  5. Нині нікому невідомий доказ теореми самим Піфагором. Факти про докази математики сьогодні не відомі нікому. Вважається, що доказ креслень Евклідом - це є доказ Піфагора. Однак деякі вчені сперечаються з цим твердженням: багато хто вважає, що Евклід самостійно довів теорему, без допомоги творця гіпотези.
  6. Нинішні вчені виявили, що великий математик був не першим, хто відкрив цю гіпотезу.. Рівняння було відоме ще задовго до відкриття Піфагором. Цей математик зумів лише поєднати гіпотезу.
  7. Піфагор не давав рівнянню назву «Теорема Піфагора». Ця назва закріпилася після «гучного дворядчя». Математик лише хотів, щоб його старання та відкриття дізнався весь світ та користувався ними.
  8. Моріц Кантор - великий найбільший математик знайшов і розглянув на стародавньому папірусі записи з кресленнями. Незабаром після цього Кантор зрозумів, що ця теорема була відома єгиптянам ще 2300 років до нашої ери. Тільки тоді нею ніхто не скористався і не намагався довести.
  9. Нинішні вчені вважають, що гіпотеза була відома ще у 8 столітті до нашої ери. Індійські вчені на той час виявили приблизне обчислення гіпотенузи трикутника, наділеного прямими кутами. Щоправда на той час ніхто не зміг довести напевно рівняння за приблизними обчисленнями.
  10. Великий математик Бартель Ван дер Варден після доказу гіпотези уклав важливий висновок: «Заслуга грецького математика вважається не відкриттям напрямку та геометрії, а лише її обґрунтуванням У руках Піфагора були обчислювальні формули, які ґрунтувалися на припущеннях, неточних обчисленнях та невиразних уявленнях. Однак видатному вченому вдалося перетворити на точну науку».
  11. Відомий поет сказав, що у день відкриття свого креслення він спорудив бикам славну жертву. Саме після відкриття гіпотези пішли чутки, що жертвопринесення ста бугаїв «пішло мандрувати сторінками книг і видань». Дотепники досі жартують, що з того часу всі бики бояться нового відкриття.
  12. Доказ того, що не Піфагор придумав вірш про штани, щоб довести висунуті їм креслення: за часів великого математика штанів ще не було. Вони були придумані за кілька десятиліть.
  13. Пекка, Лейбніц та ще кілька вчених намагалися довести раніше відому теорему, проте це нікому не вдавалося.
  14. Назва креслень "теорема Піфагора" означає "переконання промовою". Так перекладається слово Піфагор, яке взяв математик як псевдонім.
  15. Роздуми Піфагора про власне правило: секрет сущого землі криється в цифрах. Адже математик, спираючись на свою гіпотезу, вивчив властивості чисел, виявив парність і непарність, створив пропорції.

Ми сподіваємось Вам сподобалася добірка з картинками - Цікаві фактипро теорему Піфагора: дізнаємося нове про відомої теореми(15 фото) онлайн хорошої якості. Залишіть будь ласка вашу думку у коментарях! Нам важлива кожна думка.

Піфагорові штани Жартівна назва теореми Піфагора, що виникла в силу того, що побудовані на сторонах прямокутника і квадрати, що розходяться в різні боки, нагадують покрій штанів. Геометрію я любив... і на вступному іспиті в університет отримав навіть від Чумакова, професора математики, похвалу за те, що без дошки, чортячи руками в повітрі, пояснював властивості паралельних лінійта піфагорових штанів(Н. Пирогов. Щоденник старого лікаря).

Фразеологічний словник російської мови. - М: Астрель, АСТ. А. І. Федоров. 2008 .

Дивитись що таке "Піфагорові штани" в інших словниках:

    Штани - отримати на Академіці робочий купон на знижку SuperStep або вигідно купити штани з безкоштовною доставкою на розпродажі в SuperStep

    Піфагорові штани- … Вікіпедія

    Піфагорові штани- Жар. шк. Жарт. Теорема Піфагора, що встановлює співвідношення між площами квадратів, побудованих на гіпотенузі та катет прямокутного трикутника. БТС, 835 … Великий словникросійських приказок

    піфагорові штани- Жартівлива назва теореми Піфагора, що встановлює співвідношення між площами квадратів, побудованих на гіпотенузі та катетах прямокутного трикутника, що зовні на малюнках виглядає як покрій штанів. Словник багатьох виразів

    піфагорові штани (вигадати)- иноск.: про людину обдарованого Порівн. Це безперечність мудрець. У давнину він напевно вигадав би Піфагорові штани... Салтиков. Строкаті листи. Піфагорові штани (геом.): у прямокутнику квадрат гіпотенузи дорівнює квадратам катетів (вчення……) Великий тлумачно-фразеологічний словник Міхельсона

    Піфагорові штани на всі боки рівні- Число гудзиків відоме. Чому ж хую тісно? (грубо) про штани та чоловічий статевий орган. Піфагорові штани на всі боки рівні. Щоб це довести, треба зняти та показати 1) про теорему Піфагора; 2) про широкі штани … Жива мова. Словник розмовних виразів

    Піфагорові штани вигадати- Піґагорові штани (вигадати) іноск. про людину обдарованого. Порівн. Це безперечності мудрець. У давнину він вірно вигадав би піагарові штани... Салтиков. Строкаті листи. Піагарові штани (геом.): у прямокутнику квадрат гіпотенузи. Великий тлумачно-фразеологічний словник Міхельсона (оригінальна орфографія)

    Піфагорові штани на всі боки рівні- жартівливий доказ теореми Піфагора; також жартома про мішкуваті штани приятеля. Словник народної фразеології

    Присл., грубі …

    ПІФАГОРОВІ ШТАНИ НА ВСЕ СТОРОНИ РІВНІ (КІЛЬКІСТЬ ГУДЗИКІВ ВІДОМИЙ. ЧОМУ Ж ХУЮ ТІСНО? / ЩОБ ЦЕ ДОКАЗАТИ, ТРЕБА ЗНЯТИ І ПОКАЗАТИ)- Присл., Груб ... Тлумачний словник сучасних розмовних фразеологізмів та прислівників

    штани- Існ., мн., Упот. порівняння. часто Морфологія: мн. що? штани, (ні) чого? штанів, чому? штанам, (бачу) що? штани, чим? штанами, про що? про штани 1. Штани це предмет одягу, який має дві короткі або довгі штанини і закриває нижню частину. Тлумачний словник Дмитрієва

Книги

  • Піфагорові штани,. У цій книзі ви знайдете фантастику та пригоди, чудеса та вигадку. Смішне та сумне, звичайне та загадкове... А що ще потрібно для цікавого читання? Головне, щоб було…

Римський архітектор Вітрувій особливо виділяв теорему Піфагора «з численних відкриттів, що надали послуги розвитку людського життя», і закликав ставитись до неї з величезною повагою. Було це ще I столітті до зв. е. На рубежі XVI-XVII століть знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер назвав її одним із скарбів геометрії, порівнянним із мірою золота. Навряд чи у всій математиці знайдеться більш вагоме та значуще твердження, адже за кількістю наукових та практичних додатків теоремі Піфагора немає рівних.

Теорема Піфагора для випадку рівнобедреного прямокутного трикутника.

Наука та життя // Ілюстрації

Ілюстрація до теореми Піфагора з «Трактату про вимірювальну жердину» (Китай, III століття до н.е.) та реконструйований на його основі доказ.

Наука та життя // Ілюстрації

С. Перкінс. Піфагор.

Креслення до можливого доказу Піфагора.

«Мозаїка Піфагора» та розбиття ан-Найрізі трьох квадратів на доказ теореми Піфагора.

П. де Хох. Господиня та служниця у внутрішньому дворику. Близько 1660 року.

Я. Охтервелт. Бродячі музиканти у дверях багатого будинку. 1665 рік.

Піфагорові штани

Теорема Піфагора чи не найвідоміша і, безсумнівно, найзнаменитіша в історії математики. У геометрії вона застосовується буквально щокроку. Незважаючи на простоту формулювання, ця теорема аж ніяк не очевидна: дивлячись на прямокутний трикутник зі сторонами a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза більше площіцього квадрата. Його міркування, власне, зводилися до підтвердження теореми Піфагора, хай і конкретного трикутника.

Фігури, зображені на рис. 1 і 2, нагадують найпростіший орнамент із квадратів та їх рівних частин - геометричний малюнок, відомий з незапам'ятних часів. Їм можна покрити площину. Математик назвав би таке покриття площини багатокутниками паркетом або замощенням. До чого тут Піфагор? Виявляється, він першим вирішив завдання про правильні паркети, з яким почалося вивчення заміщень різних поверхонь. Так ось, Піфагор показав, що площина навколо точки можуть покрити без пробілів рівні правильні багатокутники. трьох видів: шість трикутників, чотири квадрати і три шестикутники.

4000 років по тому

Історія теореми Піфагора сягає глибокої давнини. Згадки про неї містяться ще у вавилонських клинописних текстах часів царя Хаммурапі (XVIII століття до н.е.(наша ера)), тобто за 1200 років до народження Піфагора. Теорема застосовувалася як готове правило у багатьох завданнях, найпростіша з яких – знаходження діагоналі квадрата з його боку. Не виключено, що співвідношення a 2 + b 2 = c 2 для довільного прямокутного трикутника вавилоняни отримали, просто «узагальнивши» рівність a 2 + a 2 = c 2 . Але їм це можна пробачити - для практичної геометрії стародавніх, що зводилася до вимірів і обчислень, суворих обґрунтувань не потрібно.

Тепер, майже через 4000 років, ми маємо справу з теоремою-рекордсменом за кількістю всіляких доказів. Між іншим, їхнє колекціонування - давня традиція. Пік інтересу до теореми Піфагора припав на другу половину XIX- Початок XX століття. І якщо перші колекції містили не більше двох-трьох десятків доказів, то до кінця XIX століття їх число наблизилося до 100, а ще через півстоліття перевищило 360, і це лише тих, що вдалося зібрати з різних джерел. Хто тільки не брався за вирішення цього нестаріючого завдання – від іменитих вчених та популяризаторів науки до конгресменів та школярів. І що примітно, в оригінальності та простоті рішення інші любителі не поступалися професіоналам!

Найдавнішим з доказів теореми Піфагора, що дійшли до нас, близько 2300 років. Одне - суворе аксіоматичне - належить давньогрецькому математику Евклиду, котрий жив у IV-III століттях до зв. е. У першій книзі «Початок» теорема Піфагора значиться як «Пропозиція 47». Найнаочніші та найгарніші докази побудовані на перекроюванні «піфагорових штанів». Вони виглядають як хитромудра головоломка на розрізання квадратів. Але змусіть фігури правильно рухатись – і вони відкриють вам секрет знаменитої теореми.

Ось який витончений доказ виходить на основі креслення з одного давньокитайського трактату (рис. 3), і відразу прояснюється його зв'язок із завданням про подвоєння площі квадрата.

Саме такий доказ намагався пояснити своєму молодшому другу семирічний Гвідо, не по роках герой новели англійського письменника Олдоса Хакслі «Маленький Архімед». Цікаво, що оповідач, який спостерігав цю картину, наголосив на простоті та переконливості доказу, тому приписав його... самому Піфагору. А от головний геройфантастичної повісті Євгена Велтистова «Електронік - хлопчик із валізи» знав 25 доказів теореми Піфагора, зокрема дане Евклідом; щоправда, помилково назвав його найпростішим, хоч насправді у сучасному виданні «Початок» воно займає півтори сторінки!

Перший математик

Піфагора Самоського (570-495 роки до н. е.), чиє ім'я давно і нерозривно пов'язане із чудовою теоремою, у певному сенсі можна назвати першим математиком. Саме з нього математика починається як точна наука, де всяке нове знання – результат не наочних уявлень та винесених з досвіду правил, а результат логічних міркувань та висновків. Лише так можна раз і назавжди встановити істинність будь-якої математичної речення. До Піфагора дедуктивний метод застосовував лише давньогрецький філософ і вчений Фалес Мілетський, який жив межі VII-VI століть до зв. е. Він висловив саму ідею докази, але застосовував його не систематично, вибірково, як правило, до очевидних геометричних тверджень типу «діаметр ділить коло навпіл». Піфагор просунувся набагато далі. Вважається, що він запровадив перші визначення, аксіоми та методи доказу, а також створив перший курс геометрії, відомий древнім грекам під назвою «Передання Піфагора». А ще він стояв біля джерел теорії чисел і стереометрії.

Інша важлива заслуга Піфагора - заснування славної школи математиків, яка більше століття визначала розвиток цієї науки Стародавню Грецію. З його ім'ям пов'язують і сам термін «математика» (від грецького слова μαθημa – вчення, наука), який об'єднав чотири споріднені дисципліни створеної Піфагором та його прихильниками – піфагорійцями – системи знань: геометрію, арифметику, астрономію та гармоніку.

Відокремити досягнення Піфагора від досягнень його учнів неможливо: слідуючи звичаєм, вони приписували власні ідеї та відкриття своєму Вчителю. Жодних творів ранні піфагорійці не залишили, всі відомості вони передавали один одному усно. Так що через 2500 років історикам не залишається нічого іншого, окрім як реконструювати втрачені знання з перекладів інших, пізніших авторів. Віддамо належне грекам: вони хоч і оточували ім'я Піфагора безліччю легенд, проте не приписували йому нічого такого, чого він не міг би відкрити чи розвинути в теорію. І теорема, що носить його ім'я, не виняток.

Такий простий доказ

Невідомо, чи Піфагор сам виявив співвідношення між довжинами сторін у прямокутному трикутнику або запозичив це знання. Античні автори стверджували, що сам і любили переказувати легенду про те, як на честь свого відкриття Піфагор приніс у жертву бика. Сучасні історикисхильні вважати, що він дізнався про теорему, познайомившись із математикою вавилонян. Не знаємо ми і про те, в якому вигляді Піфагор формулював теорему: арифметично, як прийнято сьогодні, - квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, або геометрично, в дусі давніх, - квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах.

Вважається, що Піфагор дав перший доказ теореми, що носить його ім'я. Воно, звісно, ​​не збереглося. За однією з версій, Піфагор міг скористатися розробленим у його школі вченням про пропорції. На ньому ґрунтувалася, зокрема, теорія подібності, на яку спираються міркування. Проведемо у прямокутному трикутнику з катетами a та b висоту до гіпотенузи c. Отримаємо три подібні трикутники, включаючи вихідний. Їхні відповідні сторони пропорційні, a: с = m: a та b: c = n: b, звідки a 2 = c · m і b 2 = c · n. Тоді a 2 + b 2 = c · (m + n) = c 2 (рис. 4).

Це лише реконструкція, запропонована одним з істориків науки, але доказ, погодьтеся, зовсім простий: займає всього кілька рядків, не потрібно нічого добудовувати, перекроювати, обчислювати... Не дивно, що його неодноразово перевідкривали. Воно міститься, наприклад, у «Практиці геометрії» Леонардо Пізанського (1220), і його досі наводять у підручниках.

Такий доказ не суперечив уявленням піфагорійців про сумірність: спочатку вони вважали, що відношення довжин будь-яких двох відрізків, а отже, і площ прямолінійних фігур, можна висловити за допомогою натуральних чисел. Жодні інші числа вони не розглядали, не допускали навіть дробів, замінивши їх відносинами 1: 2, 2: 3 і т. д. Однак, за іронією долі, саме теорема Піфагора призвела піфагорійців до відкриття несумірності діагоналі квадрата та його сторони. Усі спроби чисельно уявити довжину цієї діагоналі – у одиничного квадрата вона дорівнює √2 – ні до чого не привели. Простіше виявилося довести, що завдання нерозв'язне. На такий випадок у математиків є перевірений метод – доказ протилежного. До речі, його приписують Піфагору.

Існування відносини, не виражається натуральними числами, поклало край багатьом уявленням піфагорійців. Стало ясно, що відомих їм чисел недостатньо для вирішення навіть нескладних завдань, що вже говорити про всю геометрію! Це відкриття стало поворотним моментом у розвитку грецької математики, її центральною проблемою. Спочатку воно призвело до розробки вчення про незрівнянні величини - ірраціональності, а потім - і до розширення поняття числа. Іншими словами, з нього почалася багатовікова історія дослідження множини дійсних чисел.

Мозаїка Піфагора

Якщо покрити площину квадратами двох різних розмірів, оточивши кожен малий квадрат чотирма великими, вийде паркет мозаїка Піфагора. Такий малюнок здавна прикрашає кам'яні підлоги, нагадуючи про давні докази теореми Піфагора (звідси його назва). По-різному накладаючи на паркет квадратну сітку, можна отримати розбиття квадратів, збудованих на сторонах прямокутного трикутника, які пропонувалися різними математиками. Наприклад, якщо розмістити сітку так, щоб усі її вузли збіглися з правими верхніми вершинами малих квадратів, виявляться фрагменти креслення до доказу середньовічного перського математика ан-Найрізі, яке він помістив у коментарях до «Початків» Евкліда. Легко бачити, що сума площ великого та малого квадратів, вихідних елементів паркету, дорівнює площі одного квадрата накладеної на нього сітки. А це означає, що зазначене розбиття дійсно придатне для укладання паркету: з'єднуючи в квадрати отримані багатокутники, як показано на малюнку, можна заповнити ними без пробілів та перекриттів всю площину.

Потенціал до творчості зазвичай приписують гуманітарним дисциплінам, природно науковим залишаючи аналіз, практичний підхід та суху мову формул та цифр. Математику до гуманітарних предметів не віднесеш. Але без творчості в «цариці всіх наук» далеко не поїдеш – про це людям відомо з давніх-давен. З часів Піфагора, наприклад.

Шкільні підручники, на жаль, зазвичай не пояснюють, що в математиці важливо не лише зубрити теореми, аксіоми та формули. Важливо розуміти та відчувати її фундаментальні принципи. І при цьому спробувати звільнити свій розум від штампів та абеткових істин – лише в таких умовах народжуються всі великі відкриття.

До таких відкриттів можна віднести і те, що сьогодні ми знаємо як теорему Піфагора. З його допомогою ми спробуємо показати, що математика не тільки може, а й має бути цікавою. І що ця пригода підходить не тільки ботанікам у товстих окулярах, а всім, хто міцний розумом і сильним духом.

З історії питання

Строго кажучи, хоч теорема і називається «теорема Піфагора», сам Піфагор її не відкривав. Прямокутний трикутник та його особливі властивості вивчалися задовго до нього. Є дві полярні погляди на це питання. За однією версією Піфагор першим знайшов повноцінний доказ теореми. За іншим доказом не належить авторству Піфагора.

Сьогодні вже не перевіриш, хто має рацію, а хто помиляється. Відомо лише, що докази Піфагора, якщо вона будь-коли існувало, не збереглося. Втім, висловлюються припущення, що знаменитий доказ із «Початків» Евкліда може належати Піфагору, і Евклід його тільки зафіксував.

Також сьогодні відомо, що завдання про прямокутний трикутник зустрічаються в єгипетських джерелах часів фараона Аменемхета I, на вавилонських глиняних табличках періоду правління царя Хаммурапі, в давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» та давньокитайському творі «Чжоубі-сунь».

Як бачите, теорема Піфагора займала уми математиків з найдавніших часів. Підтвердженням є і близько 367 різноманітних доказів, які існують сьогодні. У цьому з нею не може тягатися жодна інша теорема. Серед знаменитих авторів доказів можна згадати Леонардо да Вінчі та двадцятого президента США Джеймса Гарфілда. Все це говорить про надзвичайну важливість цієї теореми для математики: з неї виводиться або так чи інакше з нею пов'язана більшість теорем геометрії.

Докази теореми Піфагора

У шкільних підручниках переважно наводять алгебраїчні докази. Але суть теореми в геометрії, тож давайте розглянемо насамперед ті докази знаменитої теореми, які спираються на цю науку.

Доказ 1

Для найпростішого доказу теореми Піфагора для прямокутного трикутника потрібно встановити ідеальні умови: нехай трикутник буде не тільки прямокутним, але й рівнобедреним. Є підстави вважати, що саме такий трикутник спочатку розглядали математику давнини.

Твердження "квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах"можна проілюструвати наступним кресленням:

Подивіться на рівнобедрений прямокутний трикутник ABC: На гіпотенузі АС можна побудувати квадрат, що складається з чотирьох трикутників, що дорівнює вихідному АВС. А на катетах АВ і ПС побудовано по квадрату, кожен з яких містить по два аналогічні трикутники.

До речі, це креслення лягло основою численних анекдотів і карикатур, присвячених теоремі Піфагора. Найзнаменитіший, мабуть, це «Піфагорові штани на всі боки рівні»:

Доказ 2

Цей метод поєднує в собі алгебру та геометрію і може розглядатися як варіант давньоіндійського доказу математика Бхаскарі.

Побудуйте прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c(Рис.1). Потім збудуйте два квадрати зі сторонами, рівними сумі довжин двох катетів, – (a+b). У кожному із квадратів виконайте побудови, як на рисунках 2 та 3.

У першому квадраті збудуйте чотири таких трикутники, як на малюнку 1. У результаті виходить два квадрати: один зі стороною a, другий зі стороною b.

У другому квадраті чотири побудовані аналогічні трикутники утворюють квадрат зі стороною, що дорівнює гіпотенузі. c.

Сума площ збудованих квадратів на рис.2 дорівнює площі збудованого нами квадрата зі стороною з на рис.3. Це легко перевірити, вирахувавши площі квадратів на рис. 2 за формулою. А площа вписаного квадрата на малюнку 3. шляхом віднімання площ чотирьох рівних між собою вписаних у квадрат прямокутних трикутників із площі великого квадрата зі стороною (a+b).

Записавши все це, маємо: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Розкрийте дужки, проведіть усі необхідні алгебраїчні обчислення та отримайте, що a 2 +b 2 = a 2 +b 2. У цьому площа вписаного на рис.3. квадрата можна обчислити і за традиційною формулою S=c 2. Тобто. a 2 +b 2 =c 2- Ви довели теорему Піфагора.

Доказ 3

Сам же давньоіндійський доказ описаний у XII столітті в трактаті «Вінець знання» («Сіддханта широмані») і як головний аргумент автор використовує заклик, звернений до математичних талантів та спостережливості учнів та послідовників: «Дивись!».

Але ми розберемо цей доказ більш докладно:

Усередині квадрата побудуйте чотири прямокутні трикутники так, як це позначено на кресленні. Сторону великого квадрата, вона ж гіпотенуза, позначимо з. Катети трикутника назвемо аі b. Відповідно до креслення сторона внутрішнього квадрата це (a-b).

Використовуйте формулу площі квадрата S=c 2, щоб обчислити площу зовнішнього квадрата. І одночасно вирахуйте ту ж величину, склавши площу внутрішнього квадрата і площі всіх чотирьох прямокутних трикутників: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ви можете використовувати обидва варіанти обчислення площі квадрата, щоб переконатися, що вони дадуть однаковий результат. І це дає вам право записати, що c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В результаті рішення ви отримаєте формулу теореми Піфагора c 2 =a 2 +b 2. Теорему доведено.

Доказ 4

Цей цікавий давньокитайський доказ отримав назву «Стілець нареченої» - через схожу на стілець фігуру, яка виходить в результаті всіх побудов:

У ньому використовується креслення, яке ми вже бачили на рис.3 у другому доказі. А внутрішній квадрат зі стороною з побудований так само, як у давньоіндійському доказі, наведеному вище.

Якщо подумки відрізати від креслення на рис.1 два зелені прямокутні трикутники, перенести їх до рис. протилежним сторонамквадрата зі стороною з і гіпотенузами прикласти до гіпотенуз бузкових трикутників, вийде постать під назвою «стілець нареченої» (рис.2). Для наочності можна те саме зробити з паперовими квадратами і трикутниками. Ви переконаєтеся, що «стілець нареченої» утворюють два квадрати: маленькі зі стороною bі великий зі стороною a.

Ці побудови дозволили давньокитайським математикам і нам слідом за ними дійти висновку, що c 2 =a 2 +b 2.

Доказ 5

Це ще один спосіб знайти рішення для теореми Піфагора, спираючись на геометрію. Називається він "Метод Гарфілда".

Побудуйте прямокутний трикутник АВС. Нам треба довести, що НД 2 =АС 2 +АВ 2.

Для цього продовжіть катет АСта побудуйте відрізок CD, який дорівнює катету АВ. Опустіть перпендикулярний ADвідрізок ED. Відрізки EDі АСрівні. З'єднайте точки Еі У, а також Еі Зі отримайте креслення, як на малюнку нижче:

Щоб довести терему, ми знову вдається до вже випробуваного нами способу: знайдемо площу фігури, що вийшла, двома способами і прирівняємо вирази один до одного.

Знайти площу багатокутника ABEDможна, склавши площу трьох трикутників, які її утворюють. Причому один із них, ЄСВ, не тільки прямокутним, а й рівнобедреним. Не забуваємо також, що АВ = CD, АС = EDі ВС = РЄ– це дозволить нам спростити запис та не перевантажувати його. Отже, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

При цьому очевидно, що ABED- Це трапеція. Тому обчислюємо її площу за формулою: S ABED = (DE + AB) * 1/2AD. Для наших обчислень зручніше та наочніше уявити відрізок ADяк суму відрізків АСі CD.

Запишемо обидва способи обчислити площу фігури, поставивши між ними знак рівності: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Використовуємо вже відому нам і описану вище рівність відрізків, щоб спростити праву частину запису: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2. А тепер розкриємо дужки і перетворюємо рівність: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2. Закінчивши всі перетворення, отримаємо саме те, що нам треба: НД 2 =АС 2 +АВ 2. Ми довели теорему.

Звісно, ​​цей список доказів далеко не повний. Теорему Піфагора також можна довести за допомогою векторів, комплексних чисел, диференціальний рівнянь, стереометрії тощо. І навіть фізики: якщо, наприклад, в аналогічних представлених на кресленнях квадратні та трикутні обсяги залити рідину. Переливаючи рідину, можна довести рівність площ і саму теорему у результаті.

Пару слів про Піфагорові трійки

Це питання мало чи взагалі не вивчається у шкільній програмі. А тим часом він дуже цікавий і має велике значення в геометрії. Піфагорові трійки застосовуються на вирішення багатьох математичних завдань. Уявлення про них може стати вам у нагоді в подальшій освіті.

Так що ж таке Піфагорові трійки? Так називають натуральні числа, зібрані по три, сума квадратів двох з яких дорівнює третьому числу в квадраті.

Піфагорові трійки можуть бути:

  • примітивними (всі три числа – взаємно прості);
  • не примітивними (якщо кожне число трійки помножити на те саме число, вийде нова трійка, яка не є примітивною).

Ще до нашої ери стародавніх єгиптян заворожувала манія чисел Піфагорових трійок: у завданнях вони розглядали прямокутний трикутник із сторонами 3,4 та 5 одиниць. До речі, будь-який трикутник, сторони якого дорівнюють числам з піфагорової трійки, за замовчуванням є прямокутним.

Приклади Піфагорових трійок: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 48, 50), (30, 40, 50) і т.д.

Практичне застосування теореми

Теорема Піфагора знаходить застосування у математиці, а й у архітектурі та будівництві, астрономії і навіть літературі.

Спочатку про будівництво: теорема Піфагора знаходить у ньому широке застосуванняу завданнях різного рівняскладності. Наприклад, подивіться на вікно у романському стилі:

Позначимо ширину вікна як bтоді радіус великого півкола можна позначити як Rі виразити через b: R=b/2. Радіус менших півкола також виразимо через b: r=b/4. У цьому завдання нас цікавить радіус внутрішнього кола вікна (назвемо його p).

Теорема Піфагора якраз і стане в нагоді, щоб обчислити р. Для цього використовуємо прямокутний трикутник, що на малюнку позначений пунктиром. Гіпотенуза трикутника складається із двох радіусів: b/4+p. Один катет є радіусом. b/4, інший b/2-p. Використовуючи теорему Піфагора, запишемо: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Далі розкриємо дужки та отримаємо b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Перетворимо цей вираз на bp/2=b 2 /4-bp. А потім розділимо всі члени на b, наведемо подібні, щоб отримати 3/2*p=b/4. І в результаті знайдемо, що p=b/6- Що нам і потрібно.

За допомогою теореми можна обчислити довжину крокви для двосхилого даху. Визначити, якою висоти вишка мобільного зв'язку потрібна, щоб сигнал досягав певного населеного пункту. І навіть стійко встановити новорічну ялинкуна міській площі. Як бачите, ця теорема живе не тільки на сторінках підручників, а й часто буває корисною у реальному житті.

Щодо літератури, то теорема Піфагора надихала письменників з часів античності і продовжує це робити у наш час. Наприклад, німецького письменника ХІХ століття Адельберта фон Шаміссо вона надихнула на написання сонета:

Світло істини розсіється не скоро,
Але, засяявши, розсіється навряд
І, як тисячоліття тому,
Не викликає сумнівів і суперечки.

Наймудріші, коли торкнеться погляду
Світло істини, богів дякують;
І сто биків, заколоті, лежать.
Дар у відповідь Пифагора.

З того часу бики відчайдушно ревуть:
Навіки сполошило бичаче плем'я
Подія, згадана тут.

Їм здається: ось-ось настане час,
І знову їх у жертву принесуть
Якийсь великій теоремі.

(Переклад Віктора Топорова)

А в ХХ столітті радянський письменник Євген Велтистов у книзі «Пригоди Електроніка» доказам теореми Піфагора відвів цілий розділ. І ще півголови розповіді про двомірному світі, який міг би існувати, якби теорема Піфагора стала основним законом і навіть релігією окремо взятого світу. Жити в ньому було б набагато простіше, але й набагато нудніше: наприклад, там ніхто не розуміє значення слів «круглий» та «пухнастий».

А ще у книзі «Пригоди Електроніка» автор вустами вчителя математики Таратара каже: «Головне у математиці – рух думки, нові ідеї». Саме цей творчий політ думки породжує теорема Піфагора - не дарма у неї стільки різноманітних доказів. Вона допомагає вийти за межі звичного і на знайомі речі подивитися по-новому.

Висновок

Ця стаття створена, щоб ви могли заглянути за межі шкільної програми з математики та дізнатися не лише про те докази теореми Піфагора, які наведені в підручниках «Геометрія 7-9» (Л.С. Атанасян, В.М. Руденко) та «Геометрія 7 -11» (А.В. Погорєлов), але й інші цікаві способи довести знамениту теорему. А також побачити приклади, як теорема Піфагора може застосовуватись у звичайному житті.

По-перше, ця інформація дозволить вам претендувати на вищі бали на уроках математики – відомості з предмета з додаткових джерел завжди високо оцінюються.

По-друге, нам хотілося допомогти вам відчути, наскільки математика є цікавою наукою. Переконатися на конкретні приклади, що у ній є місце творчості. Ми сподіваємося, що теорема Піфагора та ця стаття надихнуть вас на самостійні пошуки та хвилюючі відкриття в математиці та інших науках.

Розкажіть нам у коментарях, чи здалися вам наведені у статті докази цікавими. Чи знадобилися вам ці відомості у навчанні. Напишіть нам, що думаєте про теорему Піфагора та цю статтю – нам буде приємно обговорити все це з вами.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Теорема Піфагора всім відома зі шкільної доби. Видатний математик довів велику гіпотезу, якою нині користуються багато людей. Звучить правило так: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. За багато десятиліть жоден математик не зумів переперечити це правило. Адже Піфагор довго йшов до своєї мети, щоб у результаті креслення мали місце у повсякденному житті.

  1. Невеликий вірш до цієї теореми, який вигадали невдовзі після доказу, безпосередньо доводить властивості гіпотези: «Піфагорові штани на всі боки рівні». Це двострочко відклалося у пам'яті у багатьох – до цього дня вірш згадують при обчисленнях.
  2. Ця теорема отримала назву «Піфагорові штани» внаслідок того, що при кресленні посередині виходив прямокутний трикутник, з боків якого розташовувалися квадрати. На вигляд це креслення нагадувало штани - звідси і назва гіпотези.
  3. Піфагор пишався розробленою теоремою, адже ця гіпотеза відрізняється від нею подібних до максимальної кількості доказів. Важливо: рівняння було занесено до книги рекордів Гіннеса внаслідок 370 правдивих доказів.
  4. Гіпотезу доводило безліч математиків і професорів з різних країн багатьма способами. Англійський математик Джонс невдовзі оголошення гіпотези довів її за допомогою диференціального рівняння.
  5. Нині нікому невідомий доказ теореми самим Піфагором. Факти про докази математики сьогодні не відомі нікому. Вважається, що доказ креслень Евклідом - це є доказ Піфагора. Однак деякі вчені сперечаються з цим твердженням: багато хто вважає, що Евклід самостійно довів теорему, без допомоги творця гіпотези.
  6. Нинішні вчені виявили, що великий математик був не першим, хто відкрив цю гіпотезу.. Рівняння було відоме ще задовго до відкриття Піфагором. Цей математик зумів лише поєднати гіпотезу.
  7. Піфагор не давав рівнянню назву «Теорема Піфагора». Ця назва закріпилася після «гучного дворядчя». Математик лише хотів, щоб його старання та відкриття дізнався весь світ та користувався ними.
  8. Моріц Кантор - великий найбільший математик знайшов і розглянув на стародавньому папірусі записи з кресленнями. Незабаром після цього Кантор зрозумів, що ця теорема була відома єгиптянам ще 2300 років до нашої ери. Тільки тоді нею ніхто не скористався і не намагався довести.
  9. Нинішні вчені вважають, що гіпотеза була відома ще у 8 столітті до нашої ери. Індійські вчені на той час виявили приблизне обчислення гіпотенузи трикутника, наділеного прямими кутами. Щоправда на той час ніхто не зміг довести напевно рівняння за приблизними обчисленнями.
  10. Великий математик Бартель Ван дер Варден після доказу гіпотези уклав важливий висновок: «Заслуга грецького математика вважається не відкриттям напрямку та геометрії, а лише її обґрунтуванням У руках Піфагора були обчислювальні формули, які ґрунтувалися на припущеннях, неточних обчисленнях та невиразних уявленнях. Однак видатному вченому вдалося перетворити на точну науку».
  11. Відомий поет сказав, що у день відкриття свого креслення він спорудив бикам славну жертву. Саме після відкриття гіпотези пішли чутки, що жертвопринесення ста бугаїв «пішло мандрувати сторінками книг і видань». Дотепники досі жартують, що з того часу всі бики бояться нового відкриття.
  12. Доказ того, що не Піфагор придумав вірш про штани, щоб довести висунуті їм креслення: за часів великого математика штанів ще не було. Вони були придумані за кілька десятиліть.
  13. Пекка, Лейбніц та ще кілька вчених намагалися довести раніше відому теорему, проте це нікому не вдавалося.
  14. Назва креслень "теорема Піфагора" означає "переконання промовою". Так перекладається слово Піфагор, яке взяв математик як псевдонім.
  15. Роздуми Піфагора про власне правило: секрет сущого землі криється в цифрах. Адже математик, спираючись на свою гіпотезу, вивчив властивості чисел, виявив парність і непарність, створив пропорції.

Цікаві факти про теорему Піфагора: дізнаємося нове про відому теорему (15 фото) онлайн хорошої якості. Залишіть будь ласка вашу думку у коментарях! Нам важлива кожна думка.